मान लीजिए $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$,जहाँ $a > b > 0$,$xy$-समतल में एक अतिपरवलय है जिसका संयुग्मी अक्ष $LM$ इसके एक शीर्ष $N$ पर $60^{\circ}$ का कोण बनाता है। मान लीजिए त्रिभुज $LMN$ का क्षेत्रफल $4\sqrt{3}$ है।
सूची-$I$ सूची-$II$
$P$. $H$ के संयुग्मी अक्ष की लंबाई है $1$. $8$
$Q$. $H$ की उत्केंद्रता है $2$. $\frac{4}{\sqrt{3}}$
$R$. $H$ की नाभियों के बीच की दूरी है $3$. $\frac{2}{\sqrt{3}}$
$S$. $H$ के नाभिलंब की लंबाई है $4$. $4$

सही विकल्प है:

  • A
    $P$ $\rightarrow 4; Q$ $\rightarrow 3; R$ $\rightarrow 1; S$ $\rightarrow 2$
  • B
    $P$ $\rightarrow 4; Q$ $\rightarrow 2; R$ $\rightarrow 1; S$ $\rightarrow 3$
  • C
    $P$ $\rightarrow 4; Q$ $\rightarrow 1; R$ $\rightarrow 3; S$ $\rightarrow 2$
  • D
    $P$ $\rightarrow 3; Q$ $\rightarrow 4; R$ $\rightarrow 2; S$ $\rightarrow 1$

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मान लीजिए कि $PQ$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की एक जीवा है,जो $x$-अक्ष के लंबवत है,इस प्रकार कि $OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है,जहाँ $O$ अतिपरवलय का केंद्र है। यदि अतिपरवलय की उत्केंद्रता $\sqrt{3}$ है,तो त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

अतिपरवलय $\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{64}=1$ पर विचार करें,जिसके नाभियाँ $S$ और $S_1$ हैं,जहाँ $S$ धनात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है। मान लीजिए $P$ प्रथम चतुर्थांश में अतिपरवलय पर एक बिंदु है। मान लीजिए $\angle SPS_1 = \alpha$,जहाँ $\alpha < \frac{\pi}{2}$ है। बिंदु $S$ से गुजरने वाली और अतिपरवलय के $P$ पर स्पर्शरेखा के समान ढाल वाली सीधी रेखा,$S_1P$ रेखा को $P_1$ पर काटती है। मान लीजिए $\delta$,$P$ की $SP_1$ रेखा से दूरी है और $\beta = S_1P$ है। तो $\frac{\beta \delta}{9} \sin \frac{\alpha}{2}$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के किन्हीं दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ एक वृत्त है,जिसे अतिपरवलय का नियामक वृत्त (director circle) कहा जाता है। इस वृत्त का समीकरण क्या है?

यदि $P(\frac{\pi}{6})$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर एक बिंदु है,$S$ और $S^{\prime}$ इसकी नाभियाँ हैं,और $SP + S^{\prime}P - 2|SP - S^{\prime}P| = 0$ है,तो उत्केंद्रता $e$ ज्ञात कीजिए।

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