Mix Examples - Coordinate Geometry Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $X$-અક્ષ પરનું બિંદુ $P(x, 0)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $A(5, 4)$ અને $B(-2, 3)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA = PB$ થાય.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PA^2 = PB^2$.
$(x - 5)^2 + (0 - 4)^2 = (x - (-2))^2 + (0 - 3)^2$
$(x - 5)^2 + 16 = (x + 2)^2 + 9$
$x^2 - 10x + 25 + 16 = x^2 + 4x + 4 + 9$
$-10x + 41 = 4x + 13$
$41 - 13 = 4x + 10x$
$28 = 14x$
$x = 2$.
તેથી,માંગેલ બિંદુ $(2, 0)$ છે.

(NONE) ધારો કે $Y$-અક્ષ પરનું બિંદુ $P(0, y)$ છે.
બિંદુ $P$ એ $A(3, 1)$ અને $B(-2, 5)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA = PB$ થાય.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PA^2 = PB^2$.
$(3 - 0)^2 + (1 - y)^2 = (-2 - 0)^2 + (5 - y)^2$.
$9 + (1 - 2y + y^2) = 4 + (25 - 10y + y^2)$.
$10 - 2y + y^2 = 29 - 10y + y^2$.
બંને બાજુથી $y^2$ બાદ કરતા અને પદોને ગોઠવતા:
$10y - 2y = 29 - 10$.
$8y = 19$.
$y = \frac{19}{8}$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(0, \frac{19}{8})$ છે.

(N/A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(10, -18), B(3, 6)$ અને $C(-5, 2)$ છે.
ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
$1$. બાજુ $AB$ ની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{(3 - 10)^2 + (6 - (-18))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$ એકમ.
$2$. બાજુ $BC$ ની લંબાઈ:
$BC = \sqrt{(-5 - 3)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ એકમ.
$3$. બાજુ $AC$ ની લંબાઈ:
$AC = \sqrt{(-5 - 10)^2 + (2 - (-18))^2} = \sqrt{(-15)^2 + (20)^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ એકમ.
અહીં બાજુ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ સમાન હોવાથી ($AB = AC = 25$ એકમ),આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P (-4, 3)$ એ $A (1, -2)$ અને $B (-6, 5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ નીચે મુજબ મળે:
$P = \left( \frac{k x_2 + 1 x_1}{k + 1}, \frac{k y_2 + 1 y_1}{k + 1} \right)$
કિંમતો $x_1 = 1, y_1 = -2, x_2 = -6, y_2 = 5$ મૂકતા:
$-4 = \frac{k(-6) + 1(1)}{k + 1}$
$-4(k + 1) = -6k + 1$
$-4k - 4 = -6k + 1$
$2k = 5$
$k = \frac{5}{2}$
આમ,માંગેલ ગુણોત્તર $5: 2$ છે.

(C) ધારો કે $\Delta ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ $D(4,6), E(2,2)$ અને $F(3,1)$ આપેલા છે.
ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓથી બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ મૂળ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર સમાન જ હોય છે.
$\Delta DEF$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ શોધવાનું સૂત્ર: $G = \left( \frac{x_D + x_E + x_F}{3}, \frac{y_D + y_E + y_F}{3} \right).$
આપેલી કિંમતો મૂકતા: $G = \left( \frac{4 + 2 + 3}{3}, \frac{6 + 2 + 1}{3} \right).$
$G = \left( \frac{9}{3}, \frac{9}{3} \right) = (3, 3).$
આમ,$\Delta ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રના યામ $(3, 3)$ છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(4,6), B(5,1)$ અને $C(4,0)$ છે. ધારો કે પરિકેન્દ્ર $P(x,y)$ છે.
પરિકેન્દ્ર એ ત્રણેય શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA^2 = PB^2 = PC^2$ થાય.
પ્રથમ,$PA^2 = PC^2$ ને સરખાવતા:
$(x-4)^2 + (y-6)^2 = (x-4)^2 + (y-0)^2$
$(y-6)^2 = y^2$
$y^2 - 12y + 36 = y^2$
$12y = 36 \implies y = 3$.
હવે,$y=3$ મૂકીને $PA^2 = PB^2$ ને સરખાવતા:
$(x-4)^2 + (3-6)^2 = (x-5)^2 + (3-1)^2$
$(x-4)^2 + (-3)^2 = (x-5)^2 + (2)^2$
$x^2 - 8x + 16 + 9 = x^2 - 10x + 25 + 4$
$-8x + 25 = -10x + 29$
$2x = 4 \implies x = 2$.
આમ,પરિકેન્દ્ર $(2,3)$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિભાગ બિંદુઓ $P$ અને $Q$ છે. બિંદુ $P$ એ $AB$ નું $1:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે અને બિંદુ $Q$ એ $AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$.
બિંદુ $P$ માટે $(m_1=1, m_2=2)$: $P = \left( \frac{1(7) + 2(-2)}{1+2}, \frac{1(8) + 2(-1)}{1+2} \right) = \left( \frac{7-4}{3}, \frac{8-2}{3} \right) = \left( \frac{3}{3}, \frac{6}{3} \right) = (1, 2)$.
બિંદુ $Q$ માટે $(m_1=2, m_2=1)$: $Q = \left( \frac{2(7) + 1(-2)}{2+1}, \frac{2(8) + 1(-1)}{2+1} \right) = \left( \frac{14-2}{3}, \frac{16-1}{3} \right) = \left( \frac{12}{3}, \frac{15}{3} \right) = (4, 5)$.
આમ,ત્રિભાગ બિંદુઓના યામ $(1, 2)$ અને $(4, 5)$ છે.

(B) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(-4, 3)$,$B(10, 5)$,$C(12, -9)$ અને $D(x, y)$ છે.
ચોરસમાં,વિકર્ણો એકબીજાને સમાન મધ્યબિંદુ પર દુભાગે છે.
ધારો કે વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= ((-4 + 12)/2, (3 - 9)/2) = (8/2, -6/2) = (4, -3)$.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $= ((10 + x)/2, (5 + y)/2)$.
મધ્યબિંદુઓને સરખાવતા: $(10 + x)/2 = 4 \implies 10 + x = 8 \implies x = -2$.
$(5 + y)/2 = -3 \implies 5 + y = -6 \implies y = -11$.
આમ,ચોથું શિરોબિંદુ $(-2, -11)$ છે.

(N/A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(7,3)$,$B(3,0)$,$C(0,-4)$ અને $D(4,-1)$ છે.
$ABCD$ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે સાબિત કરવું પડશે કે ચારેય બાજુઓ સમાન લંબાઈની છે $(AB = BC = CD = DA)$ અને વિકર્ણો સમાન નથી $(AC \neq BD)$.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(3 - 7)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
$BC = \sqrt{(0 - 3)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
$CD = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-1 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
$DA = \sqrt{(7 - 4)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
અહીં $AB = BC = CD = DA = 5$ હોવાથી,બધી બાજુઓ સમાન છે.
હવે,વિકર્ણોની ગણતરી કરીએ:
$AC = \sqrt{(0 - 7)^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$.
$BD = \sqrt{(4 - 3)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
$AC \neq BD$ હોવાથી,વિકર્ણો સમાન નથી.
તેથી,$ABCD$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(C) $1$. $PA = PB$ હોવાથી,બિંદુ $P(x, y)$ એ રેખાખંડ $AB$ ના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું છે.
$2$. $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{3+5}{2}, \frac{4-2}{2}) = (4, 1)$ છે.
$3$. $AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{-2-4}{5-3} = \frac{-6}{2} = -3$ છે.
$4$. લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_{\perp} = -\frac{1}{-3} = \frac{1}{3}$ છે.
$5$. લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - 1 = \frac{1}{3}(x - 4) \implies 3y - 3 = x - 4 \implies x = 3y + 1$ છે.
$6$. $\Delta PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 10$ છે.
$7$. $P(3y+1, y)$,$A(3, 4)$,અને $B(5, -2)$ કિંમતો મૂકતા: $10 = \frac{1}{2} |(3y+1)(4 - (-2)) + 3(-2 - y) + 5(y - 4)|$.
$8$. $20 = |(3y+1)(6) - 6 - 3y + 5y - 20| = |18y + 6 - 26 + 2y| = |20y - 20|$.
$9$. $|20y - 20| = 20 \implies |y - 1| = 1$.
$10$. કિસ્સો $1: y - 1 = 1 \implies y = 2$. તેથી $x = 3(2) + 1 = 7$. બિંદુ $P = (7, 2)$.
$11$. કિસ્સો $2: y - 1 = -1 \implies y = 0$. તેથી $x = 3(0) + 1 = 1$. બિંદુ $P = (1, 0)$.

(N/A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(7,9), B(10,8)$ અને $C(12,10)$ છે.
$1$. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ: સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ નો ઉપયોગ કરતા,$\text{Area} = \frac{1}{2} |7(8 - 10) + 10(10 - 9) + 12(9 - 8)| = \frac{1}{2} |-14 + 10 + 12| = \frac{1}{2} |8| = 4 \text{ ચોરસ એકમ}$.
$2$. પરિકેન્દ્ર $(h, k)$: પરિકેન્દ્ર શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય છે. તેથી,$(h-7)^2 + (k-9)^2 = (h-10)^2 + (k-8)^2 = (h-12)^2 + (k-10)^2$.
$(h-7)^2 + (k-9)^2 = (h-10)^2 + (k-8)^2$ ઉકેલતા $6h - 2k = 32$ અથવા $3h - k = 16$ મળે છે.
$(h-10)^2 + (k-8)^2 = (h-12)^2 + (k-10)^2$ ઉકેલતા $4h + 4k = 84$ અથવા $h + k = 21$ મળે છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $4h = 37 \implies h = \frac{37}{4}$.
$h$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{37}{4} + k = 21 \implies k = 21 - \frac{37}{4} = \frac{47}{4}$.
આમ,પરિકેન્દ્ર $(\frac{37}{4}, \frac{47}{4})$ છે અને ક્ષેત્રફળ $4$ છે.

(N/A) આપેલ યામ $A(b, c)$,$B(-a, 0)$ અને $C(a, 0)$ છે.
$D$ એ $\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$D$ ના યામ $(\frac{-a+a}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, 0)$ થાય.
હવે,લંબાઈના વર્ગોની ગણતરી કરીએ:
$AB^2 = (b - (-a))^2 + (c - 0)^2 = (b+a)^2 + c^2 = b^2 + 2ab + a^2 + c^2$.
$AC^2 = (b - a)^2 + (c - 0)^2 = b^2 - 2ab + a^2 + c^2$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $AB^2 + AC^2 = (b^2 + 2ab + a^2 + c^2) + (b^2 - 2ab + a^2 + c^2) = 2(a^2 + b^2 + c^2)$.
હવે જમણી બાજુની ગણતરી કરીએ:
$AD^2 = (b - 0)^2 + (c - 0)^2 = b^2 + c^2$.
$BD^2 = (-a - 0)^2 + (0 - 0)^2 = a^2$.
આમ,$2(AD^2 + BD^2) = 2(b^2 + c^2 + a^2)$.
બંને બાજુઓ $2(a^2 + b^2 + c^2)$ સમાન હોવાથી,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.

(C) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $C(x, y)$ છે. $ABC$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$AB = BC = AC$ થાય.
અંતર $AB = \sqrt{(1-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$.
$AB = BC = AC = 2$ હોવાથી:
$x^2 + y^2 = 2^2 = 4$ ---$(1)$
$(x-1)^2 + (y-\sqrt{3})^2 = 4$ ---$(2)$
$(2)$ નું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 = 4$.
$x^2 + y^2 = 4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $4 - 2x + 1 - 2\sqrt{3}y + 3 = 4$,જેનું સાદુરૂપ $2x + 2\sqrt{3}y = 4$ અથવા $x + \sqrt{3}y = 2$ થાય.
આમ,$x = 2 - \sqrt{3}y$.
આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $(2 - \sqrt{3}y)^2 + y^2 = 4$.
$4 - 4\sqrt{3}y + 3y^2 + y^2 = 4$,તેથી $4y^2 - 4\sqrt{3}y = 0$.
$4y(y - \sqrt{3}) = 0$,જેનો અર્થ $y = 0$ અથવા $y = \sqrt{3}$.
જો $y = 0$ હોય,તો $x = 2 - 0 = 2$. જો $y = \sqrt{3}$ હોય,તો $x = 2 - \sqrt{3}(\sqrt{3}) = 2 - 3 = -1$.
તેથી,ત્રીજું શિરોબિંદુ $C$ એ $(2, 0)$ અથવા $(-1, \sqrt{3})$ હોઈ શકે છે.

(A) આપેલા બિંદુઓ $A(3, 3)$ અને $B(6, 1)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $C$ ના યામ $(x, y)$ છે.
શરત $A-B-C$ સૂચવે છે કે $B$ એ $A$ અને $C$ ની વચ્ચે આવેલું છે.
શરત $3 AB = BC$ સૂચવે છે કે ગુણોત્તર $AB : BC = 1 : 3$ છે.
સદિશનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{B} - \vec{A} = (6-3, 1-3) = (3, -2)$.
$BC = 3 AB$ હોવાથી,સદિશ $\vec{BC} = 3 \vec{AB} = 3(3, -2) = (9, -6)$.
તેથી,$\vec{C} = \vec{B} + \vec{BC} = (6, 1) + (9, -6) = (15, -5)$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુ $A$ ના યામ $(x, y)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ હોય તો મધ્યકેન્દ્ર $G(x_g, y_g) = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ થાય.
આપેલ $G(3, 3)$,$B(-1, 2)$,અને $C(2, -3)$ પરથી:
$3 = \frac{x - 1 + 2}{3} \implies 9 = x + 1 \implies x = 8$.
$3 = \frac{y + 2 - 3}{3} \implies 9 = y - 1 \implies y = 10$.
તેથી,શિરોબિંદુ $A$ ના યામ $(8, 10)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |8(2 - (-3)) + (-1)(-3 - 10) + 2(10 - 2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |8(5) + (-1)(-13) + 2(8)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |40 + 13 + 16| = \frac{1}{2} |69| = \frac{69}{2}$ ચોરસ એકમ.

(B) કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle A$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $\overline{BC}$ ને અન્ય બે બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
પગલું $1$: અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો.
$AB = \sqrt{(-2 - 6)^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
$AC = \sqrt{(9 - 6)^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{3^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
પગલું $2$: જે ગુણોત્તરમાં દ્વિભાજક $\overline{BC}$ ને વિભાજિત કરે છે તે $m:n = AB:AC = 4\sqrt{5}:3\sqrt{5} = 4:3$ છે.
પગલું $3$: વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $\overline{BC}$ પરના બિંદુ $D(x, y)$ ના યામ શોધો જે તેને $4:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m + n} = \frac{4(9) + 3(-2)}{4 + 3} = \frac{36 - 6}{7} = \frac{30}{7}$.
$y = \frac{my_2 + ny_1}{m + n} = \frac{4(1) + 3(3)}{4 + 3} = \frac{4 + 9}{7} = \frac{13}{7}$.
આમ,યામ $\left(\frac{30}{7}, \frac{13}{7}\right)$ છે.

(C) ધારો કે $\Delta ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
આપેલ મધ્યબિંદુઓ $D(1, 2)$,$E(2, 1)$ અને $F(3, 3)$ છે.
$\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ દ્વારા મળે છે.
ત્રિકોણનો એક મહત્વનો ગુણધર્મ એ છે કે ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓથી બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ મૂળ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર સમાન જ હોય છે.
તેથી,મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ મધ્યબિંદુઓ $D, E$ અને $F$ ના યામોની સરેરાશ છે.
$G = (\frac{1+2+3}{3}, \frac{2+1+3}{3}) = (\frac{6}{3}, \frac{6}{3}) = (2, 2)$.

(D) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
આપેલ બિંદુઓ $(6, 8)$ અને $(3, 4)$ છે.
અહીં,$x_1 = 6, y_1 = 8$ અને $x_2 = 3, y_2 = 4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \sqrt{(3 - 6)^2 + (4 - 8)^2}$
$d = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2}$
$d = \sqrt{9 + 16}$
$d = \sqrt{25}$
$d = 5$
તેથી,બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $5$ છે.

(A) બે બિંદુઓ $P(x_1, y_1)$ અને $Q(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
અહીં $P(4, -7)$ અને $Q(-1, 5)$ આપેલ છે,તેથી $x_1 = 4, y_1 = -7, x_2 = -1, y_2 = 5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$PQ = \sqrt{(-1 - 4)^2 + (5 - (-7))^2}$
$PQ = \sqrt{(-5)^2 + (5 + 7)^2}$
$PQ = \sqrt{(-5)^2 + (12)^2}$
$PQ = \sqrt{25 + 144}$
$PQ = \sqrt{169}$
$PQ = 13$
આમ,અંતર $PQ$ નું મૂલ્ય $13$ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $(2, -3)$ અને $(5, b)$ છે અને અંતર $d = 5$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 = \sqrt{(5 - 2)^2 + (b - (-3))^2}$
$5 = \sqrt{(3)^2 + (b + 3)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$25 = 9 + (b + 3)^2$
$16 = (b + 3)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$b + 3 = \pm 4$
કિસ્સો $1$: $b + 3 = 4 \implies b = 1$
કિસ્સો $2$: $b + 3 = -4 \implies b = -7$
આપેલા વિકલ્પોમાં $1$ હોવાથી,સાચો જવાબ $b = 1$ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(a, 1)$ અને $(8, a)$ છે અને અંતર $d = 5$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 = \sqrt{(8 - a)^2 + (a - 1)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$25 = (8 - a)^2 + (a - 1)^2$
$25 = (64 - 16a + a^2) + (a^2 - 2a + 1)$
$25 = 2a^2 - 18a + 65$
$2a^2 - 18a + 40 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$a^2 - 9a + 20 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(a - 4)(a - 5) = 0$
આમ,$a = 4$ અથવા $a = 5$.
આપેલા વિકલ્પોમાં $5$ હોવાથી,સાચો જવાબ $5$ છે.

(C) ત્રિકોણ $\Delta PQR$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને તેની બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ છીએ.
$1$. $PQ$ ની લંબાઈ: $PQ = \sqrt{(0 - 0)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = 5 \text{ એકમ}$.
$2$. $QR$ ની લંબાઈ: $QR = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \text{ એકમ}$.
$3$. $PR$ ની લંબાઈ: $PR = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6 \text{ એકમ}$.
અહીં શિરોબિંદુઓ $P(0,0), Q(0,5)$ અને $R(6,0)$ અક્ષો પર આવેલા છે,તેથી ઉગમબિંદુ $P(0,0)$ આગળનો ખૂણો $90^\circ$ થાય છે કારણ કે $y$-અક્ષ $(PQ)$ એ $x$-અક્ષ $(PR)$ ને લંબ છે.
એક ખૂણો $90^\circ$ હોવાથી,$\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) બિંદુઓ $A(-1, 4), B(2, 3)$ અને $C(8, 1)$ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે રેખાખંડ $AB$ અને $BC$ ના ઢાળ શોધીએ.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 4}{2 - (-1)} = \frac{-1}{3}$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 3}{8 - 2} = \frac{-2}{6} = \frac{-1}{3}$.
$AB$ નો ઢાળ અને $BC$ નો ઢાળ સમાન હોવાથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે.
હવે,આપણે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધીએ:
$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.
$BC = \sqrt{(8 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$AC = \sqrt{(8 - (-1))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{9^2 + (-3)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$.
અહીં $AB + BC = \sqrt{10} + 2\sqrt{10} = 3\sqrt{10} = AC$ હોવાથી,બિંદુ $B$ એ $A$ અને $C$ ની વચ્ચે આવેલું છે.
તેથી,બિંદુઓનો ક્રમ $A-B-C$ છે.

(B) વર્તુળનો વ્યાસ એ $(2, 4)$ અને $(2, 6)$ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
વ્યાસ $= \sqrt{(2 - 2)^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.
ત્રિજ્યા $r$ એ વ્યાસ કરતા અડધી હોય છે.
$r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
તેથી, વર્તુળની ત્રિજ્યા $1$ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવાનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ છે.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $(5, 0)$ અને $(x, 4)$ છે અને અંતર $d = \sqrt{17}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{17} = \sqrt{(x - 5)^2 + (4 - 0)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $17 = (x - 5)^2 + 4^2$.
$17 = (x - 5)^2 + 16$.
$(x - 5)^2 = 17 - 16 = 1$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x - 5 = \pm 1$.
કિસ્સો $1$: $x - 5 = 1 \implies x = 6$.
કિસ્સો $2$: $x - 5 = -1 \implies x = 4$.
આમ,$x = 4, 6$.

(D) આપેલ છે કે $\angle A = 90^\circ$,તેથી રેખાખંડ $AB$ અને $AC$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થવો જોઈએ,એટલે કે $m_{AB} \times m_{AC} = -1$.
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{4 - 7}{2 - 1} = \frac{-3}{1} = -3$ છે.
$AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = \frac{5 - 7}{k - 1} = \frac{-2}{k - 1}$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા: $(-3) \times \left( \frac{-2}{k - 1} \right) = -1$.
$\frac{6}{k - 1} = -1$.
$6 = -(k - 1)$.
$6 = -k + 1$.
$k = 1 - 6 = -5$.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માટે મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(5, 3)$ અને $B(3, 3)$ છે.
અહીં,$x_1 = 5, y_1 = 3$ અને $x_2 = 3, y_2 = 3$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{5 + 3}{2}, \frac{3 + 3}{2} \right)$
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{8}{2}, \frac{6}{2} \right)$
મધ્યબિંદુ $= (4, 3)$.

(B) $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ છે.
અહીં આપેલા બિંદુઓ $(1, 1)$ અને $(3, 3)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{1 + 3}{2}\right)$
મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{4}{2}, \frac{4}{2}\right)$
મધ્યબિંદુ $= (2, 2)$.

(C) રેખાખંડનું $1:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું બિંદુ તે રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,યામ $(x, y)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
તેથી,બિંદુના યામ $(0, 0)$ છે.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં શિરોબિંદુઓ $(a, 5), (6, 7)$ અને $(2, 3)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $10$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$10 = \frac{1}{2} |a(7 - 3) + 6(3 - 5) + 2(5 - 7)|$
$20 = |a(4) + 6(-2) + 2(-2)|$
$20 = |4a - 12 - 4|$
$20 = |4a - 16|$
આના બે કિસ્સા મળે:
કિસ્સો $1$: $4a - 16 = 20 \implies 4a = 36 \implies a = 9$
કિસ્સો $2$: $4a - 16 = -20 \implies 4a = -4 \implies a = -1$
અહીં $a \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યા) આપેલ હોવાથી,$a = -1$ શક્ય નથી.
તેથી,$a = 9$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ ના યામ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1) = (2, 3)$,$(x_2, y_2) = (4, 7)$ અને $(x_3, y_3) = (-3, 2)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{2 + 4 + (-3)}{3} = \frac{3}{3} = 1$
$y = \frac{3 + 7 + 2}{3} = \frac{12}{3} = 4$
આમ,મધ્યકેન્દ્રના યામ $(1, 4)$ મળે છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(3, 1)$,$B(1, 5)$ અને $C(x, y)$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય,તો તેનું મધ્યકેન્દ્ર $G$ શોધવાનું સૂત્ર $G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$ છે.
અહીં મધ્યકેન્દ્ર $G$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ આપેલું છે,તેથી:
$\frac{3 + 1 + x}{3} = 0 \implies 4 + x = 0 \implies x = -4$.
$\frac{1 + 5 + y}{3} = 0 \implies 6 + y = 0 \implies y = -6$.
આમ,ત્રીજું શિરોબિંદુ $(-4, -6)$ છે.

(C) $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $(20, 10)$ અને $(6, 8)$ છે.
અહીં,$x_1 = 20, y_1 = 10$ અને $x_2 = 6, y_2 = 8$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{20 + 6}{2}, \frac{10 + 8}{2} \right)$
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{26}{2}, \frac{18}{2} \right)$
મધ્યબિંદુ $= (13, 9)$.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $A(-4, -1)$,$B(1, 2)$ અને $C(4, -3)$ છે.
તેથી,$x_1 = -4, y_1 = -1, x_2 = 1, y_2 = 2, x_3 = 4, y_3 = -3$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-4(2 - (-3)) + 1(-3 - (-1)) + 4(-1 - 2)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-4(5) + 1(-2) + 4(-3)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-20 - 2 - 12|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-34|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{34}{2} = 17$ ચોરસ એકમ.

(A) વર્તુળનું કેન્દ્ર $P$ એ તેના વ્યાસ $\overline{AB}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
અહીં $A(x_1, y_1) = (4, 0)$ અને $B(x_2, y_2) = (-2, 2)$ આપેલ છે.
મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $P(x, y) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(x, y) = \left( \frac{4 + (-2)}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right)$.
$P(x, y) = \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (1, 1)$.
તેથી,$P$ ના યામ $(1, 1)$ છે.

(B) રેખાખંડ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે તેના પરના તમામ બિંદુઓનો $x$-યામ સમાન હોય છે.
અહીં $\overline{CD}$ એ $Y$-અક્ષને સમાંતર છે અને બિંદુ $C$ ના યામ $(4, -5)$ છે,તેથી આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $D$ નો $x$-યામ $4$ જ હોવો જોઈએ.
તેથી,$D$ ના યામ $(4, y)$ સ્વરૂપના હોવા જોઈએ,જ્યાં $y$ એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,વિકલ્પ $(B)$ $(4, 6)$ એ એકમાત્ર બિંદુ છે જેનો $x$-યામ $4$ છે.

(C) કોઈપણ બિંદુના યામ $(x, y)$ તરીકે આપવામાં આવે છે.
અહીં,બિંદુ $(6, 2)$ છે,જ્યાં $x = 6$ અને $y = 2$ છે.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ નું $X-$ અક્ષથી લંબ અંતર તેના $y-$ યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે,જે $|y|$ છે.
તેથી,બિંદુ $(6, 2)$ નું $X-$ અક્ષથી લંબ અંતર $|2| = 2$ એકમ થાય.

(D) આપેલ બિંદુના યામ $(x, y) = (-3, 8)$ છે.
કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ નું $Y$-અક્ષથી લંબ અંતર તેના $x$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે,એટલે કે $|x|$.
અહીં,$x$-યામ $-3$ છે.
તેથી,$Y$-અક્ષથી લંબ અંતર $|-3| = 3$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) બિંદુ $B$ ના યામ $(0, 12)$ છે અને બિંદુ $C$ ના યામ $(5, 0)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $BC$ નું અંતર શોધીએ છીએ:
$BC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 12)^2}$
$BC = \sqrt{(5)^2 + (-12)^2}$
$BC = \sqrt{25 + 144}$
$BC = \sqrt{169}$
$BC = 13$
આમ,$BC$ નું અંતર $13$ એકમ છે.

(B) ધારો કે રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓ $A(0,0)$ અને $B(6,6)$ છે.
રેખાખંડને ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરવા માટે,આપણે ત્રણ બિંદુઓ $P, Q,$ અને $R$ ની જરૂર છે જે રેખાખંડને અનુક્રમે $1:3, 1:1,$ અને $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
મધ્યબિંદુ $Q$ ની ગણતરી $(\frac{0+6}{2}, \frac{0+6}{2}) = (3,3)$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
બિંદુ $P$ એ $AQ$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{0+3}{2}, \frac{0+3}{2}) = (1.5, 1.5)$ છે.
બિંદુ $R$ એ $QB$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{3+6}{2}, \frac{3+6}{2}) = (4.5, 4.5)$ છે.
આ બિંદુઓની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,$(4.5, 4.5)$ એ વિભાજન કરતું એક બિંદુ છે.

(C) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર $(G)$ ના યામ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$
અહીં આપેલા શિરોબિંદુઓ $(a, 2)$,$(2, -a)$ અને $(0, 2)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$G = \left( \frac{a + 2 + 0}{3}, \frac{2 - a + 2}{3} \right) = \left( \frac{a + 2}{3}, \frac{4 - a}{3} \right)$
પ્રશ્ન મુજબ,મધ્યકેન્દ્રના બંને યામ સમાન છે:
$\frac{a + 2}{3} = \frac{4 - a}{3}$
$a + 2 = 4 - a$
$2a = 2$
$a = 1$

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, 1)$, $B(-1, -1)$ અને $C(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$AB = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$BC = \sqrt{(-\sqrt{3} - (-1))^2 + (\sqrt{3} - (-1))^2} = \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{(1 - 2\sqrt{3} + 3) + (3 + 2\sqrt{3} + 1)} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$CA = \sqrt{(1 - (-\sqrt{3}))^2 + (1 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(1 + \sqrt{3})^2 + (1 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(1 + 2\sqrt{3} + 3) + (1 - 2\sqrt{3} + 3)} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3} + 4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
અહીં $AB = BC = CA = 2\sqrt{2}$ હોવાથી, ત્રણેય બાજુઓ સમાન છે.
તેથી, આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) ધારો કે વ્યાસના બીજા અંત્યબિંદુના યામ $(x,y)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર એ તેના વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોવાથી,આપણે મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
કેન્દ્ર $= (\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$
અહીં કેન્દ્ર $(-2,4)$ છે અને એક અંત્યબિંદુ $(0,0)$ છે,તેથી:
$-2 = \frac{0 + x}{2} \implies x = -4$
$4 = \frac{0 + y}{2} \implies y = 8$
આમ,વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(-4,8)$ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માટે મધ્યબિંદુનું સૂત્ર $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(6, 5)$ અને $B(4, 3)$ છે.
અહીં,$x_1 = 6, y_1 = 5$ અને $x_2 = 4, y_2 = 3$ છે.
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{6 + 4}{2}, \frac{5 + 3}{2} \right)$.
મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{10}{2}, \frac{8}{2} \right)$.
મધ્યબિંદુ $= (5, 4)$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(6,0)$,$B(0,0)$ અને $C(0,8)$ છે.
અહીં શિરોબિંદુ $A(6,0)$ એ $x$-અક્ષ પર અને $C(0,8)$ એ $y$-અક્ષ પર છે,અને શિરોબિંદુ $B$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે,તેથી આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કાટખૂણો $B(0,0)$ આગળ બને છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણનું મધ્યબિંદુ હોય છે.
કર્ણ એ $A(6,0)$ અને $C(0,8)$ ને જોડતો રેખાખંડ છે.
કર્ણનું મધ્યબિંદુ શોધવાનું સૂત્ર $\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ છે.
$A$ અને $C$ ના યામો મૂકતા: $\left( \frac{6 + 0}{2}, \frac{0 + 8}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{8}{2} \right) = (3,4)$.
આમ,પરિકેન્દ્ર $(3,4)$ છે.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(4.2,0)$ અને $C(0,9.1)$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર હોવાથી,બાજુ $AB$ એ $x$-અક્ષ પર અને બાજુ $AC$ એ $y$-અક્ષ પર આવેલી છે.
$x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ હોય છે.
તેથી,ખૂણો $\angle BAC = 90^\circ$ થાય.
ત્રિકોણનો એક ખૂણો $90^\circ$ હોવાથી,તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) ધારો કે $B$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $P(1, 12)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,જ્યાં $A(x_1, y_1) = (3, 8)$ અને $B(x_2, y_2) = (x, y)$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $P(x, y) = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $1 = \frac{2(x) + 1(3)}{2+1} \implies 1 = \frac{2x + 3}{3} \implies 3 = 2x + 3 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
તે જ રીતે,$12 = \frac{2(y) + 1(8)}{2+1} \implies 12 = \frac{2y + 8}{3} \implies 36 = 2y + 8 \implies 2y = 28 \implies y = 14$.
આમ,$B$ ના યામ $(0, 14)$ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_{1}, y_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2})$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $P(x_{1}, 0)$ અને $Q(x_{2}, 0)$ છે.
આ કિંમતોને અંતરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$PQ = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (0-0)^2}$
$PQ = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2}$
અંતર હંમેશા ધન હોવું જોઈએ,તેથી આપણે માનાંક લઈએ છીએ:
$PQ = |x_{2}-x_{1}| = |x_{1}-x_{2}|$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_{1}, y_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2})$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(0, y_{1})$ અને $B(0, y_{2})$ માટે,આપણે આ યામોને સૂત્રમાં મૂકીએ:
$AB = \sqrt{(0 - 0)^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
$AB = \sqrt{0^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
$AB = \sqrt{(y_{2} - y_{1})^{2}}$
અંતર હંમેશા ધન હોવું જોઈએ,તેથી આપણે માનાંક લઈએ છીએ:
$AB = |y_{2} - y_{1}|$ અથવા $|y_{1} - y_{2}|$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે,આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
આપેલ બિંદુઓ $A(-3, 4)$ અને $O(0, 0)$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$OA = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (0 - 4)^2}$
$OA = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$
$OA = \sqrt{9 + 16}$
$OA = \sqrt{25}$
$OA = 5$ એકમ.