Textbook - Coordinate Geometry Questions in Gujarati

(D) ધારો કે બિંદુઓ $P(3,2), Q(-2,-3)$ અને $R(2,3)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ શોધવા માટે આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$PQ = \sqrt{(-2-3)^2 + (-3-2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$QR = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
$PR = \sqrt{(2-3)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોવાથી ($PQ + PR > QR$,$PQ + QR > PR$,અને $PR + QR > PQ$),આ બિંદુઓ ત્રિકોણ બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપનો ઉપયોગ કરીને કાટકોણ ત્રિકોણની ચકાસણી કરતા: $PR^2 + PQ^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{50})^2 = 2 + 50 = 52$.
અહીં $QR^2 = (\sqrt{52})^2 = 52$ હોવાથી,$PR^2 + PQ^2 = QR^2$ થાય છે.
આમ,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(N/A) ધારો કે $A(1,7), B(4,2), C(-1,-1)$ અને $D(-4,4)$ એ આપેલા બિંદુઓ છે.
$ABCD$ એક ચોરસ છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે તેની ચારેય બાજુઓ સમાન છે અને તેના વિકર્ણો પણ સમાન છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(4-1)^2 + (2-7)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$
$BC = \sqrt{(-1-4)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$
$CD = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (4 - (-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$
$DA = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (7-4)^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25+9} = \sqrt{34}$
હવે,વિકર્ણોની ગણતરી કરતા:
$AC = \sqrt{(-1-1)^2 + (-1-7)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{4+64} = \sqrt{68}$
$BD = \sqrt{(-4-4)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 2^2} = \sqrt{64+4} = \sqrt{68}$
અહીં $AB = BC = CD = DA$ અને $AC = BD$ હોવાથી,ચારેય બાજુઓ સમાન છે અને વિકર્ણો પણ સમાન છે. તેથી,$ABCD$ એક ચોરસ છે.

(N/A) અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$AB = \sqrt{(6-3)^{2} + (4-1)^{2}} = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(8-6)^{2} + (6-4)^{2}} = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$AC = \sqrt{(8-3)^{2} + (6-1)^{2}} = \sqrt{5^{2} + 5^{2}} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
અહીં,$AB + BC = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2} = AC$ હોવાથી,અંતર $AB$ અને $BC$ નો સરવાળો અંતર $AC$ જેટલો છે. તેથી,બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ સમરેખ છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ એક જ રેખામાં બેઠેલા છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ એ બિંદુઓ $A(7, 1)$ અને $B(3, 5)$ થી સમાન અંતરે છે.
આપેલ છે કે $AP = BP$,તેથી $AP^2 = BP^2$ થાય.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$(x - 7)^2 + (y - 1)^2 = (x - 3)^2 + (y - 5)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 14x + 49) + (y^2 - 2y + 1) = (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 10y + 25)$
બંને બાજુથી $x^2$ અને $y^2$ ને દૂર કરતા:
$-14x - 2y + 50 = -6x - 10y + 34$
પદોને ગોઠવતા:
$-14x + 6x - 2y + 10y = 34 - 50$
$-8x + 8y = -16$
$-8$ વડે ભાગતા:
$x - y = 2$
આમ,માંગેલ સંબંધ $x - y = 2$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $y$-અક્ષ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(0, y)$ સ્વરૂપમાં હોય છે. ધારો કે બિંદુ $P(0, y)$ એ બિંદુઓ $A(6, 5)$ અને $B(-4, 3)$ થી સમાન અંતરે છે.
અંતરના સૂત્ર મુજબ,$PA = PB$,તેથી $PA^2 = PB^2$.
$(6 - 0)^2 + (5 - y)^2 = (-4 - 0)^2 + (3 - y)^2$
$36 + (25 - 10y + y^2) = 16 + (9 - 6y + y^2)$
$61 - 10y + y^2 = 25 - 6y + y^2$
બંને બાજુથી $y^2$ બાદ કરતા:
$61 - 10y = 25 - 6y$
$61 - 25 = 10y - 6y$
$36 = 4y$
$y = 9$
આમ,માંગેલ બિંદુ $(0, 9)$ છે.

(A) બે બિંદુઓ $(x_{1}, y_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2})$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}$
અહીં આપેલા બિંદુઓ $(x_{1}, y_{1}) = (2, 3)$ અને $(x_{2}, y_{2}) = (4, 1)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \sqrt{(4-2)^{2} + (1-3)^{2}}$
$d = \sqrt{(2)^{2} + (-2)^{2}}$
$d = \sqrt{4 + 4}$
$d = \sqrt{8}$
$d = 2\sqrt{2}$ એકમ.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવા માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
અહીં આપેલા બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (-5, 7)$ અને $(x_2, y_2) = (-1, 3)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{(-1 - (-5))^2 + (3 - 7)^2}$
$d = \sqrt{(-1 + 5)^2 + (-4)^2}$
$d = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2}$
$d = \sqrt{16 + 16}$
$d = \sqrt{32}$
$d = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$ એકમ.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવા માટેનું સૂત્ર: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં,$(x_1, y_1) = (a, b)$ અને $(x_2, y_2) = (-a, -b)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \sqrt{(-a - a)^2 + (-b - b)^2}$
$d = \sqrt{(-2a)^2 + (-2b)^2}$
$d = \sqrt{4a^2 + 4b^2}$
$d = \sqrt{4(a^2 + b^2)}$
$d = 2\sqrt{a^2 + b^2}$.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(0,0)$ અને $(36,15)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{(36 - 0)^2 + (15 - 0)^2}$
$d = \sqrt{36^2 + 15^2}$
$d = \sqrt{1296 + 225}$
$d = \sqrt{1521}$
$d = 39$.
તેથી,બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $39$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(1,5), B(2,3)$ અને $C(-2,-11)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ છીએ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |1(3 - (-11)) + 2(-11 - 5) + (-2)(5 - 3)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |1(14) + 2(-16) + (-2)(2)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |14 - 32 - 4|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |-22| = 11 \text{ ચોરસ એકમ}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ ન હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ નથી.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(5,-2), B(6,4)$ અને $C(7,-2)$ એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(6-5)^2 + (4-(-2))^2} = \sqrt{1^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}$
$BC = \sqrt{(7-6)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{1^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}$
$CA = \sqrt{(5-7)^2 + (-2-(-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$
અહીં $AB = BC = \sqrt{37}$ હોવાથી,ત્રિકોણની બે બાજુઓ સમાન લંબાઈની છે.
તેથી,આપેલા બિંદુઓ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.

(N/A) $4$ મિત્રોના સ્થાન $A(3, 4)$,$B(6, 7)$,$C(9, 4)$ અને $D(6, 1)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(6 - 3)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(9 - 6)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(6 - 9)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(3 - 6)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
હવે,વિકર્ણોની ગણતરી કરતા:
$AC = \sqrt{(9 - 3)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6$
$BD = \sqrt{(6 - 6)^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = 6$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી $(AB = BC = CD = DA = 3\sqrt{2})$ અને બંને વિકર્ણો પણ સમાન હોવાથી $(AC = BD = 6)$,ચતુષ્કોણ $ABCD$ એક ચોરસ છે. તેથી,ચંપા સાચી છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(-1,-2), B(1,0), C(-1,2),$ અને $D(-3,0)$ એ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
વિકર્ણ $AC = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$
વિકર્ણ $BD = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$
અહીં બધી બાજુઓ સમાન છે $(AB = BC = CD = DA = 2\sqrt{2})$ અને બંને વિકર્ણો પણ સમાન છે $(AC = BD = 4)$,તેથી આ ચતુષ્કોણ એક ચોરસ છે.

(NONE) ધારો કે બિંદુઓ $A(-3, 5), B(3, 1), C(0, 3),$ અને $D(-1, -4)$ એ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$
$BC = \sqrt{(0 - 3)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$
$CD = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (5 - (-4))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85}$
અહીં ચારેય બાજુઓ $AB, BC, CD,$ અને $DA$ ની લંબાઈ અલગ-અલગ હોવાથી,આ બિંદુઓ કોઈ ખાસ પ્રકારનો ચતુષ્કોણ (જેમ કે ચોરસ,લંબચોરસ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ) બનાવતા નથી. આ એક સામાન્ય ચતુષ્કોણ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(4,5), B(7,6), C(4,3),$ અને $D(1,2)$ એ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(7-4)^2 + (6-5)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{(4-7)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(1-4)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$
$DA = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
વિકર્ણ $AC = \sqrt{(4-4)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2$
વિકર્ણ $BD = \sqrt{(1-7)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$
અહીં સામસામેની બાજુઓ સમાન છે ($AB=CD$ અને $BC=DA$) અને વિકર્ણો અસમાન છે $(AC \neq BD)$,તેથી આ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(A) આપણે $x$-અક્ષ પરનું એક બિંદુ શોધવાનું છે. તેથી,તેનો $y$-યામ $0$ થશે.
ધારો કે $x$-અક્ષ પરનું બિંદુ $P(x, 0)$ છે.
બિંદુ $P(x, 0)$ અને $A(2, -5)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા:
$PA = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - (-5))^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 25}$.
બિંદુ $P(x, 0)$ અને $B(-2, 9)$ વચ્ચેનું અંતર:
$PB = \sqrt{(x - (-2))^2 + (0 - 9)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + 81}$.
આપેલ શરત મુજબ,આ અંતરો સમાન છે,તેથી $PA = PB$,જેનો અર્થ છે $PA^2 = PB^2$:
$(x - 2)^2 + 25 = (x + 2)^2 + 81$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 4x + 4 + 25 = x^2 + 4x + 4 + 81$
બંને બાજુથી $x^2 + 4$ બાદ કરતા:
$-4x + 25 = 4x + 81$
પદોને ગોઠવતા:
$-8x = 81 - 25$
$-8x = 56$
$x = -7$
આમ,માંગેલ બિંદુ $(-7, 0)$ છે.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $P(2, -3)$ અને $Q(10, y)$ છે અને અંતર $d = 10$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$10 = \sqrt{(10 - 2)^2 + (y - (-3))^2}$
$10 = \sqrt{(8)^2 + (y + 3)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$100 = 64 + (y + 3)^2$
$100 - 64 = (y + 3)^2$
$36 = (y + 3)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$y + 3 = \pm 6$
કિસ્સો $1$: $y + 3 = 6 \implies y = 3$
કિસ્સો $2$: $y + 3 = -6 \implies y = -9$
તેથી,$y$ ની શક્ય કિંમતો $3$ અને $-9$ છે.

(X = ±4) આપેલ છે કે $Q(0, 1)$ એ $P(5, -3)$ અને $R(x, 6)$ થી સમાન અંતરે છે,તેથી $PQ = QR$.
અંતર સૂત્ર $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$PQ^2 = QR^2$
$(5-0)^2 + (-3-1)^2 = (x-0)^2 + (6-1)^2$
$5^2 + (-4)^2 = x^2 + 5^2$
$25 + 16 = x^2 + 25$
$x^2 = 16 \implies x = \pm 4$.
કિસ્સો $1$: જો $R$ એ $(4, 6)$ હોય:
$QR = \sqrt{(4-0)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.
$PR = \sqrt{(4-5)^2 + (6-(-3))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 9^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82}$.
કિસ્સો $2$: જો $R$ એ $(-4, 6)$ હોય:
$QR = \sqrt{(-4-0)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.
$PR = \sqrt{(-4-5)^2 + (6-(-3))^2} = \sqrt{(-9)^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$,$A(3, 6)$ અને $B(-3, 4)$ છે.
$P$ એ $A$ અને $B$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA = PB$ થાય.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PA^2 = PB^2$.
$(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = (x - (-3))^2 + (y - 4)^2$
$(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = (x + 3)^2 + (y - 4)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 12y + 36 = x^2 + 6x + 9 + y^2 - 8y + 16$
બંને બાજુથી $x^2$ અને $y^2$ ને દૂર કરતા:
$-6x - 12y + 45 = 6x - 8y + 25$
પદોને ગોઠવતા:
$45 - 25 = 6x + 6x - 8y + 12y$
$20 = 12x + 4y$
$4$ વડે ભાગતા:
$5 = 3x + y$
આમ,સંબંધ $3x + y - 5 = 0$ છે.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ એ માંગેલ બિંદુ છે જે $A(4, -3)$ અને $B(8, 5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n = 3:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,યામ $(x, y)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{3(8) + 1(4)}{3 + 1} = \frac{24 + 4}{4} = \frac{28}{4} = 7$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{3(5) + 1(-3)}{3 + 1} = \frac{15 - 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$
તેથી,માંગેલ બિંદુ $(7, 3)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(-4, 6)$ એ $A(-6, 10)$ અને $B(3, -8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m_{1}: m_{2}$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P(x, y) = \left( \frac{m_{1}x_{2} + m_{2}x_{1}}{m_{1} + m_{2}}, \frac{m_{1}y_{2} + m_{2}y_{1}}{m_{1} + m_{2}} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$(-4, 6) = \left( \frac{3m_{1} - 6m_{2}}{m_{1} + m_{2}}, \frac{-8m_{1} + 10m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \right)$
$x$-યામને સરખાવતા:
$-4 = \frac{3m_{1} - 6m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$
$-4(m_{1} + m_{2}) = 3m_{1} - 6m_{2}$
$-4m_{1} - 4m_{2} = 3m_{1} - 6m_{2}$
$2m_{2} = 7m_{1}$
$\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{2}{7}$
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $2: 7$ છે.

(N/A) ધારો કે $P$ અને $Q$ એ $AB$ ના ત્રિભાગ બિંદુઓ છે જેથી $AP = PQ = QB$ થાય.
બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ:
$P = \left(\frac{1(-7) + 2(2)}{1 + 2}, \frac{1(4) + 2(-2)}{1 + 2}\right) = \left(\frac{-7 + 4}{3}, \frac{4 - 4}{3}\right) = \left(\frac{-3}{3}, \frac{0}{3}\right) = (-1, 0)$.
બિંદુ $Q$ એ $AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ ના યામ:
$Q = \left(\frac{2(-7) + 1(2)}{2 + 1}, \frac{2(4) + 1(-2)}{2 + 1}\right) = \left(\frac{-14 + 2}{3}, \frac{8 - 2}{3}\right) = \left(\frac{-12}{3}, \frac{6}{3}\right) = (-4, 2)$.
તેથી,રેખાખંડના ત્રિભાગ બિંદુઓના યામ $(-1, 0)$ અને $(-4, 2)$ છે.

(A) ધારો કે $y$-અક્ષ રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$(x_1, y_1) = (5, -6)$ અને $(x_2, y_2) = (-1, -4)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુના યામ:
$\left( \frac{k(-1) + 5}{k+1}, \frac{k(-4) + (-6)}{k+1} \right) = \left( \frac{-k+5}{k+1}, \frac{-4k-6}{k+1} \right)$.
આ બિંદુ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ થાય.
તેથી,$\frac{-k+5}{k+1} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $-k+5 = 0$,એટલે કે $k = 5$.
આમ,ગુણોત્તર $5:1$ છે.
હવે,$k=5$ ની કિંમત $y$-યામમાં મૂકતા:
$y = \frac{-4(5) - 6}{5+1} = \frac{-20-6}{6} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}$.
આમ,છેદબિંદુ $(0, -13/3)$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે.
તેથી,વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
રેખાખંડના મધ્યબિંદુના યામ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માટે $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right) = \left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{8+p}{2}, \frac{2+3}{2}\right) = \left(\frac{8+p}{2}, \frac{5}{2}\right)$.
બંને મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{15}{2} = \frac{8+p}{2}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$15 = 8 + p$.
આમ,$p = 15 - 8 = 7$.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ એ માંગેલ બિંદુ છે જે $A(-1, 7)$ અને $B(4, -3)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n = 2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{2(4) + 3(-1)}{2 + 3} = \frac{8 - 3}{5} = \frac{5}{5} = 1$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{2(-3) + 3(7)}{2 + 3} = \frac{-6 + 21}{5} = \frac{15}{5} = 3$
તેથી,બિંદુના યામ $(1, 3)$ છે.

(A) ધારો કે $A = (4, -1)$ અને $B = (-2, -3)$ છે. ધારો કે $P$ અને $Q$ એવા ત્રિભાગ બિંદુઓ છે કે જેથી $AP = PQ = QB$ થાય.
બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્ર $\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x_1 = \frac{1(-2) + 2(4)}{1+2} = \frac{-2+8}{3} = \frac{6}{3} = 2$
$y_1 = \frac{1(-3) + 2(-1)}{1+2} = \frac{-3-2}{3} = -\frac{5}{3}$
તેથી,$P = (2, -5/3)$.
બિંદુ $Q$ એ $AB$ નું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x_2 = \frac{2(-2) + 1(4)}{2+1} = \frac{-4+4}{3} = 0$
$y_2 = \frac{2(-3) + 1(-1)}{2+1} = \frac{-6-1}{3} = -\frac{7}{3}$
તેથી,$Q = (0, -7/3)$.

(N/A) તે જોઈ શકાય છે કે નિહારિકાએ $2^{nd}$ લાઇનના શરૂઆતના બિંદુથી $AD$ ના અંતરના $\frac{1}{4}$ ભાગ પર,એટલે કે $\left(\frac{1}{4} \times 100\right) \, m = 25 \, m$ પર લીલો ઝંડો રોપ્યો છે. તેથી,આ બિંદુ $G$ ના યામ $(2, 25)$ છે.
પ્રીતે $8^{th}$ લાઇનના શરૂઆતના બિંદુથી $AD$ ના અંતરના $\frac{1}{5}$ ભાગ પર,એટલે કે $\left(\frac{1}{5} \times 100\right) \, m = 20 \, m$ પર લાલ ઝંડો રોપ્યો છે. તેથી,આ બિંદુ $R$ ના યામ $(8, 20)$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,આ ઝંડાઓ વચ્ચેનું અંતર $GR = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
$GR = \sqrt{(8 - 2)^2 + (20 - 25)^2} = \sqrt{6^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \, m.$
જે બિંદુ પર રશ્મિએ તેનો વાદળી ઝંડો રોપવો જોઈએ તે આ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે. ધારો કે આ બિંદુ $M(x, y)$ છે.
$x = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5, \quad y = \frac{25 + 20}{2} = \frac{45}{2} = 22.5.$
આમ,મધ્યબિંદુના યામ $(5, 22.5)$ છે.
તેથી,રશ્મિએ તેનો વાદળી ઝંડો $5^{th}$ લાઇન પર $22.5 \, m$ ના અંતરે રોપવો જોઈએ.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(-3, 10)$ અને $B(6, -8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું બિંદુ $P(-1, 6)$ દ્વારા $k : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન થાય છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P(x, y) = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n} \right)$
અહીં,$m = k$,$n = 1$,$(x_1, y_1) = (-3, 10)$,અને $(x_2, y_2) = (6, -8)$ છે.
$x$-યામને સરખાવતા:
$-1 = \frac{k(6) + 1(-3)}{k + 1}$
$-1(k + 1) = 6k - 3$
$-k - 1 = 6k - 3$
$-k - 6k = -3 + 1$
$-7k = -2$
$k = \frac{2}{7}$
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $2 : 7$ છે.

(A) ધારો કે $A(1, -5)$ અને $B(-4, 5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $x$-અક્ષ દ્વારા થતું વિભાજન $k: 1$ ના ગુણોત્તરમાં છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુના યામ $\left(\frac{-4k + 1}{k + 1}, \frac{5k - 5}{k + 1}\right)$ મળે છે.
આ બિંદુ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ $0$ થાય.
તેથી,$\frac{5k - 5}{k + 1} = 0$.
આના પરથી $5k - 5 = 0$ મળે,એટલે કે $k = 1$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 1$ છે.
$x$-યામમાં $k = 1$ મૂકતા: $\frac{-4(1) + 1}{1 + 1} = \frac{-3}{2}$.
તેથી,વિભાજન બિંદુ $\left(\frac{-3}{2}, 0\right)$ છે.

(N/A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A(1, 2), B(4, y), C(x, 6)$ અને $D(3, 5)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને સમાન બિંદુ $O$ પર દુભાગે છે.
તેથી,$O$ એ બંને વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{1+x}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = \left(\frac{x+1}{2}, 4\right)$ દ્વારા મળે છે.
વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{4+3}{2}, \frac{y+5}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}, \frac{y+5}{2}\right)$ દ્વારા મળે છે.
આ બંને એક જ બિંદુ $O$ દર્શાવતા હોવાથી,આપણે તેમના યામને સરખાવીએ:
$\frac{x+1}{2} = \frac{7}{2} \implies x+1 = 7 \implies x = 6.$
$4 = \frac{y+5}{2} \implies 8 = y+5 \implies y = 3.$
આમ,$x = 6$ અને $y = 3$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $A$ ના યામ $(x, y)$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ $AB$ હોવાથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
આપેલ છે કે કેન્દ્ર $(2, -3)$ છે અને બિંદુ $B$ એ $(1, 4)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,કેન્દ્રના યામ $\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}\right)$ થાય.
આને આપેલ કેન્દ્ર $(2, -3)$ સાથે સરખાવતા,
$\frac{x+1}{2} = 2 \Rightarrow x+1 = 4 \Rightarrow x = 3.$
$\frac{y+4}{2} = -3 \Rightarrow y+4 = -6 \Rightarrow y = -10.$
તેથી,બિંદુ $A$ ના યામ $(3, -10)$ છે.

(N/A) બિંદુ $A$ અને $B$ ના યામ અનુક્રમે $(-2, -2)$ અને $(2, -4)$ છે.
$AP = \frac{3}{7} AB$ હોવાથી,તેનો અર્થ એ થાય કે $AP : AB = 3 : 7$.
તેથી,$AP : PB = 3 : (7 - 3) = 3 : 4$.
બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $m : n = 3 : 4$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$P = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n} \right)$
$P = \left( \frac{3(2) + 4(-2)}{3 + 4}, \frac{3(-4) + 4(-2)}{3 + 4} \right)$
$P = \left( \frac{6 - 8}{7}, \frac{-12 - 8}{7} \right)$
$P = \left( -\frac{2}{7}, -\frac{20}{7} \right)$

(N/A) ધારો કે રેખાખંડ $AB$ નું ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજન કરતા બિંદુઓ $X, Y, Z$ છે. આ બિંદુઓ રેખાખંડનું અનુક્રમે $1:3, 1:1, 3:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
$X$ ના યામ $= \left(\frac{1 \times 2 + 3 \times (-2)}{1 + 3}, \frac{1 \times 8 + 3 \times 2}{1 + 3}\right) = \left(\frac{2 - 6}{4}, \frac{8 + 6}{4}\right) = \left(-1, \frac{14}{4}\right) = \left(-1, 3.5\right)$.
$Y$ ના યામ ($AB$ નું મધ્યબિંદુ) $= \left(\frac{-2 + 2}{2}, \frac{2 + 8}{2}\right) = \left(0, \frac{10}{2}\right) = (0, 5)$.
$Z$ ના યામ $= \left(\frac{3 \times 2 + 1 \times (-2)}{3 + 1}, \frac{3 \times 8 + 1 \times 2}{3 + 1}\right) = \left(\frac{6 - 2}{4}, \frac{24 + 2}{4}\right) = \left(\frac{4}{4}, \frac{26}{4}\right) = (1, 6.5)$.

(B) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A(3,0), B(4,5), C(-1,4)$ અને $D(-2,-1)$ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ છે,જ્યાં $d_1$ અને $d_2$ એ વિકર્ણોની લંબાઈ છે.
પ્રથમ,અંતર સૂત્ર $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને વિકર્ણ $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AC = \sqrt{(-1-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
ત્યારબાદ,વિકર્ણ $BD$ ની લંબાઈ શોધો:
$BD = \sqrt{(-2-4)^2 + (-1-5)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
હવે,ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 6\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 24 \times 2 = 24$ ચોરસ એકમ.

(C) જેના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તેવા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(1, -1), B(-4, 6)$ અને $C(-3, -5)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |1(6 - (-5)) + (-4)(-5 - (-1)) + (-3)(-1 - 6)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |1(11) + (-4)(-4) + (-3)(-7)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |11 + 16 + 21|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |48| = 24$
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $24$ ચોરસ એકમ છે.

(D) $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલ બિંદુઓ $A(5, 2)$,$B(4, 7)$ અને $C(7, -4)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |5(7 - (-4)) + 4(-4 - 2) + 7(2 - 7)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |5(11) + 4(-6) + 7(-5)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |55 - 24 - 35|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |55 - 59|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-4|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 4 = 2$ ચોરસ એકમ.

(A) શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ યામ $P(-1.5, 3)$,$Q(6, -2)$ અને $R(-3, 4)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-1.5(-2 - 4) + 6(4 - 3) + (-3)(3 - (-2))|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-1.5(-6) + 6(1) - 3(5)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |9 + 6 - 15|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0| = 0$ ચોરસ એકમ.
ક્ષેત્રફળ $0$ હોવાથી,બિંદુઓ $P$,$Q$ અને $R$ સમરેખ છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા છે અને ત્રિકોણ બનાવતા નથી.

(B) આપેલ બિંદુઓ $A(2, 3)$,$B(4, k)$ અને $C(6, -3)$ સમરેખ હોવાથી,આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ થવું જોઈએ.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ માટે ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$
આપેલ યામોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} |2(k - (-3)) + 4(-3 - 3) + 6(3 - k)| = 0$
$\frac{1}{2} |2(k + 3) + 4(-6) + 6(3 - k)| = 0$
$\frac{1}{2} |2k + 6 - 24 + 18 - 6k| = 0$
$\frac{1}{2} |-4k| = 0$
$-2k = 0$
તેથી,$k = 0$.

(C) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે વિકર્ણ $BD$ દોરીને તેને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ છે.
$1$. $\Delta ABD$ નું ક્ષેત્રફળ,જેના શિરોબિંદુઓ $A(-5, 7)$,$B(-4, -5)$ અને $D(4, 5)$ છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-5(-5 - 5) + (-4)(5 - 7) + 4(7 - (-5))|$
$= \frac{1}{2} |-5(-10) - 4(-2) + 4(12)|$
$= \frac{1}{2} |50 + 8 + 48| = \frac{106}{2} = 53$ ચોરસ એકમ.
$2$. $\Delta BCD$ નું ક્ષેત્રફળ,જેના શિરોબિંદુઓ $B(-4, -5)$,$C(-1, -6)$ અને $D(4, 5)$ છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-4(-6 - 5) + (-1)(5 - (-5)) + 4(-5 - (-6))|$
$= \frac{1}{2} |-4(-11) - 1(10) + 4(1)|$
$= \frac{1}{2} |44 - 10 + 4| = \frac{38}{2} = 19$ ચોરસ એકમ.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ = $\text{Area}(\Delta ABD) + \text{Area}(\Delta BCD) = 53 + 19 = 72$ ચોરસ એકમ.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (2, 3), (x_2, y_2) = (-1, 0)$ અને $(x_3, y_3) = (2, -4)$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2(0 - (-4)) + (-1)(-4 - 3) + 2(3 - 0)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2(4) + (-1)(-7) + 2(3)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |8 + 7 + 6|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |21| = 10.5$ ચોરસ એકમ.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (-5, -1)$,$(x_2, y_2) = (3, -5)$ અને $(x_3, y_3) = (5, 2)$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(-5)(-5 - 2) + 3(2 - (-1)) + 5(-1 - (-5))|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(-5)(-7) + 3(3) + 5(4)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |35 + 9 + 20|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |64| = 32$ ચોરસ એકમ.

(B) બિંદુઓ સમરેખ હોય ત્યારે તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ થાય છે.
$(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(7, -2), (5, 1),$ અને $(3, k)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} |7(1 - k) + 5(k - (-2)) + 3(-2 - 1)| = 0$
$\frac{1}{2} |7 - 7k + 5(k + 2) + 3(-3)| = 0$
$\frac{1}{2} |7 - 7k + 5k + 10 - 9| = 0$
$|8 - 2k| = 0$
$8 - 2k = 0$
$2k = 8$
$k = 4$

(C) જો બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ થાય.
$(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલા બિંદુઓ $(8,1), (k,-4),$ અને $(2,-5)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} |8(-4 - (-5)) + k(-5 - 1) + 2(1 - (-4))| = 0$
$\frac{1}{2} |8(-4 + 5) + k(-6) + 2(1 + 4)| = 0$
$\frac{1}{2} |8(1) - 6k + 2(5)| = 0$
$|8 - 6k + 10| = 0$
$18 - 6k = 0$
$6k = 18$
$k = 3$

(1:4) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0,-1), B(2,1), C(0,3)$ છે.
ધારો કે $D, E, F$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, AC, BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $D, E$ અને $F$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$D = \left(\frac{0+2}{2}, \frac{-1+1}{2}\right) = (1,0)$
$E = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = (0,1)$
$F = \left(\frac{2+0}{2}, \frac{1+3}{2}\right) = (1,2)$
$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\Delta DEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |1(1-2) + 0(2-0) + 1(0-1)| = \frac{1}{2} |-1 + 0 - 1| = \frac{1}{2} |-2| = 1$ ચોરસ એકમ.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(1-3) + 2(3-(-1)) + 0(-1-1)| = \frac{1}{2} |0 + 2(4) + 0| = \frac{1}{2} |8| = 4$ ચોરસ એકમ.
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $1:4$ છે.

(B) ધારો કે ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(-4,-2), B(-3,-5), C(3,-2)$ અને $D(2,3)$ છે. બે ત્રિકોણ $\triangle ABC$ અને $\triangle ACD$ બનાવવા માટે $AC$ ને જોડો.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2}-y_{3}) + x_{2}(y_{3}-y_{1}) + x_{3}(y_{1}-y_{2})|$
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(-4){(-5)-(-2)} + (-3){(-2)-(-2)} + 3{(-2)-(-5)}|$
$= \frac{1}{2} |(-4)(-3) + (-3)(0) + 3(3)| = \frac{1}{2} |12 + 0 + 9| = \frac{21}{2} = 10.5$ ચોરસ એકમ.
$\triangle ACD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(-4){(-2)-(3)} + 3{(3)-(-2)} + 2{(-2)-(-2)}|$
$= \frac{1}{2} |(-4)(-5) + 3(5) + 2(0)| = \frac{1}{2} |20 + 15 + 0| = \frac{35}{2} = 17.5$ ચોરસ એકમ.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $+ \triangle ACD$ નું ક્ષેત્રફળ
$= 10.5 + 17.5 = 28$ ચોરસ એકમ.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A (4, -6), B (3, -2)$ અને $C (5, 2)$ છે.
ધારો કે $D$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$AD$ એ $\triangle ABC$ ની મધ્યગા છે.
બિંદુ $D$ ના યામ $= \left(\frac{3+5}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) = (4, 0)$.
$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |4(-2 - 0) + 3(0 - (-6)) + 4(-6 - (-2))|$
$= \frac{1}{2} |4(-2) + 3(6) + 4(-4)|$
$= \frac{1}{2} |-8 + 18 - 16| = \frac{1}{2} |-6| = 3$ ચોરસ એકમ.
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |4(0 - 2) + 4(2 - (-6)) + 5(-6 - 0)|$
$= \frac{1}{2} |4(-2) + 4(8) + 5(-6)|$
$= \frac{1}{2} |-8 + 32 - 30| = \frac{1}{2} |-6| = 3$ ચોરસ એકમ.
આમ,$\triangle ABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 3$ ચોરસ એકમ હોવાથી,મધ્યગા $AD$ એ $\triangle ABC$ ને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.

(A) ધારો કે રેખા $2x + y - 4 = 0$ એ બિંદુઓ $A(2, -2)$ અને $B(3, 7)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન કરતા બિંદુના યામ વિભાજન સૂત્ર મુજબ $\left(\frac{3k + 2}{k + 1}, \frac{7k - 2}{k + 1}\right)$ થશે.
આ બિંદુ રેખા $2x + y - 4 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીશું:
$2\left(\frac{3k + 2}{k + 1}\right) + \left(\frac{7k - 2}{k + 1}\right) - 4 = 0$
$(k + 1)$ વડે ગુણતા:
$2(3k + 2) + (7k - 2) - 4(k + 1) = 0$
$6k + 4 + 7k - 2 - 4k - 4 = 0$
$9k - 2 = 0$
$9k = 2$
$k = \frac{2}{9}$
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $2:9$ છે.

(N/A) જો આપેલા બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ થાય.
$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલા બિંદુઓ $(x, y), (1, 2)$ અને $(7, 0)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$0 = \frac{1}{2} |x(2 - 0) + 1(0 - y) + 7(y - 2)|$
$0 = \frac{1}{2} |2x - y + 7y - 14|$
$0 = \frac{1}{2} |2x + 6y - 14|$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$2x + 6y - 14 = 0$
આખા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા:
$x + 3y - 7 = 0$
આમ,$x$ અને $y$ વચ્ચેનો જરૂરી સંબંધ $x + 3y - 7 = 0$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O(x, y)$ છે. ધારો કે બિંદુઓ $A(6, -6), B(3, -7)$ અને $C(3, 3)$ વર્તુળના પરિઘ પર આવેલા છે.
વર્તુળના કેન્દ્રથી પરિઘ પરના કોઈપણ બિંદુનું અંતર સમાન (ત્રિજ્યા $r$) હોય છે:
$OA^2 = OB^2 = OC^2$
$OA^2 = (x - 6)^2 + (y + 6)^2$
$OB^2 = (x - 3)^2 + (y + 7)^2$
$OC^2 = (x - 3)^2 + (y - 3)^2$
$OB^2 = OC^2$ ને સરખાવતા:
$(x - 3)^2 + (y + 7)^2 = (x - 3)^2 + (y - 3)^2$
$(y + 7)^2 = (y - 3)^2$
$y^2 + 14y + 49 = y^2 - 6y + 9$
$20y = -40 \Rightarrow y = -2$
$OA^2 = OC^2$ ને સરખાવતા:
$(x - 6)^2 + (y + 6)^2 = (x - 3)^2 + (y - 3)^2$
$y = -2$ મૂકતા:
$(x - 6)^2 + (-2 + 6)^2 = (x - 3)^2 + (-2 - 3)^2$
$(x - 6)^2 + 16 = (x - 3)^2 + 25$
$x^2 - 12x + 36 + 16 = x^2 - 6x + 9 + 25$
$-6x = -18 \Rightarrow x = 3$
આમ,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(3, -2)$ છે.

(A) ધારો કે $A(-1, 2)$ અને $C(3, 2)$ એ ચોરસ $ABCD$ ના આપેલા સામસામેના શિરોબિંદુઓ છે. ધારો કે બાકીના બે શિરોબિંદુઓ $B(x, y)$ અને $D(x_1, y_1)$ છે.
ચોરસ $ABCD$ હોવાથી,તેની બધી બાજુઓ સમાન હોય છે,તેથી $AB = BC$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(x+1)^2 + (y-2)^2} = \sqrt{(x-3)^2 + (y-2)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x+1)^2 + (y-2)^2 = (x-3)^2 + (y-2)^2$.
$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 6x + 9 \Rightarrow 8x = 8 \Rightarrow x = 1$.
$\triangle ABC$ માં,$\angle B = 90^\circ$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
$AC^2 = (3 - (-1))^2 + (2 - 2)^2 = 4^2 + 0^2 = 16$.
$AB = BC$ હોવાથી,$2AB^2 = 16 \Rightarrow AB^2 = 8$.
$(x+1)^2 + (y-2)^2 = 8$. $x=1$ મૂકતા: $(1+1)^2 + (y-2)^2 = 8 \Rightarrow 4 + (y-2)^2 = 8 \Rightarrow (y-2)^2 = 4$.
$y-2 = \pm 2 \Rightarrow y = 4$ અથવા $y = 0$.
આમ,$B$ ના યામ $(1, 4)$ અને $D$ ના યામ $(1, 0)$ મળે છે (અથવા તેનાથી ઉલટું).
બાકીના બે શિરોબિંદુઓના યામ $(1, 0)$ અને $(1, 4)$ છે.