Mix Examples - Some Applications of Trigonometry Questions in Hindi

(B) अवनमन कोण को उस कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दृष्टि रेखा द्वारा क्षैतिज स्तर के साथ तब बनता है जब वस्तु क्षैतिज स्तर से नीचे होती है।
चूंकि प्रेक्षक वस्तु को नीचे की ओर देख रहा है,इसलिए वस्तु प्रेक्षक की आंख से गुजरने वाली क्षैतिज रेखा के नीचे स्थित होनी चाहिए।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना इमारत की ऊँचाई $y$ है और आधार से दूरी $x$ है। उन्नयन कोण $\theta = 25^\circ$ है।
इमारत,जमीन और दृष्टि रेखा द्वारा बने समकोण त्रिभुज में:
$\tan(\theta) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{y}{x}$.
अतः,$\tan(25^\circ) = \frac{y}{x}$,जिसका अर्थ है $y = x \cdot \tan(25^\circ)$.
$\tan(25^\circ)$ का मान लगभग $0.466$ है,जो $1$ से कम है $(0 < \tan(25^\circ) < 1)$,
इसलिए $y = x \cdot (0.466)$.
इसका अर्थ है कि $y < x$,अर्थात $x > y$.

(B) बने हुए समकोण त्रिभुज में,इमारत की ऊँचाई $y$ (सम्मुख भुजा) है और आधार से दूरी $x$ (आसन्न भुजा) है।
त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हुए,$\tan(70^\circ) = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{y}{x}$ है।
हम जानते हैं कि $\tan(45^\circ) = 1$ होता है।
चूँकि टेंजेंट फलन $(0^\circ, 90^\circ)$ अंतराल में एक वर्धमान फलन है,और $70^\circ > 45^\circ$ है,इसलिए $\tan(70^\circ) > \tan(45^\circ)$ होगा।
अतः,$\tan(70^\circ) > 1$ है।
अनुपात को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{y}{x} > 1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$ और $y$ लंबाइयाँ (धनात्मक मान) हैं,दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर हमें $y > x$ प्राप्त होता है,जो $x < y$ के बराबर है।

(B) मान लीजिए दीवार $AB$ है और जमीन $BC$ है। सीढ़ी $AC$ है।
दिया गया है कि सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार के आधार से दूरी $BC = a \ m$ है।
सीढ़ी द्वारा जमीन के साथ बनाया गया कोण $\angle C = \theta$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में:
$\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan \theta = \frac{AB}{a}$
अतः,वह ऊँचाई जिस पर सीढ़ी दीवार को छूती है,$AB = a \tan \theta \ m$ है।

(D) माना $AB$ इमारत की ऊँचाई $x \ m$ है और $C$ जमीन पर बच्चे की स्थिति है।
शीर्ष $A$ से बच्चे $C$ का अवनमन कोण $\theta$ है।
चूँकि $A$ पर क्षैतिज रेखा जमीन $BC$ के समानांतर है,इसलिए $C$ से $A$ का उन्नयन कोण भी $\theta$ होगा (एकांतर अंतःकोण)।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में:
$\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan \theta = \frac{x}{BC}$
इसलिए,$BC = \frac{x}{\tan \theta} = x \cot \theta \ m$.
अतः,इमारत के आधार से बच्चे की दूरी $x \cot \theta \ m$ है।

(A) मान लीजिए $AB$ बिजली के खंभे की ऊंचाई है और $AC$ केबल की लंबाई है।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,उन्नयन कोण $\angle C = 30^{\circ}$ है।
कर्ण की लंबाई $AC = 20 \, m$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 30^{\circ} = \frac{AB}{AC}$
$\frac{1}{2} = \frac{AB}{20}$
$AB = \frac{20}{2} = 10 \, m$.
अतः,बिजली के खंभे की ऊंचाई $10 \, m$ है।

(B) माना $AB$ खंभे की ऊँचाई है और $BC$ खंभे के आधार से पत्थर की दूरी है।
दिया है,$BC = 10 \, m$ और अवनमन कोण $60^{\circ}$ है।
चूँकि अवनमन कोण उन्नयन कोण के बराबर होता है,इसलिए पत्थर से खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण $\angle C = 60^{\circ}$ होगा।
$\triangle ABC$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC}$.
$\sqrt{3} = \frac{AB}{10}$.
$AB = 10 \times \sqrt{3}$.
यहाँ $\sqrt{3} = 1.73$ दिया गया है,इसलिए $AB = 10 \times 1.73 = 17.3 \, m$.
अतः,खंभे की ऊँचाई $17.3 \, m$ है।

(C) माना लाइटहाउस की ऊँचाई $h$ है। माना नावों $A$ और $B$ की लाइटहाउस के आधार से दूरियाँ क्रमशः $d_A$ और $d_B$ हैं।
दिए गए अवनमन कोणों से,नावों से लाइटहाउस के शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः $25^{\circ}$ और $40^{\circ}$ होंगे।
टैंजेंट अनुपात का उपयोग करने पर: $\tan(25^{\circ}) = \frac{h}{d_A}$ और $\tan(40^{\circ}) = \frac{h}{d_B}$।
चूँकि $\tan(40^{\circ}) > \tan(25^{\circ})$,इसलिए $\frac{h}{d_B} > \frac{h}{d_A}$ होगा।
अतः,$d_A > d_B$। इस प्रकार,नाव $A$ की लाइटहाउस से दूरी नाव $B$ की तुलना में अधिक है।

(C) मान लीजिए $X$ बिल्डिंग $PQ$ की ऊँचाई है और $Y$ बिल्डिंग $SR$ की ऊँचाई है। मान लीजिए $QR$ दोनों बिल्डिंगों के आधारों के बीच की दूरी है।
समकोण $\Delta SQR$ में,$\tan(45^{\circ}) = \frac{SR}{QR} = \frac{Y}{QR}$.
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए $Y = QR$ प्राप्त होता है।
समकोण $\Delta PQR$ में,$\tan(65^{\circ}) = \frac{PQ}{QR} = \frac{X}{QR}$.
चूँकि $\tan(65^{\circ}) > 1$,इसलिए $\frac{X}{QR} > 1$,जिसका अर्थ है कि $X > QR$.
चूँकि $Y = QR$ और $X > QR$,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $X > Y$.
अतः,बिल्डिंग $X$ की ऊँचाई बिल्डिंग $Y$ की ऊँचाई से अधिक है।

(B) एक समकोण त्रिभुज में,$30^{\circ}$ के कोण के सम्मुख भुजा का माप ज्ञात करने का सूत्र है: $30^{\circ}$ के सम्मुख भुजा $= \text{कर्ण} \times \sin(30^{\circ})$।
यहाँ कर्ण $= 12$ और $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ दिया गया है।
अतः,कोण के सम्मुख भुजा का माप $12 \times \frac{1}{2} = 6$ होगा।

(B) मान लीजिए एक समकोण त्रिभुज $ABC$ है जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ और $\angle C = 60^{\circ}$ है।
इस त्रिभुज में,$\angle C$ की सम्मुख भुजा $AB$ है और कर्ण $AC$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sin 60^{\circ} = \frac{AB}{AC}$
चूँकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{AC}$
अतः,$AB = \frac{\sqrt{3}}{2} AC$ है।
इस प्रकार,$60^{\circ}$ के कोण की सम्मुख भुजा का माप कर्ण के माप का $\frac{\sqrt{3}}{2}$ गुना होता है।

(C) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है।
यहाँ $AC = 16$ (कर्ण) और $BC = 8$ ($\angle C$ की संलग्न भुजा) दिया गया है।
कोसाइन $(cos)$ के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करने पर:
$\cos C = \frac{\text{संलग्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$।
चूँकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ होता है,इसलिए $m \angle C = 60^{\circ}$ होगा।

(D) माना कि समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ है,जहाँ $\angle B = 90^{\circ}$ और $\angle C = 45^{\circ}$ है।
$\triangle ABC$ में,$\angle C$ की सम्मुख भुजा $AB$ है और कर्ण $AC$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 45^{\circ} = \frac{AB}{AC}$
चूँकि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{AB}{AC}$
अतः,$AB = \frac{1}{\sqrt{2}} AC$.
इस प्रकार,$45^{\circ}$ के कोण की सम्मुख भुजा का माप कर्ण के माप का $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुना होता है।

(B) माना खंभे की ऊँचाई $AB$ है और खंभे के आधार से बिंदु $C$ की दूरी $BC = x \, m$ है।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,उन्नयन कोण $\angle C = 60^{\circ}$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC}$
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए:
$\sqrt{3} = \frac{AB}{x}$
अतः,$AB = \sqrt{3} x \, m$.
इस प्रकार,खंभे की ऊँचाई $\sqrt{3} x \, m$ है।

(C) माना $AB$ टॉवर की ऊँचाई है और $BC = x \, m$ टॉवर के आधार से प्रेक्षण बिंदु $C$ तक की दूरी है।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,उन्नयन कोण $\angle C = 30^{\circ}$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BC}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AB}{x}$
अतः,टॉवर की ऊँचाई $AB = \frac{x}{\sqrt{3}} \, m$ है।

(D) समकोण $\Delta ABC$ में,हमें कर्ण $AC = 20$ और कोण $m\angle C = 30^\circ$ दिया गया है।
हमें आसन्न भुजा $BC$ ज्ञात करनी है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\cos \theta = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करते हुए:
$\cos 30^\circ = \frac{BC}{AC}$
मान रखने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{20}$
$BC = 20 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$BC = 10\sqrt{3}$
$\sqrt{3} \approx 1.73$ का उपयोग करने पर:
$BC = 10 \times 1.73 = 17.3$

(D) माना $AB$ मीनार की ऊँचाई है और $BC$ मीनार के आधार से जमीन पर स्थित बिंदु $C$ की दूरी है।
दिया है: $BC = 100 \, m$ और उन्नयन कोण $\angle C = 60^\circ$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में,
$\tan C = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC}$
$\tan 60^\circ = \frac{AB}{100}$
चूँकि $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$,
$\sqrt{3} = \frac{AB}{100}$
$AB = 100 \times \sqrt{3}$
$AB = 100 \times 1.732 = 173.2 \, m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,मीनार की ऊँचाई $173 \, m$ है।

(D) माना $AB$ मंदिर की ऊँचाई है,जहाँ $AB = 20 \ m$ है।
माना $BC$ नदी की चौड़ाई है।
बिंदु $C$ से शिखर $A$ का उन्नयन कोण $\angle ACB = 30^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में:
$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BC}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20}{BC}$
$BC = 20 \sqrt{3} \ m$
$\sqrt{3} \approx 1.73$ का उपयोग करने पर:
$BC = 20 \times 1.73 = 34.6 \ m$।
अतः,नदी की चौड़ाई $34.6 \ m$ है।

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है। प्रेक्षक की ऊँचाई $1.5\, m$ है,इसलिए बनने वाले त्रिभुज की ऊँचाई $AE = h - 1.5$ होगी।
मीनार से दूरी $DE = 28.5\, m$ और उन्नयन कोण $45^\circ$ दिया गया है।
$\triangle ADE$ में,$\tan 45^\circ = \frac{AE}{DE}$।
चूँकि $\tan 45^\circ = 1$,इसलिए $1 = \frac{AE}{28.5}$।
अतः,$AE = 28.5\, m$।
मीनार की कुल ऊँचाई $h = AE + EB = 28.5 + 1.5 = 30\, m$ है।

(C) उन्नयन कोण को उस कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दृष्टि रेखा (ray of vision) द्वारा क्षैतिज रेखा (horizontal ray) के साथ बनाया जाता है जब वस्तु प्रेक्षक की आँख के क्षैतिज स्तर से ऊपर स्थित होती है।
इसलिए,यदि उन्नयन कोण बनता है,तो वस्तु को क्षैतिज किरण के ऊपर स्थित होना चाहिए।

(C) माना खंभे की ऊंचाई $h$ है और छाया की लंबाई $s$ है।
प्रश्न के अनुसार,$s = \frac{1}{\sqrt{3}} h$.
माना सूर्य का उन्नयन कोण $\theta$ है।
खंभे और उसकी छाया द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,$\tan(\theta) = \frac{\text{ऊंचाई}}{\text{छाया}} = \frac{h}{s}$.
$s$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan(\theta) = \frac{h}{\frac{1}{\sqrt{3}} h} = \sqrt{3}$.
चूंकि $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$,इसलिए उन्नयन कोण $\theta = 60^\circ$ है।

(A) समकोण $\Delta ABC$ में,हमें कर्ण $AC = 30 \text{ cm}$ और $\angle C = 30^\circ$ दिया गया है।
हमें भुजा $AB$ ज्ञात करनी है,जो $\angle C$ के सम्मुख भुजा है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 30^\circ = \frac{AB}{AC}$
चूंकि $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{2} = \frac{AB}{30}$
$AB = \frac{30}{2} = 15 \text{ cm}$.

(D) माना छोटे खंभे की ऊँचाई $h$ है और ऊँचे खंभे की ऊँचाई $2h$ है।
दोनों खंभों के बीच की दूरी $x$ है।
उनके आधारों को जोड़ने वाली रेखा का मध्य-बिंदु दूरी $x$ को दो बराबर भागों में विभाजित करता है,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $\frac{x}{2}$ है।
माना मध्य-बिंदु से उन्नयन कोण $\theta$ और $90^\circ - \theta$ हैं।
छोटे खंभे के लिए: $\tan(90^\circ - \theta) = \frac{h}{x/2} = \frac{2h}{x}$.
चूँकि $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$,इसलिए $\cot \theta = \frac{2h}{x}$.
ऊँचे खंभे के लिए: $\tan \theta = \frac{2h}{x/2} = \frac{4h}{x}$.
दोनों समीकरणों का गुणा करने पर: $\tan \theta \cdot \cot \theta = \left(\frac{4h}{x}\right) \cdot \left(\frac{2h}{x}\right)$.
$1 = \frac{8h^2}{x^2}$.
$h^2 = \frac{x^2}{8}$.
$h = \sqrt{\frac{x^2}{8}} = \frac{x}{2\sqrt{2}}$.

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और मीनार का आधार $O$ है।
माना मीनार से घर $A$ की दूरी $x_A$ है और घर $B$ की दूरी $x_B$ है।
ज्यामिति के अनुसार,अवनमन कोण उन्नयन कोण के बराबर होता है।
घर $A$ के लिए: $\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{x_A} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x_A} \implies x_A = h\sqrt{3}$।
घर $B$ के लिए: $\tan(60^{\circ}) = \frac{h}{x_B} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x_B} \implies x_B = \frac{h}{\sqrt{3}}$।
दूरियों की तुलना करने पर,चूँकि $\sqrt{3} > \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $x_A > x_B$ प्राप्त होता है।
अतः,घर $B$,घर $A$ की तुलना में मीनार के अधिक निकट है।

(B) मान लीजिए कि पहाड़ी को एक समकोण त्रिभुज द्वारा दर्शाया गया है जहाँ कर्ण पहाड़ी पर चली गई दूरी $x$ मीटर है।
जमीन के साथ उन्नयन कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
जमीन से पहुँची गई ऊँचाई कोण के सामने की भुजा है,जो $y$ मीटर है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin(\theta) = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर:
$\sin(30^{\circ}) = \frac{y}{x}$
चूँकि $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2} = \frac{y}{x}$
तिर्यक गुणा करने पर $x = 2y$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।