TS EAMCET 2011 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ છે કે,$I_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^n \theta \, d\theta$.
આપણે $I_{n-1} + I_{n+1}$ શોધવાનું છે.
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi / 4} \tan^{n-1} \theta \, d\theta + \int_0^{\pi / 4} \tan^{n+1} \theta \, d\theta$.
$ an^{n-1} \theta$ સામાન્ય લેતા:
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi / 4} \tan^{n-1} \theta (1 + \tan^2 \theta) \, d\theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$,તેથી:
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^{\pi / 4} \tan^{n-1} \theta \sec^2 \theta \, d\theta$.
ધારો કે $u = \tan \theta$,તેથી $du = \sec^2 \theta \, d\theta$.
જ્યારે $\theta = 0$,ત્યારે $u = 0$ અને જ્યારે $\theta = \pi / 4$,ત્યારે $u = 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I_{n-1} + I_{n+1} = \int_0^1 u^{n-1} \, du = \left[ \frac{u^n}{n} \right]_0^1 = \frac{1}{n} - 0 = \frac{1}{n}$.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \frac{\phi(y/x)}{\phi'(y/x)}$.
$y = vx$ આદેશ લેતા,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ મળે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v + \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.
બંને બાજુથી $v$ બાદ કરતા: $x \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v)}{\phi'(v)}$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{\phi'(v)}{\phi(v)} dv = \int \frac{dx}{x}$.
જેથી: $\ln|\phi(v)| = \ln|x| + \ln|k|$.
લોગના નિયમ મુજબ,$\phi(v) = kx$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે: $\phi\left(\frac{y}{x}\right) = kx$.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક સદિશ $\vec{A} = 4\hat{i} + 10\hat{j}$ છે.
સદિશનું મૂલ્ય $|\vec{A}| = \sqrt{(4)^2 + (10)^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} ~m$ છે.
જ્યારે સદિશને ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
ધારો કે નવો સદિશ $\vec{A}' = 8\hat{i} + n\hat{j}$ છે,જ્યાં $x$-ઘટક બમણો $(4 \times 2 = 8)$ થાય છે.
મૂલ્ય સમાન હોવાથી,$|\vec{A}'| = |\vec{A}|$.
તેથી,$\sqrt{(8)^2 + n^2} = \sqrt{116}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$64 + n^2 = 116$.
$n^2 = 116 - 64 = 52$.
$n = \sqrt{52} \approx 7.21 ~m$.
આમ,નવો $y$-ઘટક આશરે $7.2 ~m$ છે.

(D) $(x_1, y_1, z_1)$ બિંદુમાંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતા અભિલંબ સદિશવાળા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(2, 3, -1)$ માટે,સમીકરણ $a(x-2) + b(y-3) + c(z+1) = 0 \dots (i)$ છે.
સમતલ એ $(3, -4, 7)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ આ રેખાને સમાંતર છે. તેથી,આપણે $a=3, b=-4, c=7$ લઈ શકીએ છીએ.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$3(x-2) - 4(y-3) + 7(z+1) = 0$
$3x - 6 - 4y + 12 + 7z + 7 = 0$
$3x - 4y + 7z + 13 = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $Ax + By + Cz + D = 0$ સમતલનું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A=3, B=-4, C=7, D=13$ છે.
$d = \frac{|13|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 7^2}} = \frac{13}{\sqrt{9 + 16 + 49}} = \frac{13}{\sqrt{74}}$.

(B) $7$ સફેદ દડા અને $3$ કાળા દડાને હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $\frac{10!}{7!3!} = 120$ છે.
કોઈ પણ બે કાળા દડા પાસપાસે ન આવે તે માટે,આપણે $7$ સફેદ દડાને ગોઠવીએ છીએ,જેનાથી $8$ ખાલી જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) મળે છે જ્યાં $3$ કાળા દડા મૂકી શકાય.
$8$ માંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{8}{3} = 56$ છે.
આમ,જરૂરી સંભાવના $\frac{56}{120} = \frac{7}{15}$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$p = 0.001$ અને $n = 2000$.
અહીં $n$ મોટું છે અને $p$ ખૂબ નાનું છે,તેથી આપણે પોઈસન વિતરણનો ઉપયોગ કરીશું.
મધ્યક $\lambda = np = 2000 \times 0.001 = 2$.
પોઈસન વિતરણ માટે સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ છે.
$x = 3$ માટે,આપણને મળે છે:
$P(X = 3) = \frac{2^3 e^{-2}}{3!} = \frac{8 \times e^{-2}}{6} = \frac{4}{3e^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) મધ્યક $E(X)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$E(X) = \sum x_i p_i = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{2}{10} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{4}{10}$
$E(X) = 0 + \frac{2}{10} + \frac{6}{10} + \frac{12}{10} = \frac{20}{10} = 2$
વિચરણ $Var(X)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
પ્રથમ,$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$ શોધો:
$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{10} + 1^2 \times \frac{2}{10} + 2^2 \times \frac{3}{10} + 3^2 \times \frac{4}{10}$
$E(X^2) = 0 + \frac{2}{10} + \frac{12}{10} + \frac{36}{10} = \frac{50}{10} = 5$
હવે,$Var(X) = 5 - (2)^2 = 5 - 4 = 1$
આમ,વિચરણ $1$ છે.

(A) ધારો કે પદાર્થનું કદ $V$ છે અને પ્રવાહીની ઘનતા $\rho_L$ છે.
પદાર્થ તરે છે,તેથી પદાર્થનું વજન = વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન: $mg = V_{imm} \rho_L g$.
આમ,$V_{imm} \rho_L = \text{અચળ}$.
$t_1 = 20^{\circ}C$ પર,$V_{imm,1} = \frac{2}{3}V$,તેથી $\frac{2}{3}V \rho_1 = m$.
$t_2 = 100^{\circ}C$ પર,$V_{imm,2} = \frac{3}{4}V$,તેથી $\frac{3}{4}V \rho_2 = m$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{2}{3} \rho_1 = \frac{3}{4} \rho_2$,જે આપે છે $\rho_2 = \frac{8}{9} \rho_1$.
સંબંધ $\rho_2 = \frac{\rho_1}{1 + \gamma_R \Delta t}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $1 + \gamma_R \Delta t = \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{9}{8}$.
$\gamma_R \Delta t = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}$.
અહીં $\Delta t = 100 - 20 = 80^{\circ}C$ છે,તેથી $\gamma_R = \frac{1}{8 \times 80} = \frac{1}{640} = 0.0015625 = 15.6 \times 10^{-4} \, ^{\circ}C^{-1}$.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
દબાણ એ ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(P \propto \frac{1}{r})$,નાના પરપોટામાં મોટા પરપોટા કરતા વધારે આંતરિક દબાણ હોય છે.
જ્યારે તેમને નળી દ્વારા જોડવામાં આવે છે,ત્યારે હવા વધુ દબાણવાળા વિસ્તારમાંથી ઓછા દબાણવાળા વિસ્તાર તરફ વહે છે.
તેથી,હવા નાના પરપોટામાંથી મોટા પરપોટા તરફ વહે છે.

(B) બોરોન સાંદ્ર $HNO_3$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને ઓર્થોબોરિક એસિડ $(H_3BO_3)$ અને નાઈટ્રોજન ડાયોક્સાઈડ $(NO_2)$ બનાવે છે.
સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ:
$B + 3HNO_3 \longrightarrow H_3BO_3 + 3NO_2$
તેથી,બોરોન સાંદ્ર $HNO_3$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને $N_2O$ આપે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(B) $ClO_2$ નું બંધારણ કોણીય (bent) છે.
$ClO_2$ માં,મધ્યસ્થ ક્લોરિન પરમાણુ પાસે એક અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન છે અને તે $sp^3$-સંકરિત છે.
અયુગ્મિત ઇલેક્ટ્રોન અને અબંધકારક ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મોની હાજરીને કારણે,બંધકોણ $118^{\circ}$ જોવા મળે છે અને $Cl-O$ બંધની લંબાઈ $1.47 \mathring{A}$ છે.

(B) ફોસ્ફરસ એસિડ $(H_3PO_3)$ એ દ્વિ-બેઝિક એસિડ છે,જેનો અર્થ છે કે તે એસિડના પ્રતિ મોલ $2$ મોલ $H^+$ આયનો આપે છે.
$H_3PO_3$ દ્રાવણની નોર્માલિટી નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે: $\text{Normality} = \text{Molarity} \times \text{Basicity} = 0.3 \ M \times 2 = 0.6 \ N$.
તટસ્થીકરણના સિદ્ધાંત $N_1 V_1 = N_2 V_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$NaOH$ માટે,$N_1 = 0.1 \ N$ અને $H_3PO_3$ માટે,$N_2 = 0.6 \ N$.
$0.1 \times V_1 = 0.6 \times 100$.
$V_1 = \frac{0.6 \times 100}{0.1} = 600 \ mL$.

(B) દરેક પ્રક્રિયાનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. પીગળેલા $NaOH$ ની $C$ સાથેની પ્રક્રિયા: $2NaOH + C \rightarrow Na_2CO_3 + H_2$. હાઇડ્રોજન મુક્ત થાય છે.
$2$. $NaOH$ ની સલ્ફર સાથેની પ્રક્રિયા: $6NaOH + 3S \rightarrow 2Na_2S + Na_2SO_3 + 3H_2O$. હાઇડ્રોજન વાયુ મુક્ત થતો નથી.
$3$. સાંદ્ર $NaOH$ ને $Si$ સાથે ગરમ કરવું: $Si + 2NaOH + H_2O \rightarrow Na_2SiO_3 + 2H_2$. હાઇડ્રોજન મુક્ત થાય છે.
$4$. ઝિંકની $NaOH$ સાથેની પ્રક્રિયા: $Zn + 2NaOH \rightarrow Na_2ZnO_2 + H_2$. હાઇડ્રોજન મુક્ત થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $NaHCO_3$ ને ગરમ કરવાની પ્રક્રિયા: $2NaHCO_3 \rightarrow Na_2CO_3 + H_2O + CO_2$ છે.
$Na_2CO_3$ ગરમ કરવાથી વિઘટન પામતું નથી.
ધારો કે $NaHCO_3$ નું દળ $x \ g$ અને $Na_2CO_3$ નું દળ $y \ g$ છે.
$x + y = 19$ (સમીકરણ $1$).
ઉત્પન્ન થયેલ $CO_2$ ના મોલ $= \frac{1.12 \ L}{22.4 \ L/mol} = 0.05 \ mol$.
સ્ટોઇકિયોમેટ્રી મુજબ,$2 \ mol$ $NaHCO_3$ માંથી $1 \ mol$ $CO_2$ ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી,$NaHCO_3$ ના મોલ $= 2 \times 0.05 = 0.1 \ mol$.
$NaHCO_3$ નું દળ $= 0.1 \ mol \times 84 \ g/mol = 8.4 \ g$.
સમીકરણ $1$ માં કિંમત મૂકતા: $8.4 + y = 19 \Rightarrow y = 10.6 \ g$.

(C) આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળો અને વાયુના અણુઓના મર્યાદિત કદને કારણે વાસ્તવિક વાયુઓ આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલિત થાય છે.
ઊંચા તાપમાને,વાયુના અણુઓની ગતિજ ઉર્જા વધુ હોય છે,જેનાથી આંતરઆણ્વીય બળો નગણ્ય બની જાય છે.
ઓછા દબાણે,પાત્રના કુલ કદની સરખામણીમાં વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ નગણ્ય બની જાય છે.
તેથી,વાસ્તવિક વાયુઓ ઊંચા તાપમાન અને ઓછા દબાણની સ્થિતિમાં આદર્શ વાયુ વર્તણૂક દર્શાવે છે.

(A) બોહરના અભિધારણા મુજબ,હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $(L)$ ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે અને તે $L = n \frac{h}{2 \pi}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે $(n = 1, 2, 3, \dots)$.
આને $L = \frac{n}{2} \cdot \frac{h}{\pi}$ તરીકે લખી શકાય.
$n = 1$ માટે,$L = 0.5 \frac{h}{\pi}$.
$n = 2$ માટે,$L = 1.0 \frac{h}{\pi}$.
$n = 3$ માટે,$L = 1.5 \frac{h}{\pi}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,$1.25 \frac{h}{\pi}$ એ $n$ ના કોઈ પૂર્ણાંક મૂલ્યને અનુરૂપ નથી,તેથી તે માન્ય મૂલ્ય નથી.

(D) આવૃત્તિ $(v)$,પ્રકાશની ગતિ $(c)$ અને તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $v = \frac{c}{\lambda}$.
આપેલ છે: $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ અને $\lambda = 600 \ nm = 600 \times 10^{-9} \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{3 \times 10^8 \ m/s}{600 \times 10^{-9} \ m} = 5.0 \times 10^{14} \ Hz$.

(D) કલા રૂપાંતરણ દરમિયાન એન્ટ્રોપીમાં થતો ફેરફાર $\Delta S = \frac{q_{rev}}{T} = \frac{m \times L_f}{T}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
બરફનું દળ $(m)$ $= 27.3 \ g$
ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $(L_f)$ $= 330 \ J g^{-1}$
તાપમાન $(T)$ $= 0^{\circ} C = 273 \ K$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta S = \frac{27.3 \ g \times 330 \ J g^{-1}}{273 \ K}$
$\Delta S = \frac{9009 \ J}{273 \ K} = 33 \ J K^{-1}$.