IIT JEE 2004 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया समीकरण: $(1 + \omega^2)^m = (1 + \omega^4)^m$.
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^4 = \omega$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $(1 + \omega^2)^m = (1 + \omega)^m$.
गुणधर्म $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,$1 + \omega^2 = -\omega$ और $1 + \omega = -\omega^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$(-\omega)^m = (-\omega^2)^m$.
दोनों पक्षों को $(-\omega)^m$ से विभाजित करने पर: $1 = (\frac{-\omega^2}{-\omega})^m = (\omega)^m$.
$(\omega)^m = 1$ के लिए,$m$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान $3$ है,क्योंकि $\omega^3 = 1$ होता है।

(B) एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $r$ सार्व अनुपात है,जिसमें शर्त $|r| < 1$ है।
दिया गया है $a = x$ और $S = 5$,इसलिए $5 = \frac{x}{1-r}$।
$r$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $1 - r = \frac{x}{5}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = 1 - \frac{x}{5}$।
चूंकि $|r| < 1$,हमारे पास $|1 - \frac{x}{5}| < 1$ है।
इस असमिका को $-1 < 1 - \frac{x}{5} < 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सभी भागों से $1$ घटाने पर,हमें $-2 < -\frac{x}{5} < 0$ प्राप्त होता है।
$-5$ से गुणा करने पर (और असमिका के चिह्नों को उलटने पर),हमें $10 > x > 0$ या $0 < x < 10$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि दिए गए समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
मूलों और गुणांकों के बीच संबंध से:
$\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = q$
$\alpha + \alpha^2 = -p$
दूसरे समीकरण के दोनों पक्षों का घन करने पर:
$(\alpha + \alpha^2)^3 = (-p)^3$
$\alpha^3 + (\alpha^2)^3 + 3\alpha \cdot \alpha^2(\alpha + \alpha^2) = -p^3$
$\alpha^3 = q$ और $\alpha + \alpha^2 = -p$ का मान रखने पर:
$q + q^2 + 3q(-p) = -p^3$
$p^3 + q^2 + q - 3pq = 0$
$p^3 + q^2 + q(1 - 3p) = 0$.

(A) एक द्विघात व्यंजक $Ax^2 + Bx + C > 0$ के सभी $x \in R$ के लिए सत्य होने हेतु,इसका विविक्तकर (discriminant) $D < 0$ और $A > 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = 1$,जो $> 0$ है।
विविक्तकर $D = B^2 - 4AC = (2a)^2 - 4(1)(10 - 3a) < 0$ है।
$4a^2 - 40 + 12a < 0$।
$4$ से भाग देने पर,हमें $a^2 + 3a - 10 < 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(a + 5)(a - 2) < 0$ मिलता है।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $a$ का मान $-5$ और $2$ के बीच हो,अतः $-5 < a < 2$।

(D) दिया गया समीकरण: $^{n-1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r+1}$
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!} = (k^2 - 3) \cdot \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}$
क्रमगुणित (factorial) को सरल करने पर:
$\frac{1}{r!} = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{(r+1)r!}$
$1 = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{r+1}$
$k^2 - 3 = \frac{r+1}{n}$
$k^2 = \frac{r+1}{n} + 3$
चूंकि $0 \le r \le n-1$,इसलिए $1 \le r+1 \le n$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{n} \le \frac{r+1}{n} \le 1$।
अतः,$k^2 \in [\frac{1}{n} + 3, 4]$।
$n \ge 2$ के लिए,$\frac{1}{n} + 3$ का मान $(3, 3.5]$ अंतराल में है।
इसलिए,$k \in [-2, -\sqrt{\frac{1}{n} + 3}] \cup [\sqrt{\frac{1}{n} + 3}, 2]$।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$(\sqrt{3}, 2)$ सबसे उपयुक्त उपसमुच्चय है।

(D) भुजाओं का अनुपात $a:b:c = 1:\sqrt{3}:2$ दिया गया है।
माना $a = \lambda$,$b = \sqrt{3}\lambda$,और $c = 2\lambda$ है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3\lambda^2 + 4\lambda^2 - \lambda^2}{2(\sqrt{3}\lambda)(2\lambda)} = \frac{6\lambda^2}{4\sqrt{3}\lambda^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$A = 30^\circ$ है।
इसी प्रकार,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{\lambda^2 + 4\lambda^2 - 3\lambda^2}{2(\lambda)(2\lambda)} = \frac{2\lambda^2}{4\lambda^2} = \frac{1}{2}$।
अतः,$B = 60^\circ$ है।
अंत में,$C = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ$ है।
इस प्रकार,$A:B:C = 30^\circ:60^\circ:90^\circ = 1:2:3$।

(A) दिया गया समीकरण ${x^2} - ({y^2} - 2y + 1) = 0$ है,जो ${x^2} - {(y - 1)^2} = 0$ में सरल हो जाता है।
यह रेखाओं के युग्म $(x - y + 1)(x + y - 1) = 0$ को दर्शाता है।
रेखाएँ $x - y + 1 = 0$ और $x + y - 1 = 0$ हैं।
इन रेखाओं के कोण समद्विभाजक $\frac{x - y + 1}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{x + y - 1}{\sqrt{1^2 + 1^2}}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यह $x - y + 1 = \pm (x + y - 1)$ में सरल हो जाता है।
स्थिति $1$: $x - y + 1 = x + y - 1 \implies 2y = 2 \implies y = 1$।
स्थिति $2$: $x - y + 1 = -(x + y - 1) \implies 2x = 0 \implies x = 0$।
अतः,कोण समद्विभाजक रेखाएँ $x = 0$ और $y = 1$ हैं।
तीसरी रेखा $x + y = 3$ है।
$x = 0$,$y = 1$,और $x + y = 3$ द्वारा निर्मित त्रिभुज के शीर्ष:
$x = 0$ और $y = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1)$ है।
$x = 0$ और $x + y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 3)$ है।
$y = 1$ और $x + y = 3$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 1)$ है।
यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसके शीर्ष $(0, 1)$,$(0, 3)$,और $(2, 1)$ हैं।
आधार की लंबाई $2 - 0 = 2$ और ऊँचाई $3 - 1 = 2$ है।
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$।

(C) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0$ है।
इसका केंद्र $C(1, 3)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $D(2, 1)$ है।
चूंकि दिए गए वृत्त का व्यास अभीष्ट वृत्त की एक जीवा है,इसलिए जीवा की लंबाई $2 \times 2 = 4$ है।
अतः,समकोण त्रिभुज $\triangle ACD$ में,$AC = 2$ और $CD = \sqrt{(2-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{5}$ है।
अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $R = AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$।

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $x^2 + 2y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 2$ और $b^2 = 1$ है।
माना स्पर्श बिंदु $R \equiv (\sqrt{2} \cos \theta, \sin \theta)$ है।
$R$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} + y \sin \theta = 1$ है।
यह स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A \equiv (\sqrt{2} \sec \theta, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B \equiv (0, \csc \theta)$ पर काटती है।
माना $Q(h, k)$ रेखा $AB$ का मध्य बिंदु है। अतः $h = \frac{\sec \theta}{\sqrt{2}}$ और $k = \frac{\csc \theta}{2}$ है।
इससे $\cos \theta = \frac{1}{h\sqrt{2}}$ और $\sin \theta = \frac{1}{2k}$ प्राप्त होता है।
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\left(\frac{1}{h\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2k}\right)^2 = 1$ मिलता है।
अतः,अभीष्ट बिंदुपथ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ है।

(C) दिया गया सीमा: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f({x^2}) - f(x)}}{{f(x) - f(0)}}$.
यह $\frac{0}{0}$ अनिर्धार्य रूप है।
$L'\text{Hospital}$ नियम का उपयोग करने पर:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x \cdot f'({x^2}) - f'(x)}}{{f'(x)}}$.
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{2x \cdot f'({x^2})}{f'(x)} - 1 \right)$.
चूंकि $f$ निरंतर वर्धमान है,$f'(x) > 0$। यदि $f'(0) \neq 0$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2x \cdot f'({x^2})}{f'(x)} = 0$.
अतः,सीमा का मान $0 - 1 = -1$ है।

(B) दिया गया है $\sin \theta = \frac{1}{2}$,चूँकि $\theta$ न्यून कोण है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{6}$।
दिया गया है $\cos \phi = \frac{1}{3}$,चूँकि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\cos \frac{\pi}{2} = 0$,और $\frac{1}{3}$ का मान $0$ और $\frac{1}{2}$ के बीच है,इसलिए $\frac{\pi}{3} < \phi < \frac{\pi}{2}$।
असमिका $\frac{\pi}{3} < \phi < \frac{\pi}{2}$ में $\theta = \frac{\pi}{6}$ जोड़ने पर,$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} < \theta + \phi < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{\pi}{2} < \theta + \phi < \frac{2\pi}{3}$ हो जाता है।

(A) वक्र का समीकरण $x^2 - 2y^2 = 4$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x - 4y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2y}$।
स्पर्श रेखा $2x + \sqrt{6}y = 2$ की ढाल $-\frac{2}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$ है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है। अतः $\frac{x_1}{2y_1} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$,जिससे $3x_1 = -2\sqrt{6}y_1$,या $y_1 = -\frac{\sqrt{6}x_1}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(x_1, y_1)$ वक्र पर स्थित है,$x_1^2 - 2(-\frac{\sqrt{6}x_1}{4})^2 = 4$।
$x_1^2 - 2(\frac{6x_1^2}{16}) = 4 \implies x_1^2 - \frac{3}{4}x_1^2 = 4 \implies \frac{1}{4}x_1^2 = 4 \implies x_1^2 = 16$।
अतः $x_1 = 4$ या $x_1 = -4$।
यदि $x_1 = 4$ है,तो $y_1 = -\frac{\sqrt{6}(4)}{4} = -\sqrt{6}$।
रेखा के समीकरण में जाँच करने पर: $2(4) + \sqrt{6}(-\sqrt{6}) = 8 - 6 = 2$। यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(4, -\sqrt{6})$ है।

(D) एक संख्या $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य होती है यदि और केवल यदि वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य,जो कि $6$ है,से विभाज्य हो।
प्रथम $100$ प्राकृतिक संख्याओं में,$6$ से विभाज्य संख्याएँ $6, 12, 18, \dots, 96$ हैं।
सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करने पर,$96 = 6 + (n-1)6$,जिससे $n = 16$ प्राप्त होता है।
ऐसी कुल $16$ संख्याएँ हैं।
$100$ में से $3$ भिन्न संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{100}C_3$ हैं।
$6$ से विभाज्य $3$ संख्याएँ चुनने के तरीके $^{16}C_3$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{^{16}C_3}{^{100}C_3} = \frac{16 \times 15 \times 14}{100 \times 99 \times 98} = \frac{4}{1155}$ है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $a = 1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 4)$ है।
परवलय $y^2 = 4x$ की नियता (directrix) का समीकरण $x = -1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से परवलय $y^2 = 4ax$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{y_1^2 - 4ax_1}}{x_1 + a} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $a = 1, x_1 = 1, y_1 = 4$।
$\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{4^2 - 4(1)(1)}}{1 + 1} \right| = \frac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt{3}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(D) समीकरण निकाय का कोई हल नहीं होता है यदि गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = 0$ हो और क्रेमर नियम के सारणिकों $(D_x, D_y, D_z)$ में से कम से कम एक शून्य के बराबर न हो।
सबसे पहले, गुणांक आव्यूह का सारणिक $D$ ज्ञात करें:
$D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix}$
$D = 2(-2\lambda - 1) - (-1)(\lambda - 1) + (-1)(1 - (-2))$
$D = -4\lambda - 2 + \lambda - 1 - 3$
$D = -3\lambda - 6$
निकाय का कोई हल न होने या अनंत हल होने के लिए, हम $D = 0$ रखते हैं:
$-3\lambda - 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$
अब, $\lambda = -2$ के लिए $D_x$ की जाँच करें:
$D_x = \begin{vmatrix} 12 & -1 & -1 \\ -4 & -2 & 1 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 12(4 - 1) - (-1)(8 - 4) + (-1)(-4 + 8)$
$D_x = 12(3) + 1(4) - 1(4) = 36 \neq 0$
चूँकि $D = 0$ और $D_x \neq 0$ है, इसलिए $\lambda = -2$ के लिए निकाय का कोई हल नहीं है।

(A) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} \alpha & 2 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह $A$ का सारणिक $|A| = \alpha^2 - (2 \times 2) = \alpha^2 - 4$ है।
हमें दिया गया है कि $|A^3| = 125$ है।
सारणिक के गुणधर्म $|A^n| = |A|^n$ का उपयोग करने पर,$|A|^3 = 125$ प्राप्त होता है।
चूंकि $125 = 5^3$,इसलिए $|A|^3 = 5^3$,जिसका अर्थ है कि $|A| = 5$ है।
$|A|$ का मान रखने पर,हमें $\alpha^2 - 4 = 5$ प्राप्त होता है।
$\alpha^2 = 9$ है।
अतः,$\alpha = \pm 3$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin (\cot ^{ - 1}(x + 1)) = \cos (\tan ^{ - 1}x)$।
सबसे पहले,$\cot ^{ - 1}(x + 1)$ को $\sin ^{ - 1}$ रूप में बदलें। मान लीजिए $\theta = \cot ^{ - 1}(x + 1)$,तो $\cot \theta = x + 1$। सर्वसमिका $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot ^2 \theta}}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + (x + 1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}}$।
इसके बाद,$\tan ^{ - 1}x$ को $\cos ^{ - 1}$ रूप में बदलें। मान लीजिए $\phi = \tan ^{ - 1}x$,तो $\tan \phi = x$। सर्वसमिका $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan ^2 \phi}}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\cos \phi = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x + 2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 + 2x + 2 = 1 + x^2$।
दोनों पक्षों से $x^2$ घटाने पर: $2x + 2 = 1$।
$x$ के लिए हल करने पर: $2x = -1$,जिससे $x = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना अभीष्ट इकाई सदिश $\hat{a}$ है। चूँकि $\hat{a}$,$\vec{u} = 2i + j + k$ और $\vec{v} = i - j + k$ के समतल में स्थित है,इसे $\hat{a} = \alpha(2i + j + k) + \beta(i - j + k)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
सरल करने पर,हमें $\hat{a} = (2\alpha + \beta)i + (\alpha - \beta)j + (\alpha + \beta)k$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\hat{a}$ एक इकाई सदिश है,इसका परिमाण $1$ है,इसलिए $(2\alpha + \beta)^2 + (\alpha - \beta)^2 + (\alpha + \beta)^2 = 1$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $6\alpha^2 + 4\alpha\beta + 3\beta^2 = 1$ ... $(i)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\hat{a}$,$\vec{w} = 5i + 2j + 6k$ के लंबवत है,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $5(2\alpha + \beta) + 2(\alpha - \beta) + 6(\alpha + \beta) = 0$।
यह $18\alpha + 9\beta = 0$ में सरल हो जाता है,जिससे $\beta = -2\alpha$ प्राप्त होता है।
$\beta = -2\alpha$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$6\alpha^2 + 4\alpha(-2\alpha) + 3(-2\alpha)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$6\alpha^2 - 8\alpha^2 + 12\alpha^2 = 1$,जिसका अर्थ है $10\alpha^2 = 1$,अतः $\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$।
तब $\beta = -2(\pm \frac{1}{\sqrt{10}}) = \mp \frac{2}{\sqrt{10}}$।
इन मानों को $\hat{a}$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $\hat{a} = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} [ (2 - 2)i + (1 + 2)j + (1 - 2)k ] = \pm \frac{3j - k}{\sqrt{10}}$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि $b = b_1 i + b_2 j + b_3 k$ है।
दिया गया है $a \times b = j - k$,इसलिए:
$j - k = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$
$j - k = i(b_3 - b_2) - j(b_3 - b_1) + k(b_2 - b_1)$
घटकों की तुलना करने पर:
$b_3 - b_2 = 0 \Rightarrow b_3 = b_2$
$b_1 - b_3 = 1 \Rightarrow b_1 = b_3 + 1 = b_2 + 1$
$b_2 - b_1 = -1 \Rightarrow b_2 - (b_2 + 1) = -1$ (जो सुसंगत है)।
दिया गया है $a \cdot b = 1$,इसलिए:
$(i + j + k) \cdot (b_1 i + b_2 j + b_3 k) = 1$
$b_1 + b_2 + b_3 = 1$
$b_1 = b_2 + 1$ और $b_3 = b_2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(b_2 + 1) + b_2 + b_2 = 1$
$3b_2 + 1 = 1$
$3b_2 = 0 \Rightarrow b_2 = 0$
अतः,$b_3 = 0$ और $b_1 = 0 + 1 = 1$ है।
इसलिए,$b = 1i + 0j + 0k = i$।

(B) माना पहली रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{4} = \lambda$ पर कोई बिंदु $(2\lambda + 1, 3\lambda - 1, 4\lambda + 1)$ है।
माना दूसरी रेखा $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - k}{2} = \frac{z}{1} = \mu$ पर कोई बिंदु $(\mu + 3, 2\mu + k, \mu)$ है।
यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,तो $\lambda$ और $\mu$ का अस्तित्व इस प्रकार होगा कि निर्देशांक समान हों:
$2\lambda + 1 = \mu + 3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ $(i)$
$3\lambda - 1 = 2\mu + k \implies 3\lambda - 2\mu = k + 1$ (ii)
$4\lambda + 1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ (iii)
(iii) में से $(i)$ घटाने पर:
$(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2$
$2\lambda = -3 \implies \lambda = -\frac{3}{2}$.
$\lambda = -\frac{3}{2}$ को (iii) में रखने पर:
$4(-\frac{3}{2}) + 1 = \mu \implies -6 + 1 = \mu \implies \mu = -5$.
$\lambda = -\frac{3}{2}$ और $\mu = -5$ को (ii) में रखने पर:
$3(-\frac{3}{2}) - 2(-5) = k + 1$
$-\frac{9}{2} + 10 = k + 1$
$k = -\frac{9}{2} + 9 = \frac{9}{2}$.

(A) फलन $f(x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x + 1$ द्वारा दिया गया है।
हम जानते हैं कि व्यंजक $a \sin x + b \cos x$ अंतराल $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ में स्थित होता है।
यहाँ,$a = 1$ और $b = -\sqrt{3}$ है।
अतः,$\sin x - \sqrt{3} \cos x$ का परिसर $[-\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}, \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}] = [-\sqrt{1+3}, \sqrt{1+3}] = [-2, 2]$ है।
इस असमिका में $1$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-2 + 1 \le \sin x - \sqrt{3} \cos x + 1 \le 2 + 1$.
$-1 \le f(x) \le 3$.
चूंकि फलन $f$ आच्छादक है,इसलिए सह-प्रांत $S$ फलन के परिसर के बराबर होना चाहिए।
अतः,$S = [-1, 3]$.

(C) दिया गया है $f(x) = \sin x + \cos x$ और $g(x) = x^2 - 1$।
सबसे पहले,हम संयोजन $g(f(x))$ ज्ञात करते हैं:
$g(f(x)) = (\sin x + \cos x)^2 - 1$
$= (\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x) - 1$
$= (1 + \sin 2x) - 1 = \sin 2x$।
किसी फलन के व्युत्क्रमणीय होने के लिए,उसे एकैकी और आच्छादक (bijective) होना चाहिए।
फलन $h(x) = \sin 2x$ उस अंतराल में व्युत्क्रमणीय है जहाँ तर्क $2x$ प्रतिलोम ज्या फलन की मुख्य शाखा में स्थित हो,अर्थात $[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ]$।
अतः,हमें आवश्यकता है:
$-\frac{\pi}{2} \le 2x \le \frac{\pi}{2}$
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{4}$।
इसलिए,$g(f(x))$ अंतराल $x \in [ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} ]$ के लिए व्युत्क्रमणीय है।

(A) दिया गया समीकरण $\ln (x + y) = 2xy$ है।
सबसे पहले,$x = 0$ होने पर $y$ का मान ज्ञात करें:
$\ln (0 + y) = 2(0)y \implies \ln (y) = 0 \implies y = e^0 = 1$।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{d}{dx} [\ln (x + y)] = \frac{d}{dx} [2xy]$
$\frac{1}{x + y} \cdot (1 + y') = 2(y + xy')$
अवकलित समीकरण में $x = 0$ और $y = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{0 + 1} \cdot (1 + y'(0)) = 2(1 + 0 \cdot y'(0))$
$1 \cdot (1 + y'(0)) = 2(1)$
$1 + y'(0) = 2$
$y'(0) = 2 - 1 = 1$।

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$ है।
सबसे पहले,हम फलन का अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 3x^2 + 2bx + c$.
फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम द्विघात व्यंजक $f'(x)$ का विविक्तकर $D$ जाँचते हैं:
$D = (2b)^2 - 4(3)(c) = 4b^2 - 12c$.
हमें दिया गया है कि $0 < b^2 < c$ है।
चूँकि $b^2 < c$,इसलिए $4b^2 < 4c$ होगा।
अतः,$D = 4b^2 - 12c < 4c - 12c = -8c$.
चूँकि $b^2 > 0$,इसलिए $c$ भी $0$ से बड़ा होना चाहिए (क्योंकि $c > b^2$)।
इस प्रकार,$D < -8c < 0$.
चूँकि विविक्तकर $D < 0$ है और $x^2$ का गुणांक (जो $3$ है) धनात्मक है,इसलिए सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) > 0$ होगा।
अतः,चूँकि अवकलज $f'(x)$ सभी वास्तविक $x$ के लिए निरंतर धनात्मक है,इसलिए फलन $f(x)$ निरंतर वर्धमान है।

(D) $f(x)$ के लिए $[0, 1]$ पर रोले का प्रमेय लागू होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. $f(x)$ को $[0, 1]$ पर सतत होना चाहिए।
$2$. $f(x)$ को $(0, 1)$ पर अवकलनीय होना चाहिए।
$3$. $f(0) = f(1)$.
शर्त $3$ की जाँच करने पर: $f(1) = 1^\alpha \ln(1) = 0$ और $f(0) = 0$ है। अतः $f(0) = f(1) = 0$ किसी भी $\alpha$ के लिए सत्य है।
शर्त $1$ की जाँच करने पर ($x=0$ पर सांतत्य): हमें $\lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln x = 0$ की आवश्यकता है। यह सीमा मौजूद है और $0$ के बराबर है यदि और केवल यदि $\alpha > 0$ हो।
शर्त $2$ की जाँच करने पर ($(0, 1)$ पर अवकलनीयता): $f'(x) = \alpha x^{\alpha-1} \ln x + x^{\alpha-1} = x^{\alpha-1}(\alpha \ln x + 1)$ है। यह किसी भी $\alpha$ के लिए $x \in (0, 1)$ पर परिभाषित है।
दिए गए विकल्पों में से,केवल $\alpha = 0.5$ ही $\alpha > 0$ की शर्त को पूरा करता है।

(A) माना $I = \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \,dx$.
समाकल्य का परिमेयकरण करने पर:
$I = \int_0^1 \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} \cdot \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}} \,dx = \int_0^1 \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$.
समाकलन को अलग करने पर:
$I = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$.
पहले भाग के लिए,$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \sin^{-1}(x)$.
दूसरे भाग के लिए,$u = 1-x^2$ लेने पर,$du = -2x \,dx$ होगा,इसलिए $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = -\sqrt{1-x^2}$.
निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$I = [\sin^{-1}(x)]_0^1 + [\sqrt{1-x^2}]_0^1$.
$I = (\sin^{-1}(1) - \sin^{-1}(0)) + (\sqrt{1-1^2} - \sqrt{1-0^2})$.
$I = (\frac{\pi}{2} - 0) + (0 - 1) = \frac{\pi}{2} - 1$.

(B) वक्र $y = ax^2$ और $x = ay^2$ (या ऊपरी शाखा के लिए $y = \sqrt{x/a}$) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = ax^2$ को $x = ay^2$ में प्रतिस्थापित करें:
$x = a(ax^2)^2 = a^3x^4$
$x(a^3x^3 - 1) = 0$
अतः,$x = 0$ या $x^3 = 1/a^3$,जिससे $x = 1/a$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ $(1/a, 1/a)$ है।
क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_0^{1/a} (\sqrt{x/a} - ax^2) dx = 1$
$\int_0^{1/a} (\frac{1}{\sqrt{a}} x^{1/2} - ax^2) dx = 1$
$[\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{a}{3} x^3]_0^{1/a} = 1$
$\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \frac{2}{3} (\frac{1}{a})^{3/2} - \frac{a}{3} (\frac{1}{a})^3 = 1$
$\frac{2}{3a^2} - \frac{1}{3a^2} = 1$
$\frac{1}{3a^2} = 1$
$a^2 = 1/3$
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(A) दिया गया समीकरण $\int_0^{t^2} xf(x)dx = \frac{2}{5}t^5$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन के लिए लेबनिज नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dt} \left( \int_0^{t^2} xf(x)dx \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{2}{5}t^5 \right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(t^2)f(t^2) \cdot \frac{d}{dt}(t^2) = \frac{2}{5} \cdot 5t^4$.
$(t^2)f(t^2) \cdot (2t) = 2t^4$.
$2t^3 f(t^2) = 2t^4$.
चूंकि $t > 0$,हम $2t^3$ से विभाजित कर सकते हैं:
$f(t^2) = t$.
हमें $f\left( \frac{4}{25} \right)$ ज्ञात करना है।
मान लीजिए $t^2 = \frac{4}{25}$,जिसका अर्थ है $t = \frac{2}{5}$ (क्योंकि $t > 0$)।
$f(t^2) = t$ में $t = \frac{2}{5}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f\left( \frac{4}{25} \right) = \frac{2}{5}$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\left( \frac{2 + \sin x}{1 + y} \right) \frac{dy}{dx} = - \cos x$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{1 + y} = - \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \frac{dy}{1 + y} = - \int \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx$.
माना $u = 2 + \sin x$,तब $du = \cos x dx$.
अतः,$\ln|1 + y| = - \ln|2 + \sin x| + C$.
इसे $\ln|1 + y| + \ln|2 + \sin x| = C$,या $\ln|(1 + y)(2 + \sin x)| = C$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस प्रकार,$(1 + y)(2 + \sin x) = K$ (जहाँ $K = e^C$)।
दिया गया है $y(0) = 1$,हम $x = 0$ और $y = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1 + 1)(2 + \sin 0) = K \implies 2(2 + 0) = K \implies K = 4$.
अतः,$(1 + y)(2 + \sin x) = 4$.
$y\left( \frac{\pi}{2} \right)$ ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{\pi}{2}$ प्रतिस्थापित करें:
$(1 + y)(2 + \sin \frac{\pi}{2}) = 4
(1 + y)(2 + 1) = 4
3(1 + y) = 4
1 + y = \frac{4}{3}
y = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.

(C) माना कि दो रेखाएँ क्रमशः $\lambda$ और $\mu$ प्राचल द्वारा निरूपित हैं:
$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda \implies x=2\lambda+1, y=3\lambda-1, z=4\lambda+1$
$\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}=\mu \implies x=\mu+3, y=2\mu+k, z=\mu$
यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,तो दोनों के लिए एक उभयनिष्ठ बिंदु होना चाहिए,अतः:
$2\lambda+1 = \mu+3 \implies 2\lambda - \mu = 2 \quad (i)$
$3\lambda-1 = 2\mu+k \implies 3\lambda - 2\mu = k+1 \quad (ii)$
$4\lambda+1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1 \quad (iii)$
समीकरण $(iii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2
\implies 2\lambda = -3 \implies \lambda = -\frac{3}{2}$
$\lambda = -\frac{3}{2}$ को $(iii)$ में रखने पर:
$4(-\frac{3}{2}) + 1 = \mu \implies -6 + 1 = \mu \implies \mu = -5$
$\lambda = -\frac{3}{2}$ और $\mu = -5$ को $(ii)$ में रखने पर:
$3(-\frac{3}{2}) - 2(-5) = k+1
\implies -\frac{9}{2} + 10 = k+1
\implies k = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$