Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Gujarati

(C) આપેલ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (-8, 4)$,$(x_2, y_2) = (-6, 6)$ અને $(x_3, y_3) = (-3, 9)$ છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
આ સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-8(6 - 9) + (-6)(9 - 4) + (-3)(4 - 6)|$
$= \frac{1}{2} |-8(-3) - 6(5) - 3(-2)|$
$= \frac{1}{2} |24 - 30 + 6|$
$= \frac{1}{2} |30 - 30| = \frac{1}{2}(0) = 0$
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ છે,જે દર્શાવે છે કે આપેલા બિંદુઓ સમરેખ છે.

(6:7) ધારો કે જરૂરી ગુણોત્તર $\lambda : 1$ છે. બિંદુઓ $A(-4, -6)$ અને $B(-1, 7)$ ને જોડતા રેખાખંડનું વિભાજન કરતા બિંદુ $M$ ના યામ વિભાજન સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\left( \frac{\lambda x_2 + 1 \cdot x_1}{\lambda + 1}, \frac{\lambda y_2 + 1 \cdot y_1}{\lambda + 1} \right)$
કિંમતો $x_1 = -4, x_2 = -1, y_1 = -6, y_2 = 7$ મૂકતા:
$\left( \frac{\lambda(-1) + 1(-4)}{\lambda + 1}, \frac{\lambda(7) + 1(-6)}{\lambda + 1} \right) = \left( \frac{-\lambda - 4}{\lambda + 1}, \frac{7\lambda - 6}{\lambda + 1} \right)$
રેખાખંડનું વિભાજન $x$-અક્ષ દ્વારા થતું હોવાથી,વિભાજન બિંદુનો $y$-યામ $0$ હોવો જોઈએ:
$\frac{7\lambda - 6}{\lambda + 1} = 0 \implies 7\lambda - 6 = 0 \implies \lambda = \frac{6}{7}$
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $6:7$ છે.
હવે,$\lambda = \frac{6}{7}$ ને $x$-યામના સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{-\frac{6}{7} - 4}{\frac{6}{7} + 1} = \frac{-\frac{34}{7}}{\frac{13}{7}} = -\frac{34}{13}$
તેથી,વિભાજન બિંદુ $\left( -\frac{34}{13}, 0 \right)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P \left(\frac{3}{4}, \frac{5}{12}\right)$ એ $A \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ અને $B(2, -5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left(\frac{k(2) + 1(\frac{1}{2})}{k+1}, \frac{k(-5) + 1(\frac{3}{2})}{k+1}\right)$
$x$-યામને સરખાવતા:
$\frac{3}{4} = \frac{2k + \frac{1}{2}}{k+1}$
$3(k+1) = 4(2k + \frac{1}{2})$
$3k + 3 = 8k + 2$
$3 - 2 = 8k - 3k$
$1 = 5k$
$k = \frac{1}{5}$
આમ,ગુણોત્તર $k: 1$ એ $\frac{1}{5}: 1$ એટલે કે $1: 5$ છે.
$y$-યામ સાથે ચકાસણી કરતા:
$y = \frac{-5(\frac{1}{5}) + \frac{3}{2}}{\frac{1}{5} + 1} = \frac{-1 + \frac{3}{2}}{\frac{6}{5}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{6}{5}} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{12}$.
આ આપેલ $y$-યામ સાથે સુસંગત હોવાથી,માંગેલ ગુણોત્તર $1: 5$ છે.

(B) આપેલ છે કે બિંદુ $P(9a-2, -b)$ એ $A(3a+1, -3)$ અને $B(8a, 5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m_1:m_2 = 3:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$P(x, y) = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1+m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1+m_2} \right)$
$x$-યામને સરખાવતા:
$9a - 2 = \frac{3(8a) + 1(3a+1)}{3+1}$
$9a - 2 = \frac{24a + 3a + 1}{4}$
$4(9a - 2) = 27a + 1$
$36a - 8 = 27a + 1$
$36a - 27a = 1 + 8$
$9a = 9 \implies a = 1$
$y$-યામને સરખાવતા:
$-b = \frac{3(5) + 1(-3)}{3+1}$
$-b = \frac{15 - 3}{4}$
$-b = \frac{12}{4}$
$-b = 3 \implies b = -3$
આમ,$a = 1$ અને $b = -3$ મળે છે.

(D) કારણ કે $(a, b)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી આપણે મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
$(a, b) = \left(\frac{10 + k}{2}, \frac{-6 + 4}{2}\right)$
$(a, b) = \left(\frac{10 + k}{2}, -1\right)$
યામોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = \frac{10 + k}{2}$ ... $(i)$
$b = -1$ ... $(ii)$
આપેલ સમીકરણ $a - 2b = 18$ માં $b = -1$ મૂકતા:
$a - 2(-1) = 18$
$a + 2 = 18 \Rightarrow a = 16$
હવે,$a = 16$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$16 = \frac{10 + k}{2}$
$32 = 10 + k \Rightarrow k = 22$
આમ,$B$ ના યામ $(22, 4)$ છે.
હવે,અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અંતર $AB$ શોધો:
$AB = \sqrt{(22 - 10)^2 + (4 - (-6))^2}$
$AB = \sqrt{(12)^2 + (10)^2}$
$AB = \sqrt{144 + 100} = \sqrt{244}$
$AB = 2\sqrt{61}$ એકમ.

(A-D) આપેલ છે કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2a, a-7)$ છે અને તે બિંદુ $P(11, -9)$ માંથી પસાર થાય છે.
કેન્દ્ર $C$ અને વર્તુળ પરના બિંદુ $P$ વચ્ચેનું અંતર એ ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોય છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$r = \sqrt{(11 - 2a)^2 + (-9 - (a - 7))^2} = \sqrt{(11 - 2a)^2 + (-2 - a)^2}$.
વર્તુળનો વ્યાસ $10\sqrt{2}$ એકમ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ એકમ થાય.
ત્રિજ્યા માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$5\sqrt{2} = \sqrt{(11 - 2a)^2 + (-2 - a)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(5\sqrt{2})^2 = (11 - 2a)^2 + (-2 - a)^2$
$50 = (121 - 44a + 4a^2) + (4 + 4a + a^2)$
$50 = 5a^2 - 40a + 125$
$5a^2 - 40a + 75 = 0$.
$5$ વડે ભાગતા:
$a^2 - 8a + 15 = 0$
$a^2 - 5a - 3a + 15 = 0$
$a(a - 5) - 3(a - 5) = 0$
$(a - 5)(a - 3) = 0$.
તેથી,$a$ ની કિંમતો $a = 5$ અથવા $a = 3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે બિંદુઓ $A(3, 2)$ અને $B(5, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું બિંદુ $P$ પર $1: 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન થાય છે.
વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$
કિંમતો $m_1 = 1, m_2 = 2, x_1 = 3, y_1 = 2, x_2 = 5, y_2 = 1$ મૂકતા:
$P = \left( \frac{1(5) + 2(3)}{1 + 2}, \frac{1(1) + 2(2)}{1 + 2} \right) = \left( \frac{5 + 6}{3}, \frac{1 + 4}{3} \right) = \left( \frac{11}{3}, \frac{5}{3} \right)$
બિંદુ $P\left( \frac{11}{3}, \frac{5}{3} \right)$ એ રેખા $3x - 18y + k = 0$ પર આવેલું હોવાથી,તે આ સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$3\left( \frac{11}{3} \right) - 18\left( \frac{5}{3} \right) + k = 0$
$11 - 6(5) + k = 0$
$11 - 30 + k = 0$
$-19 + k = 0$
$k = 19$
આમ,$k$ ની જરૂરી કિંમત $19$ છે.

(B) ધારો કે $A=(x_1, y_1)$,$B=(x_2, y_2)$ અને $C=(x_3, y_3)$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે.
આપેલ છે કે $D\left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$,$E(7, 3)$ અને $F\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right)$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $BC$,$CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$BC$ માટે: $\frac{x_2+x_3}{2} = -\frac{1}{2} \Rightarrow x_2+x_3 = -1$ $(i)$ અને $\frac{y_2+y_3}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow y_2+y_3 = 5$ $(ii)$.
$CA$ માટે: $\frac{x_3+x_1}{2} = 7 \Rightarrow x_3+x_1 = 14$ $(iii)$ અને $\frac{y_3+y_1}{2} = 3 \Rightarrow y_3+y_1 = 6$ $(iv)$.
$AB$ માટે: $\frac{x_1+x_2}{2} = \frac{7}{2} \Rightarrow x_1+x_2 = 7$ $(v)$ અને $\frac{y_1+y_2}{2} = \frac{7}{2} \Rightarrow y_1+y_2 = 7$ $(vi)$.
$(i), (iii), (v)$ નો સરવાળો કરતા: $2(x_1+x_2+x_3) = 20 \Rightarrow x_1+x_2+x_3 = 10$ $(vii)$.
$(vii)$ માંથી $(i), (iii), (v)$ બાદ કરતા $x_1=11, x_2=-4, x_3=3$ મળે છે.
$(ii), (iv), (vi)$ નો સરવાળો કરતા: $2(y_1+y_2+y_3) = 18 \Rightarrow y_1+y_2+y_3 = 9$ $(viii)$.
$(viii)$ માંથી $(ii), (iv), (vi)$ બાદ કરતા $y_1=4, y_2=3, y_3=2$ મળે છે.
શિરોબિંદુઓ $A(11, 4), B(-4, 3), C(3, 2)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
$= \frac{1}{2} |11(3-2) + (-4)(2-4) + 3(4-3)| = \frac{1}{2} |11(1) + (-4)(-2) + 3(1)| = \frac{1}{2} |11+8+3| = \frac{22}{2} = 11$ ચોરસ એકમ.

(A) આપેલ છે કે બિંદુઓ $A(2, 9)$,$B(a, 5)$ અને $C(5, 5)$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે જે $B$ આગળ કાટખૂણો બનાવે છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AC^2 = AB^2 + BC^2$ $(i)$.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(a - 2)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{a^2 - 4a + 4 + 16} = \sqrt{a^2 - 4a + 20}$.
$BC = \sqrt{(5 - a)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{(5 - a)^2} = |5 - a|$.
$AC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
આ કિંમતોને $(i)$ માં મૂકતા:
$5^2 = (\sqrt{a^2 - 4a + 20})^2 + (5 - a)^2$.
$25 = a^2 - 4a + 20 + 25 - 10a + a^2$.
$2a^2 - 14a + 20 = 0$.
$a^2 - 7a + 10 = 0$.
$(a - 2)(a - 5) = 0$.
તેથી,$a = 2$ અથવા $a = 5$.
જો $a = 5$ હોય,તો $B$ અને $C$ બિંદુઓ એક જ થઈ જાય,જે ત્રિકોણ માટે શક્ય નથી. તેથી,$a = 2$.
$a = 2$ લેતા,શિરોબિંદુઓ $A(2, 9)$,$B(2, 5)$ અને $C(5, 5)$ મળે છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times BC \times AB$.
$BC = |5 - 2| = 3$ એકમ.
$AB = |9 - 5| = 4$ એકમ.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ ચોરસ એકમ.

(D) આપેલ છે કે $PR = \frac{3}{5} PQ$.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $R$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું $PR : RQ = 3 : (5 - 3) = 3 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
ધારો કે બિંદુ $R$ ના યામ $(x, y)$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m : n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$,$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n}$
અહીં,$(x_1, y_1) = (-1, 3)$,$(x_2, y_2) = (2, 5)$,$m = 3$,અને $n = 2$ છે.
$x = \frac{3(2) + 2(-1)}{3 + 2} = \frac{6 - 2}{5} = \frac{4}{5}$
$y = \frac{3(5) + 2(3)}{3 + 2} = \frac{15 + 6}{5} = \frac{21}{5}$
આમ,બિંદુ $R$ ના યામ $(\frac{4}{5}, \frac{21}{5})$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે જો ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થાય છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(k+1, 2k)$,$B(3k, 2k+3)$ અને $C(5k-1, 5k)$ સમરેખ હોવાથી,$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 0$ થાય.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર: $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$.
અહીં,$x_1 = k+1, x_2 = 3k, x_3 = 5k-1$ અને $y_1 = 2k, y_2 = 2k+3, y_3 = 5k$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} [(k+1)(2k+3 - 5k) + 3k(5k - 2k) + (5k-1)(2k - (2k+3))] = 0$
$\frac{1}{2} [(k+1)(-3k+3) + 3k(3k) + (5k-1)(-3)] = 0$
$(-3k^2 + 3k - 3k + 3) + 9k^2 - 15k + 3 = 0$
$6k^2 - 15k + 6 = 0$
$3$ વડે ભાગતા,$2k^2 - 5k + 2 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2k^2 - 4k - k + 2 = 0 \Rightarrow 2k(k-2) - 1(k-2) = 0$.
$(k-2)(2k-1) = 0$.
તેથી,$k = 2$ અથવા $k = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે રેખા $2x + 3y - 5 = 0$ એ બિંદુઓ $A(8, -9)$ અને $B(2, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું બિંદુ $P$ આગળ $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$P = \left( \frac{2\lambda + 8}{\lambda + 1}, \frac{\lambda - 9}{\lambda + 1} \right)$
બિંદુ $P$ એ રેખા $2x + 3y - 5 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2\left( \frac{2\lambda + 8}{\lambda + 1} \right) + 3\left( \frac{\lambda - 9}{\lambda + 1} \right) - 5 = 0$
$(\lambda + 1)$ વડે ગુણતા:
$2(2\lambda + 8) + 3(\lambda - 9) - 5(\lambda + 1) = 0$
$4\lambda + 16 + 3\lambda - 27 - 5\lambda - 5 = 0$
$2\lambda - 16 = 0$
$2\lambda = 16 \Rightarrow \lambda = 8$
આમ,ગુણોત્તર $8 : 1$ છે.
હવે,$\lambda = 8$ મૂકીને $P$ ના યામ શોધીએ:
$x = \frac{2(8) + 8}{8 + 1} = \frac{16 + 8}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$
$y = \frac{8 - 9}{8 + 1} = \frac{-1}{9}$
વિભાજન બિંદુના યામ $(\frac{8}{3}, -\frac{1}{9})$ છે.

(N/A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2),$ અને $C(x_3, y_3)$ છે. મધ્યબિંદુઓ $AB$ પર $D(3, 4),$ $BC$ પર $E(8, 9)$ અને $AC$ પર $F(6, 7)$ આપેલા છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$1) \frac{x_1 + x_2}{2} = 3, \frac{y_1 + y_2}{2} = 4 \implies x_1 + x_2 = 6, y_1 + y_2 = 8$
$2) \frac{x_2 + x_3}{2} = 8, \frac{y_2 + y_3}{2} = 9 \implies x_2 + x_3 = 16, y_2 + y_3 = 18$
$3) \frac{x_1 + x_3}{2} = 6, \frac{y_1 + y_3}{2} = 7 \implies x_1 + x_3 = 12, y_1 + y_3 = 14$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(x_1 + x_2) + (x_2 + x_3) + (x_1 + x_3) = 6 + 16 + 12 = 34 \implies 2(x_1 + x_2 + x_3) = 34 \implies x_1 + x_2 + x_3 = 17$
$(y_1 + y_2) + (y_2 + y_3) + (y_1 + y_3) = 8 + 18 + 14 = 40 \implies 2(y_1 + y_2 + y_3) = 40 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 20$
દરેક યામ માટે ઉકેલતા:
$x_1 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_2 + x_3) = 17 - 16 = 1$
$x_2 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_3) = 17 - 12 = 5$
$x_3 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_2) = 17 - 6 = 11$
$y_1 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_2 + y_3) = 20 - 18 = 2$
$y_2 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_3) = 20 - 14 = 6$
$y_3 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_2) = 20 - 8 = 12$
આમ,ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 2), B(5, 6),$ અને $C(11, 12)$ છે.

(D) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(-4,3)$,$B(4,3)$ અને $C(x,y)$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$AB = BC = CA$,જેનો અર્થ છે કે $AB^2 = BC^2 = CA^2$.
પ્રથમ,$AB^2 = (4 - (-4))^2 + (3 - 3)^2 = 8^2 + 0^2 = 64$ ગણો.
$BC^2 = CA^2$ માટે,$(x-4)^2 + (y-3)^2 = (x+4)^2 + (y-3)^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $(x-4)^2 = (x+4)^2$ મળે,જે $x^2 - 8x + 16 = x^2 + 8x + 16$ આપે છે,તેથી $16x = 0$,એટલે કે $x = 0$.
હવે,$x=0$ મૂકીને $AB^2 = BC^2$ નો ઉપયોગ કરો: $64 = (0-4)^2 + (y-3)^2$.
$64 = 16 + (y-3)^2$,તેથી $(y-3)^2 = 48$.
$y-3 = \pm \sqrt{48} = \pm 4\sqrt{3}$.
આમ,$y = 3 \pm 4\sqrt{3}$.
બે શક્ય શિરોબિંદુઓ $C_1(0, 3+4\sqrt{3})$ અને $C_2(0, 3-4\sqrt{3})$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ત્રિકોણના અંદરના ભાગમાં છે. $(-4,3)$,$(4,3)$ અને $(0, y)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણ માટે,ઉગમબિંદુ અંદર હોવા માટે ત્રીજા શિરોબિંદુનો $y$-યામ $3$ કરતા ઓછો હોવો જોઈએ. કારણ કે $3+4\sqrt{3} > 3$ અને $3-4\sqrt{3} < 3$,તેથી સાચું શિરોબિંદુ $(0, 3-4\sqrt{3})$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A(6,1), B(8,2)$ અને $C(9,4)$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના ત્રણ શિરોબિંદુઓ છે.
ધારો કે ચોથું શિરોબિંદુ $D(x, y)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી $BD$ નું મધ્યબિંદુ એ $AC$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{6+9}{2}, \frac{1+4}{2}\right) = \left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{8+x}{2}, \frac{2+y}{2}\right)$.
યામોને સરખાવતા: $\frac{8+x}{2} = \frac{15}{2} \Rightarrow x = 7$ અને $\frac{2+y}{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow y = 3$.
તેથી,ચોથું શિરોબિંદુ $D(7,3)$ છે.
$E$ એ $DC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $E = \left(\frac{7+9}{2}, \frac{3+4}{2}\right) = \left(8, \frac{7}{2}\right)$.
$A(6,1), D(7,3)$ અને $E(8, 3.5)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા $\triangle ADE$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |6(3 - 3.5) + 7(3.5 - 1) + 8(1 - 3)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |6(-0.5) + 7(2.5) + 8(-2)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |-3 + 17.5 - 16|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |-1.5| = 0.75 = \frac{3}{4} \text{ ચોરસ એકમ.}$

(N/A) આપેલ છે કે બિંદુઓ $A(x_{1}, y_{1})$,$B(x_{2}, y_{2})$ અને $C(x_{3}, y_{3})$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે.
$(i)$ આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યગા રેખાખંડને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે,એટલે કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$\therefore BC$ ના મધ્યબિંદુના યામ $= \left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$.
$\Rightarrow D = \left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$.
$(ii)$ ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $P(x, y)$ એ $A(x_{1}, y_{1})$ અને $D\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2 : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર $\left(\frac{m_{1}x_{2}+m_{2}x_{1}}{m_{1}+m_{2}}, \frac{m_{1}y_{2}+m_{2}y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left[\frac{2\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}\right) + 1(x_{1})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right) + 1(y_{1})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
$(iii)$ તેવી જ રીતે,મધ્યગા $BE$ માટે,$E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $E = \left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}, \frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right)$.
બિંદુ $Q$ એ $BE$ નું $2 : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$Q = \left[\frac{2\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}\right) + 1(x_{2})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{1}+y_{3}}{2}\right) + 1(y_{2})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
મધ્યગા $CF$ માટે,$F$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $F = \left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$.
બિંદુ $R$ એ $CF$ નું $2 : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$R = \left[\frac{2\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) + 1(x_{3})}{2+1}, \frac{2\left(\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right) + 1(y_{3})}{2+1}\right] = \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$.
$(iv)$ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ બિંદુ છે જ્યાં બધી મધ્યગાઓ છેદે છે. કારણ કે $P, Q,$ અને $R$ બધા એક જ બિંદુ છે,તેથી મધ્યકેન્દ્રના યામ $\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)$ છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,એટલે કે $AC$ નું મધ્યબિંદુ એ $BD$ ના મધ્યબિંદુ સમાન હોય છે.
$\Rightarrow \left(\frac{1+a}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) = \left(\frac{2-4}{2}, \frac{3-3}{2}\right)$
$\Rightarrow \frac{1+a}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$1+a = -2 \Rightarrow a = -3$
તેથી,$a$ ની કિંમત $-3$ છે.
$AB$ ને પાયો લેતા,ધારો કે $DP$ એ ઊંચાઈ છે જ્યાં $P$ એ $D$ માંથી $AB$ પર દોરેલો લંબ છે.
$(1, -2)$ અને $(2, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AB$ નું સમીકરણ:
$(y - (-2)) = \frac{3 - (-2)}{2 - 1}(x - 1)$
$y + 2 = 5(x - 1) \Rightarrow 5x - y = 7$ ... $(i)$
$AB$ નો ઢાળ $m_1 = 5$ છે. $DP \perp AB$ હોવાથી,$DP$ નો ઢાળ $m_2 = -1/5$ થશે.
$D(-4, -3)$ માંથી પસાર થતી અને $-1/5$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $DP$ નું સમીકરણ:
$(y + 3) = -\frac{1}{5}(x + 4)$
$5y + 15 = -x - 4 \Rightarrow x + 5y = -19$ ... $(ii)$
છેદબિંદુ $P$ માટે $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$x + 5(5x - 7) = -19 \Rightarrow 26x = 16 \Rightarrow x = 8/13$
$y = 5(8/13) - 7 = -51/13$
$P = (8/13, -51/13)$. ઊંચાઈ $DP$ એ $D(-4, -3)$ અને $P(8/13, -51/13)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$DP = \sqrt{(\frac{8}{13} + 4)^2 + (-\frac{51}{13} + 3)^2} = \sqrt{(\frac{60}{13})^2 + (-\frac{12}{13})^2} = \frac{1}{13}\sqrt{3600 + 144} = \frac{\sqrt{3744}}{13} = \frac{12\sqrt{26}}{13}$ એકમ.

(D) હા,આકૃતિ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ચાર વિદ્યાર્થીઓ $A, B, C$ અને $D$ ના સ્થાન અનુક્રમે $(3, 5), (7, 9), (11, 5)$ અને $(7, 1)$ છે. આ ચતુષ્કોણના ચાર શિરોબિંદુઓ છે.
પ્રથમ,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ:
$AB = \sqrt{(7 - 3)^2 + (9 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(11 - 7)^2 + (5 - 9)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(7 - 11)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$DA = \sqrt{(3 - 7)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,આ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,આપણે વિકર્ણોની લંબાઈ શોધીએ:
$AC = \sqrt{(11 - 3)^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8$
$BD = \sqrt{(7 - 7)^2 + (1 - 9)^2} = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = 8$
વિકર્ણો પણ સમાન હોવાથી $(AC = BD)$,ચતુષ્કોણ $ABCD$ એક ચોરસ છે.
ચોરસમાં,ચારેય શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે આવેલું બિંદુ એ વિકર્ણોનું છેદબિંદુ છે,જે કોઈપણ વિકર્ણનું મધ્યબિંદુ છે.
$AC$ માટે મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left(\frac{3 + 11}{2}, \frac{5 + 5}{2}\right) = \left(\frac{14}{2}, \frac{10}{2}\right) = (7, 5)$
આમ,જસપાલનું સ્થાન $(7, 5)$ હોવું જોઈએ.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. ઘર $(2,4)$ થી બેંક $(5,8)$ સુધીનું અંતર:
$d_1 = \sqrt{(5-2)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \, km$.
$2$. બેંક $(5,8)$ થી શાળા $(13,14)$ સુધીનું અંતર:
$d_2 = \sqrt{(13-5)^2 + (14-8)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10 \, km$.
$3$. શાળા $(13,14)$ થી ઓફિસ $(13,26)$ સુધીનું અંતર:
$d_3 = \sqrt{(13-13)^2 + (26-14)^2} = \sqrt{0^2 + 12^2} = 12 \, km$.
આયુષ દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર $= 5 + 10 + 12 = 27 \, km$.
$4$. ઘર $(2,4)$ થી ઓફિસ $(13,26)$ સુધીનું સીધું અંતર:
$d_{direct} = \sqrt{(13-2)^2 + (26-4)^2} = \sqrt{11^2 + 22^2} = \sqrt{121 + 484} = \sqrt{605} \approx 24.6 \, km$.
કાપેલું વધારાનું અંતર $= 27 - 24.6 = 2.4 \, km$.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $A(5, 8)$ અને $B(1, 2)$ છે.
અહીં,$x_1 = 5, y_1 = 8, x_2 = 1, y_2 = 2$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$AB = \sqrt{(1 - 5)^2 + (2 - 8)^2}$
$AB = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2}$
$AB = \sqrt{16 + 36}$
$AB = \sqrt{52}$
$AB = \sqrt{4 \times 13}$
$AB = 2 \sqrt{13}$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2,2), B(5,2), C(5,5)$ અને $D(2,5)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 = (5-2)^2 + (2-2)^2 = 3^2 + 0^2 = 9 \implies AB = 3$.
$BC^2 = (5-5)^2 + (5-2)^2 = 0^2 + 3^2 = 9 \implies BC = 3$.
$CD^2 = (2-5)^2 + (5-5)^2 = (-3)^2 + 0^2 = 9 \implies CD = 3$.
$DA^2 = (2-2)^2 + (2-5)^2 = 0^2 + (-3)^2 = 9 \implies DA = 3$.
અહીં $AB = BC = CD = DA = 3$ હોવાથી,આ ચતુષ્કોણ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,વિકર્ણો તપાસતા:
$AC^2 = (5-2)^2 + (5-2)^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 \implies AC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$BD^2 = (2-5)^2 + (5-2)^2 = (-3)^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 \implies BD = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
બધી બાજુઓ સમાન છે અને વિકર્ણો પણ સમાન $(AC = BD)$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ ચોરસ છે.

(N/A) ધારો કે $A(0, -3), B(1, -1)$ અને $C(2, 1)$ આપેલા બિંદુઓ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-1 - (-3))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$AC = \sqrt{(2 - 0)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
અહીં $AB + BC = \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} = AC$ હોવાથી,બે રેખાખંડોની લંબાઈનો સરવાળો ત્રીજા રેખાખંડની લંબાઈ જેટલો થાય છે.
તેથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં,$A = (2, 4)$,$B = (-3, b)$,અને $AB = \sqrt{26}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$AB^2 = 26$ મળે.
યામોની કિંમત મૂકતા: $(2 - (-3))^2 + (4 - b)^2 = 26$.
$(2 + 3)^2 + (4 - b)^2 = 26$.
$5^2 + (16 - 8b + b^2) = 26$.
$25 + 16 - 8b + b^2 = 26$.
$b^2 - 8b + 41 = 26$.
$b^2 - 8b + 15 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(b - 5)(b - 3) = 0$.
તેથી,$b = 5$ અથવા $b = 3$ મળે.

(A-D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, 7), B(2, 4)$ અને $C(k, 5)$ છે.
બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરના વર્ગની ગણતરી કરીએ:
$AB^2 = (1-2)^2 + (7-4)^2 = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$
$BC^2 = (2-k)^2 + (4-5)^2 = 4 - 4k + k^2 + 1 = k^2 - 4k + 5$
$AC^2 = (1-k)^2 + (7-5)^2 = 1 - 2k + k^2 + 4 = k^2 - 2k + 5$
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,કોઈ એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોવો જોઈએ:
કિસ્સો $1$: $\angle A = 90^{\circ}$. તો $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
$k^2 - 4k + 5 = 10 + k^2 - 2k + 5$
$-2k = 10 \implies k = -5$
કિસ્સો $2$: $\angle B = 90^{\circ}$. તો $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
$k^2 - 2k + 5 = 10 + k^2 - 4k + 5$
$2k = 10 \implies k = 5$
કિસ્સો $3$: $\angle C = 90^{\circ}$. તો $AB^2 = BC^2 + AC^2$.
$10 = (k^2 - 4k + 5) + (k^2 - 2k + 5)$
$10 = 2k^2 - 6k + 10$
$2k^2 - 6k = 0 \implies 2k(k - 3) = 0$
$k = 0$ અથવા $k = 3$
આમ,$k$ ની શક્ય કિંમતો $-5, 5, 0, 3$ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(-2,-3), B(6,3), C(3,7)$ અને $D(-5,1)$ છે.
પ્રથમ,અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ:
$AB^2 = (-2-6)^2 + (-3-3)^2 = (-8)^2 + (-6)^2 = 64 + 36 = 100 \implies AB = 10$
$BC^2 = (6-3)^2 + (3-7)^2 = (3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25 \implies BC = 5$
$CD^2 = (3 - (-5))^2 + (7-1)^2 = (8)^2 + (6)^2 = 64 + 36 = 100 \implies CD = 10$
$DA^2 = (-5 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2 = (-3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25 \implies DA = 5$
સામેની બાજુઓ સમાન હોવાથી ($AB=CD=10$ અને $BC=DA=5$),આ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,વિકર્ણ $AC$ તપાસીએ:
$AC^2 = (-2-3)^2 + (-3-7)^2 = (-5)^2 + (-10)^2 = 25 + 100 = 125$
$\triangle ABC$ માં,$AB^2 + BC^2 = 100 + 25 = 125 = AC^2$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ મુજબ,$\angle B = 90^\circ$ થાય.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો કાટખૂણો હોવાથી,તે લંબચોરસ છે.

(N/A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0,6), B(-5,3)$ અને $C(3,1)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 = (-5 - 0)^2 + (3 - 6)^2 = (-5)^2 + (-3)^2 = 25 + 9 = 34$
$BC^2 = (3 - (-5))^2 + (1 - 3)^2 = (8)^2 + (-2)^2 = 64 + 4 = 68$
$AC^2 = (3 - 0)^2 + (1 - 6)^2 = (3)^2 + (-5)^2 = 9 + 25 = 34$
અહીં $AB^2 + AC^2 = 34 + 34 = 68 = BC^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે,તેથી તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle BAC = 90^\circ$ છે.
વળી,$AB^2 = AC^2 = 34$ હોવાથી,$AB = AC$ થાય છે.
તેથી,આપેલ બિંદુઓ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(3, \sqrt{3})$ અને $C(x, y)$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી $AB = BC = AC$,જેનો અર્થ છે કે $AB^2 = BC^2 = AC^2$.
પ્રથમ,$AB^2 = (3-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2 = 9 + 3 = 12$ મેળવીએ.
$AC^2 = AB^2$ હોવાથી,$x^2 + y^2 = 12$ (સમીકરણ $1$).
$BC^2 = AB^2$ હોવાથી,$(x-3)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 12$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 = 12$.
$x^2 + y^2 = 12$ ને આ સમીકરણમાં મૂકતા: $12 - 6x - 2\sqrt{3}y + 12 = 12$,જેનું સાદું રૂપ $6x + 2\sqrt{3}y = 12$ અથવા $y = \sqrt{3}(2-x)$ (સમીકરણ $2$) મળે છે.
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $x^2 + [\sqrt{3}(2-x)]^2 = 12$.
$x^2 + 3(4 - 4x + x^2) = 12$.
$x^2 + 12 - 12x + 3x^2 = 12$.
$4x^2 - 12x = 0$,તેથી $4x(x-3) = 0$.
આથી $x = 0$ અથવા $x = 3$ મળે છે.
જો $x = 0$ હોય,તો $y = \sqrt{3}(2-0) = 2\sqrt{3}$.
જો $x = 3$ હોય,તો $y = \sqrt{3}(2-3) = -\sqrt{3}$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(0, 2\sqrt{3})$ અથવા $(3, -\sqrt{3})$ છે.

(N/A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ છે.
પ્રથમ,$SP$ ની ગણતરી કરો:
$SP = \sqrt{(a - at^2)^2 + (0 - 2at)^2} = \sqrt{a^2(1-t^2)^2 + 4a^2t^2} = |a|\sqrt{1 - 2t^2 + t^4 + 4t^2} = |a|\sqrt{(1+t^2)^2} = |a|(1+t^2)$.
ત્યારબાદ,$SQ$ ની ગણતરી કરો:
$SQ = \sqrt{(a - \frac{a}{t^2})^2 + (0 - (-\frac{2a}{t}))^2} = \sqrt{a^2(1 - \frac{1}{t^2})^2 + \frac{4a^2}{t^2}} = |a|\sqrt{1 - \frac{2}{t^2} + \frac{1}{t^4} + \frac{4}{t^2}} = |a|\sqrt{1 + \frac{2}{t^2} + \frac{1}{t^4}} = |a|\sqrt{(1 + \frac{1}{t^2})^2} = |a|(1 + \frac{1}{t^2}) = |a|(\frac{t^2+1}{t^2})$.
હવે,$\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ}$ ની કિંમત શોધો:
$\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ} = \frac{1}{|a|(1+t^2)} + \frac{1}{|a|(\frac{t^2+1}{t^2})} = \frac{1}{|a|(1+t^2)} + \frac{t^2}{|a|(1+t^2)} = \frac{1+t^2}{|a|(1+t^2)} = \frac{1}{|a|}$.
પરિણામ $\frac{1}{|a|}$ માં $t$ નો સમાવેશ થતો નથી,તેથી $\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ}$ એ $t$ થી સ્વતંત્ર છે.

(N/A) બિંદુઓ $A(-1, 4)$,$B(2, 3)$ અને $C(5, 2)$ સમરેખ છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે સાબિત કરવું પડશે કે બે રેખાખંડોની લંબાઈનો સરવાળો ત્રીજા રેખાખંડની લંબાઈ જેટલો થાય છે.
$1$. અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $AB$ નું અંતર શોધો:
$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$2$. $BC$ નું અંતર શોધો:
$BC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$3$. $AC$ નું અંતર શોધો:
$AC = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$4$. અહીં $AB + BC = \sqrt{10} + \sqrt{10} = 2\sqrt{10} = AC$ હોવાથી,બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ એક જ રેખા પર આવેલા છે અને તેથી તેઓ સમરેખ છે.

(D) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ સમરેખ હોય જો પ્રથમ બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનો ઢાળ એ છેલ્લા બે બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના ઢાળ જેટલો હોય.
$(-8, -4)$ અને $(-2, 4)$ ને જોડતા રેખાખંડનો ઢાળ $m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - (-4)}{-2 - (-8)} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ છે.
$(-2, 4)$ અને $(5, a)$ ને જોડતા રેખાખંડનો ઢાળ $m_2 = \frac{a - 4}{5 - (-2)} = \frac{a - 4}{7}$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,$m_1 = m_2$.
તેથી,$\frac{4}{3} = \frac{a - 4}{7}$.
બંને બાજુ $21$ વડે ગુણતા,$4 \times 7 = 3(a - 4)$.
$28 = 3a - 12$.
$3a = 28 + 12 = 40$.
$a = \frac{40}{3}$.

(N/A) બિંદુ $P(7, 5)$ એ $A(2, 4)$ અને $B(6, 10)$ થી સમાન અંતરે છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે અંતર $PA$ એ અંતર $PB$ જેટલું છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1$. અંતર $PA = \sqrt{(7 - 2)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
$2$. અંતર $PB = \sqrt{(7 - 6)^2 + (5 - 10)^2} = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$.
અહીં $PA = PB = \sqrt{26}$ હોવાથી,બિંદુ $P(7, 5)$ એ બિંદુઓ $A(2, 4)$ અને $B(6, 10)$ થી સમાન અંતરે આવેલું છે.

(A) ધારો કે $X$-અક્ષ પરનું બિંદુ $P(x, 0)$ છે.
બિંદુ $P(x, 0)$ અને $A(11, 12)$ વચ્ચેનું અંતર $13$ આપેલું છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(x - 11)^2 + (0 - 12)^2} = 13$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x - 11)^2 + (-12)^2 = 13^2$.
$(x - 11)^2 + 144 = 169$.
$(x - 11)^2 = 169 - 144 = 25$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x - 11 = \pm 5$.
કિસ્સો $1$: $x - 11 = 5 \implies x = 16$.
કિસ્સો $2$: $x - 11 = -5 \implies x = 6$.
તેથી,માંગેલ બિંદુઓ $(16, 0)$ અને $(6, 0)$ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $A(a, 2)$ અને $B(3, -5)$ છે અને અંતર $d = \sqrt{53}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{(3 - a)^2 + (-5 - 2)^2} = \sqrt{53}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(3 - a)^2 + (-7)^2 = 53$
$(3 - a)^2 + 49 = 53$
$(3 - a)^2 = 53 - 49$
$(3 - a)^2 = 4$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$3 - a = 2$ અથવા $3 - a = -2$
જો $3 - a = 2$ હોય,તો $a = 1$.
જો $3 - a = -2$ હોય,તો $a = 5$.
તેથી,$a$ ની શક્ય કિંમતો $1$ અને $5$ છે.

(N/A) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(1, 1)$,$B(4, 4)$ અને $C(6, 2)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $AB$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.
$2$. $BC$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(6 - 4)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.
$3$. $AC$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(6 - 1)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
હવે,પાયથાગોરસના પ્રમેય $(AB^2 + BC^2 = AC^2)$ માટે ચકાસણી કરો:
$AB^2 = 18$,$BC^2 = 8$,અને $AC^2 = 26$.
અહીં $18 + 8 = 26$ હોવાથી,$AB^2 + BC^2 = AC^2$ થાય છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ એ શિરોબિંદુ $B$ પાસે કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(N/A) બિંદુઓ $A(1, 7)$,$B(2, 4)$ અને $C(5, 5)$ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીશું.
$1$. $AB$ ની લંબાઈ: $AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
$2$. $BC$ ની લંબાઈ: $BC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$3$. $AC$ ની લંબાઈ: $AC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (5 - 7)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.
અહીં $AB = BC = \sqrt{10}$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
હવે,પાયથાગોરસના પ્રમેય $(AB^2 + BC^2 = AC^2)$ નો ઉપયોગ કરીને કાટકોણ ત્રિકોણની શરત ચકાસો:
$AB^2 + BC^2 = 10 + 10 = 20$.
$AC^2 = 20$.
$AB^2 + BC^2 = AC^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
આમ,$A, B$ અને $C$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.

(N/A) બિંદુઓ $A(0,0), B(7,0), C(7,5)$ અને $D(0,5)$ લંબચોરસ બનાવે છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે સામસામેની બાજુઓ સમાન છે અને વિકર્ણો સમાન છે.
$1$. અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(7-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{49} = 7$
$BC = \sqrt{(7-7)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{25} = 5$
$CD = \sqrt{(0-7)^2 + (5-5)^2} = \sqrt{49} = 7$
$DA = \sqrt{(0-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{25} = 5$
અહીં $AB = CD = 7$ અને $BC = DA = 5$ હોવાથી,સામસામેની બાજુઓ સમાન છે.
$2$. વિકર્ણોની લંબાઈ શોધો:
$AC = \sqrt{(7-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}$
$BD = \sqrt{(0-7)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}$
સામસામેની બાજુઓ સમાન છે અને વિકર્ણો પણ સમાન હોવાથી,ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ લંબચોરસ છે.

(N/A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, -2)$,$B(2, 3)$,$C(-3, 2)$ અને $D(-4, -3)$ છે.
$ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે ચારેય બાજુઓ સમાન લંબાઈની છે,પરંતુ વિકર્ણો સમાન નથી.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$
$BC = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$
$CD = \sqrt{(-4 - (-3))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$
$DA = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (-2 - (-3))^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$
અહીં $AB = BC = CD = DA = \sqrt{26}$ હોવાથી,બધી બાજુઓ સમાન છે.
હવે,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ ની લંબાઈ શોધીએ:
$AC = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$BD = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી $(AB=BC=CD=DA)$ અને વિકર્ણો સમાન ન હોવાથી $(AC \neq BD)$,ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(A) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(2, 2)$,$B(-2, 2)$,$C(-2, -2)$ અને $D(2, -2)$ છે.
આ બિંદુઓ ચોરસ બનાવે છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે દર્શાવવું પડશે કે ચારેય બાજુઓ સમાન છે અને બંને વિકર્ણો પણ સમાન છે.
$1$. અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$ એકમ.
$BC = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$ એકમ.
$CD = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$ એકમ.
$DA = \sqrt{(2 - 2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$ એકમ.
અહીં $AB = BC = CD = DA = 4$ હોવાથી,બધી બાજુઓ સમાન છે.
$2$. વિકર્ણોની લંબાઈ શોધો:
$AC = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ એકમ.
$BD = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ એકમ.
બાજુઓ સમાન હોવાથી અને વિકર્ણો સમાન હોવાથી,બિંદુઓ $A, B, C, D$ ચોરસ બનાવે છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, -3/2)$,$B(-3, -7/2)$ અને $C(-4, -3/2)$ છે.
તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈના વર્ગોની ગણતરી કરીએ.
$AB^2 = (-3 - 1)^2 + (-7/2 - (-3/2))^2 = (-4)^2 + (-4/2)^2 = 16 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$.
$BC^2 = (-4 - (-3))^2 + (-3/2 - (-7/2))^2 = (-1)^2 + (4/2)^2 = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
$AC^2 = (-4 - 1)^2 + (-3/2 - (-3/2))^2 = (-5)^2 + (0)^2 = 25 + 0 = 25$.
અહીં $AB^2 + BC^2 = 20 + 5 = 25$ થાય છે,જે $AC^2$ ની બરાબર છે,તેથી ત્રિકોણ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
આથી,આપેલા બિંદુઓ એક કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(N/A) આપેલ છે કે બિંદુ $P(x, y)$ એ બિંદુઓ $A(a+b, b-a)$ અને $B(a-b, a+b)$ થી સમાન અંતરે છે.
અંતર સૂત્ર મુજબ,$PA = PB.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$PA^2 = PB^2.$
અંતર સૂત્ર $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ નો ઉપયોગ કરતા,
$(x - (a+b))^2 + (y - (b-a))^2 = (x - (a-b))^2 + (y - (a+b))^2.$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2 + y^2 - 2y(b-a) + (b-a)^2 = x^2 - 2x(a-b) + (a-b)^2 + y^2 - 2y(a+b) + (a+b)^2.$
બંને બાજુથી $x^2, y^2, (a+b)^2$ ને દૂર કરતા:
$-2x(a+b) - 2y(b-a) + (b-a)^2 = -2x(a-b) - 2y(a+b) + (a-b)^2.$
કારણ કે $(b-a)^2 = (a-b)^2,$ આ પદો પણ દૂર થશે:
$-2ax - 2bx - 2by + 2ay = -2ax + 2bx - 2ay - 2by.$
બંને બાજુથી $-2ax$ અને $-2by$ ને દૂર કરતા:
$-2bx + 2ay = 2bx - 2ay.$
પદોને ગોઠવતા:
$2ay + 2ay = 2bx + 2bx.$
$4ay = 4bx.$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $bx = ay$ મળે છે.

(C) $Y$-અક્ષ પરનું બિંદુ $P(0, y)$ ધારો.
આપેલા બિંદુઓ $A(-5, -2)$ અને $B(3, 2)$ છે.
$P$ એ $A$ અને $B$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA = PB$ થાય.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PA^2 = PB^2$.
$(0 - (-5))^2 + (y - (-2))^2 = (0 - 3)^2 + (y - 2)^2$
$5^2 + (y + 2)^2 = (-3)^2 + (y - 2)^2$
$25 + y^2 + 4y + 4 = 9 + y^2 - 4y + 4$
$29 + 4y = 13 - 4y$
$8y = 13 - 29$
$8y = -16$
$y = -2$
તેથી,માંગેલ બિંદુ $(0, -2)$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\angle A = 90^{\circ}$,તેથી બાજુઓ $AB$ અને $AC$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થવો જોઈએ,એટલે કે $m_{AB} \times m_{AC} = -1$.
$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ દ્વારા મળે છે.
$AB$ નો ઢાળ $(m_{AB})$ = $\frac{4 - 7}{2 - 1} = \frac{-3}{1} = -3$.
$AC$ નો ઢાળ $(m_{AC})$ = $\frac{5 - 7}{k - 1} = \frac{-2}{k - 1}$.
કારણ કે $m_{AB} \times m_{AC} = -1$,તેથી $(-3) \times \left( \frac{-2}{k - 1} \right) = -1$.
$\frac{6}{k - 1} = -1$.
$6 = -(k - 1)$.
$6 = -k + 1$.
$k = 1 - 6 = -5$.

(N/A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2a, 4a)$, $B(2a, 6a)$ અને $C(2a + \sqrt{3}a, 5a)$ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ છે તે સાબિત કરવા માટે, આપણે દર્શાવવું પડશે કે ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ સમાન છે.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
$1$. બાજુ $AB$ ની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{(2a - 2a)^2 + (6a - 4a)^2} = \sqrt{0^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
$2$. બાજુ $BC$ ની લંબાઈ:
$BC = \sqrt{(2a + \sqrt{3}a - 2a)^2 + (5a - 6a)^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + (-a)^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
$3$. બાજુ $AC$ ની લંબાઈ:
$AC = \sqrt{(2a + \sqrt{3}a - 2a)^2 + (5a - 4a)^2} = \sqrt{(\sqrt{3}a)^2 + (a)^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$.
અહીં $AB = BC = AC = 2a$ હોવાથી, ત્રિકોણ $ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(B) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A (x_1, y_1) = (4, 3)$ અને $B (x_2, y_2) = (6, 5)$ છે.
રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ હોય,તો તેના મધ્યબિંદુનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$
સૂત્રમાં $A$ અને $B$ ના યામ મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{4 + 6}{2}, \frac{3 + 5}{2} \right)$
$= \left( \frac{10}{2}, \frac{8}{2} \right)$
$= (5, 4)$
આમ,મધ્યબિંદુના યામ $(5, 4)$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(x_1, y_1) = (3, 2)$ અને $B(x_2, y_2) = (-2, -5)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ એ રેખાખંડ $\overline{AB}$ ને $A$ થી શરૂ કરીને $m:n = 3:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n} = \frac{3(-2) + 2(3)}{3+2} = \frac{-6 + 6}{5} = \frac{0}{5} = 0$
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n} = \frac{3(-5) + 2(2)}{3+2} = \frac{-15 + 4}{5} = \frac{-11}{5} = -2.2$
આમ,બિંદુના યામ $(0, -2.2)$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(-2, 3)$ એ રેખાખંડ $\overline{AB}$ નું $A$ થી શરૂ કરીને $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $x$-યામ માટે:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n}$
અહીં $A(4, -9)$ એ $(x_1, y_1)$ છે અને $B(-3, 5)$ એ $(x_2, y_2)$ છે,અને $P(-2, 3)$ એ $(x, y)$ છે:
$-2 = \frac{m(-3) + n(4)}{m + n}$
$-2(m + n) = -3m + 4n$
$-2m - 2n = -3m + 4n$
$-2m + 3m = 4n + 2n$
$m = 6n$
$\frac{m}{n} = \frac{6}{1}$
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $6: 1$ છે.

(A) ધારો કે $Y-$ અક્ષ $\overline{AB}$ ને બિંદુ $P(0, y)$ માં છેદે છે અને $P$ એ $\overline{AB}$ નું $A$ થી $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $x-$ યામ માટે:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}$
$P$ એ $Y-$ અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x-$ યામ $0$ છે.
$0 = \frac{m(3) + n(-2)}{m+n}$
$0 = 3m - 2n$
$3m = 2n \implies \frac{m}{n} = \frac{2}{3}$
તેથી,ગુણોત્તર $2:3$ છે.
હવે,$m=2$ અને $n=3$ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને $P$ નો $y-$ યામ શોધીએ:
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n}$
$y = \frac{2(0) + 3(3)}{2+3} = \frac{9}{5}$
આમ,વિભાજન કરતું બિંદુ $(0, 9/5)$ છે અને ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(N/A) ધારો કે $A(-2,-1)$ અને $B(7,8)$ આપેલા બિંદુઓ છે અને $P$ તથા $Q$ એ $\overline{AB}$ ના ત્રિભાગ બિંદુઓ છે.
અહીં,$x_1 = -2, y_1 = -1, x_2 = 7$ અને $y_2 = 8$ છે.
બિંદુ $P$ માટે,જે $\overline{AB}$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ $= \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}\right)$.
$P = \left(\frac{1(7) + 2(-2)}{1+2}, \frac{1(8) + 2(-1)}{1+2}\right)$.
$P = \left(\frac{7-4}{3}, \frac{8-2}{3}\right) = \left(\frac{3}{3}, \frac{6}{3}\right) = (1, 2)$.
હવે,$Q$ એ $\overline{PB}$ નું મધ્યબિંદુ છે,અથવા તે $\overline{AB}$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
$Q$ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$Q = \left(\frac{2(7) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(8) + 1(-1)}{2+1}\right)$.
$Q = \left(\frac{14-2}{3}, \frac{16-1}{3}\right) = \left(\frac{12}{3}, \frac{15}{3}\right) = (4, 5)$.
આમ,$(-2,-1)$ અને $(7,8)$ ને જોડતા રેખાખંડના ત્રિભાગ બિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(4, 5)$ છે.

(A) ધારો કે $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,અને $C(x_3, y_3)$ એ $\Delta ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે. આપેલ છે કે $P(0, 1/2)$,$Q(1/2, 1/2)$,અને $R(1/2, 0)$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $\overline{AB}$,$\overline{BC}$,અને $\overline{CA}$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$x$-યામ માટે:
$(x_1 + x_2)/2 = 0 \implies x_1 + x_2 = 0$ $(i)$
$(x_2 + x_3)/2 = 1/2 \implies x_2 + x_3 = 1$ (ii)
$(x_3 + x_1)/2 = 1/2 \implies x_3 + x_1 = 1$ (iii)
$(i)$,(ii),અને (iii) નો સરવાળો કરતા: $2(x_1 + x_2 + x_3) = 2 \implies x_1 + x_2 + x_3 = 1$.
સરવાળામાંથી (ii) બાદ કરતા: $x_1 = 1 - 1 = 0$.
સરવાળામાંથી (iii) બાદ કરતા: $x_2 = 1 - 1 = 0$.
સરવાળામાંથી $(i)$ બાદ કરતા: $x_3 = 1 - 0 = 1$.
$y$-યામ માટે:
$(y_1 + y_2)/2 = 1/2 \implies y_1 + y_2 = 1$ (iv)
$(y_2 + y_3)/2 = 1/2 \implies y_2 + y_3 = 1$ $(v)$
$(y_3 + y_1)/2 = 0 \implies y_3 + y_1 = 0$ (vi)
(iv),$(v)$,અને (vi) નો સરવાળો કરતા: $2(y_1 + y_2 + y_3) = 2 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 1$.
સરવાળામાંથી $(v)$ બાદ કરતા: $y_1 = 1 - 1 = 0$.
સરવાળામાંથી (vi) બાદ કરતા: $y_2 = 1 - 0 = 1$.
સરવાળામાંથી (iv) બાદ કરતા: $y_3 = 1 - 1 = 0$.
આમ,શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(0, 1)$,અને $C(1, 0)$ છે.

(D) અહીં $C - A - B$ અને $2 AC = 3 AB$ આપેલ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $A$ એ $\overline{CB}$ નું વિભાજન બિંદુ છે.
વધુમાં,$2 AC = 3 AB$ હોવાથી,$\frac{CA}{AB} = \frac{3}{2}$ થાય.
ધારો કે $C$ ના યામ $(x_1, y_1)$ છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$A(1, 2)$ એ $C(x_1, y_1)$ અને $B(2, 3)$ ને $3:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$x$-યામ માટે: $1 = \frac{3(2) + 2(x_1)}{3+2} \implies 5 = 6 + 2x_1 \implies 2x_1 = -1 \implies x_1 = -0.5$.
$y$-યામ માટે: $2 = \frac{3(3) + 2(y_1)}{3+2} \implies 10 = 9 + 2y_1 \implies 2y_1 = 1 \implies y_1 = 0.5$.
આમ,$C$ ના યામ $(-0.5, 0.5)$ મળે છે.