Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Gujarati

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(2, -2)$ અને $(-1, x)$ છે અને અંતર $d = 5$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (x - (-2))^2}$
$5 = \sqrt{(-3)^2 + (x + 2)^2}$
$5 = \sqrt{9 + (x^2 + 4x + 4)}$
$5 = \sqrt{x^2 + 4x + 13}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$25 = x^2 + 4x + 13$
$x^2 + 4x - 12 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x + 6)(x - 2) = 0$
આમ,$x = -6$ અથવા $x = 2$.
તેથી,$x$ ની એક શક્ય કિંમત $2$ છે.

(B) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ છે.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $A(-2, 8)$ અને $B(-6, -4)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{-2 + (-6)}{2}, \frac{8 + (-4)}{2}\right)$
મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{-8}{2}, \frac{4}{2}\right)$
મધ્યબિંદુ $= (-4, 2)$.

(C) આકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ છીએ.
$AB = \sqrt{(9-9)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6$
$BC = \sqrt{(-9-9)^2 + (6-6)^2} = \sqrt{(-18)^2 + 0^2} = 18$
$CD = \sqrt{(-9-(-9))^2 + (0-6)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = 6$
$DA = \sqrt{(9-(-9))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{18^2 + 0^2} = 18$
અહીં સામસામેની બાજુઓ સમાન છે ($AB = CD = 6$ અને $BC = DA = 18$) અને પાસપાસેની બાજુઓ એકબીજાને લંબ છે (કારણ કે બાજુઓ યામ અક્ષોને સમાંતર છે),તેથી આ આકૃતિ એક લંબચોરસ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કાર્તેઝિયન સમતલમાં કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ માટે:
$1$. બિંદુનું $y$-અક્ષથી લંબ અંતર તેના $x$-યામ (abscissa) ના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે,એટલે કે $|x|$.
$2$. બિંદુનું $x$-અક્ષથી લંબ અંતર તેના $y$-યામ (ordinate) ના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે,એટલે કે $|y|$.
બિંદુ $P(2, 3)$ માટે,$x$-યામ $2$ છે અને $y$-યામ $3$ છે.
તેથી,$x$-અક્ષથી બિંદુ $P(2, 3)$ નું અંતર તેના $y$-યામ જેટલું એટલે કે $3$ એકમ થાય.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
આપેલા બિંદુઓ $A(0, 6)$ અને $B(0, -2)$ છે.
અહીં,$x_1 = 0, y_1 = 6$ અને $x_2 = 0, y_2 = -2$ છે.
આ કિંમતોને અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$AB = \sqrt{(0 - 0)^2 + (-2 - 6)^2}$
$AB = \sqrt{0^2 + (-8)^2}$
$AB = \sqrt{64}$
$AB = 8$
તેથી,બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $8$ એકમ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
અહીં,બિંદુ $P$ એ $(-6, 8)$ છે અને ઉગમબિંદુ $O$ એ $(0, 0)$ છે.
તેથી,$x_1 = -6, y_1 = 8$ અને $x_2 = 0, y_2 = 0$.
આ કિંમતોને અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$PO = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (0 - 8)^2}$
$PO = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2}$
$PO = \sqrt{36 + 64}$
$PO = \sqrt{100}$
$PO = 10$
આમ,બિંદુ $P(-6, 8)$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર $10$ એકમ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_{1}, y_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2})$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
અહીં,$x_{1} = 0, y_{1} = 5$ અને $x_{2} = -5, y_{2} = 0$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \sqrt{(-5 - 0)^{2} + (0 - 5)^{2}}$
$d = \sqrt{(-5)^{2} + (-5)^{2}}$
$d = \sqrt{25 + 25}$
$d = \sqrt{50}$
$d = 5 \sqrt{2}$

(D) લંબચોરસ $AOBC$ માં,વિકર્ણ એ સામસામેના શિરોબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ છે. અહીં,$AB$ એ વિકર્ણ છે.
વિકર્ણ $AB$ ની લંબાઈ એ બિંદુઓ $A (0, 3)$ અને $B (5, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
અહીં,$x_1 = 0, y_1 = 3$ અને $x_2 = 5, y_2 = 0$ છે.
આ કિંમતોને અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$AB = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 3)^2}$
$AB = \sqrt{(5)^2 + (-3)^2}$
$AB = \sqrt{25 + 9}$
$AB = \sqrt{34}$
આમ,વિકર્ણની લંબાઈ $\sqrt{34}$ છે.

(A) ત્રિકોણની પરિમિતિ શોધવા માટે,આપણે તેની બધી બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો કરીએ છીએ. ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0,4)$,$O(0,0)$ અને $B(3,0)$ છે.
$\triangle AOB$ ની પરિમિતિ = તેની બધી બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો = $d(AO) + d(OB) + d(AB)$.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
$1$. અંતર $d(AO) = \sqrt{(0-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{0 + 16} = 4$.
$2$. અંતર $d(OB) = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9 + 0} = 3$.
$3$. અંતર $d(AB) = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
પરિમિતિ = $4 + 3 + 5 = 12$.
આમ,ત્રિકોણની જરૂરી પરિમિતિ $12$ છે.

(B) $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(3, 0), B(7, 0)$ અને $C(8, 4)$ છે.
તેથી,$x_1 = 3, y_1 = 0, x_2 = 7, y_2 = 0, x_3 = 8, y_3 = 4$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |3(0 - 4) + 7(4 - 0) + 8(0 - 0)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |3(-4) + 7(4) + 8(0)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |-12 + 28 + 0|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |16|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 8 \text{ ચોરસ એકમ}$.
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $8$ છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(-4,0), B(4,0),$ અને $C(0,3)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8$
$BC = \sqrt{(0 - 4)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
$AC = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
અહીં $BC = AC = 5$ હોવાથી,ત્રિકોણની બે બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,$\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) જો $P(x, y)$ એ $A(x_1, y_1)$ અને $B(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m: n$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતું હોય,તો વિભાજન સૂત્ર મુજબ:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$ અને $y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}$
અહીં $x_1 = 7, y_1 = -6, x_2 = 3, y_2 = 4, m = 1$ અને $n = 2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{1(3) + 2(7)}{1 + 2} = \frac{3 + 14}{3} = \frac{17}{3}$
$y = \frac{1(4) + 2(-6)}{1 + 2} = \frac{4 - 12}{3} = -\frac{8}{3}$
આમ,બિંદુ $(\frac{17}{3}, -\frac{8}{3})$ મળે છે.
અહીં $x$-યામ ધન છે અને $y$-યામ ઋણ છે,તેથી આ બિંદુ $IV$ ચરણમાં આવેલું છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક તે રેખાખંડના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$A(-2, -5)$ અને $B(2, 5)$ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
આપેલા યામો મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{-2 + 2}{2}, \frac{-5 + 5}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}, \frac{0}{2} \right) = (0, 0)$
આમ,લંબદ્વિભાજક રેખાખંડના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતો હોવાથી,બિંદુ $(0, 0)$ લંબદ્વિભાજક પર આવેલું છે.

(B) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ચોથું શિરોબિંદુ $D(x_4, y_4)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,જેનો અર્થ છે કે વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ અંત્યબિંદુઓ ધરાવતા રેખાખંડ માટે મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{-2+8}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{6}{2}\right) = (3,3)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{6+x_4}{2}, \frac{7+y_4}{2}\right)$.
મધ્યબિંદુઓ સમાન હોવાથી:
$\frac{6+x_4}{2} = 3 \Rightarrow 6+x_4 = 6 \Rightarrow x_4 = 0$.
$\frac{7+y_4}{2} = 3 \Rightarrow 7+y_4 = 6 \Rightarrow y_4 = -1$.
આમ,ચોથું શિરોબિંદુ $D$ એ $(0,-1)$ છે.

(C) આપેલ છે કે બિંદુ $P(2,1)$ એ બિંદુઓ $A(4,2)$ અને $B(8,4)$ ને જોડતા રેખાખંડ પર આવેલું છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $A(4,2)$ અને $P(2,1)$ વચ્ચેનું અંતર શોધીએ:
$AP = \sqrt{(2 - 4)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
ત્યારબાદ,આપણે $A(4,2)$ અને $B(8,4)$ વચ્ચેનું અંતર શોધીએ:
$AB = \sqrt{(8 - 4)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
હવે,આપણે $AP$ અને $AB$ ની સરખામણી કરીએ:
$AB = 2\sqrt{5} = 2 \times (\sqrt{5}) = 2 AP$.
તેથી,$AP = \frac{1}{2} AB$.
આમ,સાચી શરત $AP = \frac{1}{2} AB$ છે.

(D) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડ માટે મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $Q(-6, 5)$ અને $R(-2, 3)$ છે.
$QR$ નું મધ્યબિંદુ $P$ શોધતા:
$P = (\frac{-6 + (-2)}{2}, \frac{5 + 3}{2}) = (\frac{-8}{2}, \frac{8}{2}) = (-4, 4)$.
આપણને આપેલ છે કે $P = (\frac{a}{3}, 4)$.
$P$ ના યામોની સરખામણી કરતા:
$\frac{a}{3} = -4$
$a = -4 \times 3$
$a = -12$.
આમ,$a$ ની કિંમત $-12$ છે.

(A) $1$. રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $P$ શોધો:
$P = \left( \frac{1+4}{2}, \frac{5+6}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{11}{2} \right)$
$2$. રેખાખંડ $AB$ નો ઢાળ $(m_{AB})$ શોધો:
$m_{AB} = \frac{6-5}{4-1} = \frac{1}{3}$
$3$. લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $(m_{\perp})$ એ $m_{AB}$ નો વ્યસ્ત અને વિરોધી છે:
$m_{\perp} = -\frac{1}{m_{AB}} = -3$
$4$. લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ મેળવવા માટે બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરો:
$y - y_1 = m_{\perp}(x - x_1)$
$y - \frac{11}{2} = -3(x - \frac{5}{2})$
$y - \frac{11}{2} = -3x + \frac{15}{2}$
$y = -3x + \frac{15}{2} + \frac{11}{2}$
$y = -3x + \frac{26}{2}$
$y = -3x + 13$
$5$. તે $y$-અક્ષને ક્યાં છેદે છે તે જાણવા માટે $x = 0$ મૂકો:
$y = -3(0) + 13 = 13$
આમ,લંબદ્વિભાજક $y$-અક્ષને $(0, 13)$ બિંદુએ છેદે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ એ ત્રણેય શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(0, 2y)$ અને $B(2x, 0)$ થી સમાન અંતરે આવેલું છે.
તેથી,$PO = PA = PB$.
$\Rightarrow (PO)^2 = (PA)^2 = (PB)^2$ ..........$(i)$
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$[\sqrt{(h-0)^2 + (k-0)^2}]^2 = [\sqrt{(h-0)^2 + (k-2y)^2}]^2 = [\sqrt{(h-2x)^2 + (k-0)^2}]^2$
$\Rightarrow h^2 + k^2 = h^2 + (k-2y)^2 = (h-2x)^2 + k^2$
પ્રથમ બે ભાગ લેતા:
$h^2 + k^2 = h^2 + (k-2y)^2$
$k^2 = k^2 + 4y^2 - 4yk$
$4y(y - k) = 0 \Rightarrow k = y$ (કારણ કે $y \neq 0$).
પ્રથમ અને ત્રીજો ભાગ લેતા:
$h^2 + k^2 = (h-2x)^2 + k^2$
$h^2 = h^2 + 4x^2 - 4xh$
$4x(x - h) = 0 \Rightarrow h = x$ (કારણ કે $x \neq 0$).
તેથી,જરૂરી બિંદુ $(h, k) = (x, y)$ છે.

(C) વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0,0)$ છે અને તે $\left(\frac{13}{2}, 0\right)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ $(0,0)$ અને $\left(\frac{13}{2}, 0\right)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$r = \sqrt{\left(\frac{13}{2}-0\right)^{2} + (0-0)^{2}} = \sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^{2}} = \frac{13}{2} = 6.5$.
કોઈ બિંદુ $(x, y)$ વર્તુળના અંદરના ભાગમાં હોય જો તેનું કેન્દ્રથી અંતર $r$ કરતા ઓછું હોય,વર્તુળ પર હોય જો અંતર $r$ જેટલું હોય,અને બહાર હોય જો અંતર $r$ કરતા વધારે હોય.
$(a)$ $\left(-\frac{3}{4}, 1\right)$ નું $(0,0)$ થી અંતર $= \sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{\frac{9}{16} + 1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = 1.25 < 6.5$. (અંદર)
$(b)$ $\left(2, \frac{7}{3}\right)$ નું $(0,0)$ થી અંતર $= \sqrt{2^{2} + \left(\frac{7}{3}\right)^{2}} = \sqrt{4 + \frac{49}{9}} = \sqrt{\frac{85}{9}} \approx 3.07 < 6.5$. (અંદર)
$(c)$ $\left(-6, \frac{5}{2}\right)$ નું $(0,0)$ થી અંતર $= \sqrt{(-6)^{2} + \left(\frac{5}{2}\right)^{2}} = \sqrt{36 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{144+25}{4}} = \sqrt{\frac{169}{4}} = \frac{13}{2} = 6.5$. (વર્તુળ પર)
$(d)$ $\left(5, -\frac{1}{2}\right)$ નું $(0,0)$ થી અંતર $= \sqrt{5^{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)^{2}} = \sqrt{25 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{101}{4}} \approx 5.02 < 6.5$. (અંદર)
આમ,બિંદુ $\left(-6, \frac{5}{2}\right)$ વર્તુળના અંદરના ભાગમાં નથી.

(D) ધારો કે $P$ ના યામ $(0, y)$ અને $Q$ ના યામ $(x, 0)$ છે.
$P(0, y)$ અને $Q(x, 0)$ નું મધ્યબિંદુ શોધવાનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ છે.
તેથી,મધ્યબિંદુ $M$ એ $\left(\frac{0+x}{2}, \frac{y+0}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)$ થશે.
આપણને આપેલ છે કે $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $(2, -5)$ છે.
યામોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x}{2} = 2 \Rightarrow x = 4$
$\frac{y}{2} = -5 \Rightarrow y = -10$
તેથી,$P$ ના યામ $(0, -10)$ અને $Q$ ના યામ $(4, 0)$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1) = (a, b+c)$,$B(x_2, y_2) = (b, c+a)$ અને $C(x_3, y_3) = (c, a+b)$ છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ યામોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta = \frac{1}{2} |a(c+a - (a+b)) + b(a+b - (b+c)) + c(b+c - (c+a))|$
કૌંસની અંદરના પદોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\Delta = \frac{1}{2} |a(c-b) + b(a-c) + c(b-a)|$
પદોનો ગુણાકાર કરતા:
$\Delta = \frac{1}{2} |ac - ab + ab - bc + bc - ac|$
બધા પદો ઉડી જાય છે:
$\Delta = \frac{1}{2} |0| = 0$
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ છે.

(B) અંતર સૂત્ર મુજબ,બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુઓ $(4, p)$ અને $(1, 0)$ છે અને અંતર $d = 5$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 = \sqrt{(1 - 4)^2 + (0 - p)^2}$
$5 = \sqrt{(-3)^2 + (-p)^2}$
$5 = \sqrt{9 + p^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$25 = 9 + p^2$
$p^2 = 25 - 9$
$p^2 = 16$
$p = \pm \sqrt{16}$
$p = \pm 4$
આમ,$p$ ની કિંમત $\pm 4$ છે.

(C) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(x_1, y_1) = (1, 2)$,$O(x_2, y_2) = (0, 0)$ અને $C(x_3, y_3) = (a, b)$ છે.
જો બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ છે.
આપેલા યામો મૂકતા:
$0 = \frac{1}{2} |1(0 - b) + 0(b - 2) + a(2 - 0)|$.
$0 = \frac{1}{2} |-b + 0 + 2a|$.
$0 = \frac{1}{2} |2a - b|$.
આનો અર્થ એ છે કે $2a - b = 0$,અથવા $2a = b$.
તેથી,જરૂરી સંબંધ $2a = b$ છે.

(A) આ વિધાન સત્ય છે.
ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ત્યારે જ કહેવાય જો તેના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે,જેનો અર્થ છે કે તેમનું મધ્યબિંદુ સમાન હોય.
$1$. વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ:
મધ્યબિંદુ $= (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) = (\frac{-1 + 2}{2}, \frac{0 + 2}{2}) = (\frac{1}{2}, 1)$.
$2$. વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ:
મધ્યબિંદુ $= (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) = (\frac{3 - 2}{2}, \frac{1 + 1}{2}) = (\frac{1}{2}, 1)$.
બંને વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ ના મધ્યબિંદુઓ સમાન $(\frac{1}{2}, 1)$ હોવાથી,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. તેથી,બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે છે.

(B) અસત્ય.
બિંદુઓ $A(4,5), B(7,6)$ અને $C(6,3)$ સમરેખ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ છીએ:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
કિંમતો મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |4(6 - 3) + 7(3 - 5) + 6(5 - 6)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |4(3) + 7(-2) + 6(-1)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |12 - 14 - 6|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-8| = 4 \text{ ચોરસ એકમ}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ ન હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ નથી.

(TRUE) આ વિધાન સત્ય છે.
$1$. $y$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(0, y)$ હોય છે. બિંદુ $P (0, -7)$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી તે પ્રથમ શરતનું પાલન કરે છે.
$2$. જો $P$ એ $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર હોય,તો તે $A (-1, 0)$ અને $B (7, -6)$ થી સમાન અંતરે હોવું જોઈએ.
$3$. અંતર $PA = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (-7 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$ એકમ.
$4$. અંતર $PB = \sqrt{(0 - 7)^2 + (-7 - (-6))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$ એકમ.
$5$. અહીં $PA = PB$ હોવાથી,બિંદુ $P$ એ $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું છે. આમ,આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(TRUE) સત્ય.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\triangle ABC$ માટે:
$AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$
$BC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$AC = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$\triangle DEF$ માટે:
$DE = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8$
$EF = \sqrt{(0 - 4)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$DF = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરની સરખામણી કરતા:
$\frac{AB}{DE} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$\frac{BC}{EF} = \frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
$\frac{AC}{DF} = \frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
અહીં $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ છે.

(TRUE) સત્ય.
વિશ્લેષણાત્મક સમર્થન:
$1$. બિંદુઓ $A (-4, 6)$ અને $B (-4, -6)$ નો $x$-યામ સમાન છે,જે $-4$ છે. આનો અર્થ એ છે કે રેખાખંડ $AB$ એ $x = -4$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવતી એક શિરોલંબ રેખા છે.
$2$. બિંદુ $P (-4, 2)$ નો $x$-યામ પણ $-4$ છે,તેથી તે રેખા $x = -4$ પર આવેલું છે.
$3$. $P$ એ રેખાખંડ $AB$ પર આવેલું છે તે સાબિત કરવા માટે,તેનો $y$-યામ એ $A$ અને $B$ ના $y$-યામની વચ્ચે હોવો જોઈએ. $A$ અને $B$ ના $y$-યામ અનુક્રમે $6$ અને $-6$ છે.
$4$. કારણ કે $-6 < 2 < 6$,તેથી બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ પર $A$ અને $B$ ની વચ્ચે આવેલું છે.

(B) ખોટું.
ધારો કે બિંદુઓ $A(0, 5)$,$B(0, -9)$ અને $C(3, 6)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોય તે માટે,તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ અને $(x_{3}, y_{3})$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2} - y_{3}) + x_{2}(y_{3} - y_{1}) + x_{3}(y_{1} - y_{2})|$
કિંમતો $x_{1}=0, y_{1}=5, x_{2}=0, y_{2}=-9, x_{3}=3, y_{3}=6$ મૂકતા:
$\Delta = \frac{1}{2} |0(-9 - 6) + 0(6 - 5) + 3(5 - (-9))|$
$\Delta = \frac{1}{2} |0 + 0 + 3(5 + 9)|$
$\Delta = \frac{1}{2} |3 \times 14| = \frac{42}{2} = 21$
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $21 \neq 0$ હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ નથી.

(B) અસત્ય.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું કોઈપણ બિંદુ તે રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે.
ચાલો અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બિંદુ $P(0, 2)$ નું બિંદુઓ $A(-1, 1)$ અને $B(3, 3)$ થી અંતર શોધીએ.
$PA = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
$PB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
અહીં $PA \neq PB$ હોવાથી,બિંદુ $P(0, 2)$ એ $A$ અને $B$ થી સમાન અંતરે નથી.
તેથી,બિંદુ $P(0, 2)$ એ રેખાખંડ $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું નથી.

(A) સત્ય.
ધારો કે યામ $A(x_1, y_1) = (3, 1)$,$B(x_2, y_2) = (12, -2)$ અને $C(x_3, y_3) = (0, 2)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |3(-2 - 2) + 12(2 - 1) + 0(1 - (-2))|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |3(-4) + 12(1) + 0(3)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |-12 + 12 + 0|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |0| = 0$
આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ હોવાથી,આ બિંદુઓ સમરેખ છે (તેઓ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા છે).
તેથી,આ બિંદુઓ ત્રિકોણ બનાવી શકે નહીં. આમ,આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(B) અસત્ય.
બિંદુઓ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ છીએ.
$AB = \sqrt{(6-4)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(5-6)^2 + (-6-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-10)^2} = \sqrt{1 + 100} = \sqrt{101}$
$CD = \sqrt{(-3-5)^2 + (5 - (-6))^2} = \sqrt{(-8)^2 + 11^2} = \sqrt{64 + 121} = \sqrt{185}$
$DA = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (3-5)^2} = \sqrt{7^2 + (-2)^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}$
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેની બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ ($AB = CD$ અને $BC = DA$). અહીં બધી બાજુઓ અસમાન હોવાથી,આપેલ બિંદુઓ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવતા નથી.

(TRUE) સત્ય.
આપેલ છે કે વર્તુળનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર છે અને બિંદુ $P(5,0)$ વર્તુળ પર આવેલું છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $O(0,0)$ અને વર્તુળ પરના બિંદુ $P(5,0)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$r = OP = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$.
હવે,આપણે કેન્દ્ર $O(0,0)$ થી બિંદુ $Q(6,8)$ નું અંતર શોધીએ:
$OQ = \sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો કેન્દ્રથી બિંદુનું અંતર ત્રિજ્યા કરતા વધારે હોય,તો તે બિંદુ વર્તુળની બહાર આવેલું હોય છે.
અહીં $OQ = 10$ અને $r = 5$ હોવાથી,$OQ > r$ થાય છે.
તેથી,બિંદુ $Q(6,8)$ વર્તુળની બહાર આવેલું છે. આમ,આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(B) અસત્ય.
જો કોઈ બિંદુ $A$ એ રેખાખંડ $PQ$ ના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું હોય,તો તે અંત્યબિંદુઓ $P$ અને $Q$ થી સમાન અંતરે હોવું જોઈએ,એટલે કે $AP = AQ$.
પ્રથમ,અંતર સૂત્ર $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને અંતર $AP$ શોધો:
$AP = \sqrt{(6-2)^2 + (5-7)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.
ત્યારબાદ,અંતર $AQ$ શોધો:
$AQ = \sqrt{(0-2)^2 + (-4-7)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-11)^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125}$.
અહીં $AP \neq AQ$ હોવાથી (કારણ કે $\sqrt{20} \neq \sqrt{125}$),બિંદુ $A (2,7)$ એ રેખાખંડ $PQ$ ના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું નથી.

(A) સત્ય.
ધારો કે બિંદુ $P(5, -3)$ એ બિંદુઓ $A(7, -2)$ અને $B(1, -5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$\left( \frac{k(1) + 1(7)}{k + 1}, \frac{k(-5) + 1(-2)}{k + 1} \right) = \left( \frac{k + 7}{k + 1}, \frac{-5k - 2}{k + 1} \right)$.
આને $P(5, -3)$ ના યામ સાથે સરખાવતા:
$\frac{k + 7}{k + 1} = 5 \implies k + 7 = 5k + 5 \implies 2 = 4k \implies k = \frac{1}{2}$.
$k = \frac{1}{2}$ મૂકીને $y$-યામ ચકાસતા:
$\frac{-5(1/2) - 2}{1/2 + 1} = \frac{-2.5 - 2}{1.5} = \frac{-4.5}{1.5} = -3$.
અહીં ગુણોત્તર $1: 2$ મળે છે,તેથી બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું ત્રિભાગ બિંદુ છે (બીજું બિંદુ $2: 1$ ગુણોત્તરમાં હશે). તેથી,વિધાન સત્ય છે.

(A) સત્ય.
પ્રથમ,આપણે બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધીને ચકાસીએ કે તેઓ સમરેખ છે કે નહીં.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
અહીં,$x_1 = -6, x_2 = -4, x_3 = 3$ અને $y_1 = 10, y_2 = 6, y_3 = -8$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} | -6(6 - (-8)) + (-4)(-8 - 10) + 3(10 - 6) |$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} | -6(14) + (-4)(-18) + 3(4) |$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} | -84 + 72 + 12 | = \frac{1}{2} | 0 | = 0$.
ક્ષેત્રફળ $0$ હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ છે.
હવે,અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $AB$ અને $AC$ શોધીએ.
$AB = \sqrt{(-4 - (-6))^2 + (6 - 10)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$AC = \sqrt{(3 - (-6))^2 + (-8 - 10)^2} = \sqrt{9^2 + (-18)^2} = \sqrt{81 + 324} = \sqrt{405} = 9\sqrt{5}$.
હવે,સંબંધ $AB = \frac{2}{9} AC$ ચકાસીએ:
$\frac{2}{9} AC = \frac{2}{9} \times 9\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
$AB = 2\sqrt{5}$ હોવાથી,આ સંબંધ સાચો છે.

(B) અસત્ય.
કોઈ બિંદુ વર્તુળ પર ત્યારે જ આવેલું હોય જો તે બિંદુ અને વર્તુળના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલું હોય.
ધારો કે કેન્દ્ર $C(3, 5)$ છે અને બિંદુ $P(-2, 4)$ છે. અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $CP$ અંતરની ગણતરી કરીએ:
$CP = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$CP = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (5 - 4)^2}$
$CP = \sqrt{(3 + 2)^2 + (1)^2}$
$CP = \sqrt{5^2 + 1^2}$
$CP = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$
અહીં $\sqrt{26} \neq 6$ હોવાથી,બિંદુ $P$ અને કેન્દ્ર $C$ વચ્ચેનું અંતર વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલું નથી.
તેથી,બિંદુ $P(-2, 4)$ વર્તુળ પર આવેલું નથી.

(A) સત્ય.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1$. બાજુઓની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(2 - 4)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
સામેની બાજુઓ સમાન હોવાથી ($AB = CD$ અને $BC = DA$),તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$2$. વિકર્ણોની લંબાઈ:
$AC = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (5 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$
$BD = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$
વિકર્ણો સમાન હોવાથી $(AC = BD)$,આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એક લંબચોરસ છે.

(C) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $A (3, 4)$ અને $B (k, 6)$ છે.
તેથી,મધ્યબિંદુ $P (x, y) = (\frac{3+k}{2}, \frac{4+6}{2}) = (\frac{3+k}{2}, 5).$
યામોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = \frac{3+k}{2}$ અને $y = 5$ મળે છે.
આપણને સમીકરણ $x+y-10=0$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં $x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3+k}{2} + 5 - 10 = 0$
$\frac{3+k}{2} - 5 = 0$
$\frac{3+k}{2} = 5$
$3+k = 10$
$k = 10 - 3$
$k = 7.$

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $B$ અને $C$ ના યામ અનુક્રમે $(a, b)$ અને $(x, y)$ છે.
બાજુ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(2, -1)$ આપેલ છે. તેથી,$\left(\frac{1+a}{2}, \frac{-4+b}{2}\right) = (2, -1)$.
યામોને સરખાવતા,આપણને $1+a = 4 \implies a = 3$ અને $-4+b = -2 \implies b = 2$ મળે છે. તેથી,$B = (3, 2)$.
બાજુ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $(0, -1)$ આપેલ છે. તેથી,$\left(\frac{1+x}{2}, \frac{-4+y}{2}\right) = (0, -1)$.
યામોને સરખાવતા,આપણને $1+x = 0 \implies x = -1$ અને $-4+y = -2 \implies y = 2$ મળે છે. તેથી,$C = (-1, 2)$.
$\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(1, -4)$,$B(3, 2)$ અને $C(-1, 2)$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |1(2 - 2) + 3(2 - (-4)) + (-1)(-4 - 2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 + 3(6) - 1(-6)| = \frac{1}{2} |18 + 6| = \frac{24}{2} = 12$ $sq. units$.

(A) અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$PQ = \sqrt{(-\sqrt{2} - \sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$
$PR = \sqrt{(-\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 + (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{(6 + 2 + 2\sqrt{12}) + (6 + 2 - 2\sqrt{12})} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$
$RQ = \sqrt{(-\sqrt{6} - (-\sqrt{2}))^2 + (\sqrt{6} - (-\sqrt{2}))^2} = \sqrt{(-\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{(6 + 2 - 2\sqrt{12}) + (6 + 2 + 2\sqrt{12})} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$
અહીં $PQ = PR = RQ = 4$ હોવાથી,ત્રણેય બાજુઓ સમાન છે. તેથી,ત્રિકોણ $PQR$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(N/A) ધારો કે શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે.
તેથી,વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ વિકર્ણ $BD$ ના મધ્યબિંદુ જેટલું જ હોય.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right)$ છે.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{x_{2}+x}{2}, \frac{y_{2}+y}{2}\right)$ છે.
યામોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x_{1}+x_{3}}{2} = \frac{x_{2}+x}{2} \implies x_{1}+x_{3} = x_{2}+x \implies x = x_{1}+x_{3}-x_{2}$.
$\frac{y_{1}+y_{3}}{2} = \frac{y_{2}+y}{2} \implies y_{1}+y_{3} = y_{2}+y \implies y = y_{1}+y_{3}-y_{2}$.
આમ,શિરોબિંદુ $D$ ના યામ $(x_{1}+x_{3}-x_{2}, y_{1}+y_{3}-y_{2})$ છે.

(C) ત્રિકોણનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ શોધીશું.
$1$. બાજુ $AB$ ની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{(-4 - (-5))^2 + (-2 - 6)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}$ એકમ.
$2$. બાજુ $BC$ ની લંબાઈ:
$BC = \sqrt{(7 - (-4))^2 + (5 - (-2))^2} = \sqrt{(11)^2 + (7)^2} = \sqrt{121 + 49} = \sqrt{170}$ એકમ.
$3$. બાજુ $CA$ ની લંબાઈ:
$CA = \sqrt{(-5 - 7)^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{(-12)^2 + (1)^2} = \sqrt{144 + 1} = \sqrt{145}$ એકમ.
અહીં $AB \neq BC \neq CA$ હોવાથી,ત્રણેય બાજુઓ અસમાન છે.
તેથી,આ બિંદુઓ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ વિષમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $x$-અક્ષ પરનું દરેક બિંદુ $(x, 0)$ સ્વરૂપમાં હોય છે. ધારો કે $P(x, 0)$ એ $x$-અક્ષ પરનું બિંદુ છે જેનું બિંદુ $Q(7, -4)$ થી અંતર $2\sqrt{5}$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
આપેલ છે કે $PQ = 2\sqrt{5}$,તેથી $(PQ)^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20$.
યામોની કિંમત મૂકતા:
$(x - 7)^2 + (0 - (-4))^2 = 20$
$(x - 7)^2 + (4)^2 = 20$
$x^2 - 14x + 49 + 16 = 20$
$x^2 - 14x + 65 = 20$
$x^2 - 14x + 45 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 - 9x - 5x + 45 = 0$
$x(x - 9) - 5(x - 9) = 0$
$(x - 9)(x - 5) = 0$
આમ,$x = 5$ અથવા $x = 9$.
તેથી બિંદુઓ $(5, 0)$ અને $(9, 0)$ છે.
આવા કુલ $2$ બિંદુઓ છે.

(B) ચતુષ્કોણનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને ચારેય બાજુઓ અને બે વિકર્ણોની લંબાઈ શોધીએ છીએ.
બાજુઓ:
$AB = \sqrt{(7 - 2)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(11 - 7)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(6 - 11)^2 + (-6 - (-1))^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(2 - 6)^2 + (-2 - (-6))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
વિકર્ણો:
$AC = \sqrt{(11 - 2)^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{9^2 + 1^2} = \sqrt{81 + 1} = \sqrt{82}$
$BD = \sqrt{(6 - 7)^2 + (-6 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82}$
અહીં,સામસામેની બાજુઓ સમાન છે ($AB = CD$ અને $BC = DA$) અને વિકર્ણો પણ સમાન છે $(AC = BD)$,તેથી આ ચતુષ્કોણ એક લંબચોરસ છે.

(B) અંતર સૂત્ર મુજબ,બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(-3, -14)$ અને $B(a, -5)$ છે અને અંતર $d = 9$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$9 = \sqrt{(a - (-3))^2 + (-5 - (-14))^2}$
$9 = \sqrt{(a + 3)^2 + (-5 + 14)^2}$
$9 = \sqrt{(a + 3)^2 + (9)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$81 = (a + 3)^2 + 81$
બંને બાજુથી $81$ બાદ કરતા:
$(a + 3)^2 = 0$
વર્ગમૂળ લેતા:
$a + 3 = 0$
$a = -3$.
આમ,$a$ ની જરૂરી કિંમત $-3$ છે.

(D) ધારો કે $P(h, k)$ એ $A(-5, 4)$ અને $B(-1, 6)$ થી સમાન અંતરે આવેલું બિંદુ છે.
અંતર સૂત્ર મુજબ,$PA = PB$,જેનો અર્થ છે કે $PA^2 = PB^2$.
$(-5 - h)^2 + (4 - k)^2 = (-1 - h)^2 + (6 - k)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$25 + h^2 + 10h + 16 + k^2 - 8k = 1 + h^2 + 2h + 36 + k^2 - 12k$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$10h - 2h - 8k + 12k + 41 - 37 = 0$
$8h + 4k + 4 = 0$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$2h + k + 1 = 0$
આ રેખાખંડ $AB$ ના લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ છે. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $A$ અને $B$ થી સમાન અંતરે હશે. એક રેખા પર અસંખ્ય બિંદુઓ આવેલા હોવાથી,આવા અસંખ્ય બિંદુઓ શક્ય છે.
$h$ અને $k$ ને $x$ અને $y$ દ્વારા બદલતા,આવા તમામ બિંદુઓનો બિંદુપથ $2x + y + 1 = 0$ છે.

(N/A) બિંદુઓ $A(-5, -2)$ અને $B(4, -2)$ છે.
બંને બિંદુઓના $y$-યામ સમાન $(-2)$ હોવાથી,રેખાખંડ $AB$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર સમક્ષિતિજ રેખા છે.
સમક્ષિતિજ રેખાનો લંબદ્વિભાજક એ રેખાખંડના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $R = \left(\frac{-5+4}{2}, \frac{-2-2}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, -2\right)$ છે.
લંબદ્વિભાજક એ શિરોલંબ રેખા $x = -\frac{1}{2}$ છે.
બિંદુ $Q$ એ $x$-અક્ષ પર આવેલું છે,તેથી તેનો $y$-યામ $0$ છે. તે લંબદ્વિભાજક $x = -\frac{1}{2}$ પર આવેલું હોવાથી,$Q$ ના યામ $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ છે.
ત્રિકોણ $QAB$ ને ઓળખવા માટે,આપણે બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = \sqrt{(4 - (-5))^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{9^2 + 0^2} = 9$.
$QA = \sqrt{(-5 - (-0.5))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(-4.5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20.25 + 4} = \sqrt{24.25}$.
$QB = \sqrt{(4 - (-0.5))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(4.5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20.25 + 4} = \sqrt{24.25}$.
અહીં $QA = QB$ હોવાથી,ત્રિકોણ $QAB$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(5, 1)$,$B(-2, -3)$ અને $C(8, 2m)$ છે.
આપેલ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ થાય.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$.
આપેલ યામો મૂકતા:
$\frac{1}{2} |5(-3 - 2m) + (-2)(2m - 1) + 8(1 - (-3))| = 0$
$5(-3 - 2m) - 2(2m - 1) + 8(4) = 0$
$-15 - 10m - 4m + 2 + 32 = 0$
$-14m + 19 = 0$
$14m = 19$
$m = \frac{19}{14}$

(N/A) પ્રશ્ન મુજબ,બિંદુ $A (2, -4)$ એ $P (3, 8)$ અને $Q (-10, y)$ થી સમાન અંતરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $PA = QA$.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{(2 - 3)^2 + (-4 - 8)^2} = \sqrt{(2 - (-10))^2 + (-4 - y)^2}$
$\sqrt{(-1)^2 + (-12)^2} = \sqrt{(12)^2 + (-(4 + y))^2}$
$\sqrt{1 + 144} = \sqrt{144 + (4 + y)^2}$
$\sqrt{145} = \sqrt{144 + 16 + 8y + y^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$145 = 160 + 8y + y^2$
$y^2 + 8y + 15 = 0$
$(y + 5)(y + 3) = 0$
તેથી,$y = -5$ અથવા $y = -3$.
હવે,$PQ$ નું અંતર શોધતા: $PQ = \sqrt{(-10 - 3)^2 + (y - 8)^2} = \sqrt{(-13)^2 + (y - 8)^2} = \sqrt{169 + (y - 8)^2}$.
$y = -3$ માટે,$PQ = \sqrt{169 + (-3 - 8)^2} = \sqrt{169 + 121} = \sqrt{290}$.
$y = -5$ માટે,$PQ = \sqrt{169 + (-5 - 8)^2} = \sqrt{169 + 169} = \sqrt{338} = 13\sqrt{2}$.