Mix Examples - Quadratic Equations Questions in Hindi

(C) दिया गया समीकरण: $16x^{2} - 24x - 1 = 0$.
$x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $16$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} - \frac{24}{16}x - \frac{1}{16} = 0 \implies x^{2} - \frac{3}{2}x - \frac{1}{16} = 0$.
अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर:
$x^{2} - \frac{3}{2}x = \frac{1}{16}$.
$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग (जो $\frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ है,और इसका वर्ग $\frac{9}{16}$ है) दोनों पक्षों में जोड़ने पर:
$x^{2} - \frac{3}{2}x + \left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{1}{16} + \frac{9}{16}$.
बाईं ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर:
$\left(x - \frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{10}{16}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x - \frac{3}{4} = \pm \sqrt{\frac{10}{16}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{3}{4} \pm \frac{\sqrt{10}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{10}}{4}$.
अतः,मूल $\frac{3+\sqrt{10}}{4}$ और $\frac{3-\sqrt{10}}{4}$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $3y^{2} + 7y - 20 = 0$.
$3$ से भाग देने पर: $y^{2} + \frac{7}{3}y - \frac{20}{3} = 0$.
$(\frac{1}{2} \times y \text{ का गुणांक})^{2} = (\frac{7}{6})^{2} = \frac{49}{36}$ जोड़ने और घटाने पर:
$y^{2} + \frac{7}{3}y + \frac{49}{36} - \frac{49}{36} - \frac{20}{3} = 0$.
$(y + \frac{7}{6})^{2} - (\frac{49 + 240}{36}) = 0$.
$(y + \frac{7}{6})^{2} = \frac{289}{36}$.
वर्गमूल लेने पर: $y + \frac{7}{6} = \pm \frac{17}{6}$.
स्थिति $1$: $y = \frac{17}{6} - \frac{7}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
स्थिति $2$: $y = -\frac{17}{6} - \frac{7}{6} = -\frac{24}{6} = -4$.
अतः,मूल $-4, \frac{5}{3}$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $5x^{2} - 4x - 10 = 0$.
$x^{2}$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $5$ से विभाजित करने पर:
$x^{2} - \frac{4}{5}x - 2 = 0$.
अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर:
$x^{2} - \frac{4}{5}x = 2$.
$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग (जो $(\frac{1}{2} \times \frac{4}{5})^{2} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25}$ है) दोनों पक्षों में जोड़ने पर:
$x^{2} - \frac{4}{5}x + \frac{4}{25} = 2 + \frac{4}{25}$.
बाईं ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर:
$(x - \frac{2}{5})^{2} = \frac{50 + 4}{25} = \frac{54}{25}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x - \frac{2}{5} = \pm \sqrt{\frac{54}{25}} = \pm \frac{3\sqrt{6}}{5}$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{2}{5} \pm \frac{3\sqrt{6}}{5} = \frac{2 \pm 3\sqrt{6}}{5}$.
अतः,मूल $\frac{2 - 3\sqrt{6}}{5}$ और $\frac{2 + 3\sqrt{6}}{5}$ हैं।

(B) पूर्ण वर्ग विधि द्वारा समीकरण $m^{2} - 18m + 81 = 0$ को हल करने के लिए:
$1$. समीकरण पहले से ही $m^{2} - 18m = -81$ के रूप में है।
$2$. पूर्ण वर्ग बनाने के लिए,हम $m$ के गुणांक के आधे का वर्ग दोनों पक्षों में जोड़ते हैं। $m$ का गुणांक $-18$ है,इसलिए इसका आधा $-9$ है,और $(-9)^{2} = 81$ होता है।
$3$. दोनों पक्षों में $81$ जोड़ने पर: $m^{2} - 18m + 81 = -81 + 81$।
$4$. यह सरल होकर $(m - 9)^{2} = 0$ हो जाता है।
$5$. दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $m - 9 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m = 9$।
$6$. चूंकि यह एक द्विघात समीकरण है,इसलिए इसके मूल $9, 9$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $6x^2 + 11x + 3 = 0$
$x^2$ का गुणांक $1$ बनाने के लिए पूरे समीकरण को $6$ से विभाजित करने पर:
$x^2 + \frac{11}{6}x + \frac{3}{6} = 0 \implies x^2 + \frac{11}{6}x + \frac{1}{2} = 0$
अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर:
$x^2 + \frac{11}{6}x = -\frac{1}{2}$
$x$ के गुणांक के आधे का वर्ग (अर्थात $(\frac{1}{2} \cdot \frac{11}{6})^2 = (\frac{11}{12})^2 = \frac{121}{144}$) दोनों पक्षों में जोड़ने पर:
$x^2 + \frac{11}{6}x + \frac{121}{144} = -\frac{1}{2} + \frac{121}{144}$
$(x + \frac{11}{12})^2 = -\frac{72}{144} + \frac{121}{144} = \frac{49}{144}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x + \frac{11}{12} = \pm \frac{7}{12}$
स्थिति $1$: $x = \frac{7}{12} - \frac{11}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$
स्थिति $2$: $x = -\frac{7}{12} - \frac{11}{12} = -\frac{18}{12} = -\frac{3}{2}$
अतः,मूल $-\frac{3}{2}$ और $-\frac{1}{3}$ हैं।

(D) माना कि दो भाग $x$ और $16 - x$ हैं। मान लीजिए $x$ बड़ा भाग है।
प्रश्न के अनुसार,$2x^2 - (16 - x)^2 = 164$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $2x^2 - (256 - 32x + x^2) = 164$.
$2x^2 - 256 + 32x - x^2 = 164$.
$x^2 + 32x - 420 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 42x - 10x - 420 = 0$.
$x(x + 42) - 10(x + 42) = 0$.
$(x - 10)(x + 42) = 0$.
चूंकि भाग धनात्मक होने चाहिए,इसलिए $x = 10$.
दूसरा भाग $16 - 10 = 6$ है।
अतः,दो भाग $10$ और $6$ हैं।

(A) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग का सूत्र $S = \frac{n(n+1)}{2}$ दिया गया है।
यहाँ $S = 300$ दिया गया है,इसलिए $\frac{n(n+1)}{2} = 300$ है।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,$n(n+1) = 600$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$n^2 + n - 600 = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण को हल करने के लिए,हम ऐसी दो संख्याएँ ढूँढते हैं जिनका गुणनफल $-600$ और योग $1$ हो। ये संख्याएँ $25$ और $-24$ हैं।
अतः,$(n + 25)(n - 24) = 0$ है।
इससे $n = -25$ या $n = 24$ प्राप्त होता है।
चूँकि $n$ प्राकृतिक संख्याओं की गिनती को दर्शाता है,इसलिए यह धनात्मक होना चाहिए।
अतः,$n = 24$।

(A) माना अंश $x$ है। तो हर $2x - 1$ है। अनुपात $\frac{x}{2x - 1}$ है।
प्रश्न के अनुसार,अनुपात और उसके व्युत्क्रम का योग $2 \frac{4}{15} = \frac{34}{15}$ है।
अतः,$\frac{x}{2x - 1} + \frac{2x - 1}{x} = \frac{34}{15}$.
माना $y = \frac{x}{2x - 1}$. तो $y + \frac{1}{y} = \frac{34}{15}$.
$15y^2 - 34y + 15 = 0$.
$15y^2 - 25y - 9y + 15 = 0$.
$5y(3y - 5) - 3(3y - 5) = 0$.
$(5y - 3)(3y - 5) = 0$.
अतः,$y = 3/5$ या $y = 5/3$.
यदि $y = 3/5$ है,तो $\frac{x}{2x - 1} = \frac{3}{5} \implies 5x = 6x - 3 \implies x = 3$. अनुपात $\frac{3}{2(3) - 1} = \frac{3}{5}$ है।
यदि $y = 5/3$ है,तो $\frac{x}{2x - 1} = \frac{5}{3} \implies 3x = 10x - 5 \implies 7x = 5 \implies x = 5/7$. अनुपात $\frac{5/7}{2(5/7) - 1} = \frac{5/7}{3/7} = \frac{5}{3}$ है।

(C) माना ट्रेन की सामान्य गति $x \,km/hr$ है।
सामान्य गति से $900 \,km$ की दूरी तय करने में लगा समय $T_1 = \frac{900}{x} \,\text{घंटे}$ है।
जब गति में $10 \,km/hr$ की कमी होती है,तो नई गति $(x - 10) \,km/hr$ हो जाती है।
नई गति से $900 \,km$ की दूरी तय करने में लगा समय $T_2 = \frac{900}{x - 10} \,\text{घंटे}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$T_2 - T_1 = 4.5 \,\text{घंटे}$ (जो $9/2 \,\text{घंटे}$ है)।
अतः,$\frac{900}{x - 10} - \frac{900}{x} = \frac{9}{2}$.
$9$ से भाग देने पर,$\frac{100}{x - 10} - \frac{100}{x} = \frac{1}{2}$.
$100 \left( \frac{x - (x - 10)}{x(x - 10)} \right) = \frac{1}{2}$.
$100 \left( \frac{10}{x^2 - 10x} \right) = \frac{1}{2}$.
$1000 \times 2 = x^2 - 10x$.
$x^2 - 10x - 2000 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $x^2 - 50x + 40x - 2000 = 0$.
$x(x - 50) + 40(x - 50) = 0$.
$(x - 50)(x + 40) = 0$.
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 50 \,km/hr$।

(D) माना दहाई का अंक $x$ है और इकाई का अंक $y$ है। संख्या $10x + y$ है।
दिया गया है कि अंकों का गुणनफल $xy = 10$ है।
जब संख्या में $27$ जोड़ा जाता है,तो अंक आपस में बदल जाते हैं,इसलिए नई संख्या $10y + x$ हो जाती है।
प्रश्न के अनुसार: $(10x + y) + 27 = 10y + x$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $9x - 9y = -27$,जो सरल होकर $x - y = -3$ या $y - x = 3$ हो जाता है।
गुणनफल समीकरण में $y = x + 3$ प्रतिस्थापित करने पर: $x(x + 3) = 10$।
$x^2 + 3x - 10 = 0$।
$(x + 5)(x - 2) = 0$।
चूंकि $x$ एक धनात्मक अंक होना चाहिए,इसलिए $x = 2$।
तब $y = 2 + 3 = 5$।
अतः संख्या $10(2) + 5 = 25$ है।

(A) माना शुद्ध मक्खन की मूल कीमत $x$ रु. प्रति $kg$ है।
मूल कीमत पर रु. $960$ में खरीदे गए मक्खन की मात्रा $\frac{960}{x} \ kg$ है।
जब कीमत में प्रति $kg$ रु. $40$ की वृद्धि होती है,तो नई कीमत $(x + 40)$ रु. प्रति $kg$ हो जाती है।
नई कीमत पर रु. $960$ में खरीदे गए मक्खन की मात्रा $\frac{960}{x + 40} \ kg$ है।
प्रश्न के अनुसार,मात्रा में अंतर $2 \ kg$ है:
$\frac{960}{x} - \frac{960}{x + 40} = 2$
$2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{480}{x} - \frac{480}{x + 40} = 1$
$480(x + 40) - 480x = x(x + 40)$
$480x + 19200 - 480x = x^2 + 40x$
$x^2 + 40x - 19200 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके:
$x = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 - 4(1)(-19200)}}{2}$
$x = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 + 76800}}{2} = \frac{-40 \pm \sqrt{78400}}{2} = \frac{-40 \pm 280}{2}$
चूंकि कीमत ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = \frac{240}{2} = 120$.
अतः,मूल कीमत रु. $120$ प्रति $kg$ है।

(B) माना मिट्टी के तेल की मूल कीमत $x$ रुपये/लीटर है।
कुल खर्च = $360$ रुपये।
मिट्टी के तेल की मूल मात्रा = $\frac{360}{x}$ लीटर।
मिट्टी के तेल की नई कीमत = $(x + 2)$ रुपये/लीटर।
मिट्टी के तेल की नई मात्रा = $\frac{360}{x + 2}$ लीटर।
प्रश्न के अनुसार,मात्रा में अंतर $2$ लीटर है:
$\frac{360}{x} - \frac{360}{x + 2} = 2$
$2$ से भाग देने पर:
$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 2} = 1$
$180(x + 2) - 180x = x(x + 2)$
$180x + 360 - 180x = x^2 + 2x$
$x^2 + 2x - 360 = 0$
$(x + 20)(x - 18) = 0$
चूंकि कीमत ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 18$।
अतः,मिट्टी के तेल की मूल कीमत $18$ रुपये प्रति लीटर है।

(C) समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
यहाँ,$\text{आधार} = x \, m$ और $\text{ऊंचाई} = (x+2) \, m$ है।
$\text{Area} = 84 \, m^2$.
अतः,$84 = \frac{1}{2} \times x \times (x+2)$.
$168 = x^2 + 2x$.
$x^2 + 2x - 168 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 14x - 12x - 168 = 0$.
$x(x+14) - 12(x+14) = 0$.
$(x-12)(x+14) = 0$.
चूंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 12$.
भुजाओं की लंबाई $x = 12 \, m$ और $x+2 = 14 \, m$ है।

(D) माना कर्ण की लंबाई $h\,cm$,आधार $b\,cm$ और शीर्षलंब $a\,cm$ है।
दिया है: $h = b + 2 \implies b = h - 2$.
साथ ही,$h = 2a + 1 \implies a = \frac{h - 1}{2}$.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$h^2 = b^2 + a^2$.
$b$ और $a$ के मान प्रतिस्थापित करने पर: $h^2 = (h - 2)^2 + \left(\frac{h - 1}{2}\right)^2$.
$h^2 = h^2 - 4h + 4 + \frac{h^2 - 2h + 1}{4}$.
$4$ से गुणा करने पर: $4h^2 = 4h^2 - 16h + 16 + h^2 - 2h + 1$.
$0 = h^2 - 18h + 17$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(h - 17)(h - 1) = 0$.
चूंकि $h > 2$ होना चाहिए (क्योंकि $b = h - 2 > 0$),इसलिए $h = 17$.
अतः,कर्ण की लंबाई $17\,cm$ है।

(A) माना कैलकुलेटर का लागत मूल्य $x$ रुपये है।
दिया गया है कि लाभ प्रतिशत लागत मूल्य के बराबर है,इसलिए लाभ प्रतिशत $x\%$ है।
लाभ = $\text{लागत मूल्य} \times \frac{\text{लाभ प्रतिशत}}{100} = x \times \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$.
विक्रय मूल्य = $\text{लागत मूल्य} + \text{लाभ} = x + \frac{x^2}{100}$.
दिया गया है कि विक्रय मूल्य Rs. $56$ है,इसलिए समीकरण: $x + \frac{x^2}{100} = 56$.
$100$ से गुणा करने पर,$100x + x^2 = 5600$,जिसे सरल करने पर $x^2 + 100x - 5600 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 140x - 40x - 5600 = 0$.
$x(x + 140) - 40(x + 140) = 0$.
$(x - 40)(x + 140) = 0$.
चूंकि लागत मूल्य ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x = 40$.
अतः,कैलकुलेटर का लागत मूल्य Rs. $40$ है।

(B) माना ट्रेन की सामान्य गति $x\, km/hr$ है।
सामान्य गति से $400\, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $T_1 = \frac{400}{x}$ घंटे है।
जब गति में $5\, km/hr$ की कमी होती है,तो नई गति $(x - 5)\, km/hr$ हो जाती है।
नई गति पर लगा समय $T_2 = \frac{400}{x - 5}$ घंटे है।
प्रश्न के अनुसार,$T_2 - T_1 = 4$ है।
अतः,$\frac{400}{x - 5} - \frac{400}{x} = 4$ है।
$4$ से विभाजित करने पर,$\frac{100}{x - 5} - \frac{100}{x} = 1$ प्राप्त होता है।
$100x - 100(x - 5) = x(x - 5)$।
$100x - 100x + 500 = x^2 - 5x$।
$x^2 - 5x - 500 = 0$।
$(x - 25)(x + 20) = 0$।
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 25\, km/hr$।

(C) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है: $x + y = 15$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{10}$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ से,हमें प्राप्त होता है $\frac{x + y}{xy} = \frac{3}{10}$।
समीकरण $1$ से $x + y$ का मान इस व्यंजक में रखने पर: $\frac{15}{xy} = \frac{3}{10}$।
$xy$ के लिए हल करने पर: $3xy = 150$,अतः $xy = 50$।
अब हमारे पास $x + y = 15$ और $xy = 50$ है।
ये द्विघात समीकरण $t^2 - (x + y)t + xy = 0$ के मूल हैं।
मान रखने पर: $t^2 - 15t + 50 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 5)(t - 10) = 0$।
अतः,$t = 5$ या $t = 10$।
वे दो संख्याएँ $5$ और $10$ हैं।

(D) माना कि धारा की चाल $x\,km/h$ है।
धारा के अनुकूल चाल = $(9 + x)\,km/h$.
धारा के प्रतिकूल चाल = $(9 - x)\,km/h$.
धारा के अनुकूल लिया गया समय = $\frac{12}{9 + x}$.
धारा के प्रतिकूल लिया गया समय = $\frac{12}{9 - x}$.
कुल समय = $3\,hours$,इसलिए $\frac{12}{9 + x} + \frac{12}{9 - x} = 3$.
$3$ से विभाजित करने पर: $\frac{4}{9 + x} + \frac{4}{9 - x} = 1$.
$4(9 - x) + 4(9 + x) = (9 + x)(9 - x)$.
$36 - 4x + 36 + 4x = 81 - x^2$.
$72 = 81 - x^2$.
$x^2 = 81 - 72 = 9$.
$x = 3\,km/h$ (चूंकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती)।

(A) माना तेज़ ट्रेन की गति $x\, km/hr$ है। तब धीमी ट्रेन की गति $(x - 20)\, km/hr$ होगी।
तेज़ ट्रेन द्वारा लिया गया समय $T_1 = \frac{400}{x}$ घंटे है।
धीमी ट्रेन द्वारा लिया गया समय $T_2 = \frac{400}{x - 20}$ घंटे है।
प्रश्न के अनुसार,तेज़ ट्रेन धीमी ट्रेन से $1$ घंटा कम समय लेती है,इसलिए $T_2 - T_1 = 1$.
$\frac{400}{x - 20} - \frac{400}{x} = 1$
$400 \left( \frac{x - (x - 20)}{x(x - 20)} \right) = 1$
$400 \times 20 = x^2 - 20x$
$x^2 - 20x - 8000 = 0$
$(x - 100)(x + 80) = 0$
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 100\, km/hr$.
धीमी ट्रेन की गति $x - 20 = 100 - 20 = 80\, km/hr$ है।

(B) माना दहाई का अंक $x$ है और इकाई का अंक $y$ है। संख्या $10x + y$ है।
दिया गया है कि अंकों का गुणनफल $xy = 15$ है।
जब अंकों को आपस में बदल दिया जाता है,तो नई संख्या $10y + x$ हो जाती है।
प्रश्न के अनुसार,नई संख्या मूल संख्या से $18$ अधिक है:
$(10y + x) - (10x + y) = 18$
$9y - 9x = 18$
$y - x = 2$,जिसका अर्थ है कि $y = x + 2$ है।
$y = x + 2$ को गुणनफल समीकरण $xy = 15$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x(x + 2) = 15$
$x^2 + 2x - 15 = 0$
$(x + 5)(x - 3) = 0$
चूंकि $x$ एक धनात्मक अंक होना चाहिए,इसलिए $x = 3$ है।
तब $y = 3 + 2 = 5$ है।
मूल संख्या $10(3) + 5 = 35$ है।

(C) माना कि छोटे वर्ग की भुजा $x\,m$ है और बड़े वर्ग की भुजा $y\,m$ है।
छोटे वर्ग का परिमाप $4x$ है और बड़े वर्ग का परिमाप $4y$ है।
प्रश्न के अनुसार,$4y = 4x + 12$,जिसे सरल करने पर $y = x + 3$ प्राप्त होता है।
छोटे वर्ग का क्षेत्रफल $x^2$ है और बड़े वर्ग का क्षेत्रफल $y^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,$3x^2 = y^2 + 11$ है।
दूसरे समीकरण में $y = x + 3$ रखने पर:
$3x^2 = (x + 3)^2 + 11$
$3x^2 = x^2 + 6x + 9 + 11$
$2x^2 - 6x - 20 = 0$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
$(x - 5)(x + 2) = 0$
चूंकि भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 5$ है।
अतः,बड़े वर्ग की भुजा $y = x + 3 = 5 + 3 = 8\,m$ है।

(D) माना कि दो प्राकृतिक संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का योग $x + y = 5$ है,जिसका अर्थ है $y = 5 - x$.
उनके व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$ है।
समीकरण में $y = 5 - x$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{x} + \frac{1}{5 - x} = \frac{5}{6}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(5 - x) + x}{x(5 - x)} = \frac{5}{6}$.
इसे सरल करने पर $\frac{5}{5x - x^2} = \frac{5}{6}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{5x - x^2} = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$5x - x^2 = 6$,जिसे द्विघात समीकरण $x^2 - 5x + 6 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 2)(x - 3) = 0$.
इस प्रकार,$x = 2$ या $x = 3$.
यदि $x = 2$ है,तो $y = 5 - 2 = 3$. यदि $x = 3$ है,तो $y = 5 - 3 = 2$.
अतः,वे दो संख्याएँ $2$ और $3$ हैं।

(A) माना कि दो भाग $x$ और $(29 - x)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनके वर्गों का योग $425$ है:
$x^2 + (29 - x)^2 = 425$
$x^2 + (841 - 58x + x^2) = 425$
$2x^2 - 58x + 841 - 425 = 0$
$2x^2 - 58x + 416 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^2 - 29x + 208 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 13x - 16x + 208 = 0$
$x(x - 13) - 16(x - 13) = 0$
$(x - 13)(x - 16) = 0$
अतः,$x = 13$ या $x = 16$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 13$ है,तो दूसरा भाग $29 - 13 = 16$ है।
यदि $x = 16$ है,तो दूसरा भाग $29 - 16 = 13$ है।
इस प्रकार,वे दो भाग $13$ और $16$ हैं।

(B) माना कि दो क्रमागत विषम संख्याएँ $x$ और $x + 2$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,उनके वर्गों का योग $514$ है:
$x^2 + (x + 2)^2 = 514$
$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 514$
$2x^2 + 4x + 4 = 514$
$2x^2 + 4x - 510 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^2 + 2x - 255 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 + 17x - 15x - 255 = 0$
$x(x + 17) - 15(x + 17) = 0$
$(x - 15)(x + 17) = 0$
चूंकि संख्याएँ धनात्मक हैं,इसलिए $x = 15$.
अतः,वे दो संख्याएँ $15$ और $15 + 2 = 17$ हैं।

(C) माना कि पुस्तक का लागत मूल्य $x$ रुपये है।
दिया गया है कि लाभ प्रतिशत लागत मूल्य के बराबर है,अतः लाभ प्रतिशत $x\%$ है।
लाभ = $\frac{x}{100} \times x = \frac{x^2}{100}$.
विक्रय मूल्य = लागत मूल्य + लाभ।
$119 = x + \frac{x^2}{100}$.
$100$ से गुणा करने पर,हमें $11900 = 100x + x^2$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $x^2 + 100x - 11900 = 0$.
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 170x - 70x - 11900 = 0$.
$x(x + 170) - 70(x + 170) = 0$.
$(x - 70)(x + 170) = 0$.
चूंकि लागत मूल्य ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x = 70$.
अतः,पुस्तक का लागत मूल्य Rs. $70$ है।

(D) माना कि दहाई का अंक $x$ है और इकाई का अंक $y$ है। संख्या $10x + y$ है।
दिया गया है कि अंकों का गुणनफल $14$ है,इसलिए $xy = 14$ है।
जब अंकों को आपस में बदला जाता है,तो नई संख्या $10y + x$ प्राप्त होती है।
प्रश्न के अनुसार,नई संख्या मूल संख्या से $45$ अधिक है:
$(10y + x) - (10x + y) = 45$
$9y - 9x = 45$
$y - x = 5$,जिसका अर्थ है $y = x + 5$ है।
$y = x + 5$ को $xy = 14$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x(x + 5) = 14$
$x^2 + 5x - 14 = 0$
$(x + 7)(x - 2) = 0$
चूंकि $x$ एक धनात्मक अंक होना चाहिए,इसलिए $x = 2$ है।
तब $y = 2 + 5 = 7$ है।
मूल संख्या $10(2) + 7 = 27$ है।

(A) द्विघात समीकरण $x^{2} + 7x + 12 = 0$ का हल ज्ञात करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करते हैं:
$x^{2} + 4x + 3x + 12 = 0$
$x(x + 4) + 3(x + 4) = 0$
$(x + 4)(x + 3) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x + 4 = 0 \implies x = -4$
$x + 3 = 0 \implies x = -3$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$-3$ एक हल है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $k x^{2} + 3x - 4 = 0$ है।
चूंकि $x = 2$ समीकरण का एक हल है,इसलिए हम $x = 2$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे:
$k(2)^{2} + 3(2) - 4 = 0$
$4k + 6 - 4 = 0$
$4k + 2 = 0$
$4k = -2$
$k = -2/4$
$k = -1/2$
अतः,$k$ का मान $-1/2$ है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि किस द्विघात समीकरण का मूल $x=3$ है,हम प्रत्येक समीकरण में $x=3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
विकल्प $C$ के लिए: $x^{2}-8x+15=0$
$x=3$ रखने पर: $(3)^{2}-8(3)+15 = 9-24+15 = 24-24 = 0$.
चूंकि परिणाम $0$ है,इसलिए $x=3$ समीकरण $x^{2}-8x+15=0$ का एक मूल है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2} + 6x + k = 0$ है।
चूंकि $-4$ समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = -4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-4)^{2} + 6(-4) + k = 0$
$16 - 24 + k = 0$
$-8 + k = 0$
$k = 8$
अतः,$k$ का मान $8$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $k x^{2} - 7x + 6 = 0$ है।
चूंकि $\frac{3}{2}$ समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = \frac{3}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$k(\frac{3}{2})^{2} - 7(\frac{3}{2}) + 6 = 0$
$k(\frac{9}{4}) - \frac{21}{2} + 6 = 0$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$9k - 42 + 24 = 0$
$9k - 18 = 0$
$9k = 18$
$k = 2$
अतः,$k$ का मान $2$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^{2} + 5x - k = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 2$,$b = 5$ और $c = -k$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
चूंकि $D = 81$ दिया गया है,मान रखने पर:
$81 = (5)^{2} - 4(2)(-k)$
$81 = 25 + 8k$
$81 - 25 = 8k$
$56 = 8k$
$k = \frac{56}{8} = 7$.
अतः,$k$ का मान $7$ है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $k x^{2}-4 x-4=0$ है।
इसे मानक रूप $a x^{2}+b x+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=k$,$b=-4$,और $c=-4$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
चूंकि $D = 64$ दिया गया है,सूत्र में मान रखने पर:
$64 = (-4)^{2}-4(k)(-4)$
$64 = 16 + 16k$
दोनों पक्षों से $16$ घटाने पर:
$48 = 16k$
$16$ से भाग देने पर:
$k = 3$.

(D) दिया गया समीकरण $(3x - 14)^2 = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $9x^2 - 84x + 196 = 0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 9$,$b = -84$,और $c = 196$ प्राप्त होते हैं।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^2 - 4ac$ है।
मान रखने पर,$D = (-84)^2 - 4(9)(196)$।
$D = 7056 - 7056 = 0$।
वैकल्पिक रूप से,$(px + q)^2 = 0$ के रूप वाले किसी भी द्विघात समीकरण के मूल समान होते हैं,जिसका अर्थ है कि विविक्तकर $D$ हमेशा $0$ होता है।

(A) दिया गया समीकरण $(x+2)(x-5)=0$ है।
कोष्ठकों का विस्तार करने पर: $x^2 - 5x + 2x - 10 = 0$.
यह मानक द्विघात समीकरण के रूप में सरल होता है: $x^2 - 3x - 10 = 0$.
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$b=-3$,और $c=-10$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^2 - 4ac$ है।
मान रखने पर: $D = (-3)^2 - 4(1)(-10)$.
$D = 9 + 40 = 49$.

(B) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि मूल एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं,इसलिए $\beta = 1/\alpha$,जिसका अर्थ है कि $\alpha \cdot \beta = 1$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = c/a$ होता है।
समीकरण $6x^2 - 13x + m = 0$ की तुलना $ax^2 + bx + c = 0$ से करने पर,हमें $a = 6$,$b = -13$ और $c = m$ प्राप्त होता है।
इन मानों को मूलों के गुणनफल के सूत्र में रखने पर: $1 = m/6$ प्राप्त होता है।
अतः,$m = 6$।

(C) एक द्विघात बहुपद $2$ घात वाला बहुपद होता है। बीजगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$n$ घात वाले बहुपद के अधिकतम $n$ मूल या शून्यक होते हैं। अतः,एक द्विघात बहुपद $(n=2)$ के अधिकतम $2$ शून्यक होते हैं।

(D) द्विघात समीकरण $3x^2 - 4x + 1 = 0$ के मूल ज्ञात करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग कर सकते हैं।
हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $(3 \times 1) = 3$ हो और योग $-4$ हो।
ये संख्याएँ $-3$ और $-1$ हैं।
अब,समीकरण को फिर से लिखते हैं: $3x^2 - 3x - x + 1 = 0$.
समूहीकरण द्वारा गुणनखंड करने पर: $3x(x - 1) - 1(x - 1) = 0$.
इससे $(3x - 1)(x - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
अतः,मूल $1, \frac{1}{3}$ हैं।

(A) मान लीजिए कि द्विघात समीकरण $x^{2}-2x-c=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
दिया गया है कि एक मूल $\alpha = 5$ है।
द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के मूलों का योग $-\frac{b}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 1$,$b = -2$,और $c = -c$ है।
मूलों का योग $\alpha + \beta = -\frac{-2}{1} = 2$ है।
$\alpha = 5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $5 + \beta = 2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\beta = 2 - 5 = -3$ है।
अतः,दूसरा मूल $-3$ है।

(B) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,मूलों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,समीकरण $x^{2} + bx - 12 = 0$ है,जहाँ $a = 1$ और $c = -12$ है।
मान लीजिए कि मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। हमें $\alpha = 2$ दिया गया है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a} = \frac{-12}{1} = -12$ होता है।
$\alpha$ का मान रखने पर:
$2 \cdot \beta = -12$.
$\beta = \frac{-12}{2} = -6$.
अतः,दूसरा मूल $-6$ है।

(C) $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^2 - 4ac$ होता है।
दिए गए समीकरण $3x^2 - 6x + 4 = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 3$,$b = -6$ और $c = 4$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (-6)^2 - 4(3)(4)$
$D = 36 - 48$
$D = -12$
अतः,विविक्तकर $-12$ है।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2} + 12x + 36 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$b = 12$ और $c = 36$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ की गणना $D = b^{2} - 4ac$ द्वारा की जाती है।
$D = (12)^{2} - 4(1)(36) = 144 - 144 = 0$.
चूंकि विविक्तकर $D = 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं।
वैकल्पिक रूप से,समीकरण को $(x + 6)^{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिससे $x = -6, -6$ प्राप्त होता है।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ की गणना करते हैं।
यहाँ,$a = 9$,$b = 30$,और $c = 25$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$D = (30)^2 - 4(9)(25)$
$D = 900 - 900$
$D = 0$
चूंकि विविक्तकर $D = 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-10x+(2k-1)=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$b=-10$,और $c=2k-1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D=b^{2}-4ac$ है।
चूंकि $D=40$ दिया गया है,मान रखने पर:
$40 = (-10)^{2} - 4(1)(2k-1)$
$40 = 100 - 4(2k-1)$
$40 = 100 - 8k + 4$
$40 = 104 - 8k$
$8k = 104 - 40$
$8k = 64$
$k = 8$.

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^{2}-5x+k=0$ है।
चूंकि $x = \frac{7}{2}$ समीकरण का एक मूल है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण में $x = \frac{7}{2}$ रखने पर:
$2(\frac{7}{2})^{2} - 5(\frac{7}{2}) + k = 0$
$2(\frac{49}{4}) - \frac{35}{2} + k = 0$
$\frac{49}{2} - \frac{35}{2} + k = 0$
$\frac{14}{2} + k = 0$
$7 + k = 0$
$k = -7$

(D) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = c/a$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समीकरण $2x^{2} + 5x + 3 = 0$ में,$a = 2$,$b = 5$ और $c = 3$ है।
माना कि मूल $\alpha = -1$ है और दूसरा मूल $\beta$ है।
मूलों के गुणनफल के सूत्र का उपयोग करने पर: $(-1) \cdot \beta = 3/2$.
अतः,$\beta = -3/2$.
वैकल्पिक रूप से,मूलों के योग के सूत्र का उपयोग करने पर: $\alpha + \beta = -b/a$.
$-1 + \beta = -5/2$.
$\beta = -5/2 + 1 = -3/2$.

(D) एक चर $x$ में द्विघात बहुपद $ax^2 + bx + c$ के रूप का एक बीजीय व्यंजक है,जहाँ $a, b,$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं $(a, b, c \in R)$ और $x^2$ का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए $(a \neq 0)$।
यदि हम बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं,तो यह एक द्विघात समीकरण $(ax^2 + bx + c = 0)$ बन जाता है।
चूँकि प्रश्न में द्विघात बहुपद का मानक रूप पूछा गया है,इसलिए सही व्यंजक $a \neq 0$ की शर्त के साथ $ax^2 + bx + c$ है।

(C) एक चर $x$ में द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप का एक समीकरण है,जहाँ $a, b,$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $a \neq 0$ है।
यदि $a = 0$ है,तो समीकरण एक रैखिक समीकरण $(bx + c = 0)$ बन जाता है,जो द्विघात नहीं है।
इसलिए,मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ है,जिसमें $a \neq 0$ की शर्त है।

(B) एक द्विघात समीकरण $2$ घात वाला एक बहुपद समीकरण होता है।
द्विघात समीकरण का मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ है।
समीकरण के द्विघात होने के लिए,$x^2$ पद का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए।
यदि $a = 0$ है,तो समीकरण $bx + c = 0$ बन जाता है,जो एक रैखिक समीकरण है,द्विघात नहीं।
इसलिए,आवश्यक शर्त $a \neq 0$ है।

(D) एक द्विघात समीकरण को $2$ घात वाले बहुपद समीकरण के रूप में परिभाषित किया जाता है।
समीकरण के द्विघात होने के लिए,$x^2$ का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए,क्योंकि यदि $a = 0$ है,तो समीकरण एक रैखिक समीकरण $(bx + c = 0)$ में बदल जाता है।
इसलिए,$ax^2 + bx + c = 0$ के द्विघात समीकरण होने की शर्त $a \neq 0$ है,जहाँ $a, b,$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं $(a, b, c \in R)$।