उद्देश्य फलन $z = 4x + 6y$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए,जो प्रतिबंधों $x + 2y \geq 80$,$3x + y \geq 75$ और $x, y \geq 0$ के अधीन है:

$L$.$P$.$P$. $Z = 8x + 3y$ को अधिकतम करने के लिए,बाधाओं $x + y \leq 3, 4x + y \leq 6, x \geq 0, y \geq 0$ के अधीन इष्टतम समाधान क्या है?

एक फल उत्पादक अपने बगीचे में दो प्रकार के उर्वरक,ब्रांड $P$ और ब्रांड $Q$ का उपयोग कर सकता है। प्रत्येक ब्रांड के एक बैग में नाइट्रोजन,फॉस्फोरिक एसिड,पोटाश और क्लोरीन की मात्रा ($kg$ में) तालिका में दी गई है। परीक्षणों से पता चलता है कि बगीचे को कम से कम $240 \, kg$ फॉस्फोरिक एसिड,कम से कम $270 \, kg$ पोटाश और अधिकतम $310 \, kg$ क्लोरीन की आवश्यकता है।
यदि उत्पादक बगीचे में जोड़े गए नाइट्रोजन की मात्रा को अधिकतम करना चाहता है,तो प्रत्येक ब्रांड के कितने बैग जोड़े जाने चाहिए? जोड़े गए नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा क्या है?

	ब्रांड $P$ ($kg$ प्रति बैग)	ब्रांड $Q$ ($kg$ प्रति बैग)
नाइट्रोजन	$3$	$3.5$
फॉस्फोरिक एसिड	$1$	$2$
पोटाश	$3$	$1.5$
क्लोरीन	$1.5$	$2$

दिए गए सुसंगत क्षेत्र (feasible region) के लिए सही बाधाएं (constraints) क्या हैं?

यदि $Z = 7x + y$ है,जिसके लिए प्रतिबंध $5x + y \geq 5$,$x + y \geq 3$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ हैं,तो $Z$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

उद्देश्य फलन $z=2x+3y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए,जो प्रतिबंधों $x+y \leq 5$,$2x+y \geq 4$,$x \geq 0$ और $y \geq 0$ के अधीन है।