Textbook -Arithmetic Progressions Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ $18, 15 \frac{1}{2}, 13, \ldots, -47$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 18$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1 = 15 \frac{1}{2} - 18 = \frac{31}{2} - 18 = \frac{31 - 36}{2} = -\frac{5}{2}$ છે.
ધારો કે આ સમાંતર શ્રેણીમાં $n$ પદો છે. તેથી,$n$ મું પદ $a_n = -47$ છે.
સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-47 = 18 + (n - 1)\left(-\frac{5}{2}\right)$
બંને બાજુથી $18$ બાદ કરતા:
$-47 - 18 = (n - 1)\left(-\frac{5}{2}\right)$
$-65 = (n - 1)\left(-\frac{5}{2}\right)$
બંને બાજુ $-\frac{2}{5}$ વડે ગુણતા:
$n - 1 = -65 \times \left(-\frac{2}{5}\right)$
$n - 1 = 13 \times 2$
$n - 1 = 26$
$n = 27$.
આમ,આપેલ સમાંતર શ્રેણીમાં કુલ $27$ પદો છે.

(B) આ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 11$ અને સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1 = 8 - 11 = -3$ છે.
ધારો કે $-150$ એ આ સમાંતર શ્રેણીનું $n$ મું પદ છે.
$n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર વાપરતા: $a_n = a + (n - 1)d$.
કિંમતો મૂકતા: $-150 = 11 + (n - 1)(-3)$.
$-150 = 11 - 3n + 3$.
$-150 = 14 - 3n$.
$3n = 14 + 150$.
$3n = 164$.
$n = \frac{164}{3} = 54.66$.
સમાંતર શ્રેણીમાં $n$ હંમેશા ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,અને અહીં $n$ પૂર્ણાંક નથી,તેથી $-150$ એ આ સમાંતર શ્રેણીનું પદ નથી.

(A) આપેલ છે કે,
$a_{11} = 38$
$a_{16} = 73$
આપણે જાણીએ છીએ કે $AP$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$11$ માં પદ માટે: $a + 10d = 38$ $...(1)$
$16$ માં પદ માટે: $a + 15d = 73$ $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(a + 15d) - (a + 10d) = 73 - 38$
$5d = 35$
$d = 7$
$d = 7$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મુકતા:
$a + 10(7) = 38$
$a + 70 = 38$
$a = 38 - 70 = -32$
હવે,$31$ મું પદ શોધીએ:
$a_{31} = a + (31 - 1)d$
$a_{31} = -32 + 30(7)$
$a_{31} = -32 + 210$
$a_{31} = 178$
આમ,$31$ મું પદ $178$ છે.

(B) આપેલ છે કે $3$ રું પદ $a_3 = 12$ અને કુલ પદોની સંખ્યા $n = 50$ છે,જેમાં છેલ્લું પદ $a_{50} = 106$ છે.
$AP$ ના $n$ મા પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a_n = a + (n - 1)d$:
$3$ રા પદ માટે: $a + 2d = 12$ $(i)$
$50$ મા પદ માટે: $a + 49d = 106$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 49d) - (a + 2d) = 106 - 12$
$47d = 94$
$d = 2$
સમીકરણ $(i)$ માં $d = 2$ મુકતા:
$a + 2(2) = 12$
$a + 4 = 12$
$a = 8$
હવે,$29$ મું પદ $a_{29}$ શોધો:
$a_{29} = a + (29 - 1)d$
$a_{29} = 8 + 28(2)$
$a_{29} = 8 + 56 = 64$
આમ,$29$ મું પદ $64$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$3^{rd}$ પદ $a_3 = 4$ અને $9^{th}$ પદ $a_9 = -8$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AP$ ના $n^{th}$ પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$3^{rd}$ પદ માટે: $a + 2d = 4$ $...(i)$
$9^{th}$ પદ માટે: $a + 8d = -8$ $...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 8d) - (a + 2d) = -8 - 4$
$6d = -12$
$d = -2$
સમીકરણ $(i)$ માં $d = -2$ મૂકતા:
$a + 2(-2) = 4$
$a - 4 = 4$
$a = 8$
ધારો કે $n^{th}$ પદ શૂન્ય છે,તેથી $a_n = 0$:
$0 = a + (n - 1)d$
$0 = 8 + (n - 1)(-2)$
$0 = 8 - 2n + 2$
$2n = 10$
$n = 5$
આમ,આ $AP$ નું $5^{th}$ પદ શૂન્ય છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $AP$ માટે,$n$ મું પદ શોધવાનું સૂત્ર: $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$17$ માં પદ માટે:
$a_{17} = a + (17 - 1)d = a + 16d$.
$10$ માં પદ માટે:
$a_{10} = a + (10 - 1)d = a + 9d$.
પ્રશ્ન મુજબ,$17$ મું પદ $10$ માં પદ કરતાં $7$ વધારે છે:
$a_{17} - a_{10} = 7$.
પદોની કિંમત મૂકતા:
$(a + 16d) - (a + 9d) = 7$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$a + 16d - a - 9d = 7$.
$7d = 7$.
બંને બાજુ $7$ વડે ભાગતા:
$d = 1$.
તેથી,સામાન્ય તફાવત $1$ છે.

(65) આપેલ $A.P.$ $3, 15, 27, 39, \ldots$ છે.
પ્રથમ પદ $a = 3$.
સામાન્ય તફાવત $d = 15 - 3 = 12$.
$54$ મું પદ $a_{54} = a + (54 - 1)d$ દ્વારા મળે છે.
$a_{54} = 3 + 53 \times 12 = 3 + 636 = 639$.
આપણે એવું પદ $a_n$ શોધવાનું છે કે જેથી $a_n = a_{54} + 132$ થાય.
$a_n = 639 + 132 = 771$.
સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$771 = 3 + (n - 1)12$.
$768 = (n - 1)12$.
$n - 1 = \frac{768}{12} = 64$.
$n = 65$.
વૈકલ્પિક રીતે,$n$ માં પદ અને $54$ માં પદ વચ્ચેનો તફાવત $(n - 54)d = 132$ છે.
$(n - 54)12 = 132$.
$n - 54 = 11$.
$n = 65$.

(B) ધારો કે બે $APs$ ના પ્રથમ પદ અનુક્રમે $a_1$ અને $a_2$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પ્રથમ $AP$ માટે,$n$ મું પદ $a_n = a_1 + (n-1)d$ છે.
બીજા $AP$ માટે,$n$ મું પદ $b_n = a_2 + (n-1)d$ છે.
$100$ મું પદ $a_{100} = a_1 + 99d$ અને $b_{100} = a_2 + 99d$ થશે.
આપેલ છે કે $100$ મા પદ વચ્ચેનો તફાવત $100$ છે:
$(a_1 + 99d) - (a_2 + 99d) = 100$
$a_1 - a_2 = 100$ (સમીકરણ $1$)
હવે,$1000$ મા પદ $a_{1000} = a_1 + 999d$ અને $b_{1000} = a_2 + 999d$ થશે.
$1000$ મા પદ વચ્ચેનો તફાવત:
$(a_1 + 999d) - (a_2 + 999d) = a_1 - a_2$
સમીકરણ $1$ ની કિંમત મૂકતા,તફાવત $100$ મળે છે.

(C) $7$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી પ્રથમ ત્રણ અંકની સંખ્યા $105$ છે.
ત્યારબાદની સંખ્યાઓ $105 + 7 = 112, 112 + 7 = 119, \ldots$ છે.
આ સંખ્યાઓ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 105$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 7$ છે.
સૌથી મોટી ત્રણ અંકની સંખ્યા $999$ છે. $999$ ને $7$ વડે ભાગતા,આપણને $999 = 7 \times 142 + 5$ મળે છે. અહીં શેષ $5$ વધે છે.
તેથી,$7$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સૌથી મોટી ત્રણ અંકની સંખ્યા $999 - 5 = 994$ છે.
ધારો કે $994$ એ આ સમાંતર શ્રેણીનું $n$ મું પદ છે.
સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$994 = 105 + (n - 1)7$
$994 - 105 = (n - 1)7$
$889 = (n - 1)7$
$n - 1 = 889 / 7$
$n - 1 = 127$
$n = 128$
આમ,$7$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી ત્રણ અંકની કુલ $128$ સંખ્યાઓ છે.

(D) $10$ થી મોટી $4$ ની પ્રથમ ગુણક સંખ્યા $12$ છે. ત્યારબાદની સંખ્યાઓ $16, 20, 24, \ldots$ છે.
આ પદો એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 12$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 4$ છે.
છેલ્લું પદ શોધવા માટે,આપણે $250$ ને $4$ વડે ભાગીએ છીએ. $250 = 4 \times 62 + 2$ હોવાથી,શેષ $2$ વધે છે. તેથી,$250$ થી નાની અથવા તેના જેટલી $4$ ની સૌથી મોટી ગુણક સંખ્યા $250 - 2 = 248$ છે.
આમ,સમાંતર શ્રેણી આ મુજબ છે: $12, 16, 20, 24, \ldots, 248$.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર વાપરતા: $a_n = a + (n - 1)d$
કિંમતો મૂકતા: $248 = 12 + (n - 1)4$
$248 - 12 = (n - 1)4$
$236 = (n - 1)4$
$n - 1 = \frac{236}{4}$
$n - 1 = 59$
$n = 60$
આમ,$10$ અને $250$ ની વચ્ચે $4$ ના કુલ $60$ ગુણકો આવેલા છે.

(A) પ્રથમ સમાંતર શ્રેણી માટે: $63, 65, 67, \ldots$
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 63$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 65 - 63 = 2$ છે.
$n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d = 63 + (n - 1)2 = 63 + 2n - 2 = 61 + 2n$ થાય.
બીજી સમાંતર શ્રેણી માટે: $3, 10, 17, \ldots$
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 10 - 3 = 7$ છે.
$n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d = 3 + (n - 1)7 = 3 + 7n - 7 = 7n - 4$ થાય.
આપેલ છે કે $n$ માં પદો સમાન છે:
$61 + 2n = 7n - 4$
$61 + 4 = 7n - 2n$
$65 = 5n$
$n = 13$.
આમ,બંને સમાંતર શ્રેણીઓના $13$ માં પદો સમાન છે.

(A) ધારો કે $AP$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$AP$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ત્રીજું પદ $16$ છે:
$a_3 = a + (3 - 1)d = 16$
$a + 2d = 16$ --- $(1)$
આપેલ છે કે સાતમું પદ પાંચમા પદ કરતાં $12$ વધારે છે:
$a_7 - a_5 = 12$
$(a + 6d) - (a + 4d) = 12$
$2d = 12$
$d = 6$
સમીકરણ $(1)$ માં $d = 6$ મૂકતા:
$a + 2(6) = 16$
$a + 12 = 16$
$a = 4$
આમ,$AP$ એ $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ છે.
$4, 4+6, 4+12, 4+18, \ldots$
$4, 10, 16, 22, \ldots$

(C) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $3, 8, 13, \ldots, 253$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 8 - 3 = 5$ છે.
અંતિમ પદ $l = 253$ છે.
અંતિમ પદથી $n$ મું પદ શોધવા માટેનું સૂત્ર: અંતિમ પદથી $n$ મું પદ $= l - (n - 1)d$.
અહીં,$l = 253, n = 20, d = 5$ છે.
અંતિમ પદથી $20$ મું પદ $= 253 - (20 - 1) \times 5$.
$= 253 - (19 \times 5)$.
$= 253 - 95$.
$= 158$.
આમ,અંતિમ પદથી $20$ મું પદ $158$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $AP$ નું $n^{th}$ પદ $a_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4^{th}$ અને $8^{th}$ પદ માટે:
$a_4 = a + 3d$
$a_8 = a + 7d$
આપેલ છે કે $a_4 + a_8 = 24$,તેથી $(a + 3d) + (a + 7d) = 24$,જેનું સાદું રૂપ $2a + 10d = 24$ અથવા $a + 5d = 12$ થાય છે $...(1)$
$6^{th}$ અને $10^{th}$ પદ માટે:
$a_6 = a + 5d$
$a_{10} = a + 9d$
આપેલ છે કે $a_6 + a_{10} = 44$,તેથી $(a + 5d) + (a + 9d) = 44$,જેનું સાદું રૂપ $2a + 14d = 44$ અથવા $a + 7d = 22$ થાય છે $...(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(1)$ બાદ કરતા:
$(a + 7d) - (a + 5d) = 22 - 12$
$2d = 10$
$d = 5$
$d = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$a + 5(5) = 12$
$a + 25 = 12$
$a = -13$
પ્રથમ ત્રણ પદ નીચે મુજબ છે:
$a_1 = a = -13$
$a_2 = a + d = -13 + 5 = -8$
$a_3 = a + 2d = -13 + 10 = -3$
આમ,$AP$ ના પ્રથમ ત્રણ પદ $-13, -8, -3$ છે.

(A) અહીં જોઈ શકાય છે કે સુબ્બારાવને મળતા પગારની શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માં છે,કારણ કે દર વર્ષે તેમના પગારમાં ₹ $200$ નો વધારો થાય છે.
તેથી,$1995$ થી શરૂ થતા દરેક વર્ષના પગાર $5000, 5200, 5400, \dots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 5000$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 200$ છે.
ધારો કે $n$ માં વર્ષ પછી તેમનો પગાર ₹ $7000$ થાય છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર વાપરતા: $a_n = a + (n - 1)d$
કિંમતો મૂકતા: $7000 = 5000 + (n - 1)200$
$2000 = (n - 1)200$
$n - 1 = 10$
$n = 11$
આમ,$11$ માં વર્ષે તેમનો પગાર ₹ $7000$ થશે.

(B) આપેલ છે કે બચત સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે જ્યાં:
પ્રથમ પદ $(a)$ = ₹ $5$
સામાન્ય તફાવત $(d)$ = ₹ $1.75$
$n$-મું પદ $(a_n)$ = ₹ $20.75$
સમાંતર શ્રેણીના $n$-મા પદનું સૂત્ર વાપરતા: $a_n = a + (n - 1)d$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$20.75 = 5 + (n - 1) \times 1.75$
બંને બાજુથી $5$ બાદ કરતા:
$15.75 = (n - 1) \times 1.75$
બંને બાજુ $1.75$ વડે ભાગતા:
$n - 1 = \frac{15.75}{1.75}$
$n - 1 = 9$
$n = 9 + 1 = 10$
આમ,$10$-મા અઠવાડિયામાં તેની બચત ₹ $20.75$ થશે.

(C) અહીં,પ્રથમ પદ $a = 8$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3 - 8 = -5$ છે. પદોની સંખ્યા $n = 22$ છે.
આપણે $AP$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ:
$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$
કિંમતો મૂકતા:
$S_{22} = \frac{22}{2} [2(8) + (22 - 1)(-5)]$
$S_{22} = 11 [16 + 21(-5)]$
$S_{22} = 11 [16 - 105]$
$S_{22} = 11 [-89]$
$S_{22} = -979$
આમ,$AP$ ના પ્રથમ $22$ પદોનો સરવાળો $-979$ છે.

(D) આપેલ છે: પ્રથમ $14$ પદોનો સરવાળો $S_{14} = 1050$,પ્રથમ પદ $a = 10$,અને પદોની સંખ્યા $n = 14$.
$AP$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1050 = \frac{14}{2}[2(10) + (14 - 1)d]$.
$1050 = 7[20 + 13d]$.
$150 = 20 + 13d$.
$130 = 13d$,જે આપણને $d = 10$ આપે છે.
$AP$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા મળે છે.
$20$ મા પદ માટે: $a_{20} = 10 + (20 - 1) \times 10$.
$a_{20} = 10 + 19 \times 10 = 10 + 190 = 200$.
આમ,$20$ મું પદ $200$ છે.

(A) અહીં $AP$ શ્રેણી $24, 21, 18, \ldots$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 24$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 21 - 24 = -3$ છે.
આપણને $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 78$ આપેલ છે.
$n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$78 = \frac{n}{2}[2(24) + (n - 1)(-3)]$.
$78 = \frac{n}{2}[48 - 3n + 3] = \frac{n}{2}[51 - 3n]$.
$156 = 51n - 3n^2$,જેનું સાદું રૂપ $3n^2 - 51n + 156 = 0$ થાય છે.
$3$ વડે ભાગતા,$n^2 - 17n + 52 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(n - 4)(n - 13) = 0$ મળે છે.
આમ,$n = 4$ અથવા $n = 13$.
બંને કિંમતો માન્ય છે કારણ કે $5$ થી $13$ સુધીના પદોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે.

(N/A) $(i)$ ધારો કે $S = 1 + 2 + 3 + \ldots + 1000$.
સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળા માટેના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1$ અને $l = 1000$ છે:
$S_{1000} = \frac{1000}{2}(1 + 1000) = 500 \times 1001 = 500500$.
આમ,પ્રથમ $1000$ ધન પૂર્ણાંકોનો સરવાળો $500500$ છે.
$(ii)$ ધારો કે $S_n = 1 + 2 + 3 + \ldots + n$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 1$ અને અંતિમ પદ $l = n$ છે.
તેથી,$S_n = \frac{n(1 + n)}{2}$ અથવા $S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$.
આમ,પ્રથમ $n$ ધન પૂર્ણાંકોનો સરવાળો $S_n = \frac{n(n + 1)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) $n$ મું પદ $a_{n} = 3 + 2n$ છે.
શ્રેણીના પદો શોધવા માટે,$n = 1, 2, 3, \dots$ મૂકતા:
$a_{1} = 3 + 2(1) = 5$
$a_{2} = 3 + 2(2) = 7$
$a_{3} = 3 + 2(3) = 9$
શ્રેણી $5, 7, 9, 11, \dots$ છે.
અહીં ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોવાથી $(7 - 5 = 2, 9 - 7 = 2)$,આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 24$ માટે:
$S_{24} = \frac{24}{2}[2(5) + (24 - 1)2]$
$S_{24} = 12[10 + (23 \times 2)]$
$S_{24} = 12[10 + 46]$
$S_{24} = 12 \times 56 = 672$.
આમ,પ્રથમ $24$ પદોનો સરવાળો $672$ છે.

(D) ઉત્પાદનમાં દર વર્ષે એક નિશ્ચિત સંખ્યામાં સમાન વધારો થતો હોવાથી,$1^{st}, 2^{nd}, 3^{rd}, \dots$ વર્ષમાં ઉત્પાદિત $TV$ સેટની સંખ્યા સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે.
ધારો કે પ્રથમ વર્ષનું ઉત્પાદન $a$ છે અને દર વર્ષે થતો સમાન વધારો $d$ છે.
$n$ માં વર્ષનું ઉત્પાદન $a_n = a + (n-1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે,$a_3 = 600$ અને $a_7 = 700$.
તેથી,$a + 2d = 600$ (સમીકરણ $1$) અને $a + 6d = 700$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(a + 6d) - (a + 2d) = 700 - 600$.
$4d = 100$,જેનો અર્થ છે કે $d = 25$.
$d = 25$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $a + 2(25) = 600$.
$a + 50 = 600$,તેથી $a = 550$.
આમ,પ્રથમ વર્ષમાં થયેલું ઉત્પાદન $550$ સેટ છે.

(A) ધારો કે $n$ મા વર્ષનું ઉત્પાદન સમાંતર શ્રેણી $a_n = a + (n-1)d$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ પ્રથમ વર્ષનું ઉત્પાદન છે અને $d$ એ વાર્ષિક વધારો છે.
આપેલ છે: $a_3 = 600$ અને $a_7 = 700$.
સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a + 2d = 600$ (સમીકરણ $1$)
$a + 6d = 700$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$(a + 6d) - (a + 2d) = 700 - 600$
$4d = 100$
$d = 25$
$d = 25$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$a + 2(25) = 600$
$a + 50 = 600$
$a = 550$
હવે,$10$ મા વર્ષનું ઉત્પાદન $(a_{10})$ શોધો:
$a_{10} = a + 9d$
$a_{10} = 550 + 9(25)$
$a_{10} = 550 + 225 = 775$
આમ,$10$ મા વર્ષમાં ઉત્પાદિત $TV$ સેટની સંખ્યા $775$ છે.

(B) ધારો કે $n$ માં વર્ષનું ઉત્પાદન $a_n$ છે. ઉત્પાદનમાં સમાન વધારો થતો હોવાથી,તે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે.
આપેલ છે: $a_3 = 600$ અને $a_7 = 700$.
$n$ માં પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ છે.
તેથી,$a + 2d = 600$ (સમીકરણ $1$) અને $a + 6d = 700$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(a + 6d) - (a + 2d) = 700 - 600$,જે $4d = 100$ આપે છે,તેથી $d = 25$.
$d = 25$ ને સમીકરણ $1$ માં મુકતા: $a + 2(25) = 600$,તેથી $a + 50 = 600$,જે $a = 550$ આપે છે.
પ્રથમ $7$ વર્ષમાં કુલ ઉત્પાદન એ પ્રથમ $7$ પદોનો સરવાળો $S_7$ છે.
સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
$S_7 = \frac{7}{2}[2(550) + (7-1)(25)] = \frac{7}{2}[1100 + 150] = \frac{7}{2}[1250] = 7 \times 625 = 4375$.
આમ,પ્રથમ $7$ વર્ષમાં $TV$ સેટનું કુલ ઉત્પાદન $4375$ છે.

(C) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ $2, 7, 12, \ldots$ છે,જેમાં $10$ પદો છે.
આ $A.P.$ માટે:
પ્રથમ પદ $a = 2$.
સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1 = 7 - 2 = 5$.
પદોની સંખ્યા $n = 10$.
આપણે $A.P.$ ના સરવાળાનું સૂત્ર જાણીએ છીએ:
$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$
કિંમતો મૂકતા:
$S_{10} = \frac{10}{2} [2(2) + (10 - 1)5]$
$S_{10} = 5 [4 + 9 \times 5]$
$S_{10} = 5 [4 + 45]$
$S_{10} = 5 \times 49 = 245$
આમ,પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $245$ છે.

(D) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $-37, -33, -29, \ldots$ છે,જેમાં $12$ પદો છે.
આ $AP$ માટે:
પ્રથમ પદ $a = -37$
સામાન્ય તફાવત $d = a_{2} - a_{1} = (-33) - (-37) = -33 + 37 = 4$
પદોની સંખ્યા $n = 12$
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર:
$S_{n} = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$
કિંમતો મૂકતા:
$S_{12} = \frac{12}{2} [2(-37) + (12 - 1)4]$
$S_{12} = 6 [-74 + 11 \times 4]$
$S_{12} = 6 [-74 + 44]$
$S_{12} = 6 (-30)$
$S_{12} = -180$
આમ,પ્રથમ $12$ પદોનો સરવાળો $-180$ છે.

(A) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માટે: $0.6, 1.7, 2.8, \ldots,$ $100$ પદ સુધી.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 0.6$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1 = 1.7 - 0.6 = 1.1$ છે.
પદોની સંખ્યા $n = 100$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર:
$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$
કિંમતો મૂકતા:
$S_{100} = \frac{100}{2} [2(0.6) + (100 - 1) \times 1.1]$
$S_{100} = 50 [1.2 + 99 \times 1.1]$
$S_{100} = 50 [1.2 + 108.9]$
$S_{100} = 50 [110.1]$
$S_{100} = 5505$
આમ,પ્રથમ $100$ પદોનો સરવાળો $5505$ થાય છે.

(D) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ માટે,પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{15}$ અને પદોની સંખ્યા $n = 11$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$d = a_2 - a_1 = \frac{1}{12} - \frac{1}{15} = \frac{5 - 4}{60} = \frac{1}{60}$.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર:
$S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$.
$n = 11$,$a = \frac{1}{15}$,અને $d = \frac{1}{60}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S_{11} = \frac{11}{2} [2(\frac{1}{15}) + (11 - 1)(\frac{1}{60})]$.
$S_{11} = \frac{11}{2} [\frac{2}{15} + 10(\frac{1}{60})]$.
$S_{11} = \frac{11}{2} [\frac{2}{15} + \frac{1}{6}]$.
$15$ અને $6$ નો લ.સા.અ. $(LCM)$ $30$ લેતા:
$S_{11} = \frac{11}{2} [\frac{4 + 5}{30}] = \frac{11}{2} [\frac{9}{30}] = \frac{11}{2} [\frac{3}{10}] = \frac{33}{20}$.

આપેલ શ્રેણી $7 + 10 \frac{1}{2} + 14 + \ldots + 84$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે જ્યાં:
પ્રથમ પદ $(a)$ = $7$
અંતિમ પદ $(l)$ = $84$
સામાન્ય તફાવત $(d)$ = $10 \frac{1}{2} - 7 = \frac{21}{2} - 7 = \frac{7}{2}$.
ધારો કે $84$ એ આ સમાંતર શ્રેણીનું $n$-મું પદ છે.
સૂત્ર $l = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$84 = 7 + (n - 1) \frac{7}{2}$
$77 = (n - 1) \frac{7}{2}$
$11 = (n - 1) \frac{1}{2}$
$22 = n - 1$
$n = 23$.
હવે,$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સરવાળો શોધો:
$S_{23} = \frac{23}{2}(7 + 84)$
$S_{23} = \frac{23 \times 91}{2}$
$S_{23} = \frac{2093}{2}$
$S_{23} = 1046 \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ શ્રેણી $34 + 32 + 30 + \ldots + 10$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 34$,સામાન્ય તફાવત $d = 32 - 34 = -2$ અને અંતિમ પદ $l = 10$ છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે. $n$-મું પદ શોધવાનું સૂત્ર $l = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $10 = 34 + (n - 1)(-2)$.
$10 - 34 = (n - 1)(-2) \implies -24 = (n - 1)(-2)$.
$-2$ વડે ભાગતા: $12 = n - 1 \implies n = 13$.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$S_{13} = \frac{13}{2}(34 + 10) = \frac{13}{2}(44) = 13 \times 22 = 286$.

(A) આપેલ શ્રેણી $-5 + (-8) + (-11) + \ldots + (-230)$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = -5$ અને અંતિમ પદ $l = -230$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1 = (-8) - (-5) = -8 + 5 = -3$ છે.
ધારો કે $-230$ એ આ સમાંતર શ્રેણીનું $n$-મું પદ છે.
સૂત્ર $l = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-230 = -5 + (n - 1)(-3)$
$-230 + 5 = (n - 1)(-3)$
$-225 = (n - 1)(-3)$
$n - 1 = \frac{-225}{-3} = 75$
$n = 76$.
હવે,$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$S_{76} = \frac{76}{2}(-5 + (-230))$
$S_{76} = 38(-235)$
$S_{76} = -8930$.

(B) આપેલ છે કે,$a = 5, d = 3, a_{n} = 50$.
$AP$ ના $n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર વાપરતા:
$a_{n} = a + (n - 1)d$
$50 = 5 + (n - 1)3$
$45 = (n - 1)3$
$15 = n - 1$
$n = 16$.
હવે,સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2}[a + a_{n}]$ વાપરતા:
$S_{16} = \frac{16}{2}[5 + 50]$
$S_{16} = 8 \times 55$
$S_{16} = 440$.
આમ,$n = 16$ અને $S_{n} = 440$ થાય.

(C) આપેલ છે કે,$a=7$ અને $a_{13}=35$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AP$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_{n}=a+(n-1)d$ છે.
$n=13$ માટે કિંમતો મૂકતા:
$a_{13}=a+(13-1)d$
$35=7+12d$
$35-7=12d$
$28=12d$
$d=\frac{28}{12}=\frac{7}{3}$.
હવે,$AP$ ના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n}=\frac{n}{2}[a+a_{n}]$ છે.
$n=13$ માટે:
$S_{13}=\frac{13}{2}[a+a_{13}]$
$S_{13}=\frac{13}{2}[7+35]$
$S_{13}=\frac{13}{2}[42]$
$S_{13}=13 \times 21$
$S_{13}=273$.

(D) આપેલ છે કે,$a_{12}=37$ અને $d=3$.
$AP$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર વાપરતા,$a_n = a + (n-1)d$.
$n=12$ માટે,$a_{12} = a + (12-1)3$.
$37 = a + 11(3)$.
$37 = a + 33$.
$a = 37 - 33 = 4$.
હવે,પ્રથમ $12$ પદોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[a + a_n]$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$S_{12} = \frac{12}{2}[4 + 37]$.
$S_{12} = 6(41)$.
$S_{12} = 246$.

(N/A) આપેલ છે કે,$a_{3} = 15$ અને $S_{10} = 125$.
$AP$ નું $n$ મું પદ $a_{n} = a + (n - 1)d$ હોવાથી,
$a_{3} = a + 2d = 15$ $...(i)$
$n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
$S_{10} = \frac{10}{2}[2a + (10 - 1)d] = 125$
$5(2a + 9d) = 125$
$2a + 9d = 25$ $...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$2a + 4d = 30$ $...(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા:
$(2a + 9d) - (2a + 4d) = 25 - 30$
$5d = -5$
$d = -1$
સમીકરણ $(i)$ માં $d = -1$ મુકતા:
$a + 2(-1) = 15$
$a - 2 = 15$
$a = 17$
હવે,$a_{10} = a + (10 - 1)d$
$a_{10} = 17 + 9(-1)$
$a_{10} = 17 - 9 = 8$.
આમ,$d = -1$ અને $a_{10} = 8$ મળે છે.

(N/A) આપેલ છે કે,$d = 5$ અને $S_{9} = 75$.
$AP$ ના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
$n=9$ માટે કિંમતો મૂકતા:
$75 = \frac{9}{2}[2a + (9-1)5]$
$75 = \frac{9}{2}[2a + 40]$
$75 = 9(a + 20)$
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા:
$25 = 3(a + 20)$
$25 = 3a + 60$
$3a = 25 - 60$
$3a = -35$
$a = -\frac{35}{3}$
હવે,$9$ મું પદ $(a_{9})$ શોધવા માટે,આપણે $a_{n} = a + (n-1)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું:
$a_{9} = a + (9-1)d$
$a_{9} = -\frac{35}{3} + 8(5)$
$a_{9} = -\frac{35}{3} + 40$
$a_{9} = \frac{-35 + 120}{3}$
$a_{9} = \frac{85}{3}$

(A) આપેલ છે કે,$a=2, d=8, S_{n}=90$.
$AP$ ના $n$ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર વાપરતા:
$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$90 = \frac{n}{2}[2(2) + (n-1)8]$
$90 = \frac{n}{2}[4 + 8n - 8]$
$90 = \frac{n}{2}[8n - 4]$
$90 = n(4n - 2)$
$4n^{2} - 2n - 90 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$2n^{2} - n - 45 = 0$
$2n^{2} - 10n + 9n - 45 = 0$
$2n(n - 5) + 9(n - 5) = 0$
$(n - 5)(2n + 9) = 0$
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 5$.
હવે,$a_{n}$ શોધો:
$a_{n} = a + (n-1)d$
$a_{5} = 2 + (5-1)8$
$a_{5} = 2 + 32 = 34$.
આમ,$n = 5$ અને $a_{n} = 34$.

(A) આપેલ છે કે,$a=8, a_{n}=62, S_{n}=210$.
$AP$ ના સરવાળા માટેનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2} [a + a_{n}]$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $210 = \frac{n}{2} [8 + 62]$.
$210 = \frac{n}{2} (70)$.
$210 = 35n$.
$n = \frac{210}{35} = 6$.
હવે,$n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર વાપરો: $a_{n} = a + (n - 1)d$.
$62 = 8 + (6 - 1)d$.
$62 - 8 = 5d$.
$54 = 5d$.
$d = \frac{54}{5}$.

(A) આપેલ છે કે,$a_{n}=4, d=2, S_{n}=-14$.
$AP$ ના $n$ માં પદ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$a_{n} = a + (n - 1)d$
$4 = a + (n - 1)2$
$4 = a + 2n - 2$
$a = 6 - 2n$ --- $(i)$
$AP$ ના $n$ પદોના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$S_{n} = \frac{n}{2}[a + a_{n}]$
$-14 = \frac{n}{2}[a + 4]$
$-28 = n(a + 4)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $a = 6 - 2n$ ની કિંમત મૂકતા:
$-28 = n(6 - 2n + 4)$
$-28 = n(10 - 2n)$
$-28 = 10n - 2n^{2}$
$2n^{2} - 10n - 28 = 0$
$n^{2} - 5n - 14 = 0$
$(n - 7)(n + 2) = 0$
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 7$.
$n = 7$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a = 6 - 2(7)$
$a = 6 - 14$
$a = -8$
આમ,$n = 7$ અને $a = -8$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,$a=3, n=8, S_n=192$.
$AP$ ના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
આપેલ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$192 = \frac{8}{2}[2(3) + (8-1)d]$
$192 = 4[6 + 7d]$
બંને બાજુ $4$ વડે ભાગતા:
$48 = 6 + 7d$
બંને બાજુથી $6$ બાદ કરતા:
$42 = 7d$
$7$ વડે ભાગતા:
$d = 6$.

(C) આપેલ છે કે,અંતિમ પદ $l = 28$,પદોનો સરવાળો $S_n = 144$ અને કુલ પદોની સંખ્યા $n = 9$ છે.
જ્યારે પ્રથમ અને અંતિમ પદ આપેલ હોય ત્યારે $AP$ ના સરવાળા માટેનું સૂત્ર:
$S_n = \frac{n}{2}(a + l)$
સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$144 = \frac{9}{2}(a + 28)$
બંને બાજુ $\frac{2}{9}$ વડે ગુણતા:
$144 \times \frac{2}{9} = a + 28$
$16 \times 2 = a + 28$
$32 = a + 28$
$a = 32 - 28$
$a = 4$

(B) ધારો કે આ $AP$ ના $n$ પદો છે.
આ $AP$ માટે,પ્રથમ પદ $a = 9$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 17 - 9 = 8$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $636 = \frac{n}{2}[2(9) + (n - 1)8]$.
$636 = \frac{n}{2}[18 + 8n - 8]$.
$636 = \frac{n}{2}[10 + 8n]$.
$636 = n(5 + 4n)$.
$4n^2 + 5n - 636 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણને અવયવીકરણની રીતથી ઉકેલતા: $4n^2 + 53n - 48n - 636 = 0$.
$n(4n + 53) - 12(4n + 53) = 0$.
$(4n + 53)(n - 12) = 0$.
આથી $n = -\frac{53}{4}$ અથવા $n = 12$ મળે છે.
પદોની સંખ્યા $n$ હંમેશા ધન પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી ઋણ અપૂર્ણાંક કિંમત શક્ય નથી.
આમ,$n = 12$ છે.

(A) આપેલ છે કે,
પ્રથમ પદ $a = 5$
અંતિમ પદ $l = 45$
પદોનો સરવાળો $S_{n} = 400$
$AP$ ના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $S_{n} = \frac{n}{2}(a + l)$
કિંમતો મૂકતા: $400 = \frac{n}{2}(5 + 45)$
$400 = \frac{n}{2}(50)$
$400 = 25n$
$n = \frac{400}{25} = 16$
હવે,$n$ માં પદ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $l = a + (n - 1)d$
કિંમતો મૂકતા: $45 = 5 + (16 - 1)d$
$45 - 5 = 15d$
$40 = 15d$
$d = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}$
આમ,પદોની સંખ્યા $16$ છે અને સામાન્ય તફાવત $\frac{8}{3}$ છે.

(B) આપેલ છે કે,
પ્રથમ પદ $a = 17$
અંતિમ પદ $l = 350$
સામાન્ય તફાવત $d = 9$
ધારો કે $AP$ માં કુલ $n$ પદ છે.
$n$ માં પદનું સૂત્ર $l = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $350 = 17 + (n - 1)9$
$333 = (n - 1)9$
$n - 1 = 37$
$n = 38$
હવે,$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ દ્વારા મળે છે.
$S_{38} = \frac{38}{2}(17 + 350)$
$S_{38} = 19 \times 367 = 6973$.
આમ,આ શ્રેણીમાં $38$ પદ છે અને તેમનો સરવાળો $6973$ છે.

(C) આપેલ છે: સામાન્ય તફાવત $d = 7$,પદોની સંખ્યા $n = 22$,અને $22$ મું પદ $a_{22} = 149$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $AP$ ના $n$ મા પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $149 = a + (22 - 1) \times 7$.
$149 = a + 21 \times 7$.
$149 = a + 147$.
$a = 149 - 147 = 2$.
હવે,પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_{22} = \frac{22}{2}(2 + 149)$.
$S_{22} = 11 \times 151$.
$S_{22} = 1661$.

(D) આપેલ છે કે,બીજું પદ $a_{2} = 14$ અને ત્રીજું પદ $a_{3} = 18$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = a_{3} - a_{2} = 18 - 14 = 4$ મળે છે.
$a_{2} = a + d$ હોવાથી,$14 = a + 4$,જેનું સાદું રૂપ આપતા પ્રથમ પદ $a = 10$ મળે છે.
$AP$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
$n = 51$ માટે,$S_{51} = \frac{51}{2}[2(10) + (51 - 1)4]$.
$S_{51} = \frac{51}{2}[20 + (50)(4)]$.
$S_{51} = \frac{51}{2}[20 + 200] = \frac{51}{2}(220)$.
$S_{51} = 51 \times 110 = 5610$.

આપેલ છે કે,
$S_{7} = 49$
$S_{17} = 289$
$AP$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર: $S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$
$n = 7$ માટે:
$S_{7} = \frac{7}{2}[2a + (7 - 1)d] = 49$
$\frac{7}{2}(2a + 6d) = 49$
$7(a + 3d) = 49$
$a + 3d = 7$ $...(i)$
$n = 17$ માટે:
$S_{17} = \frac{17}{2}[2a + (17 - 1)d] = 289$
$\frac{17}{2}(2a + 16d) = 289$
$17(a + 8d) = 289$
$a + 8d = 17$ $...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 8d) - (a + 3d) = 17 - 7$
$5d = 10$
$d = 2$
$d = 2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 3(2) = 7$
$a + 6 = 7$
$a = 1$
હવે,પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધતા:
$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$
$S_{n} = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)(2)]$
$S_{n} = \frac{n}{2}[2 + 2n - 2]$
$S_{n} = \frac{n}{2}(2n)$
$S_{n} = n^{2}$

(B) આપેલ છે કે શ્રેણીનું $n$-મું પદ $a_{n}=3+4 n$ છે.
પ્રથમ થોડા પદોની ગણતરી કરતા:
$a_{1}=3+4(1)=7$
$a_{2}=3+4(2)=11$
$a_{3}=3+4(3)=15$
$a_{4}=3+4(4)=19$
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત તપાસતા:
$a_{2}-a_{1}=11-7=4$
$a_{3}-a_{2}=15-11=4$
$a_{4}-a_{3}=19-15=4$
અહીં તફાવત $a_{k+1}-a_{k}=4$ દરેક વખતે સમાન રહે છે,તેથી આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a=7$ અને સામાન્ય તફાવત $d=4$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n=15$ માટે:
$S_{15}=\frac{15}{2}[2(7)+(15-1) 4]$
$S_{15}=\frac{15}{2}[14+56]$
$S_{15}=\frac{15}{2}(70)$
$S_{15}=15 \times 35 = 525$.

(C) આપેલ છે કે $a_{n}=9-5n$.
પ્રથમ થોડા પદોની ગણતરી કરતા:
$a_{1}=9-5(1)=4$
$a_{2}=9-5(2)=-1$
$a_{3}=9-5(3)=-6$
સામાન્ય તફાવત તપાસતા:
$a_{2}-a_{1}=-1-4=-5$
$a_{3}-a_{2}=-6-(-1)=-5$
તફાવત $a_{k+1}-a_{k}$ અચળ $(-5)$ હોવાથી,આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a=4$ અને સામાન્ય તફાવત $d=-5$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n=15$ માટે:
$S_{15}=\frac{15}{2}[2(4)+(15-1)(-5)]$
$S_{15}=\frac{15}{2}[8+14(-5)]$
$S_{15}=\frac{15}{2}[8-70]$
$S_{15}=\frac{15}{2}(-62)$
$S_{15}=15(-31)=-465$.

(N/A) આપેલ છે કે,પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 4n - n^2$ છે.
$1$. પ્રથમ પદ $(a_1)$ એ $S_1$ જેટલું છે:
$a_1 = S_1 = 4(1) - (1)^2 = 4 - 1 = 3$.
$2$. પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $S_2$ છે:
$S_2 = 4(2) - (2)^2 = 8 - 4 = 4$.
$3$. બીજું પદ $(a_2)$ એ $S_2 - S_1$ છે:
$a_2 = 4 - 3 = 1$.
$4$. સામાન્ય તફાવત $(d)$ એ $a_2 - a_1 = 1 - 3 = -2$ છે.
$5$. $n^{th}$ પદ $(a_n)$ એ $a + (n - 1)d$ દ્વારા મળે છે:
$a_n = 3 + (n - 1)(-2) = 3 - 2n + 2 = 5 - 2n$.
$6$. ચોક્કસ પદો શોધતા:
$a_3 = 5 - 2(3) = 5 - 6 = -1$.
$a_{10} = 5 - 2(10) = 5 - 20 = -15$.
આમ,પ્રથમ પદ $3$ છે,પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $4$ છે,બીજું પદ $1$ છે,$3^{rd}$ પદ $-1$ છે,$10^{th}$ પદ $-15$ છે અને $n^{th}$ પદ $5 - 2n$ છે.