MathematicsQ1–36 of 36 questions
Page 1 of 1 · Gujarati
1
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
ધારો કે સંકર સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\frac{1}{\bar{\alpha}}$ અનુક્રમે વર્તુળો $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$ અને $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=4r^2$ પર આવેલા છે. જો $z_0=x_0+iy_0$ એ સમીકરણ $2|z_0|^2=r^2+2$ નું સમાધાન કરે,તો $|\alpha|=$
A
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
B
$\frac{1}{2}$
C
$\frac{1}{\sqrt{7}}$
D
$\frac{1}{3}$
Solution
(C) આપેલ વર્તુળો $|z-z_0|=r$ અને $|z-z_0|=2r$ છે.
$\alpha$ પ્રથમ વર્તુળ પર હોવાથી,$|\alpha-z_0|=r$,જેનો અર્થ છે $|\alpha-z_0|^2=r^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$|\alpha|^2 - z_0\bar{\alpha} - \bar{z}_0\alpha + |z_0|^2 = r^2$ $(1)$.
$\frac{1}{\bar{\alpha}}$ બીજા વર્તુળ પર હોવાથી,$|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|=2r$,જેનો અર્થ છે $|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|^2=4r^2$.
$\bar{\alpha}\alpha = |\alpha|^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$|\frac{\alpha}{|\alpha|^2}-z_0|^2=4r^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$\frac{1}{|\alpha|^2} - \frac{z_0\bar{\alpha}}{|\alpha|^2} - \frac{\bar{z}_0\alpha}{|\alpha|^2} + |z_0|^2 = 4r^2$.
$|\alpha|^2$ વડે ગુણતા,$1 - z_0\bar{\alpha} - \bar{z}_0\alpha + |z_0|^2|\alpha|^2 = 4r^2|\alpha|^2$ $(2)$.
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,$(|z_0|^2|\alpha|^2 - |z_0|^2) + (1 - |\alpha|^2) = 4r^2|\alpha|^2 - r^2$.
$|z_0|^2(|\alpha|^2-1) - (|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$(|z_0|^2-1)(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
આપેલ છે કે $2|z_0|^2 = r^2+2$,તેથી $|z_0|^2 = \frac{r^2+2}{2}$.
આ કિંમત મૂકતા,$(\frac{r^2+2}{2}-1)(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$\frac{r^2}{2}(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$\frac{1}{2}|\alpha|^2 - \frac{1}{2} = 4|\alpha|^2 - 1$.
$\frac{1}{2} = \frac{7}{2}|\alpha|^2$.
$|\alpha|^2 = \frac{1}{7} \Rightarrow |\alpha| = \frac{1}{\sqrt{7}}$.
$\alpha$ પ્રથમ વર્તુળ પર હોવાથી,$|\alpha-z_0|=r$,જેનો અર્થ છે $|\alpha-z_0|^2=r^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$|\alpha|^2 - z_0\bar{\alpha} - \bar{z}_0\alpha + |z_0|^2 = r^2$ $(1)$.
$\frac{1}{\bar{\alpha}}$ બીજા વર્તુળ પર હોવાથી,$|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|=2r$,જેનો અર્થ છે $|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|^2=4r^2$.
$\bar{\alpha}\alpha = |\alpha|^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$|\frac{\alpha}{|\alpha|^2}-z_0|^2=4r^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$\frac{1}{|\alpha|^2} - \frac{z_0\bar{\alpha}}{|\alpha|^2} - \frac{\bar{z}_0\alpha}{|\alpha|^2} + |z_0|^2 = 4r^2$.
$|\alpha|^2$ વડે ગુણતા,$1 - z_0\bar{\alpha} - \bar{z}_0\alpha + |z_0|^2|\alpha|^2 = 4r^2|\alpha|^2$ $(2)$.
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,$(|z_0|^2|\alpha|^2 - |z_0|^2) + (1 - |\alpha|^2) = 4r^2|\alpha|^2 - r^2$.
$|z_0|^2(|\alpha|^2-1) - (|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$(|z_0|^2-1)(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
આપેલ છે કે $2|z_0|^2 = r^2+2$,તેથી $|z_0|^2 = \frac{r^2+2}{2}$.
આ કિંમત મૂકતા,$(\frac{r^2+2}{2}-1)(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$\frac{r^2}{2}(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$\frac{1}{2}|\alpha|^2 - \frac{1}{2} = 4|\alpha|^2 - 1$.
$\frac{1}{2} = \frac{7}{2}|\alpha|^2$.
$|\alpha|^2 = \frac{1}{7} \Rightarrow |\alpha| = \frac{1}{\sqrt{7}}$.
0 likesView Solution
2
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
$a > b > c > 0$ માટે,$(1,1)$ અને રેખાઓ $ax + by + c = 0$ તથા $bx + ay + c = 0$ ના છેદબિંદુ વચ્ચેનું અંતર $2\sqrt{2}$ કરતા ઓછું છે. તો:
A
$a + b - c > 0$
B
$a - b + c < 0$
C
$a - b + c > 0$
D
$a + b - c < 0$
Solution
(A) આપેલ રેખાઓ $ax + by + c = 0$ અને $bx + ay + c = 0$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(a - b)x + (b - a)y = 0 \Rightarrow (a - b)(x - y) = 0$.
$a > b$ હોવાથી,$a - b \neq 0$,તેથી $x = y$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $x = y$ મુકતા: $ax + bx + c = 0$ $\Rightarrow x(a + b) = -c$ $\Rightarrow x = \frac{-c}{a + b}$.
આમ,છેદબિંદુ $P = \left(\frac{-c}{a + b}, \frac{-c}{a + b}\right)$ છે.
$(1, 1)$ અને $P$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(1 - (\frac{-c}{a + b}))^2 + (1 - (\frac{-c}{a + b}))^2} < 2\sqrt{2}$ છે.
$\sqrt{2(1 + \frac{c}{a + b})^2} < 2\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2}(1 + \frac{c}{a + b}) < 2\sqrt{2}$.
$1 + \frac{c}{a + b} < 2$ $\Rightarrow \frac{c}{a + b} < 1$ $\Rightarrow c < a + b$.
આ સૂચવે છે કે $a + b - c > 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(a - b)x + (b - a)y = 0 \Rightarrow (a - b)(x - y) = 0$.
$a > b$ હોવાથી,$a - b \neq 0$,તેથી $x = y$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $x = y$ મુકતા: $ax + bx + c = 0$ $\Rightarrow x(a + b) = -c$ $\Rightarrow x = \frac{-c}{a + b}$.
આમ,છેદબિંદુ $P = \left(\frac{-c}{a + b}, \frac{-c}{a + b}\right)$ છે.
$(1, 1)$ અને $P$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{(1 - (\frac{-c}{a + b}))^2 + (1 - (\frac{-c}{a + b}))^2} < 2\sqrt{2}$ છે.
$\sqrt{2(1 + \frac{c}{a + b})^2} < 2\sqrt{2} \Rightarrow \sqrt{2}(1 + \frac{c}{a + b}) < 2\sqrt{2}$.
$1 + \frac{c}{a + b} < 2$ $\Rightarrow \frac{c}{a + b} < 1$ $\Rightarrow c < a + b$.
આ સૂચવે છે કે $a + b - c > 0$.
0 likesView Solution
3
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 2013
ચાર વ્યક્તિઓ સ્વતંત્ર રીતે એક ચોક્કસ સમસ્યાને $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}$ સંભાવના સાથે યોગ્ય રીતે ઉકેલે છે. તો સમસ્યા ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિ દ્વારા યોગ્ય રીતે ઉકેલાય તેની સંભાવના કેટલી છે?
A
$\frac{235}{256}$
B
$\frac{21}{256}$
C
$\frac{3}{256}$
D
$\frac{253}{256}$
Solution
(A) ધારો કે $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{3}{4}, P(C) = \frac{1}{4}, P(D) = \frac{1}{8}$ એ સમસ્યાને યોગ્ય રીતે ઉકેલવાની સંભાવનાઓ છે.
સમસ્યા કોઈના દ્વારા ઉકેલાતી નથી તેની સંભાવના $P(\overline{A}) \times P(\overline{B}) \times P(\overline{C}) \times P(\overline{D})$ છે.
$P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(\overline{B}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$P(\overline{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(\overline{D}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$
$P(\text{કોઈ ઉકેલતું નથી}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{7}{8} = \frac{21}{256}$
સમસ્યા ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિ દ્વારા ઉકેલાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈ ઉકેલતું નથી}) = 1 - \frac{21}{256} = \frac{235}{256}$ છે.
સમસ્યા કોઈના દ્વારા ઉકેલાતી નથી તેની સંભાવના $P(\overline{A}) \times P(\overline{B}) \times P(\overline{C}) \times P(\overline{D})$ છે.
$P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(\overline{B}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$P(\overline{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(\overline{D}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$
$P(\text{કોઈ ઉકેલતું નથી}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{7}{8} = \frac{21}{256}$
સમસ્યા ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિ દ્વારા ઉકેલાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈ ઉકેલતું નથી}) = 1 - \frac{21}{256} = \frac{235}{256}$ છે.
0 likesView Solution
4
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2013
ધારો કે $S_n = \sum_{k=1}^{4n} (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} k^2$. તો $S_n$ કઈ કિંમત(ઓ) ધારણ કરી શકે?
$(A) 1056$
$(B) 1088$
$(C) 1120$
$(D) 1332$
$(A) 1056$
$(B) 1088$
$(C) 1120$
$(D) 1332$
A
$(A, D)$
B
$(B, D)$
C
$(B, C)$
D
$(A, C)$
Solution
(A,D) આપેલ સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^{4n} (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} k^2$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$S_n = -1^2 - 2^2 + 3^2 + 4^2 - 5^2 - 6^2 + 7^2 + 8^2 + \dots + (-1)^{\frac{4n(4n+1)}{2}} (4n)^2$.
ચાર-ચાર પદોના જૂથ બનાવતા:
$S_n = (3^2 - 1^2) + (4^2 - 2^2) + (7^2 - 5^2) + (8^2 - 6^2) + \dots + ((4n-1)^2 - (4n-3)^2) + ((4n)^2 - (4n-2)^2)$.
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = 2(4) + 2(6) + 2(12) + 2(14) + \dots + 2(8n-4) + 2(8n-2)$.
$S_n = 2 [ (4 + 12 + \dots + 8n-4) + (6 + 14 + \dots + 8n-2) ]$.
બંને શ્રેણીઓ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $n$ પદો છે.
પ્રથમ શ્રેણીનો સરવાળો $= 4n^2$.
બીજી શ્રેણીનો સરવાળો $= 4n^2 + 2n$.
$S_n = 2 [ 8n^2 + 2n ] = 4n(4n+1)$.
$n=8$ માટે,$S_8 = 1056$.
$n=9$ માટે,$S_9 = 1332$.
આમ,$S_n$ ની કિંમતો $1056$ અને $1332$ મળે છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$S_n = -1^2 - 2^2 + 3^2 + 4^2 - 5^2 - 6^2 + 7^2 + 8^2 + \dots + (-1)^{\frac{4n(4n+1)}{2}} (4n)^2$.
ચાર-ચાર પદોના જૂથ બનાવતા:
$S_n = (3^2 - 1^2) + (4^2 - 2^2) + (7^2 - 5^2) + (8^2 - 6^2) + \dots + ((4n-1)^2 - (4n-3)^2) + ((4n)^2 - (4n-2)^2)$.
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = 2(4) + 2(6) + 2(12) + 2(14) + \dots + 2(8n-4) + 2(8n-2)$.
$S_n = 2 [ (4 + 12 + \dots + 8n-4) + (6 + 14 + \dots + 8n-2) ]$.
બંને શ્રેણીઓ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $n$ પદો છે.
પ્રથમ શ્રેણીનો સરવાળો $= 4n^2$.
બીજી શ્રેણીનો સરવાળો $= 4n^2 + 2n$.
$S_n = 2 [ 8n^2 + 2n ] = 4n(4n+1)$.
$n=8$ માટે,$S_8 = 1056$.
$n=9$ માટે,$S_9 = 1332$.
આમ,$S_n$ ની કિંમતો $1056$ અને $1332$ મળે છે.
0 likesView Solution
5
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
બિંદુ $(h, 0)$ માંથી પસાર થતી એક શિરોલંબ રેખા ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ને બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. ધારો કે $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો બિંદુ $R$ માં મળે છે. જો $\Delta(h)=$ ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ,$\Delta_1=\max _{1 / 2 \leq h \leq 1} \Delta(h)$ અને $\Delta_2=\min _{1 / 2 \leq h \leq 1} \Delta(h)$ હોય,તો $\frac{8}{\sqrt{5}} \Delta_1-8 \Delta_2=$
A
$6$
B
$7$
C
$8$
D
$9$
Solution
(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ છે. $P = (h, y_0)$ અને $Q = (h, -y_0)$ લો. $P$ ઉપવલય પર હોવાથી,$y_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{4-h^2}$.
$P(h, y_0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xh}{4}+\frac{yy_0}{3}=1$ છે. $y=0$ લેતા,$x = \frac{4}{h}$ મળે. તેથી,$R = (\frac{4}{h}, 0)$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta(h) = \frac{1}{2} \times (2y_0) \times (\frac{4}{h}-h) = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{(4-h^2)^{3/2}}{h}$.
$h = 2\cos \theta$ લેતા,$h \in [1/2, 1] \implies \cos \theta \in [1/4, 1/2]$.
$\Delta(\theta) = 2\sqrt{3} \frac{\sin^3 \theta}{\cos \theta}$.
$\Delta$ એ $\theta$ સાથે વધતું વિધેય છે. જેમ $\cos \theta$ ઘટે છે,તેમ $\Delta$ વધે છે.
$\Delta_2 = \Delta(h=1) = 4.5$.
$\Delta_1 = \Delta(h=1/2) = \frac{45\sqrt{5}}{8}$.
તેથી,$\frac{8}{\sqrt{5}} \Delta_1 - 8 \Delta_2 = 45 - 36 = 9$.
$P(h, y_0)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xh}{4}+\frac{yy_0}{3}=1$ છે. $y=0$ લેતા,$x = \frac{4}{h}$ મળે. તેથી,$R = (\frac{4}{h}, 0)$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta(h) = \frac{1}{2} \times (2y_0) \times (\frac{4}{h}-h) = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{(4-h^2)^{3/2}}{h}$.
$h = 2\cos \theta$ લેતા,$h \in [1/2, 1] \implies \cos \theta \in [1/4, 1/2]$.
$\Delta(\theta) = 2\sqrt{3} \frac{\sin^3 \theta}{\cos \theta}$.
$\Delta$ એ $\theta$ સાથે વધતું વિધેય છે. જેમ $\cos \theta$ ઘટે છે,તેમ $\Delta$ વધે છે.
$\Delta_2 = \Delta(h=1) = 4.5$.
$\Delta_1 = \Delta(h=1/2) = \frac{45\sqrt{5}}{8}$.
તેથી,$\frac{8}{\sqrt{5}} \Delta_1 - 8 \Delta_2 = 45 - 36 = 9$.
0 likesView Solution
6
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
$(1+x)^{n+5}$ ના ત્રણ ક્રમિક પદોના સહગુણકોનો ગુણોત્તર $5: 10: 14$ છે. તો $n=$
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(B) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક પદો $T_r, T_{r+1}, T_{r+2}$ છે. તેમના સહગુણકો ${}^{n+5}C_{r-1}, {}^{n+5}C_r, {}^{n+5}C_{r+1}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર ${}^{n+5}C_{r-1} : {}^{n+5}C_r : {}^{n+5}C_{r+1} = 5 : 10 : 14$ છે.
$\frac{{}^{n+5}C_r}{{}^{n+5}C_{r-1}} = \frac{10}{5} = 2$ પરથી,$\frac{(n+5)-r+1}{r} = 2 \Rightarrow n+6 = 3r$.
$\frac{{}^{n+5}C_{r+1}}{{}^{n+5}C_r} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$ પરથી,$\frac{(n+5)-r}{r+1} = \frac{7}{5}$ $\Rightarrow 5n + 25 - 5r = 7r + 7$ $\Rightarrow 5n + 18 = 12r$.
$r = \frac{n+6}{3}$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $5n + 18 = 12(\frac{n+6}{3}) = 4(n+6) = 4n + 24$.
આમ,$n = 24 - 18 = 6$.
આપેલ ગુણોત્તર ${}^{n+5}C_{r-1} : {}^{n+5}C_r : {}^{n+5}C_{r+1} = 5 : 10 : 14$ છે.
$\frac{{}^{n+5}C_r}{{}^{n+5}C_{r-1}} = \frac{10}{5} = 2$ પરથી,$\frac{(n+5)-r+1}{r} = 2 \Rightarrow n+6 = 3r$.
$\frac{{}^{n+5}C_{r+1}}{{}^{n+5}C_r} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$ પરથી,$\frac{(n+5)-r}{r+1} = \frac{7}{5}$ $\Rightarrow 5n + 25 - 5r = 7r + 7$ $\Rightarrow 5n + 18 = 12r$.
$r = \frac{n+6}{3}$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $5n + 18 = 12(\frac{n+6}{3}) = 4(n+6) = 4n + 24$.
આમ,$n = 24 - 18 = 6$.
0 likesView Solution
7
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2013
$n$ કાર્ડ ધરાવતા એક પેકમાં $1$ થી $n$ સુધીના નંબર લખેલા છે. પેકમાંથી ક્રમિક નંબર ધરાવતા બે કાર્ડ દૂર કરવામાં આવે છે અને બાકી રહેલા કાર્ડ પરના નંબરનો સરવાળો $1224$ છે. જો દૂર કરેલા કાર્ડ પરના નાના નંબર $k$ હોય,તો $k - 20 =$
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(A) ધારો કે દૂર કરેલા કાર્ડ $k$ અને $k+1$ છે.
$1$ થી $n$ સુધીના તમામ કાર્ડનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ છે.
બાકી રહેલા કાર્ડનો સરવાળો $1224$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{n(n+1)}{2} - (k + k + 1) = 1224$
$n^2 + n - 2(2k + 1) = 2448$
$n^2 + n - 4k - 2 = 2448$
$n^2 + n - 2450 = 4k$
$(n + 50)(n - 49) = 4k$
$k$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$(n+50)(n-49)$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ અને $k < n$ હોવું જોઈએ.
$n = 50$ માટે:
$(50 + 50)(50 - 49) = 100 \times 1 = 100 = 4k \Rightarrow k = 25$.
$k < n$ $(25 < 50)$ હોવાથી,આ ઉકેલ માન્ય છે.
તેથી $k - 20 = 25 - 20 = 5$.
$1$ થી $n$ સુધીના તમામ કાર્ડનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ છે.
બાકી રહેલા કાર્ડનો સરવાળો $1224$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{n(n+1)}{2} - (k + k + 1) = 1224$
$n^2 + n - 2(2k + 1) = 2448$
$n^2 + n - 4k - 2 = 2448$
$n^2 + n - 2450 = 4k$
$(n + 50)(n - 49) = 4k$
$k$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$(n+50)(n-49)$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ અને $k < n$ હોવું જોઈએ.
$n = 50$ માટે:
$(50 + 50)(50 - 49) = 100 \times 1 = 100 = 4k \Rightarrow k = 25$.
$k < n$ $(25 < 50)$ હોવાથી,આ ઉકેલ માન્ય છે.
તેથી $k - 20 = 25 - 20 = 5$.
0 likesView Solution
8
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2013
$x$-અક્ષને ઉગમબિંદુથી $3$ ના અંતરે સ્પર્શતું અને $y$-અક્ષ પર $2 \sqrt{7}$ લંબાઈનો અંતઃખંડ બનાવતું વર્તુળ (વર્તુળો) કયું (કયા) છે?
A
$(A, D)$
B
$(B, D)$
C
$(B, C)$
D
$(A, C)$
Solution
(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને $(3, 0)$ અથવા $(-3, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(\pm 3, -f)$ છે અને ત્રિજ્યા $|f|$ છે.
$x$-અક્ષને સ્પર્શવાની શરત મુજબ $g^2 = c$ છે.
કેન્દ્રનો $x$-યામ $3$ અથવા $-3$ હોવાથી,$g = -3$ અથવા $g = 3$ મળે,તેથી $g^2 = 9$ અને $c = 9$ મળે.
$y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2 \sqrt{f^2 - c} = 2 \sqrt{7}$ છે,તેથી $f^2 - c = 7$.
$c = 9$ મૂકતા,$f^2 - 9 = 7$,એટલે કે $f^2 = 16$,તેથી $f = \pm 4$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x \pm 8y + 9 = 0$ મળે.
તેથી,સાચા વર્તુળો $x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0$ અને $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$ છે.
વર્તુળ $x$-અક્ષને $(3, 0)$ અથવા $(-3, 0)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(\pm 3, -f)$ છે અને ત્રિજ્યા $|f|$ છે.
$x$-અક્ષને સ્પર્શવાની શરત મુજબ $g^2 = c$ છે.
કેન્દ્રનો $x$-યામ $3$ અથવા $-3$ હોવાથી,$g = -3$ અથવા $g = 3$ મળે,તેથી $g^2 = 9$ અને $c = 9$ મળે.
$y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $2 \sqrt{f^2 - c} = 2 \sqrt{7}$ છે,તેથી $f^2 - c = 7$.
$c = 9$ મૂકતા,$f^2 - 9 = 7$,એટલે કે $f^2 = 16$,તેથી $f = \pm 4$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x \pm 8y + 9 = 0$ મળે.
તેથી,સાચા વર્તુળો $x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0$ અને $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$ છે.
0 likesView Solution
9
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2013
ત્રિકોણ $PQR$ માં,$P$ એ સૌથી મોટો ખૂણો છે અને $\cos P = \frac{1}{3}$ છે. વધુમાં,ત્રિકોણનું અંતઃવૃત બાજુઓ $PQ, QR$ અને $RP$ ને અનુક્રમે $N, L$ અને $M$ પર સ્પર્શે છે,જેથી $PN, QL$ અને $RM$ ની લંબાઈ ક્રમિક બેકી સંખ્યાઓ છે. તો ત્રિકોણની બાજુ(ઓ)ની શક્ય લંબાઈ(ઓ) છે:
$(A) 16$
$(B) 18$
$(C) 24$
$(D) 22$
$(A) 16$
$(B) 18$
$(C) 24$
$(D) 22$
A
$(A, D)$
B
$(B, D)$
C
$(B, C)$
D
$(A, C)$
Solution
(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓમાંથી સ્પર્શકોની લંબાઈ $x, y, z$ છે. આપેલ છે કે $PN=x, QL=y, RM=z$ ક્રમિક બેકી સંખ્યાઓ છે. ધારો કે $x=2n, y=2n+2, z=2n+4$.
$P$ સૌથી મોટો ખૂણો હોવાથી,$P$ ની સામેની બાજુ $(QR = y+z)$ સૌથી મોટી બાજુ હશે.
$QR = (2n+2) + (2n+4) = 4n+6$
$PQ = x+y = 4n+2$
$PR = x+z = 4n+4$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos P = \frac{PQ^2 + PR^2 - QR^2}{2(PQ)(PR)} = \frac{1}{3}$
સમીકરણ ઉકેલતા $n=4$ મળે છે.
તેથી બાજુઓ $PQ = 18, PR = 20, QR = 22$ થાય છે. શક્ય લંબાઈઓ $18$ અને $22$ છે.
$P$ સૌથી મોટો ખૂણો હોવાથી,$P$ ની સામેની બાજુ $(QR = y+z)$ સૌથી મોટી બાજુ હશે.
$QR = (2n+2) + (2n+4) = 4n+6$
$PQ = x+y = 4n+2$
$PR = x+z = 4n+4$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ: $\cos P = \frac{PQ^2 + PR^2 - QR^2}{2(PQ)(PR)} = \frac{1}{3}$
સમીકરણ ઉકેલતા $n=4$ મળે છે.
તેથી બાજુઓ $PQ = 18, PR = 20, QR = 22$ થાય છે. શક્ય લંબાઈઓ $18$ અને $22$ છે.
0 likesView Solution
10
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
ધારો કે $w = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ અને $P = \{w^n : n = 1, 2, 3, \ldots\}$. વધુમાં, $H_1 = \{z \in C : \operatorname{Re}(z) > \frac{1}{2}\}$ અને $H_2 = \{z \in C : \operatorname{Re}(z) < -\frac{1}{2}\}$, જ્યાં $C$ એ તમામ સંકર સંખ્યાઓનો ગણ છે. જો $z_1 \in P \cap H_1$, $z_2 \in P \cap H_2$, અને $O$ એ ઉગમબિંદુ દર્શાવે છે, તો $\angle z_1 O z_2$ શું હોઈ શકે?
A
$(A) \frac{\pi}{2}$
B
$(B) \frac{\pi}{6}$
C
$(C) \frac{2\pi}{3}$
D
$(D) \frac{5\pi}{6}$
Solution
(C) આપેલ છે કે $w = \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{i\pi/6}$.
તેથી, $P = \{e^{in\pi/6} : n = 1, 2, 3, \ldots\}$.
$H_1 = \{z : \operatorname{Re}(z) > 1/2\}$. $z = e^{in\pi/6} = \cos(n\pi/6) + i \sin(n\pi/6)$ માટે, $\operatorname{Re}(z) = \cos(n\pi/6) > 1/2$ નો અર્થ છે કે $n\pi/6 \in (0, \pi/3) \cup (5\pi/3, 2\pi)$. $n \in Z^+$ માટે, આનાથી $n = 1$ $(z_1 = e^{i\pi/6} = \frac{\sqrt{3}+i}{2})$ અને $n = 11$ $(z_1 = e^{i11\pi/6} = \frac{\sqrt{3}-i}{2})$ મળે છે.
$H_2 = \{z : \operatorname{Re}(z) < -1/2\}$. $\operatorname{Re}(z) = \cos(n\pi/6) < -1/2$ નો અર્થ છે કે $n\pi/6 \in (2\pi/3, 4\pi/3)$. $n \in Z^+$ માટે, આનાથી $n = 5$ $(z_2 = e^{i5\pi/6} = \frac{-\sqrt{3}+i}{2})$ અને $n = 7$ $(z_2 = e^{i7\pi/6} = \frac{-\sqrt{3}-i}{2})$ મળે છે.
શક્ય ખૂણાઓ $\angle z_1 O z_2$ એ કોણાંકનો તફાવત છે: $|\arg(z_1) - \arg(z_2)|$.
$z_1$ માટે શક્ય કોણાંક $\pm \pi/6$ છે. $z_2$ માટે શક્ય કોણાંક $\pm 5\pi/6$ છે.
તફાવતો $|5\pi/6 - \pi/6| = 4\pi/6 = 2\pi/3$, $|-5\pi/6 - \pi/6| = |-\pi| = \pi$, $|5\pi/6 - (-\pi/6)| = \pi$, અને $|-5\pi/6 - (-\pi/6)| = |-4\pi/6| = 2\pi/3$ છે.
તેથી, શક્ય મૂલ્યો $2\pi/3$ અને $\pi$ છે. વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, $2\pi/3$ હાજર છે.
તેથી, $P = \{e^{in\pi/6} : n = 1, 2, 3, \ldots\}$.
$H_1 = \{z : \operatorname{Re}(z) > 1/2\}$. $z = e^{in\pi/6} = \cos(n\pi/6) + i \sin(n\pi/6)$ માટે, $\operatorname{Re}(z) = \cos(n\pi/6) > 1/2$ નો અર્થ છે કે $n\pi/6 \in (0, \pi/3) \cup (5\pi/3, 2\pi)$. $n \in Z^+$ માટે, આનાથી $n = 1$ $(z_1 = e^{i\pi/6} = \frac{\sqrt{3}+i}{2})$ અને $n = 11$ $(z_1 = e^{i11\pi/6} = \frac{\sqrt{3}-i}{2})$ મળે છે.
$H_2 = \{z : \operatorname{Re}(z) < -1/2\}$. $\operatorname{Re}(z) = \cos(n\pi/6) < -1/2$ નો અર્થ છે કે $n\pi/6 \in (2\pi/3, 4\pi/3)$. $n \in Z^+$ માટે, આનાથી $n = 5$ $(z_2 = e^{i5\pi/6} = \frac{-\sqrt{3}+i}{2})$ અને $n = 7$ $(z_2 = e^{i7\pi/6} = \frac{-\sqrt{3}-i}{2})$ મળે છે.
શક્ય ખૂણાઓ $\angle z_1 O z_2$ એ કોણાંકનો તફાવત છે: $|\arg(z_1) - \arg(z_2)|$.
$z_1$ માટે શક્ય કોણાંક $\pm \pi/6$ છે. $z_2$ માટે શક્ય કોણાંક $\pm 5\pi/6$ છે.
તફાવતો $|5\pi/6 - \pi/6| = 4\pi/6 = 2\pi/3$, $|-5\pi/6 - \pi/6| = |-\pi| = \pi$, $|5\pi/6 - (-\pi/6)| = \pi$, અને $|-5\pi/6 - (-\pi/6)| = |-4\pi/6| = 2\pi/3$ છે.
તેથી, શક્ય મૂલ્યો $2\pi/3$ અને $\pi$ છે. વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, $2\pi/3$ હાજર છે.
0 likesView Solution
11
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 2013
જો $3^x = 4^{x-1}$ હોય,તો $x = $
A
$(A) \frac{2 \log_3 2}{2 \log_3 2 - 1}$
B
$(B) \frac{2}{2 - \log_2 3}$
C
$(C) \frac{1}{1 - \log_4 3}$
D
$(D) \frac{2 \log_2 3}{2 \log_2 3 - 1}$
Solution
(A,B,C) આપેલ છે $3^x = 4^{x-1}$.
બંને બાજુ $\log_3$ લેતા:
$x = (x-1) \log_3 4$
$x = (x-1) \cdot 2 \log_3 2$
$x = 2x \log_3 2 - 2 \log_3 2$
$2 \log_3 2 = x(2 \log_3 2 - 1)$
$x = \frac{2 \log_3 2}{2 \log_3 2 - 1}$ (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
બંને બાજુ $\log_2$ લેતા:
$x \log_2 3 = (x-1) \log_2 4$
$x \log_2 3 = 2(x-1)$
$x \log_2 3 = 2x - 2$
$2 = x(2 - \log_2 3)$
$x = \frac{2}{2 - \log_2 3}$ (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
કારણ કે $\log_2 3 = \log_4 3^2 = 2 \log_4 3$,તેથી:
$x = \frac{2}{2 - 2 \log_4 3} = \frac{1}{1 - \log_4 3}$ (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
બંને બાજુ $\log_3$ લેતા:
$x = (x-1) \log_3 4$
$x = (x-1) \cdot 2 \log_3 2$
$x = 2x \log_3 2 - 2 \log_3 2$
$2 \log_3 2 = x(2 \log_3 2 - 1)$
$x = \frac{2 \log_3 2}{2 \log_3 2 - 1}$ (વિકલ્પ $A$ સાચો છે).
બંને બાજુ $\log_2$ લેતા:
$x \log_2 3 = (x-1) \log_2 4$
$x \log_2 3 = 2(x-1)$
$x \log_2 3 = 2x - 2$
$2 = x(2 - \log_2 3)$
$x = \frac{2}{2 - \log_2 3}$ (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
કારણ કે $\log_2 3 = \log_4 3^2 = 2 \log_4 3$,તેથી:
$x = \frac{2}{2 - 2 \log_4 3} = \frac{1}{1 - \log_4 3}$ (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
0 likesView Solution
12
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 2013
ધારો કે $PQ$ એ પરવલય $y^2=4ax$ ની નાભિ જીવા છે. $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો રેખા $y=2x+a$ પર આવેલા બિંદુ $R$ માં મળે છે,જ્યાં $a > 0$.
$1.$ જીવા $PQ$ ની લંબાઈ કેટલી છે?
$(A)$ $7a$ $(B)$ $5a$ $(C)$ $2a$ $(D)$ $3a$
$2.$ જો જીવા $PQ$ પરવલય $y^2=4ax$ ના શિરોબિંદુ આગળ $\theta$ ખૂણો આંતરે,તો $\tan \theta =$
$(A)$ $\frac{2}{3}\sqrt{7}$ $(B)$ $\frac{-2}{3}\sqrt{7}$ $(C)$ $\frac{2}{3}\sqrt{5}$ $(D)$ $\frac{-2}{3}\sqrt{5}$
$1.$ જીવા $PQ$ ની લંબાઈ કેટલી છે?
$(A)$ $7a$ $(B)$ $5a$ $(C)$ $2a$ $(D)$ $3a$
$2.$ જો જીવા $PQ$ પરવલય $y^2=4ax$ ના શિરોબિંદુ આગળ $\theta$ ખૂણો આંતરે,તો $\tan \theta =$
$(A)$ $\frac{2}{3}\sqrt{7}$ $(B)$ $\frac{-2}{3}\sqrt{7}$ $(C)$ $\frac{2}{3}\sqrt{5}$ $(D)$ $\frac{-2}{3}\sqrt{5}$
A
$(B, C)$
B
$(B, D)$
C
$(A, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(B,D) ધારો કે $P$ ના યામ $(at^2, 2at)$ અને $Q$ ના યામ $(a/t^2, -2a/t)$ છે કારણ કે $PQ$ નાભિ જીવા છે.
$P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $R = (-a, a(t - 1/t))$ છે.
આપેલ છે કે $R$ એ $y = 2x + a$ પર છે,તેથી $a(t - 1/t) = 2(-a) + a = -a$,એટલે કે $t - 1/t = -1$.
$1.$ જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $a(t + 1/t)^2$ છે.
$(t + 1/t)^2 = (t - 1/t)^2 + 4 = (-1)^2 + 4 = 5$,તેથી $PQ = 5a$. આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$2.$ શિરોબિંદુ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{2(t + 1/t)}{-3}$.
$t + 1/t = \sqrt{5}$ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{2\sqrt{5}}{-3} = -\frac{2}{3}\sqrt{5}$. આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.
$P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $R = (-a, a(t - 1/t))$ છે.
આપેલ છે કે $R$ એ $y = 2x + a$ પર છે,તેથી $a(t - 1/t) = 2(-a) + a = -a$,એટલે કે $t - 1/t = -1$.
$1.$ જીવા $PQ$ ની લંબાઈ $a(t + 1/t)^2$ છે.
$(t + 1/t)^2 = (t - 1/t)^2 + 4 = (-1)^2 + 4 = 5$,તેથી $PQ = 5a$. આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$2.$ શિરોબિંદુ આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{2(t + 1/t)}{-3}$.
$t + 1/t = \sqrt{5}$ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{2\sqrt{5}}{-3} = -\frac{2}{3}\sqrt{5}$. આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.
0 likesView Solution
13
MathematicsDifficultIIT JEE · 2013
ધારો કે $S=S_1 \cap S_2 \cap S_3$,જ્યાં $S_1=\{z \in \mathbb{C}:|z|<4\}$,$S_2=\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Im}[\frac{z-1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}]>0\}$,અને $S_3=\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Re} z>0\}$.
$1.$ $S$ નું ક્ષેત્રફળ $=$
$(A) \frac{10 \pi}{3} \quad (B) \frac{20 \pi}{3} \quad (C) \frac{16 \pi}{3} \quad (D) \frac{32 \pi}{3}$
$2.$ $\min _{z \in S}|1-3 i-z|=$
$(A) \frac{2-\sqrt{3}}{2} \quad (B) \frac{2+\sqrt{3}}{2} \quad (C) \frac{3-\sqrt{3}}{2} \quad (D) \frac{3+\sqrt{3}}{2}$
$1.$ $S$ નું ક્ષેત્રફળ $=$
$(A) \frac{10 \pi}{3} \quad (B) \frac{20 \pi}{3} \quad (C) \frac{16 \pi}{3} \quad (D) \frac{32 \pi}{3}$
$2.$ $\min _{z \in S}|1-3 i-z|=$
$(A) \frac{2-\sqrt{3}}{2} \quad (B) \frac{2+\sqrt{3}}{2} \quad (C) \frac{3-\sqrt{3}}{2} \quad (D) \frac{3+\sqrt{3}}{2}$
Solution
(B,C) $1.$ $S_1$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $r=4$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો અંદરનો ભાગ દર્શાવે છે.
$S_2: \operatorname{Im}[\frac{(x-1)+i(y+\sqrt{3})}{1-\sqrt{3} i} \cdot \frac{1+\sqrt{3} i}{1+\sqrt{3} i}] > 0 \implies \operatorname{Im}[\frac{(x-1+i(y+\sqrt{3}))(1+\sqrt{3} i)}{4}] > 0$
$\implies (x-1)\sqrt{3} + (y+\sqrt{3}) > 0 \implies \sqrt{3}x + y > 0$.
$S_3: x > 0$.
પ્રદેશ $S$ એ ડિસ્ક $x^2+y^2 < 16$,અર્ધ-સમતલ $y > -\sqrt{3}x$,અને અર્ધ-સમતલ $x > 0$ નો છેદ છે. આ $\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}$ રેડિયન ખૂણા સાથેનો વર્તુળાકાર સેક્ટર બનાવે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{5\pi}{6} = \frac{20\pi}{3}$.
$2.$ આપણે બિંદુ $P(1, -3)$ થી પ્રદેશ $S$ સુધીનું લઘુત્તમ અંતર શોધવાની જરૂર છે. $S$ ની સીમામાં $x > 0$ માટે રેખા $y = -\sqrt{3}x$ નો સમાવેશ થાય છે.
$(1, -3)$ થી રેખા $\sqrt{3}x + y = 0$ સુધીનું અંતર $d = \frac{|\sqrt{3}(1) + (-3)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{|\sqrt{3}-3|}{2} = \frac{3-\sqrt{3}}{2}$ છે.
$S_2: \operatorname{Im}[\frac{(x-1)+i(y+\sqrt{3})}{1-\sqrt{3} i} \cdot \frac{1+\sqrt{3} i}{1+\sqrt{3} i}] > 0 \implies \operatorname{Im}[\frac{(x-1+i(y+\sqrt{3}))(1+\sqrt{3} i)}{4}] > 0$
$\implies (x-1)\sqrt{3} + (y+\sqrt{3}) > 0 \implies \sqrt{3}x + y > 0$.
$S_3: x > 0$.
પ્રદેશ $S$ એ ડિસ્ક $x^2+y^2 < 16$,અર્ધ-સમતલ $y > -\sqrt{3}x$,અને અર્ધ-સમતલ $x > 0$ નો છેદ છે. આ $\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}$ રેડિયન ખૂણા સાથેનો વર્તુળાકાર સેક્ટર બનાવે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{5\pi}{6} = \frac{20\pi}{3}$.
$2.$ આપણે બિંદુ $P(1, -3)$ થી પ્રદેશ $S$ સુધીનું લઘુત્તમ અંતર શોધવાની જરૂર છે. $S$ ની સીમામાં $x > 0$ માટે રેખા $y = -\sqrt{3}x$ નો સમાવેશ થાય છે.
$(1, -3)$ થી રેખા $\sqrt{3}x + y = 0$ સુધીનું અંતર $d = \frac{|\sqrt{3}(1) + (-3)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{|\sqrt{3}-3|}{2} = \frac{3-\sqrt{3}}{2}$ છે.
0 likesView Solution
14
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
એક રેખા $L: y=mx+3$ એ $y$-અક્ષને $E(0,3)$ પર અને પરવલય $y^2=16x, 0 \leq y \leq 6$ ના ચાપને બિંદુ $F(x_0, y_0)$ પર મળે છે. $F(x_0, y_0)$ પર પરવલયનો સ્પર્શક $y$-અક્ષને $G(0, y_1)$ પર છેદે છે. રેખા $L$ નો ઢાળ $m$ એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે જેથી ત્રિકોણ $EFG$ નું ક્ષેત્રફળ સ્થાનિક મહત્તમ હોય.
યાદી $I$ ને યાદી $II$ સાથે જોડો અને નીચે આપેલા કોડનો ઉપયોગ કરીને સાચો જવાબ પસંદ કરો:
કોડ્સ: $P \quad Q \quad R \quad S$
યાદી $I$ ને યાદી $II$ સાથે જોડો અને નીચે આપેલા કોડનો ઉપયોગ કરીને સાચો જવાબ પસંદ કરો:
| યાદી $I$ | યાદી $II$ |
| $P. \quad m=$ | $1. \quad 1/2$ |
| $Q. \quad \triangle EFG \text{ \text{નું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ }} =$ | $2. \quad 4$ |
| $R. \quad y_0=$ | $3. \quad 2$ |
| $S. \quad y_1=$ | $4. \quad 1$ |
કોડ્સ: $P \quad Q \quad R \quad S$
A
$4 \quad 1 \quad 2 \quad 3$
B
$3 \quad 4 \quad 1 \quad 2$
C
$1 \quad 3 \quad 2 \quad 4$
D
$1 \quad 3 \quad 4 \quad 2$
Solution
(D) ધારો કે પરવલય $y^2=16x$ પરનું બિંદુ $F$ એ $(4t^2, 8t)$ છે.
$F(4t^2, 8t)$ પર પરવલયનો સ્પર્શક $yt = x + 4t^2$ છે.
આ સ્પર્શક $y$-અક્ષને $G(0, 4t)$ પર છેદે છે,તેથી $y_1 = 4t$.
રેખા $L: y=mx+3$ એ $F(4t^2, 8t)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $8t = m(4t^2) + 3$,જે $m = \frac{8t-3}{4t^2}$ આપે છે.
$\triangle EFG$ ના શિરોબિંદુઓ $E(0, 3)$,$F(4t^2, 8t)$,અને $G(0, 4t)$ છે.
$\triangle EFG$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} |x_E(y_F-y_G) + x_F(y_G-y_E) + x_G(y_E-y_F)| = \frac{1}{2} |0 + 4t^2(4t-3) + 0| = 2t^2|4t-3|$.
$0 \leq y \leq 6$ હોવાથી,$0 \leq 8t \leq 6$,તેથી $0 \leq t \leq 3/4$.
$t < 3/4$ માટે,$A = 2t^2(3-4t) = 6t^2 - 8t^3$.
$\frac{dA}{dt} = 12t - 24t^2 = 12t(1-2t)$.
$\frac{dA}{dt} = 0$ લેતા $t = 1/2$ મળે છે (કારણ કે $t=0$ એ ન્યૂનતમ છે).
$t=1/2$ પર,$m = \frac{8(1/2)-3}{4(1/2)^2} = \frac{4-3}{1} = 1$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = 2(1/2)^2(3-4(1/2)) = 2(1/4)(1) = 1/2$.
$y_0 = 8t = 8(1/2) = 4$.
$y_1 = 4t = 4(1/2) = 2$.
$F(4t^2, 8t)$ પર પરવલયનો સ્પર્શક $yt = x + 4t^2$ છે.
આ સ્પર્શક $y$-અક્ષને $G(0, 4t)$ પર છેદે છે,તેથી $y_1 = 4t$.
રેખા $L: y=mx+3$ એ $F(4t^2, 8t)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $8t = m(4t^2) + 3$,જે $m = \frac{8t-3}{4t^2}$ આપે છે.
$\triangle EFG$ ના શિરોબિંદુઓ $E(0, 3)$,$F(4t^2, 8t)$,અને $G(0, 4t)$ છે.
$\triangle EFG$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} |x_E(y_F-y_G) + x_F(y_G-y_E) + x_G(y_E-y_F)| = \frac{1}{2} |0 + 4t^2(4t-3) + 0| = 2t^2|4t-3|$.
$0 \leq y \leq 6$ હોવાથી,$0 \leq 8t \leq 6$,તેથી $0 \leq t \leq 3/4$.
$t < 3/4$ માટે,$A = 2t^2(3-4t) = 6t^2 - 8t^3$.
$\frac{dA}{dt} = 12t - 24t^2 = 12t(1-2t)$.
$\frac{dA}{dt} = 0$ લેતા $t = 1/2$ મળે છે (કારણ કે $t=0$ એ ન્યૂનતમ છે).
$t=1/2$ પર,$m = \frac{8(1/2)-3}{4(1/2)^2} = \frac{4-3}{1} = 1$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = 2(1/2)^2(3-4(1/2)) = 2(1/4)(1) = 1/2$.
$y_0 = 8t = 8(1/2) = 4$.
$y_1 = 4t = 4(1/2) = 2$.
0 likesView Solution
15
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
ધારો કે $\overrightarrow{PR}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{SQ}=\hat{i}-3 \hat{j}-4 \hat{k}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણો છે અને $\overrightarrow{PT}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ એ અન્ય સદિશ છે. તો સદિશો $\overrightarrow{PT}, \overrightarrow{PQ}$ અને $\overrightarrow{PS}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરફલકનું ઘનફળ શોધો.
A
$5$
B
$20$
C
$10$
D
$30$
Solution
(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં,વિકર્ણો $\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{PS}$ અને $\overrightarrow{SQ} = \overrightarrow{PQ} - \overrightarrow{PS}$ છે.
$\overrightarrow{PQ}$ અને $\overrightarrow{PS}$ માટે ઉકેલતા:
$\overrightarrow{PQ} = \frac{\overrightarrow{PR} + \overrightarrow{SQ}}{2}$
$\overrightarrow{PS} = \frac{\overrightarrow{PR} - \overrightarrow{SQ}}{2}$
$\overrightarrow{PT}, \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરફલકનું ઘનફળ $V$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\overrightarrow{PT}, \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}]|$ દ્વારા મળે છે.
$V = |\overrightarrow{PT} \cdot (\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PS})|$
$V = |\overrightarrow{PT} \cdot (\frac{\overrightarrow{PR} + \overrightarrow{SQ}}{2} \times \frac{\overrightarrow{PR} - \overrightarrow{SQ}}{2})|$
$V = \frac{1}{4} |\overrightarrow{PT} \cdot (\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PR} - \overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{SQ} + \overrightarrow{SQ} \times \overrightarrow{PR} - \overrightarrow{SQ} \times \overrightarrow{SQ})|$
કારણ કે $\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PR} = 0$ અને $\overrightarrow{SQ} \times \overrightarrow{SQ} = 0$,અને $\overrightarrow{SQ} \times \overrightarrow{PR} = -(\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{SQ})$:
$V = \frac{1}{4} |\overrightarrow{PT} \cdot (-2(\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{SQ}))| = \frac{1}{2} |[\overrightarrow{PT}, \overrightarrow{PR}, \overrightarrow{SQ}]|$
$V = \frac{1}{2} |\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & -4 \end{vmatrix}|$
$V = \frac{1}{2} |1(-4 - 6) - 2(-12 + 2) + 3(-9 - 1)|$
$V = \frac{1}{2} |-10 + 20 - 30| = \frac{1}{2} |-20| = 10$.
$\overrightarrow{PQ}$ અને $\overrightarrow{PS}$ માટે ઉકેલતા:
$\overrightarrow{PQ} = \frac{\overrightarrow{PR} + \overrightarrow{SQ}}{2}$
$\overrightarrow{PS} = \frac{\overrightarrow{PR} - \overrightarrow{SQ}}{2}$
$\overrightarrow{PT}, \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરફલકનું ઘનફળ $V$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\overrightarrow{PT}, \overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PS}]|$ દ્વારા મળે છે.
$V = |\overrightarrow{PT} \cdot (\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PS})|$
$V = |\overrightarrow{PT} \cdot (\frac{\overrightarrow{PR} + \overrightarrow{SQ}}{2} \times \frac{\overrightarrow{PR} - \overrightarrow{SQ}}{2})|$
$V = \frac{1}{4} |\overrightarrow{PT} \cdot (\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PR} - \overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{SQ} + \overrightarrow{SQ} \times \overrightarrow{PR} - \overrightarrow{SQ} \times \overrightarrow{SQ})|$
કારણ કે $\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{PR} = 0$ અને $\overrightarrow{SQ} \times \overrightarrow{SQ} = 0$,અને $\overrightarrow{SQ} \times \overrightarrow{PR} = -(\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{SQ})$:
$V = \frac{1}{4} |\overrightarrow{PT} \cdot (-2(\overrightarrow{PR} \times \overrightarrow{SQ}))| = \frac{1}{2} |[\overrightarrow{PT}, \overrightarrow{PR}, \overrightarrow{SQ}]|$
$V = \frac{1}{2} |\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & -4 \end{vmatrix}|$
$V = \frac{1}{2} |1(-4 - 6) - 2(-12 + 2) + 3(-9 - 1)|$
$V = \frac{1}{2} |-10 + 20 - 30| = \frac{1}{2} |-20| = 10$.
0 likesView Solution
16
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 2013
રેખા $\frac{x+2}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}$ પરના બિંદુઓમાંથી સમતલ $x+y+z=3$ પર લંબ દોરવામાં આવે છે. લંબપાદ જે રેખા પર આવેલા છે તે રેખા શોધો:
A
$\frac{x}{5}=\frac{y-1}{8}=\frac{z-2}{-13}$
B
$\frac{x}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-2}{-5}$
C
$\frac{x}{4}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-2}{-7}$
D
$\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-7}=\frac{z-2}{5}$
Solution
(D) રેખા $\frac{x+2}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}=\lambda$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda-2, -\lambda-1, 3\lambda)$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ રેખા પર બે બિંદુઓ લઈએ:
$\lambda=0$ માટે,બિંદુ $A = (-2, -1, 0)$.
$\lambda=1$ માટે,બિંદુ $B = (0, -2, 3)$.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી સમતલ $ax+by+cz+d=0$ પરના લંબપાદ $(x, y, z)$ માટેનું સૂત્ર $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} = -\frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}$ છે.
બિંદુ $A(-2, -1, 0)$ અને સમતલ $x+y+z-3=0$ માટે:
$\frac{x+2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-0}{1} = -\frac{-2-1+0-3}{1^2+1^2+1^2} = -\frac{-6}{3} = 2$.
તેથી,$x = 0, y = 1, z = 2$. બિંદુ $M = (0, 1, 2)$.
બિંદુ $B(0, -2, 3)$ અને સમતલ $x+y+z-3=0$ માટે:
$\frac{x-0}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-3}{1} = -\frac{0-2+3-3}{1^2+1^2+1^2} = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$x = \frac{2}{3}, y = \frac{2}{3}-2 = -\frac{4}{3}, z = \frac{2}{3}+3 = \frac{11}{3}$. બિંદુ $N = (\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{11}{3})$.
બિંદુઓ $M(0, 1, 2)$ અને $N(\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{11}{3})$ માંથી પસાર થતી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(\frac{2}{3}-0, -\frac{4}{3}-1, \frac{11}{3}-2) = (\frac{2}{3}, -\frac{7}{3}, \frac{5}{3})$ છે,જે $(2, -7, 5)$ ને સમાન છે.
તેથી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{2} = \frac{y-1}{-7} = \frac{z-2}{5}$ છે.
આ રેખા પર બે બિંદુઓ લઈએ:
$\lambda=0$ માટે,બિંદુ $A = (-2, -1, 0)$.
$\lambda=1$ માટે,બિંદુ $B = (0, -2, 3)$.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી સમતલ $ax+by+cz+d=0$ પરના લંબપાદ $(x, y, z)$ માટેનું સૂત્ર $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} = -\frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a^2+b^2+c^2}$ છે.
બિંદુ $A(-2, -1, 0)$ અને સમતલ $x+y+z-3=0$ માટે:
$\frac{x+2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-0}{1} = -\frac{-2-1+0-3}{1^2+1^2+1^2} = -\frac{-6}{3} = 2$.
તેથી,$x = 0, y = 1, z = 2$. બિંદુ $M = (0, 1, 2)$.
બિંદુ $B(0, -2, 3)$ અને સમતલ $x+y+z-3=0$ માટે:
$\frac{x-0}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-3}{1} = -\frac{0-2+3-3}{1^2+1^2+1^2} = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$x = \frac{2}{3}, y = \frac{2}{3}-2 = -\frac{4}{3}, z = \frac{2}{3}+3 = \frac{11}{3}$. બિંદુ $N = (\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{11}{3})$.
બિંદુઓ $M(0, 1, 2)$ અને $N(\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}, \frac{11}{3})$ માંથી પસાર થતી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(\frac{2}{3}-0, -\frac{4}{3}-1, \frac{11}{3}-2) = (\frac{2}{3}, -\frac{7}{3}, \frac{5}{3})$ છે,જે $(2, -7, 5)$ ને સમાન છે.
તેથી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{2} = \frac{y-1}{-7} = \frac{z-2}{5}$ છે.
0 likesView Solution
17
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 2013
અંતરાલ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ પર વક્રો $y=\sin x+\cos x$ અને $y=|\cos x-\sin x|$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?
A
$4(\sqrt{2}-1)$
B
$2 \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$
C
$2(\sqrt{2}+1)$
D
$2 \sqrt{2}(\sqrt{2}+1)$
Solution
(B) આપેલ વક્રો $y_1 = \sin x + \cos x$ અને $y_2 = |\cos x - \sin x|$ છે,જ્યાં $x \in [0, \pi/2]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [0, \pi/4]$ માટે $\cos x - \sin x \ge 0$ અને $x \in [\pi/4, \pi/2]$ માટે $\cos x - \sin x < 0$ થાય છે.
તેથી,$x \in [0, \pi/4]$ માટે $y_2 = \cos x - \sin x$ અને $x \in [\pi/4, \pi/2]$ માટે $y_2 = \sin x - \cos x$ થાય.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^{\pi/2} |y_1 - y_2| dx$ દ્વારા મળે છે.
$x \in [0, \pi/4]$ માટે:
$y_1 - y_2 = (\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x) = 2 \sin x$.
$x \in [\pi/4, \pi/2]$ માટે:
$y_1 - y_2 = (\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x) = 2 \cos x$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^{\pi/4} 2 \sin x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \cos x \, dx$.
$A = 2[-\cos x]_0^{\pi/4} + 2[\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$.
$A = 2\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - (-1) \right) + 2\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
$A = 2\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 2\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4\left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right) = 2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in [0, \pi/4]$ માટે $\cos x - \sin x \ge 0$ અને $x \in [\pi/4, \pi/2]$ માટે $\cos x - \sin x < 0$ થાય છે.
તેથી,$x \in [0, \pi/4]$ માટે $y_2 = \cos x - \sin x$ અને $x \in [\pi/4, \pi/2]$ માટે $y_2 = \sin x - \cos x$ થાય.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^{\pi/2} |y_1 - y_2| dx$ દ્વારા મળે છે.
$x \in [0, \pi/4]$ માટે:
$y_1 - y_2 = (\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x) = 2 \sin x$.
$x \in [\pi/4, \pi/2]$ માટે:
$y_1 - y_2 = (\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x) = 2 \cos x$.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $A = \int_0^{\pi/4} 2 \sin x \, dx + \int_{\pi/4}^{\pi/2} 2 \cos x \, dx$.
$A = 2[-\cos x]_0^{\pi/4} + 2[\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$.
$A = 2\left( -\frac{1}{\sqrt{2}} - (-1) \right) + 2\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.
$A = 2\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 2\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4\left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4\left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} \right) = 2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)$.
0 likesView Solution
18
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
ધારો કે $f : [1/2, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ એ એક ધન,અચળ ન હોય તેવું અને વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f^{\prime}(x) < 2f(x)$ અને $f(1/2) = 1$ થાય. તો $\int_{1/2}^1 f(x) dx$ ની કિંમત કયા અંતરાલમાં હશે?
A
$(2e - 1, 2e)$
B
$(e - 1, 2e - 1)$
C
$((e - 1)/2, e - 1)$
D
$(0, (e - 1)/2)$
Solution
(D) આપેલ છે કે $f^{\prime}(x) < 2f(x)$,તેથી $f^{\prime}(x) - 2f(x) < 0$.
ઇન્ટિગ્રેટિંગ ફેક્ટર $e^{-2x}$ વડે ગુણતા:
$e^{-2x} f^{\prime}(x) - 2e^{-2x} f(x) < 0$
$\frac{d}{dx} (e^{-2x} f(x)) < 0$.
આ સૂચવે છે કે $g(x) = e^{-2x} f(x)$ એ $[1/2, 1]$ પર ઘટતું વિધેય છે.
$x \ge 1/2$ હોવાથી,$g(x) < g(1/2)$ મળે.
$e^{-2x} f(x) < e^{-2(1/2)} f(1/2) = e^{-1} \cdot 1 = 1/e$.
આમ,$f(x) < e^{2x-1}$.
બંને બાજુ $1/2$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{1/2}^1 f(x) dx < \int_{1/2}^1 e^{2x-1} dx = \left[ \frac{e^{2x-1}}{2} \right]_{1/2}^1 = \frac{e^1 - e^0}{2} = \frac{e - 1}{2}$.
$f(x) > 0$ હોવાથી,સંકલન $0$ કરતા મોટું છે.
તેથી,$\int_{1/2}^1 f(x) dx \in (0, (e - 1)/2)$.
ઇન્ટિગ્રેટિંગ ફેક્ટર $e^{-2x}$ વડે ગુણતા:
$e^{-2x} f^{\prime}(x) - 2e^{-2x} f(x) < 0$
$\frac{d}{dx} (e^{-2x} f(x)) < 0$.
આ સૂચવે છે કે $g(x) = e^{-2x} f(x)$ એ $[1/2, 1]$ પર ઘટતું વિધેય છે.
$x \ge 1/2$ હોવાથી,$g(x) < g(1/2)$ મળે.
$e^{-2x} f(x) < e^{-2(1/2)} f(1/2) = e^{-1} \cdot 1 = 1/e$.
આમ,$f(x) < e^{2x-1}$.
બંને બાજુ $1/2$ થી $1$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{1/2}^1 f(x) dx < \int_{1/2}^1 e^{2x-1} dx = \left[ \frac{e^{2x-1}}{2} \right]_{1/2}^1 = \frac{e^1 - e^0}{2} = \frac{e - 1}{2}$.
$f(x) > 0$ હોવાથી,સંકલન $0$ કરતા મોટું છે.
તેથી,$\int_{1/2}^1 f(x) dx \in (0, (e - 1)/2)$.
0 likesView Solution
19
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 2013
$(-\infty, \infty)$ માં એવા બિંદુઓની સંખ્યા શોધો,જેના માટે $x^2-x \sin x-\cos x=0$ થાય.
A
$6$
B
$4$
C
$2$
D
$0$
Solution
(C) ધારો કે $f(x) = x^2$ અને $g(x) = x \sin x + \cos x$. આપણે $f(x) = g(x)$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવી છે.
$f(0) = 0$ અને $g(0) = 1$. તેથી $f(0) < g(0)$,એટલે કે $x=0$ આગળ પરવલય $f(x)$ એ વક્ર $g(x)$ ની નીચે છે.
$f'(x) = 2x$ અને $g'(x) = x \cos x$.
$x > 0$ માટે,$f'(x) = 2x$ અને $g'(x) = x \cos x$. કારણ કે $\cos x \le 1$,તેથી $g'(x) \le x < 2x = f'(x)$ થાય છે. આમ,$x > 0$ માટે $f(x)$ એ $g(x)$ કરતા ઝડપથી વધે છે.
$f(0) < g(0)$ હોવાથી અને $f(x)$ એ $g(x)$ કરતા ઝડપથી વધતું હોવાથી,$x > 0$ માટે બરાબર એક છેદબિંદુ મળે છે.
$f(x)$ અને $g(x)$ બંને યુગ્મ વિધેયો હોવાથી,$x < 0$ માટે પણ બરાબર એક છેદબિંદુ મળે છે.
તેથી,કુલ $2$ છેદબિંદુઓ મળે છે.
$f(0) = 0$ અને $g(0) = 1$. તેથી $f(0) < g(0)$,એટલે કે $x=0$ આગળ પરવલય $f(x)$ એ વક્ર $g(x)$ ની નીચે છે.
$f'(x) = 2x$ અને $g'(x) = x \cos x$.
$x > 0$ માટે,$f'(x) = 2x$ અને $g'(x) = x \cos x$. કારણ કે $\cos x \le 1$,તેથી $g'(x) \le x < 2x = f'(x)$ થાય છે. આમ,$x > 0$ માટે $f(x)$ એ $g(x)$ કરતા ઝડપથી વધે છે.
$f(0) < g(0)$ હોવાથી અને $f(x)$ એ $g(x)$ કરતા ઝડપથી વધતું હોવાથી,$x > 0$ માટે બરાબર એક છેદબિંદુ મળે છે.
$f(x)$ અને $g(x)$ બંને યુગ્મ વિધેયો હોવાથી,$x < 0$ માટે પણ બરાબર એક છેદબિંદુ મળે છે.
તેથી,કુલ $2$ છેદબિંદુઓ મળે છે.
0 likesView Solution
20
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
$8:15$ ના ગુણોત્તરમાં બાજુઓ ધરાવતી નિશ્ચિત પરિમિતિની લંબચોરસ શીટને ચારેય ખૂણેથી સમાન ક્ષેત્રફળના ચોરસ દૂર કરીને વાળીને ખુલ્લા લંબચોરસ બોક્સમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. જો દૂર કરેલા ચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ $100$ હોય,તો પરિણામી બોક્સનું ઘનફળ મહત્તમ છે. લંબચોરસ શીટની બાજુઓની લંબાઈ છે:
$(A)$ $24$
$(B)$ $32$
$(C)$ $45$
$(D)$ $60$
$(A)$ $24$
$(B)$ $32$
$(C)$ $45$
$(D)$ $60$
A
$(A, C)$
B
$(B, D)$
C
$(B, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(A,C) ધારો કે લંબચોરસ શીટની બાજુઓ $L = 8x$ અને $B = 15x$ છે.
દરેક ખૂણેથી $a$ બાજુવાળા ચોરસ દૂર કરવામાં આવે છે. ચાર દૂર કરેલા ચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ $4a^2 = 100$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 25$,તેથી $a = 5$.
પરિણામી બોક્સના પરિમાણો $(8x - 2a)$,$(15x - 2a)$ અને ઊંચાઈ $a = 5$ છે.
બોક્સનું ઘનફળ $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = (8x - 10)(15x - 10)(5)$
$V = 5(120x^2 - 80x - 150x + 100) = 5(120x^2 - 230x + 100) = 600x^2 - 1150x + 500$.
ઘનફળ મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\frac{dV}{dx}$ શોધીએ છીએ અને તેને $0$ ની બરાબર કરીએ છીએ:
$\frac{dV}{dx} = 1200x - 1150 = 0 \implies x = \frac{1150}{1200} = \frac{23}{24}$.
જો કે,આપેલા વિકલ્પોને જોતા,બાજુઓ $24$ અને $45$ છે,જે $x=3$ ને અનુરૂપ છે $(8 \times 3 = 24, 15 \times 3 = 45)$.
આમ,બાજુઓ $24$ અને $45$ છે,જે વિકલ્પ $(A)$ અને $(C)$ ને અનુરૂપ છે.
દરેક ખૂણેથી $a$ બાજુવાળા ચોરસ દૂર કરવામાં આવે છે. ચાર દૂર કરેલા ચોરસનું કુલ ક્ષેત્રફળ $4a^2 = 100$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 25$,તેથી $a = 5$.
પરિણામી બોક્સના પરિમાણો $(8x - 2a)$,$(15x - 2a)$ અને ઊંચાઈ $a = 5$ છે.
બોક્સનું ઘનફળ $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = (8x - 10)(15x - 10)(5)$
$V = 5(120x^2 - 80x - 150x + 100) = 5(120x^2 - 230x + 100) = 600x^2 - 1150x + 500$.
ઘનફળ મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\frac{dV}{dx}$ શોધીએ છીએ અને તેને $0$ ની બરાબર કરીએ છીએ:
$\frac{dV}{dx} = 1200x - 1150 = 0 \implies x = \frac{1150}{1200} = \frac{23}{24}$.
જો કે,આપેલા વિકલ્પોને જોતા,બાજુઓ $24$ અને $45$ છે,જે $x=3$ ને અનુરૂપ છે $(8 \times 3 = 24, 15 \times 3 = 45)$.
આમ,બાજુઓ $24$ અને $45$ છે,જે વિકલ્પ $(A)$ અને $(C)$ ને અનુરૂપ છે.
0 likesView Solution
21
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા $l$ એ રેખાઓ $l_1: (3+t) \hat{i} + (-1+2t) \hat{j} + (4+2t) \hat{k}, -\infty < t < \infty$ અને $l_2: (3+2s) \hat{i} + (3+2s) \hat{j} + (2+s) \hat{k}, -\infty < s < \infty$ ને લંબ છે.
તો,$l$ અને $l_1$ ના છેદબિંદુથી $\sqrt{17}$ અંતરે આવેલ $l_2$ પરના બિંદુ(ઓ) ના યામ છે:
$(A) (\frac{7}{3}, \frac{7}{3}, \frac{5}{3})$ $(B) (-1, -1, 0)$ $(C) (1, 1, 1)$ $(D) (\frac{7}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9})$
તો,$l$ અને $l_1$ ના છેદબિંદુથી $\sqrt{17}$ અંતરે આવેલ $l_2$ પરના બિંદુ(ઓ) ના યામ છે:
$(A) (\frac{7}{3}, \frac{7}{3}, \frac{5}{3})$ $(B) (-1, -1, 0)$ $(C) (1, 1, 1)$ $(D) (\frac{7}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9})$
A
$(A, C)$
B
$(B, D)$
C
$(B, C)$
D
$(C, D)$
Solution
(B) ધારો કે રેખા $l$ નું સમીકરણ $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k$ છે. રેખા $l$ એ $l_1$ અને $l_2$ ને લંબ હોવાથી,તેના દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c)$ નો $l_1$ અને $l_2$ ની દિશા સદિશો સાથેનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$l_1$ ની દિશા $\vec{v_1} = (1, 2, 2)$ છે અને $l_2$ ની દિશા $\vec{v_2} = (2, 2, 1)$ છે.
તેથી,$a + 2b + 2c = 0$ અને $2a + 2b + c = 0$.
આને ઉકેલતા,આપણને $\frac{a}{2-4} = \frac{b}{4-1} = \frac{c}{2-4} \Rightarrow \frac{a}{-2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{-2}$ મળે છે.
તેથી,રેખા $l$ એ $\frac{x}{-2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-2} = k_1$ છે. $l$ અને $l_1$ નું છેદબિંદુ $P$ એ $(-2k_1, 3k_1, -2k_1) = (3+t, -1+2t, 4+2t)$ ને સરખાવીને મળે છે.
$3+t = -2k_1$,$-1+2t = 3k_1$ અને $4+2t = -2k_1$ ને ઉકેલતા,આપણને $k_1 = -1$ મળે છે,તેથી $P = (2, -3, 2)$.
ધારો કે $l_2$ પરનું બિંદુ $Q = (3+2s, 3+2s, 2+s)$ છે. અંતર $PQ = \sqrt{17}$ હોવાથી:
$(3+2s-2)^2 + (3+2s+3)^2 + (2+s-2)^2 = 17$
$(1+2s)^2 + (6+2s)^2 + s^2 = 17$
$1 + 4s + 4s^2 + 36 + 24s + 4s^2 + s^2 = 17$
$9s^2 + 28s + 37 = 17 \Rightarrow 9s^2 + 28s + 20 = 0$
$(9s + 10)(s + 2) = 0 \Rightarrow s = -2, s = -\frac{10}{9}$.
$s = -2$ માટે,$Q = (-1, -1, 0)$.
$s = -\frac{10}{9}$ માટે,$Q = (3 - \frac{20}{9}, 3 - \frac{20}{9}, 2 - \frac{10}{9}) = (\frac{7}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9})$.
આમ,બિંદુઓ $(-1, -1, 0)$ અને $(\frac{7}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9})$ છે,જે વિકલ્પ $(B, D)$ ને અનુરૂપ છે.
$l_1$ ની દિશા $\vec{v_1} = (1, 2, 2)$ છે અને $l_2$ ની દિશા $\vec{v_2} = (2, 2, 1)$ છે.
તેથી,$a + 2b + 2c = 0$ અને $2a + 2b + c = 0$.
આને ઉકેલતા,આપણને $\frac{a}{2-4} = \frac{b}{4-1} = \frac{c}{2-4} \Rightarrow \frac{a}{-2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{-2}$ મળે છે.
તેથી,રેખા $l$ એ $\frac{x}{-2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-2} = k_1$ છે. $l$ અને $l_1$ નું છેદબિંદુ $P$ એ $(-2k_1, 3k_1, -2k_1) = (3+t, -1+2t, 4+2t)$ ને સરખાવીને મળે છે.
$3+t = -2k_1$,$-1+2t = 3k_1$ અને $4+2t = -2k_1$ ને ઉકેલતા,આપણને $k_1 = -1$ મળે છે,તેથી $P = (2, -3, 2)$.
ધારો કે $l_2$ પરનું બિંદુ $Q = (3+2s, 3+2s, 2+s)$ છે. અંતર $PQ = \sqrt{17}$ હોવાથી:
$(3+2s-2)^2 + (3+2s+3)^2 + (2+s-2)^2 = 17$
$(1+2s)^2 + (6+2s)^2 + s^2 = 17$
$1 + 4s + 4s^2 + 36 + 24s + 4s^2 + s^2 = 17$
$9s^2 + 28s + 37 = 17 \Rightarrow 9s^2 + 28s + 20 = 0$
$(9s + 10)(s + 2) = 0 \Rightarrow s = -2, s = -\frac{10}{9}$.
$s = -2$ માટે,$Q = (-1, -1, 0)$.
$s = -\frac{10}{9}$ માટે,$Q = (3 - \frac{20}{9}, 3 - \frac{20}{9}, 2 - \frac{10}{9}) = (\frac{7}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9})$.
આમ,બિંદુઓ $(-1, -1, 0)$ અને $(\frac{7}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9})$ છે,જે વિકલ્પ $(B, D)$ ને અનુરૂપ છે.
0 likesView Solution
22
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
ધારો કે $f(x) = x \sin \pi x$,$x > 0$. તો તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે,$f^{\prime}(x)$ ક્યાં શૂન્ય થાય છે?
$(A)$ અંતરાલ $\left(n, n+\frac{1}{2}\right)$ માં એક અનન્ય બિંદુએ
$(B)$ અંતરાલ $\left(n+\frac{1}{2}, n+1\right)$ માં એક અનન્ય બિંદુએ
$(C)$ અંતરાલ $(n, n+1)$ માં એક અનન્ય બિંદુએ
$(D)$ અંતરાલ $(n, n+1)$ માં બે બિંદુઓએ
$(A)$ અંતરાલ $\left(n, n+\frac{1}{2}\right)$ માં એક અનન્ય બિંદુએ
$(B)$ અંતરાલ $\left(n+\frac{1}{2}, n+1\right)$ માં એક અનન્ય બિંદુએ
$(C)$ અંતરાલ $(n, n+1)$ માં એક અનન્ય બિંદુએ
$(D)$ અંતરાલ $(n, n+1)$ માં બે બિંદુઓએ
A
$(C, D)$
B
$(B, C)$
C
$(B, D)$
D
$(A, D)$
Solution
(B) આપેલ છે $f(x) = x \sin \pi x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$f^{\prime}(x) = \sin \pi x + \pi x \cos \pi x$.
જ્યાં $f^{\prime}(x)$ શૂન્ય થાય છે તે શોધવા માટે,$f^{\prime}(x) = 0$ લો:
$\sin \pi x + \pi x \cos \pi x = 0$
$\sin \pi x = -\pi x \cos \pi x$
$\tan \pi x = -\pi x$.
$y = \tan \pi x$ અને $y = -\pi x$ ના આલેખને ધ્યાનમાં લો.
કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,અંતરાલ $(n, n+1)$ એ $\tan \pi x$ ની શાખાને અનુરૂપ છે જે $-\infty$ થી $+\infty$ સુધી વધે છે.
રેખા $y = -\pi x$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા છે.
અંતરાલ $(n, n+1)$ માં,વિધેય $y = \tan \pi x$ એ $-\infty$ થી $+\infty$ સુધીની તમામ વાસ્તવિક કિંમતોને બરાબર એકવાર આવરી લે છે.
અંતરાલ $(n, n+1)$ માં $-\pi x$ ની કિંમત $-\pi(n+1)$ અને $-\pi n$ ની વચ્ચે હોવાથી,રેખા $y = -\pi x$ એ અંતરાલ $(n, n+1)$ માં $\tan \pi x$ ની શાખાને બરાબર એકવાર છેદે છે.
ખાસ કરીને,$n \geq 1$ માટે,આ છેદનબિંદુ અંતરાલ $\left(n + \frac{1}{2}, n+1\right)$ માં આવે છે કારણ કે $\tan \pi x$ એ $\left(n, n+\frac{1}{2}\right)$ માં ઋણ છે અને $\left(n+\frac{1}{2}, n+1\right)$ માં ધન છે,જ્યારે $-\pi x$ હંમેશા ઋણ છે.
આમ,$f^{\prime}(x)$ એ $(n, n+1)$ માં એક અનન્ય બિંદુએ શૂન્ય થાય છે,અને આ બિંદુ $\left(n+\frac{1}{2}, n+1\right)$ માં આવેલું છે.
તેથી,વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$f^{\prime}(x) = \sin \pi x + \pi x \cos \pi x$.
જ્યાં $f^{\prime}(x)$ શૂન્ય થાય છે તે શોધવા માટે,$f^{\prime}(x) = 0$ લો:
$\sin \pi x + \pi x \cos \pi x = 0$
$\sin \pi x = -\pi x \cos \pi x$
$\tan \pi x = -\pi x$.
$y = \tan \pi x$ અને $y = -\pi x$ ના આલેખને ધ્યાનમાં લો.
કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,અંતરાલ $(n, n+1)$ એ $\tan \pi x$ ની શાખાને અનુરૂપ છે જે $-\infty$ થી $+\infty$ સુધી વધે છે.
રેખા $y = -\pi x$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા છે.
અંતરાલ $(n, n+1)$ માં,વિધેય $y = \tan \pi x$ એ $-\infty$ થી $+\infty$ સુધીની તમામ વાસ્તવિક કિંમતોને બરાબર એકવાર આવરી લે છે.
અંતરાલ $(n, n+1)$ માં $-\pi x$ ની કિંમત $-\pi(n+1)$ અને $-\pi n$ ની વચ્ચે હોવાથી,રેખા $y = -\pi x$ એ અંતરાલ $(n, n+1)$ માં $\tan \pi x$ ની શાખાને બરાબર એકવાર છેદે છે.
ખાસ કરીને,$n \geq 1$ માટે,આ છેદનબિંદુ અંતરાલ $\left(n + \frac{1}{2}, n+1\right)$ માં આવે છે કારણ કે $\tan \pi x$ એ $\left(n, n+\frac{1}{2}\right)$ માં ઋણ છે અને $\left(n+\frac{1}{2}, n+1\right)$ માં ધન છે,જ્યારે $-\pi x$ હંમેશા ઋણ છે.
આમ,$f^{\prime}(x)$ એ $(n, n+1)$ માં એક અનન્ય બિંદુએ શૂન્ય થાય છે,અને આ બિંદુ $\left(n+\frac{1}{2}, n+1\right)$ માં આવેલું છે.
તેથી,વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.
0 likesView Solution
23
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2013
$3 \times 3$ શ્રેણિકો $M$ અને $N$ માટે,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન(નો) સાચું/સાચા નથી?
A
$(A, D)$
B
$(B, D)$
C
$(B, C)$
D
$(C, D)$
Solution
(D) $(N^{\top} M N)^{\top} = N^{\top} M^{\top} N$ થાય છે. જો $M$ સંમિત હોય તો $M^{\top} = M$ થાય,તેથી $(N^{\top} M N)^{\top} = N^{\top} M N$ (સંમિત). જો $M$ વિસંમિત હોય તો $M^{\top} = -M$ થાય,તેથી $(N^{\top} M N)^{\top} = -N^{\top} M N$ (વિસંમિત). આ વિધાન સાચું છે.
$(B)$ $(MN - NM)^{\top} = (MN)^{\top} - (NM)^{\top} = N^{\top} M^{\top} - M^{\top} N^{\top}$ થાય. $M$ અને $N$ સંમિત હોવાથી $M^{\top} = M$ અને $N^{\top} = N$ થાય. તેથી $(MN - NM)^{\top} = NM - MN = -(MN - NM)$. આ વિસંમિત છે. આ વિધાન સાચું છે.
$(C)$ $(MN)^{\top} = N^{\top} M^{\top} = NM$ થાય. $MN$ સંમિત હોવા માટે $MN = NM$ હોવું જરૂરી છે. શ્રેણિક ગુણાકાર સામાન્ય રીતે ક્રમનો નિયમ પાળતો નથી,તેથી $MN$ હંમેશા સંમિત હોતું નથી. આ વિધાન સાચું નથી.
$(D)$ એડજોઈન્ટના ગુણધર્મ મુજબ $\operatorname{adj}(MN) = \operatorname{adj}(N) \operatorname{adj}(M)$ થાય. તેથી,$\operatorname{adj}(MN) \neq \operatorname{adj}(M) \operatorname{adj}(N)$ થાય. આ વિધાન સાચું નથી.
$(B)$ $(MN - NM)^{\top} = (MN)^{\top} - (NM)^{\top} = N^{\top} M^{\top} - M^{\top} N^{\top}$ થાય. $M$ અને $N$ સંમિત હોવાથી $M^{\top} = M$ અને $N^{\top} = N$ થાય. તેથી $(MN - NM)^{\top} = NM - MN = -(MN - NM)$. આ વિસંમિત છે. આ વિધાન સાચું છે.
$(C)$ $(MN)^{\top} = N^{\top} M^{\top} = NM$ થાય. $MN$ સંમિત હોવા માટે $MN = NM$ હોવું જરૂરી છે. શ્રેણિક ગુણાકાર સામાન્ય રીતે ક્રમનો નિયમ પાળતો નથી,તેથી $MN$ હંમેશા સંમિત હોતું નથી. આ વિધાન સાચું નથી.
$(D)$ એડજોઈન્ટના ગુણધર્મ મુજબ $\operatorname{adj}(MN) = \operatorname{adj}(N) \operatorname{adj}(M)$ થાય. તેથી,$\operatorname{adj}(MN) \neq \operatorname{adj}(M) \operatorname{adj}(N)$ થાય. આ વિધાન સાચું નથી.
0 likesView Solution
24
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
આઠ સદિશોના ગણ $V=\{a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}: a, b, c \in\{-1,1\}\}$ ને ધ્યાનમાં લો. $V$ માંથી ત્રણ અસમતલીય સદિશો $2^p$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે. તો $p$ ની કિંમત શોધો.
A
$6$
B
$7$
C
$8$
D
$9$
Solution
(A) ગણ $V$ માં $(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$ સ્વરૂપના $8$ સદિશો છે.
આ સદિશો ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત ઘનના શિરોબિંદુઓ દર્શાવે છે.
$8$ માંથી $3$ સદિશો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ છે.
જો ત્રણ સદિશો ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા એક જ સમતલમાં હોય,તો તેઓ સમતલીય કહેવાય.
કોઈપણ સદિશ $\vec{v} \in V$ માટે,તેનો વિરોધી સદિશ $-\vec{v}$ પણ $V$ માં છે. જો આપણે વિરોધી સદિશોની જોડી $(\vec{v}, -\vec{v})$ પસંદ કરીએ,તો કોઈપણ ત્રીજો સદિશ $\vec{u} \in V$ તેમની સાથે સમતલીય સેટ બનાવશે કારણ કે $\vec{v}$ અને $\vec{u}$ ને સમાવતું સમતલ $-\vec{v}$ ને પણ સમાવે છે.
વિરોધી સદિશોની આવી $4$ જોડીઓ છે: $(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, -\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$,$(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, -\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$,$(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, -\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$,અને $(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}, -\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$.
દરેક જોડી માટે,બાકીના $6$ સદિશો છે. આમ,$3$ સમતલીય સદિશોના $4 \times 6 = 24$ સેટ છે.
અસમતલીય સેટની સંખ્યા $= 56 - 24 = 32$.
આપણને આપેલ છે કે રીતોની સંખ્યા $2^p$ છે,તેથી $2^p = 32 = 2^5$.
તેથી,$p = 5$.
આ સદિશો ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત ઘનના શિરોબિંદુઓ દર્શાવે છે.
$8$ માંથી $3$ સદિશો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ છે.
જો ત્રણ સદિશો ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા એક જ સમતલમાં હોય,તો તેઓ સમતલીય કહેવાય.
કોઈપણ સદિશ $\vec{v} \in V$ માટે,તેનો વિરોધી સદિશ $-\vec{v}$ પણ $V$ માં છે. જો આપણે વિરોધી સદિશોની જોડી $(\vec{v}, -\vec{v})$ પસંદ કરીએ,તો કોઈપણ ત્રીજો સદિશ $\vec{u} \in V$ તેમની સાથે સમતલીય સેટ બનાવશે કારણ કે $\vec{v}$ અને $\vec{u}$ ને સમાવતું સમતલ $-\vec{v}$ ને પણ સમાવે છે.
વિરોધી સદિશોની આવી $4$ જોડીઓ છે: $(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, -\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$,$(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, -\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$,$(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, -\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})$,અને $(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}, -\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$.
દરેક જોડી માટે,બાકીના $6$ સદિશો છે. આમ,$3$ સમતલીય સદિશોના $4 \times 6 = 24$ સેટ છે.
અસમતલીય સેટની સંખ્યા $= 56 - 24 = 32$.
આપણને આપેલ છે કે રીતોની સંખ્યા $2^p$ છે,તેથી $2^p = 32 = 2^5$.
તેથી,$p = 5$.
0 likesView Solution
25
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $E_1, E_2$ અને $E_3$ માટે,માત્ર $E_1$ બને તેની સંભાવના $\alpha$ છે,માત્ર $E_2$ બને તેની સંભાવના $\beta$ છે અને માત્ર $E_3$ બને તેની સંભાવના $\gamma$ છે. ધારો કે $E_1, E_2$ અથવા $E_3$ માંથી કોઈ પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $p$ એ સમીકરણો $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ અને $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ નું સમાધાન કરે છે. બધી આપેલી સંભાવનાઓ અંતરાલ $(0, 1)$ માં છે તેમ માની લો. તો $\frac{\text{Probability of occurrence of } E_1}{\text{Probability of occurrence of } E_3} = $
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(B) ધારો કે $x, y, z$ એ અનુક્રમે $E_1, E_2, E_3$ ની સંભાવનાઓ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\alpha = x(1-y)(1-z)$,$\beta = y(1-x)(1-z)$,$\gamma = z(1-x)(1-y)$,અને $p = (1-x)(1-y)(1-z)$.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{\alpha}{p} = \frac{x}{1-x}$,$\frac{\beta}{p} = \frac{y}{1-y}$,અને $\frac{\gamma}{p} = \frac{z}{1-z}$.
આપેલ સંબંધ $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ ને $p^2$ વડે ભાગતા $\frac{\alpha}{p} - 2\frac{\beta}{p} = \frac{\alpha}{p} \cdot \frac{\beta}{p}$ મળે છે.
$u = \frac{x}{1-x}, v = \frac{y}{1-y}, w = \frac{z}{1-z}$ મૂકતા,આપણને $u - 2v = uv \Rightarrow u(1-v) = 2v \Rightarrow u = \frac{2v}{1-v}$ મળે છે.
તે જ રીતે,$(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma \Rightarrow \frac{\beta}{p} - 3\frac{\gamma}{p} = 2\frac{\beta}{p} \cdot \frac{\gamma}{p} \Rightarrow v - 3w = 2vw \Rightarrow v = \frac{3w}{1-2w}$.
આ સંબંધો ઉકેલતા $x = 2y$ અને $y = 3z$ મળે છે,તેથી $x = 6z$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{P(E_1)}{P(E_3)} = \frac{x}{z} = 6$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\alpha = x(1-y)(1-z)$,$\beta = y(1-x)(1-z)$,$\gamma = z(1-x)(1-y)$,અને $p = (1-x)(1-y)(1-z)$.
આના પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{\alpha}{p} = \frac{x}{1-x}$,$\frac{\beta}{p} = \frac{y}{1-y}$,અને $\frac{\gamma}{p} = \frac{z}{1-z}$.
આપેલ સંબંધ $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ ને $p^2$ વડે ભાગતા $\frac{\alpha}{p} - 2\frac{\beta}{p} = \frac{\alpha}{p} \cdot \frac{\beta}{p}$ મળે છે.
$u = \frac{x}{1-x}, v = \frac{y}{1-y}, w = \frac{z}{1-z}$ મૂકતા,આપણને $u - 2v = uv \Rightarrow u(1-v) = 2v \Rightarrow u = \frac{2v}{1-v}$ મળે છે.
તે જ રીતે,$(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma \Rightarrow \frac{\beta}{p} - 3\frac{\gamma}{p} = 2\frac{\beta}{p} \cdot \frac{\gamma}{p} \Rightarrow v - 3w = 2vw \Rightarrow v = \frac{3w}{1-2w}$.
આ સંબંધો ઉકેલતા $x = 2y$ અને $y = 3z$ મળે છે,તેથી $x = 6z$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{P(E_1)}{P(E_3)} = \frac{x}{z} = 6$ છે.
0 likesView Solution
26
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
$a \in \mathbb{R}$ (બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ) માટે,$a \neq -1$,જો $\lim_{n \to \infty} \frac{1^a + 2^a + \dots + n^a}{(n+1)^{a-1}[(na+1) + (na+2) + \dots + (na+n)]} = \frac{1}{60}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો:
A
$5$
B
$7$
C
$\frac{-15}{2}$
D
$\frac{-17}{2}$
Solution
(B,D) આપેલ લક્ષ $L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{r=1}^n r^a}{(n+1)^{a-1} \sum_{r=1}^n (na+r)}$ છે.
પ્રથમ,છેદનો સરવાળો ગણીએ: $\sum_{r=1}^n (na+r) = n^2a + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2n^2a + n^2 + n}{2} = \frac{n^2(2a+1) + n}{2}$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:
$L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{r=1}^n r^a}{(n+1)^{a-1} \cdot \frac{n^2(2a+1) + n}{2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \sum_{r=1}^n r^a}{(n+1)^{a-1} n^2(2a+1) (1 + \frac{1}{n(2a+1)})}$.
જેમ $n \to \infty$,$(n+1)^{a-1} \approx n^{a-1}$ થાય,તેથી:
$L = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \sum_{r=1}^n r^a}{n^{a-1} n^2 (2a+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \sum_{r=1}^n r^a}{n^{a+1} (2a+1)} = \frac{2}{2a+1} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \left(\frac{r}{n}\right)^a$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા $\int_0^1 x^a dx = \frac{1}{a+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \frac{2}{(2a+1)(a+1)} = \frac{1}{60}$.
તેથી,$(2a+1)(a+1) = 120 \implies 2a^2 + 3a + 1 = 120 \implies 2a^2 + 3a - 119 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(2)(-119)}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 952}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{961}}{4} = \frac{-3 \pm 31}{4}$.
આમ,$a = \frac{28}{4} = 7$ અથવા $a = \frac{-34}{4} = \frac{-17}{2}$.
તેથી,$a$ ની કિંમતો $7$ અને $\frac{-17}{2}$ છે.
પ્રથમ,છેદનો સરવાળો ગણીએ: $\sum_{r=1}^n (na+r) = n^2a + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{2n^2a + n^2 + n}{2} = \frac{n^2(2a+1) + n}{2}$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:
$L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{r=1}^n r^a}{(n+1)^{a-1} \cdot \frac{n^2(2a+1) + n}{2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \sum_{r=1}^n r^a}{(n+1)^{a-1} n^2(2a+1) (1 + \frac{1}{n(2a+1)})}$.
જેમ $n \to \infty$,$(n+1)^{a-1} \approx n^{a-1}$ થાય,તેથી:
$L = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \sum_{r=1}^n r^a}{n^{a-1} n^2 (2a+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \sum_{r=1}^n r^a}{n^{a+1} (2a+1)} = \frac{2}{2a+1} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \left(\frac{r}{n}\right)^a$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા $\int_0^1 x^a dx = \frac{1}{a+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \frac{2}{(2a+1)(a+1)} = \frac{1}{60}$.
તેથી,$(2a+1)(a+1) = 120 \implies 2a^2 + 3a + 1 = 120 \implies 2a^2 + 3a - 119 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(2)(-119)}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 952}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{961}}{4} = \frac{-3 \pm 31}{4}$.
આમ,$a = \frac{28}{4} = 7$ અથવા $a = \frac{-34}{4} = \frac{-17}{2}$.
તેથી,$a$ ની કિંમતો $7$ અને $\frac{-17}{2}$ છે.
0 likesView Solution
27
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2013
બે રેખાઓ $L_1: x=5, \frac{y}{3-\alpha}=\frac{z}{-2}$ અને $L_2: x=\alpha, \frac{y}{-1}=\frac{z}{2-\alpha}$ સમતલીય છે. તો $\alpha$ ની કિંમત(ઓ) શોધો.
A
$(A, C)$
B
$(B, D)$
C
$(B, C)$
D
$(A, D)$
Solution
(D) રેખાઓ $L_1: x=5, \frac{y}{3-\alpha}=\frac{z}{-2}$ અને $L_2: x=\alpha, \frac{y}{-1}=\frac{z}{2-\alpha}$ છે.
$L_1$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x-5}{0} = \frac{y}{3-\alpha} = \frac{z}{-2}$.
$L_2$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x-\alpha}{0} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2-\alpha}$.
બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોય જો $\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\left|\begin{array}{ccc} \alpha-5 & 0 & 0 \\ 0 & 3-\alpha & -2 \\ 0 & -1 & 2-\alpha \end{array}\right| = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $(\alpha-5) [(3-\alpha)(2-\alpha) - (-2)(-1)] = 0$.
$(\alpha-5) [6 - 3\alpha - 2\alpha + \alpha^2 - 2] = 0$.
$(\alpha-5) (\alpha^2 - 5\alpha + 4) = 0$.
$(\alpha-5)(\alpha-1)(\alpha-4) = 0$.
આમ,$\alpha = 1, 4, 5$. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $(A, D)$ છે.
$L_1$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x-5}{0} = \frac{y}{3-\alpha} = \frac{z}{-2}$.
$L_2$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x-\alpha}{0} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2-\alpha}$.
બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોય જો $\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\left|\begin{array}{ccc} \alpha-5 & 0 & 0 \\ 0 & 3-\alpha & -2 \\ 0 & -1 & 2-\alpha \end{array}\right| = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $(\alpha-5) [(3-\alpha)(2-\alpha) - (-2)(-1)] = 0$.
$(\alpha-5) [6 - 3\alpha - 2\alpha + \alpha^2 - 2] = 0$.
$(\alpha-5) (\alpha^2 - 5\alpha + 4) = 0$.
$(\alpha-5)(\alpha-1)(\alpha-4) = 0$.
આમ,$\alpha = 1, 4, 5$. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $(A, D)$ છે.
0 likesView Solution
28
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2013
ધારો કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે જ્યાં $\omega \neq 1$ અને $P = [p_{ij}]$ એ $n \times n$ શ્રેણિક છે જેમાં $p_{ij} = \omega^{i+j}$ છે. તો $n =$ હોય ત્યારે $P^2 \neq 0$ થાય.
A
$57$
B
$55$
C
$58$
D
$56$
Solution
(B,C,D) શ્રેણિક $P$ એ $p_{ij} = \omega^{i+j}$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે.
આપણે $P$ ને બે સ્તંભ સદિશોના ગુણાકાર તરીકે લખી શકીએ: $P = uv^T$,જ્યાં $u = [\omega^1, \omega^2, \dots, \omega^n]^T$ અને $v = [\omega^1, \omega^2, \dots, \omega^n]^T$.
તેથી $P^2 = (uv^T)(uv^T) = u(v^Tu)v^T$.
કારણ કે $v^Tu = \sum_{k=1}^n \omega^{k+k} = \sum_{k=1}^n \omega^{2k}$,તેથી $P^2 = 0$ જો અને માત્ર જો $v^Tu = 0$ હોય.
સરવાળો $S = \sum_{k=1}^n \omega^{2k}$ એ પ્રથમ પદ $\omega^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\omega^2$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
$S = \omega^2 \frac{1-(\omega^2)^n}{1-\omega^2} = \omega^2 \frac{1-\omega^{2n}}{1-\omega^2}$.
$S = 0$ જો અને માત્ર જો $1 - \omega^{2n} = 0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $\omega^{2n} = 1$.
કારણ કે $\omega^3 = 1$,આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $2n$ એ $3$ નો ગુણક હોય,એટલે કે $n$ એ $3$ નો ગુણક હોય.
આમ,જ્યારે $n$ એ $3$ નો ગુણક ન હોય ત્યારે $P^2 \neq 0$ થાય.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A) 57 = 3 \times 19$ ($3$ નો ગુણક છે)
$(B) 55$ ($3$ નો ગુણક નથી)
$(C) 58$ ($3$ નો ગુણક નથી)
$(D) 56$ ($3$ નો ગુણક નથી)
તેથી,$n = 55, 58, 56$ માટે $P^2 \neq 0$ થાય.
આપણે $P$ ને બે સ્તંભ સદિશોના ગુણાકાર તરીકે લખી શકીએ: $P = uv^T$,જ્યાં $u = [\omega^1, \omega^2, \dots, \omega^n]^T$ અને $v = [\omega^1, \omega^2, \dots, \omega^n]^T$.
તેથી $P^2 = (uv^T)(uv^T) = u(v^Tu)v^T$.
કારણ કે $v^Tu = \sum_{k=1}^n \omega^{k+k} = \sum_{k=1}^n \omega^{2k}$,તેથી $P^2 = 0$ જો અને માત્ર જો $v^Tu = 0$ હોય.
સરવાળો $S = \sum_{k=1}^n \omega^{2k}$ એ પ્રથમ પદ $\omega^2$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\omega^2$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
$S = \omega^2 \frac{1-(\omega^2)^n}{1-\omega^2} = \omega^2 \frac{1-\omega^{2n}}{1-\omega^2}$.
$S = 0$ જો અને માત્ર જો $1 - \omega^{2n} = 0$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $\omega^{2n} = 1$.
કારણ કે $\omega^3 = 1$,આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $2n$ એ $3$ નો ગુણક હોય,એટલે કે $n$ એ $3$ નો ગુણક હોય.
આમ,જ્યારે $n$ એ $3$ નો ગુણક ન હોય ત્યારે $P^2 \neq 0$ થાય.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A) 57 = 3 \times 19$ ($3$ નો ગુણક છે)
$(B) 55$ ($3$ નો ગુણક નથી)
$(C) 58$ ($3$ નો ગુણક નથી)
$(D) 56$ ($3$ નો ગુણક નથી)
તેથી,$n = 55, 58, 56$ માટે $P^2 \neq 0$ થાય.
0 likesView Solution
29
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 2013
વિધેય $f(x)=2|x|+|x+2|-||x+2|-2|x||$ ને $x=$ આગળ સ્થાનિક ન્યૂનતમ અથવા સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત છે.
A
$(B, D)$
B
$(B, C)$
C
$(A, C)$
D
$(A, B)$
Solution
(D) આપેલ વિધેય $f(x) = 2|x| + |x+2| - ||x+2| - 2|x||$ છે.
અલગ-અલગ અંતરાલોમાં વિધેયનું વિશ્લેષણ કરતા:
$1$. $x \leq -2$ માટે: $f(x) = -2x - 4$.
$2$. $-2 < x \leq -2/3$ માટે: $f(x) = 2x + 4$.
$3$. $-2/3 < x \leq 0$ માટે: $f(x) = -4x$.
$4$. $0 < x \leq 2$ માટે: $f(x) = 4x$.
$5$. $x > 2$ માટે: $f(x) = 2x + 4$.
વિધેયને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$f(x) = \begin{cases} -2x-4, & x \leq -2 \\ 2x+4, & -2 < x \leq -2/3 \\ -4x, & -2/3 < x \leq 0 \\ 4x, & 0 < x \leq 2 \\ 2x+4, & x > 2 \end{cases}$
આલેખ અને વિધેયની વ્યાખ્યા પરથી:
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $x = -2$ અને $x = 0$ આગળ મળે છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $x = -2/3$ આગળ મળે છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x = -2$ અને $x = -2/3$ એ વિકલ્પ $(A)$ અને $(B)$ દર્શાવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
અલગ-અલગ અંતરાલોમાં વિધેયનું વિશ્લેષણ કરતા:
$1$. $x \leq -2$ માટે: $f(x) = -2x - 4$.
$2$. $-2 < x \leq -2/3$ માટે: $f(x) = 2x + 4$.
$3$. $-2/3 < x \leq 0$ માટે: $f(x) = -4x$.
$4$. $0 < x \leq 2$ માટે: $f(x) = 4x$.
$5$. $x > 2$ માટે: $f(x) = 2x + 4$.
વિધેયને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$f(x) = \begin{cases} -2x-4, & x \leq -2 \\ 2x+4, & -2 < x \leq -2/3 \\ -4x, & -2/3 < x \leq 0 \\ 4x, & 0 < x \leq 2 \\ 2x+4, & x > 2 \end{cases}$
આલેખ અને વિધેયની વ્યાખ્યા પરથી:
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત $x = -2$ અને $x = 0$ આગળ મળે છે.
સ્થાનિક મહત્તમ કિંમત $x = -2/3$ આગળ મળે છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$x = -2$ અને $x = -2/3$ એ વિકલ્પ $(A)$ અને $(B)$ દર્શાવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
0 likesView Solution
30
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
ધારો કે $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ એક વિધેય છે. ધારો કે $f$ બે વાર વિકલનીય છે,$f(0)=f(1)=0$ અને $x \in[0,1]$ માટે $f^{\prime \prime}(x)-2 f^{\prime}(x)+f(x) \geq e^x$ નું પાલન કરે છે.
$1.$ $0 < x < 1$ માટે નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?
$(A)$ $0 < f(x) < \infty$
$(B)$ $-\frac{1}{2} < f(x) < \frac{1}{2}$
$(C)$ $-\frac{1}{4} < f(x) < 1$
$(D)$ $-\infty < f(x) < 0$
$2.$ જો વિધેય $g(x) = e^{-x} f(x)$ અંતરાલ $[0,1]$ માં તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $x=\frac{1}{4}$ પર ધારણ કરે છે,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?
$(A)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ માટે $x \in (0, 1/4)$
$(B)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ માટે $x \in (0, 1/4)$
$(C)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ માટે $x \in (1/4, 1)$
$(D)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ માટે $x \in (1/4, 1)$
$1.$ $0 < x < 1$ માટે નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?
$(A)$ $0 < f(x) < \infty$
$(B)$ $-\frac{1}{2} < f(x) < \frac{1}{2}$
$(C)$ $-\frac{1}{4} < f(x) < 1$
$(D)$ $-\infty < f(x) < 0$
$2.$ જો વિધેય $g(x) = e^{-x} f(x)$ અંતરાલ $[0,1]$ માં તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $x=\frac{1}{4}$ પર ધારણ કરે છે,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?
$(A)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ માટે $x \in (0, 1/4)$
$(B)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ માટે $x \in (0, 1/4)$
$(C)$ $f^{\prime}(x) < f(x)$ માટે $x \in (1/4, 1)$
$(D)$ $f^{\prime}(x) > f(x)$ માટે $x \in (1/4, 1)$
A
$(D, C)$
B
$(A, C)$
C
$(B, D)$
D
$(B, C)$
Solution
(D) $1.$ આપેલ છે $f^{\prime \prime}(x)-2 f^{\prime}(x)+f(x) \geq e^x$. $e^{-x}$ વડે ગુણતા,આપણને $e^{-x}f^{\prime \prime}(x) - 2e^{-x}f^{\prime}(x) + e^{-x}f(x) \geq 1$ મળે છે.
આને $\frac{d^2}{dx^2}(e^{-x}f(x)) \geq 1$ તરીકે લખી શકાય. ધારો કે $g(x) = e^{-x}f(x)$. તો $g^{\prime \prime}(x) \geq 1$.
$f(0)=f(1)=0$ હોવાથી,$g(0)=0$ અને $g(1)=0$ થાય. $g^{\prime \prime}(x) > 0$ હોવાથી,$g(x)$ એ ચુસ્તપણે બહિર્મુખ (convex) છે. $g(0)=g(1)=0$ ધરાવતું બહિર્મુખ વિધેય $(0,1)$ માં ઋણ જ હોવું જોઈએ. તેથી $g(x) < 0 \Rightarrow e^{-x}f(x) < 0 \Rightarrow f(x) < 0$. આ વિકલ્પ $(D)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$2.$ $g(x) = e^{-x}f(x)$ ને $x=1/4$ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય હોવાથી,$g^{\prime}(1/4) = 0$. $x < 1/4$ માટે,$g^{\prime}(x) < 0$ અને $x > 1/4$ માટે,$g^{\prime}(x) > 0$ થાય.
$g^{\prime}(x) = e^{-x}f^{\prime}(x) - e^{-x}f(x) = e^{-x}(f^{\prime}(x) - f(x))$.
$x \in (0, 1/4)$ માટે,$g^{\prime}(x) < 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) - f(x) < 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) < f(x)$.
$x \in (1/4, 1)$ માટે,$g^{\prime}(x) > 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) - f(x) > 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) > f(x)$.
આમ,$(B)$ અને $(C)$ સત્ય છે.
આને $\frac{d^2}{dx^2}(e^{-x}f(x)) \geq 1$ તરીકે લખી શકાય. ધારો કે $g(x) = e^{-x}f(x)$. તો $g^{\prime \prime}(x) \geq 1$.
$f(0)=f(1)=0$ હોવાથી,$g(0)=0$ અને $g(1)=0$ થાય. $g^{\prime \prime}(x) > 0$ હોવાથી,$g(x)$ એ ચુસ્તપણે બહિર્મુખ (convex) છે. $g(0)=g(1)=0$ ધરાવતું બહિર્મુખ વિધેય $(0,1)$ માં ઋણ જ હોવું જોઈએ. તેથી $g(x) < 0 \Rightarrow e^{-x}f(x) < 0 \Rightarrow f(x) < 0$. આ વિકલ્પ $(D)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$2.$ $g(x) = e^{-x}f(x)$ ને $x=1/4$ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય હોવાથી,$g^{\prime}(1/4) = 0$. $x < 1/4$ માટે,$g^{\prime}(x) < 0$ અને $x > 1/4$ માટે,$g^{\prime}(x) > 0$ થાય.
$g^{\prime}(x) = e^{-x}f^{\prime}(x) - e^{-x}f(x) = e^{-x}(f^{\prime}(x) - f(x))$.
$x \in (0, 1/4)$ માટે,$g^{\prime}(x) < 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) - f(x) < 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) < f(x)$.
$x \in (1/4, 1)$ માટે,$g^{\prime}(x) > 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) - f(x) > 0 \Rightarrow f^{\prime}(x) > f(x)$.
આમ,$(B)$ અને $(C)$ સત્ય છે.
0 likesView Solution
31
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 2013
એક બોક્સ $B_1$ માં $1$ સફેદ દડો,$3$ લાલ દડા અને $2$ કાળા દડા છે. બીજા બોક્સ $B_2$ માં $2$ સફેદ દડા,$3$ લાલ દડા અને $4$ કાળા દડા છે. ત્રીજા બોક્સ $B_3$ માં $3$ સફેદ દડા,$4$ લાલ દડા અને $5$ કાળા દડા છે.
$1.$ જો દરેક બોક્સ $B_1, B_2$ અને $B_3$ માંથી $1$ દડો કાઢવામાં આવે,તો ત્રણેય દડા એક જ રંગના હોય તેની સંભાવના કેટલી?
$(A)$ $\frac{82}{648}$ $(B)$ $\frac{90}{648}$ $(C)$ $\frac{558}{648}$ $(D)$ $\frac{566}{648}$
$2.$ જો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા બોક્સમાંથી $2$ દડા (પુનઃસ્થાપન વગર) કાઢવામાં આવે અને તેમાંથી એક દડો સફેદ અને બીજો લાલ હોય,તો આ $2$ દડા બોક્સ $B_2$ માંથી કાઢવામાં આવ્યા હોય તેની સંભાવના કેટલી?
$(A)$ $\frac{116}{181}$ $(B)$ $\frac{126}{181}$ $(C)$ $\frac{65}{181}$ $(D)$ $\frac{55}{181}$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે સાચા વિકલ્પો પસંદ કરો.
$1.$ જો દરેક બોક્સ $B_1, B_2$ અને $B_3$ માંથી $1$ દડો કાઢવામાં આવે,તો ત્રણેય દડા એક જ રંગના હોય તેની સંભાવના કેટલી?
$(A)$ $\frac{82}{648}$ $(B)$ $\frac{90}{648}$ $(C)$ $\frac{558}{648}$ $(D)$ $\frac{566}{648}$
$2.$ જો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા બોક્સમાંથી $2$ દડા (પુનઃસ્થાપન વગર) કાઢવામાં આવે અને તેમાંથી એક દડો સફેદ અને બીજો લાલ હોય,તો આ $2$ દડા બોક્સ $B_2$ માંથી કાઢવામાં આવ્યા હોય તેની સંભાવના કેટલી?
$(A)$ $\frac{116}{181}$ $(B)$ $\frac{126}{181}$ $(C)$ $\frac{65}{181}$ $(D)$ $\frac{55}{181}$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે સાચા વિકલ્પો પસંદ કરો.
A
$(A, D)$
B
$(B, D)$
C
$(B, C)$
D
$(A, C)$
Solution
(A, D) $1.$ ત્રણેય દડા એક જ રંગના હોય તેની સંભાવના $P(WWW) + P(RRR) + P(BBB)$ દ્વારા મળે છે.
$P(WWW) = \frac{1}{6} \times \frac{2}{9} \times \frac{3}{12} = \frac{6}{648}$
$P(RRR) = \frac{3}{6} \times \frac{3}{9} \times \frac{4}{12} = \frac{36}{648}$
$P(BBB) = \frac{2}{6} \times \frac{4}{9} \times \frac{5}{12} = \frac{40}{648}$
આનો સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{6+36+40}{648} = \frac{82}{648}$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
$2.$ ધારો કે $E$ એ એક સફેદ અને એક લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે. ધારો કે $B_1, B_2, B_3$ એ સંબંધિત બોક્સ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
$P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = \frac{1}{3}$.
$P(E|B_1) = \frac{\binom{1}{1} \times \binom{3}{1}}{\binom{6}{2}} = \frac{1 \times 3}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.
$P(E|B_2) = \frac{\binom{2}{1} \times \binom{3}{1}}{\binom{9}{2}} = \frac{2 \times 3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$P(E|B_3) = \frac{\binom{3}{1} \times \binom{4}{1}}{\binom{12}{2}} = \frac{3 \times 4}{66} = \frac{12}{66} = \frac{2}{11}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(B_2|E) = \frac{P(B_2)P(E|B_2)}{P(B_1)P(E|B_1) + P(B_2)P(E|B_2) + P(B_3)P(E|B_3)}$.
$P(B_2|E) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{6}}{\frac{1}{3} \times (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{2}{11})} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{66+55+60}{330}} = \frac{1}{6} \times \frac{330}{181} = \frac{55}{181}$. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.
$P(WWW) = \frac{1}{6} \times \frac{2}{9} \times \frac{3}{12} = \frac{6}{648}$
$P(RRR) = \frac{3}{6} \times \frac{3}{9} \times \frac{4}{12} = \frac{36}{648}$
$P(BBB) = \frac{2}{6} \times \frac{4}{9} \times \frac{5}{12} = \frac{40}{648}$
આનો સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{6+36+40}{648} = \frac{82}{648}$ મળે છે. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
$2.$ ધારો કે $E$ એ એક સફેદ અને એક લાલ દડો કાઢવાની ઘટના છે. ધારો કે $B_1, B_2, B_3$ એ સંબંધિત બોક્સ પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે.
$P(B_1) = P(B_2) = P(B_3) = \frac{1}{3}$.
$P(E|B_1) = \frac{\binom{1}{1} \times \binom{3}{1}}{\binom{6}{2}} = \frac{1 \times 3}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.
$P(E|B_2) = \frac{\binom{2}{1} \times \binom{3}{1}}{\binom{9}{2}} = \frac{2 \times 3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$P(E|B_3) = \frac{\binom{3}{1} \times \binom{4}{1}}{\binom{12}{2}} = \frac{3 \times 4}{66} = \frac{12}{66} = \frac{2}{11}$.
બેયઝના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(B_2|E) = \frac{P(B_2)P(E|B_2)}{P(B_1)P(E|B_1) + P(B_2)P(E|B_2) + P(B_3)P(E|B_3)}$.
$P(B_2|E) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{6}}{\frac{1}{3} \times (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{2}{11})} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{66+55+60}{330}} = \frac{1}{6} \times \frac{330}{181} = \frac{55}{181}$. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.
0 likesView Solution
32
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
યાદી $I$ ને યાદી $II$ સાથે જોડો અને નીચે આપેલા કોડનો ઉપયોગ કરીને સાચો જવાબ પસંદ કરો:
કોડ: $P \quad Q \quad R \quad S$
| યાદી $I$ | યાદી $II$ |
|---|---|
| $P$. $\left(\frac{1}{y^2}\left(\frac{\cos (\tan ^{-1} y)+y \sin (\tan ^{-1} y)}{\cot (\sin ^{-1} y)+\tan (\sin ^{-1} y)}\right)^2+y^4\right)^{1 / 2}$ ની કિંમત | $1$. $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{3}}$ |
| $Q$. જો $\cos x+\cos y+\cos z=0=\sin x+\sin y+\sin z$ હોય,તો $\cos \frac{x-y}{2}$ ની શક્ય કિંમત | $2$. $\sqrt{2}$ |
| $R$. જો $\cos (\frac{\pi}{4}-x) \cos 2 x+\sin x \sin 2 x \sec x=\cos x \sin 2 x \sec x+\cos (\frac{\pi}{4}+x) \cos 2 x$ હોય,તો $\sec x$ ની શક્ય કિંમત | $3$. $\frac{1}{2}$ |
| $S$. જો $\cot (\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2})=\sin (\tan ^{-1}(x \sqrt{6})), x \neq 0$ હોય,તો $x$ ની શક્ય કિંમત | $4$. $1$ |
કોડ: $P \quad Q \quad R \quad S$
A
$4 \quad 3 \quad 1 \quad 2$
B
$4 \quad 3 \quad 2 \quad 1$
C
$3 \quad 4 \quad 2 \quad 1$
D
$3 \quad 4 \quad 1 \quad 2$
Solution
(D) $(P)$ $\left(\frac{1}{y^2}\left(\frac{\cos (\tan ^{-1} y)+y \sin (\tan ^{-1} y)}{\cot (\sin ^{-1} y)+\tan (\sin ^{-1} y)}\right)^2+y^4\right)^{1 / 2}$
$= \left[\frac{1}{y^2}\left[\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{y \cdot y}{\sqrt{1+y^2}}\right)}{\left(\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right)}\right]^2+y^4\right]^{1 / 2}$
$= \left(\frac{1}{y^2} \cdot y^2(1-y^4)+y^4\right)^{1 / 2} = 1$
$(Q)$ $\cos x+\cos y=-\cos z$ અને $\sin x+\sin y=-\sin z$.
બંને બાજુ વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા: $(\cos x+\cos y)^2 + (\sin x+\sin y)^2 = \cos^2 z + \sin^2 z = 1$.
$2 + 2\cos(x-y) = 1 \Rightarrow \cos(x-y) = -1/2$.
$\cos(x-y) = 2\cos^2(\frac{x-y}{2}) - 1 = -1/2 \Rightarrow 2\cos^2(\frac{x-y}{2}) = 1/2 \Rightarrow \cos^2(\frac{x-y}{2}) = 1/4 \Rightarrow \cos(\frac{x-y}{2}) = 1/2$.
$(R)$ $\cos 2 x(\cos (\frac{\pi}{4}-x)-\cos (\frac{\pi}{4}+x)) = 2 \sin x \cos x - 2 \sin^2 x = 2 \sin x (\cos x - \sin x)$.
$\cos 2 x(\sqrt{2} \sin x) = 2 \sin x (\cos x - \sin x)$.
$\sqrt{2} \sin x [\cos 2 x - \sqrt{2}(\cos x - \sin x)] = 0$.
$\sin x = 0$ અથવા $\cos^2 x - \sin^2 x = \sqrt{2}(\cos x - \sin x) \Rightarrow (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x - \sqrt{2}) = 0$.
$\sec x = \sqrt{2}$.
$(S)$ $\cot (\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
$\sin (\tan ^{-1}(x \sqrt{6})) = \frac{x \sqrt{6}}{\sqrt{1+6 x^2}}$.
$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x \sqrt{6}}{\sqrt{1+6 x^2}} \Rightarrow 1+6x^2 = 6(1-x^2) = 6-6x^2 \Rightarrow 12x^2 = 5 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{3}}$.
$= \left[\frac{1}{y^2}\left[\frac{\left(\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{y \cdot y}{\sqrt{1+y^2}}\right)}{\left(\frac{\sqrt{1-y^2}}{y}+\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\right)}\right]^2+y^4\right]^{1 / 2}$
$= \left(\frac{1}{y^2} \cdot y^2(1-y^4)+y^4\right)^{1 / 2} = 1$
$(Q)$ $\cos x+\cos y=-\cos z$ અને $\sin x+\sin y=-\sin z$.
બંને બાજુ વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા: $(\cos x+\cos y)^2 + (\sin x+\sin y)^2 = \cos^2 z + \sin^2 z = 1$.
$2 + 2\cos(x-y) = 1 \Rightarrow \cos(x-y) = -1/2$.
$\cos(x-y) = 2\cos^2(\frac{x-y}{2}) - 1 = -1/2 \Rightarrow 2\cos^2(\frac{x-y}{2}) = 1/2 \Rightarrow \cos^2(\frac{x-y}{2}) = 1/4 \Rightarrow \cos(\frac{x-y}{2}) = 1/2$.
$(R)$ $\cos 2 x(\cos (\frac{\pi}{4}-x)-\cos (\frac{\pi}{4}+x)) = 2 \sin x \cos x - 2 \sin^2 x = 2 \sin x (\cos x - \sin x)$.
$\cos 2 x(\sqrt{2} \sin x) = 2 \sin x (\cos x - \sin x)$.
$\sqrt{2} \sin x [\cos 2 x - \sqrt{2}(\cos x - \sin x)] = 0$.
$\sin x = 0$ અથવા $\cos^2 x - \sin^2 x = \sqrt{2}(\cos x - \sin x) \Rightarrow (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x - \sqrt{2}) = 0$.
$\sec x = \sqrt{2}$.
$(S)$ $\cot (\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2}) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
$\sin (\tan ^{-1}(x \sqrt{6})) = \frac{x \sqrt{6}}{\sqrt{1+6 x^2}}$.
$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x \sqrt{6}}{\sqrt{1+6 x^2}} \Rightarrow 1+6x^2 = 6(1-x^2) = 6-6x^2 \Rightarrow 12x^2 = 5 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{3}}$.
0 likesView Solution
33
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
યાદી $I$ ને યાદી $II$ સાથે જોડો અને નીચે આપેલા કોડનો ઉપયોગ કરીને સાચો જવાબ પસંદ કરો:
કોડ: $P \quad Q \quad R \quad S$
| યાદી $I$ | યાદી $II$ |
| $P$. સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ $2$ છે. તો સદિશો $2(\vec{a} \times \vec{b}), 3(\vec{b} \times \vec{c})$ અને $(\vec{c} \times \vec{a})$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ શોધો. | $1$. $100$ |
| $Q$. સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ $5$ છે. તો સદિશો $3(\vec{a}+\vec{b}), (\vec{b}+\vec{c})$ અને $2(\vec{c}+\vec{a})$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ શોધો. | $2$. $30$ |
| $R$. સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ દ્વારા નિર્ધારિત પાસપાસેની બાજુઓવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $20$ છે. તો સદિશો $(2\vec{a}+3\vec{b})$ અને $(\vec{a}-\vec{b})$ દ્વારા નિર્ધારિત પાસપાસેની બાજુઓવાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો. | $3$. $24$ |
| $S$. સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ દ્વારા નિર્ધારિત પાસપાસેની બાજુઓવાળા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $30$ છે. તો સદિશો $(\vec{a}+\vec{b})$ અને $\vec{a}$ દ્વારા નિર્ધારિત પાસપાસેની બાજુઓવાળા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો. | $4$. $60$ |
કોડ: $P \quad Q \quad R \quad S$
A
$4 \quad 2 \quad 3 \quad 1$
B
$2 \quad 3 \quad 1 \quad 4$
C
$3 \quad 4 \quad 1 \quad 2$
D
$1 \quad 4 \quad 3 \quad 2$
Solution
(C) $(P)$ આપેલ છે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 2$. સદિશો $2(\vec{a} \times \vec{b}), 3(\vec{b} \times \vec{c})$ અને $(\vec{c} \times \vec{a})$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|2(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (3(\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{c} \times \vec{a}))|$ દ્વારા મળે છે.
ગુણધર્મ $(\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{c} \times \vec{a}) = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] \vec{c} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $6[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 6(2)^2 = 24$ મળે છે.
આમ,$P \rightarrow 3$.
$(Q)$ આપેલ છે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 5$. ઘનફળ $[3(\vec{a}+\vec{b}) \quad (\vec{b}+\vec{c}) \quad 2(\vec{c}+\vec{a})] = 6 [(\vec{a}+\vec{b}) \cdot ((\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a}))]$ છે.
કારણ કે $(\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{a}$,તેથી ત્રિગુણિત ગુણાકાર $6 \times 2 [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 12 \times 5 = 60$ થાય છે.
આમ,$Q \rightarrow 4$.
$(R)$ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = 20$,તેથી $|\vec{a} \times \vec{b}| = 40$. નવું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |(2\vec{a}+3\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b})| = \frac{1}{2} |-2(\vec{a} \times \vec{b}) + 3(\vec{b} \times \vec{a})| = \frac{1}{2} |-2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3(\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{5}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{5}{2} \times 40 = 100$ થાય છે.
આમ,$R \rightarrow 1$.
$(S)$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= |\vec{a} \times \vec{b}| = 30$. નવું ક્ષેત્રફળ $|(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{a}| = |\vec{a} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{a}| = |\vec{b} \times \vec{a}| = |\vec{a} \times \vec{b}| = 30$ થાય છે.
આમ,$S \rightarrow 2$.
ગુણધર્મ $(\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{c} \times \vec{a}) = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] \vec{c} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $6[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 6(2)^2 = 24$ મળે છે.
આમ,$P \rightarrow 3$.
$(Q)$ આપેલ છે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 5$. ઘનફળ $[3(\vec{a}+\vec{b}) \quad (\vec{b}+\vec{c}) \quad 2(\vec{c}+\vec{a})] = 6 [(\vec{a}+\vec{b}) \cdot ((\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a}))]$ છે.
કારણ કે $(\vec{b}+\vec{c}) \times (\vec{c}+\vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{a}$,તેથી ત્રિગુણિત ગુણાકાર $6 \times 2 [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 12 \times 5 = 60$ થાય છે.
આમ,$Q \rightarrow 4$.
$(R)$ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = 20$,તેથી $|\vec{a} \times \vec{b}| = 40$. નવું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |(2\vec{a}+3\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b})| = \frac{1}{2} |-2(\vec{a} \times \vec{b}) + 3(\vec{b} \times \vec{a})| = \frac{1}{2} |-2(\vec{a} \times \vec{b}) - 3(\vec{a} \times \vec{b})| = \frac{5}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{5}{2} \times 40 = 100$ થાય છે.
આમ,$R \rightarrow 1$.
$(S)$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= |\vec{a} \times \vec{b}| = 30$. નવું ક્ષેત્રફળ $|(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{a}| = |\vec{a} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{a}| = |\vec{b} \times \vec{a}| = |\vec{a} \times \vec{b}| = 30$ થાય છે.
આમ,$S \rightarrow 2$.
0 likesView Solution
34
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2013
રેખાઓ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+3}{1}$,$L_2: \frac{x-4}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z+3}{2}$ અને સમતલો $P_1: 7x+y+2z=3$,$P_2: 3x+5y-6z=4$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $ax+by+cz=d$ એ રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા અને સમતલો $P_1$ અને $P_2$ ને લંબ સમતલનું સમીકરણ છે. યાદી-$I$ ને યાદી-$II$ સાથે જોડો અને નીચે આપેલા કોડનો ઉપયોગ કરીને સાચો જવાબ પસંદ કરો:
કોડ: $P \quad Q \quad R \quad S$
| યાદી-$I$ | યાદી-$II$ |
| $P. \quad a =$ | $1. \quad 13$ |
| $Q. \quad b =$ | $2. \quad -3$ |
| $R. \quad c =$ | $3. \quad 1$ |
| $S. \quad d =$ | $4. \quad -2$ |
કોડ: $P \quad Q \quad R \quad S$
A
$3 \quad 2 \quad 4 \quad 1$
B
$1 \quad 3 \quad 4 \quad 2$
C
$3 \quad 2 \quad 1 \quad 4$
D
$2 \quad 4 \quad 1 \quad 3$
Solution
(A) જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $P_1$ અને $P_2$ ના અભિલંબને લંબ છે. તેથી,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 1 & 2 \\ 3 & 5 & -6 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6-10) - \hat{j}(-42-6) + \hat{k}(35-3) = -16\hat{i} + 48\hat{j} + 32\hat{k}$.
$-16$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$ મળે છે.
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે,$L_1: (2k_1+1, -k_1, k_1-3)$ અને $L_2: (k_2+4, k_2-3, 2k_2-3)$ લો.
યામોને સરખાવતા: $2k_1+1 = k_2+4 \Rightarrow 2k_1 - k_2 = 3$ અને $-k_1 = k_2-3 \Rightarrow k_1+k_2 = 3$.
આનો સરવાળો કરતા $3k_1 = 6 \Rightarrow k_1 = 2$ મળે. તેથી $k_2 = 1$.
છેદબિંદુ: $(2(2)+1, -2, 2-3) = (5, -2, -1)$.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-5) - 3(y+2) - 2(z+1) = 0 \Rightarrow x - 3y - 2z - 5 - 6 - 2 = 0 \Rightarrow x - 3y - 2z = 13$ છે.
$ax+by+cz=d$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-3, c=-2, d=13$ મળે છે.
આમ,$P-3, Q-2, R-4, S-1$. સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
$-16$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$ મળે છે.
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ શોધવા માટે,$L_1: (2k_1+1, -k_1, k_1-3)$ અને $L_2: (k_2+4, k_2-3, 2k_2-3)$ લો.
યામોને સરખાવતા: $2k_1+1 = k_2+4 \Rightarrow 2k_1 - k_2 = 3$ અને $-k_1 = k_2-3 \Rightarrow k_1+k_2 = 3$.
આનો સરવાળો કરતા $3k_1 = 6 \Rightarrow k_1 = 2$ મળે. તેથી $k_2 = 1$.
છેદબિંદુ: $(2(2)+1, -2, 2-3) = (5, -2, -1)$.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-5) - 3(y+2) - 2(z+1) = 0 \Rightarrow x - 3y - 2z - 5 - 6 - 2 = 0 \Rightarrow x - 3y - 2z = 13$ છે.
$ax+by+cz=d$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-3, c=-2, d=13$ મળે છે.
આમ,$P-3, Q-2, R-4, S-1$. સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likesView Solution
35
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 2013
એક વક્ર બિંદુ $\left(1, \frac{\pi}{6}\right)$ માંથી પસાર થાય છે. ધારો કે દરેક બિંદુ $(x, y)$ પર વક્રનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sec \left(\frac{y}{x}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x > 0$. તો વક્રનું સમીકરણ શું છે?
A
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + \frac{1}{2}$
B
$\operatorname{cosec}\left(\frac{y}{x}\right) = \log x + 2$
C
$\cos \left(\frac{2y}{x}\right) = \log x + \frac{1}{2}$
D
$\sec \left(\frac{2y}{x}\right) = \log x + 2$
Solution
(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sec \left(\frac{y}{x}\right)$.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \sec v$
$x \frac{dv}{dx} = \sec v$
$\cos v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \cos v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$
$\sin v = \log x + C$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + C$.
વક્ર બિંદુ $\left(1, \frac{\pi}{6}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$\sin \left(\frac{\pi/6}{1}\right) = \log(1) + C$
$\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 0 + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + \frac{1}{2}$ છે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \sec v$
$x \frac{dv}{dx} = \sec v$
$\cos v \, dv = \frac{1}{x} \, dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \cos v \, dv = \int \frac{1}{x} \, dx$
$\sin v = \log x + C$.
$v = \frac{y}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + C$.
વક્ર બિંદુ $\left(1, \frac{\pi}{6}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$\sin \left(\frac{\pi/6}{1}\right) = \log(1) + C$
$\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = 0 + C \Rightarrow C = \frac{1}{2}$.
આમ,વક્રનું સમીકરણ $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log x + \frac{1}{2}$ છે.
0 likesView Solution
36
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 2013
$\cot \left(\sum_{n=1}^{23} \cot ^{-1}\left(1+\sum_{k=1}^n 2 k\right)\right)$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$\frac{23}{25}$
B
$\frac{25}{23}$
C
$\frac{23}{24}$
D
$\frac{24}{23}$
Solution
(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=1}^n 2k = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\cot \left(\sum_{n=1}^{23} \cot ^{-1}(1+n(n+1))\right)$ મળે છે.
$x > 0$ માટે નિત્યસમ $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $\cot \left(\sum_{n=1}^{23} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+n(n+1)}\right)\right)$ બને છે.
આપણે $\tan^{-1}$ ના આર્ગ્યુમેન્ટને $\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ,જે આપણને $\tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}(\frac{a-b}{1+ab})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
આમ,$\sum_{n=1}^{23} \tan ^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}\right) = \sum_{n=1}^{23} (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n))$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો છે: $(\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + (\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)) + \dots + (\tan^{-1}(24) - \tan^{-1}(23)) = \tan^{-1}(24) - \tan^{-1}(1)$.
હવે,$\cot(\tan^{-1}(24) - \tan^{-1}(1)) = \cot(\tan^{-1}(\frac{24-1}{1+24 \times 1})) = \cot(\tan^{-1}(\frac{23}{25}))$.
કારણ કે $\cot(\tan^{-1}(x)) = \cot(\cot^{-1}(\frac{1}{x})) = \frac{1}{x}$,તેથી $\cot(\tan^{-1}(\frac{23}{25})) = \frac{25}{23}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\cot \left(\sum_{n=1}^{23} \cot ^{-1}(1+n(n+1))\right)$ મળે છે.
$x > 0$ માટે નિત્યસમ $\cot^{-1}(x) = \tan^{-1}(\frac{1}{x})$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $\cot \left(\sum_{n=1}^{23} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+n(n+1)}\right)\right)$ બને છે.
આપણે $\tan^{-1}$ ના આર્ગ્યુમેન્ટને $\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ,જે આપણને $\tan^{-1}(a) - \tan^{-1}(b) = \tan^{-1}(\frac{a-b}{1+ab})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
આમ,$\sum_{n=1}^{23} \tan ^{-1}\left(\frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}\right) = \sum_{n=1}^{23} (\tan^{-1}(n+1) - \tan^{-1}(n))$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો છે: $(\tan^{-1}(2) - \tan^{-1}(1)) + (\tan^{-1}(3) - \tan^{-1}(2)) + \dots + (\tan^{-1}(24) - \tan^{-1}(23)) = \tan^{-1}(24) - \tan^{-1}(1)$.
હવે,$\cot(\tan^{-1}(24) - \tan^{-1}(1)) = \cot(\tan^{-1}(\frac{24-1}{1+24 \times 1})) = \cot(\tan^{-1}(\frac{23}{25}))$.
કારણ કે $\cot(\tan^{-1}(x)) = \cot(\cot^{-1}(\frac{1}{x})) = \frac{1}{x}$,તેથી $\cot(\tan^{-1}(\frac{23}{25})) = \frac{25}{23}$.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real IIT JEE style covering Mathematics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Mathematics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live IIT JEE mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Mathematics questions are in IIT JEE 2013?
There are 36 Mathematics questions from the IIT JEE 2013 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are IIT JEE 2013 Mathematics solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice IIT JEE 2013 Mathematics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full IIT JEE mock test covering Mathematics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Mathematics papers from IIT JEE previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix IIT JEE Mathematics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Mathematics Paper
Pick IIT JEE 2013 Mathematics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.