Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Gujarati

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(2, 3)$ અને $B(-3, -9)$ છે.
અહીં,$x_1 = 2, y_1 = 3, x_2 = -3, y_2 = -9$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$AB = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (-9 - 3)^2}$
$AB = \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2}$
$AB = \sqrt{25 + 144}$
$AB = \sqrt{169}$
$AB = 13$.
આમ,બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $13$ એકમ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં $P(3, 2)$,$Q(7, k)$ અને $d(P, Q) = 5$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$PQ^2 = 5^2 = 25$ મળે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(7 - 3)^2 + (k - 2)^2 = 25$.
$(4)^2 + (k - 2)^2 = 25$.
$16 + (k - 2)^2 = 25$.
$(k - 2)^2 = 25 - 16 = 9$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $k - 2 = \pm 3$.
કિસ્સો $1$: $k - 2 = 3 \implies k = 5$.
કિસ્સો $2$: $k - 2 = -3 \implies k = -1$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $5$ હોવાથી,સાચો જવાબ $k = 5$ છે.

(A) ધારો કે $X-$ અક્ષ પરનું બિંદુ $P(x, 0)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $A(-1, 2)$ અને $B(5, 4)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA = PB$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $PA^2 = PB^2$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$[x - (-1)]^2 + (0 - 2)^2 = (x - 5)^2 + (0 - 4)^2$
$(x + 1)^2 + 4 = (x - 5)^2 + 16$
$x^2 + 2x + 1 + 4 = x^2 - 10x + 25 + 16$
$2x + 5 = -10x + 41$
$12x = 36$
$x = 3$
તેથી,$X-$ અક્ષ પરનું માંગેલ બિંદુ $(3, 0)$ છે.

(B) ધારો કે $Y-$ અક્ષ પરનું માંગેલ બિંદુ $R(0, y)$ છે.
આ બિંદુ $P(3, 2)$ અને $Q(-1, -5)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PR = QR$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$PR^2 = QR^2$ મળે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$(3 - 0)^2 + (2 - y)^2 = (-1 - 0)^2 + (-5 - y)^2$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા,$9 + (4 - 4y + y^2) = 1 + (25 + 10y + y^2)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$13 - 4y + y^2 = 26 + 10y + y^2$.
બંને બાજુથી $y^2$ બાદ કરતા,$13 - 4y = 26 + 10y$.
પદોને ગોઠવતા,$-13 = 14y$.
તેથી,$y = -\frac{13}{14}$.
આમ,$Y-$ અક્ષ પરનું માંગેલ બિંદુ $\left(0, -\frac{13}{14}\right)$ છે.

(A) ત્રિકોણનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ છીએ.
$1$. $PQ$ ની લંબાઈ: $PQ^2 = (2-2)^2 + (5-3)^2 = 0^2 + 2^2 = 4$. તેથી,$PQ = 2$.
$2$. $QR$ ની લંબાઈ: $QR^2 = (2+\sqrt{3}-2)^2 + (4-5)^2 = (\sqrt{3})^2 + (-1)^2 = 3 + 1 = 4$. તેથી,$QR = 2$.
$3$. $PR$ ની લંબાઈ: $PR^2 = (2+\sqrt{3}-2)^2 + (4-3)^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$. તેથી,$PR = 2$.
અહીં $PQ = QR = PR = 2$ હોવાથી,ત્રણેય બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,$\Delta PQR$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $A(4, 7)$ અને $B(7, 3)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$AB = \sqrt{(7 - 4)^2 + (3 - 7)^2}$
$AB = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$
$AB = \sqrt{9 + 16}$
$AB = \sqrt{25}$
$AB = 5$.

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $P(2, -3)$ અને $Q(7, 9)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$PQ = \sqrt{(7 - 2)^2 + (9 - (-3))^2}$
$PQ = \sqrt{(5)^2 + (12)^2}$
$PQ = \sqrt{25 + 144}$
$PQ = \sqrt{169}$
$PQ = 13$ એકમ.

(A) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
અહીં આપેલા બિંદુઓ $A(3, -2)$ અને $B(-1, 4)$ છે.
તેથી,$x_1 = 3, y_1 = -2$ અને $x_2 = -1, y_2 = 4$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \left( \frac{3 + (-1)}{2}, \frac{-2 + 4}{2} \right)$
$M = \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2} \right)$
$M = (1, 1)$
આમ,મધ્યબિંદુના યામ $(1, 1)$ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માટે મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ છે.
પ્રથમ,$M$ ના યામ શોધો,જે $\overline{AB}$ નું મધ્યબિંદુ છે જ્યાં $A(0, 0)$ અને $B(4, 8)$ છે:
$M = \left(\frac{0+4}{2}, \frac{0+8}{2}\right) = (2, 4)$.
ત્યારબાદ,$N$ ના યામ શોધો,જે $\overline{BM}$ નું મધ્યબિંદુ છે જ્યાં $B(4, 8)$ અને $M(2, 4)$ છે:
$N = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{8+4}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{12}{2}\right) = (3, 6)$.

(A) ધારો કે $D$ ના યામ $(x, y)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,એટલે કે વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+(-4)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (2, -1)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{2+x}{2}, \frac{1+y}{2}\right)$.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા: $(2, -1) = \left(\frac{2+x}{2}, \frac{1+y}{2}\right)$.
$x$-યામ માટે: $\frac{2+x}{2} = 2 \implies 2+x = 4 \implies x = 2$.
$y$-યામ માટે: $\frac{1+y}{2} = -1 \implies 1+y = -2 \implies y = -3$.
તેથી,$D$ ના યામ $(2, -3)$ છે.

(B) આપેલ છે કે બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે અને $AB = BC$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $B$ એ રેખાખંડ $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$B$ ના યામ $\left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(3, 4) = \left(\frac{5 + x}{2}, \frac{2 + y}{2}\right)$.
$x$-યામને સરખાવતા: $\frac{5 + x}{2} = 3 \implies 5 + x = 6 \implies x = 1$.
$y$-યામને સરખાવતા: $\frac{2 + y}{2} = 4 \implies 2 + y = 8 \implies y = 6$.
તેથી,બિંદુ $C$ ના યામ $(1, 6)$ છે.

(A) ધારો કે $X-$અક્ષ પરના બિંદુ $P$ ના યામ $(x, 0)$ છે.
આપેલ છે કે અંતર $PA = 13$ એકમ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PA^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
$13^2 = (x - 11)^2 + (0 - 12)^2$
$169 = (x - 11)^2 + (-12)^2$
$169 = (x - 11)^2 + 144$
$(x - 11)^2 = 169 - 144$
$(x - 11)^2 = 25$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$x - 11 = \pm 5$.
કિસ્સો $1$: $x - 11 = 5 \implies x = 16$.
કિસ્સો $2$: $x - 11 = -5 \implies x = 6$.
તેથી,$P$ ના યામ $(16, 0)$ અથવા $(6, 0)$ છે.

(C) બિંદુ $A$ ના યામ $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ છે અને ઉગમબિંદુ $O$ ના યામ $(0, 0)$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $d = \sqrt{(a \cos \theta - 0)^2 + (a \sin \theta - 0)^2}$.
$d = \sqrt{a^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta}$.
$d = \sqrt{a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,તેથી $d = \sqrt{a^2(1)} = \sqrt{a^2}$.
અહીં $a \in R^{+}$ હોવાથી,અંતર $a$ થશે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટેનું સૂત્ર: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $A(\cos \theta, 0)$ અને $B(0, \sin \theta)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{(0 - \cos \theta)^2 + (\sin \theta - 0)^2}$
$d = \sqrt{(-\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2}$
$d = \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$d = \sqrt{1} = 1$.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(a+b, b-a)$ અને $B(a-b, a+b)$ છે.
$AB = \sqrt{((a-b) - (a+b))^2 + ((a+b) - (b-a))^2}$
$AB = \sqrt{(a - b - a - b)^2 + (a + b - b + a)^2}$
$AB = \sqrt{(-2b)^2 + (2a)^2}$
$AB = \sqrt{4b^2 + 4a^2}$
$AB = \sqrt{4(a^2 + b^2)}$
$AB = 2\sqrt{a^2 + b^2}$.

(C) આપેલા બંને બિંદુઓના $x$-યામ સમાન છે $(x = 2)$.
તેથી,આ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા $Y$-અક્ષને સમાંતર શિરોલંબ રેખા છે,જેનું સમીકરણ $x = 2$ છે.
જો ત્રીજું બિંદુ આ બે બિંદુઓ સાથે સમરેખ હોય,તો તે પણ $x = 2$ રેખા પર હોવું જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે ત્રીજા બિંદુનો $x$-યામ $2$ હોવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર બિંદુ $(2,-4)$ નો $x$-યામ $2$ છે.
આમ,બિંદુઓ $(2,3)$,$(2,5)$ અને $(2,-4)$ સમરેખ છે.

(A) આપેલા બંને બિંદુઓ $(3,4)$ અને $(-1,4)$ ના $y$-યામ $4$ સમાન છે.
આનો અર્થ એ છે કે આ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા એ $y = 4$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી આડી રેખા છે.
ત્રીજું બિંદુ આ બે બિંદુઓ સાથે સમરેખ હોવા માટે,તે પણ $y = 4$ રેખા પર હોવું જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,માત્ર $(-5,4)$ બિંદુનો $y$-યામ $4$ છે.
તેથી,બિંદુ $(-5,4)$ આપેલા બિંદુઓ સાથે સમરેખ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ.
$AB = \sqrt{(0-3)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9} = 3$.
$BC = \sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
$CD = \sqrt{(4-1)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$.
$AD = \sqrt{(4-3)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$.
અહીં સામસામેની બાજુઓ સમાન હોવાથી ($AB = CD = 3$ અને $BC = AD = \sqrt{10}$),આ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,વિકર્ણોની લંબાઈ ચકાસીએ:
$AC = \sqrt{(1-3)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$.
$BD = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.
વિકર્ણો સમાન ન હોવાથી $(AC \neq BD)$,તે લંબચોરસ નથી.
તેથી,$\square ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(C) ચતુષ્કોણ ઓળખવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ.
બાજુ $AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$.
બાજુ $BC = \sqrt{(4 - 4)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.
બાજુ $CD = \sqrt{(1 - 4)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = 3$.
બાજુ $DA = \sqrt{(1 - 1)^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$.
અહીં સામસામેની બાજુઓ સમાન છે ($AB = CD = 3$ અને $BC = DA = 2$) અને પાસપાસેની બાજુઓ સમાન નથી,તેથી તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,વિકર્ણો તપાસીએ: $AC = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
$BD = \sqrt{(1 - 4)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
સામસામેની બાજુઓ સમાન હોવાથી અને વિકર્ણો પણ સમાન હોવાથી,$\square ABCD$ એ લંબચોરસ છે.

(B) મધ્યગા $\overline{AD}$ માટે,$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ છે,જ્યાં $B(-3, 2)$ અને $C(5, 0)$ છે.
$D$ ના યામ મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે: $D = \left(\frac{-3+5}{2}, \frac{2+0}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{2}{2}\right) = (1, 1)$.
હવે,$A(1, 4)$ અને $D(1, 1)$ વચ્ચેના અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મધ્યગા $\overline{AD}$ ની લંબાઈ શોધીએ:
$AD = \sqrt{(1-1)^2 + (4-1)^2}$
$AD = \sqrt{0^2 + 3^2}$
$AD = \sqrt{9} = 3$.
આમ,મધ્યગા $\overline{AD}$ ની લંબાઈ $3$ છે.

(A) શિરોબિંદુઓના યામ $A(0, 0)$,$B(4, 0)$ અને $C(0, 3)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{16} = 4$ એકમ.
$BC = \sqrt{(0-4)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$ એકમ.
$AC = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$ એકમ.
અહીં $AB^2 + AC^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ અને $BC^2 = 5^2 = 25$ હોવાથી,$AB^2 + AC^2 = BC^2$ થાય છે.
આ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે,જે દર્શાવે છે કે $\Delta ABC$ એ શિરોબિંદુ $A$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે. $AB \neq AC$ હોવાથી,તે સમદ્વિબાજુ નથી.

(D) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ નું $X-$ અક્ષથી લંબ અંતર તેના $y-$ યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
બિંદુ $(5, 3)$ માટે,$x-$ યામ $5$ છે અને $y-$ યામ $3$ છે.
તેથી,$X-$ અક્ષથી લંબ અંતર $= |y| = |3| = 3$ એકમ.

(C) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ નું $Y$-અક્ષથી લંબ અંતર તેના $x$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
બિંદુ $(-2, 5)$ માટે,$x$-યામ $-2$ છે.
તેથી,$Y$-અક્ષથી લંબ અંતર $|-2| = 2$ એકમ થાય.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં આપેલ બિંદુઓ $A(1, 3)$ અને $B(a, 0)$ છે અને અંતર $d = 3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3 = \sqrt{(a - 1)^2 + (0 - 3)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $9 = (a - 1)^2 + (-3)^2$.
$9 = (a - 1)^2 + 9$.
$(a - 1)^2 = 0$.
તેથી,$a - 1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં $A(-4, -3)$ અને $B(6, a)$ આપેલ છે અને અંતર $d = 10$ છે.
$10 = \sqrt{(6 - (-4))^2 + (a - (-3))^2}$
$10 = \sqrt{(10)^2 + (a + 3)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$100 = 100 + (a + 3)^2$
$(a + 3)^2 = 0$
$a + 3 = 0$
$a = -3$

(B) ત્રિકોણનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે, આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ છીએ.
$AB = \sqrt{(0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.
$BC = \sqrt{(\sqrt{3} - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
$AC = \sqrt{(\sqrt{3} - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
અહીં $AB = BC = AC = 2$ હોવાથી, ત્રણેય બાજુઓ સમાન છે.
તેથી, $\Delta ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $A(0, 0)$,$B(4, 0)$ અને $C(0, 6)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA = PB = PC$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $PA^2 = PB^2 = PC^2$.
$PA^2 = PB^2$ પરથી,આપણને મળે છે $x^2 + y^2 = (x - 4)^2 + (y - 0)^2$.
$x^2 + y^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2$.
$8x = 16 \implies x = 2$.
$PA^2 = PC^2$ પરથી,આપણને મળે છે $x^2 + y^2 = (x - 0)^2 + (y - 6)^2$.
$x^2 + y^2 = x^2 + y^2 - 12y + 36$.
$12y = 36 \implies y = 3$.
આમ,બિંદુ $P$ ના યામ $(2, 3)$ છે.

(B) $\overline{AB}$ એ વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર $P$ એ વ્યાસ $\overline{AB}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ દ્વારા મળે છે.
$A(5, -6)$ અને $B(3, -2)$ કિંમતો મૂકતા:
$P = \left( \frac{5 + 3}{2}, \frac{-6 + (-2)}{2} \right)$
$P = \left( \frac{8}{2}, \frac{-8}{2} \right)$
$P = (4, -4)$.

(D) આપેલા બિંદુઓ $A(8, 10)$ અને $B(4, 12)$ છે.
અહીં બિંદુ રેખાખંડ $\overline{AB}$ નું $1:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,તેથી તે રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\left(\frac{8 + 4}{2}, \frac{10 + 12}{2}\right) = \left(\frac{12}{2}, \frac{22}{2}\right) = (6, 11)$ મળે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(4,4)$ એ $A(2,6)$ અને $B(6,2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left( \frac{k(6) + 1(2)}{k+1}, \frac{k(2) + 1(6)}{k+1} \right) = (4,4)$
$x$-યામને સરખાવતા:
$\frac{6k + 2}{k+1} = 4$
$6k + 2 = 4k + 4$
$2k = 2$
$k = 1$
આમ,ગુણોત્તર $k:1$ એ $1:1$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$AB$ નું મધ્યબિંદુ $\left( \frac{2+6}{2}, \frac{6+2}{2} \right) = (4,4)$થાય છે,જે સાબિત કરે છે કે બિંદુ $(4,4)$ એ મધ્યબિંદુ છે,જે રેખાખંડનું $1:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(D) $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(3, 4)$ અને $(a, 8)$ માટે,મધ્યબિંદુ $\left(\frac{3 + a}{2}, \frac{4 + 8}{2}\right)$ થશે.
આપણને આપેલ છે કે મધ્યબિંદુ $(4, 6)$ છે.
યામોને સરખાવતા,$\left(\frac{3 + a}{2}, \frac{12}{2}\right) = (4, 6)$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\left(\frac{3 + a}{2}, 6\right) = (4, 6)$ મળે.
$x$-યામની સરખામણી કરતા: $\frac{3 + a}{2} = 4$.
$2$ વડે ગુણતા,$3 + a = 8$ મળે.
તેથી,$a = 8 - 3 = 5$.

(A) બિંદુઓના યામ $A(2, 2)$ અને $B(2, -2)$ છે.
બંને બિંદુઓનો $x-$યામ $2$ હોવાથી,આ બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ શિરોલંબ રેખા $x = 2$ પર આવેલો છે.
જો રેખાખંડના $x-$યામ સમાન હોય,તો તે $Y-$ અક્ષને સમાંતર હોય છે.
તે $X-$ અક્ષને ક્યાં છેદે છે તે શોધવા માટે,આપણે રેખા $x = 2$ પર $y = 0$ લઈએ છીએ.
તેથી,$X-$ અક્ષ સાથેનું છેદબિંદુ $(2, 0)$ મળે છે,કારણ કે રેખા $x = 2$ એ $X-$ અક્ષને $y = 0$ આગળ છેદે છે.

(D) બિંદુઓના યામ $A(-3, 5)$ અને $B(2, 5)$ છે.
બંને બિંદુઓનો $y-$યામ $5$ હોવાથી,આ બિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ $y = 5$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી એક આડી રેખા છે.
આડી રેખા $y = 5$ એ $X-$અક્ષને સમાંતર છે અને તે $Y-$અક્ષને જ્યાં $x = 0$ હોય તે બિંદુએ છેદે છે.
સમીકરણ $y = 5$ માં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $(0, 5)$ બિંદુ મળે છે.
તેથી,રેખાખંડ $Y-$અક્ષને $(0, 5)$ બિંદુએ છેદે છે.

(D) ધારો કે માંગેલ બિંદુ $P(x, y)$ છે અને ગુણોત્તર $m:n = 3:2$ છે.
અહીં $A(x_1, y_1) = (3, -6)$ અને $B(x_2, y_2) = (-2, -1)$ આપેલ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n} = \frac{3(-2) + 2(3)}{3+2} = \frac{-6 + 6}{5} = \frac{0}{5} = 0$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n} = \frac{3(-1) + 2(-6)}{3+2} = \frac{-3 - 12}{5} = \frac{-15}{5} = -3$
આમ,બિંદુ $P$ ના યામ $(0, -3)$ છે.

(A) જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(0,0), B(4,0)$ અને $C(0,6)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(0 - 6) + 4(6 - 0) + 0(0 - 0)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 + 24 + 0|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |24| = 12$ ચોરસ એકમ.

(B) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(3, 0)$,$B(0, 3)$ અને $C(3, 3)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3(3 - 3) + 0(3 - 0) + 3(0 - 3)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3(0) + 0(3) + 3(-3)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 + 0 - 9|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-9| = \frac{9}{2} = 4.5$ ચોરસ એકમ.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(2, 4)$,$B(5, 0)$ અને $C(5, 4)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2(0 - 4) + 5(4 - 4) + 5(4 - 0)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2(-4) + 5(0) + 5(4)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-8 + 0 + 20|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |12| = 6$ ચોરસ એકમ.
વૈકલ્પિક રીતે,$AC$ એ સમક્ષિતિજ રેખા છે $(y=4)$ અને $BC$ એ શિરોલંબ રેખા છે $(x=5)$,તેથી આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયો $AC = |5 - 2| = 3$ એકમ.
વેધ $BC = |4 - 0| = 4$ એકમ.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ ચોરસ એકમ.

(C) મધ્યગા $\overline{AD}$ એ શિરોબિંદુ $A$ ને સામેની બાજુ $\overline{BC}$ ના મધ્યબિંદુ $D$ સાથે જોડે છે.
અહીં $B = (0, 0)$ અને $C = (6, 0)$ હોવાથી,મધ્યબિંદુ $D$ ના યામ મધ્યબિંદુના સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે:
$D = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (3, 0)$.
હવે,અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $A(3, 4)$ અને $D(3, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $\overline{AD}$ શોધીએ:
$AD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(3 - 3)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$.
આમ,મધ્યગા $\overline{AD}$ ની લંબાઈ $4$ છે.

(D) $\overline{BE}$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુ $\overline{AC}$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$E$ એ $\overline{AC}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$A$ ના યામ $(9,5)$ અને $C$ ના યામ $(3,3)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$E$ ના યામ $= \left(\frac{9+3}{2}, \frac{5+3}{2}\right) = \left(\frac{12}{2}, \frac{8}{2}\right) = (6,4)$.
મધ્યગા $\overline{BE}$ ની લંબાઈ એ $B(6,7)$ અને $E(6,4)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$BE = \sqrt{(6-6)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$.

(C) ત્રિકોણનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ છીએ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. $PQ$ ની લંબાઈ: $PQ^2 = (3 - 6)^2 + (10 - 5)^2 = (-3)^2 + (5)^2 = 9 + 25 = 34$. તેથી,$PQ = \sqrt{34}$.
$2$. $QR$ ની લંબાઈ: $QR^2 = (6 - 1)^2 + (5 - 2)^2 = (5)^2 + (3)^2 = 25 + 9 = 34$. તેથી,$QR = \sqrt{34}$.
$3$. $PR$ ની લંબાઈ: $PR^2 = (3 - 1)^2 + (10 - 2)^2 = (2)^2 + (8)^2 = 4 + 64 = 68$. તેથી,$PR = \sqrt{68}$.
અહીં $PQ = QR = \sqrt{34}$ હોવાથી,ત્રિકોણની બે બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,$\Delta PQR$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(B) $\Delta LMN$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેની બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. $LM$ ની લંબાઈ = $\sqrt{(4 - 1)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$2$. $MN$ ની લંબાઈ = $\sqrt{(4 - 4)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$.
$3$. $NL$ ની લંબાઈ = $\sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$.
અહીં $MN = NL = 3$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કાટખૂણો તપાસીએ: $MN^2 + NL^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$,અને $LM^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$.
$MN^2 + NL^2 = LM^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\Delta LMN$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(B) જો રેખાખંડ $\overline{PQ}$ એ $X$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો રેખાખંડ પરના તમામ બિંદુઓનો $Y$-યામ સમાન હોવો જોઈએ.
કારણ કે $P(x_{1}, y_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2})$ આ રેખા પર આવેલા છે,તેથી તેમના $Y$-યામ સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$y_{1} = y_{2}$.

(A) $Y$-અક્ષને સમાંતર રેખા એ શિરોલંબ રેખા છે.
કોઈપણ શિરોલંબ રેખા માટે,તે રેખા પરના તમામ બિંદુઓ માટે $x$-યામ સમાન રહે છે.
બિંદુઓ $P(x_{1}, y_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2})$ એ $Y$-અક્ષને સમાંતર રેખા પર આવેલા હોવાથી,તેમના $x$-યામ સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$x_{1} = x_{2}$.

(C) બે બિંદુઓ $P(x_{1}, y_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2})$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{2} - y_{1})^2}$ છે.
જો રેખાખંડ $\overline{PQ}$ એ $X$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો બંને બિંદુઓના $y$-યામ સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $y_{1} = y_{2}$.
અંતરના સૂત્રમાં $y_{1} = y_{2}$ મૂકતા:
$PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + (y_{1} - y_{1})^2}$
$PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2 + 0^2}$
$PQ = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^2} = |x_{2} - x_{1}| = |x_{1} - x_{2}|$.
આમ,અંતર $|x_{1} - x_{2}|$ થાય.

(C) જો રેખાખંડ $\overline{PQ}$ એ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો રેખાખંડ પરના તમામ બિંદુઓના $x$-યામ સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$x_{1} = x_{2}$.
બે બિંદુઓ $P(x_{1}, y_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2})$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$ છે.
સૂત્રમાં $x_{1} = x_{2}$ મૂકતા:
$PQ = \sqrt{(x_{1}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$
$PQ = \sqrt{0^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$
$PQ = \sqrt{(y_{2}-y_{1})^2} = |y_{2}-y_{1}| = |y_{1}-y_{2}|$.
આમ,અંતર $|y_{1}-y_{2}|$ થાય છે.

(A) કાર્તેઝિયન સમતલમાં બે બિંદુઓ $A(x_{1}, y_{1})$ અને $B(x_{2}, y_{2})$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતર સૂત્ર મુજબ,બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d(A, B) = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}$ થાય છે.
કારણ કે $(x_{2}-x_{1})^{2} = (x_{1}-x_{2})^{2}$ અને $(y_{2}-y_{1})^{2} = (y_{1}-y_{2})^{2}$ થાય છે,તેથી આ સૂત્રને $d(A, B) = \sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2}}$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો જવાબ છે.

(A) રેખાખંડ $\overline{AB}$ પર આવેલું બિંદુ $P$ તે રેખાખંડને બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: $AP$ અને $PB$.
વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P$ દ્વારા રેખાખંડ $\overline{AB}$ નું વિભાજન (જ્યાં $P$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે છે) એ બનતા બે રેખાખંડોની લંબાઈનો ગુણોત્તર છે,જે $\frac{AP}{PB}$ છે.
આમ,$P$ એ $\overline{AB}$ નું $A$ થી $\frac{AP}{PB}$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

(B) રેખાખંડ $\overline{ AB }$ આપેલ છે. બિંદુ $P$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે એવી રીતે આવેલું છે કે જેથી $A-P-B$ થાય.
જ્યારે બિંદુ $P$ રેખાખંડ $\overline{ AB }$ ને કોઈ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,ત્યારે તે સામાન્ય રીતે બનતા બે રેખાખંડોની લંબાઈના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જો વિભાજન '$B$ થી' સ્પષ્ટ કરવામાં આવ્યું હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે $B$ થી શરૂ થતા રેખાખંડ અને $A$ થી શરૂ થતા રેખાખંડનો ગુણોત્તર લેવો.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{BP}{PA}$ થશે.

(B) વિભાજન સૂત્ર મુજબ,જો બિંદુ $P(x, y)$ એ $A(x_{1}, y_{1})$ અને $B(x_{2}, y_{2})$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m : n$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતું હોય,તો $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}$
$y = \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n}$
આમ,$P$ ના યામ $\left(\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}, \frac{m y_{2}+n y_{1}}{m+n}\right)$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $A - M - B$,બિંદુ $M$ એ રેખાખંડ $AB$ પર આવેલું છે.
આપણને ગુણોત્તર $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{5}$ આપેલ છે.
કારણ કે $AB = AM + MB$,આપણે આને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$\frac{AM}{AM + MB} = \frac{3}{5}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$5(AM) = 3(AM + MB)$.
$5(AM) = 3(AM) + 3(MB)$.
$2(AM) = 3(MB)$.
તેથી,$\frac{AM}{MB} = \frac{3}{2}$.
આમ,બિંદુ $M$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.