$(3, 1)$ और $(1, 1)$ पर नाभियों वाला एक दीर्घवृत्त $(1, 3)$ बिंदु से होकर गुजरता है,तो इसकी उत्केंद्रता क्या है?

कथन $-1$: यदि एक बिंदु से एक दीर्घवृत्त (ellipse) पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं और यदि वे एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो उस बिंदु का बिंदुपथ हमेशा एक वृत्त होता है।
कथन $-2$: दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उस बिंदु का बिंदुपथ जहाँ से दो लंबवत स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं,$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ है।

यदि $P(\theta)$ और $Q\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ पर दो बिंदु हैं और $PQ$ के मध्यबिंदु का बिंदुपथ $\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1$ है,तो $\frac{a+b}{\alpha+\beta}=$

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई इसके अर्ध-दीर्घ अक्ष (semi-major axis) की लंबाई के बराबर है। यदि इसके निर्देशक वृत्त (director circle) की त्रिज्या $\sqrt{3}$ है और $e$ इसकी उत्केंद्रता (eccentricity) है,तो इसके नाभिलंब की लंबाई क्या है?

$S$ और $T$ एक दीर्घवृत्त की नाभियाँ हैं और $B$ लघु अक्ष का अंतिम बिंदु है। यदि $\triangle STB$ एक समबाहु त्रिभुज है,तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता है

यदि एक दीर्घवृत्त (ellipse) जिसके अक्ष निर्देशांक अक्ष हैं,और इसकी मुख्य और लघु अक्षों की लंबाई क्रमशः $2a$ और $2b$ है,बिंदुओं $(2,2)$ और $(3,1)$ से होकर गुजरता है,तो $3a^2+5b^2=$