Mix Examples - Quadratic Equations Questions in Hindi

(A) एक चर वाला द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप का समीकरण होता है,जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ है।
विकल्प $A$: $3x^{2} + \sqrt{2}x - 7 = 0$ एक चर $(x)$ वाला द्विघात समीकरण है।
विकल्प $B$: $3x^{2} + 2y - 6 = 0$ में दो चर ($x$ और $y$) हैं।
विकल्प $C$: $4x - y = 5$ दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है।
विकल्प $D$: $5x^{3} - 1 = 2$ एक चर वाला त्रिघात समीकरण है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का एक समीकरण है,जहाँ $a \neq 0$ होता है।
आइए प्रत्येक विकल्प को सरल करें:
$A$: $x(3x + 7) = (x + 1)(x - 1) \implies 3x^2 + 7x = x^2 - 1 \implies 2x^2 + 7x + 1 = 0$। यह एक द्विघात समीकरण है।
$B$: $x^2 - 2x + 1 = 0$। यह पहले से ही $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है जहाँ $a = 1$ है। यह एक द्विघात समीकरण है।
$C$: $2x(3x - 5) + 1 = 3x(2x + 5) + 3 \implies 6x^2 - 10x + 1 = 6x^2 + 15x + 3 \implies -10x + 1 = 15x + 3 \implies 25x + 2 = 0$। यह एक रैखिक समीकरण है,द्विघात समीकरण नहीं है।
$D$: $4 - 3x - 2x^2 = 0$। यह एक द्विघात समीकरण है जहाँ $a = -2$ है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम गुणनफल का विस्तार करते हैं:
$(x+6)(x+5) = x^2 + 5x + 6x + 30 = x^2 + 11x + 30$।
चूंकि समीकरण $(x+6)(x+5) = 0$ के रूप में दिया गया है,हम इसे $x^2 + 11x + 30 = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
$ax^2 + bx + c = 0$ के रूप वाले समीकरण को,जहाँ $a \neq 0$,द्विघात समीकरण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि चर $x$ की अधिकतम घात $2$ है,इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।

(A) एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का समीकरण होता है,जहाँ $a, b, c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ है।
प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:
$A$: $x + \frac{1}{x} = 2 \implies x^2 + 1 = 2x \implies x^2 - 2x + 1 = 0$। यह एक द्विघात समीकरण है।
$B$: $x^2 + \frac{1}{x} = 2 \implies x^3 + 1 = 2x \implies x^3 - 2x + 1 = 0$। यह एक त्रिघात समीकरण है।
$C$: $x + \frac{1}{x^2} = 3 \implies x^3 + 1 = 3x^2 \implies x^3 - 3x^2 + 1 = 0$। यह एक त्रिघात समीकरण है।
$D$: $x(x + 1) = 2 \implies x^2 + x = 2 \implies x^2 + x - 2 = 0$। यह भी एक द्विघात समीकरण है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण: $x^{2} + 5x + 6 = 0$ है।
इसे हल करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करेंगे:
$x^{2} + 2x + 3x + 6 = 0$
$x(x + 2) + 3(x + 2) = 0$
$(x + 2)(x + 3) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
अतः,हल समुच्चय $\{-2, -3\}$ है।

(A) द्विघात समीकरण $x^{2}-2x-15=0$ के मूल ज्ञात करने के लिए,हम गुणनखंड विधि का उपयोग कर सकते हैं।
हमें ऐसी दो संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है जिनका गुणनफल $-15$ हो और योग $-2$ हो।
ये दो संख्याएँ $-5$ और $3$ हैं,क्योंकि $(-5) \times 3 = -15$ और $(-5) + 3 = -2$.
अब,समीकरण को इस प्रकार लिखें: $x^{2}-5x+3x-15=0$.
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करें: $x(x-5)+3(x-5)=0$.
इससे हमें प्राप्त होता है: $(x-5)(x+3)=0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $x-5=0$ या $x+3=0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x=5$ या $x=-3$.
समीकरण के मूल $5$ और $-3$ हैं।

(D) द्विघात समीकरण $x^{2}+5x-14=0$ का हल समुच्चय ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करते हैं।
हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $-14$ और योग $5$ हो।
ये संख्याएँ $7$ और $-2$ हैं,क्योंकि $7 \times (-2) = -14$ और $7 + (-2) = 5$ होता है।
अतः,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं: $x^{2} + 7x - 2x - 14 = 0$.
पदों का समूह बनाने पर,हमें प्राप्त होता है: $x(x + 7) - 2(x + 7) = 0$.
$(x + 7)$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें मिलता है: $(x + 7)(x - 2) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,$x + 7 = 0$ या $x - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x = -7$ या $x = 2$ है।
अतः,हल समुच्चय $\{-7, 2\}$ है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि किस समीकरण का हल $x=2$ है,हम प्रत्येक दिए गए समीकरण में $x=2$ प्रतिस्थापित करते हैं और जांचते हैं कि परिणाम $0$ है या नहीं।
विकल्प $A$ के लिए: $x^{2}-3x+2=0$
$x=2$ रखने पर: $(2)^{2}-3(2)+2 = 4-6+2 = 0$.
चूंकि परिणाम $0$ है,इसलिए $x=2$ इस समीकरण का एक हल है।
विकल्प $B$ के लिए: $x^{2}+x+2=0$
$x=2$ रखने पर: $(2)^{2}+2+2 = 4+2+2 = 8 \neq 0$.
विकल्प $C$ के लिए: $x^{2}-2x+2=0$
$x=2$ रखने पर: $(2)^{2}-2(2)+2 = 4-4+2 = 2 \neq 0$.
विकल्प $D$ के लिए: $2x^{2}+2x+1=0$
$x=2$ रखने पर: $2(2)^{2}+2(2)+1 = 2(4)+4+1 = 8+4+1 = 13 \neq 0$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है कि $3$ द्विघात समीकरण $x^{2}-kx+6=0$ का एक मूल है।
समीकरण में $x=3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(3)^{2}-k(3)+6=0$
$9-3k+6=0$
$15-3k=0$
$3k=15$
$k=5$
अतः,$k$ का मान $5$ है।

(B) चूंकि $-3$ द्विघात समीकरण $x^{2}+3(k+2)x-9=0$ का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
$x=-3$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-3)^{2}+3(k+2)(-3)-9=0$
$9-9(k+2)-9=0$
$9-9k-18-9=0$
$-9k-18=0$
$-9k=18$
$k=-2$

(B) दिया गया समीकरण: $(x-7)^{2}-16=0$
विधि $1$: सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हुए
$(x-7)^2 - 4^2 = 0$
$(x-7-4)(x-7+4) = 0$
$(x-11)(x-3) = 0$
अतः,$x-11=0$ या $x-3=0$,जिससे हमें $x=11$ या $x=3$ प्राप्त होता है।
विधि $2$: वर्ग का विस्तार करते हुए
$x^2 - 14x + 49 - 16 = 0$
$x^2 - 14x + 33 = 0$
$x^2 - 11x - 3x + 33 = 0$
$x(x-11) - 3(x-11) = 0$
$(x-11)(x-3) = 0$
इस प्रकार,मूल $3$ और $11$ हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण: $x(x+1)-6=0$
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^{2}+x-6=0$
मूल ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करेंगे:
$x^{2}+3x-2x-6=0$
$x(x+3)-2(x+3)=0$
$(x+3)(x-2)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x+3=0 \implies x=-3$
$x-2=0 \implies x=2$
अतः,मूल $-3$ और $2$ हैं।

(A) दिया गया है कि $1$ द्विघात समीकरण $3x^{2}-kx+2=0$ का एक हल (मूल) है।
समीकरण में $x=1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3(1)^{2}-k(1)+2=0$
$3(1)-k+2=0$
$3-k+2=0$
$5-k=0$
अतः,$k=5$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $x=-2$ द्विघात समीकरण $k x^{2}+5 x+2=0$ का एक हल है।
समीकरण में $x=-2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$k(-2)^{2}+5(-2)+2=0$
$k(4)-10+2=0$
$4k-8=0$
$4k=8$
$k=2$
अतः,$k$ का मान $2$ है।

(B) दिया गया है कि $-3$,द्विघात समीकरण $2x^{2} + 5x + k = 0$ का एक हल है।
समीकरण में $x = -3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2(-3)^{2} + 5(-3) + k = 0$
$2(9) - 15 + k = 0$
$18 - 15 + k = 0$
$3 + k = 0$
$k = -3$

(C) दिया गया द्विघात समीकरण: $6 x^{2}-13 x+6=0$
मध्य पद का विभाजन करने पर: $6 x^{2}-9 x-4 x+6=0$
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर: $3 x(2 x-3)-2(2 x-3)=0$
$(2 x-3)(3 x-2)=0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर: $2 x-3=0$ या $3 x-2=0$
अतः,मूल $x=\frac{3}{2}$ या $x=\frac{2}{3}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $x + \frac{2}{x} = 3$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$x^2 + 2 = 3x$
समीकरण को मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 2x - x + 2 = 0$
$x(x - 2) - 1(x - 2) = 0$
$(x - 2)(x - 1) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
अतः,मूल $2$ और $1$ हैं।

(B) यदि किसी द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2}-4ac$ शून्य के बराबर हो,तो उसके मूल समान (पुनरावृत्त) होते हैं।
विकल्प $A$ के लिए: $x^{2}-6x-8=0$,$D = (-6)^{2}-4(1)(-8) = 36+32 = 68 \neq 0$.
विकल्प $B$ के लिए: $x^{2}-6x+9=0$,$D = (-6)^{2}-4(1)(9) = 36-36 = 0$. चूँकि $D=0$ है,इसलिए मूल समान हैं।
विकल्प $C$ के लिए: $x^{2}-9=0$,$D = (0)^{2}-4(1)(-9) = 36 \neq 0$.
विकल्प $D$ के लिए: $x^{2}-4=0$,$D = (0)^{2}-4(1)(-4) = 16 \neq 0$.
अतः,समान मूल वाला समीकरण $x^{2}-6x+9=0$ है।

(D) एक द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c$ पूर्ण वर्ग होता है यदि उसका विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 0$ हो।
यहाँ,$a = 16$,$b = 40$ और $c = k$ है।
विविक्तकर को शून्य रखने पर: $D = (40)^2 - 4(16)(k) = 0$.
$1600 - 64k = 0$.
$64k = 1600$.
$k = \frac{1600}{64} = 25$.
वैकल्पिक रूप से,$(mx + n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2$ के पूर्ण वर्ग के लिए,हम $16x^2 + 40x + k$ की तुलना $(4x + n)^2 = 16x^2 + 8nx + n^2$ से करते हैं।
मध्य पदों की तुलना करने पर: $8n = 40$,इसलिए $n = 5$।
अतः $k = n^2 = 5^2 = 25$।

(B) गोल्डन रेशियो,जिसे $\phi$ के रूप में दर्शाया जाता है,को दो राशियों के ऐसे अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ राशियों के योग और बड़ी राशि का अनुपात,बड़ी राशि और छोटी राशि के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,दो राशियों $a$ और $b$ के लिए जहाँ $a > b > 0$ है,गोल्डन रेशियो को $\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \phi$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
यह द्विघात समीकरण $\phi^2 - \phi - 1 = 0$ की ओर ले जाता है।
द्विघात सूत्र $\phi = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\phi = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि अनुपात धनात्मक होना चाहिए,इसलिए हम धनात्मक मूल लेते हैं: $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618$।

(C) माना कि $x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2x = 1+\sqrt{5}$.
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर: $2x-1 = \sqrt{5}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2x-1)^{2} = (\sqrt{5})^{2}$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $4x^{2}-4x+1 = 5$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4x^{2}-4x-4 = 0$.
पूरे समीकरण को $4$ से विभाजित करने पर: $x^{2}-x-1 = 0$.
अतः,स्वर्ण संख्या द्विघात समीकरण $x^{2}-x-1=0$ का एक हल है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2} = 49$ है।
दोनों पक्षों से $49$ घटाने पर,हमें $x^{2} - 49 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ के रूप में है,जहाँ $a = x$ और $b = 7$ है।
अतः,$(x - 7)(x + 7) = 0$।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,हमें $x - 7 = 0$ या $x + 7 = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x = 7$ या $x = -7$।

(D) दिया गया समीकरण: $(x+2)^{2} = 16$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $x+2 = \pm 4$
स्थिति $1$: $x+2 = 4 \implies x = 4-2 = 2$
स्थिति $2$: $x+2 = -4 \implies x = -4-2 = -6$
अतः,मूल $2$ और $-6$ हैं।

(D) $\alpha$ और $\beta$ मूलों वाला द्विघात समीकरण इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$
यहाँ दिए गए मूल $\alpha = -1$ और $\beta = 2$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $(x - (-1))(x - 2) = 0$
यह सरल होकर: $(x + 1)(x - 2) = 0$ हो जाता है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $x(x) + x(-2) + 1(x) + 1(-2) = 0$
$x^{2} - 2x + x - 2 = 0$
$x^{2} - x - 2 = 0$
अतः,सही द्विघात समीकरण $x^{2} - x - 2 = 0$ है।

(D) मूलों $\alpha$ और $\beta$ वाले द्विघात समीकरण को निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है: $x^{2} - (\alpha + \beta)x + (\alpha \cdot \beta) = 0$.
यहाँ,मूल $\alpha = -8$ और $\beta = 8$ हैं।
मूलों का योग: $\alpha + \beta = -8 + 8 = 0$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \beta = (-8) \times (8) = -64$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x^{2} - (0)x + (-64) = 0$
$x^{2} - 64 = 0$
$x^{2} = 64$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) मानक रूप के द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,जहाँ $a \neq 0$,विविक्तकर को $D = b^2 - 4ac$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह मान द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति निर्धारित करता है।
विविक्तकर को दर्शाने के लिए प्रयुक्त प्रतीक $D$ है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
$1$. यदि $D > 0$ है,तो समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
$2$. यदि $D = 0$ है,तो समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं।
$3$. यदि $D < 0$ है,तो $D$ का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या नहीं है,इसलिए द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है।
अतः,वास्तविक मूलों के न होने की शर्त $D < 0$ है।

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए जहाँ गुणांक $a, b, c \in \mathbb{Q}$ हैं,मूल द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $D = b^2 - 4ac$ विविक्तकर (discriminant) है।
$1$. यदि $D > 0$ है और $D$ एक परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग है,तो $\sqrt{D}$ परिमेय होता है,जिससे मूल भिन्न और परिमेय प्राप्त होते हैं।
$2$. यदि $D = 0$ है,तो मूल वास्तविक और समान होते हैं।
$3$. यदि $D < 0$ है,तो मूल काल्पनिक होते हैं।
अतः,मूलों के भिन्न और परिमेय होने के लिए $D > 0$ होना चाहिए और $D$ एक परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग होना चाहिए,बशर्ते $a, b, c$ परिमेय हों।

(D) एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
यदि $D > 0$ है,तो समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
यदि $D = 0$ है,तो समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं।
यदि $D < 0$ है,तो समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है (काल्पनिक मूल होते हैं)।
अतः,मूलों के भिन्न और वास्तविक होने के लिए,शर्त $D > 0$ है।

(D) एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $D = b^2 - 4ac$ द्वारा दिया जाता है।
यदि $D > 0$ है,तो समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
यदि $D = 0$ है,तो समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं।
यदि $D < 0$ है,तो समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है।
अतः,मूलों के समान होने के लिए शर्त $D = 0$ है।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूल द्विघाती सूत्र द्वारा दिए जाते हैं: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$,जहाँ $D = b^2 - 4ac$ विविक्तकर (discriminant) है।
यह सूत्र दो मूल प्रदान करता है: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ और $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$।
चूंकि प्रश्न में दिया गया है कि एक मूल $\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ है,इसलिए दूसरा मूल $\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ होगा।

(C) द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ होता है।
दिया गया समीकरण $5x^{2}-4x-1=0$ है।
इसकी तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,हमें गुणांक प्राप्त होते हैं:
$a = 5$
$b = -4$
$c = -1$
अतः,$b$ का मान $-4$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x(2x - 1) - 5 = 0$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर,हमें $2x^2 - x - 5 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ होता है।
$2x^2 - x - 5 = 0$ की तुलना $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर,गुणांक $a = 2$,$b = -1$ और $c = -5$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$a$ का मान $2$ है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D$ का मान $D = b^2 - 4ac$ होता है।
यदि द्विघात समीकरण के दोनों मूल समान हैं,तो विविक्तकर का मान शून्य होना चाहिए,अर्थात $D = 0$।
$D$ का मान रखने पर,हमें $b^2 - 4ac = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$b^2 = 4ac$ होगा।

(C) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
दिए गए समीकरण $4x^{2} + 20x + 25 = 0$ में,गुणांक $a = 4$,$b = 20$,और $c = 25$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (20)^{2} - 4(4)(25)$
$D = 400 - 400$
$D = 0$
अतः,विविक्तकर का मान $0$ है।

(C) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
दिए गए समीकरण $5x^{2} + x + 2 = 0$ में,गुणांक $a = 5$,$b = 1$ और $c = 2$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (1)^{2} - 4(5)(2)$
$D = 1 - 40$
$D = -39$
अतः,विविक्तकर का मान $-39$ है।

(D) द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D=b^{2}-4ac$ होता है।
दिए गए समीकरण $x^{2}-8x+15=0$ में,गुणांक $a=1, b=-8$ और $c=15$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$D=(-8)^{2}-4(1)(15)$
$D=64-60$
$D=4$
अतः,विविक्तकर का मान $4$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $kx^{2} - 4x - 4 = 0$ है। इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = k$,$b = -4$,और $c = -4$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
चूंकि $D = 64$ दिया गया है,मानों को सूत्र में रखने पर:
$(-4)^{2} - 4(k)(-4) = 64$
$16 + 16k = 64$
$16k = 64 - 16$
$16k = 48$
$k = \frac{48}{16}$
$k = 3$

(A) द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के लिए,विविक्तकर $D = b^{2}-4ac$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया समीकरण: $6x^{2}-x-k=0$.
यहाँ,$a=6, b=-1, c=-k$.
दिया गया है कि विविक्तकर $D = 25$.
सूत्र में मान रखने पर: $(-1)^{2}-4(6)(-k) = 25$.
$1+24k = 25$.
$24k = 25-1$.
$24k = 24$.
$k = 1$.

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $D = b^2 - 4ac$ होता है।
दिए गए समीकरण $kx^2 - 6x + 1 = 0$ में,$a = k$,$b = -6$ और $c = 1$ है।
चूंकि विविक्तकर $0$ है,इसलिए हम $D = 0$ रखते हैं:
$(-6)^2 - 4(k)(1) = 0$
$36 - 4k = 0$
$4k = 36$
$k = 9$.

(B) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,मूल समान होते हैं यदि और केवल यदि विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac = 0$ हो।
यहाँ,$a = k$,$b = 4$,और $c = 1$ है।
विविक्तकर के सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (4)^{2} - 4(k)(1) = 0$
$16 - 4k = 0$
$4k = 16$
$k = 4$
अतः,$k$ का सही मान $4$ है।

(D) चूंकि $-4$ द्विघात समीकरण $x^{2}-ax-8=0$ का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = -4$ रखने पर:
$(-4)^{2} - a(-4) - 8 = 0$
$16 + 4a - 8 = 0$
$8 + 4a = 0$
$4a = -8$
$a = -2$

(A) $ax^{2}+bx+c=0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,मूलों का योग $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a=1$,$b=4$,और $c=m$ है।
दिया गया है कि एक मूल $\alpha = 2$ है,मान लीजिए कि दूसरा मूल $\beta$ है।
योग के सूत्र में मान रखने पर: $2 + \beta = -\frac{4}{1}$।
$2 + \beta = -4$।
$\beta = -4 - 2$।
$\beta = -6$।
अतः,दूसरा मूल $-6$ है।

(B) माना कि द्विघात समीकरण $x^{2}+bx-15=0$ है।
दिया गया है कि एक मूल $\alpha = 3$ है।
माना कि दूसरा मूल $\beta$ है।
द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$a = 1$,$b = b$,और $c = -15$ है।
मान रखने पर,हमें $3 \cdot \beta = \frac{-15}{1}$ प्राप्त होता है।
$3 \cdot \beta = -15$.
$\beta = \frac{-15}{3} = -5$.
अतः,दूसरा मूल $-5$ है।

(D) जिस द्विघात समीकरण के मूल $\alpha$ और $\beta$ हों,उसका सूत्र: $x^{2} - (\alpha + \beta)x + (\alpha \cdot \beta) = 0$ होता है।
यहाँ दिए गए मूल $\alpha = -4$ और $\beta = 5$ हैं।
मूलों का योग: $\alpha + \beta = -4 + 5 = 1$.
मूलों का गुणनफल: $\alpha \cdot \beta = (-4) \times 5 = -20$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $x^{2} - (1)x + (-20) = 0$.
इसे सरल करने पर: $x^{2} - x - 20 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ है। $x^{2}-10x+(2k-1)=0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a=1$,$b=-10$ और $c=2k-1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
यहाँ $D = 40$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$(-10)^{2} - 4(1)(2k-1) = 40$
$100 - 4(2k-1) = 40$
दोनों पक्षों से $100$ घटाने पर:
$-4(2k-1) = 40 - 100$
$-4(2k-1) = -60$
$-4$ से भाग देने पर:
$2k-1 = 15$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$2k = 16$
$2$ से भाग देने पर:
$k = 8$.

(B) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए, विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
दिए गए समीकरण $x^{2} + \sqrt{2}x + 2 = 0$ में, गुणांक $a = 1$, $b = \sqrt{2}$ और $c = 2$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (\sqrt{2})^{2} - 4(1)(2)$
$D = 2 - 8$
$D = -6$
अतः, विविक्तकर का मान $-6$ है।

(B) सबसे पहले,द्विघात समीकरण $x^{2}-5x+6=0$ को हल करें।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-2)(x-3)=0$।
अतः,मूल $x=2$ या $x=3$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $x=2$,$x^{2}+3x+c=0$ का एक मूल है,तो $(2)^{2}+3(2)+c=0$।
$4+6+c=0 \implies 10+c=0 \implies c=-10$।
स्थिति $2$: यदि $x=3$,$x^{2}+3x+c=0$ का एक मूल है,तो $(3)^{2}+3(3)+c=0$।
$9+9+c=0 \implies 18+c=0 \implies c=-18$।
इसलिए,$c$ के संभावित मान $-10$ या $-18$ हैं।

(C) मानक रूप वाले द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,जहाँ $a \neq 0$ है,मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए विविक्तकर (discriminant) $D$ का उपयोग किया जाता है।
विविक्तकर ज्ञात करने का सूत्र $D = b^2 - 4ac$ है।
यह मान यह पहचानने में मदद करता है कि मूल वास्तविक और भिन्न $(D > 0)$,वास्तविक और समान $(D = 0)$,या काल्पनिक $(D < 0)$ हैं।

(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाने वाला द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ है।
यह सूत्र भारत में 'श्रीधर आचार्य सूत्र' के रूप में जाना जाता है,क्योंकि गणितज्ञ श्रीधर आचार्य ने पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरणों को हल करने की विधि प्रदान की थी।