IIT JEE 2013 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिए गए वृत्त $|z-z_0|=r$ और $|z-z_0|=2r$ हैं।
चूंकि $\alpha$ पहले वृत्त पर स्थित है,$|\alpha-z_0|=r$,जिसका अर्थ है $|\alpha-z_0|^2=r^2$.
इसका विस्तार करने पर,$|\alpha|^2 - z_0\bar{\alpha} - \bar{z}_0\alpha + |z_0|^2 = r^2$ $(1)$.
चूंकि $\frac{1}{\bar{\alpha}}$ दूसरे वृत्त पर स्थित है,$|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|=2r$,जिसका अर्थ है $|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|^2=4r^2$.
$\bar{\alpha}\alpha = |\alpha|^2$ का उपयोग करते हुए,$|\frac{\alpha}{|\alpha|^2}-z_0|^2=4r^2$.
इसका विस्तार करने पर,$\frac{1}{|\alpha|^2} - \frac{z_0\bar{\alpha}}{|\alpha|^2} - \frac{\bar{z}_0\alpha}{|\alpha|^2} + |z_0|^2 = 4r^2$.
$|\alpha|^2$ से गुणा करने पर,$1 - z_0\bar{\alpha} - \bar{z}_0\alpha + |z_0|^2|\alpha|^2 = 4r^2|\alpha|^2$ $(2)$.
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर,$(|z_0|^2|\alpha|^2 - |z_0|^2) + (1 - |\alpha|^2) = 4r^2|\alpha|^2 - r^2$.
$|z_0|^2(|\alpha|^2-1) - (|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$(|z_0|^2-1)(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
दिया गया है $2|z_0|^2 = r^2+2$,इसलिए $|z_0|^2 = \frac{r^2+2}{2}$.
यह मान रखने पर,$(\frac{r^2+2}{2}-1)(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$\frac{r^2}{2}(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$\frac{1}{2}|\alpha|^2 - \frac{1}{2} = 4|\alpha|^2 - 1$.
$\frac{1}{2} = \frac{7}{2}|\alpha|^2$.
$|\alpha|^2 = \frac{1}{7} \Rightarrow |\alpha| = \frac{1}{\sqrt{7}}$.

(A) दी गई रेखाएँ $ax + by + c = 0$ और $bx + ay + c = 0$ हैं।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(a - b)x + (b - a)y = 0 \Rightarrow (a - b)(x - y) = 0$.
चूंकि $a > b$,इसलिए $a - b \neq 0$,अतः $x = y$.
प्रथम समीकरण में $x = y$ रखने पर: $ax + bx + c = 0$ $\Rightarrow x(a + b) = -c$ $\Rightarrow x = \frac{-c}{a + b}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $P = \left(\frac{-c}{a + b}, \frac{-c}{a + b}\right)$ है।
$(1, 1)$ और $P$ के बीच की दूरी $\sqrt{(1 - (\frac{-c}{a + b}))^2 + (1 - (\frac{-c}{a + b}))^2} < 2\sqrt{2}$ है।
$\sqrt{2(1 + \frac{c}{a + b})^2} < 2\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2}(1 + \frac{c}{a + b}) < 2\sqrt{2}$.
$1 + \frac{c}{a + b} < 2$ $\Rightarrow \frac{c}{a + b} < 1$ $\Rightarrow c < a + b$.
यह दर्शाता है कि $a + b - c > 0$।

(A) मान लीजिए $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{3}{4}, P(C) = \frac{1}{4}, P(D) = \frac{1}{8}$ समस्या को सही ढंग से हल करने की प्रायिकताएं हैं।
प्रायिकता कि समस्या किसी के द्वारा हल नहीं की जाती है,$P(\overline{A}) \times P(\overline{B}) \times P(\overline{C}) \times P(\overline{D})$ है।
$P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(\overline{B}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$P(\overline{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(\overline{D}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$
$P(\text{कोई हल नहीं करता}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{7}{8} = \frac{21}{256}$
समस्या के कम से कम एक व्यक्ति द्वारा हल किए जाने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई हल नहीं करता}) = 1 - \frac{21}{256} = \frac{235}{256}$ है।

(A,D) दिया गया योग $S_n = \sum_{k=1}^{4n} (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} k^2$ है।
पदों का विस्तार करने पर:
$S_n = -1^2 - 2^2 + 3^2 + 4^2 - 5^2 - 6^2 + 7^2 + 8^2 + \dots + (-1)^{\frac{4n(4n+1)}{2}} (4n)^2$.
चार-चार पदों के समूह बनाने पर:
$S_n = (3^2 - 1^2) + (4^2 - 2^2) + (7^2 - 5^2) + (8^2 - 6^2) + \dots + ((4n-1)^2 - (4n-3)^2) + ((4n)^2 - (4n-2)^2)$.
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$S_n = 2(4) + 2(6) + 2(12) + 2(14) + \dots + 2(8n-4) + 2(8n-2)$.
$S_n = 2 [ (4 + 12 + \dots + 8n-4) + (6 + 14 + \dots + 8n-2) ]$.
दोनों श्रेणियाँ समांतर श्रेणी हैं जिनमें $n$ पद हैं।
प्रथम श्रेणी का योग $= 4n^2$.
दूसरी श्रेणी का योग $= 4n^2 + 2n$.
$S_n = 2 [ 8n^2 + 2n ] = 4n(4n+1)$.
$n=8$ के लिए,$S_8 = 1056$.
$n=9$ के लिए,$S_9 = 1332$.
अतः,$S_n$ के मान $1056$ और $1332$ हो सकते हैं।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ है। $P = (h, y_0)$ और $Q = (h, -y_0)$ लें। चूंकि $P$ दीर्घवृत्त पर है,$y_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{4-h^2}$।
$P(h, y_0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xh}{4}+\frac{yy_0}{3}=1$ है। $y=0$ रखने पर,$x = \frac{4}{h}$ प्राप्त होता है। अतः,$R = (\frac{4}{h}, 0)$।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $\Delta(h) = \frac{1}{2} \times (2y_0) \times (\frac{4}{h}-h) = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{(4-h^2)^{3/2}}{h}$।
$h = 2\cos \theta$ लेने पर,$h \in [1/2, 1] \implies \cos \theta \in [1/4, 1/2]$।
$\Delta(\theta) = 2\sqrt{3} \frac{\sin^3 \theta}{\cos \theta}$।
$\Delta$,$\theta$ के साथ बढ़ता हुआ फलन है। जैसे-जैसे $\cos \theta$ घटता है,$\Delta$ बढ़ता है।
$\Delta_2 = \Delta(h=1) = 4.5$।
$\Delta_1 = \Delta(h=1/2) = \frac{45\sqrt{5}}{8}$।
अतः,$\frac{8}{\sqrt{5}} \Delta_1 - 8 \Delta_2 = 45 - 36 = 9$।

(B) माना तीन क्रमागत पद $T_r, T_{r+1}, T_{r+2}$ हैं। उनके गुणांक ${}^{n+5}C_{r-1}, {}^{n+5}C_r, {}^{n+5}C_{r+1}$ हैं।
दिया गया अनुपात ${}^{n+5}C_{r-1} : {}^{n+5}C_r : {}^{n+5}C_{r+1} = 5 : 10 : 14$ है।
$\frac{{}^{n+5}C_r}{{}^{n+5}C_{r-1}} = \frac{10}{5} = 2$ से,$\frac{(n+5)-r+1}{r} = 2 \Rightarrow n+6 = 3r$ प्राप्त होता है।
$\frac{{}^{n+5}C_{r+1}}{{}^{n+5}C_r} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$ से,$\frac{(n+5)-r}{r+1} = \frac{7}{5}$ $\Rightarrow 5n + 25 - 5r = 7r + 7$ $\Rightarrow 5n + 18 = 12r$ प्राप्त होता है।
$r = \frac{n+6}{3}$ को दूसरे समीकरण में रखने पर: $5n + 18 = 12(\frac{n+6}{3}) = 4(n+6) = 4n + 24$।
अतः,$n = 24 - 18 = 6$।

(A) माना हटाए गए कार्ड $k$ और $k+1$ हैं।
$1$ से $n$ तक के सभी कार्डों का योग $\frac{n(n+1)}{2}$ है।
शेष कार्डों का योग $1224$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{n(n+1)}{2} - (k + k + 1) = 1224$
$n^2 + n - 2(2k + 1) = 2448$
$n^2 + n - 4k - 2 = 2448$
$n^2 + n - 2450 = 4k$
$(n + 50)(n - 49) = 4k$
चूँकि $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है,$(n+50)(n-49)$ को $4$ का गुणज होना चाहिए और $k < n$ होना चाहिए।
$n = 50$ के लिए:
$(50 + 50)(50 - 49) = 100 \times 1 = 100 = 4k \Rightarrow k = 25$.
चूँकि $k < n$ $(25 < 50)$,यह एक मान्य समाधान है।
अतः $k - 20 = 25 - 20 = 5$.

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
वृत्त $x$-अक्ष को $(3, 0)$ या $(-3, 0)$ पर स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $(\pm 3, -f)$ है और त्रिज्या $|f|$ है।
$x$-अक्ष को स्पर्श करने की शर्त के अनुसार $g^2 = c$ है।
केंद्र का $x$-निर्देशांक $3$ या $-3$ है,इसलिए $g = -3$ या $g = 3$ प्राप्त होता है,जिससे $g^2 = 9$ और $c = 9$ मिलता है।
$y$-अक्ष पर अंतःखंड $2 \sqrt{f^2 - c} = 2 \sqrt{7}$ है,इसलिए $f^2 - c = 7$ है।
$c = 9$ रखने पर,$f^2 - 9 = 7$,अर्थात $f^2 = 16$,जिससे $f = \pm 4$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x \pm 8y + 9 = 0$ है।
इसलिए,सही वृत्त $x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0$ और $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$ हैं।

(B) माना शीर्षों से स्पर्श रेखाओं की लंबाई $x, y, z$ है। दिया गया है कि $PN=x, QL=y, RM=z$ लगातार सम पूर्णांक हैं। माना $x=2n, y=2n+2, z=2n+4$ है।
चूंकि $P$ सबसे बड़ा कोण है,$P$ के सम्मुख भुजा $(QR = y+z)$ सबसे बड़ी भुजा होगी।
$QR = (2n+2) + (2n+4) = 4n+6$
$PQ = x+y = 4n+2$
$PR = x+z = 4n+4$
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos P = \frac{PQ^2 + PR^2 - QR^2}{2(PQ)(PR)} = \frac{1}{3}$
समीकरण को हल करने पर $n=4$ प्राप्त होता है।
अतः भुजाएं $PQ = 18, PR = 20, QR = 22$ हैं। संभावित लंबाइयां $18$ और $22$ हैं।

(C) दिया गया है $w = \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{i\pi/6}$.
अतः, $P = \{e^{in\pi/6} : n = 1, 2, 3, \ldots\}$.
$H_1 = \{z : \operatorname{Re}(z) > 1/2\}$. $z = e^{in\pi/6} = \cos(n\pi/6) + i \sin(n\pi/6)$ के लिए, $\operatorname{Re}(z) = \cos(n\pi/6) > 1/2$ का अर्थ है $n\pi/6 \in (0, \pi/3) \cup (5\pi/3, 2\pi)$. $n \in Z^+$ के लिए, इससे $n = 1$ $(z_1 = e^{i\pi/6} = \frac{\sqrt{3}+i}{2})$ और $n = 11$ $(z_1 = e^{i11\pi/6} = \frac{\sqrt{3}-i}{2})$ प्राप्त होते हैं।
$H_2 = \{z : \operatorname{Re}(z) < -1/2\}$. $\operatorname{Re}(z) = \cos(n\pi/6) < -1/2$ का अर्थ है $n\pi/6 \in (2\pi/3, 4\pi/3)$. $n \in Z^+$ के लिए, इससे $n = 5$ $(z_2 = e^{i5\pi/6} = \frac{-\sqrt{3}+i}{2})$ और $n = 7$ $(z_2 = e^{i7\pi/6} = \frac{-\sqrt{3}-i}{2})$ प्राप्त होते हैं।
संभावित कोण $\angle z_1 O z_2$ कोणांकों का अंतर है: $|\arg(z_1) - \arg(z_2)|$.
$z_1$ के लिए संभावित कोणांक $\pm \pi/6$ हैं। $z_2$ के लिए संभावित कोणांक $\pm 5\pi/6$ हैं।
अंतर $|5\pi/6 - \pi/6| = 4\pi/6 = 2\pi/3$, $|-5\pi/6 - \pi/6| = |-\pi| = \pi$, $|5\pi/6 - (-\pi/6)| = \pi$, और $|-5\pi/6 - (-\pi/6)| = |-4\pi/6| = 2\pi/3$ हैं।
अतः, संभावित मान $2\pi/3$ और $\pi$ हैं। विकल्पों के साथ तुलना करने पर, $2\pi/3$ मौजूद है।

(A,B,C) दिया गया है $3^x = 4^{x-1}$।
दोनों पक्षों में $\log_3$ लेने पर:
$x = (x-1) \log_3 4$
$x = (x-1) \cdot 2 \log_3 2$
$x = 2x \log_3 2 - 2 \log_3 2$
$2 \log_3 2 = x(2 \log_3 2 - 1)$
$x = \frac{2 \log_3 2}{2 \log_3 2 - 1}$ (विकल्प $A$ सही है)।
दोनों पक्षों में $\log_2$ लेने पर:
$x \log_2 3 = (x-1) \log_2 4$
$x \log_2 3 = 2(x-1)$
$x \log_2 3 = 2x - 2$
$2 = x(2 - \log_2 3)$
$x = \frac{2}{2 - \log_2 3}$ (विकल्प $B$ सही है)।
चूंकि $\log_2 3 = \log_4 3^2 = 2 \log_4 3$,इसलिए:
$x = \frac{2}{2 - 2 \log_4 3} = \frac{1}{1 - \log_4 3}$ (विकल्प $C$ सही है)।

(B,D) माना $P$ के निर्देशांक $(at^2, 2at)$ और $Q$ के $(a/t^2, -2a/t)$ हैं क्योंकि $PQ$ एक नाभिलंब जीवा है।
$P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $R = (-a, a(t - 1/t))$ है।
दिया है कि $R$,$y = 2x + a$ पर स्थित है,इसलिए $a(t - 1/t) = 2(-a) + a = -a$,अर्थात $t - 1/t = -1$ है।
$1.$ जीवा $PQ$ की लंबाई $a(t + 1/t)^2$ है।
$(t + 1/t)^2 = (t - 1/t)^2 + 4 = (-1)^2 + 4 = 5$,इसलिए $PQ = 5a$ है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
$2.$ शीर्ष पर बने कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \frac{2(t + 1/t)}{-3}$ है।
चूंकि $t + 1/t = \sqrt{5}$,इसलिए $\tan \theta = \frac{2\sqrt{5}}{-3} = -\frac{2}{3}\sqrt{5}$ है। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(B,C) $1.$ $S_1$ मूल बिंदु पर केंद्रित $r=4$ त्रिज्या वाले वृत्त के आंतरिक भाग को दर्शाता है।
$S_2: \operatorname{Im}[\frac{(x-1)+i(y+\sqrt{3})}{1-\sqrt{3} i} \cdot \frac{1+\sqrt{3} i}{1+\sqrt{3} i}] > 0 \implies \operatorname{Im}[\frac{(x-1+i(y+\sqrt{3}))(1+\sqrt{3} i)}{4}] > 0$
$\implies (x-1)\sqrt{3} + (y+\sqrt{3}) > 0 \implies \sqrt{3}x + y > 0$.
$S_3: x > 0$.
क्षेत्र $S$,डिस्क $x^2+y^2 < 16$,अर्ध-समतल $y > -\sqrt{3}x$,और अर्ध-समतल $x > 0$ का प्रतिच्छेदन है। यह $\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}$ रेडियन कोण वाला एक वृत्तीय सेक्टर बनाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{5\pi}{6} = \frac{20\pi}{3}$.
$2.$ हमें बिंदु $P(1, -3)$ से क्षेत्र $S$ तक की न्यूनतम दूरी ज्ञात करनी है। $S$ की सीमा में $x > 0$ के लिए रेखा $y = -\sqrt{3}x$ शामिल है।
$(1, -3)$ से रेखा $\sqrt{3}x + y = 0$ तक की दूरी $d = \frac{|\sqrt{3}(1) + (-3)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{|\sqrt{3}-3|}{2} = \frac{3-\sqrt{3}}{2}$ है।

(D) माना परवलय $y^2=16x$ पर बिंदु $F$ $(4t^2, 8t)$ है।
$F(4t^2, 8t)$ पर परवलय की स्पर्श रेखा $yt = x + 4t^2$ है।
यह स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को $G(0, 4t)$ पर काटती है,इसलिए $y_1 = 4t$ है।
रेखा $L: y=mx+3$,$F(4t^2, 8t)$ से गुजरती है,इसलिए $8t = m(4t^2) + 3$,जिससे $m = \frac{8t-3}{4t^2}$ प्राप्त होता है।
$\triangle EFG$ के शीर्ष $E(0, 3)$,$F(4t^2, 8t)$,और $G(0, 4t)$ हैं।
$\triangle EFG$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |x_E(y_F-y_G) + x_F(y_G-y_E) + x_G(y_E-y_F)| = \frac{1}{2} |0 + 4t^2(4t-3) + 0| = 2t^2|4t-3|$ है।
चूंकि $0 \leq y \leq 6$,इसलिए $0 \leq 8t \leq 6$,जिसका अर्थ है $0 \leq t \leq 3/4$।
$t < 3/4$ के लिए,$A = 2t^2(3-4t) = 6t^2 - 8t^3$ है।
$\frac{dA}{dt} = 12t - 24t^2 = 12t(1-2t)$ है।
$\frac{dA}{dt} = 0$ रखने पर $t = 1/2$ प्राप्त होता है (क्योंकि $t=0$ न्यूनतम है)।
$t=1/2$ पर,$m = \frac{8(1/2)-3}{4(1/2)^2} = \frac{4-3}{1} = 1$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल $A = 2(1/2)^2(3-4(1/2)) = 2(1/4)(1) = 1/2$ है।
$y_0 = 8t = 8(1/2) = 4$ है।
$y_1 = 4t = 4(1/2) = 2$ है।

(C) समांतर चतुर्भुज $PQRS$ में,विकर्ण $\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PS}$ और $\overrightarrow{SQ} = \overrightarrow{PQ} - \overrightarrow{PS}$ हैं।
$\overrightarrow{PQ}$ और $\overrightarrow{PS}$ के लिए हल करने पर:
$\overrightarrow{PQ} = \frac{\overrightarrow{PR} + \overrightarrow{SQ}}{2}$
$\overrightarrow{PS} = \frac{\overrightarrow{PR} - \overrightarrow{SQ}}{2}$
$\overrightarrow{PT}, \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन $V$,अदिश त्रिक गुणनफल $|[\overrightarrow{PT}, \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}]|$ द्वारा दिया जाता है।
$V = |\overrightarrow{PT} \cdot (\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PS})|$
$V = |\overrightarrow{PT} \cdot (\frac{\overrightarrow{PR} + \overrightarrow{SQ}}{2} \times \frac{\overrightarrow{PR} - \overrightarrow{SQ}}{2})|$
$V = \frac{1}{4} |\overrightarrow{PT} \cdot (\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PR} - \overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{SQ} + \overrightarrow{SQ} \times \overrightarrow{PR} - \overrightarrow{SQ} \times \overrightarrow{SQ})|$
चूंकि $\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PR} = 0$ और $\overrightarrow{SQ} \times \overrightarrow{SQ} = 0$,और $\overrightarrow{SQ} \times \overrightarrow{PR} = -(\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{SQ})$:
$V = \frac{1}{4} |\overrightarrow{PT} \cdot (-2(\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{SQ}))| = \frac{1}{2} |[\overrightarrow{PT}, \overrightarrow{PR}, \overrightarrow{SQ}]|$
$V = \frac{1}{2} |\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & -4 \end{vmatrix}|$
$V = \frac{1}{2} |1(-4 - 6) - 2(-12 + 2) + 3(-9 - 1)|$
$V = \frac{1}{2} |-10 + 20 - 30| = \frac{1}{2} |-20| = 10$.

(D) रेखा $\frac{x+2}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}=\lambda$ पर कोई भी बिंदु $(2\lambda-2, -\lambda-1, 3\lambda)$ के रूप में होता है।
इस रेखा पर दो बिंदु लेते हैं:
$\lambda=0$ के लिए,बिंदु $A = (-2, -1, 0)$.
$\lambda=1$ के लिए,बिंदु $B = (0, -2, 3)$.
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से समतल $ax+by+cz+d=0$ पर लंबपाद $(x, y, z)$ का सूत्र $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} = -\frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}$ है।
बिंदु $A(-2, -1, 0)$ और समतल $x+y+z-3=0$ के लिए:
$\frac{x+2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-0}{1} = -\frac{-2-1+0-3}{1^2+1^2+1^2} = -\frac{-6}{3} = 2$.
अतः,$x = 0, y = 1, z = 2$. बिंदु $M = (0, 1, 2)$.
बिंदु $B(0, -2, 3)$ और समतल $x+y+z-3=0$ के लिए:
$\frac{x-0}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-3}{1} = -\frac{0-2+3-3}{1^2+1^2+1^2} = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}$.
अतः,$x = \frac{2}{3}, y = \frac{2}{3}-2 = -\frac{4}{3}, z = \frac{2}{3}+3 = \frac{11}{3}$. बिंदु $N = (\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{11}{3})$.
बिंदुओं $M(0, 1, 2)$ और $N(\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{11}{3})$ से गुजरने वाली रेखा के दिक अनुपात $(\frac{2}{3}-0, -\frac{4}{3}-1, \frac{11}{3}-2) = (\frac{2}{3}, -\frac{7}{3}, \frac{5}{3})$ हैं,जो $(2, -7, 5)$ के समानुपाती हैं।
अतः रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{2} = \frac{y-1}{-7} = \frac{z-2}{5}$ है।

(B) दिए गए वक्र $y_1 = \sin x + \cos x$ और $y_2 = |\cos x - \sin x|$ हैं,जहाँ $x \in [0, \pi/2]$ है।
हम जानते हैं कि $x \in [0, \pi/4]$ के लिए $\cos x - \sin x \ge 0$ और $x \in [\pi/4, \pi/2]$ के लिए $\cos x - \sin x < 0$ होता है।
अतः,$x \in [0, \pi/4]$ के लिए $y_2 = \cos x - \sin x$ और $x \in [\pi/4, \pi/2]$ के लिए $y_2 = \sin x - \cos x$ होगा।
वांछित क्षेत्रफल $A = \int_0^{\pi/2} |y_1 - y_2| dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
$x \in [0, \pi/4]$ के लिए:
$y_1 - y_2 = (\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x) = 2 \sin x$.
$x \in [\pi/4, \pi/2]$ के लिए:
$y_1 - y_2 = (\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x) = 2 \cos x$.
इसलिए,क्षेत्रफल $A = \int_0^{\pi/4} 2 \sin x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \cos x \, dx$.
$A = 2[-\cos x]_0^{\pi/4} + 2[\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$.
$A = 2\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - (-1) \right) + 2\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
$A = 2\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 2\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4\left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right) = 2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$.

(D) दिया गया है $f^{\prime}(x) < 2f(x)$,अतः $f^{\prime}(x) - 2f(x) < 0$ है।
समाकलन गुणक $e^{-2x}$ से गुणा करने पर:
$e^{-2x} f^{\prime}(x) - 2e^{-2x} f(x) < 0$
$\frac{d}{dx} (e^{-2x} f(x)) < 0$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $g(x) = e^{-2x} f(x)$ अंतराल $[1/2, 1]$ पर एक ह्रासमान फलन है।
चूंकि $x \ge 1/2$,इसलिए $g(x) < g(1/2)$ होगा।
$e^{-2x} f(x) < e^{-2(1/2)} f(1/2) = e^{-1} \cdot 1 = 1/e$।
अतः,$f(x) < e^{2x-1}$।
दोनों पक्षों का $1/2$ से $1$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{1/2}^1 f(x) dx < \int_{1/2}^1 e^{2x-1} dx = \left[ \frac{e^{2x-1}}{2} \right]_{1/2}^1 = \frac{e^1 - e^0}{2} = \frac{e - 1}{2}$।
चूंकि $f(x) > 0$,इसलिए समाकलन $0$ से बड़ा है।
अतः,$\int_{1/2}^1 f(x) dx \in (0, (e - 1)/2)$।

(C) माना $f(x) = x^2$ और $g(x) = x \sin x + \cos x$ है। हमें $f(x) = g(x)$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
$f(0) = 0$ और $g(0) = 1$ है। चूँकि $f(0) < g(0)$,परवलय $f(x)$,$x=0$ पर वक्र $g(x)$ के नीचे स्थित है।
$f'(x) = 2x$ और $g'(x) = x \cos x$ है।
$x > 0$ के लिए,$f'(x) = 2x$ और $g'(x) = x \cos x$ है। चूँकि $\cos x \le 1$,इसलिए $g'(x) \le x < 2x = f'(x)$ होता है। अतः,$x > 0$ के लिए $f(x)$,$g(x)$ की तुलना में तेजी से बढ़ता है।
चूँकि $f(0) < g(0)$ है और $f(x)$,$g(x)$ से तेजी से बढ़ता है,इसलिए $x > 0$ के लिए ठीक एक प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होता है।
चूँकि $f(x)$ और $g(x)$ दोनों सम फलन हैं,इसलिए $x < 0$ के लिए भी ठीक एक प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होता है।
अतः,कुल $2$ प्रतिच्छेदन बिंदु हैं।

(A,C) माना आयताकार शीट की भुजाएँ $L = 8x$ और $B = 15x$ हैं।
प्रत्येक कोने से $a$ भुजा वाले वर्ग हटाए जाते हैं। चार हटाए गए वर्गों का कुल क्षेत्रफल $4a^2 = 100$ है,जिसका अर्थ है $a^2 = 25$,इसलिए $a = 5$ है।
परिणामी बॉक्स के आयाम $(8x - 2a)$,$(15x - 2a)$ और ऊँचाई $a = 5$ हैं।
बॉक्स का आयतन $V$ इस प्रकार है:
$V = (8x - 10)(15x - 10)(5)$
$V = 5(120x^2 - 80x - 150x + 100) = 5(120x^2 - 230x + 100) = 600x^2 - 1150x + 500$.
आयतन को अधिकतम करने के लिए,हम $\frac{dV}{dx}$ ज्ञात करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$\frac{dV}{dx} = 1200x - 1150 = 0 \implies x = \frac{1150}{1200} = \frac{23}{24}$.
हालाँकि,दिए गए विकल्पों को देखते हुए,भुजाएँ $24$ और $45$ हैं,जो $x=3$ के अनुरूप हैं $(8 \times 3 = 24, 15 \times 3 = 45)$।
अतः,भुजाएँ $24$ और $45$ हैं,जो विकल्प $(A)$ और $(C)$ के अनुरूप हैं।

(B) माना रेखा $l$ का समीकरण $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k$ है। चूँकि $l$,$l_1$ और $l_2$ पर लंब है,इसलिए इसके दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ का $l_1$ और $l_2$ के दिक्-सदिशों के साथ डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$l_1$ की दिशा $\vec{v_1} = (1, 2, 2)$ है और $l_2$ की दिशा $\vec{v_2} = (2, 2, 1)$ है।
अतः,$a + 2b + 2c = 0$ और $2a + 2b + c = 0$ है।
इन्हें हल करने पर,हमें $\frac{a}{2-4} = \frac{b}{4-1} = \frac{c}{2-4} \Rightarrow \frac{a}{-2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{-2}$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा $l$ का समीकरण $\frac{x}{-2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-2} = k_1$ है। $l$ और $l_1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $P$,$(-2k_1, 3k_1, -2k_1) = (3+t, -1+2t, 4+2t)$ को हल करके प्राप्त होता है।
$3+t = -2k_1$,$-1+2t = 3k_1$ और $4+2t = -2k_1$ को हल करने पर,हमें $k_1 = -1$ प्राप्त होता है,इसलिए $P = (2, -3, 2)$ है।
माना $l_2$ पर एक बिंदु $Q = (3+2s, 3+2s, 2+s)$ है। दूरी $PQ = \sqrt{17}$ होने के कारण:
$(3+2s-2)^2 + (3+2s+3)^2 + (2+s-2)^2 = 17$
$(1+2s)^2 + (6+2s)^2 + s^2 = 17$
$1 + 4s + 4s^2 + 36 + 24s + 4s^2 + s^2 = 17$
$9s^2 + 28s + 37 = 17 \Rightarrow 9s^2 + 28s + 20 = 0$
$(9s + 10)(s + 2) = 0 \Rightarrow s = -2, s = -\frac{10}{9}$ है।
$s = -2$ के लिए,$Q = (-1, -1, 0)$ है।
$s = -\frac{10}{9}$ के लिए,$Q = (3 - \frac{20}{9}, 3 - \frac{20}{9}, 2 - \frac{10}{9}) = (\frac{7}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9})$ है।
अतः,बिंदु $(-1, -1, 0)$ और $(\frac{7}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9})$ हैं,जो विकल्प $(B, D)$ के अनुरूप है।

(B) दिया गया है $f(x) = x \sin \pi x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{\prime}(x) = \sin \pi x + \pi x \cos \pi x$.
यह ज्ञात करने के लिए कि $f^{\prime}(x)$ कहाँ शून्य होता है,$f^{\prime}(x) = 0$ रखें:
$\sin \pi x + \pi x \cos \pi x = 0$
$\sin \pi x = -\pi x \cos \pi x$
$\tan \pi x = -\pi x$.
$y = \tan \pi x$ और $y = -\pi x$ के आलेखों पर विचार करें।
किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,अंतराल $(n, n+1)$,$\tan \pi x$ की उस शाखा के अनुरूप है जो $-\infty$ से $+\infty$ तक बढ़ती है।
रेखा $y = -\pi x$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है।
अंतराल $(n, n+1)$ में,फलन $y = \tan \pi x$ सभी वास्तविक मानों को $-\infty$ से $+\infty$ तक ठीक एक बार कवर करता है।
चूंकि अंतराल $(n, n+1)$ में $-\pi x$ का मान $-\pi(n+1)$ और $-\pi n$ के बीच होता है,इसलिए रेखा $y = -\pi x$ अंतराल $(n, n+1)$ में $\tan \pi x$ की शाखा को ठीक एक बार काटती है।
विशेष रूप से,$n \geq 1$ के लिए,यह प्रतिच्छेदन बिंदु अंतराल $\left(n + \frac{1}{2}, n+1\right)$ में स्थित होता है क्योंकि $\tan \pi x$,$\left(n, n+\frac{1}{2}\right)$ में ऋणात्मक है और $\left(n+\frac{1}{2}, n+1\right)$ में धनात्मक है,जबकि $-\pi x$ हमेशा ऋणात्मक होता है।
अतः,$f^{\prime}(x)$ अंतराल $(n, n+1)$ में एक अद्वितीय बिंदु पर शून्य होता है,और यह बिंदु $\left(n+\frac{1}{2}, n+1\right)$ में स्थित है।
इसलिए,कथन $(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(D) $(N^{\top} M N)^{\top} = N^{\top} M^{\top} N$ होता है। यदि $M$ सममित है,तो $M^{\top} = M$,इसलिए $(N^{\top} M N)^{\top} = N^{\top} M N$ (सममित)। यदि $M$ विषम-सममित है,तो $M^{\top} = -M$,इसलिए $(N^{\top} M N)^{\top} = -N^{\top} M N$ (विषम-सममित)। यह कथन सही है।
$(B)$ $(MN - NM)^{\top} = (MN)^{\top} - (NM)^{\top} = N^{\top} M^{\top} - M^{\top} N^{\top}$ होता है। चूँकि $M$ और $N$ सममित हैं,$M^{\top} = M$ और $N^{\top} = N$ है। अतः $(MN - NM)^{\top} = NM - MN = -(MN - NM)$। यह विषम-सममित है। यह कथन सही है।
$(C)$ $(MN)^{\top} = N^{\top} M^{\top} = NM$ होता है। $MN$ के सममित होने के लिए $MN = NM$ होना आवश्यक है। चूँकि आव्यूह गुणन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता है,इसलिए $MN$ हमेशा सममित नहीं होता है। यह कथन सही $\text{नहीं}$ है।
$(D)$ सहखंडज (adjoint) के गुणधर्म के अनुसार $\operatorname{adj}(MN) = \operatorname{adj}(N) \operatorname{adj}(M)$ होता है। इसलिए,$\operatorname{adj}(MN) \neq \operatorname{adj}(M) \operatorname{adj}(N)$ होता है। यह कथन सही $\text{नहीं}$ है।

(A) समुच्चय $V$ में $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ रूप के $8$ सदिश हैं।
ये सदिश मूल बिंदु पर केंद्रित एक घन के शीर्षों को दर्शाते हैं।
$8$ में से $3$ सदिशों को चुनने के कुल तरीके $\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ हैं।
यदि तीन सदिश मूल बिंदु से गुजरने वाले एक ही समतल में स्थित हों,तो वे समतलीय कहलाते हैं।
किसी भी सदिश $\vec{v} \in V$ के लिए,उसका ऋणात्मक $-\vec{v}$ भी $V$ में है। यदि हम विपरीत सदिशों का एक जोड़ा $(\vec{v}, -\vec{v})$ चुनते हैं,तो कोई भी तीसरा सदिश $\vec{u} \in V$ उनके साथ एक समतलीय समुच्चय बनाएगा क्योंकि $\vec{v}$ और $\vec{u}$ को समाहित करने वाला समतल $-\vec{v}$ को भी समाहित करता है।
विपरीत सदिशों के ऐसे $4$ जोड़े हैं: $(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, -\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$,$(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, -\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$,$(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, -\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$,और $(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}, -\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$.
प्रत्येक जोड़े के लिए,$6$ शेष सदिश हैं। इस प्रकार,$3$ समतलीय सदिशों के $4 \times 6 = 24$ समुच्चय हैं।
असमतलीय समुच्चयों की संख्या $= 56 - 24 = 32$.
हमें दिया गया है कि तरीकों की संख्या $2^p$ है,इसलिए $2^p = 32 = 2^5$.
अतः,$p = 5$.

(B) मान लीजिए $x, y, z$ क्रमशः $E_1, E_2, E_3$ की प्रायिकताएं हैं।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,हमारे पास है:
$\alpha = x(1-y)(1-z)$,$\beta = y(1-x)(1-z)$,$\gamma = z(1-x)(1-y)$,और $p = (1-x)(1-y)(1-z)$.
इनसे,हम लिख सकते हैं:
$\frac{\alpha}{p} = \frac{x}{1-x}$,$\frac{\beta}{p} = \frac{y}{1-y}$,और $\frac{\gamma}{p} = \frac{z}{1-z}$.
दिए गए संबंध $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ को $p^2$ से विभाजित करने पर $\frac{\alpha}{p} - 2\frac{\beta}{p} = \frac{\alpha}{p} \cdot \frac{\beta}{p}$ प्राप्त होता है।
$u = \frac{x}{1-x}, v = \frac{y}{1-y}, w = \frac{z}{1-z}$ रखने पर,हमें $u - 2v = uv \Rightarrow u(1-v) = 2v \Rightarrow u = \frac{2v}{1-v}$ मिलता है।
इसी प्रकार,$(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma \Rightarrow \frac{\beta}{p} - 3\frac{\gamma}{p} = 2\frac{\beta}{p} \cdot \frac{\gamma}{p} \Rightarrow v - 3w = 2vw \Rightarrow v = \frac{3w}{1-2w}$.
इन संबंधों को हल करने पर $x = 2y$ और $y = 3z$ प्राप्त होता है,अतः $x = 6z$।
इस प्रकार,अनुपात $\frac{P(E_1)}{P(E_3)} = \frac{x}{z} = 6$ है।

(B,D) दिया गया सीमा $L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{r=1}^n r^a}{(n+1)^{a-1} \sum_{r=1}^n (na+r)}$ है।
सबसे पहले,हर का योग ज्ञात करें: $\sum_{r=1}^n (na+r) = n^2a + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2n^2a + n^2 + n}{2} = \frac{n^2(2a+1) + n}{2}$.
इस मान को सीमा व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{r=1}^n r^a}{(n+1)^{a-1} \cdot \frac{n^2(2a+1) + n}{2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \sum_{r=1}^n r^a}{(n+1)^{a-1} n^2(2a+1) (1 + \frac{1}{n(2a+1)})}$.
चूंकि $n \to \infty$ होने पर $(n+1)^{a-1} \approx n^{a-1}$,व्यंजक हो जाता है:
$L = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \sum_{r=1}^n r^a}{n^{a-1} n^2 (2a+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \sum_{r=1}^n r^a}{n^{a+1} (2a+1)} = \frac{2}{2a+1} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \left(\frac{r}{n}\right)^a$.
निश्चित समाकलन की परिभाषा $\int_0^1 x^a dx = \frac{1}{a+1}$ का उपयोग करते हुए:
$L = \frac{2}{(2a+1)(a+1)} = \frac{1}{60}$.
अतः,$(2a+1)(a+1) = 120 \implies 2a^2 + 3a + 1 = 120 \implies 2a^2 + 3a - 119 = 0$.
द्विघात सूत्र $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके हल करने पर:
$a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(2)(-119)}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 952}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{961}}{4} = \frac{-3 \pm 31}{4}$.
इससे हमें $a = \frac{28}{4} = 7$ या $a = \frac{-34}{4} = \frac{-17}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a$ के मान $7$ और $\frac{-17}{2}$ हैं।

(D) रेखाएँ $L_1: x=5, \frac{y}{3-\alpha}=\frac{z}{-2}$ और $L_2: x=\alpha, \frac{y}{-1}=\frac{z}{2-\alpha}$ दी गई हैं।
$L_1$ को मानक रूप में लिखने पर: $\frac{x-5}{0} = \frac{y}{3-\alpha} = \frac{z}{-2}$.
$L_2$ को मानक रूप में लिखने पर: $\frac{x-\alpha}{0} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2-\alpha}$.
दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि $\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$ हो।
मान रखने पर: $\left|\begin{array}{ccc} \alpha-5 & 0 & 0 \\ 0 & 3-\alpha & -2 \\ 0 & -1 & 2-\alpha \end{array}\right| = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $(\alpha-5) [(3-\alpha)(2-\alpha) - (-2)(-1)] = 0$.
$(\alpha-5) [6 - 3\alpha - 2\alpha + \alpha^2 - 2] = 0$.
$(\alpha-5) (\alpha^2 - 5\alpha + 4) = 0$.
$(\alpha-5)(\alpha-1)(\alpha-4) = 0$.
अतः,$\alpha = 1, 4, 5$। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $(A, D)$ है।

(B,C,D) आव्यूह $P$ को $p_{ij} = \omega^{i+j}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
हम $P$ को दो स्तंभ सदिशों के गुणनफल के रूप में लिख सकते हैं: $P = uv^T$,जहाँ $u = [\omega^1, \omega^2, \dots, \omega^n]^T$ और $v = [\omega^1, \omega^2, \dots, \omega^n]^T$ है।
अतः $P^2 = (uv^T)(uv^T) = u(v^Tu)v^T$ होगा।
चूँकि $v^Tu = \sum_{k=1}^n \omega^{k+k} = \sum_{k=1}^n \omega^{2k}$,इसलिए $P^2 = 0$ तभी होगा जब $v^Tu = 0$ हो।
योग $S = \sum_{k=1}^n \omega^{2k}$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $\omega^2$ और सार्व अनुपात $\omega^2$ है।
$S = \omega^2 \frac{1-(\omega^2)^n}{1-\omega^2} = \omega^2 \frac{1-\omega^{2n}}{1-\omega^2}$।
$S = 0$ तभी होगा जब $1 - \omega^{2n} = 0$ हो,जिसका अर्थ है $\omega^{2n} = 1$।
चूँकि $\omega^3 = 1$,यह तब होता है जब $2n$,$3$ का गुणज हो,अर्थात $n$,$3$ का गुणज हो।
अतः,$P^2 \neq 0$ तब होगा जब $n$,$3$ का गुणज न हो।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(A) 57 = 3 \times 19$ ($3$ का गुणज है)
$(B) 55$ ($3$ का गुणज नहीं है)
$(C) 58$ ($3$ का गुणज नहीं है)
$(D) 56$ ($3$ का गुणज नहीं है)
इसलिए,$n = 55, 58, 56$ के लिए $P^2 \neq 0$ होगा।

(D) दिया गया फलन $f(x) = 2|x| + |x+2| - ||x+2| - 2|x||$ है।
विभिन्न अंतरालों में फलन का विश्लेषण करने पर:
$1$. $x \leq -2$ के लिए: $f(x) = -2x - 4$.
$2$. $-2 < x \leq -2/3$ के लिए: $f(x) = 2x + 4$.
$3$. $-2/3 < x \leq 0$ के लिए: $f(x) = -4x$.
$4$. $0 < x \leq 2$ के लिए: $f(x) = 4x$.
$5$. $x > 2$ के लिए: $f(x) = 2x + 4$.
फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = \begin{cases} -2x-4, & x \leq -2 \\ 2x+4, & -2 < x \leq -2/3 \\ -4x, & -2/3 < x \leq 0 \\ 4x, & 0 < x \leq 2 \\ 2x+4, & x > 2 \end{cases}$
ग्राफ और फलन की परिभाषा से:
स्थानीय न्यूनतम मान $x = -2$ और $x = 0$ पर प्राप्त होते हैं।
स्थानीय अधिकतम मान $x = -2/3$ पर प्राप्त होता है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$x = -2$ और $x = -2/3$ विकल्प $(A)$ और $(B)$ को दर्शाते हैं। अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) $1.$ दिया गया है $f^{\prime \prime}(x)-2 f^{\prime}(x)+f(x) \geq e^x$. $e^{-x}$ से गुणा करने पर,हमें $e^{-x}f^{\prime \prime}(x) - 2e^{-x}f^{\prime}(x) + e^{-x}f(x) \geq 1$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{d^2}{dx^2}(e^{-x}f(x)) \geq 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। मान लीजिए $g(x) = e^{-x}f(x)$ है। तब $g^{\prime \prime}(x) \geq 1$ है।
चूंकि $f(0)=f(1)=0$,इसलिए $g(0)=0$ और $g(1)=0$ है। चूंकि $g^{\prime \prime}(x) > 0$ है,इसलिए $g(x)$ सख्ती से उत्तल (convex) है। $g(0)=g(1)=0$ वाला एक उत्तल फलन $(0,1)$ में ऋणात्मक होना चाहिए। अतः $g(x) < 0 \Rightarrow e^{-x}f(x) < 0 \Rightarrow f(x) < 0$। यह विकल्प $(D)$ से मेल खाता है।
$2.$ चूंकि $g(x) = e^{-x}f(x)$ का न्यूनतम मान $x=1/4$ पर है,इसलिए $g^{\prime}(1/4) = 0$ है। $x < 1/4$ के लिए,$g^{\prime}(x) < 0$ और $x > 1/4$ के लिए,$g^{\prime}(x) > 0$ है।
$g^{\prime}(x) = e^{-x}f^{\prime}(x) - e^{-x}f(x) = e^{-x}(f^{\prime}(x) - f(x))$ है।
$x \in (0, 1/4)$ के लिए,$g^{\prime}(x) < 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) - f(x) < 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) < f(x)$ है।
$x \in (1/4, 1)$ के लिए,$g^{\prime}(x) > 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) - f(x) > 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) > f(x)$ है।
अतः,$(B)$ और $(C)$ सत्य हैं।

(A, D) $1.$ तीनों गेंदों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता $P(WWW) + P(RRR) + P(BBB)$ द्वारा दी जाती है।
$P(WWW) = \frac{1}{6} \times \frac{2}{9} \times \frac{3}{12} = \frac{6}{648}$
$P(RRR) = \frac{3}{6} \times \frac{3}{9} \times \frac{4}{12} = \frac{36}{648}$
$P(BBB) = \frac{2}{6} \times \frac{4}{9} \times \frac{5}{12} = \frac{40}{648}$
इनका योग करने पर,हमें $\frac{6+36+40}{648} = \frac{82}{648}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
$2.$ मान लीजिए $E$ एक सफेद और एक लाल गेंद निकालने की घटना है। मान लीजिए $B_1, B_2, B_3$ संबंधित बॉक्स चुनने की घटनाएं हैं।
$P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = \frac{1}{3}$.
$P(E|B_1) = \frac{\binom{1}{1} \times \binom{3}{1}}{\binom{6}{2}} = \frac{1 \times 3}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.
$P(E|B_2) = \frac{\binom{2}{1} \times \binom{3}{1}}{\binom{9}{2}} = \frac{2 \times 3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$P(E|B_3) = \frac{\binom{3}{1} \times \binom{4}{1}}{\binom{12}{2}} = \frac{3 \times 4}{66} = \frac{12}{66} = \frac{2}{11}$.
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(B_2|E) = \frac{P(B_2)P(E|B_2)}{P(B_1)P(E|B_1) + P(B_2)P(E|B_2) + P(B_3)P(E|B_3)}$.
$P(B_2|E) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{6}}{\frac{1}{3} \times (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{2}{11})} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{66+55+60}{330}} = \frac{1}{6} \times \frac{330}{181} = \frac{55}{181}$. अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) $(P)$ $\left(\frac{1}{y^2}\left(\frac{\cos (\tan ^{-1} y)+y \sin (\tan ^{-1} y)}{\cot (\sin ^{-1} y)+\tan (\sin ^{-1} y)}\right)^2+y^4\right)^{1 / 2}$
$= \left[\frac{1}{y^2}\left[\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{y \cdot y}{\sqrt{1+y^2}}\right)}{\left(\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right)}\right]^2+y^4\right]^{1 / 2}$
$= \left(\frac{1}{y^2} \cdot y^2(1-y^4)+y^4\right)^{1 / 2} = 1$
$(Q)$ $\cos x+\cos y=-\cos z$ और $\sin x+\sin y=-\sin z$.
दोनों पक्षों का वर्ग करके जोड़ने पर: $(\cos x+\cos y)^2 + (\sin x+\sin y)^2 = \cos^2 z + \sin^2 z = 1$.
$2 + 2\cos(x-y) = 1 \Rightarrow \cos(x-y) = -1/2$.
$\cos(x-y) = 2\cos^2(\frac{x-y}{2}) - 1 = -1/2 \Rightarrow 2\cos^2(\frac{x-y}{2}) = 1/2 \Rightarrow \cos^2(\frac{x-y}{2}) = 1/4 \Rightarrow \cos(\frac{x-y}{2}) = 1/2$.
$(R)$ $\cos 2 x(\cos (\frac{\pi}{4}-x)-\cos (\frac{\pi}{4}+x)) = 2 \sin x \cos x - 2 \sin^2 x = 2 \sin x (\cos x - \sin x)$.
$\cos 2 x(\sqrt{2} \sin x) = 2 \sin x (\cos x - \sin x)$.
$\sqrt{2} \sin x [\cos 2 x - \sqrt{2}(\cos x - \sin x)] = 0$.
$\sin x = 0$ या $\cos^2 x - \sin^2 x = \sqrt{2}(\cos x - \sin x) \Rightarrow (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x - \sqrt{2}) = 0$.
$\sec x = \sqrt{2}$.
$(S)$ $\cot (\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
$\sin (\tan ^{-1}(x \sqrt{6})) = \frac{x \sqrt{6}}{\sqrt{1+6 x^2}}$.
$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x \sqrt{6}}{\sqrt{1+6 x^2}} \Rightarrow 1+6x^2 = 6(1-x^2) = 6-6x^2 \Rightarrow 12x^2 = 5 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{3}}$.

(C) $(P)$ दिया है $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 2$। सदिशों $2(\vec{a} \times \vec{b}), 3(\vec{b} \times \vec{c})$ और $(\vec{c} \times \vec{a})$ द्वारा निर्धारित समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|2(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (3(\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{c} \times \vec{a}))|$ द्वारा प्राप्त होता है।
गुणधर्म $(\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{c} \times \vec{a}) = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] \vec{c} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{c}$ का उपयोग करने पर,हमें $6[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 6(2)^2 = 24$ प्राप्त होता है।
अतः,$P \rightarrow 3$।
$(Q)$ दिया है $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 5$। आयतन $[3(\vec{a}+\vec{b}) \quad (\vec{b}+\vec{c}) \quad 2(\vec{c}+\vec{a})] = 6 [(\vec{a}+\vec{b}) \cdot ((\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a}))]$ है।
चूँकि $(\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{a}$,इसलिए त्रिक गुणनफल $6 \times 2 [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 12 \times 5 = 60$ हो जाता है।
अतः,$Q \rightarrow 4$।
$(R)$ त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = 20$,इसलिए $|\vec{a} \times \vec{b}| = 40$। नया क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |(2\vec{a}+3\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b})| = \frac{1}{2} |-2(\vec{a} \times \vec{b}) + 3(\vec{b} \times \vec{a})| = \frac{1}{2} |-2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3(\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{5}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{5}{2} \times 40 = 100$ है।
अतः,$R \rightarrow 1$।
$(S)$ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= |\vec{a} \times \vec{b}| = 30$। नया क्षेत्रफल $|(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{a}| = |\vec{a} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{a}| = |\vec{b} \times \vec{a}| = |\vec{a} \times \vec{b}| = 30$ है।
अतः,$S \rightarrow 2$।

(A) अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$P_1$ और $P_2$ के अभिलंबों के लंबवत है। अतः,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & -6 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6-10) - \hat{j}(-42-6) + \hat{k}(35-3) = -16\hat{i} + 48\hat{j} + 32\hat{k}$.
$-16$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$ प्राप्त होता है।
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$L_1: (2k_1+1, -k_1, k_1-3)$ और $L_2: (k_2+4, k_2-3, 2k_2-3)$ लें।
निर्देशांकों की तुलना करने पर: $2k_1+1 = k_2+4 \Rightarrow 2k_1 - k_2 = 3$ और $-k_1 = k_2-3 \Rightarrow k_1+k_2 = 3$.
इनका योग करने पर $3k_1 = 6 \Rightarrow k_1 = 2$ प्राप्त होता है। अतः $k_2 = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु: $(2(2)+1, -2, 2-3) = (5, -2, -1)$.
समतल का समीकरण $1(x-5) - 3(y+2) - 2(z+1) = 0 \Rightarrow x - 3y - 2z - 5 - 6 - 2 = 0 \Rightarrow x - 3y - 2z = 13$ है।
$ax+by+cz=d$ से तुलना करने पर,हमें $a=1, b=-3, c=-2, d=13$ प्राप्त होता है।
अतः,$P-3, Q-2, R-4, S-1$. सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sec \left(\frac{y}{x}\right)$.
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \sec v$
$x \frac{dv}{dx} = \sec v$
$\cos v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \cos v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$
$\sin v = \log x + C$.
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + C$.
वक्र बिंदु $\left(1, \frac{\pi}{6}\right)$ से गुजरता है,इसलिए:
$\sin \left(\frac{\pi/6}{1}\right) = \log(1) + C$
$\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 0 + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.
अतः,वक्र का समीकरण $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + \frac{1}{2}$ है।

(B) हम जानते हैं कि $\sum_{k=1}^n 2k = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\cot \left(\sum_{n=1}^{23} \cot ^{-1}(1+n(n+1))\right)$ प्राप्त होता है।
$x > 0$ के लिए सर्वसमिका $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\cot \left(\sum_{n=1}^{23} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+n(n+1)}\right)\right)$ बन जाता है।
हम $\tan^{-1}$ के तर्क को $\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}$ के रूप में लिख सकते हैं,जो हमें सूत्र $\tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}(\frac{a-b}{1+ab})$ का उपयोग करने की अनुमति देता है।
अतः,$\sum_{n=1}^{23} \tan ^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}\right) = \sum_{n=1}^{23} (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n))$.
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $(\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + (\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)) + \dots + (\tan^{-1}(24) - \tan^{-1}(23)) = \tan^{-1}(24) - \tan^{-1}(1)$.
अब,$\cot(\tan^{-1}(24) - \tan^{-1}(1)) = \cot(\tan^{-1}(\frac{24-1}{1+24 \times 1})) = \cot(\tan^{-1}(\frac{23}{25}))$.
चूंकि $\cot(\tan^{-1}(x)) = \cot(\cot^{-1}(\frac{1}{x})) = \frac{1}{x}$,इसलिए $\cot(\tan^{-1}(\frac{23}{25})) = \frac{25}{23}$.