Mix Examples - Arithmetic Progressions Questions in Hindi

(A) दिए गए $A.P.$ के लिए,$10$ वाँ पद $T_{10} = 73$ और $20$ वाँ पद $T_{20} = 143$ है।
सार्व अंतर $d = \frac{T_m - T_n}{m - n}$ के सूत्र का उपयोग करने पर:
$d = \frac{T_{20} - T_{10}}{20 - 10}$
$d = \frac{143 - 73}{10} = \frac{70}{10} = 7$
अब,$10$ वें पद के लिए $T_n = a + (n - 1)d$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$T_{10} = a + 9d$
$73 = a + 9(7)$
$73 = a + 63$
$a = 10$
अंत में,$30$ वाँ पद $T_{30}$ इस प्रकार है:
$T_{30} = a + 29d$
$T_{30} = 10 + 29(7)$
$T_{30} = 10 + 203 = 213$
अतः,प्रथम पद $10$ है,सार्व अंतर $7$ है और $30$ वाँ पद $213$ है।

(B) दी गई $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a = 4$ और सार्व अंतर $d = 9 - 4 = 5$ है।
मान लीजिए,$A.P.$ का $n^{th}$ पद $T_n = 224$ है।
$n^{th}$ पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर:
$224 = 4 + (n - 1)5$
दोनों पक्षों से $4$ घटाने पर:
$220 = 5(n - 1)$
$5$ से भाग देने पर:
$44 = n - 1$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$n = 45$
अतः,$A.P.$ का $45^{th}$ पद $224$ है।

(C) अजयभाई द्वारा मासिक किस्तों में भुगतान की जाने वाली राशि इस प्रकार है:
पहली किस्त में भुगतान की गई राशि $= Rs. 100$
दूसरी किस्त में भुगतान की गई राशि $= Rs. 100 + 50 = Rs. 150$
तीसरी किस्त में भुगतान की गई राशि $= Rs. 150 + 50 = Rs. 200$
इस प्रकार,अजयभाई द्वारा भुगतान की जाने वाली राशि ($Rs.$ में) एक परिमित समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) बनाती है: $100, 150, 200, \dots$ जो $24$ पदों तक है।
इस समांतर श्रेणी के लिए,प्रथम पद $a = 100$ और सार्व अंतर $d = 150 - 100 = 50$ है।
$24$वीं किस्त में भुगतान की जाने वाली राशि ज्ञात करने के लिए,हम समांतर श्रेणी के $n$वें पद का सूत्र उपयोग करेंगे:
$T_n = a + (n - 1)d$
$n = 24$ के लिए:
$T_{24} = a + (24 - 1)d$
$T_{24} = 100 + 23(50)$
$T_{24} = 100 + 1150$
$T_{24} = 1250$
अतः,अजयभाई $24$वीं किस्त में $Rs. 1250$ का भुगतान करेंगे।

(N/A) यह निर्धारित करने के लिए कि अनुक्रम $1, 4, 9, 16, \ldots$ एक $A.P.$ है या नहीं,हम क्रमागत पदों के बीच के अंतर की जाँच करते हैं।
मान लीजिए अनुक्रम $a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots$ है,जहाँ $a_1 = 1, a_2 = 4, a_3 = 9, a_4 = 16$ है।
पहला अंतर $d_1 = a_2 - a_1 = 4 - 1 = 3$ है।
दूसरा अंतर $d_2 = a_3 - a_2 = 9 - 4 = 5$ है।
चूँकि $d_1 \neq d_2$,इसलिए सार्व अंतर समान नहीं है।
अतः,अनुक्रम $1, 4, 9, 16, \ldots$ एक $A.P.$ नहीं है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि अनुक्रम $5, 11, 17, 23, \ldots$ एक $A.P.$ है या नहीं,हम क्रमागत पदों के बीच सार्व अंतर $d$ की जाँच करते हैं।
$d_1 = 11 - 5 = 6$
$d_2 = 17 - 11 = 6$
$d_3 = 23 - 17 = 6$
चूँकि सार्व अंतर $d = 6$ स्थिर है,इसलिए यह अनुक्रम एक $A.P.$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ है,जहाँ प्रथम पद $a = 5$ और $d = 6$ है।
$T_n = 5 + (n - 1)6$
$T_n = 5 + 6n - 6$
$T_n = 6n - 1$

(D) यह जाँचने के लिए कि अनुक्रम $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \ldots$ एक $A.P.$ है या नहीं,हम क्रमागत पदों के बीच का अंतर निकालते हैं।
माना $a_1 = \frac{1}{2}$,$a_2 = \frac{2}{3}$,$a_3 = \frac{3}{4}$,$a_4 = \frac{4}{5}$.
सार्व अंतर $d_1 = a_2 - a_1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$.
सार्व अंतर $d_2 = a_3 - a_2 = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}$.
चूँकि $d_1 \neq d_2$,क्रमागत पदों के बीच का अंतर समान नहीं है।
अतः,दिया गया अनुक्रम $A.P.$ नहीं है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि अनुक्रम एक $A.P.$ है या नहीं,हम क्रमागत पदों के बीच सार्व अंतर $d$ की जाँच करते हैं।
$d_1 = 2.3 - 1.4 = 0.9$
$d_2 = 3.2 - 2.3 = 0.9$
$d_3 = 4.1 - 3.2 = 0.9$
चूँकि सार्व अंतर $d = 0.9$ समान है,इसलिए यह अनुक्रम एक $A.P.$ है।
$A.P.$ का $n$ वाँ पद $T_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ प्रथम पद $a = 1.4$ और $d = 0.9$ है।
$T_n = 1.4 + (n - 1)0.9$
$T_n = 1.4 + 0.9n - 0.9$
$T_n = 0.9n + 0.5$

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि अनुक्रम एक $A.P.$ है या नहीं,हम सार्व अंतर $d = a_{n} - a_{n-1}$ की जाँच करते हैं।
यहाँ,$a_{1} = 111, a_{2} = 107, a_{3} = 103, a_{4} = 99$ है।
$d_{1} = a_{2} - a_{1} = 107 - 111 = -4$.
$d_{2} = a_{3} - a_{2} = 103 - 107 = -4$.
$d_{3} = a_{4} - a_{3} = 99 - 103 = -4$.
चूँकि सार्व अंतर स्थिर $(d = -4)$ है,इसलिए यह अनुक्रम एक $A.P.$ है।
$n$ वें पद का सूत्र $a_{n} = a + (n - 1)d$ है।
$a = 111$ और $d = -4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a_{n} = 111 + (n - 1)(-4) = 111 - 4n + 4 = -4n + 115$.
अतः,$n$ वाँ पद $T_{n} = -4n + 115$ है।

(A) $A.P.$ का सामान्य रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $a = 8$ और $d = 5$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर:
प्रथम पद $(T_1)$ = $a = 8$
द्वितीय पद $(T_2)$ = $a + d = 8 + 5 = 13$
तृतीय पद $(T_3)$ = $a + 2d = 8 + 2(5) = 8 + 10 = 18$
चतुर्थ पद $(T_4)$ = $a + 3d = 8 + 3(5) = 8 + 15 = 23$
अतः,$A.P.$ $8, 13, 18, 23, \ldots$ है।
सामान्य पद $T_n$ का मान $T_n = a + (n-1)d = 8 + (n-1)5 = 8 + 5n - 5 = 5n + 3$ है।

(A) $A.P.$ का सामान्य रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $a = -12$ और $d = 3$ दिए गए हैं।
प्रथम पद $T_1 = a = -12$.
दूसरा पद $T_2 = a + d = -12 + 3 = -9$.
तीसरा पद $T_3 = a + 2d = -12 + 2(3) = -12 + 6 = -6$.
चौथा पद $T_4 = a + 3d = -12 + 3(3) = -12 + 9 = -3$.
अतः,$A.P.$ $-12, -9, -6, -3, \ldots$ है।
$n$ वाँ पद $T_n = a + (n-1)d = -12 + (n-1)3 = -12 + 3n - 3 = 3n - 15$ द्वारा प्राप्त होता है।

(A) $A.P.$ का सामान्य रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $a = 21$ और $d = -7$ दिए गए हैं।
प्रथम पद $T_1 = a = 21$.
दूसरा पद $T_2 = a + d = 21 + (-7) = 14$.
तीसरा पद $T_3 = a + 2d = 21 + 2(-7) = 21 - 14 = 7$.
चौथा पद $T_4 = a + 3d = 21 + 3(-7) = 21 - 21 = 0$.
अतः,$A.P.$ है: $21, 14, 7, 0, \ldots$
सामान्य पद $T_n$ का सूत्र $T_n = a + (n-1)d = 21 + (n-1)(-7) = 21 - 7n + 7 = -7n + 28$ है।

(A) $A.P.$ का सामान्य रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $a = -15$ और $d = -7$ दिया गया है।
प्रथम पद $a_1 = -15$.
दूसरा पद $a_2 = a + d = -15 + (-7) = -22$.
तीसरा पद $a_3 = a + 2d = -15 + 2(-7) = -15 - 14 = -29$.
चौथा पद $a_4 = a + 3d = -15 + 3(-7) = -15 - 21 = -36$.
$n$ वाँ पद $T_n = a + (n-1)d = -15 + (n-1)(-7) = -15 - 7n + 7 = -7n - 8$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$A.P.$ $-15, -22, -29, -36, \ldots$ है और सामान्य पद $T_n = -7n - 8$ है।

(A) $A.P.$ का व्यापक रूप $a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots$ होता है।
यहाँ $a = \frac{15}{2}$ और $d = \frac{3}{2}$ दिया गया है।
प्रथम पद $T_1 = a = \frac{15}{2} = 7.5$.
द्वितीय पद $T_2 = a + d = \frac{15}{2} + \frac{3}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
तृतीय पद $T_3 = a + 2d = \frac{15}{2} + 2(\frac{3}{2}) = \frac{15}{2} + 3 = \frac{15+6}{2} = \frac{21}{2} = 10.5$.
चतुर्थ पद $T_4 = a + 3d = \frac{15}{2} + 3(\frac{3}{2}) = \frac{15+9}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
अतः,$A.P.$ $\frac{15}{2}, 9, \frac{21}{2}, 12, \ldots$ है।
सामान्य पद $T_n = a + (n-1)d = \frac{15}{2} + (n-1)\frac{3}{2} = \frac{15 + 3n - 3}{2} = \frac{3n + 12}{2}$ है।

(N/A) दी गई समांतर श्रेणी $27, 22, 17, 12, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 27$ है।
सार्व अंतर $d = 22 - 27 = -5$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $T_n = 27 + (n - 1)(-5)$।
$T_n = 27 - 5n + 5$।
$T_n = -5n + 32$।

(A) दी गई श्रेणी $10.5, 11.7, 12.9, 14.1, \dots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 10.5$ है।
सार्व अंतर $d = 11.7 - 10.5 = 1.2$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $T_n = 10.5 + (n - 1)1.2$.
$T_n = 10.5 + 1.2n - 1.2$.
$T_n = 1.2n + 9.3$.

(A) दी गई समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $\frac{4}{3}, 2, \frac{8}{3}, \frac{10}{3}, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = \frac{4}{3}$ है।
सार्व अंतर $d = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6-4}{3} = \frac{2}{3}$ है।
समांतर श्रेणी के $n^{th}$ पद का सूत्र $T_n = a + (n-1)d$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $T_n = \frac{4}{3} + (n-1)\frac{2}{3}$.
$T_n = \frac{4}{3} + \frac{2n}{3} - \frac{2}{3}$.
$T_n = \frac{2n + 2}{3}$.

(A) दी गई $A.P.$ $9, 13, 17, 21, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 9$ है।
सार्व अंतर $d = 13 - 9 = 4$ है।
हमें $12$ वाँ पद $(a_{12})$ ज्ञात करना है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $a_{12} = 9 + (12 - 1) \times 4$.
$a_{12} = 9 + 11 \times 4$.
$a_{12} = 9 + 44$.
$a_{12} = 53$.
अतः,$12$ वाँ पद $53$ है।

(B) दी गई $A.P.$ $50, 56, 62, 68, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 50$ है।
सार्व अंतर $d = 56 - 50 = 6$ है।
हमें $100$ वाँ पद $(a_{100})$ ज्ञात करना है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $a_{100} = 50 + (100 - 1) \times 6$.
$a_{100} = 50 + 99 \times 6$.
$a_{100} = 50 + 594$.
$a_{100} = 644$.

(C) दी गई $A.P.$ $13, 8, 3, -2, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 13$ है।
सार्व अंतर $d = 8 - 13 = -5$ है।
हमें $45$ वाँ पद ज्ञात करना है,जिसे $a_{45}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान $a = 13$,$n = 45$,और $d = -5$ रखने पर:
$a_{45} = 13 + (45 - 1)(-5)$
$a_{45} = 13 + (44)(-5)$
$a_{45} = 13 - 220$
$a_{45} = -207$.
अतः,$45$ वाँ पद $-207$ है।

(A) दी गई $A.P.$ है: $6.4, 7.6, 8.8, 10, \ldots$
यहाँ,प्रथम पद $a = 6.4$ है।
सार्व अंतर $d = 7.6 - 6.4 = 1.2$ है।
$A.P.$ के $n^{th}$ पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ होता है।
मान रखने पर: $T_n = 6.4 + (n - 1)1.2$.
$T_n = 6.4 + 1.2n - 1.2$.
$T_n = 1.2n + 5.2$.

(B) दी गई $A.P.$ (समांतर श्रेणी) $18, 16.5, 15, 13.5, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 18$ है।
सार्व अंतर $d = 16.5 - 18 = -1.5$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T_n = 18 + (n - 1)(-1.5)$
$T_n = 18 - 1.5n + 1.5$
$T_n = -1.5n + 19.5$.

(A) मान लीजिए कि $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n^{th}$ पद $T_n = a + (n - 1)d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$7^{th}$ पद के लिए: $T_7 = a + 6d = 46$ --- $(1)$
$12^{th}$ पद के लिए: $T_{12} = a + 11d = 71$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(a + 11d) - (a + 6d) = 71 - 46$
$5d = 25$
$d = 5$
$d = 5$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + 6(5) = 46$
$a + 30 = 46$
$a = 16$
अतः,$n^{th}$ पद $T_n = a + (n - 1)d = 16 + (n - 1)5 = 16 + 5n - 5 = 5n + 11$ होगा।

(A) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वाँ पद $T_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$12$ वें पद के लिए: $a + 11d = 4$ --- $(1)$
$20$ वें पद के लिए: $a + 19d = -20$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(a + 19d) - (a + 11d) = -20 - 4$
$8d = -24$
$d = -3$
$d = -3$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + 11(-3) = 4$
$a - 33 = 4$
$a = 37$
अतः,$n$ वाँ पद $T_n = a + (n - 1)d = 37 + (n - 1)(-3) = 37 - 3n + 3 = -3n + 40$ है।

(D) दी गई $A.P.$ $7, 11, 15, \ldots, 107$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 7$ है।
सार्व अंतर $d = 11 - 7 = 4$ है।
अंतिम पद $a_n = 107$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $107 = 7 + (n - 1)4$.
$107 - 7 = (n - 1)4$.
$100 = (n - 1)4$.
$n - 1 = 100 / 4 = 25$.
$n = 25 + 1 = 26$.
अतः,$A.P.$ में पदों की संख्या $26$ है।

(A) दी गई $A.P.$ $6, 5.5, 5, \ldots, -12$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 6$ है।
सार्व अंतर $d = 5.5 - 6 = -0.5$ है।
अंतिम पद $a_n = -12$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $-12 = 6 + (n - 1)(-0.5)$.
$-12 - 6 = (n - 1)(-0.5)$.
$-18 = (n - 1)(-0.5)$.
$n - 1 = \frac{-18}{-0.5} = 36$.
$n = 36 + 1 = 37$.
अतः,$A.P.$ में पदों की संख्या $37$ है।

(B) दी गई $A.P.$ $13, 20, 27, 34, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 13$ और सार्व अंतर $d = 20 - 13 = 7$ है।
माना कि $n^{th}$ पद $a_n = 384$ है।
$A.P.$ के $n^{th}$ पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $384 = 13 + (n - 1)7$.
$384 - 13 = (n - 1)7$.
$371 = (n - 1)7$.
$n - 1 = 371 / 7 = 53$.
$n = 53 + 1 = 54$.
अतः,$A.P.$ का $54^{th}$ पद $384$ है।

(C) दी गई $A.P.$ $34, 27, 20, 13, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 34$ और सार्व अंतर $d = 27 - 34 = -7$ है।
हमें वह पद $n$ ज्ञात करना है जिसके लिए $a_n = -519$ हो।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $-519 = 34 + (n - 1)(-7)$.
$-519 - 34 = (n - 1)(-7)$.
$-553 = (n - 1)(-7)$.
$n - 1 = \frac{-553}{-7} = 79$.
$n = 79 + 1 = 80$.
अतः,$A.P.$ का $80$ वां पद $-519$ है।

(B) दी गई $A.P.$ $112, 107, 102, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 112$ और सार्व अंतर $d = 107 - 112 = -5$ है।
हमें पहला ऋणात्मक पद ज्ञात करना है,इसलिए हम $n^{th}$ पद $a_n < 0$ रखते हैं।
$n^{th}$ पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $112 + (n - 1)(-5) < 0$.
$112 - 5n + 5 < 0$
$117 - 5n < 0$
$117 < 5n$
$n > \frac{117}{5}$
$n > 23.4$
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $23.4$ से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक $24$ है।
अतः,$24^{th}$ पद पहला ऋणात्मक पद है।

(A) दी गई $A.P.$ $83, 77, 71, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 83$ और सार्व अंतर $d = 77 - 83 = -6$ है।
हमें पहला ऋणात्मक पद ज्ञात करना है,इसलिए हम $n^{th}$ पद $a_n < 0$ लेते हैं।
$n^{th}$ पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $83 + (n - 1)(-6) < 0$.
$83 - 6n + 6 < 0$
$89 - 6n < 0$
$89 < 6n$
$n > \frac{89}{6}$
$n > 14.833...$
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $14.833$ से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक $n = 15$ है।
अतः,$15^{th}$ पद पहला ऋणात्मक पद है।

(B) दी गई $A.P.$ $12, 21, 30, \ldots, 363$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 12$ और सार्व अंतर $d = 21 - 12 = 9$ है।
अंतिम पद $l = 363$ है।
$A.P.$ के अंत से $n$ वाँ पद ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र का उपयोग करते हैं: अंत से $n$ वाँ पद $= l - (n - 1)d$।
यहाँ,$n = 12$,$l = 363$,और $d = 9$ है।
मान रखने पर: अंत से $12$ वाँ पद $= 363 - (12 - 1) \times 9$।
$= 363 - (11 \times 9) = 363 - 99 = 264$।
अतः,अंत से $12$ वाँ पद $264$ है।

(C) दी गई $A.P.$ $85, 80, 75, \ldots, -30$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 85$ और सार्व अंतर $d = 80 - 85 = -5$ है।
अंतिम पद $l = -30$ है।
$A.P.$ के अंत से $n$ वाँ पद ज्ञात करने का सूत्र $l - (n - 1)d$ है।
यहाँ,हमें अंत से $5$ वाँ पद ज्ञात करना है,इसलिए $n = 5$ है।
अंत से $5$ वाँ पद $= l - (5 - 1)d$
$= -30 - (4)(-5)$
$= -30 + 20$
$= -10$.

(D) दी गई $A.P.$ $5, 15, 25, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अंतर $d = 15 - 5 = 10$ है।
$A.P.$ का $n$ वां पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$31$ वां पद $a_{31} = a + 30d = 5 + 30(10) = 5 + 300 = 305$ है।
माना कि $n$ वां पद $31$ वें पद से $130$ अधिक है।
अतः,$a_n = a_{31} + 130$.
$a_n = 305 + 130 = 435$.
सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$435 = 5 + (n - 1)10$.
$430 = (n - 1)10$.
$43 = n - 1$.
$n = 44$.
अतः,$44$ वां पद उसके $31$ वें पद से $130$ अधिक है।

(A) दी गई $A.P.$ $14, 18, 22, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 14$ और सार्व अंतर $d = 18 - 14 = 4$ है।
माना कि $A.P.$ का $n$ वाँ पद $142$ है।
$n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $142 = 14 + (n - 1)4$.
$142 - 14 = (n - 1)4$.
$128 = (n - 1)4$.
$n - 1 = 128 / 4 = 32$.
$n = 32 + 1 = 33$.
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $142$ इस $A.P.$ का $33$ वाँ पद है।

(N/A) दी गई $A.P.$ $242, 236, 230, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 242$ और सार्व अंतर $d = 236 - 242 = -6$ है।
मान लीजिए कि $A.P.$ का $n$-वाँ पद $0$ है।
$n$-वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $0 = 242 + (n - 1)(-6)$.
$-242 = -6(n - 1)$.
$n - 1 = \frac{242}{6} = \frac{121}{3} = 40.33$.
$n = 41.33$.
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $0$ इस $A.P.$ का कोई पद नहीं हो सकता है।

(A) $A.P.$ का $n^{th}$ पद $T_{n} = -4n + 15$ है।
$15^{th}$ पद $(T_{15})$ ज्ञात करने के लिए,सूत्र में $n = 15$ प्रतिस्थापित करें:
$T_{15} = -4(15) + 15 = -60 + 15 = -45$.
$T_{n} = an + b$ के रूप में दिए गए $A.P.$ का सार्व अंतर $(d)$,$n$ का गुणांक होता है।
यहाँ,$d = -4$.
वैकल्पिक रूप से,$T_{1} = -4(1) + 15 = 11$ और $T_{2} = -4(2) + 15 = 7$.
$d = T_{2} - T_{1} = 7 - 11 = -4$.

(A) दी गई $A.P.$ $9, 13, 17, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 9$ और सार्व अंतर $d = 13 - 9 = 4$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ होता है।
$12$ वें पद के लिए $(n = 12)$:
$T_{12} = 9 + (12 - 1) \times 4 = 9 + 11 \times 4 = 9 + 44 = 53$.
$24$ वें पद के लिए $(n = 24)$:
$T_{24} = 9 + (24 - 1) \times 4 = 9 + 23 \times 4 = 9 + 92 = 101$.
अतः,$12$ वाँ पद $53$ है और $24$ वाँ पद $101$ है।

(A) दी गई समांतर श्रेणी $(A.P.)$ $9, 12, 15, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 9$ और सार्व अंतर $d = 12 - 9 = 3$ है।
समांतर श्रेणी के $n$ वें पद का सूत्र $T_n = a + (n - 1)d$ होता है।
$n$ वें पद के लिए: $T_n = 9 + (n - 1)3 = 9 + 3n - 3 = 3n + 6$.
$16$ वें पद के लिए: $T_{16} = 3(16) + 6 = 48 + 6 = 54$.
अतः,$16$ वाँ पद $54$ है और $n$ वाँ पद $3n + 6$ है।

(B) दिया गया $A.P.$ $-1, 3, 7, 11, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = -1$ है।
सार्व अंतर $d = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$ है।
माना कि $n$ वां पद $a_n = 95$ है।
$A.P.$ के $n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर: $95 = -1 + (n - 1)4$.
$95 + 1 = (n - 1)4$.
$96 = (n - 1)4$.
$n - 1 = 96 / 4 = 24$.
$n = 24 + 1 = 25$.
अतः,$A.P.$ का $25$ वां पद $95$ है।

(N/A) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है। $A.P.$ का $n$ वाँ पद $T_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $T_8 = 31$,इसलिए $a + 7d = 31$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है कि $T_{15} = T_{11} + 16$,इसलिए $(a + 14d) = (a + 10d) + 16$।
इसे सरल करने पर $4d = 16$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $d = 4$।
$d = 4$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $a + 7(4) = 31 \implies a + 28 = 31 \implies a = 3$।
$A.P.$ है $a, a+d, a+2d, \ldots$ जो कि $3, 7, 11, 15, \ldots$ है।
$20$ वाँ पद $T_{20} = a + 19d = 3 + 19(4) = 3 + 76 = 79$ है।

(D) दी गई $A.P.$ $5, 10, 15, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 5$ और सार्व अंतर $d = 10 - 5 = 5$ है।
$A.P.$ का $n$ वां पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
$31$ वां पद $a_{31} = 5 + (31 - 1)5 = 5 + 30 \times 5 = 5 + 150 = 155$ है।
माना कि $n$ वां पद $31$ वें पद से $130$ अधिक है,इसलिए $a_n = a_{31} + 130$ है।
$a_n = 155 + 130 = 285$ है।
सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ का उपयोग करने पर:
$285 = 5 + (n - 1)5$.
$280 = (n - 1)5$.
$n - 1 = 280 / 5 = 56$.
$n = 56 + 1 = 57$.
अतः,$57$ वां पद उसके $31$ वें पद से $130$ अधिक है।

(A) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वाँ पद $T_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है,$T_{10} = 52 \implies a + 9d = 52$ (समीकरण $1$)।
साथ ही,$T_{17} - T_{13} = 20$।
$(a + 16d) - (a + 12d) = 20 \implies 4d = 20 \implies d = 5$।
समीकरण $1$ में $d = 5$ रखने पर: $a + 9(5) = 52 \implies a + 45 = 52 \implies a = 7$।
$A.P.$ है $a, a+d, a+2d, \ldots$ जो कि $7, 12, 17, \ldots$ है।
$30$ वाँ पद $T_{30} = a + 29d = 7 + 29(5) = 7 + 145 = 152$ है।

(B) दी गई $A.P.$ $3, 7, 11, \ldots$ है।
यहाँ,प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 7 - 3 = 4$ है।
मान लीजिए कि $A.P.$ का $n$ वाँ पद $184$ है।
$n$ वें पद का सूत्र $a_n = a + (n - 1)d$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $184 = 3 + (n - 1)4$.
$184 - 3 = 4(n - 1)$.
$181 = 4(n - 1)$.
$n - 1 = 181 / 4 = 45.25$.
$n = 45.25 + 1 = 46.25$.
चूँकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $184$ इस $A.P.$ का कोई पद नहीं हो सकता है।

(A) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है। $A.P.$ का $n$वाँ पद $T_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $T_{10} = 52$,इसलिए $a + 9d = 52$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है कि $T_{16} = 82$,इसलिए $a + 15d = 82$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(a + 15d) - (a + 9d) = 82 - 52$,जो $6d = 30$ देता है,इसलिए $d = 5$ है।
$d = 5$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $a + 9(5) = 52$,इसलिए $a + 45 = 52$,जिससे $a = 7$ प्राप्त होता है।
$n$वाँ पद $T_n = a + (n - 1)d = 7 + (n - 1)5 = 7 + 5n - 5 = 5n + 2$ है।
$32$वाँ पद $T_{32} = 5(32) + 2 = 160 + 2 = 162$ है।

(A) माना कि प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है। $A.P.$ का $n^{th}$ पद $T_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$T_7 = a + 6d = -1$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है,$T_{16} = a + 15d = 17$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $(a + 15d) - (a + 6d) = 17 - (-1)$.
$9d = 18$,जिससे $d = 2$ प्राप्त होता है।
$d = 2$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर: $a + 6(2) = -1$.
$a + 12 = -1$,अतः $a = -13$.
सामान्य पद $T_n = a + (n - 1)d = -13 + (n - 1)2$ है।
$T_n = -13 + 2n - 2 = 2n - 15$.

(A) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n^{th}$ पद $a_n = a + (n - 1)d$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$5 \times a_5 = 8 \times a_8$.
पदों के लिए सूत्र प्रतिस्थापित करने पर: $5(a + 4d) = 8(a + 7d)$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $5a + 20d = 8a + 56d$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $5a - 8a = 56d - 20d$.
$-3a = 36d$,जिसे सरल करने पर $a = -12d$ प्राप्त होता है।
हमें $13^{th}$ पद ज्ञात करना है,$a_{13} = a + 12d$.
$a_{13}$ के व्यंजक में $a = -12d$ रखने पर:
$a_{13} = -12d + 12d = 0$.
अतः,$A.P.$ का $13^{th}$ पद $0$ है।

(N/A) माना कि $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$-वाँ पद $T_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है: $T_p = a + (p - 1)d = q$ --- $(1)$
दिया है: $T_q = a + (q - 1)d = p$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(a + (p - 1)d) - (a + (q - 1)d) = q - p$
$(p - 1 - q + 1)d = q - p$
$(p - q)d = -(p - q)$
$d = -1$
$d = -1$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$a + (p - 1)(-1) = q$
$a - p + 1 = q$
$a = p + q - 1$
व्यापक पद $T_n$ इस प्रकार है:
$T_n = a + (n - 1)d$
$T_n = (p + q - 1) + (n - 1)(-1)$
$T_n = p + q - 1 - n + 1$
$T_n = p + q - n$

(B) माना कि $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वाँ पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है,छठा पद $a_6 = 19$,इसलिए $a + 5d = 19$ (समीकरण $1$)।
दिया है,सत्रहवाँ पद $a_{17} = 41$,इसलिए $a + 16d = 41$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$(a + 16d) - (a + 5d) = 41 - 19$
$11d = 22$
$d = 2$.
$d = 2$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$a + 5(2) = 19$
$a + 10 = 19$
$a = 9$.
अब,$50$ वाँ पद $a_{50}$ ज्ञात कीजिए:
$a_{50} = a + (50 - 1)d$
$a_{50} = 9 + 49(2)$
$a_{50} = 9 + 98 = 107$.

(N/A) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
$A.P.$ का $n$ वाँ पद $a_n = a + (n - 1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $9$ वाँ पद $0$ है,इसलिए:
$a_9 = a + (9 - 1)d = 0$
$a + 8d = 0$
$a = -8d$ --- $(1)$
अब,हमें $29$ वाँ पद ज्ञात करना है:
$a_{29} = a + (29 - 1)d = a + 28d$
$(1)$ से $a = -8d$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a_{29} = -8d + 28d = 20d$ --- $(2)$
अब,हम $19$ वाँ पद ज्ञात करते हैं:
$a_{19} = a + (19 - 1)d = a + 18d$
$(1)$ से $a = -8d$ प्रतिस्थापित करने पर:
$a_{19} = -8d + 18d = 10d$ --- $(3)$
$(2)$ और $(3)$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $a_{29} = 20d$ और $2 \times a_{19} = 2 \times 10d = 20d.$
अतः,$a_{29} = 2 \times a_{19}.$ इस प्रकार,$29$ वाँ पद उसके $19$ वें पद का दोगुना है।

(A) प्रथम $A.P.$ के लिए: $a_1 = 9$,$d_1 = 7 - 9 = -2$. $n$ वाँ पद $a_n = a_1 + (n - 1)d_1 = 9 + (n - 1)(-2) = 9 - 2n + 2 = 11 - 2n$ है।
दूसरे $A.P.$ के लिए: $a_2 = 15$,$d_2 = 12 - 15 = -3$. $n$ वाँ पद $a_n = a_2 + (n - 1)d_2 = 15 + (n - 1)(-3) = 15 - 3n + 3 = 18 - 3n$ है।
चूँकि दोनों $n$ वें पद बराबर हैं: $11 - 2n = 18 - 3n$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3n - 2n = 18 - 11$.
अतः,$n = 7$।

(N/A) $A.P.$ का $n^{th}$ पद $a_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$a_4 + a_8 = 24$.
$(a + 3d) + (a + 7d) = 24 \implies 2a + 10d = 24 \implies a + 5d = 12$ (समीकरण $1$).
साथ ही,$a_6 + a_{10} = 34$.
$(a + 5d) + (a + 9d) = 34 \implies 2a + 14d = 34 \implies a + 7d = 17$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर:
$(a + 7d) - (a + 5d) = 17 - 12 \implies 2d = 5 \implies d = 2.5$.
$d = 2.5$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$a + 5(2.5) = 12 \implies a + 12.5 = 12 \implies a = -0.5$.
अतः,प्रथम पद $a = -0.5$ और सार्व अंतर $d = 2.5$ है।