Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(-1, 3)$,$B(1, -1)$ અને $C(5, 1)$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા એ $A$ ને સામેની બાજુ $BC$ ના મધ્યબિંદુ સાથે જોડે છે.
ધારો કે $M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ $M$ ના યામ: $M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{-1 + 1}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{0}{2} \right) = (3, 0)$.
મધ્યગા $AM$ ની લંબાઈ એ $A(-1, 3)$ અને $M(3, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$AM = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
આમ,મધ્યગાની લંબાઈ $5$ છે.

(B) વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જો બિંદુ $P(x, y)$ એ $A(x_1, y_1)$ અને $B(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું હોય,તો તેના યામ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}$ અને $y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n}$
અહીં,$A(1, 2)$,$B(4, 5)$,$m:n = 2:1$,અને $P(3, b)$ છે.
$b$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $y$-યામના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
$b = \frac{m(y_2) + n(y_1)}{m+n}$
$b = \frac{2(5) + 1(2)}{2+1}$
$b = \frac{10 + 2}{3}$
$b = \frac{12}{3}$
$b = 4$
આમ,$b$ ની કિંમત $4$ છે.

(A) ધારો કે $Y-$અક્ષ રેખાખંડ $AB$ નું બિંદુ $P(0, y)$ પર $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે।
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$P = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$
અહીં, $m_1 = k$, $m_2 = 1$, $(x_1, y_1) = (-4, 1)$, અને $(x_2, y_2) = (1, 1)$ છે।
બિંદુ $Y-$અક્ષ પર હોવાથી, તેનો $x-$યામ $0$ થાય:
$0 = \frac{k(1) + 1(-4)}{k + 1}$
$0 = k - 4$
$k = 4$
આમ, માંગેલ ગુણોત્તર $4:1$ છે।

(D) ધારો કે $X$-અક્ષ રેખાખંડ $AB$ નું બિંદુ $P(x, 0)$ આગળ $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$
$A(1, 2)$ અને $B(4, -5)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$P = \left( \frac{4k + 1}{k + 1}, \frac{-5k + 2}{k + 1} \right)$
બિંદુ $P$ એ $X$-અક્ષ પર હોવાથી, તેનો $y$-યામ $0$ થાય:
$\frac{-5k + 2}{k + 1} = 0$
$-5k + 2 = 0$
$5k = 2$
$k = \frac{2}{5}$
આમ, માંગેલ ગુણોત્તર $2:5$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(7, 5)$ અને $B(-2, -1)$ છે. ધારો કે ત્રિભાગ બિંદુઓ $P$ અને $Q$ છે.
બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P = \left( \frac{1(-2) + 2(7)}{1+2}, \frac{1(-1) + 2(5)}{1+2} \right) = \left( \frac{-2+14}{3}, \frac{-1+10}{3} \right) = \left( \frac{12}{3}, \frac{9}{3} \right) = (4, 3)$.
બિંદુ $Q$ એ $AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$Q = \left( \frac{2(-2) + 1(7)}{2+1}, \frac{2(-1) + 1(5)}{2+1} \right) = \left( \frac{-4+7}{3}, \frac{-2+5}{3} \right) = \left( \frac{3}{3}, \frac{3}{3} \right) = (1, 1)$.
આમ,ત્રિભાગ બિંદુઓ $(4, 3)$ અને $(1, 1)$ છે.

(N/A) ધારો કે બિંદુ $P (2, b)$ એ $A (1, 2)$ અને $B (4, 5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $x$-યામ માટે: $x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 = \frac{k(4) + 1(1)}{k + 1}$.
$2(k + 1) = 4k + 1 \implies 2k + 2 = 4k + 1 \implies 2k = 1 \implies k = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 2$ છે.
હવે,વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $y$-યામ શોધો: $y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}$.
$b = \frac{1(5) + 2(2)}{1 + 2} = \frac{5 + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
તેથી,ગુણોત્તર $1: 2$ છે અને $b = 3$ છે.

(N/A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
ધારો કે મધ્યબિંદુઓ $D(3,1)$,$E(5,6)$ અને $F(-3,2)$ છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(x_1+x_2)/2 = 3, (y_1+y_2)/2 = 1 \implies x_1+x_2 = 6, y_1+y_2 = 2$ (સમીકરણ $1$)
$(x_2+x_3)/2 = 5, (y_2+y_3)/2 = 6 \implies x_2+x_3 = 10, y_2+y_3 = 12$ (સમીકરણ $2$)
$(x_3+x_1)/2 = -3, (y_3+y_1)/2 = 2 \implies x_3+x_1 = -6, y_3+y_1 = 4$ (સમીકરણ $3$)
બધા સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(x_1+x_2+x_3) = 6+10-6 = 10 \implies x_1+x_2+x_3 = 5$.
તે જ રીતે,$y_1+y_2+y_3 = (2+12+4)/2 = 9$.
સરવાળામાંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $x_1 = 5-10 = -5$ અને $y_1 = 9-12 = -3$.
સરવાળામાંથી સમીકરણ $3$ બાદ કરતા: $x_2 = 5-(-6) = 11$ અને $y_2 = 9-4 = 5$.
સરવાળામાંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $x_3 = 5-6 = -1$ અને $y_3 = 9-2 = 7$.
આમ,શિરોબિંદુઓ $(-5,-3), (11,5), (-1,7)$ છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. આનો અર્થ એ છે કે વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= ((-2+x)/2, (1+3)/2) = ((-2+x)/2, 2)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= ((1+1)/2, (0+y)/2) = (1, y/2)$.
મધ્યબિંદુઓના યામોને સરખાવતા:
$(-2+x)/2 = 1 \implies -2+x = 2 \implies x = 4$.
$y/2 = 2 \implies y = 4$.
તેથી,$x=4$ અને $y=4$ મળે છે.

(A) આપેલા બિંદુઓ $A(1, -2)$ અને $B(-7, 1)$ છે.
ધારો કે $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
શરત $3AP = 5AB$ પરથી $AP = \frac{5}{3} AB$ મળે.
$P-A-B$ ક્રમ મુજબ,$A$ એ $P$ અને $B$ ની વચ્ચે છે.
વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = 1 + \frac{5}{3}(1 - (-7)) = 1 + \frac{5}{3}(8) = \frac{43}{3}$.
$y = -2 + \frac{5}{3}(-2 - 1) = -2 + \frac{5}{3}(-3) = -7$.
આમ,$P = (\frac{43}{3}, -7)$.

(B) રેખાખંડ $AB$ ને પાંચ સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરવા માટે,આપણે તે બિંદુ $P$ શોધવું પડશે જે $AB$ ને $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે (કારણ કે તે $A$ થી ત્રીજું બિંદુ છે).
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડને $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતા બિંદુના યામ $\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$ છે.
અહીં,$A = (-2, 1)$,$B = (7, 8)$,$m = 3$,અને $n = 2$ છે.
$x = \frac{3(7) + 2(-2)}{3+2} = \frac{21 - 4}{5} = \frac{17}{5}$.
$y = \frac{3(8) + 2(1)}{3+2} = \frac{24 + 2}{5} = \frac{26}{5}$.
આમ,બિંદુના યામ $\left(\frac{17}{5}, \frac{26}{5}\right)$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,વિકલ્પ $B$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(t, t)$ એ $A(k, 2)$ અને $B(3, 5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P(x, y) = \left( \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{k(3) + 1(k)}{k + 1} = \frac{4k}{k + 1}$ --- $(1)$
$t = \frac{k(5) + 1(2)}{k + 1} = \frac{5k + 2}{k + 1}$ --- $(2)$
બંને સમીકરણો $t$ ની કિંમત દર્શાવતા હોવાથી,તેમને સરખાવતા:
$\frac{4k}{k + 1} = \frac{5k + 2}{k + 1}$
$k \neq -1$ લેતા:
$4k = 5k + 2$
$4k - 5k = 2$
$-k = 2$
$k = -2$

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(8, 2)$,$B(2, 4)$ અને $C(6, 7)$ છે.
તેથી,$x_1 = 8, y_1 = 2, x_2 = 2, y_2 = 4, x_3 = 6, y_3 = 7$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |8(4 - 7) + 2(7 - 2) + 6(2 - 4)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |8(-3) + 2(5) + 6(-2)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-24 + 10 - 12|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-26|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{26}{2} = 13$.
આમ,$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $13$ ચોરસ એકમ છે.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(a, 5), B(6, 7)$ અને $C(2, 3)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $= 10$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$10 = \frac{1}{2} |a(7 - 3) + 6(3 - 5) + 2(5 - 7)|$
$20 = |a(4) + 6(-2) + 2(-2)|$
$20 = |4a - 12 - 4|$
$20 = |4a - 16|$
આના બે કિસ્સાઓ મળે:
કિસ્સો $1$: $4a - 16 = 20 \implies 4a = 36 \implies a = 9$
કિસ્સો $2$: $4a - 16 = -20 \implies 4a = -4 \implies a = -1$
આમ,$a$ ની શક્ય કિંમતો $9$ અથવા $-1$ છે.

(B) ધારો કે પંચકોણના શિરોબિંદુઓ $A(4,3), B(-5,6), C(-7,-2), D(0,-7)$ અને $E(3,-6)$ છે.
આપણે પંચકોણને ત્રણ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ: $\Delta ABE, \Delta BCE$ અને $\Delta CDE$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેનાં શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તેનું સૂત્ર $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ છે.
$1$. $\Delta ABE$ નું ક્ષેત્રફળ,જેના શિરોબિંદુઓ $A(4,3), B(-5,6), E(3,-6)$ છે:
$= \frac{1}{2} |4(6 - (-6)) + (-5)(-6 - 3) + 3(3 - 6)|$
$= \frac{1}{2} |4(12) + (-5)(-9) + 3(-3)|$
$= \frac{1}{2} |48 + 45 - 9| = \frac{1}{2} |84| = 42$ ચોરસ એકમ.
$2$. $\Delta BCE$ નું ક્ષેત્રફળ,જેના શિરોબિંદુઓ $B(-5,6), C(-7,-2), E(3,-6)$ છે:
$= \frac{1}{2} |-5(-2 - (-6)) + (-7)(-6 - 6) + 3(6 - (-2))|$
$= \frac{1}{2} |-5(4) + (-7)(-12) + 3(8)|$
$= \frac{1}{2} |-20 + 84 + 24| = \frac{1}{2} |88| = 44$ ચોરસ એકમ.
$3$. $\Delta CDE$ નું ક્ષેત્રફળ,જેના શિરોબિંદુઓ $C(-7,-2), D(0,-7), E(3,-6)$ છે:
$= \frac{1}{2} |-7(-7 - (-6)) + 0(-6 - (-2)) + 3(-2 - (-7))|$
$= \frac{1}{2} |-7(-1) + 0 + 3(5)|$
$= \frac{1}{2} |7 + 15| = \frac{1}{2} |22| = 11$ ચોરસ એકમ.
પંચકોણ $ABCDE$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= \text{Area}(\Delta ABE) + \text{Area}(\Delta BCE) + \text{Area}(\Delta CDE)$
$= 42 + 44 + 11 = 97$ ચોરસ એકમ.

(C) $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(3, 2), B(11, 8)$ અને $C(8, 12)$ છે.
અહીં,$x_1 = 3, y_1 = 2, x_2 = 11, y_2 = 8, x_3 = 8, y_3 = 12$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3(8 - 12) + 11(12 - 2) + 8(2 - 8)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3(-4) + 11(10) + 8(-6)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-12 + 110 - 48|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |50|$
ક્ષેત્રફળ $= 25$ ચોરસ એકમ.

(N/A) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(5, a)$,$B(2, 5)$ અને $C(2, 3)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |5(5 - 3) + 2(3 - a) + 2(a - 5)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |5(2) + 6 - 2a + 2a - 10|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |10 + 6 - 10|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |6|$
ક્ષેત્રફળ $= 3$ ચોરસ એકમ.
પરિણામ $a$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,દરેક $a \in R$ માટે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $3$ ચોરસ એકમ થાય છે.

(A) ધારો કે ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(-1, -1), B(-4, -2), C(-5, -4)$ અને $D(-2, -3)$ છે.
ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે ચતુષ્કોણને બે ત્રિકોણો,$\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ માં વિભાજિત કરીએ છીએ.
$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(-1)(-2 - (-4)) + (-4)(-4 - (-1)) + (-5)(-1 - (-2))|$
$= \frac{1}{2} |(-1)(2) + (-4)(-3) + (-5)(1)| = \frac{1}{2} |-2 + 12 - 5| = \frac{1}{2} |5| = 2.5$.
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(-1)(-4 - (-3)) + (-5)(-3 - (-1)) + (-2)(-1 - (-4))|$
$= \frac{1}{2} |(-1)(-1) + (-5)(-2) + (-2)(3)| = \frac{1}{2} |1 + 10 - 6| = \frac{1}{2} |5| = 2.5$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ + $\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2.5 + 2.5 = 5$ ચોરસ એકમ.

(B) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(5, 3)$,$B(4, 5)$ અને $C(3, 1)$ છે.
અહીં,$x_1 = 5, y_1 = 3, x_2 = 4, y_2 = 5, x_3 = 3, y_3 = 1$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |5(5 - 1) + 4(1 - 3) + 3(3 - 5)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |5(4) + 4(-2) + 3(-2)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |20 - 8 - 6|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |6| = 3 \text{ ચોરસ એકમ}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(N/A) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (t, t-2)$,$(x_2, y_2) = (t+2, t+2)$ અને $(x_3, y_3) = (t+3, t)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |t((t+2) - t) + (t+2)(t - (t-2)) + (t+3)((t-2) - (t+2))|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |t(2) + (t+2)(2) + (t+3)(-4)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2t + 2t + 4 - 4t - 12|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(2t + 2t - 4t) + (4 - 12)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 - 8| = \frac{1}{2} |-8| = 4$ ચોરસ એકમ.
પરિણામ $4$ મળે છે,જે અચળ છે,તેથી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $t$ ની કિંમત પર આધારિત નથી.

(D) ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં,પાયો એ બાજુ $\overline{BC}$ ની લંબાઈ છે અને વેધ એ $A$ માંથી $\overline{BC}$ પર દોરેલી લંબાઈ છે.
પ્રથમ,અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $\overline{BC}$ ની લંબાઈ શોધો: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$B(-2, 1)$ અને $C(6, 3)$ માટે,$BC = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$.
આપેલ છે કે $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 28$,તેથી: $28 = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{17}) \times h$.
$28 = \sqrt{17} \times h$.
તેથી,વેધની લંબાઈ $h = \frac{28}{\sqrt{17}}$.

(A) શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$ ધરાવતા બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે, આપણે શૂલેસ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_5 + y_5x_1)|$
આપેલ શિરોબિંદુઓ: $(1, 5), (-2, 4), (-3, -1), (2, -3), (5, 1)$.
સરવાળો $1 = (1 \times 4) + (-2 \times -1) + (-3 \times -3) + (2 \times 1) + (5 \times 5) = 4 + 2 + 9 + 2 + 25 = 42$
સરવાળો $2 = (5 \times -2) + (4 \times -3) + (-1 \times 2) + (-3 \times 5) + (1 \times 1) = -10 - 12 - 2 - 15 + 1 = -38$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |42 - (-38)| = \frac{1}{2} |42 + 38| = \frac{1}{2} |80| = 40$ ચોરસ એકમ.

(B) ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતાં ચોથા ભાગનું હોય છે.
પ્રથમ,$D(2, 1), E(-2, 3)$ અને $F(4, -3)$ યામોનો ઉપયોગ કરીને $\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.
$\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2(3 - (-3)) + (-2)(-3 - 1) + 4(1 - 3)|$
$\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2(6) + (-2)(-4) + 4(-2)|$
$\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |12 + 8 - 8| = \frac{1}{2} |12| = 6 \text{ ચોરસ એકમ}$.
કારણ કે $\text{Area}(\Delta ABC) = 4 \times \text{Area}(\Delta DEF)$,
$\text{Area}(\Delta ABC) = 4 \times 6 = 24 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(h, k), B(1, 1),$ અને $C(2, 1)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |h(1 - 1) + 1(1 - k) + 2(k - 1)| = 1$
$\frac{1}{2} |0 + 1 - k + 2k - 2| = 1$
$\frac{1}{2} |k - 1| = 1$
$|k - 1| = 2$
આનો અર્થ એ થાય કે $k - 1 = 2$ અથવા $k - 1 = -2$.
જો $k - 1 = 2$ હોય,તો $k = 3$.
જો $k - 1 = -2$ હોય,તો $k = -1$.
તેથી,$k$ ની શક્ય કિંમતો $3$ અથવા $-1$ છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(2, 1)$,$B(3, -2)$ અને $C(x, x+3)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $5 = \frac{1}{2} |2(-2 - (x+3)) + 3((x+3) - 1) + x(1 - (-2))|$.
$10 = |2(-x - 5) + 3(x + 2) + 3x|$.
$10 = |-2x - 10 + 3x + 6 + 3x|$.
$10 = |4x - 4|$.
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $4x - 4 = 10 \Rightarrow 4x = 14 \Rightarrow x = \frac{7}{2}$. તેથી $y = \frac{7}{2} + 3 = \frac{13}{2}$.
કિસ્સો $2$: $4x - 4 = -10 \Rightarrow 4x = -6 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}$. તેથી $y = -\frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2}$.
આમ,ત્રીજા શિરોબિંદુના યામ $(\frac{7}{2}, \frac{13}{2})$ અને $(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ છે.

(P(2, -1)) ધારો કે $P(x, y)$ એ $\Delta ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે.
પરિકેન્દ્ર હોવાથી,$P$ થી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર સમાન હોય છે,એટલે કે $PA = PB = PC$,જેનો અર્થ છે કે $PA^2 = PB^2 = PC^2$.
$1$. $PA^2 = (x + 3)^2 + (y + 1)^2 = x^2 + 6x + 9 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + y^2 + 6x + 2y + 10$
$2$. $PB^2 = (x + 1)^2 + (y - 3)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10$
$3$. $PC^2 = (x - 6)^2 + (y - 2)^2 = x^2 - 12x + 36 + y^2 - 4y + 4 = x^2 + y^2 - 12x - 4y + 40$
$PA^2 = PB^2$ સરખાવતા:
$x^2 + y^2 + 6x + 2y + 10 = x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10$
$4x + 8y = 0 \implies x = -2y$ ... $(1)$
$PB^2 = PC^2$ સરખાવતા:
$x^2 + y^2 + 2x - 6y + 10 = x^2 + y^2 - 12x - 4y + 40$
$14x - 2y = 30 \implies 7x - y = 15$ ... $(2)$
$(1)$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$7(-2y) - y = 15$
$-14y - y = 15 \implies -15y = 15 \implies y = -1$
$(1)$ માં $y = -1$ મૂકતા:
$x = -2(-1) = 2$
આમ,પરિકેન્દ્ર $P(2, -1)$ છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના યામ $(x_1, y_1) = (1, 2)$,$(x_2, y_2) = (3, 3)$ અને $(x_3, y_3) = (5, 1)$ છે.
$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$G = \left( \frac{1 + 3 + 5}{3}, \frac{2 + 3 + 1}{3} \right)$
$G = \left( \frac{9}{3}, \frac{6}{3} \right)$
$G = (3, 2)$
આમ,ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(3, 2)$ છે.

(C) ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O(x, y)$ છે. પરિકેન્દ્ર એ શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ થી સમાન અંતરે હોય છે. તેથી,$OA^2 = OB^2 = OC^2$.
આપેલ છે $A(-1, 1)$,$B(0, -4)$ અને $C(-1, -5)$.
$OA^2 = (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2$.
$OB^2 = (x - 0)^2 + (y + 4)^2 = x^2 + y^2 + 8y + 16$.
$OC^2 = (x + 1)^2 + (y + 5)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 + 10y + 25 = x^2 + y^2 + 2x + 10y + 26$.
$OA^2 = OC^2$ ને સરખાવતા:
$x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2 = x^2 + y^2 + 2x + 10y + 26$
$-2y + 2 = 10y + 26$
$-12y = 24 \implies y = -2$.
$OA^2 = OB^2$ ને સરખાવતા:
$x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2 = x^2 + y^2 + 8y + 16$
$2x - 2y + 2 = 8y + 16$
$2x - 10y = 14$.
$y = -2$ મૂકતા:
$2x - 10(-2) = 14$
$2x + 20 = 14$
$2x = -6 \implies x = -3$.
આમ,પરિકેન્દ્ર $(-3, -2)$ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(a, -1)$,$B(6, -9)$ અને $C(10, b)$ છે. પરિકેન્દ્ર $O(6, -5)$ છે.
પરિકેન્દ્ર એ ત્રણેય શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે,તેથી $OA = OB = OC$.
પ્રથમ,$OB^2 = (6 - 6)^2 + (-5 - (-9))^2 = 0^2 + 4^2 = 16$ ગણો.
$OA^2 = OB^2$ હોવાથી,$(a - 6)^2 + (-1 - (-5))^2 = 16$.
$(a - 6)^2 + 4^2 = 16 \implies (a - 6)^2 + 16 = 16 \implies (a - 6)^2 = 0 \implies a = 6$.
તે જ રીતે,$OC^2 = OB^2$ હોવાથી,$(10 - 6)^2 + (b - (-5))^2 = 16$.
$4^2 + (b + 5)^2 = 16 \implies 16 + (b + 5)^2 = 16 \implies (b + 5)^2 = 0 \implies b = -5$.
આમ,$a = 6$ અને $b = -5$ મળે છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(3,0), B(-1,-6),$ અને $C(4,-1)$ છે. ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O(x,y)$ છે.
$O$ પરિકેન્દ્ર હોવાથી,$OA^2 = OB^2 = OC^2$ થાય.
$OA^2 = (x-3)^2 + (y-0)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$
$OB^2 = (x+1)^2 + (y+6)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2 + 12y + 36 = x^2 + y^2 + 2x + 12y + 37$
$OC^2 = (x-4)^2 + (y+1)^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + y^2 - 8x + 2y + 17$
$OA^2 = OB^2$ ને સરખાવતા: $x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 + y^2 + 2x + 12y + 37 \implies -8x - 12y = 28 \implies 2x + 3y = -7$ (સમીકરણ $1$).
$OB^2 = OC^2$ ને સરખાવતા: $x^2 + y^2 + 2x + 12y + 37 = x^2 + y^2 - 8x + 2y + 17 \implies 10x + 10y = -20 \implies x + y = -2$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ ઉકેલતા: $2$ પરથી,$x = -2 - y$. તેને $1$ માં મૂકતા: $2(-2-y) + 3y = -7 \implies -4 - 2y + 3y = -7 \implies y = -3$.
તેથી $x = -2 - (-3) = 1$. આમ,પરિકેન્દ્ર $(1, -3)$ છે.
પરિત્રિજ્યા $R = OA = \sqrt{(1-3)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(3,4)$ અને $C(0,4)$ છે.
અહીં શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$ અને $C(0,4)$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલા છે,તેથી બાજુ $AC$ શિરોલંબ છે.
આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે કારણ કે બાજુ $AC$ (લંબાઈ $4$) એ બાજુ $BC$ (જે સમક્ષિતિજ છે,લંબાઈ $3$) ને લંબ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણનું મધ્યબિંદુ હોય છે.
અહીં કર્ણ એ બાજુ $AB$ છે જે $(0,0)$ અને $(3,4)$ ને જોડે છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ શોધવાનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{0+3}{2}, \frac{0+4}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 2\right)$.
તેથી,પરિકેન્દ્ર $\left(\frac{3}{2}, 2\right)$ છે.

(C) ધારો કે પરિકેન્દ્ર $O(x, y)$ છે. પરિકેન્દ્ર એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ થી સમાન અંતરે હોય છે. તેથી,$OA^2 = OB^2 = OC^2$.
આપેલ છે કે $A(1, 2)$,$B(-2, 2)$ અને $C(1, 5)$.
$OA^2 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2$
$OB^2 = (x + 2)^2 + (y - 2)^2$
$OC^2 = (x - 1)^2 + (y - 5)^2$
$OA^2 = OB^2$ સરખાવતા:
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x + 2)^2 + (y - 2)^2$
$(x - 1)^2 = (x + 2)^2$
$x^2 - 2x + 1 = x^2 + 4x + 4$
$-6x = 3 \implies x = -0.5$
$OA^2 = OC^2$ સરખાવતા:
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x - 1)^2 + (y - 5)^2$
$(y - 2)^2 = (y - 5)^2$
$y^2 - 4y + 4 = y^2 - 10y + 25$
$6y = 21 \implies y = 3.5$
આમ,પરિકેન્દ્ર $(-0.5, 3.5)$ અથવા $\left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(3, -5)$,$B(-7, 4)$ અને $C(x, y)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $G(x_g, y_g)$ માટેનું સૂત્ર $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણ માટે નીચે મુજબ છે:
$x_g = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ અને $y_g = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$.
અહીં $G = (2, -1)$ આપેલ છે,તેથી:
$2 = \frac{3 + (-7) + x}{3} \implies 6 = -4 + x \implies x = 10$.
$-1 = \frac{-5 + 4 + y}{3} \implies -3 = -1 + y \implies y = -2$.
આમ,ત્રીજા શિરોબિંદુના યામ $(10, -2)$ છે.

(A) ધારો કે $C$ ના યામ $(x, 0)$ છે કારણ કે તે $X$-અક્ષ પર આવેલું છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેના મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના યામ $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $G = (\frac{1+3+x}{3}, \frac{2+4+0}{3}) = (\frac{4+x}{3}, 2)$.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $Y$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{4+x}{3} = 0$.
$4+x = 0 \implies x = -4$.
આમ,$C$ ના યામ $(-4, 0)$ છે.

(D) પરિકેન્દ્ર $P(2, 3)$ એ ત્રિકોણના તમામ શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે. તેથી, $PA = PB = PC$.
પ્રથમ, $PB$ નું અંતર શોધો:
$PB^2 = (5 - 2)^2 + (1 - 3)^2 = 3^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$.
$PA^2 = PB^2$ હોવાથી:
$(a - 2)^2 + (6 - 3)^2 = 13$
$(a - 2)^2 + 3^2 = 13$
$(a - 2)^2 + 9 = 13$
$(a - 2)^2 = 4$
$a - 2 = \pm 2$
આમ, $a$ ની બે શક્ય કિંમતો મળે છે: $a = 2 + 2 = 4$ અથવા $a = 2 - 2 = 0$.
જો $a = 4$ હોય, તો $A$ ના યામ $(4, 6)$ થાય, જે $C(4, 6)$ ના યામ સમાન છે. જો $A$ અને $C$ સંપાતી હોય, તો ત્રિકોણ રચી શકાય નહીં.
તેથી, $a$ ની સાચી કિંમત $0$ છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 1)$,$B(x_1, y_1)$ અને $C(x_2, y_2)$ છે.
આપેલ છે કે બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $M_1(-1, 2)$ અને $M_2(3, 2)$ છે.
મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ છે.
બાજુ $AB$ માટે: $\frac{1+x_1}{2} = -1 \implies 1+x_1 = -2 \implies x_1 = -3$ અને $\frac{1+y_1}{2} = 2 \implies 1+y_1 = 4 \implies y_1 = 3$. તેથી,$B = (-3, 3)$.
બાજુ $AC$ માટે: $\frac{1+x_2}{2} = 3 \implies 1+x_2 = 6 \implies x_2 = 5$ અને $\frac{1+y_2}{2} = 2 \implies 1+y_2 = 4 \implies y_2 = 3$. તેથી,$C = (5, 3)$.
ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ જેનાં શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ હોય તેનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ છે.
$G = \left(\frac{1 + (-3) + 5}{3}, \frac{1 + 3 + 3}{3}\right) = \left(\frac{3}{3}, \frac{7}{3}\right) = \left(1, \frac{7}{3}\right)$.

(D) આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(8,6)$,$B(8,-2)$ અને $C(2,-2)$ છે.
પ્રથમ,ત્રિકોણનો પ્રકાર તપાસો. બાજુ $AB$ શિરોલંબ છે $(x=8)$ અને બાજુ $BC$ સમક્ષિતિજ છે $(y=-2)$.
$AB$ એ $BC$ ને લંબ હોવાથી,ત્રિકોણ $ABC$ એ શિરોબિંદુ $B(8,-2)$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણનું મધ્યબિંદુ હોય છે.
કર્ણ એ શિરોબિંદુઓ $A(8,6)$ અને $C(2,-2)$ ને જોડતી બાજુ $AC$ છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) = (\frac{8+2}{2}, \frac{6-2}{2}) = (\frac{10}{2}, \frac{4}{2}) = (5,2)$ દ્વારા મળે છે.
આમ,પરિકેન્દ્ર $(5,2)$ છે.

(A) $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ નું સૂત્ર: $G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(-5, 3), (a, -1)$ અને $(6, b)$ છે અને મધ્યકેન્દ્ર $(1, -1)$ છે.
$x$-યામને સરખાવતા: $\frac{-5 + a + 6}{3} = 1 \implies a + 1 = 3 \implies a = 2$.
$y$-યામને સરખાવતા: $\frac{3 - 1 + b}{3} = -1 \implies 2 + b = -3 \implies b = -5$.
તેથી,$a = 2$ અને $b = -5$ મળે છે.

(N/A) $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ નું સૂત્ર: $G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(1, a), (2, b), (c^2, -3)$ માટે,મધ્યકેન્દ્રનો $x$-યામ $x_G = \frac{1 + 2 + c^2}{3} = \frac{3 + c^2}{3} = 1 + \frac{c^2}{3}$ થાય.
જો મધ્યકેન્દ્ર $Y$-અક્ષ પર હોય,તો તેનો $x$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
$x_G = 0$ લેતા,આપણને $1 + \frac{c^2}{3} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{c^2}{3} = -1$ અથવા $c^2 = -3$.
કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ નો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં $(c^2 \geq 0)$,તેથી $c$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જેના માટે $x_G = 0$ થાય.
આથી,મધ્યકેન્દ્ર $Y$-અક્ષ પર હોઈ શકે નહીં.

(N/A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના યામ $(x_1, y_1) = (a, b-c)$,$(x_2, y_2) = (b, c-a)$ અને $(x_3, y_3) = (c, a-b)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ શોધવાનું સૂત્ર $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ માટે નીચે મુજબ છે:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$.
આ સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$x$-યામ $= \frac{a + b + c}{3}$
$y$-યામ $= \frac{(b-c) + (c-a) + (a-b)}{3}$
$y$-યામનું સાદું રૂપ આપતા:
$y$-યામ $= \frac{b - c + c - a + a - b}{3} = \frac{0}{3} = 0$.
મધ્યકેન્દ્રનો $y$-યામ $0$ હોવાથી,મધ્યકેન્દ્ર $X$-અક્ષ પર આવેલું છે.

(N/A) ધારો કે $\Delta ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(3h, 3k)$,$B(-3a, 0)$ અને $C(3a, 0)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$G = \left( \frac{3h - 3a + 3a}{3}, \frac{3k + 0 + 0}{3} \right) = (h, k)$.
હવે,બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો ગણીએ:
$AB^2 = (3h - (-3a))^2 + (3k - 0)^2 = (3h + 3a)^2 + 9k^2 = 9(h+a)^2 + 9k^2 = 9(h^2 + 2ha + a^2 + k^2)$
$BC^2 = (3a - (-3a))^2 + (0 - 0)^2 = (6a)^2 = 36a^2$
$AC^2 = (3h - 3a)^2 + (3k - 0)^2 = 9(h-a)^2 + 9k^2 = 9(h^2 - 2ha + a^2 + k^2)$
આનો સરવાળો કરતા:
$AB^2 + BC^2 + AC^2 = 9(h^2 + 2ha + a^2 + k^2) + 36a^2 + 9(h^2 - 2ha + a^2 + k^2)$
$= 9(2h^2 + 2a^2 + 2k^2) + 36a^2 = 18h^2 + 18k^2 + 18a^2 + 36a^2 = 18(h^2 + k^2 + 3a^2)$ ... $(1)$
હવે,$3(GA^2 + GB^2 + GC^2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$GA^2 = (h - 3h)^2 + (k - 3k)^2 = (-2h)^2 + (-2k)^2 = 4h^2 + 4k^2$
$GB^2 = (h - (-3a))^2 + (k - 0)^2 = (h + 3a)^2 + k^2 = h^2 + 6ha + 9a^2 + k^2$
$GC^2 = (h - 3a)^2 + (k - 0)^2 = (h - 3a)^2 + k^2 = h^2 - 6ha + 9a^2 + k^2$
આનો સરવાળો કરતા:
$GA^2 + GB^2 + GC^2 = (4h^2 + 4k^2) + (h^2 + 6ha + 9a^2 + k^2) + (h^2 - 6ha + 9a^2 + k^2) = 6h^2 + 6k^2 + 18a^2$
$3(GA^2 + GB^2 + GC^2) = 3(6h^2 + 6k^2 + 18a^2) = 18(h^2 + k^2 + 3a^2)$ ... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$AB^2 + BC^2 + AC^2 = 3(GA^2 + GB^2 + GC^2)$ સાબિત થાય છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $PA = PB$,તેથી $PA^2 = PB^2$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (x - 6)^2 + (y - 6)^2$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 12x + 36 + y^2 - 12y + 36$.
સાદું રૂપ આપતા: $8x + 8y = 64$,જે $x + y = 8$ આપે છે (સમીકરણ $1$).
$\Delta PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 4$ છે.
બિંદુઓ $P(x, y)$,$A(2, 2)$,અને $B(6, 6)$ ની કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} |x(2 - 6) + 2(6 - y) + 6(y - 2)| = 4$.
$\frac{1}{2} |-4x + 12 - 2y + 6y - 12| = 4$.
$\frac{1}{2} |-4x + 4y| = 4$,જેનું સાદું રૂપ $|-x + y| = 2$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $-x + y = 2$ અથવા $-x + y = -2$ (સમીકરણ $2$).
$x + y = 8$ અને $-x + y = 2$ ને ઉકેલતા $2y = 10 \Rightarrow y = 5$ અને $x = 3$ મળે છે.
$x + y = 8$ અને $-x + y = -2$ ને ઉકેલતા $2y = 6 \Rightarrow y = 3$ અને $x = 5$ મળે છે.
આમ,$P$ ના યામ $(3, 5)$ અથવા $(5, 3)$ છે.

(N/A) ધારો કે ચતુષ્કોણ $\square ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,$C(x_3, y_3)$ અને $D(x_4, y_4)$ છે.
ધારો કે $P, Q, R$ અને $S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $\overline{AB}$,$\overline{BC}$,$\overline{CD}$ અને $\overline{DA}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,યામ નીચે મુજબ છે:
$P = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$,$Q = \left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right)$,$R = \left(\frac{x_3+x_4}{2}, \frac{y_3+y_4}{2}\right)$,$S = \left(\frac{x_4+x_1}{2}, \frac{y_4+y_1}{2}\right)$.
ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ત્યારે જ કહેવાય જો તેના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે,એટલે કે તેઓ એક જ મધ્યબિંદુ ધરાવતા હોય.
વિકર્ણ $\overline{PR}$ નું મધ્યબિંદુ:
$= \left( \frac{\frac{x_1+x_2}{2} + \frac{x_3+x_4}{2}}{2}, \frac{\frac{y_1+y_2}{2} + \frac{y_3+y_4}{2}}{2} \right) = \left( \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4} \right)$.
વિકર્ણ $\overline{QS}$ નું મધ્યબિંદુ:
$= \left( \frac{\frac{x_2+x_3}{2} + \frac{x_4+x_1}{2}}{2}, \frac{\frac{y_2+y_3}{2} + \frac{y_4+y_1}{2}}{2} \right) = \left( \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4} \right)$.
વિકર્ણો $\overline{PR}$ અને $\overline{QS}$ ના મધ્યબિંદુઓ સમાન હોવાથી,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે.
તેથી,$\square PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(A) ધારો કે $C$ ના યામ $(x, y)$ છે.
$\Delta ABC$ ના મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના યામ $\left(\frac{2+3+x}{3}, \frac{-3-2+y}{3}\right) = \left(\frac{x+5}{3}, \frac{y-5}{3}\right)$ થાય.
આપેલ છે કે મધ્યકેન્દ્રનો $Y$-યામ તેના $X$-યામના ત્રણ ગણા કરતા $8$ ઓછો છે:
$\frac{y-5}{3} = 3\left(\frac{x+5}{3}\right) - 8$
$\frac{y-5}{3} = x + 5 - 8$
$\frac{y-5}{3} = x - 3$
$y - 5 = 3x - 9 \implies 3x - y = 4$ ... $(1)$
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = \frac{3}{2}$ છે.
$\frac{1}{2} |2(-2 - y) + 3(y - (-3)) + x(-3 - (-2))| = \frac{3}{2}$
$|-4 - 2y + 3y + 9 - x| = 3$
$|y - x + 5| = 3$
આથી બે કિસ્સા મળે: $y - x + 5 = 3$ અથવા $y - x + 5 = -3$.
કિસ્સો $1$: $y - x = -2 \implies x - y = 2$ ... $(2)$
કિસ્સો $2$: $y - x = -8 \implies x - y = 8$ ... $(3)$
$(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા: $3x - y = 4$ અને $x - y = 2$. બાદબાકી કરતા $2x = 2 \implies x = 1$. તેથી $y = -1$.
$(1)$ અને $(3)$ ઉકેલતા: $3x - y = 4$ અને $x - y = 8$. બાદબાકી કરતા $2x = -4 \implies x = -2$. તેથી $y = -10$.
આમ,$C$ ના યામ $(1, -1)$ અથવા $(-2, -10)$ છે.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને મધ્યબિંદુએ દુભાગે છે.
ધારો કે શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(x, y)$ છે.
વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}) = (\frac{3+2}{2}, \frac{2+3}{2}) = (2.5, 2.5)$ છે.
વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ $(\frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}) = (\frac{4+x}{2}, \frac{5+y}{2})$ છે.
બંને વિકર્ણોનું મધ્યબિંદુ સમાન હોવાથી,આપણે યામોને સરખાવીએ:
$\frac{4+x}{2} = 2.5 \implies 4+x = 5 \implies x = 1$.
$\frac{5+y}{2} = 2.5 \implies 5+y = 5 \implies y = 0$.
તેથી,શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(1, 0)$ છે.

(C) ધારો કે $X-$અક્ષ પરનું બિંદુ $P(x, 0)$ છે.
$P(x, 0)$ અને $A(4, 4)$ વચ્ચેનું અંતર $5$ એકમ આપેલું છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = d$
$\sqrt{(x - 4)^2 + (0 - 4)^2} = 5$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x - 4)^2 + (-4)^2 = 5^2$
$(x - 4)^2 + 16 = 25$
$(x - 4)^2 = 9$
વર્ગમૂળ લેતા: $x - 4 = \pm 3$
કિસ્સો $1$: $x - 4 = 3 \implies x = 7$
કિસ્સો $2$: $x - 4 = -3 \implies x = 1$
તેથી,બિંદુઓના યામ $(1, 0)$ અને $(7, 0)$ છે.

(N/A) બિંદુઓ $A(1, 4)$,$B(7, -2)$ અને $C(9, 6)$ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીશું.
$1$. $AB$ ની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{(7 - 1)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ એકમ.
$2$. $BC$ ની લંબાઈ:
$BC = \sqrt{(9 - 7)^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$ એકમ.
$3$. $AC$ ની લંબાઈ:
$AC = \sqrt{(9 - 1)^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$ એકમ.
અહીં $BC = AC$ હોવાથી,ત્રિકોણની બે બાજુઓ સમાન લંબાઈની છે. તેથી,$\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(N/A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ શોધવા માટે,આપણે મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
આપેલા બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (3, 5)$ અને $(x_2, y_2) = (7, 5)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{3 + 7}{2}, \frac{5 + 5}{2} \right)$
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{10}{2}, \frac{10}{2} \right)$
મધ્યબિંદુ $= (5, 5)$
ગણતરી કરેલ મધ્યબિંદુ $(5, 5)$ છે,જે આપેલા બિંદુ સાથે મેળ ખાય છે,તેથી સાબિત થાય છે કે $(5, 5)$ એ $(3, 5)$ અને $(7, 5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.

(A) ધારો કે $Y$-અક્ષ રેખાખંડ $AB$ નું બિંદુ $P(0, y)$ પર $k:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$
અહીં,$m_1 = k$,$m_2 = 1$,$x_1 = -2$,$y_1 = 4$,$x_2 = 1$,$y_2 = 1$ છે.
બિંદુ $Y$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ થશે:
$0 = \frac{k(1) + 1(-2)}{k + 1}$
$0 = k - 2 \implies k = 2$.
તેથી,ગુણોત્તર $2:1$ છે.
હવે,$y$-યામ શોધીએ:
$y = \frac{2(1) + 1(4)}{2 + 1} = \frac{2 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2$.
આમ,વિભાજન બિંદુ $(0, 2)$ છે અને ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(N/A) ધારો કે બિંદુઓ $A(4, 3)$,$B(5, 1)$ અને $C(1, 9)$ છે.
ત્રણ બિંદુઓ ત્યારે જ સમરેખ હોય જો કોઈપણ બે રેખાખંડોની લંબાઈનો સરવાળો ત્રીજા રેખાખંડની લંબાઈ જેટલો થાય.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1$. અંતર $AB = \sqrt{(5 - 4)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
$2$. અંતર $BC = \sqrt{(1 - 5)^2 + (9 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
$3$. અંતર $AC = \sqrt{(1 - 4)^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
અહીં $AB + AC = \sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5} = BC$ હોવાથી,બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ સમરેખ છે.

(N/A) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(-2, 1)$,$B(2, -2)$ અને $C(5, 2)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 = (2 - (-2))^2 + (-2 - 1)^2 = (4)^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$.
$BC^2 = (5 - 2)^2 + (2 - (-2))^2 = (3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25$.
$AC^2 = (5 - (-2))^2 + (2 - 1)^2 = (7)^2 + (1)^2 = 49 + 1 = 50$.
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $AB^2 + BC^2 = 25 + 25 = 50 = AC^2$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ વિધાન મુજબ,જો બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના વર્ગ જેટલો હોય,તો તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે. તેથી,$\triangle ABC$ એ શિરોબિંદુ $B$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.