Hyperbola Questions in Hindi

(C) दिए गए अनंतस्पर्शी $L_1=0$ और $L_2=0$ वाले अतिपरवलय का समीकरण $L_1 \times L_2 + k = 0$ के रूप में होता है।
दिए गए अनंतस्पर्शी $(4x+3y-7)=0$ और $(x-2y-1)=0$ हैं।
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $(4x+3y-7)(x-2y-1)+k=0$ ...$(i)$ है।
चूंकि अतिपरवलय बिंदु $(2,3)$ से गुजरता है,हम समीकरण $(i)$ में $x=2$ और $y=3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(4(2)+3(3)-7)(2-2(3)-1)+k=0$
$(8+9-7)(2-6-1)+k=0$
$(10)(-5)+k=0$
$-50+k=0 \Rightarrow k=50$
$k=50$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(4x+3y-7)(x-2y-1)+50=0$
$4x^2-8xy-4x+3xy-6y^2-3y-7x+14y+7+50=0$
$4x^2-5xy-6y^2-11x+11y+57=0$

(B) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $x^2 - 2y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 2$ और $b^2 = 1$ है।
अनंतस्पर्शी के समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ द्वारा दिए जाते हैं,जो $\frac{x}{\sqrt{2}} - y = 0$ और $\frac{x}{\sqrt{2}} + y = 0$ हैं।
अतिपरवलय पर किसी भी बिंदु $P(x_1, y_1)$ के लिए,अनंतस्पर्शी पर खींचे गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $\frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$a^2 = 2$ और $b^2 = 1$ का मान रखने पर:
गुणनफल $= \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3}$.

(C) हमारे पास समीकरण हैं:
$x^2+y^2=a^2$ $\dots(i)$
$xy=b^2$ $\dots(ii)$
समीकरण $(ii)$ से,$x = \frac{b^2}{y}$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{b^2}{y}\right)^2 + y^2 = a^2$
$\frac{b^4}{y^2} + y^2 = a^2$
$y^2$ से गुणा करने पर:
$b^4 + y^4 = a^2 y^2$
$y^4 - a^2 y^2 + b^4 = 0$
यह $y$ में चतुर्थ घात का समीकरण है। मान लीजिए इसके मूल $y_1, y_2, y_3, y_4$ हैं।
बहुपद समीकरण के मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $y_1 y_2 y_3 y_4$ अचर पद और मुख्य गुणांक के अनुपात के बराबर होता है।
अतः,$y_1 y_2 y_3 y_4 = \frac{b^4}{1} = b^4$.

(D) दिए गए वक्र एक अतिपरवलय $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ और एक वृत्त $x^2+y^2=16$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
अतिपरवलय की किसी भी स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{16m^2 - 9}$ है।
यदि यह रेखा वृत्त $x^2+y^2=16$ (जिसका केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r=4$ है) की स्पर्श रेखा है,तो केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|\pm \sqrt{16m^2 - 9}|}{\sqrt{m^2+1}} = 4$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{16m^2 - 9}{m^2+1} = 16$।
$16m^2 - 9 = 16m^2 + 16$।
$-9 = 16$,जो असंभव है।
यह दर्शाता है कि $m$ का कोई वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए अतिपरवलय की स्पर्श रेखा वृत्त की भी स्पर्श रेखा हो।
हालाँकि,हमें ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखाओं की जाँच करनी चाहिए। अतिपरवलय की ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखाएँ $x = \pm 4$ पर हैं।
वृत्त $x^2+y^2=16$ की भी ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखाएँ $x = \pm 4$ पर हैं।
अतः,रेखाएँ $x=4$ और $x=-4$ दोनों वक्रों के लिए उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।
इसलिए,कुल $2$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$L_1: \sqrt{3} x - y = 4 \sqrt{3} \alpha$ $(1)$
$L_2: \alpha(\sqrt{3} x + y) = 4 \sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{3} x + y = \frac{4 \sqrt{3}}{\alpha}$ $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ का गुणा करने पर:
$(\sqrt{3} x - y)(\sqrt{3} x + y) = (4 \sqrt{3} \alpha) \times \left(\frac{4 \sqrt{3}}{\alpha}\right)$
$3x^2 - y^2 = 48$
$48$ से भाग देने पर:
$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{48} = 1$
यह एक अतिपरवलय का समीकरण है जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 48$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{48}{16}} = \sqrt{4} = 2$ है।
अतः,यह $2$ उत्केंद्रता वाला एक अतिपरवलय है।

(D) शांकव $S: x^2 - y^2 - 8x + 2y + 11 = 0$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$x^2 \to xx_1$,$y^2 \to yy_1$,$x \to \frac{x+x_1}{2}$,और $y \to \frac{y+y_1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$xx_1 - yy_1 - 8\left(\frac{x+x_1}{2}\right) + 2\left(\frac{y+y_1}{2}\right) + 11 = 0$
बिंदु $(x_1, y_1) = (2, 1)$ रखने पर:
$x(2) - y(1) - 4(x + 2) + 1(y + 1) + 11 = 0$
$2x - y - 4x - 8 + y + 1 + 11 = 0$
$-2x + 4 = 0$
$2x = 4$
$x = 2$
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $x - 2 = 0$ है।

(D) अतिपरवलय और रेखा के समीकरण $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{25}=1$ और $y=x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y=x$ को अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{25}=1$ $\Rightarrow 16x^{2}=225$ $\Rightarrow x=\pm \frac{15}{4}$.
अतः प्रतिच्छेदन बिंदु $P\left(\frac{15}{4}, \frac{15}{4}\right)$ और $Q\left(-\frac{15}{4}, -\frac{15}{4}\right)$ हैं।
दीर्घ अक्ष $PQ$ की लंबाई $2a = \sqrt{(\frac{15}{2})^{2} + (\frac{15}{2})^{2}} = \frac{15}{\sqrt{2}}$.
अतः $a = \frac{15}{2\sqrt{2}}$.
लघु अक्ष की लंबाई $2b = \frac{5}{\sqrt{2}}$ है,इसलिए $b = \frac{5}{2\sqrt{2}}$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - (\frac{5}{15})^{2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

(A, B, C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $16 x^{2}-3 y^{2}-32 x-12 y=44$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$16(x^{2}-2x)-3(y^{2}+4y)=44$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$16(x-1)^{2}-16-3(y+2)^{2}+12=44$ प्राप्त होता है।
$16(x-1)^{2}-3(y+2)^{2}=48$।
$48$ से भाग देने पर,$\frac{(x-1)^{2}}{3}-\frac{(y+2)^{2}}{16}=1$ प्राप्त होता है।
मानक रूप $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर,$a^{2}=3 \Rightarrow a=\sqrt{3}$ और $b^{2}=16 \Rightarrow b=4$ प्राप्त होता है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $= 2a = 2\sqrt{3}$। (विकल्प $A$ सही है)
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 16}{\sqrt{3}} = \frac{32}{\sqrt{3}}$। (विकल्प $B$ सही है)
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1+\frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{19}{3}}$। (विकल्प $C$ सही है)
नियता का समीकरण: $x-h = \pm \frac{a}{e}$ $\Rightarrow x-1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19/3}} = \pm \frac{3}{\sqrt{19}}$ $\Rightarrow x = 1 \pm \frac{3}{\sqrt{19}}$। (विकल्प $D$ गलत है)।

(D) माना $P$ के निर्देशांक $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ हैं। चूँकि $PQ$ एक द्वि-कोटि है,$Q$ के निर्देशांक $(a \sec \theta, -b \tan \theta)$ होंगे।
दिया गया है कि $\triangle OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $\angle POD = 30^{\circ}$,जहाँ $D$ बिंदु $(a \sec \theta, 0)$ है।
$\triangle OPD$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{PD}{OD} = \frac{b \tan \theta}{a \sec \theta}$ है।
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b}{a} \sin \theta \implies \frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3} \sin \theta}$।
हम जानते हैं कि $e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{1}{3 \sin^2 \theta}$ होता है।
चूँकि $0 < \sin^2 \theta < 1$,इसलिए $\sin^2 \theta < 1$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{\sin^2 \theta} > 1$ है।
अतः,$e^2 = 1 + \frac{1}{3 \sin^2 \theta} > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$।
इस प्रकार,$e > \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$।

(D) माना $P$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ हैं। चूंकि $PQ$ एक द्वि-कोटि है,$Q$ के निर्देशांक $(x_1, -y_1)$ होंगे।
$\Delta OPQ$ समबाहु है और $M$,$PQ$ का मध्यबिंदु $x$-अक्ष पर है,इसलिए $\angle POM = 30^{\circ}$ होगा।
$\Delta OMP$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{y_1}{x_1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिससे $x_1 = \sqrt{3} y_1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $P$ अतिपरवलय पर स्थित है,$\frac{3y_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} = 1$ होगा।
इससे $y_1^2 \left( \frac{3b^2 - a^2}{a^2b^2} \right) = 1$ मिलता है। $y_1^2 > 0$ के लिए,$3b^2 > a^2$ अर्थात $\frac{b^2}{a^2} > \frac{1}{3}$ होना चाहिए।
$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2}$ का उपयोग करने पर,$e^2 > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$,अर्थात $e > \frac{2}{\sqrt{3}}$।

(C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{\cos^{2} \alpha} - \frac{y^{2}}{\sin^{2} \alpha} = 1$ है।
इसे मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के साथ तुलना करने पर,$a^{2} = \cos^{2} \alpha$ और $b^{2} = \sin^{2} \alpha$ प्राप्त होता है।
नाभियों के निर्देशांक $(\pm ae, 0)$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $ae = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ है।
मान रखने पर,$ae = \sqrt{\cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha} = \sqrt{1} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभियाँ $(\pm 1, 0)$ हैं,जो $\alpha$ से स्वतंत्र हैं।
इसलिए,$\alpha$ के बदलने पर भी नाभियाँ स्थिर रहती हैं।

(A) दिया गया समीकरण $3x^{2}-3y^{2}-18x+12y+2=0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3(x-3)^{2} - 3(y-2)^{2} = 13$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{(x-3)^{2}}{13/3} - \frac{(y-2)^{2}}{13/3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^{2} = 13/3$ और $b^{2} = 13/3$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{2}$ है।
नियता का समीकरण $x = h \pm \frac{a}{e}$ के अनुसार $x = 3 \pm \sqrt{\frac{13}{6}}$ है।

(B) माना कि संयुग्मी अक्ष की लंबाई $2b$ है और अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a$ है।
दिया गया है कि संयुग्मी अक्ष की लंबाई अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई से अधिक है,इसलिए $2b > 2a$,जिसका अर्थ है $b > a$।
अतिपरवलय के लिए,उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है।
चूंकि $b > a$,इसलिए $\frac{b^2}{a^2} > 1$ होता है।
अतः,$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} > 1 + 1 = 2$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $e > \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+9y^{2}=9$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^{2}=9$ और $b^{2}=1$,इसलिए $a=3$ और $b=1$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e_{e} = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1-\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3}$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_{h}$,$e_{e}$ का व्युत्क्रम है,इसलिए $e_{h} = \frac{3}{\sqrt{8}}$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_{h} = \sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}$ होती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$e_{h}^{2} = 1+\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{9}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{9}{8}-1 = \frac{1}{8}$ है।
इसलिए,अनुपात $a^{2}:b^{2} = 8:1$ है।

(B) दिया है,अतिपरवलय की अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2 a_{1} = 2 \sin \theta$ है,इसलिए $a_{1} = \sin \theta$.
दीर्घवृत्त $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$ के लिए,$12$ से भाग देने पर $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^{2} = 4$ और $b^{2} = 3$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$,अतः $3 = 4(1 - e^{2})$,जिससे $e^{2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है,अर्थात $e = \frac{1}{2}$।
दीर्घवृत्त की नाभि $(\pm ae, 0) = (\pm 2 \times \frac{1}{2}, 0) = (\pm 1, 0)$ है।
चूंकि अतिपरवलय दीर्घवृत्त के साथ संनाभिक है,इसलिए इसकी नाभि $(\pm 1, 0)$ है।
अतिपरवलय के लिए,$a_{1} e_{1} = 1$ है। $a_{1} = \sin \theta$ रखने पर,$e_{1} = \frac{1}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta$ प्राप्त होता है।
अब,$b_{1}^{2} = a_{1}^{2}(e_{1}^{2} - 1) = a_{1}^{2} e_{1}^{2} - a_{1}^{2} = 1 - \sin^{2} \theta = \cos^{2} \theta$ है।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1$ है,जो $\frac{x^{2}}{\sin^{2} \theta} - \frac{y^{2}}{\cos^{2} \theta} = 1$ बन जाता है।
अतः $x^{2} \operatorname{cosec}^{2} \theta - y^{2} \sec^{2} \theta = 1$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए बिंदु $M$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं। मान लीजिए $\angle MAB = \theta$,तो $\angle MBA = 2\theta$ होगा।
$A(-1, 0)$ और $B(2, 0)$ के निर्देशांकों से,हमारे पास है:
$\tan \theta = \frac{k}{h - (-1)} = \frac{k}{h+1}$
$\tan(\pi - 2\theta) = \frac{k}{h-2} \implies -\tan 2\theta = \frac{k}{h-2} \implies \tan 2\theta = \frac{k}{2-h}$
सर्वसमिका $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{k}{2-h} = \frac{2(\frac{k}{h+1})}{1 - (\frac{k}{h+1})^2}$
$\frac{k}{2-h} = \frac{2k(h+1)}{(h+1)^2 - k^2}$
मान लीजिए $k \neq 0$,तो $k$ से भाग देने पर:
$\frac{1}{2-h} = \frac{2(h+1)}{(h+1)^2 - k^2}$
$(h+1)^2 - k^2 = 2(h+1)(2-h)$
$h^2 + 2h + 1 - k^2 = 2(2h - h^2 + 2 - h) = 2(-h^2 + h + 2) = -2h^2 + 2h + 4$
$3h^2 - k^2 = 3$
यह एक अतिपरवलय का समीकरण है।

(A) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है।
दिया है,नाभियाँ $(\pm 8, 0) = (\pm ae, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 8$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = 24$ है,जिसका अर्थ है $b^{2} = 12a$।
हम जानते हैं कि $b^{2} = a^{2}(e^{2} - 1) = a^{2}e^{2} - a^{2}$।
$ae = 8$ और $b^{2} = 12a$ रखने पर,हमें $12a = 8^{2} - a^{2}$ प्राप्त होता है।
$a^{2} + 12a - 64 = 0$।
$(a + 16)(a - 4) = 0$।
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 4$ है।
तब $b^{2} = 12(4) = 48$।
$a^{2} = 16$ और $b^{2} = 48$ को मानक समीकरण में रखने पर: $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{48} = 1$।
$48$ से गुणा करने पर,हमें $3x^{2} - y^{2} = 48$ प्राप्त होता है।

(D) माना $e$ अतिपरवलय की उत्केंद्रता (eccentricity) है। केंद्र $(0, 0)$,शीर्ष $(a, 0)$ और नाभि $(ae, 0)$ है।
चूंकि शीर्ष $(a, 0)$,केंद्र $(0, 0)$ और नाभि $(ae, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को समद्विभाजित करता है,इसलिए:
$a = \frac{ae + 0}{2}$ $\Rightarrow 2a = ae$ $\Rightarrow e = 2$.
अतिपरवलय के लिए,$b^{2} = a^{2}(e^{2} - 1)$.
$e = 2$ रखने पर,$b^{2} = a^{2}(2^{2} - 1) = 3a^{2}$.
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है।
$b^{2} = 3a^{2}$ रखने पर,$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3a^{2}} = 1$.
$3a^{2}$ से गुणा करने पर,$3x^{2} - y^{2} = 3a^{2}$ प्राप्त होता है।

(D) अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार,यह एक ऐसे बिंदु का बिंदुपथ है जो इस प्रकार गति करता है कि दो स्थिर बिंदुओं से उसकी दूरियों का अंतर सदैव अचर रहता है।
यहाँ स्थिर बिंदु $(8,0)$ और $(-8,0)$ अतिपरवलय की नाभियाँ हैं।
अचर अंतर $2a = 4$ दिया गया है।
चूंकि दो स्थिर बिंदुओं से दूरियों का अंतर अचर है,इसलिए यह बिंदुपथ एक अतिपरवलय को दर्शाता है।

(C) अतिपरवलय का समीकरण: $4x^2 - 9y^2 = 36$ है।
दोनों पक्षों को $36$ से विभाजित करने पर: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
अतः,$a = 3$ और $b = 2$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a^2}}$ है।
मान रखने पर: $e = \sqrt{\frac{9 + 4}{9}} = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$।

(C) दिया गया अतिपरवलय का समीकरण $x^{2}-y^{2}+1=0$ है,जिसे $y^{2}-x^{2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे मानक रूप $\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1$ से तुलना करने पर,$a^{2}=1$ और $b^{2}=1$ प्राप्त होता है,अतः $a=1$ और $b=1$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{a^{2}}{b^{2}}} = \sqrt{1+\frac{1}{1}} = \sqrt{2}$ है।
नाभियाँ $(0, \pm be) = (0, \pm \sqrt{2})$ हैं।
इन नाभियों को जोड़ने वाला रेखाखंड वृत्त का व्यास है।
वृत्त का केंद्र नाभियों का मध्यबिंदु है: $(\frac{0+0}{2}, \frac{\sqrt{2}+(-\sqrt{2})}{2}) = (0,0)$।
व्यास की लंबाई $(0, \sqrt{2})$ और $(0, -\sqrt{2})$ के बीच की दूरी है,जो $2\sqrt{2}$ है।
अतः,त्रिज्या $r = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ है।
केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r=\sqrt{2}$ वाले वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ अर्थात $x^{2}+y^{2}=2$ है।

(A) $(\pm ae, 0)$ नाभियों वाले अतिपरवलय का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
यहाँ $ae = 2$ और $b^2 = 4 - a^2$ है।
बिंदु $P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ को रखने पर,$\frac{2}{a^2} - \frac{3}{4 - a^2} = 1$ प्राप्त होता है।
हल करने पर $a^2 = 1$ और $b^2 = 3$ मिलता है।
अतः समीकरण $\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$ है।
$P(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x\sqrt{2}}{1} - \frac{y\sqrt{3}}{3} = 1$ होगा।
जिसे सरल करने पर $y = x\sqrt{6} - \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(A, C) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $5x^{2}-y^{2}=5$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{5}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^{2}=1$ और $b^{2}=5$ है।
$m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}}$ है,जो $y=mx \pm \sqrt{m^{2}-5}$ हो जाता है।
चूंकि स्पर्शरेखा $(2, 8)$ से गुजरती है,इसलिए $8=2m \pm \sqrt{m^{2}-5}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $8-2m = \pm \sqrt{m^{2}-5}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(8-2m)^{2} = m^{2}-5$।
$64+4m^{2}-32m = m^{2}-5$।
$3m^{2}-32m+69=0$।
$m$ के लिए हल करने पर: $(3m-23)(m-3)=0$,अतः $m=3$ या $m=\frac{23}{3}$।
$m=3$ के लिए,स्पर्शरेखा का समीकरण $y-8=3(x-2) \Rightarrow 3x-y+2=0$ है।
$m=\frac{23}{3}$ के लिए,स्पर्शरेखा का समीकरण $y-8=\frac{23}{3}(x-2) \Rightarrow 23x-3y-22=0$ है।
अतः,$3x-y+2=0$ और $23x-3y-22=0$ दोनों मान्य स्पर्शरेखाएँ हैं।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है। नाभि $S$ बिंदु $(ae, 0)$ है।
रेखा $bx-ay=0$ है। नाभि $S(ae, 0)$ से रेखा $bx-ay=0$ पर लंब $SP$ की लंबाई:
$SP = \left| \frac{b(ae) - a(0)}{\sqrt{b^{2}+(-a)^{2}}} \right| = \frac{abe}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}$.
चूँकि $b^{2} = a^{2}(e^{2}-1)$,इसलिए $a^{2}+b^{2} = a^{2}e^{2}$,अतः $\sqrt{a^{2}+b^{2}} = ae$.
इस प्रकार,$SP = \frac{abe}{ae} = b$.
दूरी $CS = ae$ है। समकोण त्रिभुज $\Delta SPC$ में,$CP^{2} = CS^{2} - SP^{2}$.
$CP^{2} = (ae)^{2} - b^{2} = a^{2}e^{2} - b^{2} = a^{2}(1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}) - b^{2} = a^{2} + b^{2} - b^{2} = a^{2}$.
इसलिए,$CP = a$.
$SP$ और $CP$ भुजाओं वाले आयत का क्षेत्रफल $SP \times CP = b \times a = ab$ है।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है और $\Delta OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है।
$P$ और $Q$ के निर्देशांक $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ और $(a \sec \theta, -b \tan \theta)$ हैं।
$\Delta OPQ$ में,$OP = PQ \Rightarrow OP^2 = PQ^2$.
$a^2 \sec^2 \theta + b^2 \tan^2 \theta = (2b \tan \theta)^2 = 4b^2 \tan^2 \theta$.
$a^2 \sec^2 \theta = 3b^2 \tan^2 \theta$.
$a^2 (1 + \tan^2 \theta) = 3b^2 \tan^2 \theta$.
$a^2 = (3b^2 - a^2) \tan^2 \theta$.
$\tan^2 \theta = \frac{a^2}{3b^2 - a^2}$.
चूँकि $\tan^2 \theta > 0$,इसलिए $3b^2 - a^2 > 0 \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} > \frac{1}{3}$.
$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} > 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
अतः,$e > \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(D) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ है।
यहाँ $a=2$ और $b=3$ है,इसलिए $a^2+b^2 = 4+9 = 13$ है।
$A(2 \sec \theta, 3 \tan \theta)$ पर अभिलंब: $2x \cos \theta + 3y \cot \theta = 13$ --- $(1)$
चूँकि $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,इसलिए $\sec \phi = \csc \theta$ और $\tan \phi = \cot \theta$ है।
$B(2 \csc \theta, 3 \cot \theta)$ पर अभिलंब: $2x \sin \theta + 3y \tan \theta = 13$ --- $(2)$
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\alpha, \beta)$ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $\sin \theta$ से और $(2)$ को $\cos \theta$ से गुणा करके $x$ को विलुप्त करने पर:
$2x \sin \theta \cos \theta + 3y \cos \theta = 13 \sin \theta$
$2x \sin \theta \cos \theta + 3y \sin \theta = 13 \cos \theta$
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $3y(\cos \theta - \sin \theta) = 13(\sin \theta - \cos \theta)$।
चूँकि $\theta \neq \frac{\pi}{4}$,इसलिए $(\cos \theta - \sin \theta)$ से भाग देने पर:
$3y = -13 \implies y = -\frac{13}{3}$।
अतः,$\beta = -\frac{13}{3}$।

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2 + b^2$ होता है।
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है,इसलिए $a = 3$ और $b = 2$ है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण: $3x \cos \theta + 2y \cot \theta = 13$ ... $(1)$.
$Q$ पर अभिलंब का समीकरण: $3x \cos \phi + 2y \cot \phi = 13$.
चूँकि $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$,इसलिए $\cos \phi = \sin \theta$ और $\cot \phi = \tan \theta$ होगा।
अतः,$Q$ पर अभिलंब का समीकरण: $3x \sin \theta + 2y \tan \theta = 13$ ... $(2)$.
दोनों समीकरणों को हल करने पर,हमें $y = -\frac{13}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
चूंकि $P(4,3)$ अतिपरवलय पर स्थित है,इसलिए $\frac{16}{a^{2}}-\frac{9}{b^{2}}=1$ $(i)$.
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^{2}x}{x_1} + \frac{b^{2}y}{y_1} = a^{2} + b^{2}$ है।
$(x_1, y_1) = (4,3)$ रखने पर,अभिलंब का समीकरण $\frac{a^{2}x}{4} + \frac{b^{2}y}{3} = a^{2} + b^{2}$ है।
चूंकि अभिलंब $(16,0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=16$ और $y=0$ रखने पर:
$\frac{a^{2}(16)}{4} + 0 = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow 4a^{2} = a^{2} + b^{2}$ $\Rightarrow 3a^{2} = b^{2}$.
$b^{2} = 3a^{2}$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$\frac{16}{a^{2}} - \frac{9}{3a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{16}{a^{2}} - \frac{3}{a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{13}{a^{2}} = 1$ $\Rightarrow a^{2} = 13$.
अतः $b^{2} = 3(13) = 39$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 + \frac{39}{13}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

(B) रेखा का समीकरण $(a-1)x - by + 4 = 0$ है।
इसकी प्रवणता $m = \frac{a-1}{b}$ है।
अतिपरवलय $xy = 1$ है,अतः $y = \frac{1}{x}$।
अवकलन $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$ है।
अभिलंब की प्रवणता $x_0^2$ है,जो सदैव धनात्मक $(x_0^2 > 0)$ होती है।
अतः,$\frac{a-1}{b} > 0$।
यह असमिका तब सत्य होती है यदि $(a-1 > 0 \text{ और } b > 0)$ या $(a-1 < 0 \text{ और } b < 0)$ हो।
यह $(a > 1, b > 0)$ या $(a < 1, b < 0)$ में सरल हो जाता है।
इसलिए,शर्तें $a > 1, b < 0$ और $a < 1, b > 0$ सत्य नहीं हैं।

(B) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ है।
यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 9$ है।
समांतर जीवाओं की ढाल $m = 2$ है।
अतिपरवलय के व्यास का समीकरण $y = \frac{b^2}{a^2 m} x$ होता है।
मान रखने पर,$y = \frac{9}{4 \times 2} x = \frac{9}{8} x$ प्राप्त होता है।
अतः,$8y = 9x$ या $9x - 8y = 0$ है।

(D) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$x-2y=t$ $(i)$
$x+2y=\frac{1}{t}$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का गुणा करने पर:
$(x-2y)(x+2y) = t \times \frac{1}{t}$
$x^2 - 4y^2 = 1$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{1/4} = 1$
यह एक अतिपरवलय को दर्शाता है जहाँ $a^2 = 1$ और $b^2 = \frac{1}{4}$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1/4}{1}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
केंद्र $(0,0)$ है और नाभियाँ $(\pm ae, 0) = \left(\pm 1 \times \frac{\sqrt{5}}{2}, 0\right) = \left(\pm \frac{\sqrt{5}}{2}, 0\right)$ हैं।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{169}=1$ है। यहाँ $a^{2}=144$ और $b^{2}=169$ है। चूँकि $b^{2} > a^{2}$,नाभियाँ $y$-अक्ष पर स्थित हैं।
दीर्घवृत्त के लिए,$e_{E} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \frac{5}{13}$ है।
नाभियाँ $(0, \pm 5)$ हैं।
अतिपरवलय $\frac{y^{2}}{\lambda^{2}} - \frac{x^{2}}{16} = 1$ है। यहाँ $a^{2} = \lambda^{2}$ और $b^{2} = 16$ है।
नाभियाँ $(0, \pm \sqrt{\lambda^{2} + 16})$ हैं।
तुलना करने पर,$\sqrt{\lambda^{2} + 16} = 5$ $\Rightarrow \lambda^{2} = 9$ $\Rightarrow \lambda = 3$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{5}{3}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $L = \frac{2(16)}{3} = \frac{32}{3}$ है।
अतः,$24(e+L) = 24(\frac{5}{3} + \frac{32}{3}) = 296$।

(D) $P (10, 2 \sqrt{15})$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित है।
$\frac{100}{a^2} - \frac{60}{b^2} = 1 \dots (1)$.
नाभिलंब की लंबाई $= 8$ दी गई है,अतः $\frac{2b^2}{a} = 8 \Rightarrow b^2 = 4a \dots (2)$.
$(2)$ को $(1)$ में रखने पर: $\frac{100}{a^2} - \frac{60}{4a} = 1 \Rightarrow \frac{100}{a^2} - \frac{15}{a} = 1$.
$100 - 15a = a^2 \Rightarrow a^2 + 15a - 100 = 0$.
$(a + 20)(a - 5) = 0$. चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 5$.
अतः $b^2 = 4(5) = 20$.
अतिपरवलय $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{20} = 1$ है।
यहाँ $a^2 = 25, b^2 = 20$. उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{20}{25}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$.
नाभियों के बीच की दूरी $SS' = 2ae = 2(5)(\frac{3\sqrt{5}}{5}) = 6\sqrt{5}$.
$\Delta PSS'$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (SS') \times |y_P| = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{5} \times 2\sqrt{15} = 30\sqrt{3}$.
क्षेत्रफल का वर्ग $= (30\sqrt{3})^2 = 2700$.

(B) अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ दिया गया है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 + \frac{b^2}{4} = 3$ $\Rightarrow \frac{b^2}{4} = 2$ $\Rightarrow b^2 = 8$.
अतः,अतिपरवलय $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{8} = 1$ है।
मान लीजिए $P = (x_0, y_0)$ है। चूँकि $PQ$,$x$-अक्ष के लंबवत है और $OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए $\angle POM = 30^{\circ}$ होगा,जहाँ $M$,$P$ से $x$-अक्ष पर लंब का पाद है।
$\triangle OMP$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{PM}{OM} = \frac{y_0}{x_0} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x_0 = \sqrt{3}y_0$.
चूँकि $P$ अतिपरवलय पर स्थित है,$\frac{(\sqrt{3}y_0)^2}{4} - \frac{y_0^2}{8} = 1 \Rightarrow \frac{3y_0^2}{4} - \frac{y_0^2}{8} = 1$.
$\frac{6y_0^2 - y_0^2}{8} = 1$ $\Rightarrow \frac{5y_0^2}{8} = 1$ $\Rightarrow y_0^2 = \frac{8}{5}$ $\Rightarrow y_0 = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
त्रिभुज $OPQ$ की ऊँचाई $OM = x_0 = \sqrt{3}y_0 = \sqrt{3} \times \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$.
त्रिभुज का आधार $PQ = 2y_0 = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
$\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \times \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{12}}{5} = \frac{8\sqrt{3}}{5}$.

(D) फलन $f(x) = \log_{3}\log_{5}\log_{7}(9x - x^{2} - 13)$ के परिभाषित होने के लिए,हमें आवश्यकता है:
$\log_{5}\log_{7}(9x - x^{2} - 13) > 0 \implies \log_{7}(9x - x^{2} - 13) > 1 \implies 9x - x^{2} - 13 > 7$
$x^{2} - 9x + 20 < 0 \implies (x - 4)(x - 5) < 0 \implies x \in (4, 5)$.
अतः,$m = 4$ और $n = 5$.
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e = \frac{n}{3} = \frac{5}{3}$.
चूंकि $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$,हमारे पास $\frac{25}{9} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} \implies \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{16}{9} \implies \frac{b}{a} = \frac{4}{3} \implies b = \frac{4a}{3}$.
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{8m}{3} = \frac{32}{3}$ है।
$b = \frac{4a}{3}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2(16a^{2}/9)}{a} = \frac{32}{3} \implies \frac{32a}{9} = \frac{32}{3} \implies a = 3$.
तब $b = \frac{4(3)}{3} = 4$.
अतः,$b^{2} - a^{2} = 16 - 9 = 7$.

(B) रेखा का समीकरण $y = \frac{1-\alpha x}{2}$ है।
इसे अतिपरवलय के समीकरण $x^2 - 9y^2 = 9$ में रखने पर:
$x^2 - 9\left(\frac{1-\alpha x}{2}\right)^2 = 9$
$(4 - 9\alpha^2)x^2 + 18\alpha x - 45 = 0$
चूंकि रेखा अतिपरवलय को नहीं काटती है,इसलिए विविक्तकर $D < 0$:
$D = (18\alpha)^2 - 4(4 - 9\alpha^2)(-45) < 0$
$-1296\alpha^2 + 720 < 0$
$\alpha^2 > \frac{5}{9}$
$|\alpha| > \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.745$
दिए गए विकल्पों में से,$0.745$ से बड़ा मान $0.8$ है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ के लिए,$a^2=36$ और $b^2=16$ है।
उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1-\frac{16}{36}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
नाभियाँ $(\pm 2\sqrt{5}, 0)$ हैं।
अतिपरवलय के लिए,$Ae = 2\sqrt{5}$ और $e=5$ होने के कारण $A = \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $e^2 = 1 + \frac{B^2}{A^2}$ का उपयोग करने पर,$25 = 1 + \frac{B^2}{4/5} \Rightarrow B^2 = \frac{96}{5}$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2B^2}{A} = \frac{2(96/5)}{2/\sqrt{5}} = \frac{96}{\sqrt{5}}$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $6e^2 - 11e + 3 = 0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(2e - 3)(3e - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $e = 3/2$ या $e = 1/3$ प्राप्त होता है।
चूंकि अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e > 1$ होनी चाहिए,इसलिए हम $e = 3/2$ लेते हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = \sqrt{(3 - 3)^2 + (5 - (-4))^2} = \sqrt{0^2 + 9^2} = 9$ है।
$e = 3/2$ रखने पर,हमें $2a(3/2) = 9$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3a = 9$ हो जाता है,अतः $a = 3$।
अतिपरवलय के लिए,$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
मान रखने पर,$b^2 = 3^2((3/2)^2 - 1) = 9(9/4 - 1) = 9(5/4) = 45/4$।
नाभिलंब की लंबाई $LR = \frac{2b^2}{a}$ द्वारा दी जाती है।
$LR = \frac{2(45/4)}{3} = \frac{45/2}{3} = 15/2$।

(B) दिए गए समीकरण $15(e^2 + 1) = 34e$ को हम $15e^2 - 34e + 15 = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(3e - 5)(5e - 3) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि अतिपरवलय के लिए उत्केंद्रता $e > 1$ होती है,इसलिए हम $e = 5/3$ लेंगे।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$a, b,$ और $e$ के बीच संबंध $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ होता है।
$e = 5/3$ रखने पर,हमें $b^2 = a^2((5/3)^2 - 1) = a^2(25/9 - 1) = 16a^2/9$ प्राप्त होता है।
चूंकि अतिपरवलय $(6, 4\sqrt{3})$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{6^2}{a^2} - \frac{(4\sqrt{3})^2}{b^2} = 1$,जो सरल होकर $\frac{36}{a^2} - \frac{48}{b^2} = 1$ हो जाता है।
$b^2 = 16a^2/9$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{36}{a^2} - \frac{48}{16a^2/9} = 1 \implies \frac{36}{a^2} - \frac{27}{a^2} = 1 \implies \frac{9}{a^2} = 1 \implies a^2 = 9$ प्राप्त होता है।
अतः $b^2 = 16(9)/9 = 16$ है।
अब दूसरे अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2(a^2 + 1)} = 1$ पर विचार करें। यहाँ $a^2 = 9$ और $b'^2 = 2(9 + 1) = 20$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b'^2}{a} = \frac{2(20)}{\sqrt{9}} = \frac{40}{3}$ है।

(A) नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 6$ है,इसलिए $ae = 3$।
नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e} = \frac{8}{3}$ है,इसलिए $\frac{a}{e} = \frac{4}{3}$।
दोनों का गुणा करने पर,$a^2 = 3 \times \frac{4}{3} = 4$,इसलिए $a = 2$।
अब $e^2 = \frac{ae}{a/e} = \frac{3}{4/3} = \frac{9}{4}$,इसलिए $e = \frac{3}{2}$।
$b^2 = a^2(e^2 - 1)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 4(\frac{9}{4} - 1) = 4(\frac{5}{4}) = 5$।
अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$ है।
रेखा $x = k$ के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ और $B$ $(k, y_1)$ और $(k, -y_1)$ हैं,जहाँ $\frac{k^2}{4} - \frac{y_1^2}{5} = 1$,इसलिए $y_1^2 = 5(\frac{k^2}{4} - 1)$।
त्रिभुज $AOB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (2y_1) \times k = k y_1 = 4\sqrt{15}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$k^2 y_1^2 = 16 \times 15 = 240$।
$y_1^2$ का मान रखने पर,$k^2 \times 5(\frac{k^2}{4} - 1) = 240 \implies k^2(\frac{k^2 - 4}{4}) = 48 \implies k^4 - 4k^2 - 192 = 0$।
$u = k^2$ लेने पर,$u^2 - 4u - 192 = 0 \implies (u - 16)(u + 12) = 0$।
चूंकि $k^2 > 0$,इसलिए $k^2 = 16$,अतः $k = 4$।
नोट: प्रश्न में $a^2$ पूछा गया है जो $4$ है।

(C) मान लीजिए $P = (x_1, y_1)$ और $Q = (x_2, y_2)$ अतिपरवलय $xy = 12$ पर स्थित बिंदु हैं।
$PQ$ का मध्यबिंदु $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ है।
इससे $x_1+x_2 = 1$ और $y_1+y_2 = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y_i = \frac{12}{x_i}$,हमारे पास $\frac{12}{x_1} + \frac{12}{x_2} = -1$ है,जिसका अर्थ है $12(x_1+x_2) = -x_1x_2$।
$x_1+x_2 = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$12(1) = -x_1x_2$,अतः $x_1x_2 = -12$।
शीर्षों $O(0,0)$,$P(x_1, y_1)$,और $Q(x_2, y_2)$ वाले $\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1|$ होता है।
$y_i = \frac{12}{x_i}$ रखने पर,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(\frac{12}{x_2}) - x_2(\frac{12}{x_1})| = 6 |\frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1x_2}| = 6 |\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{x_1x_2}|$ है।
हम जानते हैं कि $(x_1-x_2)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2 = (1)^2 - 4(-12) = 1 + 48 = 49$,इसलिए $|x_1-x_2| = 7$।
अतः,क्षेत्रफल $6 |\frac{7 \times 1}{-12}| = 6 \times \frac{7}{12} = \frac{7}{2}$ है।

(A) अतिपरवलय का समीकरण $16x^2 - 9y^2 = 144$ है,जिसे $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
रेखा के समीकरण $8x - 3y = 24$ से,$y = \frac{8x - 24}{3}$ प्राप्त होता है।
$y$ का मान अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर: $16x^2 - 9(\frac{8x-24}{3})^2 = 144 \implies 16x^2 - (8x-24)^2 = 144 \implies 16x^2 - (64x^2 - 384x + 576) = 144 \implies -48x^2 + 384x - 720 = 0 \implies x^2 - 8x + 15 = 0$.
$x$ के लिए हल करने पर,$(x-3)(x-5) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 3$ और $x = 5$ है।
क्षेत्रफल $A = \int_{3}^{5} (\frac{8x-24}{3} - \sqrt{\frac{16}{9}(x^2-9)}) dx = \int_{3}^{5} (\frac{8}{3}(x-3) - \frac{4}{3}\sqrt{x^2-9}) dx$.
समाकलन करने पर: $[\frac{4}{3}(x-3)^2 - \frac{4}{3}(\frac{x}{2}\sqrt{x^2-9} - \frac{9}{2}\ln|x+\sqrt{x^2-9}|)]_{3}^{5}$.
$x=5$ पर: $\frac{4}{3}(4) - \frac{4}{3}(\frac{5}{2}(4) - \frac{9}{2}\ln(5+4)) = \frac{16}{3} - \frac{40}{3} + 6\ln(9) = -8 + 12\ln(3)$.
$x=3$ पर: $\frac{4}{3}(0) - \frac{4}{3}(0 - \frac{9}{2}\ln(3)) = 6\ln(3)$.
$A = (-8 + 12\ln(3)) - (6\ln(3)) = 6\ln(3) - 8$.
अतः,$3(A + 6\ln(3)) = 3(6\ln(3) - 8 + 6\ln(3)) = 3(12\ln(3) - 8) = 36\ln(3) - 24$। प्रश्न में अचर पद $-24$ है।