Textbook -Arithmetic Progressions Questions in Gujarati

(A) $6$ વડે વિભાજ્ય ધન પૂર્ણાંકો $6, 12, 18, 24, \ldots$ છે.
આ શ્રેણી એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 6$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 6$ છે.
આપણે પ્રથમ $n = 40$ પદોનો સરવાળો શોધવાનો છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
$n = 40$,$a = 6$,અને $d = 6$ કિંમતો મૂકતા:
$S_{40} = \frac{40}{2}[2(6) + (40 - 1)6]$
$S_{40} = 20[12 + (39)(6)]$
$S_{40} = 20[12 + 234]$
$S_{40} = 20 \times 246$
$S_{40} = 4920$.

(B) $8$ ના ગુણકો $8, 16, 24, 32, \ldots$ છે.
આ સંખ્યાઓ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 8$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 8$ છે.
આપણે પ્રથમ $n = 15$ પદોનો સરવાળો શોધવાનો છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_{15} = \frac{15}{2}[2(8) + (15 - 1)8]$.
$S_{15} = \frac{15}{2}[16 + 14(8)]$.
$S_{15} = \frac{15}{2}[16 + 112]$.
$S_{15} = \frac{15}{2}(128)$.
$S_{15} = 15 \times 64 = 960$.

(C) $0$ અને $50$ ની વચ્ચેની એકી સંખ્યાઓ $1, 3, 5, 7, 9, \ldots, 49$ છે.
આ સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1$,સામાન્ય તફાવત $d = 2$ અને અંતિમ પદ $l = 49$ છે.
$n$ માં પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $l = a + (n - 1)d$.
$49 = 1 + (n - 1)2$
$48 = 2(n - 1)$
$n - 1 = 24$
$n = 25$.
હવે,સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_{25} = \frac{25}{2}(1 + 49)$
$S_{25} = \frac{25}{2}(50)$
$S_{25} = 25 \times 25 = 625$.

(D) અહીં જોઈ શકાય છે કે આ દંડની રકમ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 200$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 50$ છે.
દિવસોની સંખ્યા $n = 30$ છે.
ચૂકવવાની કુલ દંડની રકમ એ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $30$ પદોનો સરવાળો છે,જેનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S_{30} = \frac{30}{2}[2(200) + (30 - 1)50]$
$S_{30} = 15[400 + 29 \times 50]$
$S_{30} = 15[400 + 1450]$
$S_{30} = 15[1850]$
$S_{30} = 27750$
તેથી,કોન્ટ્રાક્ટરે દંડ તરીકે ₹ $27750$ ચૂકવવા પડશે.

(N/A) ધારો કે પ્રથમ ઇનામની કિંમત $a$ છે.
દરેક ઇનામ તેના અગાઉના ઇનામ કરતાં ₹ $20$ ઓછું હોવાથી,આ કિંમતો સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે,જેમાં સામાન્ય તફાવત $d = -20$ છે.
ઇનામોની સંખ્યા $n = 7$ છે અને કુલ સરવાળો $S_7 = 700$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $700 = \frac{7}{2} [2a + (7 - 1)(-20)]$.
$700 = \frac{7}{2} [2a + 6(-20)]$.
$100 = \frac{1}{2} [2a - 120]$.
$100 = a - 60$.
$a = 160$.
સાત ઇનામોની કિંમતો નીચે મુજબ છે:
પ્રથમ ઇનામ: ₹ $160$
બીજું ઇનામ: ₹ $140$
ત્રીજું ઇનામ: ₹ $120$
ચોથું ઇનામ: ₹ $100$
પાંચમું ઇનામ: ₹ $80$
છઠ્ઠું ઇનામ: ₹ $60$
સાતમું ઇનામ: ₹ $40$.

(B) અહીં જોઈ શકાય છે કે દરેક ધોરણના એક વિભાગ દ્વારા વાવવામાં આવેલા વૃક્ષોની સંખ્યા સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે.
આ શ્રેણી $1, 2, 3, 4, \dots, 12$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2 - 1 = 1$ છે.
પદોની સંખ્યા $n = 12$ છે.
બધા ધોરણોના એક વિભાગ દ્વારા વાવવામાં આવેલા વૃક્ષોનો સરવાળો સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ દ્વારા મળે છે.
$S_{12} = \frac{12}{2}[2(1) + (12 - 1)(1)]$
$S_{12} = 6[2 + 11]$
$S_{12} = 6 \times 13 = 78$.
દરેક ધોરણ માટે $3$ વિભાગો હોવાથી,બધા વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા વાવવામાં આવેલા કુલ વૃક્ષોની સંખ્યા $3 \times 78 = 234$ થશે.
તેથી,વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા કુલ $234$ વૃક્ષો વાવવામાં આવશે.

(C) અર્ધવર્તુળની લંબાઈ $l = \pi r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 0.5 \, cm, r_2 = 1.0 \, cm, r_3 = 1.5 \, cm, \ldots$ માટે,ક્રમિક અર્ધવર્તુળોની લંબાઈ નીચે મુજબ છે:
$l_1 = \pi(0.5) = 0.5\pi \, cm$
$l_2 = \pi(1.0) = 1.0\pi \, cm$
$l_3 = \pi(1.5) = 1.5\pi \, cm$
આ લંબાઈઓ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 0.5\pi$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 1.0\pi - 0.5\pi = 0.5\pi$ છે.
આપણે $n = 13$ પદોનો સરવાળો શોધવાનો છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$S_{13} = \frac{13}{2} [2(0.5\pi) + (13 - 1)(0.5\pi)]$
$S_{13} = \frac{13}{2} [1.0\pi + 12(0.5\pi)]$
$S_{13} = \frac{13}{2} [1.0\pi + 6.0\pi] = \frac{13}{2} [7\pi]$
$S_{13} = \frac{91\pi}{2}$
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$S_{13} = \frac{91}{2} \times \frac{22}{7} = 13 \times 11 = 143 \, cm$.
આમ,સર્પાકારની કુલ લંબાઈ $143 \, cm$ છે.

(N/A) અહીં જોઈ શકાય છે કે હારમાં રહેલા લાકડાના ભારની સંખ્યા સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે.
$20, 19, 18, \dots$
આ સમાંતર શ્રેણી માટે:
$a = 20$
$d = a_2 - a_1 = 19 - 20 = -1$
ધારો કે કુલ $200$ ભાર $n$ હારમાં ગોઠવાયેલા છે.
$S_n = 200$
સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$200 = \frac{n}{2}[2(20) + (n - 1)(-1)]$
$400 = n(40 - n + 1)$
$400 = n(41 - n)$
$400 = 41n - n^2$
$n^2 - 41n + 400 = 0$
$n^2 - 16n - 25n + 400 = 0$
$n(n - 16) - 25(n - 16) = 0$
$(n - 16)(n - 25) = 0$
તેથી,$n = 16$ અથવા $n = 25$.
હવે,$n^{th}$ હારમાં ભારની સંખ્યા શોધવા માટે $a_n = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n = 16$ માટે:
$a_{16} = 20 + (16 - 1)(-1) = 20 - 15 = 5$
$n = 25$ માટે:
$a_{25} = 20 + (25 - 1)(-1) = 20 - 24 = -4$
લાકડાના ભારની સંખ્યા ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી $n = 25$ શક્ય નથી.
આમ,$200$ ભાર $16$ હારમાં ગોઠવાયેલા છે અને સૌથી ઉપરની હારમાં $5$ ભાર છે.

(A) ડોલથી બટાકાના અંતર $5\, m, 8\, m, 11\, m, 14\, m, \dots$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 3$ છે.
દરેક બટાકા માટે,સ્પર્ધક બટાકા સુધી દોડે છે અને પાછી ડોલ સુધી આવે છે,તેથી દરેક બટાકા માટે કાપેલું અંતર તેના ડોલથી અંતર કરતા બમણું હોય છે.
દરેક $10$ બટાકા માટે દોડવાનું અંતર $2 \times 5, 2 \times 8, 2 \times 11, 2 \times 14, \dots$ છે.
આ એક નવી સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a' = 10$ અને સામાન્ય તફાવત $d' = 6$ છે.
કુલ અંતર એ આ સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો છે.
સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a' + (n-1)d']$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_{10} = \frac{10}{2}[2(10) + (10-1)6]$
$S_{10} = 5[20 + 9 \times 6]$
$S_{10} = 5[20 + 54]$
$S_{10} = 5[74] = 370$.
આમ,સ્પર્ધકે કુલ $370\, m$ અંતર દોડવું પડશે.

(B) આપેલ $A.P.$ એ $121, 117, 113, \ldots$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 121$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 117 - 121 = -4$ છે.
$A.P.$ નું $n$-મું પદ $a_n = a + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$a_n = 121 + (n - 1)(-4) = 121 - 4n + 4 = 125 - 4n$ મળે.
આપણે પ્રથમ ઋણ પદ શોધવું છે,તેથી $a_n < 0$ લેતા.
$125 - 4n < 0$
$125 < 4n$
$n > \frac{125}{4}$
$n > 31.25$
$n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવી જોઈએ,તેથી $31.25$ થી મોટી સૌથી નાની પૂર્ણાંક સંખ્યા $32$ છે.
તેથી,આ $A.P.$ નું $32$-મું પદ પ્રથમ ઋણ પદ હશે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $AP$ નું $n$-મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ છે.
તેથી,$a_3 = a + 2d$ અને $a_7 = a + 6d$.
આપેલ છે કે $a_3 + a_7 = 6$,તેથી $(a + 2d) + (a + 6d) = 6$,જેનું સાદું રૂપ $2a + 8d = 6$ અથવા $a + 4d = 3$ થાય છે. તેથી,$a = 3 - 4d$ $...(i)$.
વળી,આપેલ છે કે $a_3 \times a_7 = 8$,તેથી $(a + 2d)(a + 6d) = 8$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $a = 3 - 4d$ ની કિંમત આ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(3 - 4d + 2d)(3 - 4d + 6d) = 8$
$(3 - 2d)(3 + 2d) = 8$
$9 - 4d^2 = 8 \implies 4d^2 = 1 \implies d^2 = 1/4 \implies d = \pm 1/2$.
કિસ્સો $1$: જો $d = 1/2$ હોય,તો $a = 3 - 4(1/2) = 3 - 2 = 1$.
પ્રથમ $16$ પદોનો સરવાળો $S_{16} = \frac{16}{2}[2(1) + (16-1)(1/2)] = 8[2 + 7.5] = 8[9.5] = 76$.
કિસ્સો $2$: જો $d = -1/2$ હોય,તો $a = 3 - 4(-1/2) = 3 + 2 = 5$.
પ્રથમ $16$ પદોનો સરવાળો $S_{16} = \frac{16}{2}[2(5) + (16-1)(-1/2)] = 8[10 - 7.5] = 8[2.5] = 20$.
અહીં $20$ વિકલ્પમાં આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $20$ છે.

(D) પગથિયાં એકબીજાથી $25 \, cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવ્યા છે. સૌથી ઉપરના અને સૌથી નીચેના પગથિયાં વચ્ચેનું કુલ અંતર $2 \frac{1}{2} \, m = 250 \, cm$ છે.
પગથિયાં વચ્ચેના અંતરાલની સંખ્યા $\frac{250}{25} = 10$ છે.
બંને છેડે પગથિયું હોવાથી,પગથિયાંની કુલ સંખ્યા $n = 10 + 1 = 11$ થશે.
જેમ કે પગથિયાંની લંબાઈ સમાન રીતે ઘટે છે,તેથી તે સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે.
પ્રથમ પદ $a = 45 \, cm$ અને અંતિમ પદ $l = 25 \, cm$ છે.
જરૂરી લાકડાની કુલ લંબાઈ એ $A.P.$ શ્રેણીનો સરવાળો છે,જે સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $S_{11} = \frac{11}{2}(45 + 25) = \frac{11}{2}(70) = 11 \times 35 = 385 \, cm$.
આમ,પગથિયાં માટે જરૂરી લાકડાની કુલ લંબાઈ $385 \, cm$ છે.

(A) ઘરોના નંબર $1, 2, 3, \ldots, 49$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 1$ છે.
ધારો કે ઘરનો નંબર $x$ છે. $x$ ની આગળના ઘરોના નંબરનો સરવાળો એ પ્રથમ $(x-1)$ પદોનો સરવાળો છે: $S_{x-1} = \frac{(x-1)}{2}[2a + (x-1-1)d] = \frac{x-1}{2}[2(1) + (x-2)(1)] = \frac{x(x-1)}{2}$.
$x$ ની પાછળના ઘરોના નંબરનો સરવાળો એ $49$ ઘરોના કુલ સરવાળામાંથી પ્રથમ $x$ ઘરોનો સરવાળો બાદ કરવાથી મળે: $S_{49} - S_x = \frac{49}{2}[2(1) + (49-1)(1)] - \frac{x}{2}[2(1) + (x-1)(1)] = \frac{49 \times 50}{2} - \frac{x(x+1)}{2} = 1225 - \frac{x(x+1)}{2}$.
બંને સરવાળાને સરખાવતા: $\frac{x(x-1)}{2} = 1225 - \frac{x(x+1)}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા: $x^2 - x = 2450 - (x^2 + x)$.
$x^2 - x = 2450 - x^2 - x$.
$2x^2 = 2450$.
$x^2 = 1225$.
$x = \sqrt{1225} = 35$ (કારણ કે $x$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ).
આમ,$x$ ની કિંમત $35$ છે.

(B) આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે:
$1$ લું પગથિયું $\frac{1}{2} \, m$ પહોળું છે,
$2$ જું પગથિયું $1 \, m$ પહોળું છે,
$3$ જું પગથિયું $\frac{3}{2} \, m$ પહોળું છે.
તેથી,દરેક પગથિયાની પહોળાઈ દર વખતે $\frac{1}{2} \, m$ વધે છે,જ્યારે તેમની ઊંચાઈ $\frac{1}{4} \, m$ અને લંબાઈ $50 \, m$ સમાન રહે છે.
આમ,આ પગથિયાંની પહોળાઈ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \dots$
$1$ લા પગથિયામાં કોંક્રિટનું ઘનફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = 50 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{25}{4} \, m^3$.
$2$ જા પગથિયામાં કોંક્રિટનું ઘનફળ $= 50 \times 1 \times \frac{1}{4} = \frac{25}{2} \, m^3$.
$3$ જા પગથિયામાં કોંક્રિટનું ઘનફળ $= 50 \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{75}{4} \, m^3$.
આ પગથિયાંમાં કોંક્રિટનું ઘનફળ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{25}{4}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = \frac{25}{2} - \frac{25}{4} = \frac{25}{4}$ છે.
$n = 15$ પગથિયાં માટે કુલ ઘનફળ સરવાળાના સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$ દ્વારા મળે છે.
$S_{15} = \frac{15}{2} \left[ 2 \left( \frac{25}{4} \right) + (15 - 1) \left( \frac{25}{4} \right) \right]$
$S_{15} = \frac{15}{2} \left[ \frac{25}{2} + 14 \times \frac{25}{4} \right] = \frac{15}{2} \left[ \frac{25}{2} + \frac{175}{2} \right]$
$S_{15} = \frac{15}{2} \left[ \frac{200}{2} \right] = \frac{15}{2} \times 100 = 750$.
આમ,ટેરેસ બનાવવા માટે જરૂરી કોંક્રિટનું કુલ ઘનફળ $750 \, m^3$ છે.