दीर्घवृत्त {x^2} + 2{y^2} = 2 पर किसी बाह्य ब | vedclass

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Question

(c) माना स्पर्श बिन्दु $R \equiv (\sqrt 2 \cos 	heta ,\,\sin 	heta )$

स्पर्श रेखा $AB$ का समीकरण 

$\frac{x}{{\sqrt 2 }}\cos 	heta

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} = 1$

Vedclass · Answer

(c) माना स्पर्श बिन्दु $R \equiv (\sqrt 2 \cos 	heta ,\,\sin 	heta )$

स्पर्श रेखा $AB$ का समीकरण 

$\frac{x}{{\sqrt 2 }}\cos 	heta  + y\sin 	heta  = 1$

$ \Rightarrow $ $A \equiv (\sqrt 2 \sec 	heta ,\,0);\,B \equiv (0,\,{m{cosec }}	heta )$

माना $AB$ का मध्य बिन्दु $Q$ $(h,\,k)$ है

$ \Rightarrow $ $h = \frac{{\sec 	heta }}{{\sqrt 2 }},\,k = \frac{{{m{cosec }}	heta }}{2} $

$\Rightarrow \cos 	heta  = \frac{1}{{h\sqrt 2 }},\,\sin 	heta  = \frac{1}{{2k}}$

$ \Rightarrow $ $\frac{1}{{2{h^2}}} + \frac{1}{{4{k^2}}} = 1$,

अत: अभीष्ट बिन्दुपथ $\frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} = 1$ है।

ट्रिक : दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ की स्पर्श रेखाओं के मध्य बिन्दु का बिन्दुपथ अक्षों को

${a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} = 4{x^2}{y^2}$ के बीच में काटता है।

अर्थात्,  $\frac{{{a^2}}}{{4{x^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{4{y^2}}} = 1$

या $\frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} = 1$.

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$c$ के उन मानों की संख्या, जिनके लिये सरल रेखा $y = 4x + c$ वक्र $\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1$ को स्पर्श करती है, है

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