IIT JEE 2004 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણમાં,ઘાતાંક $-\frac{\alpha Z}{k\theta}$ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{\alpha Z}{k\theta}$ ના પરિમાણો $[M^0 L^0 T^0]$ છે.
કારણ કે $[k\theta]$ એ ઉર્જા દર્શાવે છે,તેનું પરિમાણ $[M L^2 T^{-2}]$ છે.
આમ,$[\alpha] = \frac{[k\theta]}{[Z]} = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L]} = [M L T^{-2}]$.
આપેલ છે કે $P = \frac{\alpha}{\beta}$,તેથી $[\beta] = \frac{[\alpha]}{[P]}$.
દબાણ $P$ નું પરિમાણ $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
તેથી,$[\beta] = \frac{[M L T^{-2}]}{[M L^{-1} T^{-2}]} = [M^0 L^2 T^0]$.

(D) ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi r^2 L}$ છે.
ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta L}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો $M = 0.3 \, g, \Delta M = 0.003 \, g$; $r = 0.5 \, mm, \Delta r = 0.005 \, mm$; $L = 6 \, cm, \Delta L = 0.06 \, cm$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.003}{0.3} + 2 \times \frac{0.005}{0.5} + \frac{0.06}{6}$.
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.01 + 2 \times 0.01 + 0.01 = 0.01 + 0.02 + 0.01 = 0.04$.
પ્રતિશત ત્રુટિ $= \frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 0.04 \times 100 = 4\%$.

(B) પ્રવેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ કણના વેગમાં થતો ફેરફાર આપે છે.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરતો હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
મહત્તમ વેગ $t = 11 \, s$ સમયે પ્રાપ્ત થાય છે,જ્યાં પ્રવેગ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આમ,મહત્તમ વેગ $v_{\max}$ એ આપેલા આલેખમાં ત્રિકોણ $OAB$ ના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે.
$v_{\max} = \Delta OAB \text{ નું ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
$v_{\max} = \frac{1}{2} \times 11 \, s \times 10 \, m/s^2 = 55 \, m/s$.
તેથી,કણની મહત્તમ ઝડપ $55 \, m/s$ છે.

(C) $n^{th}$ સેકન્ડમાં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
તેથી,$n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = \frac{a}{2}(2n - 1)$ થાય.
તે જ રીતે,$(n+1)^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_{n+1} = \frac{a}{2}(2(n+1) - 1) = \frac{a}{2}(2n + 2 - 1) = \frac{a}{2}(2n + 1)$ થાય.
આ બંને અંતરોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{S_n}{S_{n+1}} = \frac{\frac{a}{2}(2n - 1)}{\frac{a}{2}(2n + 1)} = \frac{2n - 1}{2n + 1}$.

(B) જ્યારે બે બ્લોક્સ સાથે મળીને સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે,ત્યારે આ તંત્ર $2m$ દળ ધરાવતા એક પદાર્થ તરીકે વર્તે છે જે $k$ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $x$ પર તંત્રનો પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega^2 = \frac{k}{2m}$ છે.
અંતિમ સ્થાને (extreme position),સ્થાનાંતર $x = A$ છે,તેથી પ્રવેગનું મહત્તમ મૂલ્ય $a_{max} = \omega^2 A = \frac{k}{2m} A = \frac{kA}{2m}$ થાય.
બ્લોક $P$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ તેને જરૂરી પ્રવેગ પૂરો પાડે છે. બ્લોક $P$ નું દળ $m$ હોવાથી,ઘર્ષણ બળ $f = m \cdot a$ થાય.
અંતિમ સ્થાને,ઘર્ષણ બળ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે: $f_{max} = m \cdot a_{max} = m \left( \frac{kA}{2m} \right) = \frac{kA}{2}$.

(A) બળ $F$ અને સ્થિતિ ઉર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $F = kx$,તેથી $-\frac{dU}{dx} = kx$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ સંકલન કરતા:
$\int dU = -\int kx \, dx$
$U(x) = -\frac{1}{2}kx^2 + C$
આપેલ છે કે $U(0) = 0$,તેથી આપણને $C = 0$ મળે છે.
આમ,$U(x) = -\frac{1}{2}kx^2$.
આ $U$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયનું સમીકરણ છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) ધારો કે $A$ એ ટાંકીનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $a$ એ છિદ્રનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ધારો કે $V$ એ ટાંકીમાં પાણીનું સ્તર ઘટવાનો વેગ છે અને $v$ એ છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ (efflux velocity) છે.
સાતત્ય સમીકરણ (equation of continuity) મુજબ,$av = AV$,તેથી $V = \frac{av}{A}$.
પાણીની ઉપરની સપાટી (બિંદુ $1$) અને છિદ્ર (બિંદુ $2$) વચ્ચે બર્નુલીનો પ્રમેય લાગુ પાડતા:
$P_0 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho V^2 = P_0 + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v^2$
અહીં,$h_1 = 3 \ m$ અને $h_2 = 0.525 \ m$. છિદ્રની ઉપર પાણીના સ્તંભની અસરકારક ઊંચાઈ $h = h_1 - h_2 = 3 - 0.525 = 2.475 \ m$ છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{1}{2} \rho v^2 - \frac{1}{2} \rho V^2 = \rho g h$
$v^2 - V^2 = 2gh$
$V = \frac{a}{A}v$ મૂકતા:
$v^2 - (\frac{a}{A})^2 v^2 = 2gh$
$v^2 [1 - (\frac{a}{A})^2] = 2gh$
આપેલ છે કે $\frac{a}{A} = 0.1$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $h = 2.475 \ m$:
$v^2 [1 - (0.1)^2] = 2 \times 10 \times 2.475$
$v^2 [1 - 0.01] = 49.5$
$v^2 [0.99] = 49.5$
$v^2 = \frac{49.5}{0.99} = 50 \ m^2/s^2$.

(A) પાણીનું તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mc \Delta \theta$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,દળ $m = 2 \, kg$ (પાણીની ઘનતા $1 \, kg/L$ હોવાથી),$c = 4.2 \times 10^3 \, J/(kg \cdot K)$,અને $\Delta \theta = 77 - 27 = 50 \, ^\circ C$.
તેથી,$Q = 2 \times 4.2 \times 10^3 \times 50 = 4.2 \times 10^5 \, J$.
પાણીને મળતો ચોખ્ખો પાવર $P_{net} = P_{coil} - P_{loss} = 1000 \, W - 160 \, W = 840 \, W$.
લાગતો સમય $t = Q / P_{net}$ દ્વારા મળે છે.
$t = (4.2 \times 10^5) / 840 = 500 \, s$.
મિનિટમાં રૂપાંતર કરતા: $500 \, s = 8 \, min \, 20 \, s$.

(C) $P-V$ આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે કદ $V_1$ પર અંતિમ દબાણ $P_3$ એ તે જ કદ $V_1$ પરના પ્રારંભિક દબાણ $P_1$ કરતા વધારે છે,તેથી $P_3 > P_1$.
સમતાપી વિસ્તરણ $(A \rightarrow B)$ દરમિયાન થયેલ કાર્ય એ કદ અક્ષની સાપેક્ષમાં વક્ર $AB$ ની નીચેનો વિસ્તાર છે,જે ધન છે $(W_{iso} > 0)$.
એડિબેટિક સંકોચન $(B \rightarrow C)$ દરમિયાન થયેલ કાર્ય એ કદ અક્ષની સાપેક્ષમાં વક્ર $BC$ ની નીચેના વિસ્તારનું ઋણ મૂલ્ય છે,જે ઋણ છે $(W_{adia} < 0)$.
કારણ કે એડિબેટિક વક્ર એ સમતાપી વક્ર કરતા વધુ ઢાળવાળો હોય છે,તેથી એડિબેટિક સંકોચન દરમિયાન થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય એ સમતાપી વિસ્તરણ દરમિયાન થયેલ કાર્ય કરતા વધારે હોય છે $(|W_{adia}| > |W_{iso}|)$.
તેથી,કુલ કાર્ય $W = W_{iso} + W_{adia}$ એ ઋણ મળે છે,એટલે કે $W < 0$.

(C) ધારો કે દરેક સળિયાનો ઉષ્મીય અવરોધ $R$ છે. ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{dQ}{dt} = \frac{\Delta T}{R_{eq}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બરફ પીગળવાનો દર $q = \frac{1}{L} \frac{dQ}{dt}$ છે,જ્યાં $L$ એ બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા છે.
કિસ્સો $1$: સળિયાઓને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે. સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H_1 = \frac{100 - 0}{R/2} = \frac{200}{R}$ છે.
આમ,$q_1 = \frac{H_1}{L} = \frac{200}{RL}$ થાય.
કિસ્સો $2$: સળિયાઓને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે. સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_s = R + R = 2R$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H_2 = \frac{100 - 0}{2R} = \frac{100}{2R} = \frac{50}{R}$ છે.
આમ,$q_2 = \frac{H_2}{L} = \frac{50}{RL}$ થાય.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{q_1}{q_2} = \frac{200/RL}{50/RL} = \frac{200}{50} = \frac{4}{1}$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ ઉત્સર્જિત પાવર $P = A \sigma T^4$ છે,જ્યાં $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
તકતીઓ કાર્બન બ્લેકથી કોટેડ હોવાથી તે કૃષ્ણ પદાર્થ તરીકે વર્તે છે $(\varepsilon = 1)$.
તકતીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$P \propto r^2 T^4$.
વીનનો સ્થાનાંતરનો નિયમ $\lambda_m T = b$ (અચળ) પરથી,$T \propto \frac{1}{\lambda_m}$.
તેથી,$P \propto \frac{r^2}{\lambda_m^4}$.
$Q_A, Q_B$ અને $Q_C$ માટે સાપેક્ષ કિંમતો ગણતા:
$Q_A \propto \frac{2^2}{300^4} \approx 0.049 \times 10^{-8}$
$Q_B \propto \frac{4^2}{400^4} = 0.0625 \times 10^{-8}$
$Q_C \propto \frac{6^2}{500^4} \approx 0.0576 \times 10^{-8}$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$Q_B$ મહત્તમ છે.

(D) ધ્વનિ તરંગની આવૃત્તિ એ સ્ત્રોતનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
જ્યારે ધ્વનિ તરંગ એક માધ્યમ (પાણી) માંથી બીજા માધ્યમ (હવા) માં જાય છે,ત્યારે તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઇ બદલાય છે,પરંતુ આવૃત્તિ અચળ રહે છે.
તેથી,હવામાં ઉભેલા અવલોકનકાર દ્વારા નોંધાયેલ ધ્વનિની આવૃત્તિ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ જેટલી જ રહેશે.
આવૃત્તિ = $600 Hz$.

(C) $L_1 = L$ લંબાઈની બંધ ઓર્ગન પાઇપના પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{3v_1}{4L_1}$ છે,જ્યાં $v_1 = \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_1}}$ અને $\beta$ એ સંકોચનીયતા છે.
$L_2$ લંબાઈની ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપના પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_2 = \frac{2v_2}{2L_2} = \frac{v_2}{L_2}$ છે,જ્યાં $v_2 = \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_2}}$ છે.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે $(f_1 = f_2)$:
$\frac{3}{4L} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_1}} = \frac{1}{L_2} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_2}}$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદ $\sqrt{\frac{1}{\beta}}$ ને દૂર કરતા:
$\frac{3}{4L\sqrt{\rho_1}} = \frac{1}{L_2\sqrt{\rho_2}}$
$L_2$ માટે ઉકેલતા:
$L_2 = \frac{4L}{3} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$

(B) તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી તંત્રનું કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે $(L = I\omega = \text{constant})$.
ચાકગતિની ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{L^2}{2I}$ છે.
અહીં $L$ અચળ હોવાથી, $K \propto \frac{1}{I}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = I$ અને પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = K$ છે.
જ્યારે છોકરો હાથ ફેલાવે છે, ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = 2I$ થાય છે.
નવી ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{L^2}{2I_2} = \frac{L^2}{2(2I)} = \frac{1}{2} \left( \frac{L^2}{2I} \right) = \frac{K}{2}$ મળે.
તેથી, તંત્રની ગતિઊર્જા $K/2$ થશે.

(A) ગબડતી ગતિને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ ના $V_C = R\omega$ વેગ સાથેના શુદ્ધ સ્થાનાંતર અને કેન્દ્ર $C$ ની આસપાસ $\omega$ કોણીય વેગ સાથેના શુદ્ધ પરિભ્રમણના સંયોજન તરીકે ગણી શકાય.
કેન્દ્ર $C$ થી $r$ અંતરે આવેલા કોઈપણ બિંદુ માટે,પરિભ્રમણને કારણે વેગ $v_{rot} = r\omega$ છે.
કોઈપણ બિંદુનો વેગ એ સ્થાનાંતરિત વેગ $\vec{V}_C$ અને પરિભ્રમણીય વેગ $\vec{v}_{rot}$ નો સદિશ સરવાળો છે.
સમક્ષિતિજ વ્યાસ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માટે:
$1$. બિંદુ $Q$ પર,પરિભ્રમણીય વેગ એ સ્થાનાંતરિત વેગની દિશામાં જ છે. તેથી,$V_Q = V_C + r\omega = R\omega + r\omega = (R+r)\omega$.
$2$. બિંદુ $P$ પર,પરિભ્રમણીય વેગ એ સ્થાનાંતરિત વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. તેથી,$V_P = |V_C - r\omega| = |R\omega - r\omega| = (R-r)\omega$.
અહીં $R > r$ હોવાથી,આપણને $V_Q > V_C > V_P$ મળે છે.

(C) ગૌસના નિયમ અનુસાર,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો કે,ગૌસિયન સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ આસપાસમાં હાજર તમામ વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર છે,પછી ભલે તે ગૌસિયન સપાટીની અંદર હોય કે બહાર.
તેથી,સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર બધા જ વિદ્યુતભારો ($+q_1, -q_1$ અને $q_2$) ને કારણે હોય છે.

(D) ધારો કે દરેક વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય $q$ છે અને કેન્દ્ર $O$ થી કોઈપણ શિરોબિંદુનું અંતર $a$ છે. શિરોબિંદુ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kq}{a^2}$ છે.
જો $R$ પર માત્ર એક ધન વિદ્યુતભાર $q$ હોય,તો $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0 = E$ ($R$ થી દૂરની દિશામાં) થાય.
આપણે $O$ પરનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $2E$ મેળવવા માંગીએ છીએ.
વિકલ્પ $(d)$ મુજબની ગોઠવણી માટે,વિદ્યુતભારો છે: $P(-), Q(+), R(+), S(-), T(+), U(-)$.
$P$ અને $S$ (બંને ઋણ) ને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર એકબીજાને નાબૂદ કરે છે કારણ કે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં છે. તેવી જ રીતે,$Q$ અને $T$ (બંને ધન) ને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.
આમ,માત્ર $R$ અને $U$ પરના વિદ્યુતભારો બાકી રહે છે. $R$ પાસે ધન વિદ્યુતભાર $+q$ છે,જે $R$ થી દૂરની દિશામાં $E$ ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. $U$ પાસે ઋણ વિદ્યુતભાર $-q$ છે,જે $U$ ની દિશામાં $E$ ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. $R$ અને $U$ વ્યાસાંત હોવાથી,$U$ ને કારણે મળતું ક્ષેત્ર ($U$ તરફ) એ $R$ ને કારણે મળતા ક્ષેત્ર ($R$ થી દૂર) ની દિશામાં જ હોય છે.
તેથી,કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E + E = 2E$ થાય છે.

(B) $RC$ સર્કિટમાં ચાર્જિંગ દરમિયાન,સમય $t$ પર વિદ્યુતપ્રવાહ $i = \frac{E}{R} e^{-t/RC}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln i = -\frac{t}{RC} + \ln(\frac{E}{R})$ મળે છે.
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જ્યાં ઢાળ $m = -\frac{1}{RC}$ અને અંતઃખંડ $c = \ln(\frac{E}{R})$ છે.
જ્યારે અવરોધ $R$ બમણો કરવામાં આવે છે $(R' = 2R)$:
$1$. નવો અંતઃખંડ $c' = \ln(\frac{E}{2R}) = \ln(\frac{E}{R}) - \ln 2$. કારણ કે $\ln 2 > 0$,નવો અંતઃખંડ $c'$ મૂળ અંતઃખંડ $c$ કરતા ઓછો છે.
$2$. ઢાળનું મૂલ્ય $|m'| = \frac{1}{R'C} = \frac{1}{2RC} = \frac{1}{2} |m|$. નવો ઢાળ મૂળ ઢાળ કરતા અડધો છે,જેનો અર્થ છે કે રેખા ઓછી ઢળતી બને છે.
આ ફેરફારોની સરખામણી આપેલ આલેખ સાથે કરતા,વક્ર $Q$ નીચા અંતઃખંડથી શરૂ થાય છે અને તૂટક રેખાની તુલનામાં નાના ઢાળ ધરાવે છે. તેથી,વક્ર $Q$ ફેરફારને રજૂ કરે છે.

(A) આકૃતિના આધારે,જોડાણો નીચે મુજબ છે:
- શાખા $PQ$ માં $1$ અવરોધ છે.
- શાખા $QR$ માં $2$ અવરોધો સમાંતરમાં છે,જેનું સમતુલ્ય $R/2$ થાય.
- શાખા $PR$ માં $3$ અવરોધો સમાંતરમાં છે,જેનું સમતુલ્ય $R/3$ થાય.
હવે,બિંદુઓ વચ્ચે સમતુલ્ય અવરોધની ગણતરી:
$1$. $P$ અને $Q$ વચ્ચે: માર્ગ $PQ$ $(R)$ એ માર્ગ $PRQ$ $(R/3 + R/2 = 5R/6)$ સાથે સમાંતરમાં છે.
$R_{PQ} = \frac{R \times (5R/6)}{R + 5R/6} = \frac{5R^2/6}{11R/6} = \frac{5}{11}R \approx 0.454R$.
$2$. $Q$ અને $R$ વચ્ચે: માર્ગ $QR$ $(R/2)$ એ માર્ગ $QPR$ $(R + R/3 = 4R/3)$ સાથે સમાંતરમાં છે.
$R_{QR} = \frac{(R/2) \times (4R/3)}{R/2 + 4R/3} = \frac{2R^2/3}{11R/6} = \frac{4}{11}R \approx 0.363R$.
$3$. $P$ અને $R$ વચ્ચે: માર્ગ $PR$ $(R/3)$ એ માર્ગ $PQR$ $(R + R/2 = 3R/2)$ સાથે સમાંતરમાં છે.
$R_{PR} = \frac{(R/3) \times (3R/2)}{R/3 + 3R/2} = \frac{R^2/2}{11R/6} = \frac{3}{11}R \approx 0.272R$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$R_{PQ} = \frac{5}{11}R$ એ મહત્તમ છે.

(C) પોસ્ટ ઓફિસ બોક્સ એ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજનું વ્યવહારુ સ્વરૂપ છે. આ ગોઠવણીમાં,અજ્ઞાત અવરોધ $X$ ને ટર્મિનલ $A$ અને $D$ ની વચ્ચે જોડવામાં આવે છે. ભુજાઓ $AB$ અને $BC$ એ ગુણોત્તર ભુજાઓ ($P$ અને $Q$) તરીકે કાર્ય કરે છે,જ્યારે ભુજા $CD$ માં જાણીતા અવરોધનું બોક્સ $(R)$ હોય છે. જ્યારે બ્રિજ સંતુલિત હોય,ત્યારે અજ્ઞાત અવરોધ $X = (Q/P) \times R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow F = q(\overrightarrow v \times \overrightarrow B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ હંમેશા કણના વેગને લંબ હોવાથી,તે ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી. તેથી,ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v$ તેની પ્રારંભિક ઝડપ $u$ જેટલી જ રહે છે,એટલે કે $v = u$.
ઋણ વિદ્યુતભાર (ઇલેક્ટ્રોન) પર લાગતા ચુંબકીય બળ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: વેગ $\overrightarrow v$ એ $+x$-દિશામાં છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow B$ એ $-z$-દિશામાં $(-B_0 \hat k)$ છે. બળ $\overrightarrow F = -e(\overrightarrow v \times \overrightarrow B) = -e(u \hat i \times -B_0 \hat k) = -e(u B_0 \hat j) = -e u B_0 \hat j$. આમ,પ્રારંભિક બળ ઋણ $y$-દિશામાં લાગે છે.
ઇલેક્ટ્રોન ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરશે અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાંથી એવા બિંદુએ બહાર નીકળશે જ્યાં $y < 0$ હોય.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $(E)$ નું મૂલ્ય $E = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ગજિયા ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ ગૂંચળાની નજીક આવે છે,ત્યારે ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે,જેના પરિણામે ચોક્કસ ધ્રુવીયતા (ધારો કે ઋણ) ધરાવતું પ્રેરિત emf ઉત્પન્ન થાય છે.
જેમ જેમ ચુંબક ગૂંચળાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેમ ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય બને છે,અને ત્યારબાદ જેમ તે દૂર જાય છે,તેમ ફ્લક્સ ઘટે છે,જેના કારણે પ્રેરિત emf ની ધ્રુવીયતા બદલાય છે (ધન બને છે).
આમ,જેમ ચુંબક ગૂંચળામાંથી પસાર થાય છે,તેમ પ્રેરિત emf $(E)$ વિરુદ્ધ સમય $(t)$ નો આલેખ પહેલા ઋણ પીક અને ત્યારબાદ ધન પીક દર્શાવે છે.

(B) ફોટોન માટે,ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda_{\text{photon}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_{\text{photon}} = \frac{hc}{E}$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda_{\text{electron}} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે અને $E$ તેની ગતિજ ઉર્જા છે.
બંને તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}} = \frac{hc/E}{h/\sqrt{2mE}} = \frac{hc}{E} \cdot \frac{\sqrt{2mE}}{h} = c \sqrt{\frac{2m}{E}}$.
અહીં $c$ અને $m$ અચળાંક હોવાથી,$\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}} \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$ થાય છે.

(A) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,જ્યારે સેચ્યુરેશન કરન્ટ આપાત વિકિરણની તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે.
$1$. આલેખ પરથી,વક્ર $a$ અને $b$ એનોડ પોટેન્શિયલ અક્ષને એક જ બિંદુ પર છેદે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમાન સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ ધરાવે છે. તેથી,આવૃત્તિઓ સમાન છે: ${f_a} = {f_b}$.
$2$. વક્ર $b$ માટે સેચ્યુરેશન કરન્ટ (ફોટોકરન્ટનું મહત્તમ મૂલ્ય) વક્ર $a$ કરતા વધારે છે. સેચ્યુરેશન કરન્ટ એ આપાત વિકિરણની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,આપણને મળે છે ${I_a} < {I_b}$.
$3$. આમ,${f_a} = {f_b}$ અને ${I_a} \neq {I_b}$.

(D) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A = A_0 (1/2)^n$ ના નિયમનું પાલન કરે છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે એક્ટિવિટી $140$ દિવસમાં $6000 \, dps$ થી ઘટીને $3000 \, dps$ થાય છે,તેથી અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 140$ દિવસ છે.
$280$ દિવસ પછી,વીતેલા અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 280 / 140 = 2$ છે.
ધારો કે $A_{280}$ એ $280$ દિવસ પછીની એક્ટિવિટી છે,જે $6000 \, dps$ છે.
$A_{280} = A_{initial} \times (1/2)^n$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $6000 = A_{initial} \times (1/2)^2$.
$6000 = A_{initial} \times (1/4)$.
$A_{initial} = 6000 \times 4 = 24000 \, dps$.

(B) અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{1.5 \times 10^9}{4.5 \times 10^9} = \frac{1}{3}$ છે.
બાકી રહેલા $U^{238}$ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_U = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{1/3}$ છે.
આપેલ છે કે $2^{1/3} = 1.26$,તેથી $\left( \frac{1}{2} \right)^{1/3} = \frac{1}{1.26} \approx 0.7937$.
આમ,$N_U = N_0 \times 0.7937$.
બનેલા $Pb$ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_{Pb} = N_0 - N_U = N_0(1 - 0.7937) = N_0(0.2063)$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{N_U}{N_0} = \frac{1}{1.26}$.
કારણ કે $N_0 = N_U + N_{Pb}$,તેથી $\frac{N_U}{N_U + N_{Pb}} = \frac{1}{1.26}$.
$1.26 N_U = N_U + N_{Pb} \implies N_{Pb} = 0.26 N_U$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{N_{Pb}}{N_U} = 0.26$ થાય છે.

(A) ક્રાંતિકોણ $C$ નું સૂત્ર $C = \sin^{-1}(1/\mu)$ છે.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે (એટલે કે,$\mu \propto 1/\lambda$).
પીળા,નારંગી અને લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ લીલા પ્રકાશ કરતા વધારે હોવાથી,તેમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ ઓછો હશે.
પરિણામે,આ રંગો માટે ક્રાંતિકોણ $C$ નું મૂલ્ય લીલા પ્રકાશ કરતા વધારે હશે.
જો લીલો પ્રકાશ માત્ર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામતો હોય (એટલે કે આપાતકોણ એ લીલા પ્રકાશ માટેના ક્રાંતિકોણ જેટલો હોય),તો જે રંગો માટે ક્રાંતિકોણ વધારે છે (પીળો,નારંગી,લાલ),તેમના માટે આપાતકોણ તેમના સંબંધિત ક્રાંતિકોણ કરતા ઓછો હશે.
તેથી,પીળા,નારંગી અને લાલ કિરણો વક્રીભવન પામીને હવામાં બહાર આવશે.

(C) ગોળાકાર સપાટી પર વક્રીભવનનું સૂત્ર $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ છે.
અહીં,પ્રકાશ કાચ $(\mu_1 = 1.5)$ માંથી હવા $(\mu_2 = 1.0)$ માં જાય છે.
પદાર્થ કેન્દ્ર પર હોવાથી,અંતર $u = -6 \ cm$ છે.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R = -6 \ cm$ છે (કારણ કે વક્રતા કેન્દ્ર સપાટીની ડાબી બાજુએ છે).
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1.0}{v} - \frac{1.5}{-6} = \frac{1.0 - 1.5}{-6}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1.5}{6} = \frac{-0.5}{-6}$.
$\frac{1}{v} + 0.25 = \frac{0.5}{6}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} = \frac{1 - 3}{12} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$.
આમ,$v = -6 \ cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ આભાસી છે અને પદાર્થની બાજુએ જ સપાટીથી $6 \ cm$ અંતરે રચાય છે.

(B) લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,પ્રિઝમની અંદરનું વક્રીભૂત કિરણ પ્રિઝમના પાયાને સમાંતર હોય છે.
પ્રિઝમ આડા ટેબલ પર મૂકેલો હોવાથી,તેનો પાયો આડો છે.
તેથી,વક્રીભૂત કિરણ $QR$ પાયાને સમાંતર હોવા માટે,$QR$ પણ આડું હોવું જોઈએ.

(D) તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ માટે $n$-માં ન્યૂનતમની શરત $y_n = (2n - 1) \frac{\lambda_1 D}{2d}$ છે.
બે તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = 400 \, nm$ અને $\lambda_2 = 560 \, nm$ માટે ન્યૂનતમ બિંદુઓ સંપાત થાય તે માટે,$(2n - 1) \lambda_1 = (2m - 1) \lambda_2$ લેતા.
$(2n - 1) 400 = (2m - 1) 560 \implies \frac{2n - 1}{2m - 1} = \frac{560}{400} = \frac{7}{5}$.
પ્રથમ સંપાત થતું ન્યૂનતમ $2n-1 = 7$ અને $2m-1 = 5$ પર મળે છે.
તેનું સ્થાન $y_1 = 7 \times \frac{400 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 0.1 \times 10^{-3}} = 14 \, mm$ છે.
આગળનું સંપાત થતું ન્યૂનતમ તેના પછીના એકી ગુણોત્તર $\frac{21}{15}$ પર મળે છે (કારણ કે $7 \times 3 = 21$ અને $5 \times 3 = 15$).
તેનું સ્થાન $y_2 = 21 \times \frac{400 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 0.1 \times 10^{-3}} = 42 \, mm$ છે.
સંપૂર્ણ અંધકારના બે ક્રમિક પ્રદેશો વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = y_2 - y_1 = 42 - 14 = 28 \, mm$ થાય.