Mix Examples - Some Applications of Trigonometry Questions in Hindi

(C) माना $BC = 6\, m$ खंभे की ऊँचाई है और $AB = 2\sqrt{3}\, m$ जमीन पर बनी छाया की लंबाई है। माना सूर्य का उन्नयन कोण $\theta$ है।
समकोण $\triangle ABC$ में,हमारे पास है:
$\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{BC}{AB}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\tan \theta = \frac{6}{2\sqrt{3}}$
$\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{3}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\tan \theta = \frac{3 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए:
$\theta = 60^{\circ}$
अतः,सूर्य का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है।

(A) सत्य।
आकृति में,बिंदु $B$ को रेखाखंड $BC$ पर $C$ के करीब ले जाया जाता है। यह देखा गया है कि:
$(i)$ कोण $\theta$ बढ़ता है (जैसे $\theta_{1} > \theta, \theta_{2} > \theta_{1}, \dots$) और
(ii) आधार $BC$ की लंबाई घटती है (जैसे $B_{1}C < BC, B_{2}C < B_{1}C, \dots$)
एक समकोण त्रिभुज में,$\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AC}{BC}$ होता है।
चूंकि लंब $AC$ स्थिर रहता है और जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,आधार $BC$ घटता जाता है,इसलिए अनुपात $\frac{AC}{BC}$ बढ़ता है। अतः,जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,$\tan \theta$ का मान बढ़ता है।

(A) सत्य।
हम जानते हैं कि $0^\circ < \theta < 90^\circ$ के अंतराल में जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,$\sin \theta$ बढ़ता है,लेकिन $\cos \theta$ घटता है।
हमारे पास $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ है।
जैसे-जैसे $\theta$ का मान $0^\circ$ से $90^\circ$ की ओर बढ़ता है,$\sin \theta$ बढ़ता है (अंश बढ़ता है) और $\cos \theta$ घटता है (हर घटता है)।
चूंकि $\tan \theta$ एक बढ़ती हुई संख्या और एक घटती हुई संख्या का अनुपात है,इसलिए यह $\sin \theta$ की तुलना में काफी तेजी से बढ़ता है,जिसे $\frac{\sin \theta}{1}$ के रूप में देखा जा सकता है,जहाँ हर $1$ स्थिर रहता है।
अतः,जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,$\tan \theta$,$\sin \theta$ की तुलना में तेजी से बढ़ता है।

(B) असत्य।
मान लीजिए मीनार की ऊँचाई $h$ है और छाया की लंबाई $x$ है। सूर्य का उन्नयन कोण $\theta$ है। मीनार और उसकी छाया द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,हमारे पास $\tan(\theta) = \frac{h}{x}$ है।
जैसे-जैसे छाया की लंबाई $x$ बढ़ती है,भिन्न $\frac{h}{x}$ का मान घटता जाता है। चूँकि $0^\circ < \theta < 90^\circ$ के लिए $\tan(\theta)$ एक वर्धमान फलन है,इसलिए $\tan(\theta)$ में कमी का अर्थ है कि कोण $\theta$ का मान घट रहा है। अतः,जैसे-जैसे छाया की लंबाई बढ़ती है,सूर्य का उन्नयन कोण घटता है।

(B) असत्य।
मान लीजिए कि झील की सतह से बादल की ऊँचाई $H$ है। झील में बादल का प्रतिबिंब झील की सतह से $H$ गहराई पर बनेगा।
व्यक्ति झील की सतह से $3 \ m$ ऊपर एक प्लेटफॉर्म पर खड़ा है। मान लीजिए कि प्रेक्षक की आँख का स्तर $O$ है।
बादल का उन्नयन कोण $\theta_1$,$\tan(\theta_1) = \frac{H - 3}{x}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x$ व्यक्ति से बादल की क्षैतिज दूरी है।
प्रतिबिंब का अवनमन कोण $\theta_2$,$\tan(\theta_2) = \frac{H + 3}{x}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $H - 3 \neq H + 3$,इसलिए उन्नयन कोण $\theta_1$ अवनमन कोण $\theta_2$ के बराबर नहीं है।

(FALSE) असत्य।
$Case-I$: मान लीजिए मीनार की ऊँचाई $h$ है और आधार से दूरी $BC = x \ m$ है।
$\triangle ABC$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{AC}{BC} = \frac{h}{x}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x} \implies h = \frac{x}{\sqrt{3}}$ ... $(i)$
$Case-II$: दी गई शर्त के अनुसार,मीनार की ऊँचाई दोगुनी कर दी जाती है,अर्थात $h' = 2h$।
मान लीजिए नया उन्नयन कोण $\theta$ है।
नए त्रिभुज में,$\tan \theta = \frac{h'}{x} = \frac{2h}{x}$।
समीकरण $(i)$ से $h = \frac{x}{\sqrt{3}}$ रखने पर:
$\tan \theta = \frac{2(x/\sqrt{3})}{x} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547$।
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \approx 1.732$,और $\tan \theta \approx 1.1547 < 1.732$ है,इसलिए $\theta < 60^{\circ}$ होगा।
अतः,उन्नयन कोण दोगुना नहीं होता है।

(A) सत्य।
$Case-I$: मान लीजिए कि मीनार की ऊँचाई $h$ है और उसके पाद से प्रेक्षण बिंदु की दूरी $x$ है।
$\triangle ABC$ में,$\tan \theta_1 = \frac{h}{x}$,जिसका अर्थ है $\theta_1 = \tan^{-1}(\frac{h}{x})$ ... $(i)$
$Case-II$: अब,मीनार की ऊँचाई $10 \%$ बढ़ जाती है,इसलिए नई ऊँचाई $h' = h + 0.1h = 1.1h = \frac{11h}{10}$ है।
प्रेक्षण बिंदु की दूरी भी $10 \%$ बढ़ जाती है,इसलिए नई दूरी $x' = x + 0.1x = 1.1x = \frac{11x}{10}$ है।
नए त्रिभुज में,$\tan \theta_2 = \frac{h'}{x'} = \frac{1.1h}{1.1x} = \frac{h}{x}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta_2 = \tan^{-1}(\frac{h}{x})$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें $\theta_1 = \theta_2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,उन्नयन कोण अपरिवर्तित रहता है।

(A) माना $\overline{AC}$ सीढ़ी है और $\overline{AB}$ दीवार है।
यहाँ $AB = 3 \, m$,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\angle C = 30^{\circ}$ दिया गया है।
$\triangle ABC$ में,
$\sin C = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC}$
$\sin 30^{\circ} = \frac{3}{AC}$
चूँकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{2} = \frac{3}{AC}$
$AC = 3 \times 2 = 6 \, m$.
अतः,सीढ़ी की लंबाई $6 \, m$ है।

(B) माना कि $\overline{AB}$ इमारत है और $C$ जमीन पर खड़े व्यक्ति की स्थिति है।
दिया गया है कि दूरी $BC = 10 \, m$ है।
शीर्ष $A$ से व्यक्ति $C$ का अवनमन कोण $45^{\circ}$ है।
चूँकि दृष्टि रेखा जमीन के समानांतर है,इसलिए $C$ से $A$ का उन्नयन कोण अवनमन कोण के बराबर होगा,अतः $\angle ACB = 45^{\circ}$।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में:
$\tan(C) = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan(45^{\circ}) = \frac{AB}{10}$
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए:
$1 = \frac{AB}{10}$
$AB = 10 \, m$।
अतः,इमारत की ऊँचाई $10 \, m$ है।

(C) माना $\overline{AB}$ खंभा है और $\overline{AC}$ जमीन पर बिंदु $C$ पर टिका हुआ तार है।
दिया गया है: $AC = 7 \, m$,$m\angle B = 90^{\circ}$ और $m\angle C = 30^{\circ}$।
$\Delta ABC$ में,हमारे पास है:
$\sin C = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC}$
$\sin 30^{\circ} = \frac{AB}{7}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{2} = \frac{AB}{7}$
$AB = \frac{7}{2} = 3.5 \, m$।
अतः,खंभे की ऊंचाई $3.5 \, m$ है।

(D) माना $AB$ टॉवर है और $C$ जमीन पर स्थित पत्थर है।
दिया गया है कि टॉवर की ऊँचाई $AB = 30 \, m$ है।
शीर्ष $A$ से पत्थर $C$ का अवनमन कोण $45^{\circ}$ है।
चूँकि $A$ से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा जमीन $BC$ के समानांतर है,इसलिए $C$ से $A$ का उन्नयन कोण अवनमन कोण के बराबर होगा,अतः $\angle ACB = 45^{\circ}$।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC}$
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए:
$1 = \frac{30}{BC}$
$BC = 30 \, m$।
अतः,पत्थर और टॉवर के बीच की दूरी $30 \, m$ है।

(A) आकृति से,हम देख सकते हैं कि सूर्य का उन्नयन कोण छाया के अंतिम बिंदु से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण है।
यहाँ,$AB$ मीनार है और $BC$ इसकी छाया है।
दिया है,$AB = 30 \ m$,$\angle B = 90^\circ$ और $\angle C = 45^\circ$.
$\Delta ABC$ में,$\tan C = \frac{AB}{BC}$.
$\tan 45^\circ = \frac{30}{BC}$.
$1 = \frac{30}{BC}$.
$BC = 30 \ m$.
अतः,मीनार की छाया की लंबाई $30 \ m$ है।

(B) माना $\overline{AB}$ एक ऊर्ध्वाधर खंभा है और $C$ प्रेक्षण बिंदु है।
दिया गया है कि खंभे के आधार से दूरी $BC = 20\, m$ है और उन्नयन कोण $\angle C = 60^\circ$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में,जहाँ $\angle B = 90^\circ$ है:
$\tan C = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan 60^\circ = \frac{AB}{20}$
चूँकि $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$:
$\sqrt{3} = \frac{AB}{20}$
$AB = 20 \times \sqrt{3}$
$AB = 20 \times 1.732 = 34.64\, m$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,खंभे की ऊँचाई $34.6\, m$ है।

(C) माना $\overline{AB}$ मीनार है और $C$ वस्तु है।
दिया गया है कि मीनार के आधार से वस्तु की दूरी $BC = 30 \ m$ है।
शीर्ष $A$ से वस्तु $C$ का अवनमन कोण $45^\circ$ है,अतः $\angle XAC = 45^\circ$।
चूँकि दृष्टि रेखा जमीन के समानांतर है,इसलिए $\angle ACB = \angle XAC = 45^\circ$ (एकांतर अंतःकोण)।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में,जहाँ $\angle B = 90^\circ$:
$\tan(C) = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan(45^\circ) = \frac{AB}{30}$
चूँकि $\tan(45^\circ) = 1$,इसलिए:
$1 = \frac{AB}{30}$
$AB = 30 \ m$।
अतः,मीनार की ऊँचाई $30 \ m$ है।

(D) मान लीजिए $B$ इमारत का आधार है,$C$ पहली मंजिल है और $A$ पंद्रहवीं मंजिल है। मान लीजिए $P$ अवलोकन बिंदु है जहाँ $BP = 50 \ m$ है।
$\Delta CBP$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\angle CPB = 30^{\circ}$ है।
$\tan 30^{\circ} = \frac{CB}{BP}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{CB}{50}$
$CB = \frac{50}{\sqrt{3}} = \frac{50 \times 1.732}{3} \approx 28.87 \ m$.
$\Delta ABP$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ और $\angle APB = 60^{\circ}$ है।
$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BP}$
$\sqrt{3} = \frac{AB}{50}$
$AB = 50 \times \sqrt{3} = 50 \times 1.732 = 86.6 \ m$.
पहली मंजिल और पंद्रहवीं मंजिल के बीच की दूरी $AC = AB - CB$ है।
$AC = 86.6 - 28.87 = 57.73 \ m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $57.5 \ m$ है।

(N/A) माना $\overline{PM}$ पेड़ है और $\overline{OM}$ नदी की चौड़ाई है। $O$ और $A$ प्रेक्षण बिंदु हैं।
दिया है: $OA = 40 \ m$,$m\angle A = 30^{\circ}$,$m\angle O = 60^{\circ}$ और $m\angle M = 90^{\circ}$।
माना $OM = x \ m$ और $PM = h \ m$।
अतः,$MA = OM + OA = (x + 40) \ m$।
$\Delta PMO$ में,$m\angle M = 90^{\circ}$।
$\tan O = \frac{PM}{OM} \implies \tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies h = \sqrt{3}x \quad ...(1)$
$\Delta PMA$ में,$m\angle M = 90^{\circ}$।
$\tan A = \frac{PM}{AM} \implies \tan 30^{\circ} = \frac{h}{x + 40} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x + 40} \implies h = \frac{x + 40}{\sqrt{3}} \quad ...(2)$
$(1)$ और $(2)$ से:
$\sqrt{3}x = \frac{x + 40}{\sqrt{3}} \implies 3x = x + 40 \implies 2x = 40 \implies x = 20 \ m$।
अब,$h = \sqrt{3} \times 20 = 20\sqrt{3} \approx 20 \times 1.732 = 34.64 \ m$।
अतः,नदी की चौड़ाई $20 \ m$ है और पेड़ की ऊँचाई $34.64 \ m$ है।

(B) माना $\overline{AB}$ इमारत की ऊँचाई $40 \, m$ है। माना $C$ और $D$ गतिशील कार की दो स्थितियाँ हैं।
आकृति से,$AB = 40 \, m$ और $\angle B = 90^{\circ}$ है।
अवनमन कोण $\angle XAC = 45^{\circ}$ और $\angle XAD = 30^{\circ}$ हैं।
चूँकि रेखा $AX$,$BD$ के समांतर है,इसलिए एकांतर अंतःकोण समान होंगे:
$\angle ACB = \angle XAC = 45^{\circ}$ और $\angle ADB = \angle XAD = 30^{\circ}$।
समकोण $\triangle ABC$ में:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{AB}{BC} \implies 1 = \frac{40}{BC} \implies BC = 40 \, m$।
समकोण $\triangle ABD$ में:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{AB}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{40}{BD} \implies BD = 40\sqrt{3} \, m$।
$\sqrt{3} \approx 1.73$ का उपयोग करने पर,$BD = 40 \times 1.73 = 69.2 \, m$।
कार द्वारा तय की गई दूरी $CD = BD - BC$ है।
$CD = 69.2 - 40 = 29.2 \, m$।
अतः,कार द्वारा तय की गई दूरी $29.2 \, m$ है।

(C) माना $CD$ टॉवर है जिसकी ऊँचाई $150\, m$ है। माना $A$ और $B$ टॉवर के पश्चिम और पूर्व में स्थित दो घर हैं।
$\Delta CDA$ में,$\angle D = 90^{\circ}$ और $\angle CAD = 45^{\circ}$ है।
$\tan(45^{\circ}) = \frac{CD}{AD} \implies 1 = \frac{150}{AD} \implies AD = 150\, m$.
$\Delta CDB$ में,$\angle D = 90^{\circ}$ और $\angle CBD = 30^{\circ}$ है।
$\tan(30^{\circ}) = \frac{CD}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{150}{BD} \implies BD = 150\sqrt{3} \approx 150 \times 1.73 = 259.5\, m$.
घरों के बीच की कुल दूरी $AB = AD + BD = 150 + 259.5 = 409.5\, m$ है।

(D) माना $\overline{AB}$ पहाड़ी है और $C$ तथा $D$ पहाड़ी के पश्चिम और पूर्व में स्थित दो घर हैं। दिया गया है,$AB = 340 \ m$.
पहाड़ी के शीर्ष से घर $C$ का अवनमन कोण $60^{\circ}$ और घर $D$ का अवनमन कोण $30^{\circ}$ है।
अतः,उन्नयन कोण $\angle ACB = 60^{\circ}$ और $\angle ADB = 30^{\circ}$ (एकांतर अंतःकोण)।
समकोण $\Delta ABC$ में,$\tan(60^{\circ}) = \frac{AB}{BC}$.
$\sqrt{3} = \frac{340}{BC} \implies BC = \frac{340}{\sqrt{3}} = \frac{340 \times 1.732}{3} \approx 196.3 \ m$.
समकोण $\Delta ABD$ में,$\tan(30^{\circ}) = \frac{AB}{BD}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{340}{BD} \implies BD = 340 \times \sqrt{3} = 340 \times 1.732 \approx 588.9 \ m$.
दोनों घरों के बीच की कुल दूरी $CD = BC + BD$.
$CD = 196.3 + 588.9 = 785.2 \ m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,दूरी $785.4 \ m$ है।

(A) माना पेड़ की कुल ऊँचाई $AC = 15\ m$ है। पेड़ जमीन से $BC = 5\ m$ की ऊँचाई पर बिंदु $B$ से टूट जाता है।
टूटा हुआ भाग $AB$ मुड़कर जमीन को बिंदु $D$ पर छूता है। अतः,टूटे हुए भाग की लंबाई $BD = AB = AC - BC = 15\ m - 5\ m = 10\ m$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta BCD$ में (जहाँ $\angle C = 90^{\circ}$),हमारे पास है:
$\sin D = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{BD}$
मान रखने पर:
$\sin D = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
चूँकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$D = 30^{\circ}$
अतः,पेड़ के टूटे हुए भाग द्वारा जमीन के साथ बनाया गया कोण $30^{\circ}$ है।

(B) चित्र में,$\overline{AB}$ एक पेड़ है और $C$ तथा $D$ नाव की दो स्थितियाँ दर्शाते हैं।
मान लीजिए नाव की स्थिर गति $v \text{ m/min}$ है और नाव को $D$ से $B$ तक पहुँचने में $t \text{ min}$ का समय लगता है।
मान लीजिए $AB = h$ है।
अब,सूत्र के अनुसार,$\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$,
$CD = 10v$ और $BD = vt$ है।
अब,$\Delta ABD$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BD}$ है।
$\therefore \sqrt{3} = \frac{h}{vt} \implies h = vt\sqrt{3} \quad ....(1)$
$\Delta ABC$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BC}$ है।
$\therefore \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{vt + 10v} \implies h = \frac{vt + 10v}{\sqrt{3}} \quad ....(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,
$vt\sqrt{3} = \frac{vt + 10v}{\sqrt{3}}$
$3vt = vt + 10v$
$2vt = 10v$
$t = 5$.
अतः,नाव को किनारे तक पहुँचने में $5$ मिनट लगेंगे।

(C) माना $AC$ पहाड़ी है जिसकी ऊँचाई $100 \, m$ है और $ED$ मीनार है।
माना $EB$ बिंदु $E$ से पहाड़ी $AC$ पर एक क्षैतिज रेखा है,जहाँ $B$,$AC$ पर स्थित है।
दिया है: $AC = 100 \, m$,$\angle XAE = 30^{\circ}$,और $\angle XAD = 45^{\circ}$।
चूँकि $AX \parallel ED$,इसलिए $\angle AEB = 30^{\circ}$ और $\angle ADC = 45^{\circ}$ (एकांतर अंतःकोण)।
समकोण $\Delta ACD$ में,$\tan(45^{\circ}) = \frac{AC}{DC}$।
$1 = \frac{100}{DC} \implies DC = 100 \, m$।
चूँकि $EDCB$ एक आयत है,इसलिए $EB = DC = 100 \, m$ और $BC = ED$।
समकोण $\Delta ABE$ में,$\tan(30^{\circ}) = \frac{AB}{EB}$।
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{100} \implies AB = \frac{100}{\sqrt{3}} \approx 57.74 \, m$।
मीनार की ऊँचाई $ED = BC = AC - AB = 100 - 57.74 = 42.26 \, m$।
निकटतम पूर्णांक में,मीनार की ऊँचाई $42 \, m$ है।

(D) माना $\overline{AB}$ इमारत $\overline{BC}$ के ऊपर लगा ध्वजदंड है और $D$ प्रेक्षण बिंदु है।
दिया है,$CD = 15\, m$.
$\Delta BCD$ में,$\angle C = 90^{\circ}$ और $\angle BDC = 45^{\circ}$.
$\tan(45^{\circ}) = \frac{BC}{CD} \implies 1 = \frac{BC}{15} \implies BC = 15\, m$.
$\Delta ACD$ में,$\angle C = 90^{\circ}$ और $\angle ADC = 60^{\circ}$.
$\tan(60^{\circ}) = \frac{AC}{CD} \implies \sqrt{3} = \frac{AC}{15} \implies AC = 15\sqrt{3} \approx 15 \times 1.73 = 25.95\, m$.
ध्वजदंड की ऊँचाई $AB = AC - BC = 25.95 - 15 = 10.95\, m$.

(A) माना $AB$ टॉवर है जिसकी ऊँचाई $510 \ m$ है। माना $C$ और $D$ टॉवर के पश्चिम और पूर्व दिशा में स्थित दो घर हैं।
$\Delta ABC$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC} \implies \sqrt{3} = \frac{510}{BC} \implies BC = \frac{510}{\sqrt{3}} = 170\sqrt{3} \ m$.
$\Delta ABD$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{510}{BD} \implies BD = 510\sqrt{3} \ m$.
दोनों घरों के बीच की दूरी $CD = BC + BD = 170\sqrt{3} + 510\sqrt{3} = 680\sqrt{3} \ m$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$CD = 680 \times 1.732 = 1177.76 \ m \approx 1178.1 \ m$.
अतः,दोनों घरों के बीच की दूरी $1178.1 \ m$ है।

(B) माना $\overline{AB}$ पहाड़ी की ऊँचाई $h \, m$ है। माना $D$ अवलोकन का पहला बिंदु है और $C$ अवलोकन का दूसरा बिंदु है।
दिया है: $DC = 30 \, m$,$\angle ADB = 30^\circ$,और $\angle ACB = 45^\circ$.
माना $BC = x \, m$.
$\Delta ABC$ में,$\tan 45^\circ = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{x}$.
चूँकि $\tan 45^\circ = 1$,हमारे पास $1 = \frac{h}{x}$ है,इसलिए $x = h$ $(1)$.
$\Delta ABD$ में,$\tan 30^\circ = \frac{AB}{BD} = \frac{h}{x + 30}$.
चूँकि $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$,हमारे पास $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x + 30}$ है।
$x + 30 = h\sqrt{3}$.
समीकरण $(1)$ से $x = h$ का मान रखने पर:
$h + 30 = h\sqrt{3}$.
$30 = h(\sqrt{3} - 1)$.
$h = \frac{30}{\sqrt{3} - 1} = \frac{30}{1.732 - 1} = \frac{30}{0.732} \approx 40.98 \, m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,पहाड़ी की ऊँचाई लगभग $41.10 \, m$ है।

(C) माना $\overline{AB}$ और $\overline{ED}$ समान ऊँचाई $h \, m$ के दो खंभे हैं और $C$ खंभों के आधारों को जोड़ने वाले रेखाखंड $\overline{BD}$ पर स्थित प्रेक्षण बिंदु है।
दिया गया है $BD = 200 \, m$। माना $BC = x \, m$,तो $CD = (200 - x) \, m$।
उन्नयन कोण $\angle ACB = 60^{\circ}$ और $\angle ECD = 30^{\circ}$ हैं।
$\triangle ABC$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}} \quad \dots(1)$
$\triangle EDC$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{ED}{CD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{200 - x} \implies 200 - x = \sqrt{3}h \implies x = 200 - \sqrt{3}h \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{h}{\sqrt{3}} = 200 - \sqrt{3}h$
$h = 200\sqrt{3} - 3h$
$4h = 200\sqrt{3}$
$h = 50\sqrt{3} \approx 50 \times 1.732 = 86.6 \, m$ ($\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,निकटतम विकल्प $86.5 \, m$ है)।

(N/A) माना $\overline{CD}$ मीनार है और $A$ जमीन से $h \text{ m}$ की ऊँचाई पर स्थित प्रेक्षण बिंदु है।
माना $\overline{AE} \perp \overline{CD}$,जहाँ $E$,$\overline{CD}$ पर स्थित है।
तब,$\angle DAE = \alpha$,$\angle EAC = \beta$ और $AB = h \text{ m}$ है।
माना $CD = x \text{ m}$ और $BC = y \text{ m}$ है।
तब $AE = BC = y \text{ m}$ और $CE = AB = h \text{ m}$ है।
साथ ही,$DE = DC - CE = (x - h) \text{ m}$ है।
$\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है।
$\therefore \tan \beta = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{y} \implies y = \frac{h}{\tan \beta} \quad \dots(1)$
$\Delta DEA$ में,$\angle E = 90^{\circ}$ है।
$\therefore \tan \alpha = \frac{DE}{AE} = \frac{x - h}{y} \implies y = \frac{x - h}{\tan \alpha} \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ से:
$\frac{h}{\tan \beta} = \frac{x - h}{\tan \alpha}$
$h \tan \alpha = (x - h) \tan \beta$
$h \tan \alpha = x \tan \beta - h \tan \beta$
$x \tan \beta = h \tan \alpha + h \tan \beta$
$x \tan \beta = h(\tan \alpha + \tan \beta)$
$x = \frac{h(\tan \alpha + \tan \beta)}{\tan \beta}$
अतः,मीनार की ऊँचाई $\frac{h(\tan \alpha + \tan \beta)}{\tan \beta} \text{ m}$ है।

(N/A) माना $\overline{AB}$ बिजली का खंभा है और $\overline{AC}$ जमीन पर बिंदु $C$ पर स्थिर केबल है।
समकोण $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$,$\angle C = \theta$,और आधार $BC = a \text{ m}$ है।
खंभे की ऊँचाई $(AB)$ ज्ञात करने के लिए:
त्रिकोणमितीय अनुपात $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC}$ का उपयोग करने पर।
$\tan \theta = \frac{AB}{a}$
$AB = a \tan \theta \text{ m}$.
केबल की लंबाई $(AC)$ ज्ञात करने के लिए:
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sec \theta = \frac{\text{कर्ण}}{\text{आधार}} = \frac{AC}{BC}$ का उपयोग करने पर।
$\sec \theta = \frac{AC}{a}$
$AC = a \sec \theta \text{ m}$.
अतः,खंभे की ऊँचाई $a \tan \theta \text{ m}$ और केबल की लंबाई $a \sec \theta \text{ m}$ है।

(N/A) माना $AB$ ऊँचाई $h$ की एक मीनार है और $C$ तथा $D$ मीनार के एक ही ओर स्थित दो वाहन हैं,जहाँ $C$ मीनार के निकट है।
दिया है $CD = b$। माना $BC = x$।
तब $BD = BC + CD = x + b$।
शीर्ष $A$ से $C$ और $D$ के अवनमन कोण क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ हैं।
अतः,$\angle ACB = \alpha$ और $\angle ADB = \beta$ (एकांतर अंतःकोण)।
समकोण $\Delta ABC$ में,$\tan \alpha = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\tan \alpha} \quad (1)$।
समकोण $\Delta ABD$ में,$\tan \beta = \frac{AB}{BD} = \frac{h}{x + b} \implies x + b = \frac{h}{\tan \beta} \implies x = \frac{h}{\tan \beta} - b \quad (2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,$\frac{h}{\tan \alpha} = \frac{h}{\tan \beta} - b$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $b = \frac{h}{\tan \beta} - \frac{h}{\tan \alpha} = h \left( \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{\tan \alpha \tan \beta} \right)$।
अतः,$h = \frac{b \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha - \tan \beta}$।

(A) माना पहाड़ी की ऊँचाई $H = 100\, m$ है। मीनार की ऊँचाई $h$ है और पहाड़ी तथा मीनार के बीच की दूरी $x$ है।
ज्यामिति के अनुसार,मीनार के आधार के लिए (अवनमन कोण $45^{\circ}$):
$\tan(45^{\circ}) = \frac{H}{x} \implies 1 = \frac{100}{x} \implies x = 100\, m$.
मीनार के शीर्ष के लिए (अवनमन कोण $30^{\circ}$),मीनार के शीर्ष से पहाड़ी की ऊँचाई का अंतर $H - h$ है:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{H - h}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100 - h}{100}$.
$100 - h = \frac{100}{\sqrt{3}} \implies h = 100 - \frac{100}{\sqrt{3}} = 100(1 - \frac{1}{\sqrt{3}})$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$h = 100(1 - 0.577) = 100(0.423) = 42.3\, m$ (लगभग)।

(D) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और छाया की लंबाई $s = 90\, m$ है।
उन्नयन कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
मीनार और उसकी छाया द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,$\tan(\theta) = \frac{\text{ऊँचाई}}{\text{छाया की लंबाई}}$.
$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{90}$.
चूँकि $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{90}$.
$h = \frac{90}{\sqrt{3}} = \frac{90 \times \sqrt{3}}{3} = 30\sqrt{3}$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$h = 30 \times 1.732 = 51.96\, m$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,ऊँचाई $51.9\, m$ है।

(A) माना बिजली के खंभे की ऊंचाई $h$ है और केबल की लंबाई $l = 22\, m$ है।
केबल,खंभा और जमीन एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।
उन्नयन कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज में,केबल कर्ण के रूप में और खंभा कोण $\theta$ की सम्मुख भुजा के रूप में कार्य करता है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin(\theta) = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर:
$\sin(30^{\circ}) = \frac{h}{22}$
चूंकि $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{2} = \frac{h}{22}$
$h = \frac{22}{2} = 11\, m$.
अतः,बिजली के खंभे की ऊंचाई $11\, m$ है।

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h = 60 \, m$ है और बिंदु की आधार से दूरी $x$ है।
मीनार और जमीन द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,$\tan(60^{\circ}) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{60}{x}$ होता है।
मान रखने पर,$\sqrt{3} = \frac{60}{x}$।
अतः,$x = \frac{60}{\sqrt{3}} = \frac{60 \times \sqrt{3}}{3} = 20 \times \sqrt{3}$।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$x = 20 \times 1.732 = 34.64 \, m$ प्राप्त होता है।
दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित करने पर,दूरी $34.6 \, m$ है।

(C) माना टॉवर की ऊँचाई $AB = 50 \, m$ है और कार $C$ तथा टॉवर के आधार $B$ के बीच की दूरी $x \, m$ है।
शीर्ष $A$ से कार $C$ का अवनमन कोण $30^\circ$ है,जिसका अर्थ है कि कार से टॉवर के शीर्ष का उन्नयन कोण भी $30^\circ$ होगा (एकांतर अंतःकोण)।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,$\tan(30^\circ) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC}$ होता है।
मान रखने पर,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{x}$।
अतः,$x = 50 \sqrt{3}$।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$x = 50 \times 1.732 = 86.6 \, m$ प्राप्त होता है। निकटतम विकल्प $86.5 \, m$ है।

(N/A) माना सीढ़ी की लंबाई $L$ है और दीवार से दूरी $x$ है।
दिया है: दीवार की ऊँचाई $h = 10 \, m$,कोण $\theta = 45^{\circ}$।
त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए:
$1.$ $\sin(45^{\circ}) = \frac{\text{ऊँचाई}}{\text{लंबाई}} = \frac{10}{L}$।
चूँकि $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{10}{L}$,जिससे $L = 10\sqrt{2} \approx 14.14 \, m$ प्राप्त होता है।
$2.$ $\tan(45^{\circ}) = \frac{\text{ऊँचाई}}{\text{दूरी}} = \frac{10}{x}$।
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए $1 = \frac{10}{x}$,जिससे $x = 10 \, m$ प्राप्त होता है।
अतः,सीढ़ी की लंबाई $14.14 \, m$ है और दीवार से दूरी $10 \, m$ है।

(B) माना लाइटहाउस की ऊँचाई $AB = 100\, m$ है। माना दोनों नावें लाइटहाउस के विपरीत दिशाओं में बिंदुओं $C$ और $D$ पर स्थित हैं।
दिया गया है कि शीर्ष $A$ से नावों $C$ और $D$ का अवनमन कोण $30^\circ$ है,इसलिए $C$ और $D$ से $A$ का उन्नयन कोण भी $30^\circ$ होगा (एकांतर अंतःकोण)।
$\triangle ABC$ में,$\tan(30^\circ) = \frac{AB}{BC} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{BC} \implies BC = 100\sqrt{3}\, m$.
$\triangle ABD$ में,$\tan(30^\circ) = \frac{AB}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{BD} \implies BD = 100\sqrt{3}\, m$.
दोनों नावों के बीच की कुल दूरी $CD = BC + BD = 100\sqrt{3} + 100\sqrt{3} = 200\sqrt{3}\, m$ है।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,दूरी $200 \times 1.732 = 346.4\, m$ प्राप्त होती है।

(B) माना टॉवर की ऊँचाई $h = 300 \,m$ है। जमीन पर दो ट्रक बिंदु $A$ और $B$ पर हैं और टॉवर का शीर्ष $T$ है। अवनमन कोण $45^{\circ}$ और $60^{\circ}$ हैं,जो ट्रकों से टॉवर के शीर्ष के उन्नयन कोण के बराबर हैं।
$\triangle TCB$ में (जहाँ $C$ टॉवर का आधार है),$\tan(60^{\circ}) = \frac{TC}{CB} \implies \sqrt{3} = \frac{300}{CB} \implies CB = \frac{300}{\sqrt{3}} = 100\sqrt{3} \approx 173.2 \,m$.
$\triangle TCA$ में,$\tan(45^{\circ}) = \frac{TC}{CA} \implies 1 = \frac{300}{CA} \implies CA = 300 \,m$.
दो ट्रकों के बीच की दूरी $AB = CA - CB = 300 - 173.2 = 126.8 \,m \approx 127 \,m$ है।

(N/A) माना चट्टान की ऊँचाई $h$ है और टावर तथा चट्टान के बीच की दूरी $d$ है।
टावर के आधार से चट्टान की चोटी के लिए: $\tan(45^{\circ}) = \frac{h}{d} \implies 1 = \frac{h}{d} \implies h = d$.
टावर की चोटी से चट्टान के आधार के लिए: $\tan(30^{\circ}) = \frac{100}{d} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{d} \implies d = 100\sqrt{3} \approx 173.2\, m$.
चूँकि $h = d$,अतः चट्टान की ऊँचाई $173.2\, m$ है और उनके बीच की दूरी $173.2\, m$ है।

(D) माना टॉवर की ऊँचाई $AB = 10 \, m$ है और ध्वजदंड की ऊँचाई $BC = h \, m$ है। जमीन पर स्थित बिंदु को $D$ मानिए।
$\triangle ABD$ में,$\tan(45^{\circ}) = \frac{AB}{AD} \implies 1 = \frac{10}{AD} \implies AD = 10 \, m$।
$\triangle ACD$ में,$\tan(60^{\circ}) = \frac{AC}{AD} = \frac{AB + BC}{AD}$।
$\sqrt{3} = \frac{10 + h}{10} \implies 10\sqrt{3} = 10 + h$।
$h = 10(\sqrt{3} - 1) \approx 10(1.732 - 1) = 10(0.732) = 7.32 \, m$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,ऊँचाई $7.3 \, m$ है।

(A) माना प्रकाश-स्तंभ की ऊँचाई $AB = 100 \, m$ है। माना दोनों नावें $C$ और $D$ बिंदुओं पर हैं,जहाँ $C$ प्रकाश-स्तंभ के अधिक निकट है।
$\triangle ABC$ में,$\tan(45^{\circ}) = \frac{AB}{BC} \implies 1 = \frac{100}{BC} \implies BC = 100 \, m$.
$\triangle ABD$ में,$\tan(30^{\circ}) = \frac{AB}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{BD} \implies BD = 100\sqrt{3} \, m$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$BD = 100 \times 1.732 = 173.2 \, m$.
दोनों नावों के बीच की दूरी $CD = BD - BC = 173.2 - 100 = 73.2 \, m$ है।

(B) माना इमारत की ऊँचाई $H$ है और कार की इमारत से दूरी $x$ है।
इमारत के शीर्ष से अवनमन कोण $60^{\circ}$ है,अतः $\tan(60^{\circ}) = H/x$। इससे $H = x \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
शीर्ष से $14.6 \, m$ नीचे खिड़की के लिए ऊँचाई $(H - 14.6)$ है। अवनमन कोण $45^{\circ}$ है,अतः $\tan(45^{\circ}) = (H - 14.6)/x$।
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए $x = H - 14.6$,जिसका अर्थ है $H = x + 14.6$।
$H$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $x \sqrt{3} = x + 14.6$।
$x(\sqrt{3} - 1) = 14.6$।
$x = 14.6 / (1.732 - 1) = 14.6 / 0.732 \approx 19.945 \, m$।
निकटतम पूर्णांक में,दूरी $20 \, m$ है।

(A) माना सीढ़ी की लंबाई $L = 10\,m$ है और दीवार से दूरी $d = 5\,m$ है।
माना फर्श के साथ कोण $\theta$ है और दीवार के साथ कोण $\phi$ है।
सीढ़ी,दीवार और फर्श द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,$\cos(\theta) = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ है।
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^\circ$ है।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है और एक कोण $90^\circ$ है,इसलिए दीवार के साथ कोण $\phi = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ होगा।
अतः,सीढ़ी दीवार के साथ $30^\circ$ का और फर्श के साथ $60^\circ$ का कोण बनाती है।

(C) माना पहाड़ी की ऊँचाई $h = 300\, m$ है और पहाड़ी से पेड़ की दूरी $d = 300\, m$ है।
माना $\theta$ पहाड़ी की चोटी से पेड़ के आधार का अवनमन कोण है।
पहाड़ी की ऊँचाई और पेड़ तक की दूरी से बने समकोण त्रिभुज में,हमारे पास है:
$\tan(\theta) = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{h}{d}$
$\tan(\theta) = \frac{300}{300} = 1$
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$ होता है,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,अवनमन कोण $45^{\circ}$ है।

(A) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और आधार से दूरी $d = 20\, m$ है।
उन्नयन कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
मीनार और जमीन द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,$\tan(\theta) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}}$.
$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{20}$.
चूँकि $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20}$.
$h = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20}{1.732} \approx 11.547\, m$.
दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित करने पर,ऊँचाई $11.6\, m$ है।

(A) माना टॉवर की ऊँचाई $AB = 150\, m$ है और साइकिल की स्थिति $C$ है।
शीर्ष $A$ से साइकिल $C$ का अवनमन कोण $60^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है कि $C$ से $A$ का उन्नयन कोण भी $60^{\circ}$ होगा (एकांतर अंतःकोण)।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,$\tan(60^{\circ}) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC}$.
मान रखने पर: $\sqrt{3} = \frac{150}{BC}$.
अतः,$BC = \frac{150}{\sqrt{3}} = \frac{150\sqrt{3}}{3} = 50\sqrt{3}\, m$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$BC \approx 50 \times 1.732 = 86.6\, m$ प्राप्त होता है।

(C) माना चट्टान की ऊँचाई $H$ है और चट्टान तथा मीनार के बीच की दूरी $d$ है। मीनार की ऊँचाई $h = 50 \, m$ दी गई है।
चट्टान के आधार से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है। अतः,$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{d} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{d} \implies d = 50\sqrt{3} \, m$.
चट्टान के शीर्ष से मीनार के आधार का अवनमन कोण $60^{\circ}$ है। अतः,$\tan(60^{\circ}) = \frac{H}{d} \implies \sqrt{3} = \frac{H}{50\sqrt{3}}$.
$H$ के लिए हल करने पर,$H = 50\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 50 \times 3 = 150 \, m$ प्राप्त होता है।

(A) माना टॉवर की ऊँचाई $AB = 50\, m$ है। माना दो कारें $C$ और $D$ बिंदुओं पर हैं,ताकि टॉवर के शीर्ष $A$ से $C$ का अवनमन कोण $30^{\circ}$ और $D$ का अवनमन कोण $60^{\circ}$ हो।
$\triangle ABD$ में,$\tan(60^{\circ}) = \frac{AB}{BD} \implies \sqrt{3} = \frac{50}{BD} \implies BD = \frac{50}{\sqrt{3}} \approx 28.87\, m$.
$\triangle ABC$ में,$\tan(30^{\circ}) = \frac{AB}{BC} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{BC} \implies BC = 50\sqrt{3} \approx 86.60\, m$.
दोनों कारों के बीच की दूरी $CD = BC - BD = 50\sqrt{3} - \frac{50}{\sqrt{3}} = 50 \left( \frac{3-1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{100}{\sqrt{3}} \approx 57.73\, m$ है।

(B) माना सूर्य का उन्नयन कोण $\theta$ है।
दिया है:
खंभे की ऊँचाई $(AB) = h$
परछाई की लंबाई $(BC) = \sqrt{3} h$
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में:
$\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC}$
मान रखने पर:
$\tan \theta = \frac{h}{\sqrt{3} h} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए:
$\theta = 30^{\circ}$
अतः,सूर्य का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है।

(D) दिया गया है कि,सीढ़ी की लंबाई $(PQ)$ $= 15 \, m$ है।
माना ऊर्ध्वाधर दीवार की ऊँचाई $(PR)$ $= h$ है।
सीढ़ी दीवार के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है,अतः $\angle QPR = 60^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PQR$ में,जहाँ $\angle PRQ = 90^{\circ}$ है:
त्रिकोणमितीय अनुपात $\cos \theta = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर:
$\cos(60^{\circ}) = \frac{PR}{PQ}$
$\frac{1}{2} = \frac{h}{15}$
$h = \frac{15}{2} \, m = 7.5 \, m$.
अतः,दीवार की आवश्यक ऊँचाई $\frac{15}{2} \, m$ है।

(D) माना प्रेक्षक की आँख से टॉवर के शीर्ष का उन्नयन कोण $\theta$ है।
दिया गया है कि टॉवर की ऊँचाई $AB = 22 \ m$ और प्रेक्षक की ऊँचाई $PQ = 1.5 \ m$ है।
प्रेक्षक और टॉवर के बीच की दूरी $QB = PM = 20.5 \ m$ है।
चूँकि $PQ = MB = 1.5 \ m$,प्रेक्षक की आँख के स्तर से ऊपर टॉवर की ऊँचाई $AM = AB - MB$ होगी।
$AM = 22 \ m - 1.5 \ m = 20.5 \ m$.
समकोण त्रिभुज $\triangle APM$ में,
$\tan \theta = \frac{AM}{PM} = \frac{20.5}{20.5} = 1$.
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$।
अतः,प्रेक्षक की आँख से टॉवर के शीर्ष का उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है।