एक बॉक्स $B_1$ में $1$ सफेद गेंद,$3$ लाल गेंदें और $2$ काली गेंदें हैं। दूसरे बॉक्स $B_2$ में $2$ सफेद गेंदें,$3$ लाल गेंदें और $4$ काली गेंदें हैं। तीसरे बॉक्स $B_3$ में $3$ सफेद गेंदें,$4$ लाल गेंदें और $5$ काली गेंदें हैं।
$1.$ यदि प्रत्येक बॉक्स $B_1, B_2$ और $B_3$ में से $1$ गेंद निकाली जाती है,तो तीनों गेंदों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता क्या है?
$(A)$ $\frac{82}{648}$ $(B)$ $\frac{90}{648}$ $(C)$ $\frac{558}{648}$ $(D)$ $\frac{566}{648}$
$2.$ यदि यादृच्छिक रूप से चुने गए बॉक्स से $2$ गेंदें (बिना प्रतिस्थापन के) निकाली जाती हैं और उनमें से एक गेंद सफेद और दूसरी लाल है,तो इन $2$ गेंदों के बॉक्स $B_2$ से निकाले जाने की प्रायिकता क्या है?
$(A)$ $\frac{116}{181}$ $(B)$ $\frac{126}{181}$ $(C)$ $\frac{65}{181}$ $(D)$ $\frac{55}{181}$
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए सही विकल्प चुनें।
$1.$ यदि प्रत्येक बॉक्स $B_1, B_2$ और $B_3$ में से $1$ गेंद निकाली जाती है,तो तीनों गेंदों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता क्या है?
$(A)$ $\frac{82}{648}$ $(B)$ $\frac{90}{648}$ $(C)$ $\frac{558}{648}$ $(D)$ $\frac{566}{648}$
$2.$ यदि यादृच्छिक रूप से चुने गए बॉक्स से $2$ गेंदें (बिना प्रतिस्थापन के) निकाली जाती हैं और उनमें से एक गेंद सफेद और दूसरी लाल है,तो इन $2$ गेंदों के बॉक्स $B_2$ से निकाले जाने की प्रायिकता क्या है?
$(A)$ $\frac{116}{181}$ $(B)$ $\frac{126}{181}$ $(C)$ $\frac{65}{181}$ $(D)$ $\frac{55}{181}$
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए सही विकल्प चुनें।
- A$(A, D)$
- B$(B, D)$
- C$(B, C)$
- D$(A, C)$
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आकृति में $6 \times 6$ वर्ग ग्रिड पर विचार करें। मान लीजिए $A_1, A_2, \ldots, A_{49}$ प्रतिच्छेदन बिंदु (चित्र में बिंदु) हैं। हम कहते हैं कि $A_i$ और $A_j$ मित्र हैं यदि वे एक पंक्ति या एक स्तंभ के साथ आसन्न हैं। मान लीजिए कि प्रत्येक बिंदु $A_i$ के चुने जाने की समान संभावना है।
$(1)$ मान लीजिए $p_i$ वह प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से चुने गए बिंदु के $i$ मित्र हैं,$i=0, 1, 2, 3, 4$। मान लीजिए $X$ एक यादृच्छिक चर है जैसे कि $i=0, 1, 2, 3, 4$ के लिए,प्रायिकता $P(X=i)=p_i$ है। तो $7 E(X)$ का मान क्या है?
$(2)$ बिंदुओं $A_1, A_2, \ldots, A_{49}$ में से दो अलग-अलग बिंदु यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं। मान लीजिए $p$ वह प्रायिकता है कि वे मित्र हैं। तो $7 p$ का मान क्या है?
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$(2)$ बिंदुओं $A_1, A_2, \ldots, A_{49}$ में से दो अलग-अलग बिंदु यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं। मान लीजिए $p$ वह प्रायिकता है कि वे मित्र हैं। तो $7 p$ का मान क्या है?
DifficultIIT 2023
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Medium
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एक बैटरी निर्माण कारखाने में,मशीनें $P$,$Q$ और $R$ कुल उत्पादन का क्रमशः $20 \%$,$30 \%$ और $50 \%$ निर्माण करती हैं। इन मशीनों द्वारा दोषपूर्ण बैटरी बनने की संभावना क्रमशः $1 \%$,$1.5 \%$ और $2 \%$ है। यदि उत्पादन से यादृच्छिक रूप से एक बैटरी चुनी जाती है,तो उसके दोषपूर्ण होने की प्रायिकता क्या है?
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