TS EAMCET 2011 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना कि पूरी डिस्क का द्रव्यमान $M$ है।
प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान $\sigma = \frac{M}{\pi(2R)^2} = \frac{M}{4\pi R^2}$ है।
$R$ त्रिज्या वाली हटाई गई वृत्ताकार डिस्क का द्रव्यमान $M_1 = \sigma \cdot \pi R^2 = \frac{M}{4\pi R^2} \cdot \pi R^2 = \frac{M}{4}$ है।
शेष डिस्क का द्रव्यमान $M_2 = M - M_1 = M - \frac{M}{4} = \frac{3M}{4}$ है।
माना कि बड़ी डिस्क का केंद्र मूल बिंदु $(0,0)$ पर है। हटाई गई डिस्क का द्रव्यमान केंद्र $x_1 = R$ पर है और शेष डिस्क का द्रव्यमान केंद्र $x_2 = -\alpha R$ पर है।
चूंकि मूल डिस्क का द्रव्यमान केंद्र मूल बिंदु पर था,इसलिए हम लिख सकते हैं:
$M_1 x_1 + M_2 x_2 = 0$
$\frac{M}{4} \cdot R + \frac{3M}{4} \cdot (-\alpha R) = 0$
$\frac{M}{4} \cdot R = \frac{3M}{4} \cdot \alpha R$
$\alpha = \frac{1}{3}$.

(B) मान लीजिए कि चेन का रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda$ है। चेन की कुल लंबाई $L$ है। मान लीजिए $l^{\prime}$ मेज के किनारे से लटकने वाली चेन की लंबाई है।
तब,मेज पर बची हुई चेन की लंबाई $(L - l^{\prime})$ होगी।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m_h = \lambda l^{\prime}$ है,और मेज पर स्थित भाग का द्रव्यमान $m_t = \lambda (L - l^{\prime})$ है।
चेन को नीचे खींचने वाला बल लटकते हुए भाग का भार है: $F_g = m_h g = \lambda l^{\prime} g$।
मेज पर स्थित भाग पर कार्य करने वाला अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu m_t g = \mu \lambda (L - l^{\prime}) g$ है।
चेन के संतुलन में रहने के लिए,खींचने वाला बल अधिकतम घर्षण बल के बराबर होना चाहिए:
$\lambda l^{\prime} g = \mu \lambda (L - l^{\prime}) g$
$l^{\prime} = \mu (L - l^{\prime})$
$l^{\prime} = \mu L - \mu l^{\prime}$
$l^{\prime} (1 + \mu) = \mu L$
$l^{\prime} = \frac{\mu L}{(1 + \mu)}$

(B) मान लीजिए कि दोनों लड़कों के अधिकतम त्वरण क्रमशः $a_1$ और $a_2$ हैं।
रस्सी में कुल तनाव $T$,$60 \,kg$-wt से अधिक नहीं होना चाहिए।
ऊपर चढ़ते हुए दो लड़कों के लिए गति का समीकरण है:
$T = m_1(g + a_1) + m_2(g + a_2)$
दिया गया है $T = 60 \,kg$-wt,$m_1 = 20 \,kg$,और $m_2 = 30 \,kg$:
$60g = 20(g + a_1) + 30(g + a_2)$
$60g = 20g + 20a_1 + 30g + 30a_2$
$60g = 50g + 20a_1 + 30a_2$
$10g = 20a_1 + 30a_2$
$10$ से विभाजित करने पर:
$g = 2a_1 + 3a_2$
अधिकतम त्वरण का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक लड़के के लिए व्यक्तिगत सीमाओं पर विचार करते हैं। यदि केवल एक लड़का चढ़ रहा होता,तो अधिकतम त्वरण $a = (T/m) - g$ होता। लड़के $1$ के लिए: $a_{1,max} = (60/20)g - g = 2g$। लड़के $2$ के लिए: $a_{2,max} = (60/30)g - g = g$।
अतः,उनके व्यक्तिगत अधिकतम त्वरण का अनुपात $2g : g = 2 : 1$ है।

(B) प्रारंभिक सदिश $\vec{A} = 4\hat{i} + 10\hat{j}$ है।
सदिश का परिमाण $|\vec{A}| = \sqrt{(4)^2 + (10)^2} = \sqrt{16 + 100} = \sqrt{116} \,m$ है।
जब सदिश को घुमाया जाता है, तो उसका परिमाण स्थिर रहता है।
मान लीजिए नया सदिश $\vec{A}' = 8\hat{i} + n\hat{j}$ है, जहाँ $x$-घटक दोगुना $(4 \times 2 = 8)$ हो जाता है।
चूँकि परिमाण संरक्षित रहता है, $|\vec{A}'| = |\vec{A}|$.
$\sqrt{8^2 + n^2} = \sqrt{116}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $64 + n^2 = 116$ प्राप्त होता है।
$n^2 = 116 - 64 = 52$.
$n = \sqrt{52} \approx 7.21 \,m$.
अतः, नया $y$-घटक लगभग $7.2 \,m$ है।

(A) माना पिंड का आयतन $V$ है और इसका घनत्व $\rho_b$ है। माना $20^{\circ} C$ और $100^{\circ} C$ पर द्रव का घनत्व क्रमशः $\rho_1$ और $\rho_2$ है।
प्लवन के नियम के अनुसार,पिंड का भार = विस्थापित द्रव का भार।
$20^{\circ} C$ पर: $V \rho_b g = (\frac{2}{3} V) \rho_1 g \implies \rho_b = \frac{2}{3} \rho_1$.
$100^{\circ} C$ पर: $V \rho_b g = (\frac{3}{4} V) \rho_2 g \implies \rho_b = \frac{3}{4} \rho_2$.
$\rho_b$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{2}{3} \rho_1 = \frac{3}{4} \rho_2 \implies \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{9}{8}$.
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \Delta t}$ होता है,इसलिए $\frac{\rho_1}{\rho_2} = 1 + \gamma \Delta T$ (जहाँ $\Delta T = 80^{\circ} C$ है)।
$1 + \gamma (80) = \frac{9}{8} \implies 80 \gamma = \frac{1}{8} \implies \gamma = \frac{1}{640} = 0.0015625 {}^{\circ} C^{-1}$.
$\gamma = 15.6 \times 10^{-4} {}^{\circ} C^{-1}$.

(C) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ बुलबुले की त्रिज्या है।
चूंकि अतिरिक्त दबाव त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(P \propto \frac{1}{r})$,इसलिए बड़े बुलबुले की तुलना में छोटे बुलबुले में आंतरिक दबाव अधिक होता है।
जब एक नली द्वारा जोड़ा जाता है,तो हवा उच्च दबाव वाले क्षेत्र से निम्न दबाव वाले क्षेत्र की ओर बहती है।
इसलिए,हवा छोटे बुलबुले से बड़े बुलबुले की ओर बहती है।

(A) पहली टक्कर से ठीक पहले गेंद का वेग $v_0 = \sqrt{2gh_0}$ है।
पहली टक्कर के बाद,वेग $v_1 = e v_0$ होता है।
दूसरी टक्कर के बाद,वेग $v_2 = e v_1 = e^2 v_0$ होता है।
इस पैटर्न का पालन करते हुए,$n$ टक्करों के बाद गेंद का वेग $v_n = e^n v_0$ होता है।
$n$वीं टक्कर के बाद प्राप्त ऊँचाई $h_n = \frac{v_n^2}{2g}$ द्वारा दी जाती है।
$v_n = e^n v_0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $h_n = \frac{(e^n v_0)^2}{2g} = e^{2n} \frac{v_0^2}{2g}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $h_0 = \frac{v_0^2}{2g}$,इसलिए $h_n = e^{2n} h_0$ होता है।
$e$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $e^{2n} = \frac{h_n}{h_0}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $e = \left[\frac{h_n}{h_0}\right]^{1/2n}$।

(D) अंतरिक्ष यात्री पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F = G \frac{Mm}{r^2}$ है,जो सीमित और गैर-शून्य है। हालाँकि,अंतरिक्ष यात्री अंतरिक्ष यान के साथ मुक्त पतन (free fall) की स्थिति में होता है। अंतरिक्ष यान के संदर्भ फ्रेम में,गुरुत्वाकर्षण बल छद्म-बल (अपकेंद्री बल) द्वारा संतुलित हो जाता है,जिससे भारहीनता की स्थिति उत्पन्न होती है। इसलिए,अंतरिक्ष यात्री को कोई गुरुत्वाकर्षण बल 'महसूस' नहीं होता है (प्रभावी भार शून्य होता है)। अतः,कथन $(A)$ असत्य है।
कारण $(R)$ उपग्रहों की कक्षीय गति का वर्णन करने वाला एक मानक भौतिक तथ्य है,जो सत्य है।

(C) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m + m = 2m$ है।
चूंकि गोला लुढ़क रहा है,कुल गतिज ऊर्जा स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा और घूर्णन गतिज ऊर्जा का योग है।
स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $K_t = \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{2} (2m) v^2 = m v^2$ है।
द्रव से भरे खोखले गोले के लिए,द्रव गोले के साथ नहीं घूमता है (अश्यान द्रव मानते हुए)। इसलिए,केवल खोल घूमता है। एक पतले खोखले गोले का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{3} m r^2$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} m r^2) (\frac{v}{r})^2 = \frac{1}{3} m v^2$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $K = K_t + K_r = m v^2 + \frac{1}{3} m v^2 = \frac{4}{3} m v^2$ है।

(C) पेंडुलम बॉब तीन बलों के प्रभाव में संतुलन में है: डोरी में तनाव $T$,क्षैतिज बल $F = 2 \text{ N}$,और ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $W = 1 \text{ N}$।
तनाव $T$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $T \sin \theta = F = 2 \text{ N}$
ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos \theta = W = 1 \text{ N}$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(T \sin \theta)^2 + (T \cos \theta)^2 = F^2 + W^2$
$T^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = F^2 + W^2$
$T^2 = F^2 + W^2$
$T = \sqrt{F^2 + W^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \text{ N}$

(A) आयतन प्रवाह दर (प्रति सेकंड पानी की मात्रा) $Q = A v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है और $v$ बहिःस्राव का वेग है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार,$h$ गहराई पर बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
वर्गाकार छेद के लिए: क्षेत्रफल $A_1 = L^2$ और गहराई $h_1 = y$ है। अतः,$v_1 = \sqrt{2gy}$।
प्रवाह दर $Q_1 = A_1 v_1 = L^2 \sqrt{2gy}$ है।
वृत्ताकार छेद के लिए: क्षेत्रफल $A_2 = \pi R^2$ और गहराई $h_2 = 4y$ है। अतः,$v_2 = \sqrt{2g(4y)} = 2\sqrt{2gy}$ है।
प्रवाह दर $Q_2 = A_2 v_2 = \pi R^2 (2\sqrt{2gy})$ है।
यह दिया गया है कि $Q_1 = Q_2$,इसलिए:
$L^2 \sqrt{2gy} = 2\pi R^2 \sqrt{2gy}$।
दोनों पक्षों से $\sqrt{2gy}$ को हटाने पर,हमें $L^2 = 2\pi R^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$R^2 = \frac{L^2}{2\pi}$,जिससे $R = \frac{L}{\sqrt{2\pi}}$ प्राप्त होता है।

(B) माना बेलन की कुल लंबाई $L$ है। प्रारंभ में, पिस्टन मध्य बिंदु पर है, इसलिए गैस स्तंभ की लंबाई $L_1 = L/2$ है। प्रारंभिक तापमान $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \, K$ है।
जब गैस को $T_2 = 100^{\circ} C = 373 \, K$ तक गर्म किया जाता है, तो पिस्टन $5 \, cm$ विस्थापित होता है। गैस स्तंभ की नई लंबाई $L_2 = (L/2) + 5$ है।
यह मानते हुए कि दबाव स्थिर रहता है (क्योंकि पिस्टन भारहीन है और स्वतंत्र रूप से चलता है), हम चार्ल्स के नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
चूंकि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ स्थिर है, $V = A \times \text{लंबाई}$, इसलिए $\frac{L_1}{T_1} = \frac{L_2}{T_2}$.
मान रखने पर: $\frac{L/2}{273} = \frac{(L/2) + 5}{373}$.
$373(L/2) = 273(L/2 + 5)$.
$373(L/2) = 273(L/2) + 273 \times 5$.
$(373 - 273)(L/2) = 273 \times 5$.
$100(L/2) = 1365$.
$L/2 = 13.65$.
$L = 27.3 \, cm$.

(B) सबसे पहले, तार में तनाव $T$ की गणना करें। घिरनी के ऊपर से गुजरने वाले तार से जुड़े दो ब्लॉकों के निकाय के लिए, त्वरण $a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2} = \frac{(2 - 1)10}{2 + 1} = \frac{10}{3} \,m s^{-2}$ है。
तार में तनाव $T = m_1(g + a) = 1(10 + \frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \,N$ है。
ब्रेकिंग स्ट्रेस को $\sigma = \frac{T}{A}$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है。
दिया गया है $\sigma = \frac{40}{3 \pi} \times 10^6 \,N m^{-2}$।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{40}{3 \pi} \times 10^6 = \frac{40/3}{\pi r^2}$।
सरल करने पर: $\frac{40}{3 \pi} \times 10^6 = \frac{40}{3 \pi r^2}$।
अतः, $10^6 = \frac{1}{r^2}$, जिसका अर्थ है $r^2 = 10^{-6} \,m^2$।
इसलिए, $r = 10^{-3} \,m = 1 \,mm$।

(C) मान लीजिए कि पुलिस पार्टी $t$ समय के बाद चोर को पकड़ लेती है।
$t$ समय में पुलिस पार्टी द्वारा तय की गई दूरी $d_p = v t$ है।
विराम अवस्था से $a$ त्वरण के साथ शुरू करने वाले चोर द्वारा $t$ समय में तय की गई दूरी $d_t = x + \frac{1}{2} a t^2$ है।
पुलिस के लिए चोर को पकड़ने हेतु,पुलिस द्वारा तय की गई दूरी चोर द्वारा तय की गई दूरी से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए:
$v t \geq x + \frac{1}{2} a t^2$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $t$ में एक द्विघात असमानता प्राप्त होती है:
$\frac{1}{2} a t^2 - v t + x \leq 0$
$t$ के लिए वास्तविक समाधान मौजूद होने हेतु,संबंधित द्विघात समीकरण $\frac{1}{2} a t^2 - v t + x = 0$ का विविक्तकर (discriminant) शून्य या उससे अधिक होना चाहिए।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ इस प्रकार है:
$D = (-v)^2 - 4(\frac{1}{2} a)(x) \geq 0$
$v^2 - 2 a x \geq 0$
$v^2 \geq 2 a x$

(C) सरल आवर्त दोलक का प्रारंभिक आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $l$ लंबाई और $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग को दो बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की लंबाई $l' = \frac{l}{2}$ हो जाती है।
चूंकि स्प्रिंग नियतांक $k$ स्प्रिंग की लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(k \propto \frac{1}{l})$,इसलिए प्रत्येक भाग के लिए नया स्प्रिंग नियतांक $k' = 2k$ होगा।
समान द्रव्यमान $m$ और नए स्प्रिंग नियतांक $k'$ के साथ नया आवर्तकाल $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k'}} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{2k}}$ होगा।
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ का मान रखने पर,हमें $T' = \frac{1}{\sqrt{2}} \times (2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}) = \frac{T}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) एकसमान वृत्ताकार डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I = \frac{1}{2} M R^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $(M)$ और मोटाई $(t)$ समान हैं,हम त्रिज्या $(R)$ को घनत्व $(\rho)$ के पदों में व्यक्त करते हैं:
$M = \pi R^2 t \rho \Rightarrow R^2 = \frac{M}{\pi t \rho}$.
इसे $I$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{2} M \left( \frac{M}{\pi t \rho} \right) = \frac{M^2}{2 \pi t \rho}$.
चूंकि $M$,$t$ और $\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए $I \propto \frac{1}{\rho}$ है।
अतः,अधिक घनत्व वाले पदार्थ से बनी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण कम होगा।

(C) स्थिर अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़ी दोनों स्लैब से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होती है।
$H = \frac{k_1 A (\Delta T_A)}{L} = \frac{k_2 A (\Delta T_B)}{L}$
चूंकि दोनों स्लैब के लिए मोटाई $(L)$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ समान है,इसलिए हमारे पास है:
$k_1 (\Delta T_A) = k_2 (\Delta T_B)$
दिया गया है $k_1 = \frac{k_2}{2}$,जिसे हम $k_2 = 2k_1$ लिख सकते हैं।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$k_1 (\Delta T_A) = 2k_1 (\Delta T_B)$
$\Delta T_A = 2 \Delta T_B$
हम जानते हैं कि कुल तापमान अंतर $\Delta T_A + \Delta T_B = 12^{\circ} C$ है।
$\Delta T_A = 2 \Delta T_B$ को कुल तापमान समीकरण में रखने पर:
$2 \Delta T_B + \Delta T_B = 12^{\circ} C$
$3 \Delta T_B = 12^{\circ} C \implies \Delta T_B = 4^{\circ} C$
अतः,स्लैब $A$ के आर-पार तापमान अंतर है:
$\Delta T_A = 12^{\circ} C - 4^{\circ} C = 8^{\circ} C$।

(A) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान केल्विन में है।
दिया गया है $\eta = \frac{1}{6}$,इसलिए $1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{6} \implies \frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6} \implies T_2 = \frac{5}{6} T_1$.
जब सिंक का तापमान $62 \ K$ कम किया जाता है ($62^{\circ} C$ का परिवर्तन $62 \ K$ के बराबर है),तो नई दक्षता $\eta' = 2\eta = 2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ हो जाती है।
अतः,$1 - \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{1}{3} \implies \frac{T_2 - 62}{T_1} = \frac{2}{3}$.
$T_2 = \frac{5}{6} T_1$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\frac{5}{6} T_1 - 62}{T_1} = \frac{2}{3} \implies \frac{5}{6} - \frac{62}{T_1} = \frac{4}{6} \implies \frac{62}{T_1} = \frac{1}{6} \implies T_1 = 372 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_1 = 372 - 273 = 99^{\circ} C$.
तब $T_2 = \frac{5}{6} \times 372 = 310 \ K$. सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 310 - 273 = 37^{\circ} C$.
अतः,तापमान $99^{\circ} C$ और $37^{\circ} C$ हैं।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दबाव $p$ और आयतन $V$ के बीच का संबंध $pV^\gamma = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\gamma = C_p / C_V$ है।
दिया गया है कि $p \propto T^3$, इसलिए हम $p = k T^3$ लिख सकते हैं।
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास $T = \frac{pV}{nR}$ है।
इस मान को दिए गए संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:
$p = k \left( \frac{pV}{nR} \right)^3$
$p = k \frac{p^3 V^3}{(nR)^3}$
$1 = \left( \frac{k}{(nR)^3} \right) p^2 V^3$
$p^2 V^3 = \text{constant}'$
$p V^{3/2} = \text{constant}''$
इसकी तुलना मानक रुद्धोष्म समीकरण $pV^\gamma = \text{constant}$ से करने पर, हमें $\gamma = 3/2$ प्राप्त होता है।
अतः, $C_p / C_V$ का मान $3/2$ है।

(A) माना ध्वनि का वेग $v$ है और तीसरे ध्वनि की आवृत्ति $f_0$ है। दी गई दो ध्वनियों की आवृत्तियाँ $f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{40/195} = \frac{195v}{40}$ और $f_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{v}{40/193} = \frac{193v}{40}$ हैं।
चूँकि प्रत्येक ध्वनि तीसरे ध्वनि के साथ प्रति सेकंड $9$ बीट्स उत्पन्न करती है,इसलिए:
$|f_1 - f_0| = 9$ और $|f_2 - f_0| = 9$।
इसका अर्थ है $f_1 - f_0 = 9$ और $f_0 - f_2 = 9$ (मानते हुए कि $f_1 > f_0 > f_2$)।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(f_1 - f_0) + (f_0 - f_2) = 9 + 9$
$f_1 - f_2 = 18$
$\frac{195v}{40} - \frac{193v}{40} = 18$
$\frac{2v}{40} = 18$
$\frac{v}{20} = 18$
$v = 360 \,m/s$.

(C) डोरी के लिए $n$-वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu = \pi r^2 \rho$ है।
$A$ के पहले ओवरटोन के लिए $(n=2)$: $f_{A} = \frac{2}{2l_A} \sqrt{\frac{T}{\pi r_A^2 \rho}} = \frac{1}{l_A r_A} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
$B$ के दूसरे ओवरटोन के लिए $(n=3)$: $f_{B} = \frac{3}{2l_B} \sqrt{\frac{T}{\pi r_B^2 \rho}} = \frac{3}{2l_B r_B} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
दिया गया है कि $f_A = f_B$ और $r_A = 2r_B$:
$\frac{1}{l_A (2r_B)} = \frac{3}{2l_B r_B}$.
सरल करने पर,$\frac{1}{2l_A} = \frac{3}{2l_B} \Rightarrow \frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{3}$.
अतः,लंबाई का अनुपात $l_A : l_B = 1 : 3$ है।

(D) थर्मो-emf $E$ का मान $E = a\theta + b\theta^2$ दिया गया है।
थर्मोइलेक्ट्रिक पावर $P$ को तापमान के सापेक्ष थर्मो-emf के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है: $P = \frac{dE}{d\theta} = a + 2b\theta$.
उदासीन तापमान $T_n$ वह तापमान है जिस पर थर्मोइलेक्ट्रिक पावर शून्य हो जाती है।
$P = 0$ रखने पर,हमें $a + 2bT_n = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_n = -\frac{a}{2b}$.
दिए गए अनुपात $a/b = 700^{\circ}C$ को समीकरण में रखने पर: $T_n = -\frac{700}{2} = -350^{\circ}C$.
चूँकि $-350^{\circ}C$ दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है, $Z=31$ और $a=5 \times 10^7 \, \text{Hz}^{1/2}$।
$K_{\alpha}$ रेखाओं के लिए मोजले के नियम के अनुसार, $\sqrt{\nu} = a(Z-1)$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है $\nu = a^2(Z-1)^2$।
मान रखने पर: $\nu = (5 \times 10^7)^2 \times (31-1)^2$।
$\nu = 25 \times 10^{14} \times 30^2 = 25 \times 10^{14} \times 900 = 2.25 \times 10^{18} \, \text{Hz}$।
हम जानते हैं कि $\lambda = \frac{c}{\nu}$, जहाँ $c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$।
$\lambda = \frac{3 \times 10^8}{2.25 \times 10^{18}} = 1.33 \times 10^{-10} \, \text{m}$।
चूंकि $1 \, \mathring{A} = 10^{-10} \, \text{m}$, इसलिए तरंगदैर्ध्य $1.33 \, \mathring{A}$ है।

(D) दिया गया है:
पहले लेंस की विक्षेपण क्षमता,$\omega_1 = 0.45$.
दूसरे लेंस की विक्षेपण क्षमता,$\omega_2 = 0.21$.
दूसरे लेंस (उत्तल) की फोकस दूरी,$f_2 = 84 \,cm$.
संपर्क में रखे गए दो पतले लेंसों के अवर्णक संयोजन के लिए शर्त इस प्रकार है:
$\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$
$\Rightarrow \frac{\omega_1}{f_1} = -\frac{\omega_2}{f_2}$
$\Rightarrow \frac{f_1}{f_2} = -\frac{\omega_1}{\omega_2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{f_1}{84} = -\frac{0.45}{0.21}$
$f_1 = -\frac{45}{21} \times 84$
$f_1 = -\frac{45}{1} \times 4$
$f_1 = -180 \,cm$
अतः,आवश्यक लेंस की फोकस दूरी $-180 \,cm$ है.

(B) संयुक्त सूक्ष्मदर्शी में अभिदृश्यक लेंस और नेत्रिका दोनों उत्तल लेंस होते हैं। कथन $(A)$ गलत है क्योंकि अभिदृश्यक लेंस वास्तविक और उल्टा प्रतिबिंब बनाता है,जबकि नेत्रिका आभासी और आवर्धित प्रतिबिंब बनाती है।
कथन $(B)$ सही है क्योंकि उच्च आवर्धन प्राप्त करने के लिए अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी बहुत कम होनी चाहिए।
कथन $(C)$ सही है क्योंकि नेत्रिका अभिदृश्यक लेंस द्वारा बनाए गए वास्तविक प्रतिबिंब को देखने के लिए एक साधारण आवर्धक लेंस के रूप में कार्य करती है।
कथन $(D)$ गलत है क्योंकि दोनों लेंस उत्तल हैं,अवतल नहीं।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ सत्य हैं।

(A) एक श्रेणी $L-R$ परिपथ में, स्विच बंद करने के बाद किसी भी समय $t$ पर धारा $i$ का मान $i(t) = \frac{V}{R} (1 - e^{-Rt/L})$ द्वारा दिया जाता है।
$t = 0$ पर, परिपथ में धारा $i(0) = \frac{V}{R} (1 - e^0) = 0$ होती है।
प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V_R = iR$ होता है। चूंकि $t = 0$ पर $i = 0$ है, इसलिए $V_R = 0 \times R = 0 \, V$ होगा।
प्रेरक के सिरों पर विभवांतर $V_L = L \frac{di}{dt}$ होता है। किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार, $V = V_R + V_L$ होता है। $t = 0$ पर, $V = 0 + V_L$, जिससे $V_L = 25 \, V$ प्राप्त होता है।
अतः, $t = 0$ पर, प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $0 \, V$ और प्रेरक के सिरों पर विभवांतर $25 \, V$ है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ है।
संधारित्र $M$ के लिए,स्थान को $K = 8$ परावैद्युतांक वाले माध्यम से भरा गया है। नई धारिता $C_M = K C = 8C$ है।
संधारित्र $N$ के लिए,$t = d/2$ मोटाई की तांबे की प्लेट डाली गई है। $t$ मोटाई की धातु की प्लेट वाले संधारित्र की धारिता $C_N = \frac{A \varepsilon_0}{d - t}$ होती है।
$t = d/2$ रखने पर,हमें $C_N = \frac{A \varepsilon_0}{d - d/2} = \frac{A \varepsilon_0}{d/2} = 2 \left( \frac{A \varepsilon_0}{d} \right) = 2C$ प्राप्त होता है।
चूंकि संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए दोनों पर आवेश $Q$ समान रहेगा।
विभवांतर $V = Q/C$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $V \propto 1/C$ है।
अतः,विभवांतर का अनुपात $V_M : V_N = \frac{1}{C_M} : \frac{1}{C_N} = \frac{1}{8C} : \frac{1}{2C} = \frac{1}{8} : \frac{1}{2} = 2 : 8 = 1 : 4$ होगा।

(B) मान लीजिए कि जब संधारित्र पूर्णतः आवेशित होता है तो उसके सिरों पर विभवांतर $V$ है। संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C V^2$ द्वारा दी जाती है।
जब संधारित्र प्रतिरोधक कुंडली के माध्यम से पूर्णतः विसर्जित हो जाता है,तो संचित ऊर्जा ऊष्मा $\Delta H$ के रूप में ब्लॉक में स्थानांतरित हो जाती है।
चूंकि निकाय ऊष्मीय रूप से पृथक है,इसलिए ब्लॉक द्वारा प्राप्त ऊष्मा संधारित्र द्वारा खोई गई ऊर्जा के बराबर है: $\Delta H = \frac{1}{2} C V^2$।
ब्लॉक द्वारा प्राप्त ऊष्मा को $\Delta H = m s \Delta T$ द्वारा भी व्यक्त किया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $s$ विशिष्ट ऊष्मा है।
$\Delta H$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{2} C V^2 = m s \Delta T$
$V^2 = \frac{2 m s \Delta T}{C}$
$V = \left(\frac{2 m s \Delta T}{C}\right)^{1 / 2}$

(A) गैल्वेनोमीटर की संवेदनशीलता को प्रति इकाई धारा विक्षेपण के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $S_g = \frac{\theta}{i_g}$ द्वारा दिया जाता है। जब $G$ प्रतिरोध वाले गैल्वेनोमीटर के साथ $S$ शंट को समानांतर में जोड़ा जाता है,तो नई संवेदनशीलता $S'$ गैल्वेनोमीटर से गुजरने वाली धारा $i_g$ और कुल धारा $i$ के अनुपात द्वारा प्राप्त होती है।
गैल्वेनोमीटर से गुजरने वाली धारा $i_g = i \left( \frac{S}{G+S} \right)$ है।
इसलिए,नई संवेदनशीलता $S' = \frac{i_g}{i} = \frac{S}{G+S}$ है।
दिया गया है,प्रारंभिक संवेदनशीलता $= 60 \text{ div/A}$ और अंतिम संवेदनशीलता $= 10 \text{ div/A}$।
संवेदनशीलता का अनुपात $\frac{S'}{S_g} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{1}{6} = \frac{S}{G+S}$।
तिर्यक गुणा करने पर $G + S = 6S$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $G = 5S$ हो जाता है।
यहाँ $G = 20 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए $20 = 5S$।
अतः,$S = \frac{20}{5} = 4 \ \Omega$।

(B) मान लीजिए कि $500 \Omega$ के प्रतिरोध और $12 \text{ V}$ की बैटरी से बहने वाली धारा $i_1$ है।
चूंकि एमीटर का पाठ्यांक शून्य है,इसलिए दाईं ओर की शाखा में,जिसमें $2 \text{ V}$ की बैटरी और एमीटर है,कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,धारा $i_1$ $500 \Omega$ के प्रतिरोध और $R$ प्रतिरोध से श्रेणीक्रम में बहती है।
बाईं ओर के लूप के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$12 - 500 i_1 - R i_1 = 0$
$12 = i_1 (500 + R) \quad \dots (i)$
अब,प्रतिरोध $R$ के सिरों के बीच विभवांतर पर विचार करें। चूंकि दाईं ओर की शाखा में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए $R$ के सिरों के बीच का विभवांतर दाईं ओर की शाखा में लगी बैटरी के विद्युत वाहक बल $(EMF)$ के बराबर होना चाहिए ताकि उस लूप में धारा शून्य बनी रहे।
$R$ के सिरों के बीच विभवांतर $V_R = i_1 R$ है।
एमीटर का पाठ्यांक शून्य होने के लिए,$R$ के सिरों के बीच का विभवांतर $2 \text{ V}$ की बैटरी को संतुलित करना चाहिए।
अतः,$i_1 R = 2 \text{ V} \Rightarrow i_1 = \frac{2}{R}$।
$i_1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$12 = \frac{2}{R} (500 + R)$
$6 R = 500 + R$
$5 R = 500$
$R = 100 \Omega$

(D) किरचॉफ के धारा नियम $(KCL)$ के अनुसार, किसी जंक्शन में प्रवेश करने वाली धाराओं का योग उससे बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होता है।
जंक्शन $A$ पर:
$i_1 = 3 \text{ A} + 2 \text{ A} = 5 \text{ A}$
जंक्शन $B$ पर:
धारा $i_1$ जंक्शन में प्रवेश करती है और $2 \text{ A}$ बाहर निकलती है। मान लीजिए $i_2$ जंक्शन $C$ की ओर बहने वाली धारा है।
$i_1 = 2 \text{ A} + i_2$
$5 \text{ A} = 2 \text{ A} + i_2 \implies i_2 = 3 \text{ A}$
जंक्शन $C$ पर:
धाराएं $i_2$ और $1 \text{ A}$ जंक्शन में प्रवेश करती हैं और $i$ बाहर निकलती है।
$i = i_2 + 1 \text{ A}$
$i = 3 \text{ A} + 1 \text{ A} = 4 \text{ A}$

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = E - \phi_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $E$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\phi_0$ धातु का कार्य फलन है।
$E_1 = 2.5 eV$ ऊर्जा वाले पहले फोटॉन के लिए:
$\frac{1}{2} m v_1^2 = E_1 - \phi_0 = 2.5 eV - 1.5 eV = 1.0 eV$ $(i)$
$E_2 = 3.5 eV$ ऊर्जा वाले दूसरे फोटॉन के लिए:
$\frac{1}{2} m v_2^2 = E_2 - \phi_0 = 3.5 eV - 1.5 eV = 2.0 eV$ (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\frac{1}{2} m v_1^2}{\frac{1}{2} m v_2^2} = \frac{1.0 eV}{2.0 eV}$
$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,अधिकतम वेगों का अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(D) थर्मो emf $E = a\theta + b\theta^2$ द्वारा दिया गया है।
उदासीन तापमान $(T_n)$ ज्ञात करने के लिए,हम $E$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं,क्योंकि उदासीन तापमान पर थर्मो emf अधिकतम होता है।
$\frac{dE}{d\theta} = a + 2b\theta$.
$\frac{dE}{d\theta} = 0$ रखने पर,हमें $a + 2b\theta = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$T_n = -\frac{a}{2b}$.
दिया गया है कि $a/b = 700^{\circ}C$,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$T_n = -\frac{1}{2} \times (700^{\circ}C) = -350^{\circ}C$.
चूँकि गणना किया गया मान $-350^{\circ}C$ विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है: परमाणु क्रमांक $Z=31$ और स्थिरांक $a=5 \times 10^7 \text{ Hz}^{1/2}$।
$K_{\alpha}$ रेखा के लिए मोज़ले के नियम के अनुसार:
$\sqrt{\nu} = a(Z-1)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\nu = a^2(Z-1)^2$
मान रखने पर:
$\nu = (5 \times 10^7)^2 \times (31-1)^2$
$\nu = 25 \times 10^{14} \times 30^2$
$\nu = 25 \times 10^{14} \times 900 = 2.25 \times 10^{18} \text{ Hz}$
अब, $\lambda = \frac{c}{\nu}$ संबंध का उपयोग करते हुए, जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$:
$\lambda = \frac{3 \times 10^8}{2.25 \times 10^{18}}$
$\lambda = 1.33 \times 10^{-10} \text{ m}$
चूंकि $1 \text{ Å} = 10^{-10} \text{ m}$, इसलिए:
$\lambda = 1.33 \text{ Å}$।

(B) सही मिलान इस प्रकार हैं:
$(A)$ फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही चालक पर लगने वाले बल की दिशा ज्ञात करने के लिए किया जाता है,जो (iii) के अनुरूप है।
$(B)$ दाएं हाथ के अंगूठे के नियम का उपयोग धारावाही चालक के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र रेखाओं की दिशा निर्धारित करने के लिए किया जाता है,जो (iv) के अनुरूप है।
$(C)$ बायो-सावर्ट के नियम का उपयोग छोटे धारा अवयव के कारण चुंबकीय प्रेरण का परिमाण और दिशा ज्ञात करने के लिए किया जाता है,जो (ii) के अनुरूप है।
$(D)$ फ्लेमिंग के दाएं हाथ के नियम का उपयोग चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान चालक में प्रेरित धारा की दिशा ज्ञात करने के लिए किया जाता है,जो $(i)$ के अनुरूप है।
अतः,सही मिलान $(A)-(iii), (B)-(iv), (C)-(ii), (D)-(i)$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $(b)$ है।

(C) प्रारंभिक ध्रुव शक्ति $= m$ और चुंबकीय आघूर्ण $= M = m \times (2l)$,जहाँ $2l$ चुंबक की लंबाई है।
जब एक चुंबक को उसकी अक्ष के समानांतर $n$ बार काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े की ध्रुव शक्ति $m' = \frac{m}{n+1}$ हो जाती है। यहाँ $n=5$ है,इसलिए $m' = \frac{m}{5+1} = \frac{m}{6}$।
जब एक चुंबक को उसकी अक्ष के लंबवत $k$ बार काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े की लंबाई $l' = \frac{l}{k+1}$ हो जाती है। यहाँ $k=3$ है,इसलिए नई लंबाई $2l' = \frac{2l}{3+1} = \frac{2l}{4} = \frac{l}{2}$ होगी।
अक्ष के लंबवत काटने से ध्रुव शक्ति प्रभावित नहीं होती है,इसलिए प्रत्येक टुकड़े की अंतिम ध्रुव शक्ति $m' = \frac{m}{6}$ होगी।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M'$ नई ध्रुव शक्ति और नई लंबाई का गुणनफल है: $M' = m' \times (2l') = \left(\frac{m}{6}\right) \times \left(\frac{2l}{4}\right) = \frac{m \times 2l}{24} = \frac{M}{24}$।

(A) एक नाभिक के विखंडन में मुक्त ऊर्जा $E_1 = 200 \text{ MeV}$ है।
इस ऊर्जा को जूल में परिवर्तित करने पर:
$E_1 = 200 \times 1.6 \times 10^{-13} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-11} \text{ J}$।
हमें कुल $E_{total} = 1000 \text{ J}$ ऊर्जा मुक्त करने के लिए आवश्यक नाभिकों की संख्या $(n)$ ज्ञात करनी है।
संबंध है: $E_{total} = n \times E_1$।
अतः,$n = \frac{E_{total}}{E_1} = \frac{1000}{3.2 \times 10^{-11}}$।
$n = \frac{10^3}{3.2 \times 10^{-11}} = \frac{1}{3.2} \times 10^{14} = 0.3125 \times 10^{14} = 3.125 \times 10^{13}$ नाभिक।

(C) दिया गया है: अपवर्तनांक $\mu_1 = 1.6$,$\mu_2 = 1.8$,$\mu_3 = 1.3$ है।
माध्यम $2$ और $3$ के बीच के इंटरफेस पर,किरण क्रांतिक कोण $C$ पर आपतित होती है। इसलिए,$\sin C = \frac{\mu_3}{\mu_2} = \frac{1.3}{1.8}$ है।
माना $r$ माध्यम $2$ में अपवर्तन कोण है। चूंकि किरण माध्यम $2$ और $3$ के इंटरफेस पर क्रांतिक कोण पर आपतित होती है,इसलिए पहले इंटरफेस पर अपवर्तन कोण $r$ क्रांतिक कोण $C$ के बराबर होगा (अर्थात $r = C$)।
माध्यम $1$ और $2$ के बीच के इंटरफेस पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$\mu_1 \sin \theta = \mu_2 \sin r$
चूंकि $r = C$,इसलिए $\sin r = \sin C = \frac{1.3}{1.8}$ है।
मान रखने पर:
$1.6 \times \sin \theta = 1.8 \times \left(\frac{1.3}{1.8}\right)$
$1.6 \times \sin \theta = 1.3$
$\sin \theta = \frac{1.3}{1.6} = \frac{13}{16}$
$\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{13}{16}\right)$

(D) दिया गया है:
पहले लेंस की विक्षेपण क्षमता, $\omega_1 = 0.45$.
दूसरे लेंस की विक्षेपण क्षमता, $\omega_2 = 0.21$.
दूसरे लेंस की फोकस दूरी, $f_2 = 84 \,cm$.
संपर्क में रखे गए दो पतले लेंसों के अवर्णक संयोजन के लिए शर्त है:
$\frac{\omega_1}{f_1} + \frac{\omega_2}{f_2} = 0$
$\frac{\omega_1}{f_1} = -\frac{\omega_2}{f_2}$
$\frac{f_1}{f_2} = -\frac{\omega_1}{\omega_2}$
मान रखने पर:
$f_1 = -f_2 \times \left( \frac{\omega_1}{\omega_2} \right)$
$f_1 = -84 \times \left( \frac{0.45}{0.21} \right)$
$f_1 = -84 \times \left( \frac{45}{21} \right)$
$f_1 = -84 \times \frac{15}{7}$
$f_1 = -12 \times 15 = -180 \,cm$.
अतः, लेंस की फोकस दूरी $-180 \,cm$ है.

(B) एक संयुक्त सूक्ष्मदर्शी में,अभिदृश्यक (objective) और नेत्रिका (eyepiece) दोनों उत्तल लेंस होते हैं।
अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी बहुत कम होती है,जबकि नेत्रिका की फोकस दूरी अधिक होती है।
कथन $(A)$ गलत है क्योंकि अभिदृश्यक लेंस वास्तविक और उल्टा प्रतिबिंब बनाता है,जबकि नेत्रिका आभासी और आवर्धित प्रतिबिंब बनाती है।
कथन $(B)$ सत्य है क्योंकि अभिदृश्यक लेंस की फोकस दूरी बहुत कम होती है।
कथन $(C)$ सत्य है क्योंकि नेत्रिका एक साधारण आवर्धक लेंस (magnifying glass) के रूप में कार्य करती है,जिसका उपयोग अभिदृश्यक द्वारा बनाए गए मध्यवर्ती प्रतिबिंब को देखने के लिए किया जाता है।
कथन $(D)$ गलत है क्योंकि दोनों लेंस उत्तल होते हैं।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(C) दिया गया है: विभव प्राचीर,$V = 0.3 \,V$।
अवक्षय परत की मोटाई,$d = 2 \times 10^{-6} \,m$।
विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{V}{d}$ है।
मान रखने पर:
$E = \frac{0.3}{2 \times 10^{-6}} = 0.15 \times 10^6 = 1.5 \times 10^5 \,V/m$।
एक $p-n$ जंक्शन में,अवक्षय परत के $n$-क्षेत्र में धनात्मक आयनों और $p$-क्षेत्र में ऋणात्मक आयनों के जमाव के कारण विद्युत क्षेत्र की दिशा $n$-क्षेत्र से $p$-क्षेत्र की ओर होती है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) व्यंजक $\frac{1}{2} \mu_0 H^2$ चुंबकीय क्षेत्र के ऊर्जा घनत्व को दर्शाता है।
ऊर्जा घनत्व को प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[ML^2 T^{-2}]$ है और आयतन का $[L^3]$ है।
इसलिए,ऊर्जा घनत्व का विमीय सूत्र $\frac{[ML^2 T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1} T^{-2}]$ है।
वैकल्पिक रूप से,दी गई राशियों के आयामों का उपयोग करते हुए:
$[\mu_0] = [MLT^{-2} A^{-2}]$ और $[H] = [AL^{-1}]$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$[\frac{1}{2} \mu_0 H^2] = [MLT^{-2} A^{-2}] \times [AL^{-1}]^2 = [MLT^{-2} A^{-2}] \times [A^2 L^{-2}] = [ML^{-1} T^{-2}]$.

(B) दी गई भौतिक राशियों की इकाइयाँ इस प्रकार हैं:
$1$. चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $(H)$ को $A \cdot m^{-1}$ में मापा जाता है। अतः,$(A)-(iv)$.
$2$. चुंबकीय फ्लक्स $(\phi)$ को वेबर $(Wb)$ में मापा जाता है। अतः,$(B)-(i)$.
$3$. चुंबकीय ध्रुव प्रबलता $(m)$ को एम्पियर-मीटर $(A \cdot m)$ में मापा जाता है। अतः,$(C)-(iii)$.
$4$. चुंबकीय प्रेरण $(B)$ को $Wb \cdot m^{-2}$ (या टेस्ला) में मापा जाता है। अतः,$(D)-(ii)$.
अतः,सही मिलान $(A)-(iv), (B)-(i), (C)-(iii), (D)-(ii)$ है।
सही विकल्प $(B)$ है।

(C) किसी बिंदु पर परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र $I_R = I_{\max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
दिया गया है कि $I_R = 75 \% \text{ of } I_{\max} = 0.75 I_{\max} = \frac{3}{4} I_{\max}$।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\frac{3}{4} I_{\max} = I_{\max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$
$\cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right) = \frac{3}{4}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\cos \left( \frac{\phi}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूँकि $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{6}$
$\phi = \frac{\pi}{3}$