Mix Examples - Quadratic Equations Questions in Hindi

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $25x^{2} - 10x + 1 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर:
$a = 25$,$b = -10$,और $c = 1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (-10)^{2} - 4(25)(1)$
$D = 100 - 100$
$D = 0$.
अतः,विविक्तकर का मान $0$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2} + 6x + k = 0$ है।
चूंकि $4$ इस समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = 4$ रखने पर:
$(4)^{2} + 6(4) + k = 0$
$16 + 24 + k = 0$
$40 + k = 0$
$k = -40$
अतः,$k$ का मान $-40$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}+18x+81=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$b=18$ और $c=81$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर: $D = (18)^{2} - 4(1)(81) = 324 - 324 = 0$.
यहाँ विविक्तकर $D=0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो वास्तविक और समान मूल हैं।
वैकल्पिक रूप से,हम समीकरण का गुणनखंड कर सकते हैं: $x^{2}+18x+81 = (x+9)^{2} = 0$.
इससे $(x+9)(x+9)=0$ प्राप्त होता है,अतः $x = -9, -9$.
इस प्रकार,मूल समान हैं।

(C) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
दिए गए समीकरण $x^{2} + 5x + 1 = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 1$,$b = 5$ और $c = 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (5)^{2} - 4(1)(1)$
$D = 25 - 4$
$D = 21$.
अतः,विविक्तकर $D$ का मान $21$ है।

(B) द्विघात समीकरण $x^{2} + 7x + 12 = 0$ का हल ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करते हैं।
हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $12$ और योग $7$ हो।
ये संख्याएँ $3$ और $4$ हैं।
अतः,समीकरण को $x^{2} + 3x + 4x + 12 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
पदों का समूह बनाने पर,हमें $x(x + 3) + 4(x + 3) = 0$ प्राप्त होता है।
$(x + 3)$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $(x + 3)(x + 4) = 0$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,$x + 3 = 0$ या $x + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$x = -3$ या $x = -4$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$-3$ एक हल है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^{2} + 5x - k = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$b = 5$ और $c = -k$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
चूंकि $D = 81$ दिया गया है,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$81 = (5)^{2} - 4(2)(-k)$
$81 = 25 + 8k$
$81 - 25 = 8k$
$56 = 8k$
$k = \frac{56}{8} = 7$.
अतः,$k$ का मान $7$ है।

(B) $r$ त्रिज्या वाले गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यदि त्रिज्या दोगुनी कर दी जाए,तो नई त्रिज्या $r' = 2r$ होगी।
नया आयतन $V' = \frac{4}{3} \pi (r')^3$ द्वारा प्राप्त होता है।
सूत्र में $r' = 2r$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $V' = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi (8r^3) = 8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3)$।
अतः,$V' = 8V$।
इस प्रकार,आयतन मूल आयतन का $8$ गुना हो जाता है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूल द्विघाती सूत्र द्वारा दिए जाते हैं: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$,जहाँ $D = b^2 - 4ac$ विविक्तकर है।
दिया गया है कि $D = 0$,इसलिए सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}$ हो जाता है।
इसे सरल करने पर $x = \frac{-b \pm 0}{2a}$ प्राप्त होता है।
अतः,दोनों मूल समान हैं और उनका मान $x = \frac{-b}{2a}$ है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ दिया गया है।
यह दिया गया है कि $b = 0$,इसलिए समीकरण $ax^{2} + c = 0$ में सरल हो जाता है।
इसका अर्थ है $ax^{2} = -c$,या $x^{2} = -c/a$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $x = \pm \sqrt{-c/a}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। तो $\alpha = \sqrt{-c/a}$ और $\beta = -\sqrt{-c/a}$ होगा।
चूंकि $\alpha = -\beta$,इसलिए मूल परिमाण में समान लेकिन चिह्न में विपरीत हैं।
अतः,मूल विपरीत हैं।

(C) माना कि द्विघात समीकरण $25x^{2} - x(m - 2) - 1 = 0$ के मूल $\alpha$ और $-\alpha$ हैं क्योंकि वे एक-दूसरे के विपरीत हैं।
द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -b/a$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 25$,$b = -(m - 2)$,और $c = -1$ है।
मूलों का योग: $\alpha + (-\alpha) = -[-(m - 2)] / 25$.
$0 = (m - 2) / 25$.
दोनों पक्षों को $25$ से गुणा करने पर,हमें $0 = m - 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = 2$।

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल ज्ञात करने का सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ है,जहाँ $D = b^2 - 4ac$ विविक्तकर है।
दिया गया है कि विविक्तकर $D = 0$,इसलिए हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}$
$x = \frac{-b \pm 0}{2a}$
$x = -\frac{b}{2a}$
अतः,जब $D = 0$ होता है,तो द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं,जिनमें से प्रत्येक का मान $-\frac{b}{2a}$ होता है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $4x^{2} + 2x + \frac{1}{4} = 0$ है।
सरल बनाने के लिए,पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$16x^{2} + 8x + 1 = 0$.
यह $(ax + b)^{2} = a^{2}x^{2} + 2abx + b^{2}$ के रूप में है।
यहाँ,$(4x)^{2} + 2(4x)(1) + (1)^{2} = 0$.
यह $(4x + 1)^{2} = 0$ में सरल हो जाता है।
इसलिए,$4x + 1 = 0$,जिससे $4x = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = -\frac{1}{4}$.
मूल $-\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}$ हैं।

(D) कॉर्न ऑयल की मूल कीमत ₹ $x$ प्रति $kg$ है।
₹ $10$ प्रति $kg$ की कमी के बाद,कॉर्न ऑयल की नई कीमत ₹ $(x - 10)$ प्रति $kg$ हो जाती है।
नई दर पर ₹ $500$ में खरीदे जा सकने वाले कॉर्न ऑयल की मात्रा ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं: $\text{मात्रा} = \frac{\text{कुल राशि}}{\text{प्रति इकाई कीमत}}$.
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\text{मात्रा} = \frac{500}{x - 10} \ kg$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) स्थिर जल में मोटर-बोट की चाल $x \, km/hr$ है।
नदी की धारा की चाल $5 \, km/hr$ है।
जब बोट धारा के प्रतिकूल (upstream) चलती है, तो उसकी प्रभावी चाल स्थिर जल में बोट की चाल और धारा की चाल का अंतर होती है।
अतः, धारा के प्रतिकूल चाल $= (x - 5) \, km/hr$ होगी।
तय की जाने वाली दूरी $y \, km$ है।
सूत्र $\text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}$ का उपयोग करने पर:
समय $= \frac{y}{x - 5} \, \text{घंटे}$।

(B) गणित के इतिहास में,भारतीय गणितज्ञ $Brahmagupta$ (जन्म $598 \text{ CE}$) ने $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक स्पष्ट सूत्र प्रदान किया था। अपने ग्रंथ $Brahmasphutasiddhanta$ में,उन्होंने समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का वर्णन किया था। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सामान्य सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ है। इस सूत्र को द्विघात सूत्र या श्रीधर आचार्य सूत्र के रूप में जाना जाता है,जिसे भारतीय गणितज्ञ श्रीधर आचार्य ने प्रतिपादित किया था।

(C) गणितज्ञ $Al-Khwarizmi$ (अल-ख्वारिज्मी) ने मध्य पूर्व और बाद में पश्चिमी दुनिया में भारतीय अंक प्रणाली और गणितीय अवधारणाओं को पेश करने और लोकप्रिय बनाने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। उनके कार्य,विशेष रूप से बीजगणित और दशमलव प्रणाली से संबंधित,भारतीय गणितीय ग्रंथों से अत्यधिक प्रभावित थे।

(D) भारतीय गणित के इतिहास में,$Bhaskaracharya$ (जिन्हें $Bhaskara$ $II$ के नाम से भी जाना जाता है) ने बीजगणित में महत्वपूर्ण योगदान दिया। उन्होंने अपने प्रसिद्ध ग्रंथ $Bijaganita$ (बीजगणित) में द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियों का स्पष्ट उल्लेख किया था। यद्यपि $Aryabhatta$ और $Brahmagupta$ जैसे अन्य प्राचीन गणितज्ञों ने भी संबंधित अवधारणाओं पर काम किया था,लेकिन $Bhaskaracharya$ द्विघात समीकरणों को हल करने के अपने व्यवस्थित दृष्टिकोण के लिए व्यापक रूप से पहचाने जाते हैं।

(D) एक द्विघात बहुपद $p(x) = ax^2 + bx + c$ का कोई वास्तविक शून्यक नहीं होता है यदि उसका विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$ हो।
विकल्प $A$ के लिए: $D = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9 > 0$। इसके दो वास्तविक शून्यक हैं।
विकल्प $B$ के लिए: $D = (2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$। इसका एक वास्तविक शून्यक है।
विकल्प $C$ के लिए: $D = (0)^2 - 4(1)(-4) = 16 > 0$। इसके दो वास्तविक शून्यक हैं।
विकल्प $D$ के लिए: $D = (2)^2 - 4(1)(7) = 4 - 28 = -24 < 0$। चूँकि $D < 0$ है,इसलिए इस बहुपद का कोई वास्तविक शून्यक नहीं है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण: $(x-3)^{2}-4=0$
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $(x-3)^{2}=4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $x-3 = \pm \sqrt{4}$
$x-3 = \pm 2$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $x-3 = 2 \implies x = 2+3 = 5$
स्थिति $2$: $x-3 = -2 \implies x = -2+3 = 1$
अतः हल $x=5$ और $x=1$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$1$ एक हल है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,मूलों की प्रकृति विविक्तकर (discriminant) $D = b^{2} - 4ac$ द्वारा निर्धारित की जाती है।
यहाँ,$a = 4$,$b = 4$,और $c = -3$ है।
विविक्तकर की गणना करने पर: $D = (4)^{2} - 4(4)(-3) = 16 + 48 = 64$।
चूँकि $D > 0$ है,इसलिए मूल वास्तविक और असमान हैं।
चूँकि $D = 64$ एक पूर्ण वर्ग है,इसलिए मूल परिमेय हैं।
अतः,मूल असमान और परिमेय हैं।

(B) माना कि प्राकृतिक संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग $\frac{5}{2}$ है।
अतः,$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$.
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $2x$ से गुणा करने पर:
$2x^2 + 2 = 5x$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण बनाने पर:
$2x^2 - 5x + 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2x^2 - 4x - x + 2 = 0$.
$2x(x - 2) - 1(x - 2) = 0$.
$(2x - 1)(x - 2) = 0$.
इससे $x$ के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं:
$2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$ (जो एक प्राकृतिक संख्या नहीं है)।
$x - 2 = 0 \implies x = 2$ (जो एक प्राकृतिक संख्या है)।
अतः,अभीष्ट प्राकृतिक संख्या $2$ है।

(A) द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ का विविक्तकर $D$,$D = b^{2}-4ac$ द्वारा दिया जाता है।
$1.$ $x^{2}+5x+6=0$ के लिए,$D = 5^{2}-4(1)(6) = 25-24 = 1$। अतः,$(1-a)$।
$2.$ $x^{2}+5x+4=0$ के लिए,$D = 5^{2}-4(1)(4) = 25-16 = 9$। अतः,$(2-b)$।
$3.$ $x^{2}+4x+3=0$ के लिए,$D = 4^{2}-4(1)(3) = 16-12 = 4$। अतः,$(3-c)$।
$4.$ $x^{2}+6x+5=0$ के लिए,$D = 6^{2}-4(1)(5) = 36-20 = 16$। अतः,$(4-d)$।
इस प्रकार,सही मिलान $(1-a), (2-b), (3-c), (4-d)$ है।