Mix Examples - Quadratic Equations Questions in Hindi

(D) दिए गए समीकरण $3x^{2} + x - 2 = 0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से करने पर:
$a = 3, b = 1, c = -2$.
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (1)^{2} - 4(3)(-2)$
$D = 1 + 24 = 25$.
चूंकि $D = 25 > 0$ है,विविक्तकर धनात्मक है और एक पूर्ण वर्ग है।
अतः,द्विघात समीकरण के दो भिन्न,वास्तविक और परिमेय मूल हैं।

(N/A) दिए गए समीकरण $x^{2}+5x+5=0$ की तुलना मानक द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर:
$a=1, b=5, c=5$
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (5)^{2} - 4(1)(5)$
$D = 25 - 20$
$D = 5$
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। इसके अतिरिक्त,चूंकि $5$ एक पूर्ण वर्ग संख्या नहीं है,इसलिए मूल अपरिमेय हैं।

(B) दिए गए समीकरण $4x^{2} + x - 3 = 0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से करने पर:
यहाँ,$a = 4$,$b = 1$,और $c = -3$ है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर,$D = (1)^{2} - 4(4)(-3)$ प्राप्त होता है।
$D = 1 + 48 = 49$।
चूँकि $D = 49 > 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
इसके अतिरिक्त,चूँकि $49$ एक पूर्ण वर्ग है,इसलिए मूल परिमेय हैं।

(D) दिए गए समीकरण $4x^{2} + 11x + 10 = 0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 4, b = 11, c = 10$
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (11)^{2} - 4(4)(10)$
$D = 121 - 160$
$D = -39$
चूंकि $D < 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(B) दिए गए समीकरण $4x^{2} + 12x + 9 = 0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = 4, b = 12, c = 9$.
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर:
$D = (12)^{2} - 4(4)(9)$
$D = 144 - 144$
$D = 0$.
चूंकि विविक्तकर $D = 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और समान (पुनरावृत्त) हैं।

(D) दिए गए समीकरण $x^{2}-2 \sqrt{2} x+1=0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a=1, b=-2 \sqrt{2}, c=1$
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D=b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर:
$D=(-2 \sqrt{2})^{2}-4(1)(1)$
$D=(4 \times 2)-4$
$D=8-4=4$
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(C) समीकरण $(k+1) x^{2}-2(k+3) x+(2 k+3)=0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर:
$a = k+1, b = -2(k+3), c = 2k+3$
चूंकि द्विघात समीकरण के मूल समान और वास्तविक हैं,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ होगा।
$D = b^{2} - 4ac = 0$
$(-2(k+3))^{2} - 4(k+1)(2k+3) = 0$
$4(k^{2} + 6k + 9) - 4(2k^{2} + 3k + 2k + 3) = 0$
$4$ से भाग देने पर:
$(k^{2} + 6k + 9) - (2k^{2} + 5k + 3) = 0$
$k^{2} + 6k + 9 - 2k^{2} - 5k - 3 = 0$
$-k^{2} + k + 6 = 0$
$k^{2} - k - 6 = 0$
$(k-3)(k+2) = 0$
अतः,$k = 3$ या $k = -2$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए द्विघात समीकरण $x^{2}-(k+10)x+9(k+1)=0$ की तुलना मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से करने पर:
$a=1, b=-(k+10), c=9(k+1)$.
चूंकि द्विघात समीकरण के मूल समान और वास्तविक हैं,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ होगा।
$D = b^{2}-4ac = 0$
मान रखने पर:
$( -(k+10) )^{2} - 4(1)(9(k+1)) = 0$
$(k+10)^{2} - 36(k+1) = 0$
$k^{2} + 20k + 100 - 36k - 36 = 0$
$k^{2} - 16k + 64 = 0$
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है:
$(k-8)^{2} = 0$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$k-8 = 0$
$k = 8$
अतः,$k$ का मान $8$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $\frac{1}{4} x^{2} - 2x + 1 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = \frac{1}{4}$,$b = -2$,और $c = 1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर: $D = (-2)^{2} - 4(\frac{1}{4})(1)$.
$D = 4 - 1 = 3$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x(x - 5) = 36$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 - 5x = 36$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $ax^2 + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 5x - 36 = 0$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a = 1$,$b = -5$,और $c = -36$ है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^2 - 4ac$ है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $D = (-5)^2 - 4(1)(-36)$।
$D = 25 + 144 = 169$।
चूँकि $D > 0$ है और $169$ एक पूर्ण वर्ग है,अतः मूल वास्तविक,परिमेय और भिन्न हैं।

(D) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
यहाँ,$a = 5$,$b = -6$,और $c = 2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $D = (-6)^{2} - 4(5)(2)$.
$D = 36 - 40 = -4$.
चूँकि विविक्तकर $D < 0$ है,इसलिए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $5x^{2} - 4\sqrt{5}x + 4 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 5$,$b = -4\sqrt{5}$ और $c = 4$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर,$D = (-4\sqrt{5})^{2} - 4(5)(4)$ प्राप्त होता है।
$D = (16 \times 5) - 80 = 80 - 80 = 0$.
चूंकि विविक्तकर $D = 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $3x^{2} - 18x + 27 = 0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $a = 3$,$b = -18$ और $c = 27$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर: $D = (-18)^{2} - 4(3)(27)$.
$D = 324 - 324 = 0$.
चूंकि विविक्तकर $D = 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक,परिमेय और समान हैं।

(A) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
$x^{2} + x - 3 = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 1, b = 1, c = -3$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (1)^{2} - 4(1)(-3)$
$D = 1 + 12 = 13$.
चूंकि $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न (distinct) हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2} = 9$ है,जिसे मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ में $x^{2} + 0x - 9 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a = 1$,$b = 0$,और $c = -9$ है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ है।
मान रखने पर,$D = (0)^{2} - 4(1)(-9) = 0 + 36 = 36$ प्राप्त होता है।
चूँकि $D > 0$ है और $D$ एक पूर्ण वर्ग $(6^{2} = 36)$ है,इसलिए समीकरण के मूल वास्तविक,परिमेय और भिन्न हैं।

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^{2}-2x-15=0$ है।
इसे मानक रूप $ax^{2}+bx+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$b=-2$ और $c=-15$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
मान रखने पर: $D = (-2)^{2} - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64$.
चूंकि $D > 0$ है और $D$ एक पूर्ण वर्ग $(8^{2} = 64)$ है,इसलिए समीकरण के मूल वास्तविक,परिमेय और भिन्न हैं।

(A) द्विघात समीकरण $ax^{2}+bx+c=0$ के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2}-4ac$ है।
$4x^{2}-6x+2=0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a=4$,$b=-6$,और $c=2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $D = (-6)^{2} - 4(4)(2) = 36 - 32 = 4$।
चूंकि $D > 0$ है और $D$ एक पूर्ण वर्ग है,इसलिए मूल वास्तविक,परिमेय और भिन्न हैं।

(D) द्विघात समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$ के लिए,विविक्तकर $D$ का सूत्र $D = b^{2} - 4ac$ होता है।
$x^{2} + x + \frac{1}{4} = 0$ की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें $a = 1$,$b = 1$,और $c = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $D = (1)^{2} - 4(1)(\frac{1}{4}) = 1 - 1 = 0$.
चूंकि विविक्तकर $D = 0$ है,इसलिए द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक,परिमेय और समान हैं।

(C) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = 0$ है,तो इसके मूल समान और वास्तविक होते हैं।
दिए गए समीकरण $k x^{2} - 24 x + 16 = 0$ के लिए,$a = k$,$b = -24$ और $c = 16$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$(-24)^{2} - 4(k)(16) = 0$
$576 - 64k = 0$
$64k = 576$
$k = \frac{576}{64}$
$k = 9$.
अतः,$k$ का मान $9$ है।

(D) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के दो समान और वास्तविक मूल होने के लिए,इसका विविक्तकर (discriminant) $D = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = 1$,$b = 2k$,और $c = 4$ है।
विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac$ है।
$D = 0$ रखने पर,हमें $(2k)^{2} - 4(1)(4) = 0$ प्राप्त होता है।
$4k^{2} - 16 = 0$.
$4k^{2} = 16$.
$k^{2} = 4$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $k = \pm 2$ प्राप्त होता है।

(A) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = 0$ हो,तो उसके मूल समान और वास्तविक होते हैं।
दिए गए समीकरण $3x^{2} - 18x + k = 0$ में,गुणांक इस प्रकार हैं: $a = 3$,$b = -18$,और $c = k$।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$D = (-18)^{2} - 4(3)(k) = 0$
$324 - 12k = 0$
$12k = 324$
$k = \frac{324}{12} = 27$।
अतः,$k$ का मान $27$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x(4 - kx) = 3 - 2x$ है।
समीकरण का विस्तार करने पर: $4x - kx^2 = 3 - 2x$.
पदों को मानक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर: $kx^2 - 6x + 3 = 0$.
द्विघात समीकरण के दो समान और वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = k$,$b = -6$,और $c = 3$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर: $(-6)^2 - 4(k)(3) = 0$.
$36 - 12k = 0$.
$12k = 36$.
$k = 3$.

(C) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = 0$ है,तो इसके मूल समान और वास्तविक होते हैं।
दिया गया समीकरण: $16x^{2} - 40x + \frac{k-1}{2} = 0$.
यहाँ,$a = 16$,$b = -40$,और $c = \frac{k-1}{2}$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$(-40)^{2} - 4(16)\left(\frac{k-1}{2}\right) = 0$
$1600 - 64\left(\frac{k-1}{2}\right) = 0$
$1600 - 32(k-1) = 0$
$1600 - 32k + 32 = 0$
$1632 = 32k$
$k = \frac{1632}{32} = 51$.
अतः,$k$ का मान $51$ है।

(C) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = 0$ है,तो मूल समान और वास्तविक होते हैं।
दिया गया समीकरण: $x^{2} - kx + 25 = 0$.
यहाँ,$a = 1$,$b = -k$,और $c = 25$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$(-k)^{2} - 4(1)(25) = 0$
$k^{2} - 100 = 0$
$k^{2} = 100$
$k = \pm \sqrt{100}$
$k = 10$ या $k = -10$.
अतः,$k$ के मान $10$ और $-10$ हैं।

(A) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = 0$ है,तो मूल समान और वास्तविक होते हैं।
दिया गया समीकरण: $5x^{2} - 2kx + 20 = 0$.
यहाँ,$a = 5$,$b = -2k$,और $c = 20$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-2k)^{2} - 4(5)(20) = 0$
$4k^{2} - 400 = 0$
$4k^{2} = 400$
$k^{2} = 100$
$k = \pm 10$.
अतः,$k$ के मान $10$ और $-10$ हैं।

(A) किसी द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के दो समान और वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ का मान $0$ के बराबर होना चाहिए।
यहाँ,$a = (k+1)$,$b = -2(k-1)$,और $c = 1$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$D = [-2(k-1)]^2 - 4(k+1)(1) = 0$
$4(k-1)^2 - 4(k+1) = 0$
$4$ से भाग देने पर:
$(k-1)^2 - (k+1) = 0$
$k^2 - 2k + 1 - k - 1 = 0$
$k^2 - 3k = 0$
$k(k-3) = 0$
अतः,$k = 0$ या $k = 3$ प्राप्त होता है।

(C) किसी द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के दो समान और वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = 0$
यहाँ,$a = 2k$,$b = -8$,और $c = k$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-8)^2 - 4(2k)(k) = 0$
$64 - 8k^2 = 0$
$8k^2 = 64$
$k^2 = 8$
$k = \pm\sqrt{8}$
$k = \pm 2\sqrt{2}$
अतः,$k$ के मान $-2\sqrt{2}$ और $2\sqrt{2}$ हैं।

(D) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = 0$ है,तो मूल समान और वास्तविक होते हैं।
दिए गए समीकरण $4x^{2} - 5x + k = 0$ में,$a = 4$,$b = -5$ और $c = k$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$D = (-5)^{2} - 4(4)(k) = 0$
$25 - 16k = 0$
$16k = 25$
$k = \frac{25}{16}$

(A) $ax^{2} + bx + c = 0$ के रूप वाले द्विघात समीकरण के लिए,मूल समान और वास्तविक होते हैं यदि विविक्तकर $D = b^{2} - 4ac = 0$ हो।
दिया गया समीकरण: $k x^{2} - 2 \sqrt{5} x + 4 = 0$.
यहाँ,$a = k$,$b = -2 \sqrt{5}$,और $c = 4$ है।
इन मानों को विविक्तकर के सूत्र में रखने पर:
$(-2 \sqrt{5})^{2} - 4(k)(4) = 0$
$(4 \times 5) - 16k = 0$
$20 - 16k = 0$
$16k = 20$
$k = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$.

(B) एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में,समकोण बनाने वाली दो भुजाएँ लंबाई में समान होती हैं।
मान लीजिए कि इन भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई $x \, cm$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,एक समकोण त्रिभुज में,कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इसलिए,$(x)^2 + (x)^2 = (8)^2$.
$2x^2 = 64$.
$x^2 = 32$.
$x = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4 \sqrt{2} \, cm$.
चूंकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए अन्य दो भुजाओं में से प्रत्येक की लंबाई $4 \sqrt{2} \, cm$ है।

(C) माना कि आयत की चौड़ाई $x\,cm$ है।
तब,दी गई शर्त के अनुसार,आयत की लंबाई $(3x - 2)\,cm$ है।
अब,आंकड़ों के अनुसार,आयत का क्षेत्रफल $280\,cm^2$ है।
$\therefore$ आयत का क्षेत्रफल $= 280$
$\therefore$ लंबाई $\times$ चौड़ाई $= 280$
$\therefore (3x - 2)(x) = 280$
$\therefore 3x^2 - 2x = 280$
$\therefore 3x^2 - 2x - 280 = 0$
$\therefore (3x + 28)(x - 10) = 0$
$\therefore 3x + 28 = 0$ या $x - 10 = 0$
$\therefore x = -\frac{28}{3}$ या $x = 10$
चूंकि $x$ आयत की चौड़ाई है,यह ऋणात्मक नहीं हो सकती।
$\therefore x = -\frac{28}{3}$ संभव नहीं है।
$\therefore x = 10$
अब,आयत की लंबाई $= 3x - 2 = 3(10) - 2 = 28\,cm$.
अतः,दिए गए आयत की लंबाई $28\,cm$ है।

(D) माना कि स्थिर जल में मोटरबोट की गति $x \, km/hr$ है।
इसलिए,धारा के अनुकूल मोटरबोट की गति $(x+3) \, km/hr$ और धारा के प्रतिकूल (upstream) उसकी गति $(x-3) \, km/hr$ होगी।
अतः,धारा के अनुकूल $12 \, km$ की दूरी तय करने में लगा समय $\frac{12}{x+3}$ घंटे है और उतनी ही दूरी यानी $12 \, km$ वापस आने में लगा समय $\frac{12}{x-3}$ घंटे है।
प्रश्न के अनुसार,कुल समय $3$ घंटे है।
$\frac{12}{x+3} + \frac{12}{x-3} = 3$
$12(x-3) + 12(x+3) = 3(x+3)(x-3)$
$12x - 36 + 12x + 36 = 3(x^2 - 9)$
$24x = 3x^2 - 27$
$3x^2 - 24x - 27 = 0$
$3$ से भाग देने पर,$x^2 - 8x - 9 = 0$ प्राप्त होता है।
$(x-9)(x+1) = 0$
$x = 9$ या $x = -1$.
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 9 \, km/hr$।

(A) माना कि दो क्रमागत सम धनात्मक पूर्णांकों में से छोटी संख्या $x$ है।
अतः,बड़ी सम धनात्मक पूर्णांक संख्या $x+2$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,उनके वर्गों का योग $244$ है।
$\therefore x^{2} + (x+2)^{2} = 244$
$\therefore x^{2} + x^{2} + 4x + 4 = 244$
$\therefore 2x^{2} + 4x + 4 - 244 = 0$
$\therefore 2x^{2} + 4x - 240 = 0$
समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$\therefore x^{2} + 2x - 120 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$\therefore (x+12)(x-10) = 0$
$\therefore x+12 = 0$ या $x-10 = 0$
$\therefore x = -12$ या $x = 10$
चूंकि संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए,इसलिए $x = -12$ संभव नहीं है।
अतः,$x = 10$.
छोटी संख्या $10$ है और बड़ी संख्या $10+2 = 12$ है।
अतः,अभीष्ट क्रमागत सम धनात्मक पूर्णांक $10$ और $12$ हैं।

(B) माना कि अभीष्ट शून्येतर संख्या $x$ है।
अतः,इसका व्युत्क्रम $\frac{1}{x}$ है।
प्रश्न के अनुसार,उनका योग $\frac{10}{3}$ है।
इसलिए,$x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}$.
पूरे समीकरण को $3x$ से गुणा करने पर,हमें $3x^2 + 3 = 10x$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें द्विघात समीकरण $3x^2 - 10x + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $3x^2 - 9x - x + 3 = 0$.
$3x(x - 3) - 1(x - 3) = 0$.
$(3x - 1)(x - 3) = 0$.
इससे $x = \frac{1}{3}$ या $x = 3$ प्राप्त होता है।
यदि संख्या $3$ है,तो इसका व्युत्क्रम $\frac{1}{3}$ है। यदि संख्या $\frac{1}{3}$ है,तो इसका व्युत्क्रम $3$ है।
अतः,अभीष्ट संख्याएँ $3$ और $\frac{1}{3}$ हैं।

(C) माना कि मूल संख्या का दहाई का अंक $x$ है।
चूंकि अंकों का गुणनफल $6$ है,इसलिए इकाई का अंक $\frac{6}{x}$ होगा।
मूल संख्या $= 10x + \frac{6}{x}$ है।
अंकों को परस्पर बदलने पर प्राप्त नई संख्या $= 10(\frac{6}{x}) + x = \frac{60}{x} + x$ है।
प्रश्न के अनुसार,मूल संख्या में से $9$ घटाने पर नई संख्या प्राप्त होती है:
$10x + \frac{6}{x} - 9 = \frac{60}{x} + x$
समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$10x^2 + 6 - 9x = 60 + x^2$
$9x^2 - 9x - 54 = 0$
$9$ से भाग देने पर:
$x^2 - x - 6 = 0$
$(x - 3)(x + 2) = 0$
अंक कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x = 3$ है।
मूल संख्या $= 10(3) + \frac{6}{3} = 30 + 2 = 32$।

(D) माना समकोण बनाने वाली भुजाओं में से छोटी भुजा (आधार) $x$ मीटर है।
अतः,समकोण बनाने वाली दूसरी भुजा (लंब) $(x+7)$ मीटर और कर्ण $(2x+1)$ मीटर है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$(\text{कर्ण})^2 = (\text{आधार})^2 + (\text{लंब})^2$.
अतः,$(2x+1)^2 = x^2 + (x+7)^2$.
$4x^2 + 4x + 1 = x^2 + x^2 + 14x + 49$.
$4x^2 + 4x + 1 = 2x^2 + 14x + 49$.
$2x^2 - 10x - 48 = 0$.
$2$ से भाग देने पर,$x^2 - 5x - 24 = 0$.
$(x-8)(x+3) = 0$.
अतः,$x=8$ या $x=-3$.
चूँकि त्रिभुज की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x=8$.
इस प्रकार,आधार $8\,m$,लंब $8+7=15\,m$ और कर्ण $2(8)+1=17\,m$ है।
बगीचे की भुजाएँ $8\,m, 15\,m$ और $17\,m$ हैं।

(A) माना विराट कोहली की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है।
$8$ वर्ष पहले आयु $(x - 8)$ वर्ष थी।
$6$ वर्ष बाद आयु $(x + 6)$ वर्ष होगी।
प्रश्न के अनुसार,इन आयु का गुणनफल $680$ है:
$(x - 8)(x + 6) = 680$
$x^2 + 6x - 8x - 48 = 680$
$x^2 - 2x - 48 - 680 = 0$
$x^2 - 2x - 728 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 1, b = -2, c = -728$:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-728)}}{2(1)}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 2912}}{2}$
$x = \frac{2 \pm \sqrt{2916}}{2}$
$x = \frac{2 \pm 54}{2}$
चूंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम धनात्मक मान लेते हैं:
$x = \frac{2 + 54}{2} = \frac{56}{2} = 28$
अतः,उसकी वर्तमान आयु $28$ वर्ष है।

(B) माना कार की मूल गति $x\,km/hr$ है।
मूल गति पर लिया गया समय,$T_1 = \frac{150}{x}$ घंटे।
नई गति = $(x + 5)\,km/hr$।
नई गति पर लिया गया समय,$T_2 = \frac{150}{x + 5}$ घंटे।
दिया गया है कि कार $60$ मिनट ($1$ घंटा) कम समय लेती है,इसलिए $T_1 - T_2 = 1$।
$\frac{150}{x} - \frac{150}{x + 5} = 1$।
$150(x + 5 - x) = x(x + 5)$।
$150(5) = x^2 + 5x$।
$x^2 + 5x - 750 = 0$।
$(x + 30)(x - 25) = 0$।
चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 25\,km/hr$।

(A) माना कि धारा की गति $x \text{ km/hr}$ है।
दिया गया है, स्थिर पानी में मोटरबोट की गति = $25 \text{ km/hr}$।
धारा की दिशा में गति = $(25 + x) \text{ km/hr}$।
धारा के विपरीत दिशा में गति = $(25 - x) \text{ km/hr}$।
धारा की दिशा में $60 \text{ km}$ की दूरी तय करने में लगा समय = $\frac{60}{25 + x} \text{ घंटे}$।
धारा के विपरीत दिशा में $60 \text{ km}$ की दूरी तय करने में लगा समय = $\frac{60}{25 - x} \text{ घंटे}$।
कुल समय = $5 \text{ घंटे}$।
अतः, $\frac{60}{25 + x} + \frac{60}{25 - x} = 5$।
$5$ से भाग देने पर: $\frac{12}{25 + x} + \frac{12}{25 - x} = 1$।
$12(25 - x + 25 + x) = (25 + x)(25 - x)$।
$12(50) = 625 - x^2$।
$600 = 625 - x^2$।
$x^2 = 25$।
$x = 5 \text{ km/hr}$ (चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती)।
अतः, नदी की धारा की गति $5 \text{ km/hr}$ है।

(D) माना बच्चों की संख्या $x$ है।
प्रत्येक बच्चे को मिलने वाली पतंगों की संख्या $\frac{120}{x}$ है।
यदि $4$ बच्चे कम होते,तो बच्चों की संख्या $(x - 4)$ होती।
इस स्थिति में,प्रत्येक बच्चे को $\frac{120}{x - 4}$ पतंगें मिलतीं।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{120}{x - 4} - \frac{120}{x} = 1$ है।
$x(x - 4)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $120x - 120(x - 4) = x(x - 4)$।
$120x - 120x + 480 = x^2 - 4x$।
$x^2 - 4x - 480 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 24)(x + 20) = 0$।
चूंकि बच्चों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 24$।

(A) माना समकोण बनाने वाली दो भुजाएँ $x \, cm$ और $(x + 7) \, cm$ हैं।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,कर्ण = $\sqrt{x^2 + (x + 7)^2} = \sqrt{x^2 + x^2 + 14x + 49} = \sqrt{2x^2 + 14x + 49}$.
परिमाप $30 \, cm$ दिया गया है,अतः $x + (x + 7) + \sqrt{2x^2 + 14x + 49} = 30$.
$2x + 7 + \sqrt{2x^2 + 14x + 49} = 30$.
$\sqrt{2x^2 + 14x + 49} = 23 - 2x$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2x^2 + 14x + 49 = (23 - 2x)^2$.
$2x^2 + 14x + 49 = 529 - 92x + 4x^2$.
$2x^2 - 106x + 480 = 0$.
$x^2 - 53x + 240 = 0$.
$(x - 5)(x - 48) = 0$.
चूँकि $x = 48$ संभव नहीं है (क्योंकि परिमाप $30$ है),इसलिए $x = 5$.
भुजाएँ $5 \, cm$,$5 + 7 = 12 \, cm$ हैं और कर्ण $\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \, cm$ है।

(B) माना कि आयताकार बगीचे की चौड़ाई $x \, m$ है।
तब,बगीचे की लंबाई $(x + 6) \, m$ होगी।
आयत का क्षेत्रफल $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 216 \, m^2$ होता है।
अतः,$x(x + 6) = 216$.
$x^2 + 6x - 216 = 0$.
इस द्विघात समीकरण को हल करने के लिए,हम गुणनखंड करते हैं: $x^2 + 18x - 12x - 216 = 0$.
$x(x + 18) - 12(x + 18) = 0$.
$(x - 12)(x + 18) = 0$.
चूंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए हम $x = 12$ लेते हैं।
अतः,चौड़ाई $12 \, m$ है और लंबाई $12 + 6 = 18 \, m$ है।

(D) माना फूलदान का लागत मूल्य $x$ रुपये है।
दिया गया है कि लाभ प्रतिशत लागत मूल्य के बराबर है,इसलिए लाभ प्रतिशत $x\%$ है।
लाभ = $\frac{x}{100} \times x = \frac{x^2}{100}$.
विक्रय मूल्य = लागत मूल्य + लाभ = $x + \frac{x^2}{100}$.
दिया गया है कि विक्रय मूल्य Rs. $96$ है,इसलिए हमारे पास समीकरण है: $x + \frac{x^2}{100} = 96$.
पूरे समीकरण को $100$ से गुणा करने पर,हमें $100x + x^2 = 9600$ प्राप्त होता है।
इसे मानक द्विघात समीकरण में व्यवस्थित करने पर: $x^2 + 100x - 9600 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 + 160x - 60x - 9600 = 0$.
$x(x + 160) - 60(x + 160) = 0$.
$(x - 60)(x + 160) = 0$.
इससे $x = 60$ या $x = -160$ प्राप्त होता है।
चूंकि लागत मूल्य ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए फूलदान का लागत मूल्य Rs. $60$ है।

(D) माना कि पेन का क्रय मूल्य $x$ रुपये है।
दिया गया है कि हानि का प्रतिशत क्रय मूल्य के बराबर है, इसलिए हानि का प्रतिशत $= x\%$.
हानि $= \text{क्रय मूल्य} - \text{विक्रय मूल्य} = x - 24$.
साथ ही, $\text{हानि} = \text{क्रय मूल्य} \times \frac{\text{हानि प्रतिशत}}{100} = x \times \frac{x}{100} = \frac{x^2}{100}$.
हानि के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $x - 24 = \frac{x^2}{100}$.
$100x - 2400 = x^2$.
$x^2 - 100x + 2400 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 60)(x - 40) = 0$.
अतः, $x = 60$ या $x = 40$.
इस प्रकार, पेन का क्रय मूल्य Rs. $40$ या Rs. $60$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण: $x^{2} - 7 = 0$.
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $x^{2} - (\sqrt{7})^{2} = 0$.
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7}) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - \sqrt{7} = 0 \implies x = \sqrt{7}$.
$x + \sqrt{7} = 0 \implies x = -\sqrt{7}$.
अतः,हल $x = \sqrt{7}$ और $x = -\sqrt{7}$ हैं।

(B) गुणनखंड विधि द्वारा द्विघात समीकरण $x^{2} + 5x - 66 = 0$ को हल करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात करनी होंगी जिनका गुणनफल $-66$ हो और योग $5$ हो।
ये दो संख्याएँ $11$ और $-6$ हैं,क्योंकि $11 \times (-6) = -66$ और $11 + (-6) = 5$ होता है।
अब,मध्य पद $5x$ को $11x - 6x$ के रूप में लिखने पर:
$x^{2} + 11x - 6x - 66 = 0$
पदों का समूह बनाकर गुणनखंड करने पर:
$x(x + 11) - 6(x + 11) = 0$
$(x - 6)(x + 11) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$x - 6 = 0 \implies x = 6$
$x + 11 = 0 \implies x = -11$
अतः,हल $x = 6$ और $x = -11$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{x-1}{x-2} + \frac{x-3}{x-4} = \frac{10}{3}$.
बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{(x-1)(x-4) + (x-3)(x-2)}{(x-2)(x-4)} = \frac{10}{3}$.
पदों का विस्तार करने पर: $\frac{(x^2 - 5x + 4) + (x^2 - 5x + 6)}{x^2 - 6x + 8} = \frac{10}{3}$.
सरल करने पर: $\frac{2x^2 - 10x + 10}{x^2 - 6x + 8} = \frac{10}{3}$.
अंश को $2$ से विभाजित करने पर: $\frac{2(x^2 - 5x + 5)}{x^2 - 6x + 8} = \frac{10}{3} \implies \frac{x^2 - 5x + 5}{x^2 - 6x + 8} = \frac{5}{3}$.
वज्र-गुणन करने पर: $3(x^2 - 5x + 5) = 5(x^2 - 6x + 8)$.
$3x^2 - 15x + 15 = 5x^2 - 30x + 40$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2x^2 - 15x + 25 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $2x^2 - 10x - 5x + 25 = 0 \implies 2x(x - 5) - 5(x - 5) = 0$.
$(2x - 5)(x - 5) = 0$.
अतः,$x = 5$ या $x = \frac{5}{2}$।

(D) दिया गया समीकरण: $3x^{2} = -11x - 10$.
पदों को मानक रूप $ax^{2} + bx + c = 0$ में व्यवस्थित करने पर:
$3x^{2} + 11x + 10 = 0$.
गुणनखंड करने के लिए,हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $3 \times 10 = 30$ हो और जिनका योग $11$ हो।
ये संख्याएँ $6$ और $5$ हैं।
मध्य पद को विभाजित करने पर:
$3x^{2} + 6x + 5x + 10 = 0$.
पदों का समूह बनाने पर:
$3x(x + 2) + 5(x + 2) = 0$.
$(3x + 5)(x + 2) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$3x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{3}$.
$x + 2 = 0 \implies x = -2$.
अतः,हल $x = -\frac{5}{3}, -2$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $x^{2} + (x + 5)^{2} = 625$
वर्ग का विस्तार करने पर: $x^{2} + (x^{2} + 10x + 25) = 625$
समान पदों को जोड़ने पर: $2x^{2} + 10x + 25 = 625$
दोनों पक्षों से $625$ घटाने पर: $2x^{2} + 10x - 600 = 0$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर: $x^{2} + 5x - 300 = 0$
मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करने पर: $x^{2} + 20x - 15x - 300 = 0$
पदों का समूह बनाने पर: $x(x + 20) - 15(x + 20) = 0$
$(x + 20)$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $(x + 20)(x - 15) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर: $x + 20 = 0$ या $x - 15 = 0$
अतः,हल $x = -20$ और $x = 15$ हैं।

(B) गुणनखंड विधि द्वारा द्विघात समीकरण $2x^2 + ax - a^2 = 0$ को हल करने के लिए,हमें मध्य पद $ax$ को दो भागों में विभाजित करना होगा ताकि उनका गुणनफल $(2x^2) \times (-a^2) = -2a^2x^2$ हो और उनका योग $ax$ हो।
हम $ax$ को $2ax - ax$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2x^2 + 2ax - ax - a^2 = 0$.
पदों का समूहीकरण करने पर: $2x(x + a) - a(x + a) = 0$.
उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x + a)$ को बाहर निकालने पर: $(2x - a)(x + a) = 0$.
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर:
$1$) $2x - a = 0 \implies 2x = a \implies x = \frac{a}{2}$.
$2$) $x + a = 0 \implies x = -a$.
अतः,हल $x = -a$ और $x = \frac{a}{2}$ हैं।