Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Hindi

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
दिए गए बिंदु $(2, -2)$ और $(-1, x)$ हैं और दूरी $d = 5$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$5 = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (x - (-2))^2}$
$5 = \sqrt{(-3)^2 + (x + 2)^2}$
$5 = \sqrt{9 + (x^2 + 4x + 4)}$
$5 = \sqrt{x^2 + 4x + 13}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$25 = x^2 + 4x + 13$
$x^2 + 4x - 12 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x + 6)(x - 2) = 0$
अतः,$x = -6$ या $x = 2$ है।
इसलिए,$x$ का एक संभावित मान $2$ है।

(B) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु का सूत्र $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ है।
दिए गए बिंदु $A(-2, 8)$ और $B(-6, -4)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
मध्य-बिंदु $= \left(\frac{-2 + (-6)}{2}, \frac{8 + (-4)}{2}\right)$
मध्य-बिंदु $= \left(\frac{-8}{2}, \frac{4}{2}\right)$
मध्य-बिंदु $= (-4, 2)$.

(C) आकृति निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$AB = \sqrt{(9-9)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6$
$BC = \sqrt{(-9-9)^2 + (6-6)^2} = \sqrt{(-18)^2 + 0^2} = 18$
$CD = \sqrt{(-9-(-9))^2 + (0-6)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = 6$
$DA = \sqrt{(9-(-9))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{18^2 + 0^2} = 18$
चूंकि सम्मुख भुजाएं बराबर हैं ($AB = CD = 6$ और $BC = DA = 18$) और आसन्न भुजाएं लंबवत हैं (क्योंकि भुजाएं निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं),इसलिए यह आकृति एक आयत है।

(D) हम जानते हैं कि कार्तीय तल (Cartesian plane) में किसी भी बिंदु $P(x, y)$ के लिए:
$1$. बिंदु की $y$-अक्ष से लंबवत दूरी उसके $x$-निर्देशांक (भुज) के निरपेक्ष मान के बराबर होती है,अर्थात $|x|$।
$2$. बिंदु की $x$-अक्ष से लंबवत दूरी उसके $y$-निर्देशांक (कोटि) के निरपेक्ष मान के बराबर होती है,अर्थात $|y|$।
बिंदु $P(2, 3)$ के लिए,$x$-निर्देशांक $2$ है और $y$-निर्देशांक $3$ है।
अतः,$x$-अक्ष से बिंदु $P(2, 3)$ की दूरी उसके $y$-निर्देशांक के बराबर,यानी $3$ इकाई होगी।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र है:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
दिए गए बिंदु $A(0, 6)$ और $B(0, -2)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 0, y_1 = 6$ और $x_2 = 0, y_2 = -2$ है।
इन मानों को दूरी सूत्र में रखने पर:
$AB = \sqrt{(0 - 0)^2 + (-2 - 6)^2}$
$AB = \sqrt{0^2 + (-8)^2}$
$AB = \sqrt{64}$
$AB = 8$
अतः,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच की दूरी $8$ इकाई है।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d$ का सूत्र इस प्रकार है:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
यहाँ,बिंदु $P$ $(-6, 8)$ है और मूल बिंदु $O$ $(0, 0)$ है।
अतः,$x_1 = -6, y_1 = 8$ और $x_2 = 0, y_2 = 0$ है।
इन मानों को दूरी के सूत्र में रखने पर:
$PO = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (0 - 8)^2}$
$PO = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2}$
$PO = \sqrt{36 + 64}$
$PO = \sqrt{100}$
$PO = 10$
अतः,बिंदु $P(-6, 8)$ की मूल बिंदु से दूरी $10$ इकाई है।

(C) दो बिंदुओं $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र है:
$d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
यहाँ,$x_{1} = 0, y_{1} = 5$ और $x_{2} = -5, y_{2} = 0$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \sqrt{(-5 - 0)^{2} + (0 - 5)^{2}}$
$d = \sqrt{(-5)^{2} + (-5)^{2}}$
$d = \sqrt{25 + 25}$
$d = \sqrt{50}$
$d = 5 \sqrt{2}$

(D) आयत $AOBC$ में,विकर्ण विपरीत शीर्षों को जोड़ने वाला रेखाखंड है। यहाँ,$AB$ विकर्ण है।
विकर्ण $AB$ की लंबाई बिंदुओं $A (0, 3)$ और $B (5, 0)$ के बीच की दूरी है।
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र है:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
यहाँ,$x_1 = 0, y_1 = 3$ और $x_2 = 5, y_2 = 0$ है।
इन मानों को दूरी सूत्र में रखने पर:
$AB = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 3)^2}$
$AB = \sqrt{(5)^2 + (-3)^2}$
$AB = \sqrt{25 + 9}$
$AB = \sqrt{34}$
अतः,विकर्ण की लंबाई $\sqrt{34}$ है।

(A) त्रिभुज का परिमाप ज्ञात करने के लिए,हम उसकी सभी भुजाओं की लंबाई का योग करते हैं। मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $A(0,4)$,$O(0,0)$ और $B(3,0)$ हैं।
$\triangle AOB$ का परिमाप = उसकी सभी भुजाओं की लंबाई का योग = $d(AO) + d(OB) + d(AB)$.
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ है।
$1$. दूरी $d(AO) = \sqrt{(0-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{0 + 16} = 4$.
$2$. दूरी $d(OB) = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9 + 0} = 3$.
$3$. दूरी $d(AB) = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
परिमाप = $4 + 3 + 5 = 12$.
अतः,त्रिभुज का अभीष्ट परिमाप $12$ है।

(B) $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
यहाँ दिए गए शीर्ष $A(3, 0), B(7, 0)$ और $C(8, 4)$ हैं।
अतः,$x_1 = 3, y_1 = 0, x_2 = 7, y_2 = 0, x_3 = 8, y_3 = 4$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |3(0 - 4) + 7(4 - 0) + 8(0 - 0)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |3(-4) + 7(4) + 8(0)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |-12 + 28 + 0|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |16|$
$\text{क्षेत्रफल} = 8 \text{ वर्ग इकाई}$.
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $8$ है।

(C) माना शीर्ष $A(-4,0), B(4,0),$ और $C(0,3)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$AB = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8$
$BC = \sqrt{(0 - 4)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
$AC = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
चूंकि $BC = AC = 5$,त्रिभुज की दो भुजाएँ समान हैं।
अतः,$\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(D) यदि $P(x, y)$ बिंदुओं $A(x_1, y_1)$ और $B(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m: n$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है,तो विभाजन सूत्र के अनुसार:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$ और $y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}$
यहाँ $x_1 = 7, y_1 = -6, x_2 = 3, y_2 = 4, m = 1$ और $n = 2$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$x = \frac{1(3) + 2(7)}{1 + 2} = \frac{3 + 14}{3} = \frac{17}{3}$
$y = \frac{1(4) + 2(-6)}{1 + 2} = \frac{4 - 12}{3} = -\frac{8}{3}$
अतः,बिंदु $(\frac{17}{3}, -\frac{8}{3})$ प्राप्त होता है।
चूँकि $x$-निर्देशांक धनात्मक है और $y$-निर्देशांक ऋणात्मक है,इसलिए यह बिंदु $IV$ चतुर्थांश में स्थित है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी रेखाखंड का लंब समद्विभाजक उस रेखाखंड के मध्य-बिंदु से होकर गुजरता है।
बिंदुओं $A(-2, -5)$ और $B(2, 5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु,मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
दिए गए निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
मध्य-बिंदु $= \left( \frac{-2 + 2}{2}, \frac{-5 + 5}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}, \frac{0}{2} \right) = (0, 0)$
चूंकि लंब समद्विभाजक रेखाखंड के मध्य-बिंदु से होकर गुजरता है,इसलिए बिंदु $(0, 0)$ लंब समद्विभाजक पर स्थित है।

(B) माना समांतर चतुर्भुज का चौथा शीर्ष $D(x_4, y_4)$ है।
समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है कि विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु के समान होता है।
$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ बिंदुओं वाले रेखाखंड के लिए मध्य-बिंदु का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{-2+8}{2}, \frac{3+3}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{6}{2}\right) = (3,3)$.
$BD$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{6+x_4}{2}, \frac{7+y_4}{2}\right)$.
चूंकि मध्य-बिंदु समान हैं:
$\frac{6+x_4}{2} = 3 \Rightarrow 6+x_4 = 6 \Rightarrow x_4 = 0$.
$\frac{7+y_4}{2} = 3 \Rightarrow 7+y_4 = 6 \Rightarrow y_4 = -1$.
अतः,चौथा शीर्ष $D$ $(0,-1)$ है।

(C) दिया गया है कि बिंदु $P(2,1)$,बिंदुओं $A(4,2)$ और $B(8,4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित है।
सबसे पहले,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके $A(4,2)$ और $P(2,1)$ के बीच की दूरी ज्ञात करते हैं:
$AP = \sqrt{(2 - 4)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
इसके बाद,हम $A(4,2)$ और $B(8,4)$ के बीच की दूरी ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(8 - 4)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
अब,हम $AP$ और $AB$ की तुलना करते हैं:
$AB = 2\sqrt{5} = 2 \times (\sqrt{5}) = 2 AP$.
इसलिए,$AP = \frac{1}{2} AB$.
अतः,सही शर्त $AP = \frac{1}{2} AB$ है।

(D) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के लिए मध्य-बिंदु का सूत्र $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$ होता है।
दिए गए बिंदु $Q(-6, 5)$ और $R(-2, 3)$ हैं।
$QR$ का मध्य-बिंदु $P$ ज्ञात करने पर:
$P = (\frac{-6 + (-2)}{2}, \frac{5 + 3}{2}) = (\frac{-8}{2}, \frac{8}{2}) = (-4, 4)$.
हमें दिया गया है कि $P = (\frac{a}{3}, 4)$.
$P$ के निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$\frac{a}{3} = -4$
$a = -4 \times 3$
$a = -12$.
अतः,$a$ का मान $-12$ है।

(A) $1$. रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु $P$ ज्ञात करें:
$P = \left( \frac{1+4}{2}, \frac{5+6}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{11}{2} \right)$
$2$. रेखाखंड $AB$ की ढाल $(m_{AB})$ ज्ञात करें:
$m_{AB} = \frac{6-5}{4-1} = \frac{1}{3}$
$3$. लंब समद्विभाजक की ढाल $(m_{\perp})$,$m_{AB}$ का ऋणात्मक व्युत्क्रम है:
$m_{\perp} = -\frac{1}{m_{AB}} = -3$
$4$. लंब समद्विभाजक का समीकरण ज्ञात करने के लिए बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करें:
$y - y_1 = m_{\perp}(x - x_1)$
$y - \frac{11}{2} = -3(x - \frac{5}{2})$
$y - \frac{11}{2} = -3x + \frac{15}{2}$
$y = -3x + \frac{15}{2} + \frac{11}{2}$
$y = -3x + \frac{26}{2}$
$y = -3x + 13$
$5$. यह $y$-अक्ष को कहाँ काटता है,यह जानने के लिए $x = 0$ रखें:
$y = -3(0) + 13 = 13$
अतः,लंब समद्विभाजक $y$-अक्ष को $(0, 13)$ पर काटता है।

(B) माना कि बिंदु $P(h, k)$ तीनों शीर्षों $O(0, 0)$,$A(0, 2y)$ और $B(2x, 0)$ से समान दूरी पर स्थित है।
अतः,$PO = PA = PB$.
$\Rightarrow (PO)^2 = (PA)^2 = (PB)^2$ ..........$(i)$
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$[\sqrt{(h-0)^2 + (k-0)^2}]^2 = [\sqrt{(h-0)^2 + (k-2y)^2}]^2 = [\sqrt{(h-2x)^2 + (k-0)^2}]^2$
$\Rightarrow h^2 + k^2 = h^2 + (k-2y)^2 = (h-2x)^2 + k^2$
पहले दो भागों को लेने पर:
$h^2 + k^2 = h^2 + (k-2y)^2$
$k^2 = k^2 + 4y^2 - 4yk$
$4y(y - k) = 0 \Rightarrow k = y$ (चूंकि $y \neq 0$).
पहले और तीसरे भाग को लेने पर:
$h^2 + k^2 = (h-2x)^2 + k^2$
$h^2 = h^2 + 4x^2 - 4xh$
$4x(x - h) = 0 \Rightarrow h = x$ (चूंकि $x \neq 0$).
अतः,अभीष्ट बिंदु $(h, k) = (x, y)$ है।

(C) वृत्त का केंद्र $(0,0)$ है और यह बिंदु $\left(\frac{13}{2}, 0\right)$ से होकर गुजरता है।
अतः,वृत्त की त्रिज्या $r$,$(0,0)$ और $\left(\frac{13}{2}, 0\right)$ के बीच की दूरी है।
$r = \sqrt{\left(\frac{13}{2}-0\right)^{2} + (0-0)^{2}} = \sqrt{\left(\frac{13}{2}\right)^{2}} = \frac{13}{2} = 6.5$.
कोई बिंदु $(x, y)$ वृत्त के आंतरिक भाग में स्थित होता है यदि केंद्र से उसकी दूरी $r$ से कम हो,वृत्त पर स्थित होता है यदि दूरी $r$ के बराबर हो,और बाहर स्थित होता है यदि दूरी $r$ से अधिक हो।
$(a)$ $\left(-\frac{3}{4}, 1\right)$ की $(0,0)$ से दूरी $= \sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{\frac{9}{16} + 1} = \sqrt{\frac{25}{16}} = 1.25 < 6.5$. (आंतरिक)
$(b)$ $\left(2, \frac{7}{3}\right)$ की $(0,0)$ से दूरी $= \sqrt{2^{2} + \left(\frac{7}{3}\right)^{2}} = \sqrt{4 + \frac{49}{9}} = \sqrt{\frac{85}{9}} \approx 3.07 < 6.5$. (आंतरिक)
$(c)$ $\left(-6, \frac{5}{2}\right)$ की $(0,0)$ से दूरी $= \sqrt{(-6)^{2} + \left(\frac{5}{2}\right)^{2}} = \sqrt{36 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{144+25}{4}} = \sqrt{\frac{169}{4}} = \frac{13}{2} = 6.5$. (वृत्त पर)
$(d)$ $\left(5, -\frac{1}{2}\right)$ की $(0,0)$ से दूरी $= \sqrt{5^{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)^{2}} = \sqrt{25 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{101}{4}} \approx 5.02 < 6.5$. (आंतरिक)
अतः,बिंदु $\left(-6, \frac{5}{2}\right)$ वृत्त के आंतरिक भाग में स्थित नहीं है।

(D) माना कि $P$ के निर्देशांक $(0, y)$ और $Q$ के निर्देशांक $(x, 0)$ हैं।
$P(0, y)$ और $Q(x, 0)$ का मध्य-बिंदु ज्ञात करने का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ है।
अतः,मध्य-बिंदु $M$ होगा $\left(\frac{0+x}{2}, \frac{y+0}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)$।
हमें दिया गया है कि $PQ$ का मध्य-बिंदु $(2, -5)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x}{2} = 2 \Rightarrow x = 4$
$\frac{y}{2} = -5 \Rightarrow y = -10$
अतः,$P$ के निर्देशांक $(0, -10)$ और $Q$ के निर्देशांक $(4, 0)$ हैं।

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1) = (a, b+c)$,$B(x_2, y_2) = (b, c+a)$ और $C(x_3, y_3) = (c, a+b)$ हैं।
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए निर्देशांकों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} |a(c+a - (a+b)) + b(a+b - (b+c)) + c(b+c - (c+a))|$
कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} |a(c-b) + b(a-c) + c(b-a)|$
पदों का विस्तार करने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} |ac - ab + ab - bc + bc - ac|$
सभी पद कट जाते हैं:
$\Delta = \frac{1}{2} |0| = 0$
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ है।

(B) दूरी सूत्र के अनुसार,दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदु $(4, p)$ और $(1, 0)$ हैं और दूरी $d = 5$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$5 = \sqrt{(1 - 4)^2 + (0 - p)^2}$
$5 = \sqrt{(-3)^2 + (-p)^2}$
$5 = \sqrt{9 + p^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$25 = 9 + p^2$
$p^2 = 25 - 9$
$p^2 = 16$
$p = \pm \sqrt{16}$
$p = \pm 4$
अतः,$p$ का मान $\pm 4$ है।

(C) माना कि दिए गए बिंदु $A(x_1, y_1) = (1, 2)$,$O(x_2, y_2) = (0, 0)$ और $C(x_3, y_3) = (a, b)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,इसलिए इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ है।
दिए गए निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0 = \frac{1}{2} |1(0 - b) + 0(b - 2) + a(2 - 0)|$.
$0 = \frac{1}{2} |-b + 0 + 2a|$.
$0 = \frac{1}{2} |2a - b|$.
इसका अर्थ है कि $2a - b = 0$,या $2a = b$.
अतः,आवश्यक संबंध $2a = b$ है।

(A) यह कथन सत्य है।
एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होता है यदि उसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका मध्य-बिंदु समान होता है।
$1$. विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु:
मध्य-बिंदु $= (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) = (\frac{-1 + 2}{2}, \frac{0 + 2}{2}) = (\frac{1}{2}, 1)$.
$2$. विकर्ण $BD$ का मध्य-बिंदु:
मध्य-बिंदु $= (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) = (\frac{3 - 2}{2}, \frac{1 + 1}{2}) = (\frac{1}{2}, 1)$.
चूंकि दोनों विकर्णों $AC$ और $BD$ के मध्य-बिंदु समान $(\frac{1}{2}, 1)$ हैं,इसलिए विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। अतः,बिंदु $A, B, C$ और $D$ एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं।

(B) असत्य।
यह जाँचने के लिए कि बिंदु $A(4,5), B(7,6)$ और $C(6,3)$ संरेख हैं या नहीं,हम इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करते हैं:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |4(6 - 3) + 7(3 - 5) + 6(5 - 6)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |4(3) + 7(-2) + 6(-1)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |12 - 14 - 6|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-8| = 4 \text{ वर्ग इकाई}$।
चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ नहीं है,इसलिए बिंदु संरेख नहीं हैं।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
$1$. $y$-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक $(0, y)$ होते हैं। बिंदु $P (0, -7)$,$y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए यह पहली शर्त को पूरा करता है।
$2$. $P$ के $AB$ के लंब समद्विभाजक पर होने के लिए,इसे $A (-1, 0)$ और $B (7, -6)$ से समान दूरी पर होना चाहिए।
$3$. दूरी $PA = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (-7 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$ इकाई।
$4$. दूरी $PB = \sqrt{(0 - 7)^2 + (-7 - (-6))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$ इकाई।
$5$. चूँकि $PA = PB$ है,इसलिए बिंदु $P$,$AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है। अतः,यह कथन सत्य है।

(TRUE) सत्य।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$\triangle ABC$ के लिए:
$AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4$
$BC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$AC = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$\triangle DEF$ के लिए:
$DE = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8$
$EF = \sqrt{(0 - 4)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$DF = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
संगत भुजाओं के अनुपातों की तुलना करने पर:
$\frac{AB}{DE} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$\frac{BC}{EF} = \frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
$\frac{AC}{DF} = \frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = \frac{1}{2}$,इसलिए $SSS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ है।

(TRUE) सत्य।
विश्लेषणात्मक औचित्य:
$1$. बिंदुओं $A (-4, 6)$ और $B (-4, -6)$ का $x$-निर्देशांक समान है,जो $-4$ है। इसका अर्थ है कि रेखाखंड $AB$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है जिसे समीकरण $x = -4$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$2$. बिंदु $P (-4, 2)$ का $x$-निर्देशांक भी $-4$ है,इसलिए यह रेखा $x = -4$ पर स्थित है।
$3$. $P$ के रेखाखंड $AB$ पर स्थित होने के लिए,इसका $y$-निर्देशांक $A$ और $B$ के $y$-निर्देशांकों के बीच होना चाहिए। $A$ और $B$ के $y$-निर्देशांक क्रमशः $6$ और $-6$ हैं।
$4$. चूंकि $-6 < 2 < 6$,इसलिए बिंदु $P$,रेखाखंड $AB$ पर $A$ और $B$ के बीच स्थित है।

(B) असत्य।
मान लीजिए बिंदु $A(0, 5)$,$B(0, -9)$ और $C(3, 6)$ हैं।
बिंदुओं के संरेख होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
$(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ और $(x_{3}, y_{3})$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_{1}(y_{2} - y_{3}) + x_{2}(y_{3} - y_{1}) + x_{3}(y_{1} - y_{2})|$
मान $x_{1}=0, y_{1}=5, x_{2}=0, y_{2}=-9, x_{3}=3, y_{3}=6$ रखने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} |0(-9 - 6) + 0(6 - 5) + 3(5 - (-9))|$
$\Delta = \frac{1}{2} |0 + 0 + 3(5 + 9)|$
$\Delta = \frac{1}{2} |3 \times 14| = \frac{42}{2} = 21$
चूंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल $21 \neq 0$ है,इसलिए बिंदु संरेख नहीं हैं।

(B) असत्य।
हम जानते हैं कि किसी रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु उस रेखाखंड के अंत बिंदुओं से समान दूरी पर होता है।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके बिंदु $P(0, 2)$ की बिंदुओं $A(-1, 1)$ और $B(3, 3)$ से दूरी ज्ञात करते हैं।
$PA = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
$PB = \sqrt{(0 - 3)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
चूंकि $PA \neq PB$,इसलिए बिंदु $P(0, 2)$ बिंदुओं $A$ और $B$ से समान दूरी पर नहीं है।
अतः,बिंदु $P(0, 2)$ रेखाखंड $AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित नहीं है।

(A) सत्य।
माना निर्देशांक $A(x_1, y_1) = (3, 1)$,$B(x_2, y_2) = (12, -2)$ और $C(x_3, y_3) = (0, 2)$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर उसका क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |3(-2 - 2) + 12(2 - 1) + 0(1 - (-2))|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |3(-4) + 12(1) + 0(3)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |-12 + 12 + 0|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |0| = 0$
चूंकि इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए ये बिंदु संरेख (collinear) हैं (वे एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं)।
अतः,ये बिंदु त्रिभुज नहीं बना सकते हैं। इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।

(B) असत्य।
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या बिंदु एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$AB = \sqrt{(6-4)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(5-6)^2 + (-6-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-10)^2} = \sqrt{1 + 100} = \sqrt{101}$
$CD = \sqrt{(-3-5)^2 + (5 - (-6))^2} = \sqrt{(-8)^2 + 11^2} = \sqrt{64 + 121} = \sqrt{185}$
$DA = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (3-5)^2} = \sqrt{7^2 + (-2)^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}$
एक समांतर चतुर्भुज में,सम्मुख भुजाएँ बराबर होनी चाहिए ($AB = CD$ और $BC = DA$)। चूँकि सभी भुजाएँ असमान हैं,इसलिए दिए गए बिंदु एक समांतर चतुर्भुज नहीं बनाते हैं।

(TRUE) सत्य।
दिया गया है कि वृत्त का केंद्र मूलबिंदु $O(0,0)$ पर है और बिंदु $P(5,0)$ वृत्त पर स्थित है।
वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $O(0,0)$ और वृत्त पर स्थित बिंदु $P(5,0)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$r = OP = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$.
अब,हम केंद्र $O(0,0)$ से बिंदु $Q(6,8)$ की दूरी ज्ञात करते हैं:
$OQ = \sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
हम जानते हैं कि यदि केंद्र से किसी बिंदु की दूरी त्रिज्या से अधिक है,तो वह बिंदु वृत्त के बाहर स्थित होता है।
चूंकि $OQ = 10$ और $r = 5$ है,इसलिए $OQ > r$ है।
अतः,बिंदु $Q(6,8)$ वृत्त के बाहर स्थित है। इसलिए,यह कथन सत्य है।

(B) असत्य।
यदि कोई बिंदु $A$ रेखाखंड $PQ$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है,तो उसे अंत बिंदुओं $P$ और $Q$ से समान दूरी पर होना चाहिए,अर्थात $AP = AQ$ होना चाहिए।
सबसे पहले,दूरी सूत्र $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके दूरी $AP$ की गणना करें:
$AP = \sqrt{(6-2)^2 + (5-7)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$।
इसके बाद,दूरी $AQ$ की गणना करें:
$AQ = \sqrt{(0-2)^2 + (-4-7)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-11)^2} = \sqrt{4 + 121} = \sqrt{125}$।
चूंकि $AP \neq AQ$ है (क्योंकि $\sqrt{20} \neq \sqrt{125}$),इसलिए बिंदु $A (2,7)$ रेखाखंड $PQ$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित नहीं है।

(A) सत्य।
मान लीजिए कि बिंदु $P(5, -3)$,बिंदुओं $A(7, -2)$ और $B(1, -5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र के अनुसार,बिंदु $P$ के निर्देशांक होंगे:
$\left( \frac{k(1) + 1(7)}{k + 1}, \frac{k(-5) + 1(-2)}{k + 1} \right) = \left( \frac{k + 7}{k + 1}, \frac{-5k - 2}{k + 1} \right)$.
इन्हें $P(5, -3)$ के निर्देशांकों के साथ बराबर रखने पर:
$\frac{k + 7}{k + 1} = 5 \implies k + 7 = 5k + 5 \implies 2 = 4k \implies k = \frac{1}{2}$.
$k = \frac{1}{2}$ के साथ $y$-निर्देशांक की जाँच करने पर:
$\frac{-5(1/2) - 2}{1/2 + 1} = \frac{-2.5 - 2}{1.5} = \frac{-4.5}{1.5} = -3$.
चूँकि अनुपात $1: 2$ है,बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ को इस प्रकार विभाजित करता है कि यह समत्रिभाजन के दो बिंदुओं में से एक है (दूसरा बिंदु $2: 1$ के अनुपात में होगा)। अतः,कथन सत्य है।

(A) सत्य।
सबसे पहले,हम यह जांचते हैं कि क्या बिंदु संरेख हैं,इसके लिए हम उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
यहाँ,$x_1 = -6, x_2 = -4, x_3 = 3$ और $y_1 = 10, y_2 = 6, y_3 = -8$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} | -6(6 - (-8)) + (-4)(-8 - 10) + 3(10 - 6) |$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} | -6(14) + (-4)(-18) + 3(4) |$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} | -84 + 72 + 12 | = \frac{1}{2} | 0 | = 0$.
चूंकि क्षेत्रफल $0$ है,इसलिए बिंदु संरेख हैं।
अब,दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके $AB$ और $AC$ की दूरी ज्ञात करते हैं।
$AB = \sqrt{(-4 - (-6))^2 + (6 - 10)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$AC = \sqrt{(3 - (-6))^2 + (-8 - 10)^2} = \sqrt{9^2 + (-18)^2} = \sqrt{81 + 324} = \sqrt{405} = 9\sqrt{5}$.
अब,संबंध $AB = \frac{2}{9} AC$ की जांच करते हैं:
$\frac{2}{9} AC = \frac{2}{9} \times 9\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
चूंकि $AB = 2\sqrt{5}$ है,इसलिए यह संबंध सत्य है।

(B) असत्य।
एक बिंदु वृत्त पर तभी स्थित होता है जब उस बिंदु और वृत्त के केंद्र के बीच की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर हो।
मान लीजिए केंद्र $C(3, 5)$ है और बिंदु $P(-2, 4)$ है। दूरी सूत्र का उपयोग करके $CP$ की दूरी की गणना करते हैं:
$CP = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$CP = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (5 - 4)^2}$
$CP = \sqrt{(3 + 2)^2 + (1)^2}$
$CP = \sqrt{5^2 + 1^2}$
$CP = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$
चूंकि $\sqrt{26} \neq 6$,इसलिए बिंदु $P$ और केंद्र $C$ के बीच की दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर नहीं है।
अतः,बिंदु $P(-2, 4)$ वृत्त पर स्थित नहीं है।

(A) सत्य।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$1$. भुजाओं की लंबाई:
$AB = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(2 - 4)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
चूंकि सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं ($AB = CD$ और $BC = DA$),यह एक समांतर चतुर्भुज है।
$2$. विकर्णों की लंबाई:
$AC = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (5 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$
$BD = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$
चूंकि विकर्ण बराबर हैं $(AC = BD)$,इसलिए यह समांतर चतुर्भुज एक आयत है।

(C) बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु का सूत्र $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ होता है।
दिए गए बिंदु $A (3, 4)$ और $B (k, 6)$ हैं।
अतः,मध्य-बिंदु $P (x, y) = (\frac{3+k}{2}, \frac{4+6}{2}) = (\frac{3+k}{2}, 5).$
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें $x = \frac{3+k}{2}$ और $y = 5$ प्राप्त होता है।
हमें समीकरण $x+y-10=0$ दिया गया है।
समीकरण में $x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{3+k}{2} + 5 - 10 = 0$
$\frac{3+k}{2} - 5 = 0$
$\frac{3+k}{2} = 5$
$3+k = 10$
$k = 10 - 3$
$k = 7.$

(D) माना शीर्ष $B$ और $C$ के निर्देशांक क्रमशः $(a, b)$ और $(x, y)$ हैं।
भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु $(2, -1)$ दिया गया है। अतः,$\left(\frac{1+a}{2}, \frac{-4+b}{2}\right) = (2, -1)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें $1+a = 4 \implies a = 3$ और $-4+b = -2 \implies b = 2$ प्राप्त होता है। अतः,$B = (3, 2)$.
भुजा $AC$ का मध्य-बिंदु $(0, -1)$ दिया गया है। अतः,$\left(\frac{1+x}{2}, \frac{-4+y}{2}\right) = (0, -1)$.
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें $1+x = 0 \implies x = -1$ और $-4+y = -2 \implies y = 2$ प्राप्त होता है। अतः,$C = (-1, 2)$.
$\triangle ABC$ के शीर्ष $A(1, -4)$,$B(3, 2)$ और $C(-1, 2)$ हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |1(2 - 2) + 3(2 - (-4)) + (-1)(-4 - 2)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + 3(6) - 1(-6)| = \frac{1}{2} |18 + 6| = \frac{24}{2} = 12$ $sq. units$.

(A) दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$PQ = \sqrt{(-\sqrt{2} - \sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$
$PR = \sqrt{(-\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 + (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{(6 + 2 + 2\sqrt{12}) + (6 + 2 - 2\sqrt{12})} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$
$RQ = \sqrt{(-\sqrt{6} - (-\sqrt{2}))^2 + (\sqrt{6} - (-\sqrt{2}))^2} = \sqrt{(-\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{6} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{(6 + 2 - 2\sqrt{12}) + (6 + 2 + 2\sqrt{12})} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$
चूँकि $PQ = PR = RQ = 4$,तीनों भुजाएँ समान हैं। अतः,त्रिभुज $PQR$ एक समबाहु त्रिभुज है।

(N/A) माना कि शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
हम जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
इसलिए,विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु,विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु के बराबर होता है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right)$ है।
$BD$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{x_{2}+x}{2}, \frac{y_{2}+y}{2}\right)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x_{1}+x_{3}}{2} = \frac{x_{2}+x}{2} \implies x_{1}+x_{3} = x_{2}+x \implies x = x_{1}+x_{3}-x_{2}$.
$\frac{y_{1}+y_{3}}{2} = \frac{y_{2}+y}{2} \implies y_{1}+y_{3} = y_{2}+y \implies y = y_{1}+y_{3}-y_{2}$.
अतः,शीर्ष $D$ के निर्देशांक $(x_{1}+x_{3}-x_{2}, y_{1}+y_{3}-y_{2})$ हैं।

(C) त्रिभुज का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$1$. भुजा $AB$ की लंबाई:
$AB = \sqrt{(-4 - (-5))^2 + (-2 - 6)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}$ इकाई।
$2$. भुजा $BC$ की लंबाई:
$BC = \sqrt{(7 - (-4))^2 + (5 - (-2))^2} = \sqrt{(11)^2 + (7)^2} = \sqrt{121 + 49} = \sqrt{170}$ इकाई।
$3$. भुजा $CA$ की लंबाई:
$CA = \sqrt{(-5 - 7)^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{(-12)^2 + (1)^2} = \sqrt{144 + 1} = \sqrt{145}$ इकाई।
चूंकि $AB \neq BC \neq CA$,इसलिए तीनों भुजाओं की लंबाई अलग-अलग है।
अतः,इन बिंदुओं द्वारा बनने वाला त्रिभुज एक विषमबाहु त्रिभुज है।

(A) हम जानते हैं कि $x$-अक्ष पर स्थित प्रत्येक बिंदु $(x, 0)$ के रूप में होता है। मान लीजिए $P(x, 0)$ $x$-अक्ष पर एक ऐसा बिंदु है जो बिंदु $Q(7, -4)$ से $2\sqrt{5}$ की दूरी पर है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
दिया गया है कि $PQ = 2\sqrt{5}$,इसलिए $(PQ)^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20$.
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 7)^2 + (0 - (-4))^2 = 20$
$(x - 7)^2 + (4)^2 = 20$
$x^2 - 14x + 49 + 16 = 20$
$x^2 - 14x + 65 = 20$
$x^2 - 14x + 45 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 9x - 5x + 45 = 0$
$x(x - 9) - 5(x - 9) = 0$
$(x - 9)(x - 5) = 0$
अतः,$x = 5$ या $x = 9$ है।
बिंदु $(5, 0)$ और $(9, 0)$ हैं।
ऐसे $2$ बिंदु हैं।

(B) चतुर्भुज का प्रकार निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करके चारों भुजाओं और दोनों विकर्णों की लंबाई ज्ञात करते हैं।
भुजाएँ:
$AB = \sqrt{(7 - 2)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(11 - 7)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(6 - 11)^2 + (-6 - (-1))^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(2 - 6)^2 + (-2 - (-6))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
विकर्ण:
$AC = \sqrt{(11 - 2)^2 + (-1 - (-2))^2} = \sqrt{9^2 + 1^2} = \sqrt{81 + 1} = \sqrt{82}$
$BD = \sqrt{(6 - 7)^2 + (-6 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82}$
यहाँ,सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं ($AB = CD$ और $BC = DA$) और विकर्ण भी बराबर हैं $(AC = BD)$,इसलिए यह चतुर्भुज एक आयत है।

(B) दूरी सूत्र के अनुसार,दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए बिंदु $A(-3, -14)$ और $B(a, -5)$ हैं और दूरी $d = 9$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$9 = \sqrt{(a - (-3))^2 + (-5 - (-14))^2}$
$9 = \sqrt{(a + 3)^2 + (-5 + 14)^2}$
$9 = \sqrt{(a + 3)^2 + (9)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$81 = (a + 3)^2 + 81$
दोनों पक्षों से $81$ घटाने पर:
$(a + 3)^2 = 0$
वर्गमूल लेने पर:
$a + 3 = 0$
$a = -3$.
अतः,$a$ का अभीष्ट मान $-3$ है।

(D) माना $P(h, k)$ एक बिंदु है जो $A(-5, 4)$ और $B(-1, 6)$ से समदूरस्थ है।
दूरी सूत्र के अनुसार,$PA = PB$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2$।
$(-5 - h)^2 + (4 - k)^2 = (-1 - h)^2 + (6 - k)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$25 + h^2 + 10h + 16 + k^2 - 8k = 1 + h^2 + 2h + 36 + k^2 - 12k$
समीकरण को सरल करने पर:
$10h - 2h - 8k + 12k + 41 - 37 = 0$
$8h + 4k + 4 = 0$
$4$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2h + k + 1 = 0$
यह रेखाखंड $AB$ के लंब समद्विभाजक का समीकरण है। इस रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $A$ और $B$ से समदूरस्थ होगा। चूंकि एक रेखा पर अनंत बिंदु होते हैं,इसलिए ऐसे अनंत बिंदु संभव हैं।
$h$ और $k$ को $x$ और $y$ से प्रतिस्थापित करने पर,ऐसे सभी बिंदुओं का बिंदुपथ $2x + y + 1 = 0$ है।

(N/A) बिंदु $A(-5, -2)$ और $B(4, -2)$ हैं।
चूँकि दोनों बिंदुओं के $y$-निर्देशांक समान $(-2)$ हैं,इसलिए रेखाखंड $AB$ एक क्षैतिज रेखा है जो $x$-अक्ष के समांतर है।
एक क्षैतिज रेखा का लंब समद्विभाजक,रेखाखंड के मध्य-बिंदु से होकर गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है।
$AB$ का मध्य-बिंदु $R = \left(\frac{-5+4}{2}, \frac{-2-2}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, -2\right)$ है।
लंब समद्विभाजक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = -\frac{1}{2}$ है।
बिंदु $Q$,$x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ है। चूँकि यह लंब समद्विभाजक $x = -\frac{1}{2}$ पर स्थित है,इसलिए $Q$ के निर्देशांक $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ हैं।
त्रिभुज $QAB$ को पहचानने के लिए,हम भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(4 - (-5))^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{9^2 + 0^2} = 9$.
$QA = \sqrt{(-5 - (-0.5))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(-4.5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20.25 + 4} = \sqrt{24.25}$.
$QB = \sqrt{(4 - (-0.5))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(4.5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20.25 + 4} = \sqrt{24.25}$.
चूँकि $QA = QB$ है,इसलिए त्रिभुज $QAB$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(A) माना बिंदु $A(5, 1)$,$B(-2, -3)$ और $C(8, 2m)$ हैं।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,इसलिए उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ होगा।
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र: $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$.
दिए गए निर्देशांकों को रखने पर:
$\frac{1}{2} |5(-3 - 2m) + (-2)(2m - 1) + 8(1 - (-3))| = 0$
$5(-3 - 2m) - 2(2m - 1) + 8(4) = 0$
$-15 - 10m - 4m + 2 + 32 = 0$
$-14m + 19 = 0$
$14m = 19$
$m = \frac{19}{14}$

(N/A) प्रश्न के अनुसार,बिंदु $A (2, -4)$,$P (3, 8)$ और $Q (-10, y)$ से समदूरस्थ है।
इसका अर्थ है कि $PA = QA$ है।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{(2 - 3)^2 + (-4 - 8)^2} = \sqrt{(2 - (-10))^2 + (-4 - y)^2}$
$\sqrt{(-1)^2 + (-12)^2} = \sqrt{(12)^2 + (-(4 + y))^2}$
$\sqrt{1 + 144} = \sqrt{144 + (4 + y)^2}$
$\sqrt{145} = \sqrt{144 + 16 + 8y + y^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$145 = 160 + 8y + y^2$
$y^2 + 8y + 15 = 0$
$(y + 5)(y + 3) = 0$
अतः,$y = -5$ या $y = -3$ है।
अब,$PQ$ की दूरी ज्ञात करने पर: $PQ = \sqrt{(-10 - 3)^2 + (y - 8)^2} = \sqrt{(-13)^2 + (y - 8)^2} = \sqrt{169 + (y - 8)^2}$।
$y = -3$ के लिए,$PQ = \sqrt{169 + (-3 - 8)^2} = \sqrt{169 + 121} = \sqrt{290}$।
$y = -5$ के लिए,$PQ = \sqrt{169 + (-5 - 8)^2} = \sqrt{169 + 169} = \sqrt{338} = 13\sqrt{2}$।