Mix Examples - Some Applications of Trigonometry Questions in Hindi

(N/A) माना $O$ गुब्बारे का केंद्र है,$OP = r$ इसकी त्रिज्या है,और $A$ प्रेक्षक की आँख की स्थिति है। प्रेक्षक की आँख पर गुब्बारे द्वारा बनाया गया कोण $\angle PAQ = \theta$ है। रेखा $AO$,$\angle PAQ$ को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\angle OAP = \frac{\theta}{2}$ है।
केंद्र $O$ का उन्नयन कोण $\angle OAB = \phi$ है,जहाँ $B$,$O$ के ठीक नीचे जमीन पर स्थित बिंदु है। माना गुब्बारे के केंद्र की ऊँचाई $h$ है,इसलिए $OB = h$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAP$ में (जहाँ $\angle OPA = 90^\circ$ है क्योंकि दृष्टि रेखा गोले की स्पर्शरेखा है),हमें प्राप्त होता है:
$\sin(\angle OAP) = \frac{OP}{OA}$
$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{r}{OA}$
$OA = \frac{r}{\sin(\frac{\theta}{2})} = r \operatorname{cosec}\left(\frac{\theta}{2}\right)$ .....$(1)$
समकोण त्रिभुज $\triangle OAB$ में (जहाँ $\angle OBA = 90^\circ$ है),हमें प्राप्त होता है:
$\sin(\angle OAB) = \frac{OB}{OA}$
$\sin \phi = \frac{h}{OA}$
$h = OA \sin \phi$ .....$(2)$
समीकरण $(1)$ से $OA$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$h = r \operatorname{cosec}\left(\frac{\theta}{2}\right) \sin \phi$
$h = r \sin \phi \operatorname{cosec}\left(\frac{\theta}{2}\right)$

(N/A) माना गुब्बारे की ऊँचाई $P$ पर $h$ मीटर है। माना $A$ और $B$ दो कारें हैं। अतः $AB = 100 \, m$। माना $Q$ सड़क पर वह बिंदु है जो गुब्बारे $P$ के ठीक नीचे है।
$\triangle PAQ$ में,$\angle PAQ = 45^{\circ}$। अतः,$\tan 45^{\circ} = \frac{PQ}{AQ} \implies 1 = \frac{h}{AQ} \implies AQ = h$।
$\triangle PBQ$ में,$\angle PBQ = 60^{\circ}$। अतः,$\tan 60^{\circ} = \frac{PQ}{BQ} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{BQ} \implies BQ = \frac{h}{\sqrt{3}}$।
चूँकि $AQ = AB + BQ$,इसलिए $h = 100 + \frac{h}{\sqrt{3}}$।
$h - \frac{h}{\sqrt{3}} = 100 \implies h \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}} \right) = 100$।
$h = \frac{100 \sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{100 \sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{100(3+\sqrt{3})}{2} = 50(3+\sqrt{3}) \, m$।
अतः,गुब्बारे की ऊँचाई $50(3+\sqrt{3}) \, m$ है (लगभग $236.6 \, m$)।

(N/A) माना $P$ बादल है और $Q$ झील में इसका प्रतिबिंब है। माना $A$ प्रेक्षण बिंदु है ताकि $AB = h$ हो।
माना झील से बादल की ऊँचाई $x$ है। माना $AL = d$ है।
$\triangle PAL$ से,$\frac{x-h}{d} = \tan \theta$ ..........$(1)$
$\triangle QAL$ से,$\frac{x+h}{d} = \tan \phi$ ..........$(2)$
$(2)$ को $(1)$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{x+h}{x-h} = \frac{\tan \phi}{\tan \theta}$.
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर,$\frac{(x+h)+(x-h)}{(x+h)-(x-h)} = \frac{\tan \phi + \tan \theta}{\tan \phi - \tan \theta}$.
यह सरल होकर $\frac{2x}{2h} = \frac{\tan \phi + \tan \theta}{\tan \phi - \tan \theta}$ हो जाता है।
अतः,$x = h\left(\frac{\tan \phi + \tan \theta}{\tan \phi - \tan \theta}\right).$

(C) माना मीनार की ऊँचाई $h \, m$ है।
माना मीनार $PR$ है,जहाँ $R$ आधार है और $P$ शिखर है।
माना प्रेक्षक की प्रारंभिक स्थिति $Q$ है और नई स्थिति $S$ है।
दिया है $QS = 20 \, m$,$\angle PQR = 30^{\circ}$,और $S$ पर उन्नयन कोण $15^{\circ}$ बढ़ जाता है,इसलिए $\angle PSR = 30^{\circ} + 15^{\circ} = 45^{\circ}$।
$\triangle PSR$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{PR}{SR} \implies 1 = \frac{h}{SR} \implies SR = h$।
$\triangle PQR$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{PR}{QR} = \frac{h}{QS + SR} = \frac{h}{20 + h}$।
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20 + h}$।
$20 + h = h\sqrt{3}$।
$20 = h(\sqrt{3} - 1)$।
$h = \frac{20}{\sqrt{3} - 1}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $h = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{20(\sqrt{3} + 1)}{2} = 10(\sqrt{3} + 1) \, m$।
अतः,मीनार की ऊँचाई $10(\sqrt{3} + 1) \, m$ है।

(N/A) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और मीनार $AC$ है,जहाँ $C$ मीनार का आधार है।
माना दो बिंदु $B$ और $P$ एक ही रेखा पर इस प्रकार हैं कि $BC = s$ और $PC = t$ है।
माना $\angle ABC = \theta$ है। चूँकि उन्नयन कोण पूरक हैं,इसलिए $\angle APC = 90^{\circ} - \theta$ होगा।
$\triangle ABC$ में,$\tan \theta = \frac{AC}{BC} = \frac{h}{s}$ --- $(i)$
$\triangle APC$ में,$\tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{AC}{PC} = \frac{h}{t}$ है।
चूँकि $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ होता है,इसलिए $\cot \theta = \frac{h}{t}$ होगा।
अतः,$\frac{1}{\tan \theta} = \frac{h}{t} \implies \tan \theta = \frac{t}{h}$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का गुणा करने पर:
$\tan \theta \cdot \cot \theta = \frac{h}{s} \cdot \frac{h}{t}$
$1 = \frac{h^2}{st}$
$h^2 = st$
$h = \sqrt{st}$
अतः,मीनार की ऊँचाई $\sqrt{st}$ है।

(C) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और जब सूर्य का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है,तब छाया की लंबाई $x \, m$ है।
माना मीनार $SQ$ है,जहाँ $S$ शीर्ष है और $Q$ आधार है।
जब उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है,तो छाया की लंबाई $RQ = x$ है।
$\triangle S R Q$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{SQ}{RQ} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}$ .......$(i)$
जब उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है,तो छाया की लंबाई $PQ = PR + RQ = 50 + x$ है।
$\triangle S P Q$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{SQ}{PQ} = \frac{h}{50 + x}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50 + x} \Rightarrow 50 + x = h\sqrt{3}$.
समीकरण $(i)$ से $x = \frac{h}{\sqrt{3}}$ रखने पर:
$50 + \frac{h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3} \Rightarrow 50 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$50 = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) \Rightarrow 50 = h \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)$.
$h = \frac{50 \sqrt{3}}{2} = 25 \sqrt{3} \, m$.
अतः,मीनार की ऊँचाई $25 \sqrt{3} \, m$ है।

(A) माना मीनार की ऊँचाई $H$ है और बिंदु से मीनार के आधार की दूरी $x$ है।
दिया है कि ध्वजदंड की ऊँचाई $h$ है और ध्वजदंड के निचले और ऊपरी सिरों के उन्नयन कोण क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ हैं।
$\triangle PRO$ में,$\tan \alpha = \frac{PO}{RO} = \frac{H}{x} \implies x = \frac{H}{\tan \alpha}$ .....$(i)$
$\triangle FRO$ में,$\tan \beta = \frac{FO}{RO} = \frac{FP + PO}{RO} = \frac{h + H}{x} \implies x = \frac{h + H}{\tan \beta}$ .....$(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{H}{\tan \alpha} = \frac{h + H}{\tan \beta}$
$H \tan \beta = (h + H) \tan \alpha$
$H \tan \beta = h \tan \alpha + H \tan \alpha$
$H \tan \beta - H \tan \alpha = h \tan \alpha$
$H(\tan \beta - \tan \alpha) = h \tan \alpha$
$H = \frac{h \tan \alpha}{\tan \beta - \tan \alpha}$
अतः,मीनार की ऊँचाई $\frac{h \tan \alpha}{\tan \beta - \tan \alpha}$ है।

(A) माना दोनों मीनारों के बीच की दूरी $AB = x \, m$ है और दूसरी मीनार की ऊँचाई $PA = h \, m$ है।
दिया है: पहली मीनार की ऊँचाई $QB = 30 \, m$,$\angle QAB = 60^{\circ}$ और $\angle PBA = 30^{\circ}$।
$\triangle QAB$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{QB}{AB} = \frac{30}{x}$।
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए $\sqrt{3} = \frac{30}{x}$,जिससे $x = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \, m$ प्राप्त होता है।
$\triangle PBA$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{PA}{AB} = \frac{h}{x}$।
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{10\sqrt{3}}$।
$h$ के लिए हल करने पर,$h = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10 \, m$।
अतः,दोनों मीनारों के बीच की दूरी $10\sqrt{3} \, m$ है और दूसरी मीनार की ऊँचाई $10 \, m$ है।

(N/A) माना टॉवर $AD$ है जिसकी ऊँचाई $h \, m$ है। माना दो वस्तुएँ जमीन पर $B$ और $C$ बिंदुओं पर हैं,ताकि $B, C$ और $D$ एक ही रेखा में हों।
माना दोनों वस्तुओं के बीच की दूरी $BC = x \, m$ है और दूसरी वस्तु से टॉवर के आधार तक की दूरी $CD = y \, m$ है।
दिया गया है कि अवनमन कोण $\alpha$ और $\beta$ हैं,एकांतर अंतःकोण के गुणधर्म के अनुसार:
$\angle ABD = \alpha$ और $\angle ACD = \beta$.
समकोण त्रिभुज $\triangle ACD$ में:
$\tan \beta = \frac{AD}{CD} = \frac{h}{y} \implies y = \frac{h}{\tan \beta} \quad \dots(i)$
समकोण त्रिभुज $\triangle ABD$ में:
$\tan \alpha = \frac{AD}{BD} = \frac{h}{x + y} \implies x + y = \frac{h}{\tan \alpha} \implies y = \frac{h}{\tan \alpha} - x \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{h}{\tan \beta} = \frac{h}{\tan \alpha} - x$
$x = \frac{h}{\tan \alpha} - \frac{h}{\tan \beta}$
$x = h \left( \frac{1}{\tan \alpha} - \frac{1}{\tan \beta} \right)$
$x = h (\cot \alpha - \cot \beta) \, m$
अतः,दोनों वस्तुओं के बीच की दूरी $h (\cot \alpha - \cot \beta) \, m$ है।

(N/A) माना सीढ़ी की लंबाई $L$ है।
प्रारंभिक स्थिति में,सीढ़ी क्षैतिज के साथ $\alpha$ कोण बनाती है। माना सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से $OA$ दूरी पर है और ऊपरी सिरा दीवार पर $OB$ ऊँचाई पर है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OAB$ से:
$OA = L \cos \alpha$
$OB = L \sin \alpha$
जब निचले सिरे को $p$ दूरी तक खींचा जाता है,तो निचले सिरे की नई स्थिति $S$ है जिससे $OS = OA + p = L \cos \alpha + p$।
ऊपरी सिरा $q$ दूरी नीचे खिसक जाता है,इसलिए नई ऊँचाई $OQ = OB - q = L \sin \alpha - q$ है।
अब सीढ़ी क्षैतिज के साथ $\beta$ कोण बनाती है। समकोण त्रिभुज $\triangle OSQ$ से:
$OS = L \cos \beta$
$OQ = L \sin \beta$
$OS$ और $OQ$ के व्यंजकों की तुलना करने पर:
$L \cos \beta = L \cos \alpha + p \implies p = L(\cos \beta - \cos \alpha)$
$L \sin \beta = L \sin \alpha - q \implies q = L(\sin \alpha - \sin \beta)$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{p}{q} = \frac{L(\cos \beta - \cos \alpha)}{L(\sin \alpha - \sin \beta)} = \frac{\cos \beta - \cos \alpha}{\sin \alpha - \sin \beta}$
इति सिद्धम्।

(N/A) माना ऊर्ध्वाधर मीनार की ऊँचाई $OT = H \, m$ है।
माना जमीन पर स्थित बिंदु से मीनार के आधार की दूरी $OP = x \, m$ है।
दिया है कि $AP = 10 \, m$,और मीनार ऊर्ध्वाधर है,इसलिए $AB = OP = x \, m$ और $OB = AP = 10 \, m$ होगा।
अतः,$TB = OT - OB = (H - 10) \, m$ होगा।
$\triangle TPO$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{OT}{OP} = \frac{H}{x}$.
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए $\sqrt{3} = \frac{H}{x}$,जिसका अर्थ है $x = \frac{H}{\sqrt{3}}$ ....$(i)$.
$\triangle TAB$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{TB}{AB} = \frac{H - 10}{x}$.
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $1 = \frac{H - 10}{x}$,जिसका अर्थ है $x = H - 10$ ....$(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$\frac{H}{\sqrt{3}} = H - 10$ प्राप्त होता है।
$H = \sqrt{3}(H - 10) \Rightarrow H = H\sqrt{3} - 10\sqrt{3}$.
$10\sqrt{3} = H(\sqrt{3} - 1)$.
$H = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $H = \frac{10\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{10(3 + \sqrt{3})}{3 - 1} = \frac{10(3 + \sqrt{3})}{2} = 5(3 + \sqrt{3}) \, m$.
अतः,मीनार की ऊँचाई $5(3 + \sqrt{3}) \, m$ है।

(N/A) माना दूसरे घर की ऊँचाई $OQ = H$ है और दोनों घरों के बीच की दूरी $OB = MW = x \text{ m}$ है।
दिया गया है कि पहले घर की ऊँचाई $WB = h = MO$ है।
शीर्ष का उन्नयन कोण $\angle QWM = \alpha$ है और आधार का अवनमन कोण $\angle OWM = \beta$ है।
चूंकि $WM$,$BO$ के समानांतर है,इसलिए $\angle WOB = \angle OWM = \beta$ (एकांतर अंतःकोण)।
$\triangle WOB$ में,$\tan \beta = \frac{WB}{OB} = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\tan \beta} \dots (i)$.
$\triangle QWM$ में,$\tan \alpha = \frac{QM}{WM} = \frac{OQ - MO}{WM} = \frac{H - h}{x} \implies x = \frac{H - h}{\tan \alpha} \dots (ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{h}{\tan \beta} = \frac{H - h}{\tan \alpha}$
$h \tan \alpha = (H - h) \tan \beta$
$h \tan \alpha = H \tan \beta - h \tan \beta$
$H \tan \beta = h \tan \alpha + h \tan \beta$
$H \tan \beta = h(\tan \alpha + \tan \beta)$
$H = h \left( \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\tan \beta} \right)$
$H = h \left( \frac{\tan \alpha}{\tan \beta} + 1 \right)$
$H = h(1 + \tan \alpha \cot \beta)$.
अतः,दूसरे घर की ऊँचाई $h(1 + \tan \alpha \cot \beta)$ मीटर है।

(B) माना जमीन से गुब्बारे की ऊँचाई $H$ है।
माना घर से गुब्बारे की क्षैतिज दूरी $x$ है।
निचली खिड़की $(w_2)$ की जमीन से ऊँचाई $2\, m$ है।
ऊपरी खिड़की $(w_1)$ की निचली खिड़की से ऊँचाई $4\, m$ है,अतः इसकी जमीन से ऊँचाई $2 + 4 = 6\, m$ है।
निचली खिड़की,गुब्बारे और निचली खिड़की के स्तर पर स्थित क्षैतिज रेखा द्वारा बने समकोण त्रिभुज में:
$\tan 60^{\circ} = \frac{H - 2}{x} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{H - 2}{x} \Rightarrow x = \frac{H - 2}{\sqrt{3}} \quad \dots(i)$
ऊपरी खिड़की,गुब्बारे और ऊपरी खिड़की के स्तर पर स्थित क्षैतिज रेखा द्वारा बने समकोण त्रिभुज में:
$\tan 30^{\circ} = \frac{H - 6}{x} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H - 6}{x} \Rightarrow x = \sqrt{3}(H - 6) \quad \dots(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{H - 2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}(H - 6)$
$H - 2 = 3(H - 6)$
$H - 2 = 3H - 18$
$2H = 16$
$H = 8\, m$.
अतः,जमीन से गुब्बारे की ऊँचाई $8\, m$ है।

(N/A) माना टॉवर की ऊँचाई $AB = 70\, m$ है और खंभे की ऊँचाई $CD = h$ है। टॉवर और खंभे के बीच की दूरी $x$ है।
$\triangle ABD$ में,$\tan(45^{\circ}) = \frac{AB}{BD} \implies 1 = \frac{70}{x} \implies x = 70\, m$.
अब,खंभे के शीर्ष $C$ पर विचार करें। $C$ से एक क्षैतिज रेखा खींचें जो $AB$ को $E$ पर मिलती है। अतः $AE = h$ और $EB = 70 - h$ है।
$\triangle AEC$ में,$\tan(30^{\circ}) = \frac{AE}{EC} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{70 - h}{70}$.
$70 = \sqrt{3}(70 - h) \implies 70 = 70\sqrt{3} - h\sqrt{3} \implies h\sqrt{3} = 70(\sqrt{3} - 1)$.
$h = \frac{70(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3}} = 70(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) \approx 70(1 - 0.577) = 70(0.423) = 29.61\, m$.
अतः दूरी $70\, m$ है और खंभे की ऊँचाई लगभग $29.61\, m$ है।

(B) माना इमारत की ऊँचाई $H$ है और इमारत से कार की दूरी $x$ है।
इमारत के शीर्ष से अवनमन कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\tan(60^{\circ}) = \frac{H}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{H}{x} \implies H = x\sqrt{3}$.
शीर्ष से $10 \, m$ नीचे की खिड़की से ऊँचाई $(H - 10)$ है और अवनमन कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\tan(45^{\circ}) = \frac{H - 10}{x} \implies 1 = \frac{H - 10}{x} \implies H - 10 = x$.
दूसरे समीकरण में $H = x\sqrt{3}$ रखने पर: $x\sqrt{3} - 10 = x$.
$x(\sqrt{3} - 1) = 10$.
$x = \frac{10}{\sqrt{3} - 1} = \frac{10}{1.732 - 1} = \frac{10}{0.732} \approx 13.66 \, m$.

(B) माना पहाड़ी की ऊँचाई $h_1 = 80 \, m$ है और मीनार की कुल ऊँचाई $H = h_1 + h_2$ है,जहाँ $h_2$ पहाड़ी की चोटी के स्तर से मीनार की ऊँचाई है।
माना पहाड़ी और मीनार के बीच की क्षैतिज दूरी $d$ है।
आधार के अवनमन कोण से: $\tan(45^\circ) = \frac{h_1}{d} \implies 1 = \frac{80}{d} \implies d = 80 \, m$.
शीर्ष के उन्नयन कोण से: $\tan(30^\circ) = \frac{h_2}{d} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h_2}{80} \implies h_2 = \frac{80}{\sqrt{3}} \approx 46.19 \, m$.
मीनार की कुल ऊँचाई $H = 80 + 46.19 = 126.19 \, m$ (या $80(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}) \, m$) है।

(D) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और दूसरे बिंदु से मीनार के आधार की दूरी $x$ है।
मीनार और दूसरे बिंदु द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,$\tan(60^{\circ}) = \frac{h}{x}$ है।
चूँकि $\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$,इसलिए $x = \frac{h}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
मीनार और पहले बिंदु द्वारा बने बड़े समकोण त्रिभुज में,आधार से दूरी $x + 30$ है।
हम जानते हैं कि $\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{x + 30}$ है।
चूँकि $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x + 30}$,जिसका अर्थ है $x + 30 = h\sqrt{3}$।
$x = \frac{h}{\sqrt{3}}$ को समीकरण में रखने पर: $\frac{h}{\sqrt{3}} + 30 = h\sqrt{3}$।
$\sqrt{3}$ से गुणा करने पर: $h + 30\sqrt{3} = 3h$,अतः $2h = 30\sqrt{3}$।
इस प्रकार,$h = 15\sqrt{3} \approx 15 \times 1.732 = 25.98\, m$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम मान $25.95\, m$ है।

(A) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और प्रारंभिक छाया की लंबाई $x$ है।
जब उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है,तो $\tan(30^{\circ}) = h/x \implies 1/\sqrt{3} = h/x \implies x = h\sqrt{3}$।
जब उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है,तो छाया की लंबाई $x - 50$ हो जाती है।
अतः,$\tan(60^{\circ}) = h/(x - 50) \implies \sqrt{3} = h/(x - 50) \implies x - 50 = h/\sqrt{3}$।
समीकरण में $x = h\sqrt{3}$ प्रतिस्थापित करने पर: $h\sqrt{3} - 50 = h/\sqrt{3}$।
$\sqrt{3}$ से गुणा करने पर: $3h - 50\sqrt{3} = h \implies 2h = 50\sqrt{3} \implies h = 25\sqrt{3}$।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$h = 25 \times 1.732 = 43.30\, m$।

(16.56 M) माना मीनार की ऊँचाई $H$ है और भवन की ऊँचाई $h = 7 \, m$ है। मीनार और भवन के बीच की दूरी $x$ है।
मीनार के शीर्ष से भवन के शीर्ष का अवनमन कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए भवन के शीर्ष से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण $45^{\circ}$ होगा। अतः,$\tan(45^{\circ}) = \frac{H - 7}{x} \implies 1 = \frac{H - 7}{x} \implies x = H - 7$.
मीनार के शीर्ष से भवन के आधार का अवनमन कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए भवन के आधार से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ होगा। अतः,$\tan(60^{\circ}) = \frac{H}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{H}{x} \implies x = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
$x$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $H - 7 = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
$H\sqrt{3} - 7\sqrt{3} = H \implies H(\sqrt{3} - 1) = 7\sqrt{3}$.
$H = \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{7\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{7(3 + \sqrt{3})}{2} = \frac{7(3 + 1.732)}{2} = \frac{7(4.732)}{2} = 7 \times 2.366 = 16.562 \, m$.

(C) माना लाइटहाउस की ऊँचाई $h$ है और लाइटहाउस की स्थिति $O$ है। माना दोनों जहाज विपरीत दिशाओं में $A$ और $B$ बिंदुओं पर हैं।
दिया गया है कि $60^{\circ}$ के अवनमन कोण वाले जहाज की दूरी $150\,m$ है। अतः,$OA = 150\,m$.
लाइटहाउस और जहाज $A$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,$\tan(60^{\circ}) = \frac{h}{150}$.
चूँकि $\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$,इसलिए $h = 150\sqrt{3}\,m$.
अब,$30^{\circ}$ के अवनमन कोण वाले दूसरे जहाज $B$ के लिए,$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{OB}$.
चूँकि $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $OB = h\sqrt{3} = (150\sqrt{3}) \times \sqrt{3} = 150 \times 3 = 450\,m$.
दोनों जहाजों के बीच की कुल दूरी $OA + OB = 150 + 450 = 600\,m$ है।

(D) माना पेड़ की कुल ऊँचाई $H = 21 \,m$ है। माना पेड़ जमीन से $h$ ऊँचाई पर टूटता है। पेड़ का शेष भाग जमीन के साथ एक समकोण त्रिभुज का कर्ण बनाता है। टूटे हुए भाग की लंबाई $(21 - h) \,m$ है। समकोण त्रिभुज में,ऊँचाई $h$ कोण $30^{\circ}$ की सम्मुख भुजा है। साइन फलन का उपयोग करने पर: $\sin(30^{\circ}) = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{h}{21 - h}$। चूँकि $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $\frac{1}{2} = \frac{h}{21 - h}$। वज्र-गुणन करने पर $21 - h = 2h$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $3h = 21$ मिलता है। अतः,$h = 7 \,m$।

(A) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और मीनार से पहली कार की दूरी $x_1 = 75\, m$ है। माना दूसरी कार की दूरी $x_2$ है। अवनमन कोण $60^{\circ}$ और $30^{\circ}$ हैं,जो कारों से मीनार के शीर्ष तक के उन्नयन कोणों के बराबर हैं।
पहली कार,मीनार के आधार और मीनार के शीर्ष द्वारा बने समकोण त्रिभुज में: $\tan(60^{\circ}) = h / 75$। अतः,$h = 75 \times \sqrt{3} = 75\sqrt{3}\, m$।
दूसरी कार,मीनार के आधार और मीनार के शीर्ष द्वारा बने समकोण त्रिभुज में: $\tan(30^{\circ}) = h / x_2$। अतः,$x_2 = h / \tan(30^{\circ}) = (75\sqrt{3}) / (1 / \sqrt{3}) = 75 \times 3 = 225\, m$।
दोनों कारों के बीच की दूरी $x_2 - x_1 = 225 - 75 = 150\, m$ है।

(B) माना मीनार की ऊँचाई $H$ है और इमारत की ऊँचाई $h = 100 \, m$ है।
माना मीनार और इमारत के बीच की दूरी $x$ है।
मीनार के शीर्ष से इमारत के शीर्ष का अवनमन कोण $30^{\circ}$ है,इसलिए इमारत के शीर्ष से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ होगा।
अतः,$\tan(30^{\circ}) = \frac{H - 100}{x} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H - 100}{x} \implies x = \sqrt{3}(H - 100)$.
मीनार के शीर्ष से इमारत के आधार का अवनमन कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए इमारत के आधार से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ होगा।
अतः,$\tan(60^{\circ}) = \frac{H}{x} \implies \sqrt{3} = \frac{H}{x} \implies x = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
$x$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\sqrt{3}(H - 100) = \frac{H}{\sqrt{3}}$.
$3(H - 100) = H \implies 3H - 300 = H \implies 2H = 300 \implies H = 150 \, m$.

(C) माना खंभे की लंबाई $L$ है।
खंभा जमीन के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है।
दोपहर के समय,सूर्य ठीक ऊपर होता है,इसलिए छाया जमीन पर बनती है।
खंभा,उसकी छाया और जमीन एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं,जहाँ खंभा कर्ण है और छाया आधार है।
त्रिकोणमिति के अनुसार,$\cos(60^{\circ}) = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{\text{छाया की लंबाई}}{\text{खंभे की लंबाई}}$.
$\cos(60^{\circ}) = \frac{3}{L}$.
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{1}{2} = \frac{3}{L}$.
$L = 3 \times 2 = 6 \, m$.
अतः,खंभे की लंबाई $6 \, m$ है।

(D) माना इमारत की ऊँचाई $AB = 36 \, m$ है और मीनार की ऊँचाई $CD = h$ है। माना इमारत और मीनार के बीच की दूरी $x$ है।
इमारत के शीर्ष $(A)$ से मीनार के शीर्ष $(D)$ का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है।
$A$ से मीनार पर बिंदु $E$ तक की क्षैतिज रेखा द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,$\tan(30^{\circ}) = \frac{DE}{AE} = \frac{h - 36}{x}$ है।
चूँकि $\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,हमें $x = \sqrt{3}(h - 36)$ प्राप्त होता है।
इमारत के शीर्ष $(A)$ से मीनार के आधार $(C)$ का अवनमन कोण $60^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,$\tan(60^{\circ}) = \frac{AB}{BC} = \frac{36}{x}$ है।
चूँकि $\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$,हमें $x = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$x$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\sqrt{3}(h - 36) = 12\sqrt{3}$।
$\sqrt{3}$ से भाग देने पर,$h - 36 = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $h = 48 \, m$।

(N/A) माना इमारत $AB$ है जिसकी ऊँचाई $h$ है और खंभा $CD$ है जिसकी ऊँचाई $H$ है। माना इमारत और खंभे के बीच की दूरी $x$ है।
$\triangle ABD$ में,$\angle ADB = \beta$ (अवनमन कोण)। अतः,$\tan \beta = \frac{AB}{BD} = \frac{h}{x}$,जिसका अर्थ है $x = h \cot \beta$।
अब,इमारत के शीर्ष और खंभे के शीर्ष द्वारा बने त्रिभुज पर विचार करें। माना $E$,$CD$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $AE \perp CD$ है। अतः $AE = BD = x$ और $ED = AB = h$।
$\triangle AEC$ में,$\angle EAC = \alpha$ (उन्नयन कोण)। अतः,$\tan \alpha = \frac{EC}{AE} = \frac{EC}{x}$,जिसका अर्थ है $EC = x \tan \alpha$।
$x = h \cot \beta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $EC = (h \cot \beta) \tan \alpha = h \tan \alpha \cot \beta$ प्राप्त होता है।
खंभे की कुल ऊँचाई $H = ED + EC = h + h \tan \alpha \cot \beta = h(1 + \tan \alpha \cot \beta)$ है।

(A) माना मीनार $PQ$ की ऊँचाई $h$ है,जहाँ $P$ शीर्ष है और $Q$ आधार है। जमीन पर $Q$ को मूल बिंदु मानिए। बिंदु $A$ और $B$ $Q$ से एक ही रेखा पर स्थित हैं। माना $QB = x$ और $QA = x + a$ है।
$\triangle PQB$ में,$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{h}{x} \implies \cot \theta = \frac{h}{x} \implies x = h \tan \theta$।
$\triangle PQA$ में,$\tan \theta = \frac{h}{x + a} \implies x + a = \frac{h}{\tan \theta} = h \cot \theta$।
दूसरे समीकरण में $x = h \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर: $h \tan \theta + a = h \cot \theta$।
$a = h(\cot \theta - \tan \theta) = h(\frac{1}{\tan \theta} - \tan \theta) = h(\frac{1 - \tan^2 \theta}{\tan \theta})$।
अतः,$h = \frac{a \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$।

(N/A) माना महल की ऊँचाई $H$ मीटर है। प्रेक्षण बिंदु $P$ है,जो झील के जल स्तर से $h$ मीटर ऊपर है। जल स्तर पर बिंदु $O$ है जो $P$ के ठीक नीचे है। महल का शीर्ष $T$ है। जल स्तर से $T$ की ऊँचाई $H$ है। झील में महल के प्रतिबिंब $T'$ की गहराई जल स्तर से नीचे $H$ है।
शीर्ष की दृष्टि रेखा द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,क्षैतिज दूरी $x$ के लिए $\tan \alpha = \frac{H-h}{x}$,अतः $x = \frac{H-h}{\tan \alpha} = (H-h) \cot \alpha$.
प्रतिबिंब की दृष्टि रेखा द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,क्षैतिज दूरी $x$ के लिए $\tan \beta = \frac{H+h}{x}$,अतः $x = \frac{H+h}{\tan \beta} = (H+h) \cot \beta$.
$x$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $(H-h) \cot \alpha = (H+h) \cot \beta$.
$H \cot \alpha - h \cot \alpha = H \cot \beta + h \cot \beta$.
$H(\cot \alpha - \cot \beta) = h(\cot \alpha + \cot \beta)$.
$H = \frac{h(\cot \alpha + \cot \beta)}{\cot \alpha - \cot \beta} \text{ मीटर}$.

(D) माना लड़की की ऊँचाई $h_1 = 1.2 \, m$ है और गुब्बारे की ऊँचाई $H = 88.2 \, m$ है। लड़की की आँखों के स्तर से गुब्बारे की प्रभावी ऊँचाई $H' = 88.2 - 1.2 = 87 \, m$ होगी।
पहली स्थिति में,माना क्षैतिज दूरी $x_1$ है। तब $\tan(60^{\circ}) = \frac{87}{x_1} \implies x_1 = \frac{87}{\sqrt{3}} = 29\sqrt{3} \, m$।
दूसरी स्थिति में,माना क्षैतिज दूरी $x_2$ है। तब $\tan(30^{\circ}) = \frac{87}{x_2} \implies x_2 = 87\sqrt{3} \, m$।
गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी $d = x_2 - x_1 = 87\sqrt{3} - 29\sqrt{3} = 58\sqrt{3} \, m$ है।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$d = 58 \times 1.732 = 100.456 \, m$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,निकटतम उत्तर $100.92 \, m$ है।

(A) एक समकोण त्रिभुज में,मान लीजिए कि कोण $30^{\circ}$,$60^{\circ}$ और $90^{\circ}$ हैं।
त्रिकोणमितीय अनुपातों के अनुसार,कोण $\theta$ के लिए,$\sin(\theta) = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$.
यहाँ,$\theta = 30^{\circ}$ है।
इसलिए,$\sin(30^{\circ}) = \frac{30^{\circ} \text{ की सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$.
हम जानते हैं कि $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{2} = \frac{30^{\circ} \text{ की सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$.
इसका अर्थ है कि $30^{\circ}$ के कोण की सम्मुख भुजा कर्ण की $\frac{1}{2}$ गुनी होती है।

(B) मान लीजिए कि इमारत और खंभे के आधारों के बीच की दूरी $2d$ है। प्रेक्षक मध्य-बिंदु पर है,इसलिए प्रेक्षक से खंभे के आधार की दूरी $d$ है और इमारत के आधार की दूरी $d$ है।
$8 \, m$ ऊँचे खंभे के लिए,$\tan \alpha = \frac{8}{d}$ है।
$11 \, m$ ऊँची इमारत के लिए,$\tan \beta = \frac{11}{d}$ है।
चूँकि $11 > 8$,इसलिए $\frac{11}{d} > \frac{8}{d}$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\tan \beta > \tan \alpha$ है।
चूँकि कोण $\alpha$ और $\beta$ प्रथम चतुर्थांश में हैं,स्पर्शज्या (tangent) फलन निरंतर वर्धमान है।
अतः,$\beta > \alpha$,जो $\alpha < \beta$ के बराबर है।

(C) मान लीजिए टावर $M$ की ऊंचाई $h_M$ है और टावर $N$ की ऊंचाई $h_N$ है। दोनों टावरों के आधार के बीच की दूरी $d$ है।
टावर $M$ के आधार से टावर $N$ के शीर्ष का उन्नयन कोण $40^{\circ}$ है,इसलिए $\tan(40^{\circ}) = \frac{h_N}{d}$,जिसका अर्थ है $h_N = d \cdot \tan(40^{\circ})$.
टावर $N$ के आधार से टावर $M$ के शीर्ष का उन्नयन कोण $55^{\circ}$ है,इसलिए $\tan(55^{\circ}) = \frac{h_M}{d}$,जिसका अर्थ है $h_M = d \cdot \tan(55^{\circ})$.
चूंकि $55^{\circ} > 40^{\circ}$,हम जानते हैं कि $\tan(55^{\circ}) > \tan(40^{\circ})$.
इसलिए,$h_M > h_N$,जिसका अर्थ है कि टावर $M$,टावर $N$ से ऊंचा है।

(D) माना मीनार की ऊँचाई $y$ है और बिंदु $A$ से मीनार के आधार की दूरी $x$ है।
मीनार और जमीन द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,उन्नयन कोण $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\tan(\theta) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{y}{x}$.
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए $1 = \frac{y}{x}$.
अतः,$x = y$ सत्य है।

(A) मान लीजिए कि ढलान को एक समकोण त्रिभुज द्वारा दर्शाया गया है जहाँ कर्ण ढलान पर चली गई दूरी $(x \, m)$ है और $30^{\circ}$ के कोण के सम्मुख भुजा जमीन से ऊँचाई $(y \, m)$ है।
साइन $(sin)$ के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हुए:
$\sin(30^{\circ}) = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$
$\sin(30^{\circ}) = \frac{y}{x}$
चूँकि $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,हमारे पास है:
$\frac{1}{2} = \frac{y}{x}$
तिर्यक गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:
$x = 2y$.

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है। माना घर $A$ और $B$ की मीनार के आधार से दूरियाँ क्रमशः $d_A$ और $d_B$ हैं।
ज्यामितीय स्थिति के अनुसार,अवनमन कोण घर से मीनार के शीर्ष तक के उन्नयन कोण के बराबर होता है।
अतः,$\tan(25^{\circ}) = \frac{h}{d_A}$ और $\tan(40^{\circ}) = \frac{h}{d_B}$.
इसका अर्थ है कि $d_A = \frac{h}{\tan(25^{\circ})}$ और $d_B = \frac{h}{\tan(40^{\circ})}$.
चूँकि $40^{\circ} > 25^{\circ}$,हम जानते हैं कि $\tan(40^{\circ}) > \tan(25^{\circ})$.
इसलिए,$\frac{h}{\tan(40^{\circ})} < \frac{h}{\tan(25^{\circ})}$,जिसका अर्थ है कि $d_B < d_A$.
अतः,घर $B$,घर $A$ की तुलना में मीनार के अधिक निकट है।

(C) माना टॉवर की ऊँचाई $AB = 30 \ m$ है। माना पत्थर जमीन पर बिंदु $C$ पर स्थित है।
शीर्ष $A$ से पत्थर $C$ का अवनमन कोण $45^{\circ}$ है।
चूँकि दृष्टि रेखा जमीन के समानांतर है,इसलिए पत्थर $C$ से शीर्ष $A$ का उन्नयन कोण भी $45^{\circ}$ होगा (एकांतर अंतःकोण)।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,
$\tan(45^{\circ}) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{AB}{BC}$.
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए $1 = \frac{30}{BC}$.
अतः,$BC = 30 \ m$.
इस प्रकार,टॉवर के आधार से पत्थर की दूरी $30 \ m$ है।

(D) माना सीढ़ी की लंबाई $L\, m$ है।
सीढ़ी,दीवार और जमीन द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,दीवार की ऊँचाई $30^{\circ}$ के कोण की सम्मुख भुजा है,जो $3\, m$ है।
सीढ़ी त्रिभुज का कर्ण है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin(\theta) = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर:
$\sin(30^{\circ}) = \frac{3}{L}$
चूँकि $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{2} = \frac{3}{L}$
$L = 3 \times 2 = 6\, m$.
अतः,सीढ़ी की लंबाई $6\, m$ है।

(A) माना खंभे की ऊँचाई $h \, m$ है।
दिया गया है कि खंभे के आधार से प्रेक्षण बिंदु की दूरी $20 \, m$ है।
उन्नयन कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
खंभे,जमीन और दृष्टि रेखा द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में:
$\tan(\theta) = \frac{\text{खंभे की ऊँचाई}}{\text{आधार से दूरी}}$
$\tan(45^{\circ}) = \frac{h}{20}$
चूँकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए:
$1 = \frac{h}{20}$
$h = 20 \, m$.
अतः,खंभे की ऊँचाई $20 \, m$ है।

(B) माना सीढ़ी की लंबाई $L = 4 \, m$ (कर्ण) है और दीवार से दूरी $d = 2 \, m$ (आसन्न भुजा) है।
माना सीढ़ी जमीन के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\cos \theta = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करते हुए।
$\cos \theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 60^\circ$।

(C) $\Delta ABC$ में,$\angle B = 90^{\circ}$ है।
यहाँ कर्ण $AC = 20$ और $\angle ACB$ की आसन्न भुजा $BC = 10$ दी गई है।
कोसाइन (cosine) के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करने पर:
$\cos(\angle ACB) = \frac{\text{आसन्न भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{BC}{AC}$
$\cos(\angle ACB) = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$
चूँकि $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ होता है,इसलिए $m\angle ACB = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(D) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $m \angle B = 90^{\circ}$ है,$\angle C$ के सम्मुख भुजा $AB$ (लंब) है और $\angle C$ की संलग्न भुजा $BC$ (आधार) है।
टैंजेंट अनुपात की परिभाषा के अनुसार:
$\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{संलग्न भुजा}}$
$\tan \theta = \frac{AB}{BC}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) अवनमन कोण को उस कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है जो दृष्टि रेखा और क्षैतिज स्तर के बीच बनता है जब वस्तु क्षैतिज स्तर से नीचे होती है। इसलिए,यदि कोई प्रेक्षक नीचे की ओर किसी वस्तु को देखता है,तो वह वस्तु क्षैतिज स्तर के नीचे स्थित होती है।

(B) $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है। इसका दशमलव प्रसार $1.7320508\ldots$ है।
इस मान को $2$ दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित (round off) करने के लिए,हम तीसरे दशमलव अंक को देखते हैं,जो $2$ है। चूँकि $2 < 5$ है,इसलिए हम दूसरे दशमलव अंक को वैसा ही रहने देंगे।
अतः,$\sqrt{3}$ का $2$ दशमलव स्थानों तक अनुमानित मान $1.73$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\sqrt{3}$ का मान लगभग $1.732$ होता है।
इसलिए,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{1.732}$.
भाग देने पर,हमें $\frac{1}{1.732} \approx 0.5773$ प्राप्त होता है।
इस मान को $2$ दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $0.58$ प्राप्त होता है।

(D) $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है,जिसका लगभग मान $1.41421356...$ होता है।
इस मान को $2$ दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित (round off) करने के लिए,हम तीसरे दशमलव अंक को देखते हैं,जो $4$ है। चूँकि $4 < 5$ है,इसलिए हम दूसरे दशमलव अंक को वैसा ही रहने देते हैं।
अतः,$\sqrt{2}$ का $2$ दशमलव स्थानों तक लगभग मान $1.41$ है।

(C) माना इमारत की ऊँचाई $h$ है और इमारत के आधार से वस्तु की दूरी $l$ है।
प्रश्न के अनुसार,इमारत के शीर्ष से वस्तु का अवनमन कोण $\theta$ है।
चूँकि दृष्टि रेखा जमीन के समानांतर है,इसलिए वस्तु से इमारत के शीर्ष का उन्नयन कोण भी $\theta$ होगा (एकांतर अंतःकोण)।
इमारत और जमीन द्वारा बने समकोण त्रिभुज में:
$\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{h}{l}$
$l$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$l = \frac{h}{\tan \theta}$
चूँकि $\frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$,हमें प्राप्त होता है:
$l = h \cot \theta$
अतः,इमारत के आधार से वस्तु की दूरी $h \cot \theta$ है।

(C) माना लाइटहाउस की ऊँचाई $h$ है। माना लाइटहाउस के आधार से जहाज $Q$ की दूरी $x$ है और जहाज $P$ की दूरी $y$ है।
ज्यामिति के अनुसार,जहाजों से लाइटहाउस के शीर्ष का उन्नयन कोण अवनमन कोण के बराबर होता है।
जहाज $Q$ के लिए: $\tan(50^{\circ}) = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\tan(50^{\circ})}$.
जहाज $P$ के लिए: $\tan(35^{\circ}) = \frac{h}{y} \implies y = \frac{h}{\tan(35^{\circ})}$.
चूंकि $35^{\circ} < 50^{\circ}$,इसलिए $\tan(35^{\circ}) < \tan(50^{\circ})$ होगा।
अतः,$\frac{h}{\tan(35^{\circ})} > \frac{h}{\tan(50^{\circ})}$,जिसका अर्थ है कि $y > x$.
इस प्रकार,लाइटहाउस से जहाज $P$ की दूरी जहाज $Q$ की दूरी से अधिक है।

(C) माना $AB$ दीवार है और $AC$ सीढ़ी है।
यहाँ दीवार की ऊँचाई $AB = 3 \, m$ और उन्नयन कोण $\angle C = 30^{\circ}$ दिया गया है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में:
$\sin C = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC}$
$\sin 30^{\circ} = \frac{3}{AC}$
चूँकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{2} = \frac{3}{AC}$
$AC = 3 \times 2 = 6 \, m$.
अतः,सीढ़ी की लंबाई $6 \, m$ है।

(B) मान लीजिए कि मीनार के आधार और मध्य-बिंदु के बीच की दूरी $a$ है,और इमारत के आधार और मध्य-बिंदु के बीच की दूरी भी $a$ है।
मीनार द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,हमारे पास $\tan \alpha = \frac{50}{a}$ है।
इमारत द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,हमारे पास $\tan \beta = \frac{30}{a}$ है।
अनुपात लेने पर,हमें $\frac{\tan \alpha}{\tan \beta} = \frac{50/a}{30/a} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\frac{5}{3} > 1$,इसलिए $\tan \alpha > \tan \beta$ होता है।
चूँकि टेंजेंट फलन $(0, 90^\circ)$ अंतराल में वर्धमान फलन है,इसलिए $\tan \alpha > \tan \beta$ का अर्थ है कि $\alpha > \beta$।

(C) माना कि $AB$ मीनार की ऊँचाई $30 \, m$ है और $C$ पत्थर की स्थिति है।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में,पत्थर से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण अवनमन कोण के बराबर होता है,जो $45^{\circ}$ है।
इसलिए,$\angle ACB = 45^{\circ}$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 45^{\circ} = \frac{AB}{BC}$
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$ और $AB = 30 \, m$ है:
$1 = \frac{30}{BC}$
$BC = 30 \, m$।
अतः,मीनार और पत्थर के बीच की दूरी $30 \, m$ है।