यदि समान मुख्य अक्ष $2a$ वाले लेकिन परिवर्तनीय लघु अक्ष वाले कई दीर्घवृत्त खींचे जाएं,तो उनके नाभिलंब के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएं जिन निश्चित बिंदुओं से होकर गुजरती हैं,वे हैं:

वक्रों $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ और $x^{2}+y^{2}=ab$,जहाँ $a > b$ है,के प्रतिच्छेदन का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि $P(\alpha, \beta)$ प्रथम चतुर्थांश में वक्र $9x^2 + 4y^2 = 144$ पर एक बिंदु है और $P$ पर वक्र की स्पर्शरेखा द्वारा निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का न्यूनतम क्षेत्रफल $S$ है,तो

मान लीजिए कि दो दीर्घवृत्तों $E_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, (a > b)$ और $E_2: \frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1, (A < B)$ में से प्रत्येक की उत्केंद्रता $\frac{4}{5}$ है। यदि $E_1$ और $E_2$ के नाभिलंब की लंबाई क्रमशः $\ell_1$ और $\ell_2$ है,इस प्रकार कि $2\ell_1^2 = 9\ell_2$ है। यदि $E_1$ की नाभियों के बीच की दूरी $8$ है,तो $E_2$ की नाभियों के बीच की दूरी है:

उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए,जिसकी दीर्घ अक्ष की लंबाई $20$ है और नाभियाँ $(0, \pm 5)$ हैं।

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के स्पर्श रेखाओं के अक्षों के बीच के भाग के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ क्या होगा?