Pole and Polar Questions in Hindi

(A) वृत्त $x^2+y^2-2g_ix+c_i^2=0$ के सापेक्ष बिंदु $(\alpha_i, \beta_i)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $\alpha_ix + \beta_iy - g_i(x+\alpha_i) + c_i^2 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(\alpha_i - g_i)x + \beta_iy + (c_i^2 - \alpha_ig_i) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे दी गई रेखा $x - y = 0$ के साथ तुलना करने पर,गुणांकों का अनुपात समान होता है:
$\frac{\alpha_i - g_i}{1} = \frac{\beta_i}{-1} = \frac{c_i^2 - \alpha_ig_i}{0}$.
तीसरे भाग से,$c_i^2 - \alpha_ig_i = 0$,जिसका अर्थ है $c_i^2 = \alpha_ig_i$.
पहले दो भागों से,$\alpha_i - g_i = -\beta_i$,जिसका अर्थ है $\alpha_i + \beta_i = g_i$.
अतः,$\frac{\alpha_i + \beta_i}{g_i} = \frac{g_i}{g_i} = 1$.
$i=1, 2, 3$ के लिए इसका योग करने पर,$\sum_{i=1}^3 \frac{\alpha_i + \beta_i}{g_i} = 1 + 1 + 1 = 3$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ के ध्रुवीय का समीकरण $T=0$ होता है,जो $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2+4x-8y-5=0$ के लिए,$g=2, f=-4, c=-5$ है।
$(k, k+1)$ का ध्रुवीय:
$kx + (k+1)y + 2(x+k) - 4(y+k+1) - 5 = 0$
$kx + ky + y + 2x + 2k - 4y - 4k - 4 - 5 = 0$
$(k+2)x + (k-3)y - 2k - 9 = 0$
$k$ के सभी वास्तविक मानों के लिए यह समीकरण सत्य होने हेतु:
$k(x+y-2) + (2x-3y-9) = 0$
अतः,$x+y-2 = 0$ और $2x-3y-9 = 0$।
इन समीकरणों को हल करने पर,$x=3$ और $y=-1$ प्राप्त होता है।
अतः बिंदु $(3, -1)$ है।

(D) वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ होता है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2-4x-6y+1=0$ के लिए,$g=-2, f=-3, c=1$ है।
बिंदु $(2k, k-4)$ के लिए,ध्रुवीय रेखा का समीकरण:
$x(2k) + y(k-4) - 2(x+2k) - 3(y+k-4) + 1 = 0$
$2kx + ky - 4y - 2x - 4k - 3y - 3k + 12 + 1 = 0$
$k(2x + y - 7) - 2x - 7y + 13 = 0$
इस रेखा के $k$ के किसी भी मान के लिए एक निश्चित बिंदु से गुजरने के लिए,$k$ का गुणांक और अचर पद दोनों शून्य होने चाहिए:
$2x + y - 7 = 0$
$-2x - 7y + 13 = 0$
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $-6y + 6 = 0 \Rightarrow y = 1$.
$y=1$ को $2x + y - 7 = 0$ में रखने पर: $2x + 1 - 7 = 0$ $\Rightarrow 2x = 6$ $\Rightarrow x = 3$.
अतः,ध्रुवीय रेखा हमेशा बिंदु $(3, 1)$ से होकर गुजरती है।

(A) दो रेखाएँ $lx + my + n = 0$ और $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के सापेक्ष संयुग्मी होती हैं यदि पहली रेखा का ध्रुव (pole) दूसरी रेखा पर स्थित हो।
वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के सापेक्ष रेखा $lx + my + n = 0$ का ध्रुव $(x_1, y_1) = (-\frac{lr^2}{n}, -\frac{mr^2}{n})$ है।
चूंकि यह बिंदु रेखा $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ पर स्थित है,इसलिए:
$l_1(-\frac{lr^2}{n}) + m_1(-\frac{mr^2}{n}) + n_1 = 0$
$-l_1lr^2 - m_1mr^2 + n_1n = 0$
$nn_1 = r^2(ll_1 + mm_1)$.

(C) वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(1, 2)$ की ध्रुवीय रेखा (polar) का समीकरण $x + y - 1 = 0$ है।
बिंदु $(1, 2)$ से इस रेखा पर डाले गए लंब का पाद $(\alpha, \beta)$ ज्ञात करने पर:
$\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{\beta - 2}{1} = -\frac{(1 + 2 - 1)}{1^2 + 1^2} = -1$.
अतः,$\alpha = 0$ और $\beta = 1$.
इसलिए,अभीष्ट बिंदु $(0, 1)$ है।

(C) वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ के लिए,केंद्र $C = (2, 3)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
बिंदु $P(1, 2)$ के लिए ध्रुवीय रेखा (polar) का समीकरण $x + y - 1 = 0$ है।
केंद्र $C(2, 3)$ और $P(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = x + 1$ है।
इन दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है,जो अभीष्ट प्रतिलोम बिंदु है।

(B) माना वृत्त $x^2+y^2=p^2$ पर बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
अतः $x_1^2+y_1^2=p^2$ है।
वृत्त $x^2+y^2=q^2$ के सापेक्ष $(x_1, y_1)$ का ध्रुवीय समीकरण $x x_1+y y_1=q^2$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2+y^2=r^2$ को स्पर्श करती है।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $x x_1+y y_1-q^2=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|0(x_1)+0(y_1)-q^2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} = r$ है।
$|q^2| = r \sqrt{x_1^2+y_1^2}$ है।
चूंकि $x_1^2+y_1^2=p^2$ है,इसलिए $q^2 = r \sqrt{p^2} = rp$ है।
इस प्रकार,$q^2 = pr$,जो दर्शाता है कि $p, q, r$ $GP$ में हैं।

(A) रेखा का समीकरण $x+4y-4=0$ है। इसे $lx+my+n=0$ से तुलना करने पर,$l=1, m=4, n=-4$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2+4y^2=4$ है,जिसे $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2=4$ और $b^2=1$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के सापेक्ष रेखा $lx+my+n=0$ के ध्रुव $(x_1, y_1)$ का सूत्र है:
$x_1 = -\frac{a^2l}{n}$ और $y_1 = -\frac{b^2m}{n}$।
मान रखने पर:
$x_1 = -\frac{4 \times 1}{-4} = 1$
$y_1 = -\frac{1 \times 4}{-4} = 1$
अतः,ध्रुव $(1,1)$ है।

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के सापेक्ष बिंदु $(\alpha, \beta)$ के ध्रुव का समीकरण $\frac{\alpha x}{a^2} - \frac{\beta y}{b^2} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया अतिपरवलय $9x^2 - 16y^2 = 144$ है,जिसे $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$(\alpha, \beta)$ के ध्रुव का समीकरण $\frac{\alpha x}{16} - \frac{\beta y}{9} = 1$ या $9\alpha x - 16\beta y - 144 = 0$ है।
इसे दी गई रेखा $3x - 16y + 48 = 0$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{9\alpha}{3} = \frac{-16\beta}{-16} = \frac{-144}{48}$.
$3\alpha = \beta = -3$.
इस प्रकार,$\alpha = -1$ और $\beta = -3$.
अतः,$\alpha - \beta = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$.

(C) रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं का समीकरण अतिपरवलय के समीकरण को समघात बनाकर प्राप्त किया जा सकता है: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = (\frac{x \cos \alpha + y \sin \alpha}{P})^2$.
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2(\frac{1}{9} - \frac{\cos^2 \alpha}{P^2}) + y^2(-\frac{1}{36} - \frac{\sin^2 \alpha}{P^2}) - \frac{2xy \cos \alpha \sin \alpha}{P^2} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखाएँ मूल बिंदु पर समकोण अंतरित करती हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए: $(\frac{1}{9} - \frac{\cos^2 \alpha}{P^2}) + (-\frac{1}{36} - \frac{\sin^2 \alpha}{P^2}) = 0$.
यह सरल होकर $\frac{1}{12} - \frac{1}{P^2} = 0$ हो जाता है,इसलिए $P^2 = 12$.
अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ के सापेक्ष बिंदु $(h, k)$ का ध्रुव $\frac{xh}{9} - \frac{yk}{36} = 1$ है।
इसकी तुलना $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ से करने पर,हमें $\frac{h/9}{\cos \alpha} = \frac{-k/36}{\sin \alpha} = \frac{1}{P}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos \alpha = \frac{Ph}{9}$ और $\sin \alpha = -\frac{Pk}{36}$.
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{P^2 h^2}{81} + \frac{P^2 k^2}{1296} = 1$ प्राप्त होता है।
$P^2 = 12$ रखने पर,$\frac{12h^2}{81} + \frac{12k^2}{1296} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{4h^2}{27} + \frac{k^2}{108} = 1$ हो जाता है।
$108$ से गुणा करने पर,$16h^2 + k^2 = 108$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $16x^2 + y^2 = 108$ है।