MHT CET 2022 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) એસેટિક એસિડની દહન પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: $CH_3COOH_{(l)} + 2O_{2(g)} \rightarrow 2CO_{2(g)} + 2H_2O_{(l)}$
વાયુરૂપ ઘટકોના મોલની સંખ્યામાં થતો ફેરફાર: $\Delta n_g = n_p(g) - n_r(g) = 2 - 2 = 0$
રાસાયણિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્યનું સૂત્ર: $W = -\Delta n_g RT$
$\Delta n_g$ ની કિંમત મૂકતા: $W = -0 \times R \times 298 = 0.0 \ J$

(A) અવસ્થા વિધેય એ એક એવો ગુણધર્મ છે જેનું મૂલ્ય માત્ર તંત્રની વર્તમાન અવસ્થા પર આધાર રાખે છે,તે અવસ્થા સુધી પહોંચવા માટે લીધેલા માર્ગ પર નહીં. $P$,$V$ અને $T$ એ અવસ્થા વિધેયો છે. કાર્ય $(w)$ અને ઉષ્મા $(q)$ એ પથ વિધેયો છે,જેનો અર્થ છે કે તેમના મૂલ્યો લીધેલા માર્ગ પર આધાર રાખે છે. તેથી,કાર્ય એ અવસ્થા વિધેય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(C) અચળ દબાણે વાયુના સંકોચન દરમિયાન થયેલ કાર્યનું સૂત્ર: $W = -P_{ext} \times \Delta V$ છે।
અહીં, $P_{ext} = 2 \ bar$, $V_1 = 10 \ dm^3$, અને $V_2 = 1 \ dm^3$.
$\Delta V = V_2 - V_1 = 1 \ dm^3 - 10 \ dm^3 = -9 \ dm^3$.
$W = -2 \ bar \times (-9 \ dm^3) = +18 \ bar \ dm^3$.
$1 \ bar \ dm^3 = 100 \ J$ હોવાથી, $18 \ bar \ dm^3 = 1800 \ J = 1.8 \ kJ$.
વાયુ પર કાર્ય થતું હોવાથી, મૂલ્ય ધન મળે છે.

(C) અચળ બાહ્ય દબાણ વિરુદ્ધ વિસ્તરણ દરમિયાન થયેલ કાર્યનું સૂત્ર: $W = -P_{ext} \Delta V$ છે.
પ્રથમ,કદને સમાન એકમ $(m^3)$ માં ફેરવો:
$V_1 = 5 \ dm^3 = 5 \times 10^{-3} \ m^3$.
$V_2 = 7 \times 10^{-3} \ m^3$.
કદમાં ફેરફાર: $\Delta V = V_2 - V_1 = (7 \times 10^{-3} - 5 \times 10^{-3}) \ m^3 = 2 \times 10^{-3} \ m^3$.
હવે,થયેલ કાર્યની ગણતરી કરો:
$W = -(2.02 \times 10^5 \ Nm^{-2}) \times (2 \times 10^{-3} \ m^3)$.
$W = -4.04 \times 10^2 \ J = -404 \ J$.
$kJ$ માં ફેરવતા: $W = -0.404 \ kJ$.

(D) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $(\Delta U)$ એ તંત્રને આપેલી ઉષ્મા $(q)$ અને તંત્ર પર કરેલા કાર્ય $(w)$ ના સરવાળા જેટલો હોય છે: $\Delta U = q + w$
અહીં,$Q$ એ તંત્રમાંથી મુક્ત થતી ઉષ્મા છે,તેથી $q = -Q$
$W$ એ તંત્ર પર કરવામાં આવેલું કાર્ય છે,તેથી $w = W$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta U = -Q + W$
$Q$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $Q = W - \Delta U$

(B) અચળ બાહ્ય દબાણ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્યનું સૂત્ર $W = -P_{ext} \Delta V$ છે.
પ્રથમ,કદને સમાન એકમ $(m^3)$ માં ફેરવો:
$V_1 = 2 \ dm^3 = 2 \times 10^{-3} \ m^3$.
$V_2 = 6 \times 10^{-3} \ m^3$.
કદમાં ફેરફાર $\Delta V = V_2 - V_1 = (6 - 2) \times 10^{-3} \ m^3 = 4 \times 10^{-3} \ m^3$.
આપેલ બાહ્ય દબાણ $P_{ext} = 1 \ bar = 10^5 \ Pa = 10^5 \ N/m^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = -(10^5 \ N/m^2) \times (4 \times 10^{-3} \ m^3) = -400 \ J$.
$kJ$ માં ફેરવતા:
$W = -400 / 1000 \ kJ = -0.4 \ kJ$.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $(\Delta U)$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta U = q + w$
અહીં,સિસ્ટમ ઉષ્માનું શોષણ કરે છે,તેથી $q = +30 \ kJ$
સિસ્ટમ આસપાસ પર કાર્ય કરે છે,તેથી $w = -12 \ kJ$
આ કિંમતો મૂકતા: $\Delta U = 30 \ kJ + (-12 \ kJ) = 18 \ kJ$
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં વધારો $18 \ kJ$ છે.

(A) જે પ્રક્રિયામાં તંત્રનું કદ સમગ્ર ફેરફાર દરમિયાન અચળ રહે છે તેને $Isochoric$ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$Isochoric$ પ્રક્રિયા માટે,કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = 0$ થાય છે.

(D) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર ($\Delta U$ અથવા $\Delta E$) નીચે મુજબ છે: $\Delta U = q + w$.
અહીં,સિસ્ટમ ઉષ્મા મેળવે છે,તેથી $q = +x \ J$.
સિસ્ટમ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,તેથી $w = +y \ J$.
તેથી,$\Delta U = (+x) + (+y) = x + y \ J$.

(C) એક મોલ ઇથાઇલ આલ્કોહોલના દહન માટેનું સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ:
$C_2H_5OH(\ell) + 3O_{2(g)} \rightarrow 2CO_{2(g)} + 3H_2O(\ell)$
આપણે જાણીએ છીએ કે:
$\Delta H = \Delta U + \Delta n_g RT$
તેથી,$\Delta H - \Delta U = \Delta n_g RT$
અહીં,$\Delta n_g$ એ વાયુરૂપ ઘટકોના મોલની સંખ્યામાં થતો ફેરફાર છે:
$\Delta n_g = (n_p)_{gas} - (n_r)_{gas} = 2 - 3 = -1$
$\Delta n_g$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta H - \Delta U = (-1) RT = -RT$

(A) સુક્રોઝના દહન માટેનું સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ: $C_{12}H_{22}O_{11(s)} + 12O_{2(g)} \rightarrow 12CO_{2(g)} + 11H_2O(\ell)$.
વાયુમય મોલની સંખ્યામાં ફેરફાર: $\Delta n_g = 12 - 12 = 0$.
એન્થાલ્પી ફેરફાર અને આંતરિક ઉર્જા ફેરફાર વચ્ચેનો સંબંધ: $\Delta H = \Delta U + \Delta n_gRT$.
$\Delta n_g = 0$ હોવાથી,$\Delta H = \Delta U = -24 \ kJ$ ($2.0 \ g$ સુક્રોઝ માટે).
$1 \ mol$ $(342 \ g)$ સુક્રોઝ માટે: $\Delta H = (\frac{-24 \ kJ}{2.0 \ g}) \times 342 \ g \ mol^{-1} = -4104 \ kJ \ mol^{-1}$.

(D) દહન પ્રક્રિયાઓ નીચે મુજબ છે:
$C$(ગ્રેફાઇટ) $+ O_{2(g)} \rightarrow CO_{2(g)}$; $\Delta H_1 = -393.8 \ kJ \ mol^{-1}$ $(eq. I)$
$C$(હીરો) $+ O_{2(g)} \rightarrow CO_{2(g)}$; $\Delta H_2 = -395.3 \ kJ \ mol^{-1}$ $(eq. II)$
$C$(ગ્રેફાઇટ) નું $C$(હીરા) માં રૂપાંતર માટેની એન્થાલ્પી શોધવા માટે,$eq. I$ માંથી $eq. II$ બાદ કરતા:
$C$(ગ્રેફાઇટ) $\rightarrow C$(હીરો)
$\Delta H = \Delta H_1 - \Delta H_2$
$\Delta H = -393.8 - (-395.3) \ kJ \ mol^{-1}$
$\Delta H = 1.5 \ kJ \ mol^{-1}$

(B) એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ અને આંતરિક ઉર્જા ફેરફાર $(\Delta U)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta H = \Delta U + \Delta n_g RT$
માત્ર ઘન અથવા પ્રવાહી પદાર્થોની પ્રક્રિયાઓ માટે,વાયુના મોલની સંખ્યામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,તેથી $\Delta n_g = 0$ થાય છે.
તેથી,$\Delta H = \Delta U + (0)RT$,જેનું સાદું રૂપ $\Delta H = \Delta U$ થાય છે.

(D) એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ અને આંતરિક ઉર્જા ફેરફાર $(\Delta U)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\Delta H = \Delta U + \Delta n_g RT$.
અહીં,$\Delta n_g$ એ વાયુરૂપ ઘટકોના મોલની સંખ્યામાં થતો ફેરફાર છે.
પ્રક્રિયા માટે: $C_2H_5OH_{(l)} + 3O_{2(g)} \rightarrow 2CO_{2(g)} + 3H_2O_{(l)}$.
$\Delta n_g = (\text{વાયુરૂપ નીપજોના મોલ}) - (\text{વાયુરૂપ પ્રક્રિયકોના મોલ}) = 2 - 3 = -1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta H = \Delta U + (-1)RT = \Delta U - RT$.

(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ $\Delta U = q + w$.
$\Delta H = \Delta U + P \Delta V$ અને $P \Delta V = -w$.
તેથી,$\Delta H = \Delta U - w$.
અહીં,$\Delta U = 600 \ J$ અને $w = -800 \ J$.
$\Delta H = 600 + (-800) = -200 \ J$.

(B) પ્રક્રિયાની એન્થાલ્પી નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta H_{r}^{\circ} = \sum (B.E.)_{\text{reactants}} - \sum (B.E.)_{\text{products}}$
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા:
$-185 = [B.E._{H-H} + B.E._{Cl-Cl}] - [2 \times B.E._{H-Cl}]$
$-185 = [435 + 244] - 2x$
$-185 = 679 - 2x$
$2x = 679 + 185$
$2x = 864$
$x = 432 \ kJ \ mol^{-1}$
તેથી,$H-Cl$ બંધની બંધ એન્થાલ્પી $432 \ kJ \ mol^{-1}$ છે.

(C) ઇથિલીનની હાઇડ્રોજનેશન પ્રક્રિયા: $CH_2=CH_2 + H_2 \rightarrow CH_3-CH_3$.
પ્રક્રિયા માટે એન્થાલ્પી ફેરફાર: $\Delta H = \sum \text{પ્રક્રિયકોની બંધ એન્થાલ્પી} - \sum \text{નીપજોની બંધ એન્થાલ્પી}$.
પ્રક્રિયકો: $1 \times (C=C) + 4 \times (C-H) + 1 \times (H-H) = 600 + 4(410) + 400 = 2640 \ kJ \ mol^{-1}$.
નીપજો: $1 \times (C-C) + 6 \times (C-H) = 360 + 6(410) = 2820 \ kJ \ mol^{-1}$.
$\Delta H = 2640 - 2820 = -180 \ kJ \ mol^{-1}$.

(A) આપણે પ્રક્રિયા માટે સર્જન એન્થાલ્પી શોધવાની છે: $C_{(s)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \rightarrow CO_{(g)} \ (I)$
આપેલ સમીકરણો:
$C_{(s)} + O_{2(g)} \rightarrow CO_{2(g)} ; \Delta H_1 = -393.3 \ kJ \ mol^{-1} \ (II)$
$CO_{(g)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \rightarrow CO_{2(g)} ; \Delta H_2 = -282.2 \ kJ \ mol^{-1} \ (III)$
સમીકરણ $(II)$ માંથી સમીકરણ $(III)$ બાદ કરતા:
$(C_{(s)} + O_{2(g)}) - (CO_{(g)} + \frac{1}{2} O_{2(g)}) \rightarrow CO_{2(g)} - CO_{2(g)}$
$C_{(s)} + \frac{1}{2} O_{2(g)} \rightarrow CO_{(g)}$
તેથી,$\Delta H_f = \Delta H_1 - \Delta H_2$
$\Delta H_f = -393.3 - (-282.2) = -111.1 \ kJ \ mol^{-1}$

(B) સર્જન ઉષ્મા $(\Delta_{f}H)$ એટલે જ્યારે $1 \ mol$ પદાર્થ તેના ઘટક તત્વોમાંથી પ્રમાણિત અવસ્થામાં બને ત્યારે થતો એન્થાલ્પી ફેરફાર.
આપેલ સમીકરણમાં: $H_{2(g)} + Cl_{2(g)} \rightarrow 2HCl_{(g)}$,$2 \ mol$ $HCl$ ના સર્જન માટેનો એન્થાલ્પી ફેરફાર $-194 \ kJ$ છે.
તેથી,$1 \ mol$ $HCl_{(g)}$ માટે,સર્જન ઉષ્મા $\Delta_{f}H = \frac{-194 \ kJ}{2} = -97 \ kJ$ થાય.

(D) વક્ર $C_1: y^2=6x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 6$ મળે,તેથી $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{C_1} = \frac{3}{y}$.
વક્ર $C_2: 9x^2+by^2=16$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $18x + 2by \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,તેથી $\left(\frac{dy}{dx}\right)_{C_2} = -\frac{9x}{by}$.
વક્રો કાટખૂણે છેદતા હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\left(\frac{3}{y}\right) \times \left(-\frac{9x}{by}\right) = -1$
$\Rightarrow \frac{27x}{by^2} = 1$
$\Rightarrow 27x = by^2$
$y^2=6x$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$27x = b(6x)$
છેદબિંદુ પર $x \neq 0$ હોવાથી,$3x$ વડે ભાગતા:
$9 = 2b$
$b = \frac{9}{2}$

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 e^{-x}$ છે.
વિધેય કયા અંતરાલમાં ચુસ્ત રીતે વધે છે તે શોધવા માટે,આપણે તેનું વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$
$f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x}$
$f'(x) = x e^{-x} (2 - x)$
વિધેય ચુસ્ત રીતે વધતું હોય તે માટે,$f'(x) > 0$ હોવું જોઈએ.
કારણ કે $e^{-x}$ એ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે હંમેશા ધન છે,તેથી $f'(x)$ ની નિશાની $x(2 - x)$ પર આધાર રાખે છે.
$x(2 - x) > 0$
$-1$ વડે ગુણતા અસમતા બદલાય છે:
$x(x - 2) < 0$
બીજ $x = 0$ અને $x = 2$ છે. અંતરાલો $(-\infty, 0)$,$(0, 2)$,અને $(2, \infty)$ તપાસતા:
$x \in (0, 2)$ માટે,$x$ ધન છે અને $(x - 2)$ ઋણ છે,તેથી $x(x - 2) < 0$,જેનો અર્થ છે કે $f'(x) > 0$.
આમ,વિધેય $f(x)$ અંતરાલ $(0, 2)$ માં ચુસ્ત રીતે વધે છે.

(D) ધારો કે $t$ સમયે બરફનો જથ્થો $x(t)$ છે. ઓગળવાનો દર હાજર જથ્થાના પ્રમાણમાં છે,તેથી $\frac{dx}{dt} = -cx$ જ્યાં $c > 0$ અચળાંક છે.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $\ln(x) = -ct + C$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $x(t) = x_0 e^{-ct}$.
આપેલ છે કે $20 \text{ મિનિટમાં}$ અડધો બરફ ઓગળી જાય છે,તેથી $t = 20$ સમયે,$x(20) = \frac{x_0}{2}$.
તેથી,$\frac{x_0}{2} = x_0 e^{-20c}$,જેનો અર્થ છે $e^{-20c} = \frac{1}{2}$.
આપણે $40 \text{ મિનિટ}$ પછી બાકી રહેલો બરફ શોધવો છે,જે $x(40) = x_0 e^{-40c}$ છે.
કારણ કે $e^{-40c} = (e^{-20c})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
આમ,$x(40) = \frac{1}{4} x_0$.
આને $k x_0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = \frac{1}{4}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = 15 - |x - 10|$.
આપણે તે બિંદુઓ શોધવાની જરૂર છે જ્યાં $g(x) = f(f(x))$ વિકલનીય નથી.
પ્રથમ,$f(x)$ એ $x = 10$ આગળ વિકલનીય નથી.
હવે,$g(x) = f(f(x)) = 15 - |f(x) - 10| = 15 - |(15 - |x - 10|) - 10| = 15 - |5 - |x - 10||$.
વિધેય $g(x)$ ત્યાં વિકલનીય નથી જ્યાં અંદરના પદો શૂન્ય થાય અથવા જ્યાં મૂળ વિધેય $f(x)$ વિકલનીય ન હોય.
$1$. $f(x)$ એ $x = 10$ આગળ વિકલનીય નથી.
$2$. બહારના માનાંકની અંદરનું પદ,$5 - |x - 10|$,શૂન્ય થાય જ્યારે $|x - 10| = 5$,જે $x - 10 = 5$ અથવા $x - 10 = -5$ આપે છે,તેથી $x = 15$ અથવા $x = 5$.
આમ,વિધેય $g(x)$ એ $x \in \{5, 10, 15\}$ આગળ વિકલનીય નથી.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^y \cdot y^x = 16$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\log(x^y \cdot y^x) = \log(16)$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $y \log x + x \log y = \log(16)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ):
$\frac{dy}{dx} \log x + y \cdot \frac{1}{x} + \log y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
બિંદુ $(2, 2)$ ને વિકલિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} \log(2) + 2 \cdot \frac{1}{2} + \log(2) + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx} \log(2) + 1 + \log(2) + \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx} (\log(2) + 1) = -(1 + \log(2))$.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1 + \log(2)}{1 + \log(2)} = -1$.

(B) આપેલ છે $f(x) = \frac{a-x}{a+x}$.
આપણને $(f \circ f)(x) = x$ આપેલ છે.
$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = \frac{a - \frac{a-x}{a+x}}{a + \frac{a-x}{a+x}} = x$.
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$\frac{a(a+x) - (a-x)}{a(a+x) + (a-x)} = x$
$\frac{a^2 + ax - a + x}{a^2 + ax + a - x} = x$
$a^2 + ax - a + x = x(a^2 + ax + a - x)$
$a^2 + ax - a + x = a^2x + ax^2 + ax - x^2$
પદોને ગોઠવતા:
$(a-1)x^2 + (a^2-1)x + (a-a^2) = 0$.
આ સમીકરણ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$a-1 = 0 \Rightarrow a = 1$.
તેથી,$f(x) = \frac{1-x}{1+x}$.
હવે,$f\left(\frac{-1}{2}\right)$ ની ગણતરી કરતા:
$f\left(\frac{-1}{2}\right) = \frac{1 - (-1/2)}{1 + (-1/2)} = \frac{1 + 1/2}{1 - 1/2} = \frac{3/2}{1/2} = 3$.

(A) આપેલ છે $\int \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^4} ~d x=A(x)\left(\sqrt{1-x^2}\right)^m+C$.
ધારો કે $x=\cos \theta$,તો $d x=-\sin \theta d \theta$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{\sqrt{1-\cos ^2 \theta}}{\cos ^4 \theta} \cdot(-\sin \theta d \theta) = -\int \frac{\sin \theta}{\cos ^4 \theta} \cdot \sin \theta d \theta = -\int \tan ^2 \theta \sec ^2 \theta d \theta$.
ધારો કે $u=\tan \theta$,તો $d u=\sec ^2 \theta d \theta$.
સંકલન $-\int u^2 d u = -\frac{u^3}{3}+C = -\frac{\tan ^3 \theta}{3}+C$ બને છે.
કારણ કે $\tan \theta = \frac{\sqrt{1-\cos ^2 \theta}}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$,તેથી:
$-\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right)^3+C = -\frac{1}{3 x^3}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^3+C$.
આને $A(x)\left(\sqrt{1-x^2}\right)^m+C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A(x)=-\frac{1}{3 x^3}$ અને $m=3$ મળે છે.
તેથી,$(A(x))^m = \left(-\frac{1}{3 x^3}\right)^3 = -\frac{1}{27 x^9}$.

(B) આપેલ લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\pi \cos ^2 x\right)}{x^2}$ છે.
નિત્યસમ $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\pi(1 - \sin ^2 x)\right)}{x^2}$
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\pi - \pi \sin ^2 x\right)}{x^2}$
$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ હોવાથી:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\pi \sin ^2 x\right)}{x^2}$
હવે,$\pi \sin ^2 x$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{\sin \left(\pi \sin ^2 x\right)}{\pi \sin ^2 x} \times \frac{\pi \sin ^2 x}{x^2} \right)$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ અને $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = 1 \times \pi \times (1)^2 = \pi$.

(D) ગર્ભિત વિધાન $p \rightarrow (p \wedge \sim q)$ ત્યારે જ અસત્ય હોય જ્યારે પૂર્વગ $p$ એ $T$ હોય અને ઉત્તરગ $(p \wedge \sim q)$ એ $F$ હોય.
$p$ એ $T$ હોવાથી,પદ $(p \wedge \sim q)$ એ $(T \wedge \sim q)$ બને છે.
$(T \wedge \sim q)$ ને $F$ થવા માટે,$\sim q$ એ $F$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $q$ એ $T$ હોવું જોઈએ.
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $p = T$ અને $q = T$ છે.

(B) વિધાન $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow [(\sim p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow q]$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે સત્યતા કોષ્ટક બનાવીએ:
| $p$ | $q$ | $p \rightarrow q$ | $\sim p$ | $\sim p \rightarrow q$ | $(\sim p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow q$ | $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow [(\sim p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow q]$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
છેલ્લી કોલમમાં $p$ અને $q$ ના તમામ શક્ય સત્યતા મૂલ્યો માટે ફક્ત $T$ (સત્ય) મૂલ્યો હોવાથી,આ વિધાન એક નિત્યસત્ય છે.

(D) ધારો કે $X$ એ બદલી સાથે $2$ પ્રયત્નોમાં ખેંચાયેલા રાજાઓની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n=2$ છે.
એક પ્રયત્નમાં રાજા ખેંચવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
રાજા ન ખેંચવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,મધ્યક $2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$ થાય.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 8$ અને વિચરણ $npq = 4$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 8$ માં મૂકતા,$n \times \frac{1}{2} = 8$,તેથી $n = 16$ મળે છે.
હવે,$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$.
સૂત્ર $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X \leq 2) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{16} + {}^{16}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{15} + {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{14}$
$P(X \leq 2) = ({}^{16}C_{0} + {}^{16}C_{1} + {}^{16}C_{2}) (\frac{1}{2})^{16}$
સંયોજનોની ગણતરી કરતા:
${}^{16}C_{0} = 1$
${}^{16}C_{1} = 16$
${}^{16}C_{2} = \frac{16 \times 15}{2} = 120$
સરવાળો $= 1 + 16 + 120 = 137$.
આમ,$P(X \leq 2) = \frac{137}{2^{16}}$.
આને $\frac{k}{2^{16}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 137$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $6x^2 + xy - y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(3x - y)(2x + y) = 0$.
તેથી,બે રેખાઓ $L_1: 3x - y = 0$ અને $L_2: 2x + y = 0$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x + 3y = 10$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $(0, 0)$.
$2$. $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $(-2, 4)$.
$3$. $L_3$ અને $L_1$ નું છેદબિંદુ: $(1, 3)$.
મધ્યકેન્દ્ર $(G) = \left(\frac{0 - 2 + 1}{3}, \frac{0 + 4 + 3}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, \frac{7}{3}\right)$.

(B) ધારો કે જરૂરી રેખાના દિકગુણોત્તર $\langle a, b, c \rangle$ છે. રેખા $\langle 1, 2, 3 \rangle$ અને $\langle -3, 2, 5 \rangle$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી:
$a + 2b + 3c = 0$
$-3a + 2b + 5c = 0$
દિકગુણોત્તર શોધવા માટે ક્રોસ પ્રોડક્ટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a}{(2)(5) - (3)(2)} = \frac{b}{(3)(-3) - (1)(5)} = \frac{c}{(1)(2) - (2)(-3)}$
$\frac{a}{10 - 6} = \frac{b}{-9 - 5} = \frac{c}{2 + 6}$
$\frac{a}{4} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{8}$
સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\langle a, b, c \rangle = \langle 2, -7, 4 \rangle$ મળે છે.
રેખા $(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી સમીકરણ:
$\frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 3}{-7} = \frac{z - (-2)}{4}$
$\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-7} = \frac{z+2}{4}$

(A) બે સમતલો $P_1 = 0$ અને $P_2 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમતલો $2x - y - 4 = 0$ અને $y + 2z - 4 = 0$ છે.
તેથી,જરૂરી સમતલનું સમીકરણ $(2x - y - 4) + \lambda(y + 2z - 4) = 0$ થશે.
આ સમતલ બિંદુ $(1, 1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આપણે $x = 1, y = 1, z = 0$ મૂકીએ:
$(2(1) - 1 - 4) + \lambda(1 + 2(0) - 4) = 0$
$(2 - 1 - 4) + \lambda(1 - 4) = 0$
$-3 - 3\lambda = 0$
$-3\lambda = 3$
$\lambda = -1$.
હવે $\lambda = -1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2x - y - 4) - 1(y + 2z - 4) = 0$
$2x - y - 4 - y - 2z + 4 = 0$
$2x - 2y - 2z = 0$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $x - y - z = 0$ મળે છે.

(B) બિંદુ $(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-1) + b(y-1) + c(z-1) = 0$ છે.
સમતલ એ $(1, 0, -1)$ અને $(-1, 1, 0)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $(a, b, c)$ બંને દિશા સદિશોને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$a(1) + b(0) + c(-1) = 0 \Rightarrow a = c$ અને $a(-1) + b(1) + c(0) = 0 \Rightarrow a = b$.
આમ,$a = b = c$ મળે છે. $a = b = c = 1$ લેતા,સમતલનું સમીકરણ $1(x-1) + 1(y-1) + 1(z-1) = 0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x + y + z = 3$ છે.
તેને $3$ વડે ભાગતા,અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ મળે છે.
તેથી અંતઃખંડો $A(3, 0, 0)$,$B(0, 3, 0)$ અને $C(0, 0, 3)$ છે.
ચતુષ્ફલક $OABC$ નું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |x_A y_B z_C| = \frac{1}{6} |3 \times 3 \times 3| = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \text{ ઘન એકમો}$ થાય.

(D) આપેલ સમીકરણ $2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0$ છે.
ધારો કે $u = \sin x$,તેથી $2u^2 + 5u - 3 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(2u - 1)(u + 3) = 0$.
તેથી $u = \frac{1}{2}$ અથવા $u = -3$.
$\sin x$ ની કિંમત $[-1, 1]$ હોવાથી $u = -3$ શક્ય નથી.
તેથી $\sin x = \frac{1}{2}$.
અંતરાલ $[0, 3\pi]$ માં,$\sin x = \frac{1}{2}$ માટે ઉકેલો $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ અને $\frac{13\pi}{6}$ છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $3$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(2 \sin x - 1)(\sin x + 3) = 0$.
તેથી $\sin x = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin x = -3$.
$\sin x = -3$ શક્ય નથી.
$\sin x = \frac{1}{2}$ માટે,$[0, 3\pi]$ માં ઉકેલો $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ છે.
કુલ $3$ ઉકેલો મળે છે.

(C) ત્રણેય સદિશો એક જ સમતલમાં હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ.
$\left|\begin{array}{lll}a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b\end{array}\right|=0$
નિશ્ચાયકનું બીજી હારને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$-1(ab - c^2) + 0 - 1(ac - ac) = 0$
$-(ab - c^2) = 0$
$ab - c^2 = 0$
$c^2 = ab$
$c = \sqrt{ab}$
આમ,$c$ એ $a$ અને $b$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક છે.

(B) ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય તે માટે તેમનો અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\begin{vmatrix} \mu & 1 & 1 \\ 1 & \mu & 1 \\ 1 & 1 & \mu \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\mu(\mu^2 - 1) - 1(\mu - 1) + 1(1 - \mu) = 0$
$\mu(\mu - 1)(\mu + 1) - 1(\mu - 1) - 1(\mu - 1) = 0$
$(\mu - 1) [\mu(\mu + 1) - 1 - 1] = 0$
$(\mu - 1) (\mu^2 + \mu - 2) = 0$
$(\mu - 1) (\mu + 2) (\mu - 1) = 0$
$(\mu - 1)^2 (\mu + 2) = 0$
$\mu$ ના ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યો $\mu = 1$ અને $\mu = -2$ છે.
આ ભિન્ન મૂલ્યોનો સરવાળો $1 + (-2) = -1$ થાય છે.

(B) પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & x \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + x) - \hat{j}(3 - x) + \hat{k}(-3 - 2) = (2 + x) \hat{i} + (x - 3) \hat{j} - 5 \hat{k}$.
હવે,માન $r = |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(2 + x)^2 + (x - 3)^2 + (-5)^2}$ શોધો.
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા: $r = \sqrt{(4 + 4x + x^2) + (x^2 - 6x + 9) + 25} = \sqrt{2x^2 - 2x + 38}$.
વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવો:
$2x^2 - 2x + 38 = 2(x^2 - x) + 38 = 2(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 38 = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 38 = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{75}{2}$.
કારણ કે $(x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$,$r^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{75}{2}$ છે.
તેથી,$r \geq \sqrt{\frac{75}{2}} = \sqrt{\frac{25 \times 3}{2}} = 5 \sqrt{\frac{3}{2}}$.
આમ,$r$ માટેની શરત $r \geq 5 \sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.

(D) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ બે રેખાઓના દિશા સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર છે: $\vec{n} = (1, 0, -1) \times (-1, 1, 0)$.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-1)) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(1 - 0) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
આમ,અભિલંબ સદિશ $\langle 1, 1, 1 \rangle$ છે.
$(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા અને $\langle 1, 1, 1 \rangle$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $1(x-1) + 1(y-1) + 1(z-1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x + y + z = 3$ થાય છે.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ મળે છે.
યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $a = 3$,$b = 3$,અને $c = 3$ છે.
ચતુષ્ફલક $OABC$ નું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |abc| = \frac{1}{6} |3 \times 3 \times 3| = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$ ઘન એકમ થાય.

(B) $RC$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{1}{\omega C})^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ વધે છે,તેમ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ ઘટે છે.
કારણ કે $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$,તેથી $X_C$ માં ઘટાડો થવાથી કુલ ઈમ્પીડન્સ $Z$ માં ઘટાડો થાય છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V_0}{Z}$ દ્વારા મળે છે. $Z$ ઘટતું હોવાથી,પ્રવાહ $I$ વધે છે.
બલ્બની તેજસ્વિતા વપરાતા પાવર $P = I^2 R$ પર આધાર રાખે છે. જેમ પ્રવાહ $I$ વધે છે,તેમ વપરાતો પાવર વધે છે અને બલ્બ વધુ તેજસ્વી રીતે પ્રકાશિત થાય છે.

(B) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં ફેઝ એંગલ $\phi$ નું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ છે.
અહીં વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $45^{\circ}$ આગળ છે,તેથી $\phi = 45^{\circ}$.
તેથી,$\tan 45^{\circ} = \frac{X_L - X_C}{R} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $X_L - X_C = R$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2 \pi f L$ અને કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$2 \pi f L - \frac{1}{2 \pi f C} = R$
$2 \pi f L = R + \frac{1}{2 \pi f C}$
$2 \pi f L = \frac{2 \pi f C R + 1}{2 \pi f C}$
$L = \frac{1 + 2 \pi f C R}{4 \pi^2 f^2 C}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(B) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{\lambda} = R_H Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$Z = 1$.
$3^{\text{rd}}$ કક્ષામાંથી $2^{\text{nd}}$ કક્ષામાં સંક્રમણ માટે $(n_2=3, n_1=2)$:
$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R_H \left( \frac{9-4}{36} \right) = \frac{5 R_H}{36} \quad \dots(1)$
$4^{\text{th}}$ કક્ષામાંથી $3^{\text{rd}}$ કક્ષામાં સંક્રમણ માટે $(n_2=4, n_1=3)$,ધારો કે તરંગલંબાઇ $\lambda'$ છે:
$\frac{1}{\lambda'} = R_H \left( \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right) = R_H \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right) = R_H \left( \frac{16-9}{144} \right) = \frac{7 R_H}{144} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{5 R_H / 36}{7 R_H / 144} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$
તેથી,$\lambda' = \frac{20}{7} \lambda$.

(A) કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે.
સંયોજન પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 - V_1$ છે.
ધારો કે બિંદુ $D$ પાસેનું સ્થિતિમાન $V_D$ છે.
$C_1$ પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_D - V_1 = \frac{Q}{C_1}$ અને $C_2$ પરનો તફાવત $V_2 - V_D = \frac{Q}{C_2}$ છે.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$(V_D - V_1) + (V_2 - V_D) = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} = Q \left( \frac{C_1 + C_2}{C_1 C_2} \right)$.
તેથી,$V_2 - V_1 = Q \left( \frac{C_1 + C_2}{C_1 C_2} \right)$,જે પરથી $Q = \frac{C_1 C_2 (V_2 - V_1)}{C_1 + C_2}$ મળે.
હવે,$V_D$ માટેના સમીકરણમાં $Q$ ની કિંમત મૂકતા:
$V_D - V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{1}{C_1} \cdot \frac{C_1 C_2 (V_2 - V_1)}{C_1 + C_2} = \frac{C_2 (V_2 - V_1)}{C_1 + C_2}$.
$V_D = V_1 + \frac{C_2 V_2 - C_2 V_1}{C_1 + C_2} = \frac{V_1 C_1 + V_1 C_2 + C_2 V_2 - C_2 V_1}{C_1 + C_2} = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$.

(C) ખ્યાલ: કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{q^2}{2C}$
જ્યાં $q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $C$ એ કેપેસિટન્સ છે.
ધારો કે મૂળ વિદ્યુતભાર $q$ છે. પ્રારંભિક ઉર્જા $U = \frac{q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભારમાં $\Delta q = 2 \ C$ નો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $(q + 2)$ થાય છે.
નવી ઉર્જા $U'$ એ $U' = U + 21\% \text{ of } U = 1.21U$ તરીકે આપવામાં આવે છે.
ઉર્જાના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$1.21 \left( \frac{q^2}{2C} \right) = \frac{(q + 2)^2}{2C}$
$1.21 q^2 = (q + 2)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{1.21} q = q + 2$
$1.1q = q + 2$
$0.1q = 2$
$q = \frac{2}{0.1} = 20 \ C$.
તેથી,કેપેસિટર પરનો મૂળ વિદ્યુતભાર $20 \ C$ છે.

(C) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C$ છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કર્યા પછી,નવા કેપેસિટન્સ $C_1 = KC$ અને $C_2 = C$ થાય છે.
કેપેસિટરો $V$ emf ધરાવતી બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,કેપેસિટર $C_2$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2$ વોલ્ટેજ ડિવાઇડરના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ મળે:
$V_2 = V \cdot \frac{C_1}{C_1 + C_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$V_2 = V \cdot \frac{KC}{KC + C} = V \cdot \frac{KC}{C(K + 1)} = \frac{KV}{K + 1}$.

(A) ઇન્ડક્ટર માટે ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ અને પ્રવાહ $(I)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = L I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ આત્મ-પ્રેરકત્વ છે.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $L = \frac{\phi}{I}$.
$\phi$ વિરુદ્ધ $I$ ના આલેખમાં,રેખાનો ઢાળ $\frac{\phi}{I}$ દ્વારા મળે છે,જે આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ દર્શાવે છે.
વધારે ઢાળ એ $L$ નું મોટું મૂલ્ય સૂચવે છે.
રેખાઓ $A, B, C,$ અને $D$ ના ઢાળની સરખામણી કરતા,રેખા $A$ નો ઢાળ મહત્તમ છે.
તેથી,ઇન્ડક્ટર $A$ નું આત્મ-પ્રેરકત્વ સૌથી વધુ છે.

(D) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$q_{enclosed}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
જ્યારે ફુગ્ગાને ફૂલાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ વધે છે,પરંતુ ફુગ્ગાની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર બદલાતો ન હોવાથી,કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$ પણ અપરિવર્તિત રહે છે.

(C) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,વાયુના અણુઓ વચ્ચેની અથડામણો સંપૂર્ણપણે સ્થિતિસ્થાપક (elastic) માનવામાં આવે છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં,તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અને કુલ ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
અથડામણ દરમિયાન અણુઓ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ પણ સાચો ઠરે છે.
તેથી,ગતિઊર્જા અને વેગમાન બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.

(B) પ્રાથમિક આલ્કોહોલ એ છે જેમાં હાઈડ્રોક્સિલ સમૂહ $(-OH)$ પ્રાથમિક કાર્બન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ હોય છે (એક કાર્બન પરમાણુ જે ફક્ત બીજા એક જ કાર્બન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ હોય).
$1$. $2-$મિથાઈલપ્રોપેન$-2-$ઓલ: $-OH$ સમૂહ તૃતીયક કાર્બન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ છે. તે તૃતીયક આલ્કોહોલ છે.
$2$. $2-$મિથાઈલપ્રોપેન$-1-$ઓલ: બંધારણ $(CH_3)_2CH-CH_2OH$ છે. $-OH$ સમૂહ પ્રાથમિક કાર્બન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ છે. તે પ્રાથમિક આલ્કોહોલ છે.
$3$. સાયક્લોબ્યુટેનોલ: $-OH$ સમૂહ દ્વિતીયક કાર્બન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ છે. તે દ્વિતીયક આલ્કોહોલ છે.
$4$. બ્યુટેન$-2-$ઓલ: $-OH$ સમૂહ દ્વિતીયક કાર્બન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ છે. તે દ્વિતીયક આલ્કોહોલ છે.
તેથી,$2-$મિથાઈલપ્રોપેન$-1-$ઓલ એ પ્રાથમિક આલ્કોહોલ છે.

(B) તૃતીયક $(3^{\circ})$ આલ્કાઈલ હેલાઈડ એટલે એવો હેલાઈડ જેમાં હેલોજન પરમાણુ એવા કાર્બન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ હોય જે અન્ય ત્રણ કાર્બન પરમાણુઓ સાથે જોડાયેલ હોય.
વિકલ્પ $B$ માં,$(CH_3)_3C-Br$,બ્રોમીન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ કાર્બન પરમાણુ ત્રણ મિથાઈલ સમૂહો સાથે જોડાયેલ છે,જે તેને તૃતીયક કાર્બન બનાવે છે.
આમ,$(CH_3)_3C-Br$ એ તૃતીયક આલ્કાઈલ હેલાઈડ છે.

(B) $2, 4, 6-$ટ્રાયનાઈટ્રોફિનોલ એ પિક્રિક એસિડનું સામાન્ય નામ છે.
તેમાં એક ફિનોલ રિંગ હોય છે જેમાં બેન્ઝીન રિંગના $2, 4,$ અને $6$ સ્થાન પર ત્રણ નાઈટ્રો $(-NO_2)$ સમૂહો જોડાયેલા હોય છે.
તેથી,સાચું $IUPAC$ નામ $2, 4, 6-$ટ્રાયનાઈટ્રોફિનોલ છે.

(B) પ્રાથમિક એમાઈન ($1^{\circ}$ એમાઈન) એ એવો એમાઈન છે જેમાં નાઈટ્રોજન પરમાણુ માત્ર એક કાર્બન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ હોય છે (એટલે કે $R-NH_2$).
આપેલા સંયોજનોનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1. (CH_3)_3N$: તૃતીયક એમાઈન $(3^{\circ})$
$2. (CH_3)_2NH$: દ્વિતીયક એમાઈન $(2^{\circ})$
$3. CH_3-NH_2$: પ્રાથમિક એમાઈન $(1^{\circ})$
$4. CH_3-CH(NH_2)-CH_3$: દ્વિતીયક એમાઈન $(2^{\circ})$
$5. C_6H_5NH_2$: પ્રાથમિક એમાઈન $(1^{\circ})$
$6. C_6H_5NHCH_3$: દ્વિતીયક એમાઈન $(2^{\circ})$
$7. (CH_3)_3C-NH_2$: પ્રાથમિક એમાઈન $(1^{\circ})$
પ્રાથમિક એમાઈન $CH_3-NH_2$,$C_6H_5NH_2$,અને $(CH_3)_3C-NH_2$ છે.
આમ,પ્રાથમિક એમાઈન અણુઓની કુલ સંખ્યા $3$ છે.

(D) મેસિટિલ ઓક્સાઇડનું બંધારણ $(CH_3)_2C=CHCOCH_3$ છે.
$IUPAC$ નામ નક્કી કરવા માટે,આપણે મુખ્ય ક્રિયાશીલ સમૂહ (કીટોન) અને દ્વિબંધ ધરાવતી સૌથી લાંબી કાર્બન શૃંખલા પસંદ કરીએ છીએ.
આ શૃંખલામાં $5$ કાર્બન પરમાણુઓ છે,તેથી મુખ્ય આલ્કેન પેન્ટેન છે.
કીટોન સમૂહ $2$ નંબરના સ્થાન પર છે અને દ્વિબંધ $3$ નંબરના સ્થાન પર શરૂ થાય છે.
$4$ નંબરના સ્થાન પર મિથાઈલ વિસ્થાપિત સમૂહ છે.
તેથી,$IUPAC$ નામ $4-$મિથાઈલપેન્ટ$-3-$ઈન$-2-$ઓન છે.

(B) દ્વિતીયક આલ્કોહોલ એવો આલ્કોહોલ છે જેમાં હાઇડ્રોક્સિલ સમૂહ $(-OH)$ એવા કાર્બન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ હોય છે જે અન્ય બે કાર્બન પરમાણુઓ સાથે જોડાયેલ હોય.
બંધારણ $(CH_3)_2CH-CH(OH)-CH_2-CH_2-CH_3$ માં,$-OH$ સમૂહ ધરાવતો કાર્બન એક આઇસોપ્રોપાઇલ સમૂહ અને એક પ્રોપાઇલ સમૂહ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી તે દ્વિતીયક આલ્કોહોલ છે.

(B) ઈથર એ કાર્બનિક સંયોજનો છે જે બે આલ્કાઈલ અથવા એરાઈલ સમૂહો સાથે જોડાયેલા ઓક્સિજન પરમાણુ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે,જે સામાન્ય સૂત્ર $R-O-R'$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. ઈથરમાં હાજર ક્રિયાશીલ સમૂહ ઈથર લિંકેજ છે,જેને $-O-$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) એમાઇડ એ કાર્બનિક સંયોજન છે જેમાં $-CONH_2$ ક્રિયાશીલ સમૂહ હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં,$CH_3CONH_2$ (એસીટામાઇડ) માં $-CONH_2$ સમૂહ છે,તેથી તે એમાઇડ છે.
$CH_3CN$ એ નાઇટ્રાઇલ છે,$CH_3NH_2$ એ એમાઇન છે,અને $CH_3NO_2$ એ નાઇટ્રો સંયોજન છે.

(C) એનિસોલ એ $C_6H_5OCH_3$ રાસાયણિક સૂત્ર ધરાવતું ઈથર છે.
$IUPAC$ નામકરણ પદ્ધતિ મુજબ,ઈથરને આલ્કોક્સીઆલ્કેન તરીકે નામ આપવામાં આવે છે.
અહીં,બેન્ઝિન વલય એ મુખ્ય હાઇડ્રોકાર્બન છે અને $-OCH_3$ સમૂહ એ મેથોક્સી વિસ્થાપિત છે.
તેથી,તેનું $IUPAC$ નામ મેથોક્સીબેન્ઝિન છે.

(C) ડાયકાર્બોક્સિલિક એસિડમાં બે કાર્બોક્સિલ $(-COOH)$ સમૂહ હોય છે.
$1$. વેલેરિક એસિડ: $CH_3(CH_2)_3COOH$ (મોનોકાર્બોક્સિલિક એસિડ)
$2$. કેપ્રોઇક એસિડ: $CH_3(CH_2)_4COOH$ (મોનોકાર્બોક્સિલિક એસિડ)
$3$. ગ્લુટેરિક એસિડ: $HOOC(CH_2)_3COOH$ (ડાયકાર્બોક્સિલિક એસિડ)
$4$. બ્યુટીરિક એસિડ: $CH_3(CH_2)_2COOH$ (મોનોકાર્બોક્સિલિક એસિડ)
તેથી,ગ્લુટેરિક એસિડ એ ડાયકાર્બોક્સિલિક એસિડ છે.

(B) એસિટિલ ક્લોરાઇડનું રાસાયણિક સૂત્ર $CH_3COCl$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી:
$A$ એ એસિટામાઇડ $(CH_3CONH_2)$ છે.
$B$ એ એસિટિલ ક્લોરાઇડ $(CH_3COCl)$ છે.
$C$ એ એસિટિક એનહાઇડ્રાઇડ $((CH_3CO)_2O)$ છે.
$D$ એ ટ્રાયક્લોરોએસિટિક એસિડ $(CCl_3COOH)$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $1-$ક્લોરોઈથીન $(CH_2=CHCl)$ એ વિનાઈલિક હેલાઈડ છે કારણ કે હેલોજન પરમાણુ કાર્બન-કાર્બન દ્વિબંધ ધરાવતા કાર્બન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ છે. $\newline$ એલાઈલિક હેલાઈડમાં હેલોજન પરમાણુ કાર્બન-કાર્બન દ્વિબંધની બાજુના કાર્બન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ હોય છે. $\newline$ તેથી,એલાઈલિક હેલાઈડ માટે $1-$ક્લોરોઈથીનનું ઉદાહરણ ખોટું છે.

(D) આલ્કોહોલ એ એવું સંયોજન છે જેમાં હાઇડ્રોક્સિલ ગ્રુપ $(-OH)$ એ $sp^3$ સંકરણ ધરાવતા કાર્બન પરમાણુ સાથે જોડાયેલ હોય છે.
વિકલ્પ $A$,$B$,અને $C$ માં,$-OH$ ગ્રુપ સીધું બેન્ઝીન રિંગ સાથે જોડાયેલ છે,જ્યાં કાર્બન પરમાણુ $sp^2$ સંકરણ ધરાવે છે. આ સંયોજનોને ફિનોલ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $D$ માં,$-OH$ ગ્રુપ $-CH_2-$ ગ્રુપ સાથે જોડાયેલ છે,જે બેન્ઝીન રિંગ સાથે જોડાયેલ છે. $-OH$ ગ્રુપ સાથે જોડાયેલ કાર્બન પરમાણુ $sp^3$ સંકરણ ધરાવે છે. તેથી,તે આલ્કોહોલ છે.

(C) જ્યારે બે $-COOH$ સમૂહો બેન્ઝીન વલયના પાસપાસેના કાર્બન પરમાણુઓ (ઓર્થો સ્થાન) સાથે જોડાયેલા હોય,ત્યારે તે સંયોજનને બેન્ઝીન$-1,2-$ડાયકાર્બોક્સિલિક એસિડ કહેવામાં આવે છે,જેને સામાન્ય રીતે થેલિક એસિડ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(A) ગ્રીગનાર્ડ પ્રક્રિયક એ $R-Mg-X$ સામાન્ય સૂત્ર ધરાવતું કાર્બ-ધાત્વિક સંયોજન છે,જ્યાં $R$ એ કાર્બનિક સમૂહ છે અને $X$ એ હેલોજન છે. તે શુષ્ક ઈથરની હાજરીમાં આલ્કાઈલ અથવા એરાઈલ હેલાઈડની મેગ્નેશિયમ ધાતુ સાથેની પ્રક્રિયા દ્વારા તૈયાર કરવામાં આવે છે.

(A) ઈથર એ એક કાર્બનિક સંયોજન છે જેમાં ઓક્સિજન પરમાણુ બે આલ્કાઈલ અથવા એરાઈલ જૂથો સાથે જોડાયેલ હોય છે,જેનું સામાન્ય સૂત્ર $R-O-R'$ છે.
મિથોક્સિમીથેન $(CH_3-O-CH_3)$ માં ઓક્સિજન પરમાણુ બે મિથાઈલ જૂથો સાથે જોડાયેલ છે,જે ઈથરની વ્યાખ્યાને અનુરૂપ છે.
પ્રોપેન$-2-$ઓલ એ આલ્કોહોલ છે,જ્યારે બેન્ઝીનોલ અને બેન્ઝીન$-1,2-$ડાયોલ એ ફિનોલ છે.

(D) સંમિતિય કીટોન એ છે જેમાં કાર્બોનિલ કાર્બન $(C=O)$ સાથે જોડાયેલા બે આલ્કાઈલ અથવા એરાઈલ સમૂહો સમાન હોય છે.
$A$. એસીટોફિનોન: $C_6H_5-CO-CH_3$ (અસંમિતિય)
$B$. ઈથાઈલ મિથાઈલ કીટોન: $CH_3CH_2-CO-CH_3$ (અસંમિતિય)
$C$. ઈથાઈલફિનાઈલ કીટોન: $C_6H_5-CO-CH_2CH_3$ (અસંમિતિય)
$D$. બેન્ઝોફિનોન: $C_6H_5-CO-C_6H_5$ (સંમિતિય,કારણ કે બંને સમૂહો ફિનાઈલ સમૂહો છે)
તેથી,બેન્ઝોફિનોન એ સંમિતિય કીટોન છે.

(C) કાર્બોક્સિલિક એસિડની એસિડિક પ્રબળતા આલ્ફા-કાર્બન સાથે જોડાયેલા વિસ્થાપકોની $-I$ (પ્રેરક) અસરના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
જેમ ઇલેક્ટ્રોન-આકર્ષક સમૂહોની સંખ્યા વધે છે,તેમ $-I$ અસર વધે છે,જે સંયુગ્મી બેઝ (કાર્બોક્સિલેટ આયન) ને સ્થિર કરે છે અને એસિડિકતા વધારે છે.
$Cl_3C-COOH$ માં,ત્રણ ક્લોરિન પરમાણુઓ પ્રબળ $-I$ અસર દર્શાવે છે,જ્યારે અન્ય વિકલ્પોમાં માત્ર એક જ હેલોજન પરમાણુ છે.
તેથી,$Cl_3C-COOH$ સૌથી પ્રબળ એસિડ છે.

(B) એરોમેટિક એમાઈન એ એવું સંયોજન છે જેમાં એમિનો ગ્રુપ $(-NH_2)$ સીધું જ એરોમેટિક રિંગ (જેમ કે બેન્ઝીન રિંગ) સાથે જોડાયેલું હોય છે.
વિકલ્પ $B$ માં,$-NH_2$ ગ્રુપ સીધું બેન્ઝીન રિંગ સાથે જોડાયેલું છે,તેથી તે એરોમેટિક એમાઈન (એનિલીન) છે.
વિકલ્પ $A$ માં,$-NH_2$ ગ્રુપ સાયક્લોહેક્સાઈલ રિંગ સાથે જોડાયેલું છે,જે એલિફેટિક છે.
વિકલ્પ $C$ માં,$-NH_2$ ગ્રુપ ઈથાઈલ ચેઈન સાથે જોડાયેલું છે,જે બેન્ઝીન રિંગ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી તે એલિફેટિક એમાઈન છે.
તેથી,સાચો જવાબ $B$ છે.

(B) $S_N1$ (Substitution Nucleophilic Unimolecular) પ્રતિક્રિયા મિકેનિઝમ વિશેનું ખોટું વિધાન છે: $(B)$ તે એક-પગલાની પ્રક્રિયા છે.
$S_N1$ પ્રતિક્રિયા મિકેનિઝમ એ બે-પગલાની પ્રક્રિયા છે. પ્રથમ પગલામાં,લિવિંગ ગ્રુપ દૂર થાય છે અને કાર્બોકેટાયન મધ્યવર્તી બનાવે છે. બીજા પગલામાં,ન્યુક્લિયોફાઇલ કાર્બોકેટાયન પર હુમલો કરે છે,જેનાથી સબસ્ટિટ્યુશન પ્રોડક્ટ બને છે.

(B) $S_{N}1$ પ્રક્રિયાનો દર લિવિંગ ગ્રુપ દૂર થયા પછી બનતા કાર્બોકેટાયન મધ્યવર્તીની સ્થિરતા પર આધાર રાખે છે.
વધુ સ્થિર કાર્બોકેટાયન $S_{N}1$ પ્રક્રિયાને ઝડપી બનાવે છે.
કાર્બોકેટાયનની સ્થિરતાનો ક્રમ: $3^{\circ} > 2^{\circ} > 1^{\circ}$ છે.
વિકલ્પ $B$ માં,સંયોજન $3$-ક્લોરો-$3$-મિથાઈલહેક્ઝેન છે. ક્લોરાઈડ આયન દૂર થવાથી,તે તૃતીયક $(3^{\circ})$ કાર્બોકેટાયન બનાવે છે,જે આપેલા વિકલ્પોમાં સૌથી વધુ સ્થિર છે.
તેથી,તે $S_{N}1$ પ્રક્રિયા સૌથી ઝડપથી આપે છે.

(A) સૂર્યપ્રકાશની હાજરીમાં આલ્કોહોલની હેલોજન સાથેની પ્રક્રિયા આલ્કાઈલ હેલાઈડ બનાવતી નથી.
આલ્કોહોલ નિર્જળ $ZnCl_2$ ની હાજરીમાં $HCl$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને આલ્કાઈલ ક્લોરાઈડ બનાવે છે.
આલ્કોહોલ $NaBr$ અને $H_2SO_4$ ની હાજરીમાં $HBr$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને આલ્કાઈલ બ્રોમાઈડ બનાવે છે.
આલ્કોહોલ $NaI$ અને $H_3PO_4$ ની હાજરીમાં $HI$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને આલ્કાઈલ આયોડાઈડ બનાવે છે.
તેથી,સૂર્યપ્રકાશની હાજરીમાં આલ્કોહોલની હેલોજન સાથેની પ્રક્રિયા આલ્કાઈલ હેલાઈડ બનાવતી નથી.

(D) $SN^2$ ક્રિયાવિધિ એક તબક્કામાં થતી પ્રક્રિયા છે.
તે પ્રાથમિક આલ્કાઇલ હેલાઇડમાં ઓછી અવકાશી અવરોધને કારણે સરળતાથી થાય છે.
તૃતીયક આલ્કાઇલ હેલાઇડમાં અવકાશી અવરોધ ખૂબ વધારે હોય છે,જે ન્યુક્લિયોફાઇલને કાર્બન પરમાણુ પર હુમલો કરતા અટકાવે છે.
તેથી,$SN^2$ ક્રિયાવિધિ તૃતીયક આલ્કાઇલ હેલાઇડમાં જોવા મળે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(C) હેલોઆલ્કેનનું ઉત્કલનબિંદુ આણ્વીય દળ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં વધારા સાથે વધે છે.
આપેલા સંયોજનોની સરખામણી કરતા:
$A$: $CH_3-CH_2-CH_2-Cl$ $(M.W. \approx 78.5 \ g/mol)$
$B$: $CH_3-CH_2-Cl$ $(M.W. \approx 64.5 \ g/mol)$
$C$: $CH_3-CH(Cl)-CH_2-CH_3$ $(M.W. \approx 92.5 \ g/mol)$
$D$: $CH_3-Cl$ $(M.W. \approx 50.5 \ g/mol)$
$CH_3-CH(Cl)-CH_2-CH_3$ નું આણ્વીય દળ સૌથી વધુ હોવાથી,તેનું ઉત્કલનબિંદુ સૌથી વધુ છે.

(A) આલ્કાઈલ હેલાઈડ $(R-X)$ ની સિલ્વર નાઈટ્રાઈટ $(AgNO_2)$ સાથેની પ્રક્રિયા મુખ્ય નીપજ તરીકે નાઈટ્રો આલ્કેન $(R-NO_2)$ આપે છે.
$AgNO_2$ એ સહસંયોજક સંયોજન છે,અને નાઈટ્રોજન પરમાણુ ન્યુક્લિયોફિલિક સાઈટ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે $C-N$ બંધના નિર્માણ તરફ દોરી જાય છે.
તેનાથી વિપરીત,પોટેશિયમ નાઈટ્રાઈટ $(KNO_2)$ એ આયનીય સંયોજન છે,જે નાઈટ્રાઈટ આયન $(NO_2^-)$ આપે છે જ્યાં ઓક્સિજન ન્યુક્લિયોફિલિક સાઈટ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના પરિણામે આલ્કાઈલ નાઈટ્રાઈટ $(R-ONO)$ બને છે.

(A) સ્વાર્ટ્સ પ્રક્રિયા: આ પ્રક્રિયામાં આલ્કાઈલ ક્લોરાઈડ અથવા બ્રોમાઈડને $AgF$,$Hg_2F_2$,$CoF_2$ અથવા $SbF_3$ જેવા ધાતુના ફ્લોરાઈડ સાથે ગરમ કરીને આલ્કાઈલ ફ્લોરાઈડ મેળવવામાં આવે છે.
સામાન્ય પ્રક્રિયા: $R-X + AgF \rightarrow R-F + AgX$ (જ્યાં $X = -Cl, -Br$).

(D) આ પ્રક્રિયાને $Wurtz$ પ્રક્રિયા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેમાં ધાતુના $Na$ અને શુષ્ક ઇથરની હાજરીમાં આલ્કાઇલ હેલાઇડના બે અણુઓનું જોડાણ થાય છે.
સામાન્ય પ્રક્રિયા: $2R-X + 2Na \xrightarrow{\text{dry ether}} R-R + 2NaX$.
આમ,મળતા આલ્કેન $(R-R)$ માં મૂળ આલ્કાઇલ હેલાઇડ $(R-X)$ કરતા બમણા કાર્બન પરમાણુઓ હોય છે.

(D) વુર્ટ્ઝ પ્રક્રિયામાં સોડિયમ ધાતુ અને સૂકા ઈથરની હાજરીમાં બે આલ્કાઈલ હેલાઈડનું જોડાણ થઈને ઉચ્ચ આલ્કેન બને છે.
વિકલ્પ $A$,$B$,અને $C$ માં આલ્કાઈલ હેલાઈડનો ઉપયોગ થાય છે અને તે વુર્ટ્ઝ પ્રક્રિયાના ઉદાહરણો છે.
વિકલ્પ $D$ માં બ્રોમોબેન્ઝીન (એરાઈલ હેલાઈડ) સોડિયમ સાથે પ્રક્રિયા કરીને બાયફિનાઈલ બનાવે છે. આને ફિટિંગ (Fittig) પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે,વુર્ટ્ઝ પ્રક્રિયા નહીં.

(A) $Swartz$ પ્રક્રિયા એ આલ્કાઈલ ક્લોરાઈડ અથવા બ્રોમાઈડને $AgF$,$Hg_2F_2$,$CoF_2$ અથવા $SbF_3$ જેવા ધાતુના ફ્લોરાઈડ સાથે ગરમ કરીને આલ્કાઈલ ફ્લોરાઈડ બનાવવાની પદ્ધતિ છે.
આ પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: $R-Cl + AgF \xrightarrow{\Delta} R-F + AgCl$.
વિકલ્પ $A$ એ $Swartz$ પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.

(A) ગ્રીગ્નાર્ડ પ્રક્રિયકની બનાવટમાં આલ્કાઈલ હેલાઈડ $(R-X)$ ની પ્રક્રિયા સૂકા ઈથર દ્રાવકની હાજરીમાં મેગ્નેશિયમ ધાતુ સાથે કરવામાં આવે છે.
આ પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે: $R-X + Mg \xrightarrow{\text{dry ether}} R-MgX$
સૂકો ઈથર જરૂરી છે કારણ કે ગ્રીગ્નાર્ડ પ્રક્રિયકો અત્યંત સક્રિય હોય છે અને ભેજ અથવા પ્રોટિક દ્રાવકોની હાજરીમાં વિઘટન પામે છે.

(C) ક્લોરોબેન્ઝીનની ઊંચા તાપમાને $(623 \ K)$ અને ઊંચા દબાણે $(300 \ atm)$ પીગળેલા $NaOH$ સાથેની પ્રક્રિયાને ડાઉ પ્રક્રિયા (Dow process) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$C_6H_5Cl + 2NaOH \rightarrow C_6H_5ONa + NaCl + H_2O$
આ પ્રક્રિયામાં,ક્લોરોબેન્ઝીન પીગળેલા $NaOH$ સાથે પ્રક્રિયા કરીને મધ્યવર્તી નીપજ તરીકે સોડિયમ ફિનોક્સાઈડ $(C_6H_5ONa)$ બનાવે છે.
ત્યારબાદ,સોડિયમ ફિનોક્સાઈડનું એસિડિકરણ કરવાથી ફિનોલ મળે છે.
તેથી,બનતું મધ્યવર્તી સંયોજન સોડિયમ ફિનોક્સાઈડ છે.

(D) $SN^2$ પ્રક્રિયાનો વેગ બે મુખ્ય પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. અવકાશી અવરોધ (Steric hindrance): $SN^2$ પ્રક્રિયાનો વેગ ઇલેક્ટ્રોફિલિક કાર્બન પરના અવકાશી અવરોધના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. પ્રતિક્રિયાત્મકતાનો ક્રમ $CH_3-X > 1^{\circ} > 2^{\circ} > 3^{\circ}$ આલ્કાઇલ હેલાઇડ છે.
$2$. લિવિંગ ગ્રુપની ક્ષમતા: જો આલ્કાઇલ સમૂહ સમાન હોય,તો $SN^2$ પ્રક્રિયાનો વેગ લિવિંગ ગ્રુપની ક્ષમતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે. લિવિંગ ગ્રુપની ક્ષમતાનો ક્રમ $I^- > Br^- > Cl^- > F^-$ છે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
- વિકલ્પ $A$,$B$,અને $D$ પ્રાથમિક $(1^{\circ})$ આલ્કાઇલ હેલાઇડ છે.
- વિકલ્પ $C$ દ્વિતીયક $(2^{\circ})$ આલ્કાઇલ હેલાઇડ છે,જે વધુ અવકાશી અવરોધને કારણે પ્રાથમિક હેલાઇડ કરતા ધીમી પ્રક્રિયા આપે છે.
- પ્રાથમિક હેલાઇડ્સ ($A$,$B$,અને $D$) માં,લિવિંગ ગ્રુપની ક્ષમતા વેગ નક્કી કરે છે. $Cl^-$,$Br^-$,અને $I^-$ માં $I^-$ સૌથી સારું લિવિંગ ગ્રુપ હોવાથી,$CH_3CH_2CH_2CH_2I$ સૌથી ઝડપથી $SN^2$ પ્રક્રિયા આપે છે.

(C) $SN^2$ પ્રક્રિયાનો દર અવકાશી અવરોધ (steric hindrance) અને લિવિંગ ગ્રુપની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખે છે.
$1$. અવકાશી અવરોધ: $SN^2$ પ્રક્રિયાઓ પ્રાથમિક $(1^{\circ})$ આલ્કાઈલ હેલાઈડ માટે દ્વિતીયક $(2^{\circ})$ અથવા તૃતીયક $(3^{\circ})$ આલ્કાઈલ હેલાઈડની સરખામણીમાં સૌથી ઝડપી હોય છે.
$2$. લિવિંગ ગ્રુપ: સમાન આલ્કાઈલ ગ્રુપ માટે,$SN^2$ પ્રક્રિયાનો દર સારા લિવિંગ ગ્રુપ સાથે ઝડપી હોય છે. બ્રોમાઈડ $(Br^-)$ એ ક્લોરાઈડ $(Cl^-)$ કરતા સારું લિવિંગ ગ્રુપ છે.
વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
- વિકલ્પ $A$ અને $B$ દ્વિતીયક $(2^{\circ})$ આલ્કાઈલ હેલાઈડ છે.
- વિકલ્પ $C$ અને $D$ પ્રાથમિક $(1^{\circ})$ આલ્કાઈલ હેલાઈડ છે.
પ્રાથમિક આલ્કાઈલ હેલાઈડમાં અવકાશી અવરોધ ઓછો હોવાથી,તેઓ દ્વિતીયક કરતા ઝડપથી પ્રક્રિયા કરે છે.
$C$ અને $D$ ની વચ્ચે,$C$ માં બ્રોમાઈડ લિવિંગ ગ્રુપ છે,જે $D$ માં રહેલા ક્લોરાઈડ કરતા સારું છે.
તેથી,$1$-બ્રોમો$-3-$મિથાઈલપેન્ટેન $SN^2$ પ્રક્રિયા સૌથી ઝડપથી આપે છે.

(D) હેલોએરીન્સમાં $C-X$ બંધના વિભાજન સાથે સંકળાયેલી પ્રતિક્રિયા ન્યુક્લિયોફિલિક એરોમેટિક સબસ્ટિટ્યુશન $(S_NAr)$ છે.
આ પ્રતિક્રિયા ઓર્થો અને પેરા સ્થાન પર ઇલેક્ટ્રોન-વિથડ્રોઇંગ ગ્રુપ (જેમ કે $-NO_2$) ની હાજરી દ્વારા સરળ બને છે,જે પ્રતિક્રિયા દરમિયાન બનતા કાર્બેનિયન મધ્યવર્તીને સ્થિર કરે છે.
સંયોજન $I$ માં પેરા સ્થાન પર એક $-NO_2$ ગ્રુપ છે.
સંયોજન $II$ માં બે $-NO_2$ ગ્રુપ છે (એક ઓર્થો અને એક પેરા સ્થાન પર).
સંયોજન $III$ માં ત્રણ $-NO_2$ ગ્રુપ છે (બે ઓર્થો અને એક પેરા સ્થાન પર).
જેમ જેમ ઇલેક્ટ્રોન-વિથડ્રોઇંગ ગ્રુપની સંખ્યા વધે છે,તેમ ન્યુક્લિયોફિલિક સબસ્ટિટ્યુશન પ્રત્યે પ્રતિક્રિયાત્મકતા વધે છે.
તેથી,પ્રતિક્રિયાત્મકતાનો સાચો ક્રમ $III > II > I$ છે.

(A) સોડિયમ ધાતુ અને સૂકા ઈથરની હાજરીમાં બ્રોમોબેન્ઝીનની મિથાઈલ બ્રોમાઈડ સાથેની પ્રક્રિયાને વુર્ટ્ઝ-ફિટિંગ પ્રક્રિયા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
આ પ્રક્રિયામાં,એરાઈલ હેલાઈડ આલ્કાઈલ હેલાઈડ સાથે પ્રક્રિયા કરીને આલ્કાઈલબેન્ઝીન બનાવે છે.
રાસાયણિક સમીકરણ છે: $C_6H_5Br + CH_3Br + 2Na \xrightarrow{\text{dry ether}} C_6H_5CH_3 + 2NaBr$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સેન્ડમેયર પ્રક્રિયામાં બેન્ઝીન ડાયઝોનિયમ ક્ષારનું કોપર$(I)$ ક્ષાર ($CuCl$,$CuBr$,$CuCN$) નો ઉપયોગ કરીને એરિલ હેલાઇડ્સ (ક્લોરો,બ્રોમો) અથવા એરિલ સાયનાઇડ્સમાં રૂપાંતર થાય છે.
ખાસ કરીને:
$1$. $Ph-N_2^+Cl^- + CuCl \rightarrow Ph-Cl + N_2$
$2$. $Ph-N_2^+Cl^- + CuBr \rightarrow Ph-Br + N_2$
$3$. $Ph-N_2^+Cl^- + CuCN \rightarrow Ph-CN + N_2$
આયોડોબેન્ઝીન $(Ph-I)$ સેન્ડમેયર પ્રક્રિયા દ્વારા બનાવવામાં આવતું નથી કારણ કે તે બેન્ઝીન ડાયઝોનિયમ ક્ષારને પોટેશિયમ આયોડાઇડ $(KI)$ ના દ્રાવણ સાથે પ્રક્રિયા કરીને બનાવવામાં આવે છે,જેમાં કોપર ઉદ્દીપકની જરૂર પડતી નથી.

(A) ડ્રાય ઈથરની હાજરીમાં સોડિયમ ધાતુ સાથે એરિલ હેલાઈડના બે મોલની પ્રક્રિયા કરીને ડાયએરિલ સંયોજન (બાયફિનાઈલ) બનાવવાની પ્રક્રિયાને $Fittig$ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.
સામાન્ય પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$2Ar-X + 2Na \xrightarrow{\text{dry ether}} Ar-Ar + 2NaX$
જ્યાં $Ar$ એ એરિલ ગ્રુપ છે અને $X$ એ હેલોજન છે.

(A) આપેલ પ્રક્રિયામાં આલ્ડિહાઇડ $(CH_3CHO)$ નું ઝિંક એમાલગમ $(Zn-Hg)$ અને સાંદ્ર હાઇડ્રોક્લોરિક એસિડ $(HCl)$ નો ઉપયોગ કરીને આલ્કેન $(CH_3CH_3)$ માં રિડક્શન થાય છે.
કાર્બોનિલ સમૂહો (આલ્ડિહાઇડ અને કીટોન) નું $Zn-Hg$ અને સાંદ્ર $HCl$ નો ઉપયોગ કરીને મિથિલીન સમૂહો $(-CH_2-)$ માં થતા આ વિશિષ્ટ રિડક્શનને ક્લેમેન્સન રિડક્શન કહેવામાં આવે છે.

(A) આ પ્રક્રિયામાં $Ni$ ઉદ્દીપકની હાજરીમાં અસંતૃપ્ત આલ્ડિહાઈડ $(CH_3-CH=CH-CH_2-CHO)$ નું ઉદ્દીપકીય હાઈડ્રોજનેશન થાય છે.
$Ni$ એક પ્રબળ રિડક્શનકર્તા છે જે હાઈડ્રોજનની વધુ માત્રાની હાજરીમાં કાર્બન-કાર્બન દ્વિબંધ $(C=C)$ અને કાર્બોનિલ સમૂહ $(C=O)$ બંનેનું રિડક્શન કરે છે.
$1$. $C=C$ દ્વિબંધનું રિડક્શન થઈને તે એકલ બંધમાં ફેરવાય છે: $CH_3-CH=CH-CH_2-CHO \rightarrow CH_3-CH_2-CH_2-CH_2-CHO$.
$2$. આલ્ડિહાઈડ સમૂહ $(-CHO)$ નું રિડક્શન થઈને તે પ્રાથમિક આલ્કોહોલ $(-CH_2OH)$ માં ફેરવાય છે: $CH_3-CH_2-CH_2-CH_2-CHO \rightarrow CH_3-CH_2-CH_2-CH_2-CH_2-OH$.
તેથી,અંતિમ નીપજ પેન્ટેન$-1-$ઓલ છે.

(B) ફિંકલસ્ટીન પ્રક્રિયા એ હેલોજન વિનિમય પ્રક્રિયાનો એક પ્રકાર છે જેમાં એસિટોનની હાજરીમાં સોડિયમ આયોડાઈડ $(NaI)$ નો ઉપયોગ કરીને આલ્કાઈલ ક્લોરાઈડ અથવા બ્રોમાઈડને આલ્કાઈલ આયોડાઈડમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા છે: $C_2H_5Cl + NaI \xrightarrow{\text{acetone}} C_2H_5I + NaCl$.
વિકલ્પ $B$ આ પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.

(C) આલ્કાઈલ હેલાઈડ્સનું ડીહાઈડ્રોહેલોજનેશન $E2$ પ્રક્રિયા દ્વારા થાય છે,જેમાં બનતા આલ્કીનની સ્થિરતાના આધારે પ્રક્રિયાનો વેગ નક્કી થાય છે.
સેટઝેફના નિયમ મુજબ,વધુ વિસ્થાપિત આલ્કીન વધુ સ્થિર હોય છે.
તેથી,ડીહાઈડ્રોહેલોજનેશનની સરળતાનો ક્રમ: $3^{\circ} > 2^{\circ} > 1^{\circ}$ છે.

(C) જ્યારે બ્રોમોઈથેન $(CH_3CH_2Br)$ ને આલ્કોહોલિક એમોનિયાના વધારા સાથે ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે ન્યુક્લિયોફિલિક વિસ્થાપન પ્રક્રિયા (એમોનોલિસિસ) દ્વારા મુખ્ય નીપજ તરીકે ઈથેનેમાઈન $(CH_3CH_2NH_2)$ બનાવે છે.
$CH_3CH_2Br + NH_3 (\text{excess}) \rightarrow CH_3CH_2NH_2 + HBr$
એમોનિયા વધારામાં હોવાથી,પ્રક્રિયા પ્રાથમિક એમાઈન તબક્કે અટકી જાય છે.

(D) બેન્ઝીન ડાયઝોનિયમ ક્લોરાઈડની ઇથેનોલ $(CH_3CH_2OH)$ સાથેની પ્રતિક્રિયા રિડક્શન પ્રક્રિયા તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ પ્રક્રિયામાં,ઇથેનોલનું એસીટાલ્ડિહાઈડ $(CH_3CHO)$ માં ઓક્સિડેશન થાય છે અને ડાયઝોનિયમ ક્ષારનું બેન્ઝીન $(C_6H_6)$ માં રિડક્શન થાય છે.
રાસાયણિક સમીકરણ છે: $C_6H_5N_2Cl + C_2H_5OH \rightarrow C_6H_6 + CH_3CHO + N_2 + HCl$.

(B) નિર્જળ $AlCl_3$ ની હાજરીમાં એનિસોલની એસીટાઇલ ક્લોરાઇડ સાથેની પ્રક્રિયા એ ફ્રીડલ-ક્રાફ્ટ એસાઇલેશન પ્રક્રિયા છે.
એનિસોલમાં $-OCH_3$ સમૂહ હોય છે,જે ઓર્થો/પેરા-નિર્દેશક સમૂહ છે.
ઓર્થો સ્થાન પર અવકાશી અવરોધ (steric hindrance) ને કારણે,પેરા-વિસ્થાપિત નીપજ મુખ્ય નીપજ તરીકે મળે છે.
તેથી,મુખ્ય નીપજ $X$ એ $4-$મિથોક્સી એસીટોફિનોન છે.

(C) જ્યારે ક્લોરિન વધારે પડતી એમોનિયા સાથે પ્રતિક્રિયા કરે છે,ત્યારે તે એમોનિયમ ક્લોરાઈડ અને ડાયનાઈટ્રોજન વાયુ બનાવે છે.
આ પ્રતિક્રિયા માટેનું રાસાયણિક સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$8NH_3 + 3Cl_2 \rightarrow 6NH_4Cl + N_2$

(D) જ્યારે એમોનિયા વધારાની ક્લોરિન સાથે પ્રતિક્રિયા આપે છે,ત્યારે પ્રતિક્રિયા આ મુજબ છે: $NH_3 + 3Cl_2 \rightarrow NCl_3 + 3HCl$।
આમ,નીપજો નાઈટ્રોજન ટ્રાયક્લોરાઈડ $(NCl_3)$ અને હાઈડ્રોક્લોરિક એસિડ $(HCl)$ છે.

(D) સલ્ફ્યુરિક એસિડના ઉત્પાદન માટેની સંપર્ક વિધિમાં,$SO_3$ વાયુને સાંદ્ર $H_2SO_4$ માં શોષીને ઓલિયમ $(H_2S_2O_7)$ બનાવવામાં આવે છે.
રાસાયણિક પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે:
$SO_3 + H_2SO_4 \rightarrow H_2S_2O_7$ (ઓલિયમ)

(B) સમૂહમાં ઉપરથી નીચે તરફ જતાં હાઇડ્રોજન હેલાઇડની ઉષ્મીય સ્થિરતા ઘટે છે કારણ કે બંધ વિયોજન ઉર્જા ઘટે છે.
જેમ હેલોજન પરમાણુનું કદ $F$ થી $I$ તરફ વધે છે,તેમ $H-X$ બંધની લંબાઈ વધે છે,જેના પરિણામે બંધની મજબૂતી ઘટે છે.
તેથી,ઉષ્મીય સ્થિરતાનો ક્રમ $HF > HCl > HBr > HI$ છે.
આમ,$HI$ એ ઉષ્મીય રીતે સૌથી ઓછો સ્થાયી હાઇડ્રોજન હેલાઇડ છે.

(D) બ્રોમિન અને ફ્લોરિનની પ્રક્રિયા તાપમાન અને પ્રક્રિયકોના પ્રમાણના આધારે આંતરહેલોજન સંયોજનો બનાવે છે.
$Br_2 + F_2 (excess) \rightarrow 2BrF$
$Br_2 + 3F_2 \rightarrow 2BrF_3$
$Br_2 + 5F_2 \rightarrow 2BrF_5$
$BrF_7$ બનતું નથી કારણ કે બ્રોમિનનું કદ નાનું હોવાથી તે તેની આસપાસ સાત ફ્લોરિન પરમાણુઓને સમાવી શકતું નથી.

(D) જ્યારે ક્લોરિન વાયુ ગરમ અને સાંદ્ર સોડિયમ હાઇડ્રોક્સાઇડ $(NaOH)$ સાથે પ્રક્રિયા કરે છે,ત્યારે તે અસમાનતા (disproportionation) પ્રક્રિયા અનુભવે છે.
આ પ્રક્રિયા માટેનું સંતુલિત રાસાયણિક સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$3Cl_2 + 6NaOH \rightarrow 5NaCl + NaClO_3 + 3H_2O$
આમ,મળતી નીપજો સોડિયમ ક્લોરાઇડ $(NaCl)$,સોડિયમ ક્લોરેટ $(NaClO_3)$ અને પાણી $(H_2O)$ છે.