TS EAMCET 2011 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) સરળ આવર્ત દોલકનો પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $l$ લંબાઈ અને $k$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની લંબાઈ $l' = \frac{l}{2}$ થાય છે.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ એ સ્પ્રિંગની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(k \propto \frac{1}{l})$,દરેક ભાગ માટે નવો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k' = 2k$ થશે.
નવા સ્પ્રિંગ અચળાંકને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને નવો આવર્તકાળ $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k'}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $T' = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \right) = \frac{T}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(B) બોરોન સાંદ્ર $HNO_3$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને ઓર્થોબોરિક એસિડ અને નાઈટ્રોજન ડાયોક્સાઈડ આપે છે,$N_2O$ નહીં.
સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ: $B + 3HNO_3 \longrightarrow H_3BO_3 + 3NO_2$.

(B) $ClO_2$ નું બંધારણ કોણીય છે.
$ClO_2$ અણુમાં,મધ્યસ્થ ક્લોરિન પરમાણુ $sp^3$-સંકરિત છે અને તેની પાસે એક અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન છે.
અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન અને ક્લોરિન પરમાણુ પર રહેલી અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મની હાજરીને કારણે,બંધકોણ $118^{\circ}$ જોવા મળે છે અને $Cl-O$ બંધ લંબાઈ $1.47 \ \mathring{A}$ છે.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે.
જો આમાંથી એક રેખા યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગતી હોય,તો તેનું સમીકરણ $y=x$ અથવા $y=-x$ થાય.
$y=x$ ને $ax^2+2hxy+by^2=0$ માં મૂકતા,આપણને $ax^2+2hx^2+bx^2=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a+2h+b=0$,અથવા $a+b=-2h$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા $(a+b)^2=4h^2$ મળે છે.
તે જ રીતે,જો $y=-x$ હોય,તો આપણને $ax^2-2hx^2+bx^2=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a-2h+b=0$,અથવા $a+b=2h$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા $(a+b)^2=4h^2$ મળે છે.
આમ,એક રેખા અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે તે માટેની શરત $(a+b)^2=4h^2$ છે.
આપેલ સમીકરણ $4x^2+6xy+ky^2=0$ માટે,$a=4$,$2h=6$ (તેથી $h=3$),અને $b=k$ છે.
આ કિંમતોને શરત $(a+b)^2=4h^2$ માં મૂકતા:
$(4+k)^2=4(3)^2$
$(4+k)^2=36$
$4+k = \pm 6$
જો $4+k=6$,તો $k=2$.
જો $4+k=-6$,તો $k=-10$.
તેથી,$k \in \{-10, 2\}$.

(B) જો $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ એ સમાંતર રેખાઓની જોડી દર્શાવે,તો $h^2=ab$ અને $bg^2=af^2$ થાય.
$bg^2=af^2$ પરથી,$\frac{g^2}{f^2}=\frac{a}{b}$ મળે.
સમાંતર રેખાઓ માટે,$\frac{g^2-ac}{a} = \frac{f^2-bc}{b}$ થાય.
તેથી,$\frac{g^2-ac}{f^2-bc} = \frac{a}{b}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\sqrt{\frac{g^2-ac}{f^2-bc}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ થાય.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $3x^2 - 2xy - 15y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$2h = -2$ (તેથી $h = -1$),અને $b = -15$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
ઢાળનો સરવાળો $s = m_1 + m_2 = \frac{-2h}{b} = \frac{-2(-1)}{-15} = -\frac{2}{15}$ છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $p = m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{3}{-15} = -\frac{3}{15}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $s:p = \left(-\frac{2}{15}\right) : \left(-\frac{3}{15}\right) = 2:3$ થાય.

(A) આપેલ રેખા $y=2x+c$ છે,જેને $2x-y+c=0$ તરીકે લખી શકાય.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=5$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=\sqrt{5}$ છે.
રેખા $Ax+By+C=0$ એ કેન્દ્ર $(h,k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળને સ્પર્શક હોય,તો કેન્દ્રથી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{|A(h)+B(k)+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} = r$
કિંમતો મૂકતા $A=2, B=-1, C=c, h=0, k=0, r=\sqrt{5}$:
$\frac{|2(0)-1(0)+c|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \sqrt{5}$
$\frac{|c|}{\sqrt{4+1}} = \sqrt{5}$
$\frac{|c|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$
$|c| = \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$
તેથી,$c = \pm 5$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$c$ ની કિંમત $5$ છે.

(C) આપેલ છે કે,રેખાઓ $3x + 4y - 14 = 0$ અને $6x + 8y + 7 = 0$ બંને એક વર્તુળના સ્પર્શકો છે.
આપણે જોઈએ છીએ કે બંને રેખાઓ સમાંતર છે.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $3x + 4y + \frac{7}{2} = 0$ મળે છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળનો વ્યાસ આ બે સમાંતર સ્પર્શકો વચ્ચેના અંતર જેટલો હોય છે.
વ્યાસ $= \frac{|-14 - \frac{7}{2}|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-\frac{28}{2} - \frac{7}{2}|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-\frac{35}{2}|}{5} = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$.
તેથી,વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{7/2}{2} = \frac{7}{4}$ થાય.

(A) પ્રથમ વર્તુળ $S_1: x^2+y^2+8x-4y+c=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(-4, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{20-c}$ છે.
બીજા વર્તુળ $S_2: x^2+y^2+2x+4y-11=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(-1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 4$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 5$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,$d = r_1 + r_2$,તેથી $5 = \sqrt{20-c} + 4$,જેનો અર્થ છે કે $c = 19$.
ત્રીજું વર્તુળ $S_3: x^2+y^2-6x+8y+k=0$ છે.
બે વર્તુળો લંબછેદી હોય તો $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ થાય.
$S_1$ અને $S_3$ માટે,$g_1=4, f_1=-2, c_1=19$ અને $g_3=-3, f_3=4, c_3=k$ છે.
તેથી,$2(4)(-3) + 2(-2)(4) = 19 + k$,જે આપણને $k = -59$ આપે છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $S_1: x^2+y^2+8x-4y+c=0$ નું કેન્દ્ર $C_1=(-4, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1=\sqrt{(-4)^2+2^2-c}=\sqrt{20-c}$ છે.
આપેલ વર્તુળ $S_2: x^2+y^2+2x+4y-11=0$ નું કેન્દ્ર $C_2=(-1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2-(-11)}=\sqrt{1+4+11}=4$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = r_1+r_2$ થાય.
$C_1C_2 = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
તેથી,$5 = \sqrt{20-c} + 4$ $\Rightarrow \sqrt{20-c} = 1$ $\Rightarrow 20-c = 1$ $\Rightarrow c = 19$.
હવે,વર્તુળ $S_1$ એ વર્તુળ $S_3: x^2+y^2-6x+8y+k=0$ ને લંબછેદી રીતે કાપે છે. લંબછેદી હોવાની શરત $2g_1g_3 + 2f_1f_3 = c_1+c_3$ છે.
$S_1$ માટે,$g_1=4, f_1=-2, c_1=c=19$.
$S_3$ માટે,$g_3=-3, f_3=4, c_3=k$.
$2(4)(-3) + 2(-2)(4) = 19 + k$.
$-24 - 16 = 19 + k$.
$-40 = 19 + k$.
$k = -59$.

(B) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$S_1 \equiv x^2+y^2+2x+2y+1=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2-2x+2y+1=0$
વર્તુળ $S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 - 1} = 1$.
વર્તુળ $S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 - 1} = 1$.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-1 - (-1))^2} = 2$.
અહીં $d = r_1 + r_2 = 2$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
સ્પર્શબિંદુ એ કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
સ્પર્શબિંદુ $= \left( \frac{-1 + 1}{2}, \frac{-1 + (-1)}{2} \right) = (0, -1)$.

(B) ધારો કે બિંદુ $A$ ના યામ $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ છે કારણ કે તે વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ પર આવેલું છે.
$AM$ એ $X$-અક્ષને સમાંતર છે અને તેની લંબાઈ $a$ છે,તેથી $M$ ના યામ $(x, y) = (a \cos \theta + a, a \sin \theta)$ અથવા $(a \cos \theta - a, a \sin \theta)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
કિસ્સો $(x, y) = (a \cos \theta + a, a \sin \theta)$ લેતા,આપણને $x - a = a \cos \theta$ અને $y = a \sin \theta$ મળે છે.
આ સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(x - a)^2 + y^2 = a^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta$
$(x - a)^2 + y^2 = a^2$
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2$
$x^2 + y^2 = 2ax$.
તે જ રીતે,બીજા કિસ્સા માટે,આપણને $x^2 + y^2 = -2ax$ મળે છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2=lx$ છે. આ પરવલયની અક્ષ $x$-અક્ષ છે,જેનું સમીકરણ $y=0$ છે.
રેખા $y=mx+c$ એ પરવલયની અક્ષ $(y=0)$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ $m=0$ થાય. તેથી રેખા $y=c$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $\left(\frac{c^2}{8}, c\right)$ એ પરવલય $y^2=lx$ પર આવેલું છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$c^2 = l \left(\frac{c^2}{8}\right)$
$c^2 = \frac{lc^2}{8}$
જો $c \neq 0$ લઈએ,તો બંને બાજુ $c^2$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{l}{8} \Rightarrow l = 8$.
પરવલય $y^2=lx$ ના નાભિલંબની લંબાઈ $l$ છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $8$ છે.

(C) ધારો કે $P(t^2, 2t)$ એ પરવલય $y^2=4x$ ની નાભિ જીવા $PQ$ નો એક અંત્યબિંદુ છે. બીજા અંત્યબિંદુ $Q$ ના યામ $(\frac{1}{t^2}, \frac{-2}{t})$ છે,જ્યાં $tt' = -1$.
આપેલ છે કે જીવા $X$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી જીવાનો ઢાળ $\tan \theta$ છે.
$\tan \theta = \frac{\frac{-2}{t} - 2t}{\frac{1}{t^2} - t^2} = \frac{2t}{t^2-1}$.
તેથી,$t - \frac{1}{t} = 2 \cot \theta$.
નાભિ જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $a(t + \frac{1}{t})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a=1$.
$PQ = (t + \frac{1}{t})^2 = (t - \frac{1}{t})^2 + 4$.
$t - \frac{1}{t} = 2 \cot \theta$ મુકતા:
$PQ = (2 \cot \theta)^2 + 4 = 4 \cot^2 \theta + 4 = 4(\cot^2 \theta + 1) = 4 \operatorname{cosec}^2 \theta$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $x^2+4y^2+2x+16y+13=0$.
પદોને ગોઠવતા: $(x^2+2x) + 4(y^2+4y) + 13 = 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x^2+2x+1) + 4(y^2+4y+4) + 13 - 1 - 16 = 0$.
$(x+1)^2 + 4(y+2)^2 = 4$.
$4$ વડે ભાગતા: $\frac{(x+1)^2}{4} + \frac{(y+2)^2}{1} = 1$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 1$ મળે છે.
અહીં $a^2 > b^2$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર $b^2 = a^2(1 - e^2)$ છે.
$1 = 4(1 - e^2) \Rightarrow 1 = 4 - 4e^2$.
$4e^2 = 3 \Rightarrow e^2 = \frac{3}{4}$.
તેથી,$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^2-3y^2=3$ છે. $3$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{1}=1$ મળે છે.
અહીં,$a^2=3$ અને $b^2=1$,તેથી $a=\sqrt{3}$ અને $b=1$.
અનંતસ્પર્શકોના સમીકરણો $y = \pm \frac{b}{a}x$ છે,જે $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ અને $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ આપે છે.
ધારો કે ઢાળ $m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $m_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
અનંતસ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - (-\frac{1}{\sqrt{3}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{3}})(-\frac{1}{\sqrt{3}})} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} \right| = \sqrt{3}$.
તેથી,$\tan \theta = \sqrt{3}$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(C) લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}-2}{x-8}$ ની કિંમત મેળવવા માટે,અંશનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}-2}{x-8} \times \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2}{\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{1+\sqrt{1+x}-4}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{1+x}-3}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)}$
ફરીથી અંશનું સંમેયીકરણ કરતા:
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{1+x}-3}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)} \times \frac{\sqrt{1+x}+3}{\sqrt{1+x}+3}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{1+x-9}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)(\sqrt{1+x}+3)}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{x-8}{(x-8)(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)(\sqrt{1+x}+3)}$
$= \lim _{x \rightarrow 8} \frac{1}{(\sqrt{1+\sqrt{1+x}}+2)(\sqrt{1+x}+3)}$
$x = 8$ મુકતા:
$= \frac{1}{(\sqrt{1+\sqrt{9}}+2)(\sqrt{9}+3)} = \frac{1}{(\sqrt{4}+2)(3+3)} = \frac{1}{(2+2)(6)} = \frac{1}{4 \times 6} = \frac{1}{24}$

(B) વનસ્પતિ અને પ્રાણીઓમાં વિવિધ જીવન પ્રક્રિયાઓનું નિયંત્રણ કરતા પોલિમરને બાયોપોલિમર કહેવામાં આવે છે.
સેલ્યુલોઝ,ઇન્સ્યુલિન,$DNA$,સ્ટાર્ચ,પ્રોટીન વગેરે બાયોપોલિમરના ઉદાહરણો છે.
નાયલોન-$6$ એ કૃત્રિમ પોલિમર છે. તે બાયોપોલિમર નથી.

(C) આપેલ છે કે,$\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$a = k \sin A$,$b = k \sin B$,અને $c = k \sin C$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\cos A}{k \sin A} = \frac{\cos B}{k \sin B} = \frac{\cos C}{k \sin C}$
$\cot A = \cot B = \cot C$
ત્રિકોણના ખૂણાઓ માટે,$\cot A = \cot B = \cot C$ નો અર્થ છે કે $A = B = C$.
તેથી,ત્રિકોણ સમબાજુ છે.

(A) આપેલ છે: $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$ અને $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \cdot \frac{s(s-c)}{ab} + c \cdot \frac{s(s-a)}{bc} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s(s-c)}{b} + \frac{s(s-a)}{b} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s}{b} (s - c + s - a) = \frac{3b}{2}$
$2s = a + b + c$ હોવાથી,$2s - a - c = b$ મળે:
$\frac{s}{b} (b) = \frac{3b}{2}$
$s = \frac{3b}{2} \Rightarrow 2s = 3b$
$2s = a + b + c$ મૂકતા:
$a + b + c = 3b$
$a + c = 2b$
આમ,$a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(B) આપેલ છે,$A(\alpha, \beta) = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & e^\beta \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક શોધીએ $|A(\alpha, \beta)| = e^\beta (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = e^\beta$.
આગળ,આપણે સહઅવયવ શ્રેણિક $C$ શોધીએ:
$C_{11} = e^\beta \cos \alpha, C_{12} = e^\beta \sin \alpha, C_{13} = 0$
$C_{21} = -e^\beta \sin \alpha, C_{22} = e^\beta \cos \alpha, C_{23} = 0$
$C_{31} = 0, C_{32} = 0, C_{33} = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$
તેથી,$\text{adj}(A(\alpha, \beta)) = C^T = \begin{bmatrix} e^\beta \cos \alpha & -e^\beta \sin \alpha & 0 \\ e^\beta \sin \alpha & e^\beta \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
પછી,$[A(\alpha, \beta)]^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{e^\beta} \begin{bmatrix} e^\beta \cos \alpha & -e^\beta \sin \alpha & 0 \\ e^\beta \sin \alpha & e^\beta \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & e^{-\beta} \end{bmatrix}$.
આને મૂળ શ્રેણિક $A(\alpha, \beta)$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\cos \alpha = \cos(-\alpha)$,$-\sin \alpha = \sin(-\alpha)$,અને $e^{-\beta}$ એ ત્રીજા વિકર્ણ ઘટકને અનુરૂપ છે. તેથી,પરિણામ $A(-\alpha, -\beta)$ છે.

(C) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}24 & 25 & 26 \\ 25 & 26 & 27 \\ 26 & 27 & 27\end{array}\right|$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 24 & 25 & 26 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right|$.
ત્રીજી હાર $(R_3)$ ને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1(25 - 26) - 1(24 - 26) + 0(24 - 25)$
$\Delta = 1(-1) - 1(-2) + 0$
$\Delta = -1 + 2 = 1$.

(A) આપેલ સમીકરણ $(\tan ^{-1} x)^2+(\cot ^{-1} x)^2=\frac{5 \pi^2}{8}$ છે.
નિત્યસમ $(\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x)^2 = (\tan ^{-1} x)^2 + (\cot ^{-1} x)^2 + 2 \tan ^{-1} x \cot ^{-1} x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x)^2 - 2 \tan ^{-1} x \cot ^{-1} x = \frac{5 \pi^2}{8}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,તેથી:
$(\frac{\pi}{2})^2 - 2 \tan ^{-1} x (\frac{\pi}{2} - \tan ^{-1} x) = \frac{5 \pi^2}{8}$.
$\frac{\pi^2}{4} - \pi \tan ^{-1} x + 2(\tan ^{-1} x)^2 = \frac{5 \pi^2}{8}$.
$2(\tan ^{-1} x)^2 - \pi \tan ^{-1} x + \frac{\pi^2}{4} - \frac{5 \pi^2}{8} = 0$.
$2(\tan ^{-1} x)^2 - \pi \tan ^{-1} x - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$.
ધારો કે $u = \tan ^{-1} x$,તો $2u^2 - \pi u - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$u = \frac{\pi \pm \sqrt{\pi^2 - 4(2)(-\frac{3 \pi^2}{8})}}{4} = \frac{\pi \pm \sqrt{\pi^2 + 3 \pi^2}}{4} = \frac{\pi \pm 2 \pi}{4}$.
તેથી,$u = \frac{3 \pi}{4}$ અથવા $u = -\frac{\pi}{4}$.
$x = \tan(u)$ હોવાથી,$x = \tan(\frac{3 \pi}{4}) = -1$ અથવા $x = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.
આમ,$x = -1$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્વર્સ હાઇપરબોલિક સાઇન વિધેયનું સૂત્ર $\sinh ^{-1}(y) = \log \left(y + \sqrt{1 + y^2}\right)$ છે.
સૂત્રમાં $y = \cot x$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sinh ^{-1}(\cot x) = \log \left(\cot x + \sqrt{1 + \cot ^2 x}\right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cot ^2 x = \operatorname{cosec}^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે છે:
$= \log \left(\cot x + \sqrt{\operatorname{cosec}^2 x}\right)$
$= \log (\cot x + \operatorname{cosec} x)$
$= \log \left(\frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\sin x}\right)$
$= \log \left(\frac{1 + \cos x}{\sin x}\right)$
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $1 + \cos x = 2 \cos ^2 \frac{x}{2}$ અને $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$= \log \left(\frac{2 \cos ^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}\right)$
$= \log \left(\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)$
$= \log \left(\cot \frac{x}{2}\right)$.

(D) ધારો કે $y = \frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$.
$y(x^2+3x+4) = x^2-3x+4$
$x^2(y-1) + x(3y+3) + (4y-4) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (3y+3)^2 - 4(y-1)(4y-4) \geq 0$.
$9(y+1)^2 - 16(y-1)^2 \geq 0$.
$9(y^2+2y+1) - 16(y^2-2y+1) \geq 0$.
$9y^2 + 18y + 9 - 16y^2 + 32y - 16 \geq 0$.
$-7y^2 + 50y - 7 \geq 0$.
$7y^2 - 50y + 7 \leq 0$.
$(7y-1)(y-7) \leq 0$.
આમ,$\frac{1}{7} \leq y \leq 7$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = [\frac{x}{5}]$. આપણે $|x| < 71$ માટે $f(x)$ નો વિસ્તાર શોધવાનો છે.
આનો અર્થ $-71 < x < 71$ થાય છે.
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $-\frac{71}{5} < \frac{x}{5} < \frac{71}{5}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $-14.2 < \frac{x}{5} < 14.2$ થાય છે.
$f(x) = [\frac{x}{5}]$ હોવાથી,$f(x)$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $(-14.2, 14.2)$ અંતરાલમાં રહેલા પૂર્ણાંકો છે.
જો $x$ એ $-71$ થી સહેજ મોટો હોય,જેમ કે $x = -70.9$,તો $f(x) = [\frac{-70.9}{5}] = [-14.18] = -15$ મળે.
જો $x$ એ $71$ થી સહેજ નાનો હોય,જેમ કે $x = 70.9$,તો $f(x) = [\frac{70.9}{5}] = [14.18] = 14$ મળે.
આમ,કિંમતોનો ગણ $\{-15, -14, \ldots, 0, \ldots, 13, 14\}$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = 7 + \cos(5x + 3)$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિધેય $\cos(ax + b)$ નું મૂળભૂત આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|a|}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 5$ છે.
તેથી,$\cos(5x + 3)$ નું આવર્તમાન $\frac{2\pi}{|5|} = \frac{2\pi}{5}$ થાય.
વિધેયમાં અચળ પદ $7$ ઉમેરવાથી તેના આવર્તમાનમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,તેથી $f(x)$ નું આવર્તમાન $\frac{2\pi}{5}$ જ રહેશે.

(B) વિધેય $f(x)$ એ $x=0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = f(0)$ હોવું જોઈએ.
પ્રથમ,$LHL$ ધ્યાનમાં લો: $\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{a+2 \cos x}{x^2}$.
આ લક્ષનું અસ્તિત્વ હોય અને તે શાંત હોય તે માટે,અંશ $x \rightarrow 0$ થાય ત્યારે $0$ ને અનુલક્ષવો જોઈએ. તેથી,$a + 2 \cos(0) = 0 \implies a + 2 = 0 \implies a = -2$.
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$LHL = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-2 + 2(1 - \frac{x^2}{2} + \dots)}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-x^2}{x^2} = -1$.
હવે,$RHL$ ધ્યાનમાં લો: $\lim_{x \rightarrow 0^+} b \tan \frac{\pi}{[x+4]}$.
જેમ $x \rightarrow 0^+$,$[x+4] = 4$ થાય. તેથી,$RHL = b \tan \frac{\pi}{4} = b(1) = b$.
વિધેય સતત હોવાથી,$LHL = RHL$,જે સૂચવે છે કે $b = -1$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b)$ એ $(-2, -1)$ છે.

(C) આપેલ છે કે $y = (1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})$.
$(1-x)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$y = \frac{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x}$
$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ નિત્યસમનો વારંવાર ઉપયોગ કરતા:
$y = \frac{(1-x^2)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x} = \frac{(1-x^4)(1+x^4) \dots (1+x^{2^n})}{1-x} = \dots = \frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}$
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{vu' - uv'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1-x)(-2^{n+1}x^{2^{n+1}-1}) - (1-x^{2^{n+1}})(-1)}{(1-x)^2}$
$x=0$ મુકતા:
$(\frac{dy}{dx})_{x=0} = \frac{(1-0)(0) - (1-0)(-1)}{(1-0)^2} = \frac{0 + 1}{1} = 1$.

(D) આપેલ છે કે,$y=\frac{\log _e x}{x}$ અને $z=\log _e x$.
$z=\log _e x$ હોવાથી,$x=e^z$ થાય.
$y$ માં $x$ ની કિંમત મૂકતા,$y=\frac{z}{e^z} = z e^{-z}$ મળે.
હવે,$y$ નું $z$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d z} = \frac{d}{d z}(z e^{-z}) = e^{-z} - z e^{-z} = (1-z)e^{-z}$.
ત્યારબાદ,દ્વિતીય વિકલન મેળવવા માટે $\frac{d y}{d z}$ નું $z$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2 y}{d z^2} = \frac{d}{d z}((1-z)e^{-z}) = -e^{-z} - (1-z)e^{-z} = (-1-1+z)e^{-z} = (z-2)e^{-z}$.
અંતે,સરવાળો કરતા:
$\frac{d^2 y}{d z^2} + \frac{d y}{d z} = (z-2)e^{-z} + (1-z)e^{-z} = (z-2+1-z)e^{-z} = -1 \cdot e^{-z} = -e^{-z}$.

(A) આપેલ છે,$\cos ^{-1}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)=k$
$\Rightarrow \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\cos k$
ધારો કે $\cos k = C$ (એક અચળ).
તેથી,$x^2 - y^2 = C(x^2 + y^2)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x^2 - y^2) = \frac{d}{dx}(C(x^2 + y^2))$
$2x - 2y \frac{dy}{dx} = C(2x + 2y \frac{dy}{dx})$
$x - y \frac{dy}{dx} = C(x + y \frac{dy}{dx})$
$x - Cx = Cy \frac{dy}{dx} + y \frac{dy}{dx}$
$x(1 - C) = y \frac{dy}{dx}(1 + C)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(1 - C)}{y(1 + C)}$
કારણ કે $C = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$,કિંમત મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x(1 - \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2})}{y(1 + \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2})} = \frac{x(\frac{x^2 + y^2 - x^2 + y^2}{x^2 + y^2})}{y(\frac{x^2 + y^2 + x^2 - y^2}{x^2 + y^2})} = \frac{x(2y^2)}{y(2x^2)} = \frac{2xy^2}{2x^2y} = \frac{y}{x}$

(D) આપેલ વક્ર $y = 5^x$ છે.
પ્રથમ,વિકલન $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(5^x) = 5^x \log_e 5$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(x_1, y_1)} = 5^{x_1} \log_e 5$ થાય.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈનું સૂત્ર $\left| \frac{y_1}{\frac{dy}{dx}} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $= \frac{y_1}{5^{x_1} \log_e 5}$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ વક્ર $y = 5^x$ પર હોવાથી,$y_1 = 5^{x_1}$ થાય.
તેથી,સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $= \frac{5^{x_1}}{5^{x_1} \log_e 5} = \frac{1}{\log_e 5}$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 - 4x + 5$ છે જેનો પ્રદેશ $[2, \infty)$ છે.
વિધેય બાયજેક્શન હોવા માટે,સહ-પ્રદેશ $B$ એ વિધેયના વિસ્તાર જેટલો હોવો જોઈએ.
આપણે વિધેયના વર્તનને તપાસીને વિસ્તાર શોધીએ.
પ્રથમ,વિકલન કરતા: $f'(x) = 2x - 4$.
$f'(x) = 0$ લેતા $x = 2$ મળે છે.
બધા $x \in [2, \infty)$ માટે,$f'(x) \geq 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે વિધેય આ અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે.
ન્યૂનતમ કિંમત સીમાબિંદુ $x = 2$ પર મળે છે.
$f(2) = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.
જેમ $x \to \infty$,તેમ $f(x) \to \infty$.
વિધેય સતત અને વધતું હોવાથી,વિસ્તાર $[f(2), \infty) = [1, \infty)$ થાય.
તેથી,$B = [1, \infty)$.

(C) ધારો કે $h = 2500 \ m$ એ સરોવરની સપાટીથી અવલોકન બિંદુની ઊંચાઈ છે. ધારો કે $H$ એ સરોવરની સપાટીથી વાદળની ઊંચાઈ છે. સરોવરમાં વાદળના પ્રતિબિંબની ઊંડાઈ પણ સપાટીથી $H$ જેટલી જ હશે.
અવલોકન બિંદુથી વાદળનું અંતર $H-h$ છે.
અવલોકન બિંદુથી પ્રતિબિંબનું અંતર $H+h$ છે.
ધારો કે $d$ એ અવલોકન બિંદુથી વાદળની બરાબર નીચે આવેલા બિંદુ સુધીનું સમક્ષિતિજ અંતર છે.
અવલોકન બિંદુ,વાદળ અને તેની નીચેના બિંદુ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં:
$\cot 15^{\circ} = \frac{d}{H-h} \Rightarrow d = (H-h)(2+\sqrt{3}) \quad \dots(i)$
અવલોકન બિંદુ,પ્રતિબિંબ અને તેની નીચેના બિંદુ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં:
$\cot 45^{\circ} = \frac{d}{H+h}$ $\Rightarrow 1 = \frac{d}{H+h}$ $\Rightarrow d = H+h \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$(H-h)(2+\sqrt{3}) = H+h$
$H(2+\sqrt{3}) - h(2+\sqrt{3}) = H+h$
$H(2+\sqrt{3}-1) = h(2+\sqrt{3}+1)$
$H(1+\sqrt{3}) = h(3+\sqrt{3})$
$H = h \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1} = h\sqrt{3}$
અહીં $h = 2500 \ m$ આપેલ છે,તેથી $H = 2500\sqrt{3} \ m$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{1+\cos 4 x}{\cot x-\tan x} d x$.
નિત્યસમ $1+\cos 4x = 2\cos^2 2x$ અને $\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x} = 2\cot 2x$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{2\cos^2 2x}{2\cot 2x} d x = \int \frac{\cos^2 2x}{\frac{\cos 2x}{\sin 2x}} d x = \int \cos 2x \sin 2x d x$.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = \frac{1}{2} \int 2\sin 2x \cos 2x d x = \frac{1}{2} \int \sin 4x d x$.
$\sin 4x$ નું સંકલન કરતા:
$I = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 4x}{4} \right) + C = -\frac{1}{8} \cos 4x + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \left( \sqrt{\frac{a+x}{a-x}} + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \right) dx$.
સંકલ્યનું સાદું રૂપ આપતા:
$\sqrt{\frac{a+x}{a-x}} + \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} = \frac{a+x + a-x}{\sqrt{(a-x)(a+x)}} = \frac{2a}{\sqrt{a^2-x^2}}$.
હવે,$I = \int \frac{2a}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2a \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$.

(A) આપેલ કિંમતો $f(0)=1, f(0.5)=\frac{5}{4}, f(1)=2, f(1.5)=\frac{13}{4}, f(2)=5$ છે,જ્યાં $n=4$ અંતરાલ છે.
સ્ટેપ સાઈઝ $h = \frac{b-a}{n} = \frac{2-0}{4} = 0.5$ છે.
સિમ્પસનના નિયમ મુજબ:
$\int_a^b f(x) dx = \frac{h}{3} [ (y_0 + y_4) + 4(y_1 + y_3) + 2(y_2) ]$.
કિંમતો મૂકતા:
$\int_0^2 f(x) dx = \frac{0.5}{3} [ (1 + 5) + 4(\frac{5}{4} + \frac{13}{4}) + 2(2) ]$.
$\int_0^2 f(x) dx = \frac{0.5}{3} [ 6 + 4(\frac{18}{4}) + 4 ]$.
$\int_0^2 f(x) dx = \frac{0.5}{3} [ 6 + 18 + 4 ] = \frac{0.5}{3} [ 28 ] = \frac{14}{3}$.

(D) આપેલ વક્રો $x=y^2$ અને $x=3-2y^2$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2 = 3-2y^2$ લો.
$3y^2 = 3 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$.
આમ,છેદબિંદુઓ $(1, 1)$ અને $(1, -1)$ છે.
આ પ્રદેશ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_0^1 (x_{right} - x_{left}) dy = 2 \int_0^1 ((3-2y^2) - y^2) dy$.
$= 2 \int_0^1 (3-3y^2) dy = 6 \int_0^1 (1-y^2) dy$.
$= 6 [y - \frac{y^3}{3}]_0^1 = 6 (1 - \frac{1}{3}) = 6 (\frac{2}{3}) = 4$ ચોરસ એકમ.

(C) માધ્યમ $2$ અને $3$ વચ્ચેની સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ,કિરણ ક્રાંતિકોણ $C$ પર આપાત થાય છે. તેથી,$\sin C = \frac{\mu_3}{\mu_2} = \frac{1.3}{1.8}$.
પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r$ છે,અને કિરણ બીજી સપાટી પર ક્રાંતિકોણે આપાત થતું હોવાથી,$r = C$ થાય.
પ્રથમ સપાટી (માધ્યમ $1$ અને $2$ વચ્ચે) પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\mu_1 \sin \theta = \mu_2 \sin r$
$\sin r = \sin C = \frac{1.3}{1.8}$ મૂકતા:
$1.6 \times \sin \theta = 1.8 \times \left(\frac{1.3}{1.8}\right)$
$1.6 \times \sin \theta = 1.3$
$\sin \theta = \frac{1.3}{1.6} = \frac{13}{16}$
$\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{13}{16}\right)$

(B) ફોસ્ફરસ એસિડ $(H_3PO_3)$ એ દ્વિ-બેઝિક એસિડ છે,એટલે કે તેનો $n$-ફેક્ટર $2$ છે.
તટસ્થીકરણ માટે,એસિડના તુલ્યાંક અને બેઝના તુલ્યાંક સમાન હોવા જોઈએ: $N_1V_1 = N_2V_2$.
નોર્માલિટી $(N) = \text{મોલારિટી} \times n\text{-ફેક્ટર}$.
$H_3PO_3$ માટે: $N = 0.3 \ M \times 2 = 0.6 \ N$.
$NaOH$ માટે: $N = 0.1 \ M \times 1 = 0.1 \ N$.
સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $0.1 \ N \times V_{NaOH} = 0.6 \ N \times 100 \ mL$.
$V_{NaOH} = \frac{0.6 \times 100}{0.1} = 600 \ mL$.

(B) $NaOH$ ની સલ્ફર સાથેની પ્રક્રિયામાં સોડિયમ સલ્ફાઇડ $(Na_2S)$ અને સોડિયમ થાયોસલ્ફેટ $(Na_2S_2O_3)$ પાણી $(H_2O)$ સાથે બને છે,પરંતુ હાઇડ્રોજન વાયુ મુક્ત થતો નથી.
$4S + 6NaOH \rightarrow 2Na_2S + Na_2S_2O_3 + 3H_2O$
અન્ય વિકલ્પોમાં:
$1$. $2NaOH + C \rightarrow Na_2CO_3 + 2H_2$
$2$. $Si + 2NaOH + H_2O \rightarrow Na_2SiO_3 + 2H_2$
$3$. $Zn + 2NaOH \rightarrow Na_2ZnO_2 + H_2$

(C) આપેલ છે: બેરિયર પોટેન્શિયલ,$V = 0.3 ~V$.
ડેપ્લેશન લેયરની જાડાઈ,$d = 2 \times 10^{-6} ~m$.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ માટેનું સૂત્ર $E = \frac{V}{d}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{0.3}{2 \times 10^{-6}} = 0.15 \times 10^6 = 1.5 \times 10^5 ~V/m$.
$p-n$ જંકશનમાં,ડેપ્લેશન લેયર $n$-બાજુથી $p$-બાજુ તરફ ઇલેક્ટ્રોન અને $p$-બાજુથી $n$-બાજુ તરફ હોલ્સના પ્રસરણને કારણે બને છે. આનાથી $n$-બાજુ પર ધન વીજભાર અને $p$-બાજુ પર ઋણ વીજભાર ઉત્પન્ન થાય છે. તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્રની દિશા $n$-બાજુથી $p$-બાજુ તરફ હોય છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(\frac{2+\sin x}{y+1}\right) \frac{d y}{d x}+\cos x=0$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{d y}{y+1} = -\frac{\cos x}{2+\sin x} d x$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int \frac{d y}{y+1} = -\int \frac{\cos x}{2+\sin x} d x$.
ધારો કે $2+\sin x = t$,તો $\cos x dx = dt$.
તેથી,$\ln|y+1| = -\ln|2+\sin x| + C$.
આને સાદું રૂપ આપતા $\ln|y+1| + \ln|2+\sin x| = C$,અથવા $(y+1)(2+\sin x) = C'$ મળે છે.
$y(0)=1$ આપેલ હોવાથી,$x=0$ અને $y=1$ મુકતા: $(1+1)(2+\sin 0) = C' \Rightarrow 2(2) = C' \Rightarrow C'=4$.
તેથી,સમીકરણ $(y+1)(2+\sin x) = 4$ છે.
$x=\frac{\pi}{2}$ માટે,$(y(\frac{\pi}{2})+1)(2+\sin \frac{\pi}{2}) = 4$.
$(y(\frac{\pi}{2})+1)(2+1) = 4$.
$3(y(\frac{\pi}{2})+1) = 4 \Rightarrow y(\frac{\pi}{2})+1 = \frac{4}{3}$.
$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(B) ધારો કે $D$ એ બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા એ સદિશ $\vec{AD}$ છે.
કારણ કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,$A$ ની સાપેક્ષે $D$ નો સ્થાન સદિશ એ સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ ના સરેરાશ દ્વારા મળે છે:
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$
$\vec{AD} = \frac{1}{2}((-3\hat{i} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}))$
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(2\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{k}) = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$
મધ્યગા $\vec{AD}$ ની લંબાઈ એ સદિશ $\vec{AD}$ નું માન છે:
$|\vec{AD}| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2 + (4)^2}$
$|\vec{AD}| = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18}$

(D) આપેલ છે: $|a|=1, |b|=2$ અને ખૂણો $\theta = 120^{\circ}$.
આપણે ${(a+3b) \times (3a-b)}^2$ પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,કૌંસની અંદરના સદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરીએ:
$(a+3b) \times (3a-b) = a \times (3a) - a \times b + (3b) \times (3a) - (3b) \times b$
કારણ કે $a \times a = 0$ અને $b \times b = 0$,તેથી:
$= 0 - (a \times b) + 9(b \times a) - 0$
ગુણધર્મ $b \times a = -(a \times b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= -(a \times b) - 9(a \times b) = -10(a \times b)$
હવે,માનનો વર્ગ કરતા:
${-10(a \times b)}^2 = 100 |a \times b|^2$
સૂત્ર $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|a \times b| = 1 \times 2 \times \sin(120^{\circ}) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
તેથી,$100 |a \times b|^2 = 100 \times (\sqrt{3})^2 = 100 \times 3 = 300$.

(B) ધારો કે રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{v}$ છે. રેખા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા $\alpha$ બનાવે છે,તેથી તેના દિકકોસાઇન $\cos \alpha, \cos \alpha, \cos \alpha$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,જેનો અર્થ છે કે $3\cos^2 \alpha = 1$,તેથી $\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{v} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ છે.
સદિશ $\vec{a} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ નો રેખા પરનો પ્રક્ષેપ એ અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \hat{v}$ નું મૂલ્ય છે.
$|\vec{a} \cdot \hat{v}| = |(4\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})|$
$= |\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(4 - 3 + 2)| = |\pm \frac{3}{\sqrt{3}}| = \sqrt{3}$.

(C) ધારો કે રેખાના દિશા ખૂણા $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ છે. આપણને આપેલ છે કે $\alpha_1 = \alpha$,$\alpha_2 = \frac{\pi}{2} - \alpha$,અને $\alpha_3 = \beta$.
દિશા કોસાઇનનો ગુણધર્મ જણાવે છે કે $\cos^2 \alpha_1 + \cos^2 \alpha_2 + \cos^2 \alpha_3 = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\cos^2 \alpha + \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos^2 \beta = 1$
કારણ કે $\cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha$,સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \beta = 1$
નિત્યસમ $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$1 + \cos^2 \beta = 1$
$\cos^2 \beta = 0$
$\cos \beta = 0$
તેથી,$\beta = \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ રેખાનું ધ્રુવીય સમીકરણ $\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{r}$ છે.
$r$ વડે ગુણતા,આપણને $r \sin \theta - r \cos \theta = 1$ મળે છે.
કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,$x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ હોવાથી,સમીકરણ $y - x = 1$ અથવા $x - y + 1 = 0$ બને છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = 1$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -1$ થશે.
$-1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $x + y = k$ છે.
આ રેખા બિંદુ $\left(2, \frac{\pi}{6}\right)$ માંથી પસાર થાય છે.
આ બિંદુને કાર્તેઝિયન યામમાં ફેરવતા:
$x = 2 \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
$y = 2 \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$
$(\sqrt{3}, 1)$ ને $x + y = k$ માં મૂકતા,આપણને $k = \sqrt{3} + 1$ મળે છે.
આમ,કાર્તેઝિયન સમીકરણ $x + y = \sqrt{3} + 1$ છે.
તેને ફરીથી ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$r \cos \theta + r \sin \theta = \sqrt{3} + 1$
$\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{3} + 1}{r}$.

(A) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = $15 + 5 = 20$.
$20$ માંથી $3$ વિદ્યાર્થીઓ પસંદ કરવાની રીતો = $^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$.
$15$ માંથી $2$ છોકરાઓ પસંદ કરવાની રીતો = $^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$.
$5$ માંથી $1$ છોકરી પસંદ કરવાની રીતો = $^5C_1 = 5$.
જરૂરી સંભાવના = $\frac{^{15}C_2 \times ^5C_1}{^{20}C_3} = \frac{105 \times 5}{1140} = \frac{525}{1140} = \frac{35}{76}$.

(B) $7$ સફેદ દડા અને $3$ કાળા દડાને હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $\frac{10!}{7!3!} = 120$ છે.
કોઈ પણ બે કાળા દડા પાસપાસે ન આવે તે માટે,આપણે પહેલા $7$ સફેદ દડા ગોઠવીએ,જેથી $8$ ખાલી જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) મળે જ્યાં $3$ કાળા દડા મૂકી શકાય.
$8$ માંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{8}{3} = 56$ છે.
માટે,જરૂરી સંભાવના $\frac{\binom{8}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{56}{120} = \frac{7}{15}$ થાય.