IIT JEE 2004 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिए गए समीकरण में,घातांक $-\frac{\alpha Z}{k\theta}$ विमाहीन होना चाहिए।
इसलिए,$\frac{\alpha Z}{k\theta}$ की विमाएँ $[M^0 L^0 T^0]$ हैं।
चूंकि $[k\theta]$ ऊर्जा को दर्शाता है,इसकी विमा $[M L^2 T^{-2}]$ है।
अतः,$[\alpha] = \frac{[k\theta]}{[Z]} = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[L]} = [M L T^{-2}]$.
दिया गया है $P = \frac{\alpha}{\beta}$,इसलिए $[\beta] = \frac{[\alpha]}{[P]}$.
दाब $P$ की विमा $[M L^{-1} T^{-2}]$ है।
इसलिए,$[\beta] = \frac{[M L T^{-2}]}{[M L^{-1} T^{-2}]} = [M^0 L^2 T^0]$.

(D) घनत्व $\rho$ का सूत्र $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\pi r^2 L}$ है।
घनत्व में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta L}{L}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान $M = 0.3 \, g, \Delta M = 0.003 \, g$; $r = 0.5 \, mm, \Delta r = 0.005 \, mm$; $L = 6 \, cm, \Delta L = 0.06 \, cm$ हैं।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{0.003}{0.3} + 2 \times \frac{0.005}{0.5} + \frac{0.06}{6}$.
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = 0.01 + 2 \times 0.01 + 0.01 = 0.01 + 0.02 + 0.01 = 0.04$.
प्रतिशत त्रुटि $= \frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 0.04 \times 100 = 4\%$.

(B) त्वरण-समय ग्राफ के अंतर्गत आने वाला क्षेत्रफल कण के वेग में परिवर्तन को दर्शाता है।
चूंकि कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
अधिकतम वेग $t = 11 \, s$ पर प्राप्त होता है,जहाँ त्वरण शून्य हो जाता है।
अतः,अधिकतम वेग $v_{\max}$ दिए गए ग्राफ में त्रिभुज $OAB$ के क्षेत्रफल के बराबर है।
$v_{\max} = \Delta OAB \text{ का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
$v_{\max} = \frac{1}{2} \times 11 \, s \times 10 \, m/s^2 = 55 \, m/s$.
इसलिए,कण की अधिकतम चाल $55 \, m/s$ है।

(C) $n^{th}$ सेकंड में किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
चूंकि ब्लॉक विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
अतः,$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
इसी प्रकार,$(n+1)^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_{n+1} = \frac{a}{2}(2(n+1) - 1) = \frac{a}{2}(2n + 2 - 1) = \frac{a}{2}(2n + 1)$ है।
इन दोनों दूरियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{S_n}{S_{n+1}} = \frac{\frac{a}{2}(2n - 1)}{\frac{a}{2}(2n + 1)} = \frac{2n - 1}{2n + 1}$.

(B) जब दो ब्लॉक एक साथ सरल आवर्त गति करते हैं,तो यह निकाय $2m$ द्रव्यमान के एक एकल पिंड की तरह कार्य करता है जो $k$ नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़ा होता है।
किसी भी विस्थापन $x$ पर निकाय का त्वरण $a = -\omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega^2 = \frac{k}{2m}$ है।
चरम स्थिति (extreme position) पर,विस्थापन $x = A$ है,इसलिए त्वरण का अधिकतम मान $a_{max} = \omega^2 A = \frac{k}{2m} A = \frac{kA}{2m}$ होता है।
ब्लॉक $P$ पर कार्य करने वाला घर्षण बल उसे आवश्यक त्वरण प्रदान करता है। चूंकि ब्लॉक $P$ का द्रव्यमान $m$ है,इसलिए घर्षण बल $f = m \cdot a$ है।
चरम स्थिति पर,घर्षण बल अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है: $f_{max} = m \cdot a_{max} = m \left( \frac{kA}{2m} \right) = \frac{kA}{2}$.

(A) बल $F$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच का संबंध $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $F = kx$,इसलिए $-\frac{dU}{dx} = kx$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int dU = -\int kx \, dx$
$U(x) = -\frac{1}{2}kx^2 + C$
दिया गया है $U(0) = 0$,इसलिए हमें $C = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$U(x) = -\frac{1}{2}kx^2$.
यह $U$-अक्ष के सापेक्ष सममित नीचे की ओर खुलने वाले परवलय का समीकरण है,जैसा कि विकल्प $A$ में दिखाया गया है।

(A) माना $A$ टैंक का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है और $a$ छिद्र का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
माना $V$ वह वेग है जिससे टैंक में पानी का स्तर घट रहा है और $v$ छिद्र से बाहर निकलने वाले द्रव का वेग (efflux velocity) है।
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,$av = AV$,इसलिए $V = \frac{av}{A}$।
पानी की ऊपरी सतह (बिंदु $1$) और छिद्र (बिंदु $2$) के बीच बर्नौली प्रमेय लागू करने पर:
$P_0 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho V^2 = P_0 + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v^2$
यहाँ,$h_1 = 3 \ m$ और $h_2 = 0.525 \ m$ है। छिद्र के ऊपर पानी के स्तंभ की प्रभावी ऊँचाई $h = h_1 - h_2 = 3 - 0.525 = 2.475 \ m$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{2} \rho v^2 - \frac{1}{2} \rho V^2 = \rho g h$
$v^2 - V^2 = 2gh$
$V = \frac{a}{A}v$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v^2 - (\frac{a}{A})^2 v^2 = 2gh$
$v^2 [1 - (\frac{a}{A})^2] = 2gh$
दिया गया है कि $\frac{a}{A} = 0.1$,$g = 10 \ m/s^2$,और $h = 2.475 \ m$:
$v^2 [1 - (0.1)^2] = 2 \times 10 \times 2.475$
$v^2 [1 - 0.01] = 49.5$
$v^2 [0.99] = 49.5$
$v^2 = \frac{49.5}{0.99} = 50 \ m^2/s^2$.

(A) पानी का तापमान बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = mc \Delta \theta$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,द्रव्यमान $m = 2 \, kg$ (चूंकि पानी का घनत्व $1 \, kg/L$ है),$c = 4.2 \times 10^3 \, J/(kg \cdot K)$,और $\Delta \theta = 77 - 27 = 50 \, ^\circ C$ है।
अतः,$Q = 2 \times 4.2 \times 10^3 \times 50 = 4.2 \times 10^5 \, J$.
पानी को प्राप्त शुद्ध शक्ति $P_{net} = P_{coil} - P_{loss} = 1000 \, W - 160 \, W = 840 \, W$ है।
लिया गया समय $t = Q / P_{net}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$t = (4.2 \times 10^5) / 840 = 500 \, s$.
मिनटों में बदलने पर: $500 \, s = 8 \, min \, 20 \, s$.

(C) $P-V$ ग्राफ से यह स्पष्ट है कि आयतन $V_1$ पर अंतिम दाब $P_3$,उसी आयतन $V_1$ पर प्रारंभिक दाब $P_1$ से अधिक है,इसलिए $P_3 > P_1$ है।
समतापीय प्रसार $(A \rightarrow B)$ में किया गया कार्य आयतन अक्ष के सापेक्ष वक्र $AB$ के नीचे का क्षेत्रफल है,जो धनात्मक है $(W_{iso} > 0)$।
रुद्धोष्म संपीड़न $(B \rightarrow C)$ में किया गया कार्य आयतन अक्ष के सापेक्ष वक्र $BC$ के नीचे के क्षेत्रफल का ऋणात्मक मान है,जो ऋणात्मक है $(W_{adia} < 0)$।
चूंकि रुद्धोष्म वक्र,समतापीय वक्र की तुलना में अधिक तीव्र (steep) होता है,इसलिए रुद्धोष्म संपीड़न के दौरान किए गए कार्य का परिमाण समतापीय प्रसार के दौरान किए गए कार्य से अधिक होता है $(|W_{adia}| > |W_{iso}|)$ ।
अतः,कुल कार्य $W = W_{iso} + W_{adia}$ ऋणात्मक है,अर्थात $W < 0$।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक छड़ का ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ है। ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{dQ}{dt} = \frac{\Delta T}{R_{eq}}$ द्वारा दी जाती है। बर्फ के पिघलने की दर $q = \frac{1}{L} \frac{dQ}{dt}$ है,जहाँ $L$ बर्फ की गलन की गुप्त ऊष्मा है।
स्थिति $1$: छड़ों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है। तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_p = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H_1 = \frac{100 - 0}{R/2} = \frac{200}{R}$ है।
अतः,$q_1 = \frac{H_1}{L} = \frac{200}{RL}$ होगा।
स्थिति $2$: छड़ों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है। तुल्य ऊष्मीय प्रतिरोध $R_s = R + R = 2R$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H_2 = \frac{100 - 0}{2R} = \frac{100}{2R} = \frac{50}{R}$ है।
अतः,$q_2 = \frac{H_2}{L} = \frac{50}{RL}$ होगा।
अनुपात लेने पर,$\frac{q_1}{q_2} = \frac{200/RL}{50/RL} = \frac{200}{50} = \frac{4}{1}$।

(B) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार विकिरित शक्ति $P = A \sigma T^4$ है,जहाँ $A$ सतह का क्षेत्रफल है और $T$ निरपेक्ष तापमान है।
चूंकि डिस्क कार्बन ब्लैक से लेपित हैं,वे कृष्णिका (black body) के रूप में कार्य करती हैं $(\varepsilon = 1)$।
डिस्क का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,इसलिए $P \propto r^2 T^4$।
वीन के विस्थापन नियम $\lambda_m T = b$ (स्थिरांक) से,$T \propto \frac{1}{\lambda_m}$।
अतः,$P \propto \frac{r^2}{\lambda_m^4}$।
$Q_A, Q_B$ और $Q_C$ के लिए सापेक्ष मानों की गणना करने पर:
$Q_A \propto \frac{2^2}{300^4} \approx 0.049 \times 10^{-8}$
$Q_B \propto \frac{4^2}{400^4} = 0.0625 \times 10^{-8}$
$Q_C \propto \frac{6^2}{500^4} \approx 0.0576 \times 10^{-8}$
इन मानों की तुलना करने पर,$Q_B$ अधिकतम है।

(D) ध्वनि तरंग की आवृत्ति स्रोत का एक अभिलक्षणिक गुण है।
जब ध्वनि तरंग एक माध्यम (पानी) से दूसरे माध्यम (हवा) में जाती है,तो उसकी गति और तरंगदैर्ध्य बदल जाती है,लेकिन आवृत्ति स्थिर रहती है।
इसलिए,हवा में खड़े प्रेक्षक द्वारा रिकॉर्ड की गई ध्वनि की आवृत्ति स्रोत की आवृत्ति के समान ही होगी।
आवृत्ति = $600 Hz$.

(C) $L_1 = L$ लंबाई की बंद ऑर्गन पाइप के पहले ओवरटोन की आवृत्ति $f_1 = \frac{3v_1}{4L_1}$ है,जहाँ $v_1 = \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_1}}$ और $\beta$ संपीड्यता है।
$L_2$ लंबाई की खुली ऑर्गन पाइप के पहले ओवरटोन की आवृत्ति $f_2 = \frac{2v_2}{2L_2} = \frac{v_2}{L_2}$ है,जहाँ $v_2 = \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_2}}$ है।
दिया गया है कि आवृत्तियाँ समान हैं $(f_1 = f_2)$:
$\frac{3}{4L} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_1}} = \frac{1}{L_2} \sqrt{\frac{1}{\beta \rho_2}}$
दोनों पक्षों से सामान्य पद $\sqrt{\frac{1}{\beta}}$ को हटाने पर:
$\frac{3}{4L\sqrt{\rho_1}} = \frac{1}{L_2\sqrt{\rho_2}}$
$L_2$ के लिए हल करने पर:
$L_2 = \frac{4L}{3} \sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}}$

(B) निकाय पर कोई बाह्य बल आघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए निकाय का कोणीय संवेग $L$ संरक्षित रहता है $(L = I\omega = \text{constant})$.
घूर्णी गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{L^2}{2I}$ है।
चूंकि $L$ नियत है, इसलिए $K \propto \frac{1}{I}$ होगा।
माना प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_1 = I$ और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = K$ है।
जब बच्चा अपने हाथों को फैलाता है, तो नया जड़त्व आघूर्ण $I_2 = 2I$ हो जाता है।
नई गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{L^2}{2I_2} = \frac{L^2}{2(2I)} = \frac{1}{2} \left( \frac{L^2}{2I} \right) = \frac{K}{2}$ होगी।
अतः, निकाय की गतिज ऊर्जा $K/2$ हो जाएगी।

(A) लुढ़कने की गति को द्रव्यमान केंद्र $C$ के $V_C = R\omega$ वेग के साथ शुद्ध स्थानांतरण और केंद्र $C$ के परितः $\omega$ कोणीय वेग के साथ शुद्ध घूर्णन के संयोजन के रूप में माना जा सकता है।
केंद्र $C$ से $r$ दूरी पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए,घूर्णन के कारण वेग $v_{rot} = r\omega$ होता है।
किसी भी बिंदु का वेग,स्थानांतरण वेग $\vec{V}_C$ और घूर्णन वेग $\vec{v}_{rot}$ का सदिश योग होता है।
क्षैतिज व्यास पर स्थित बिंदुओं $P$ और $Q$ के लिए:
$1$. बिंदु $Q$ पर,घूर्णन वेग स्थानांतरण वेग की दिशा में ही होता है। अतः,$V_Q = V_C + r\omega = R\omega + r\omega = (R+r)\omega$।
$2$. बिंदु $P$ पर,घूर्णन वेग स्थानांतरण वेग की विपरीत दिशा में होता है। अतः,$V_P = |V_C - r\omega| = |R\omega - r\omega| = (R-r)\omega$।
चूंकि $R > r$,इसलिए $V_Q > V_C > V_P$ प्राप्त होता है।

(C) गाउस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
हालाँकि,गाऊसी सतह पर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ आसपास मौजूद सभी आवेशों के कारण उत्पन्न परिणामी विद्युत क्षेत्र होता है,चाहे वे गाऊसी सतह के अंदर हों या बाहर।
इसलिए,सतह पर विद्युत क्षेत्र सभी आवेशों ($+q_1, -q_1$ और $q_2$) के कारण होता है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक आवेश का परिमाण $q$ है और केंद्र $O$ से किसी भी शीर्ष की दूरी $a$ है। एक शीर्ष पर स्थित आवेश $q$ के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{a^2}$ है।
यदि $R$ पर केवल एक धनात्मक आवेश $q$ है,तो $O$ पर विद्युत क्षेत्र $E_0 = E$ ($R$ से दूर की दिशा में) होता है।
हम $O$ पर परिणामी विद्युत क्षेत्र $2E$ प्राप्त करना चाहते हैं।
विकल्प $(d)$ के अनुसार व्यवस्था के लिए,आवेश हैं: $P(-), Q(+), R(+), S(-), T(+), U(-)$।
$P$ और $S$ (दोनों ऋणात्मक) के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं क्योंकि वे विपरीत दिशा में हैं। इसी प्रकार,$Q$ और $T$ (दोनों धनात्मक) के कारण विद्युत क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
इस प्रकार,केवल $R$ और $U$ पर आवेश शेष रहते हैं। $R$ पर धनात्मक आवेश $+q$ है,जो $R$ से दूर की दिशा में $E$ क्षेत्र उत्पन्न करता है। $U$ पर ऋणात्मक आवेश $-q$ है,जो $U$ की दिशा में $E$ क्षेत्र उत्पन्न करता है। चूंकि $R$ और $U$ व्यास के विपरीत सिरों पर हैं,इसलिए $U$ के कारण क्षेत्र ($U$ की ओर) $R$ के कारण क्षेत्र ($R$ से दूर) की ही दिशा में होता है।
अतः,कुल विद्युत क्षेत्र $E + E = 2E$ होता है।

(B) $RC$ सर्किट में चार्जिंग के दौरान,समय $t$ पर विद्युत धारा $i = \frac{E}{R} e^{-t/RC}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln i = -\frac{t}{RC} + \ln(\frac{E}{R})$ प्राप्त होता है।
यह एक सीधी रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है,जहाँ ढाल $m = -\frac{1}{RC}$ और अंतःखंड $c = \ln(\frac{E}{R})$ है।
जब प्रतिरोध $R$ को दोगुना किया जाता है $(R' = 2R)$:
$1$. नया अंतःखंड $c' = \ln(\frac{E}{2R}) = \ln(\frac{E}{R}) - \ln 2$ है। चूँकि $\ln 2 > 0$,नया अंतःखंड $c'$ मूल अंतःखंड $c$ से कम है।
$2$. ढाल का परिमाण $|m'| = \frac{1}{R'C} = \frac{1}{2RC} = \frac{1}{2} |m|$ है। नई ढाल मूल ढाल की आधी है,जिसका अर्थ है कि रेखा कम ढलान वाली हो जाती है।
इन परिवर्तनों की तुलना दिए गए ग्राफ से करने पर,वक्र $Q$ एक निचले अंतःखंड से शुरू होता है और बिंदीदार रेखा की तुलना में छोटी ढाल रखता है। इसलिए,वक्र $Q$ परिवर्तन को दर्शाता है।

(A) चित्र के आधार पर,कनेक्शन इस प्रकार हैं:
- शाखा $PQ$ में $1$ प्रतिरोध है।
- शाखा $QR$ में $2$ प्रतिरोध समानांतर में हैं,जो $R/2$ के बराबर है।
- शाखा $PR$ में $3$ प्रतिरोध समानांतर में हैं,जो $R/3$ के बराबर है।
अब,बिंदुओं के बीच समतुल्य प्रतिरोध की गणना:
$1$. $P$ और $Q$ के बीच: मार्ग $PQ$ $(R)$ समानांतर में है मार्ग $PRQ$ $(R/3 + R/2 = 5R/6)$ के साथ।
$R_{PQ} = \frac{R \times (5R/6)}{R + 5R/6} = \frac{5R^2/6}{11R/6} = \frac{5}{11}R \approx 0.454R$.
$2$. $Q$ और $R$ के बीच: मार्ग $QR$ $(R/2)$ समानांतर में है मार्ग $QPR$ $(R + R/3 = 4R/3)$ के साथ।
$R_{QR} = \frac{(R/2) \times (4R/3)}{R/2 + 4R/3} = \frac{2R^2/3}{11R/6} = \frac{4}{11}R \approx 0.363R$.
$3$. $P$ और $R$ के बीच: मार्ग $PR$ $(R/3)$ समानांतर में है मार्ग $PQR$ $(R + R/2 = 3R/2)$ के साथ।
$R_{PR} = \frac{(R/3) \times (3R/2)}{R/3 + 3R/2} = \frac{R^2/2}{11R/6} = \frac{3}{11}R \approx 0.272R$.
मानों की तुलना करने पर,$R_{PQ} = \frac{5}{11}R$ अधिकतम है।

(C) पोस्ट ऑफिस बॉक्स व्हीटस्टोन ब्रिज का एक व्यावहारिक रूप है। इस व्यवस्था में,अज्ञात प्रतिरोध $X$ को टर्मिनल $A$ और $D$ के बीच जोड़ा जाता है। भुजाएँ $AB$ और $BC$ अनुपात भुजाओं ($P$ और $Q$) के रूप में कार्य करती हैं,जबकि भुजा $CD$ में ज्ञात प्रतिरोध बॉक्स $(R)$ होता है। जब ब्रिज संतुलित होता है,तो अज्ञात प्रतिरोध $X = (Q/P) \times R$ द्वारा दिया जाता है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\overrightarrow F = q(\overrightarrow v \times \overrightarrow B)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय बल हमेशा कण के वेग के लंबवत होता है,इसलिए यह इलेक्ट्रॉन पर कोई कार्य नहीं करता है। अतः,इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है,जिसका अर्थ है कि इलेक्ट्रॉन की चाल $v$ उसकी प्रारंभिक चाल $u$ के बराबर रहती है,यानी $v = u$.
ऋणात्मक आवेश (इलेक्ट्रॉन) पर चुंबकीय बल के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करने पर: वेग $\overrightarrow v$ धनात्मक $x$-दिशा में है और चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow B$ ऋणात्मक $z$-दिशा $(-B_0 \hat k)$ में है। बल $\overrightarrow F = -e(\overrightarrow v \times \overrightarrow B) = -e(u \hat i \times -B_0 \hat k) = -e(u B_0 \hat j) = -e u B_0 \hat j$ है। इस प्रकार,प्रारंभिक बल ऋणात्मक $y$-दिशा में कार्य करता है।
इलेक्ट्रॉन दक्षिणावर्त (घड़ी की दिशा में) वृत्ताकार पथ का अनुसरण करेगा और चुंबकीय क्षेत्र के उस बिंदु से बाहर निकलेगा जहाँ $y < 0$ है।

(A) फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $(E)$ का मान $E = -\frac{d\phi}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
जब छड़ चुंबक का उत्तरी ध्रुव कुंडली के करीब आता है,तो कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है,जिसके परिणामस्वरूप एक निश्चित ध्रुवता (मान लीजिए ऋणात्मक) का प्रेरित emf उत्पन्न होता है।
जैसे ही चुंबक कुंडली के केंद्र से गुजरता है,फ्लक्स में परिवर्तन की दर शून्य हो जाती है,और फिर जैसे ही यह दूर जाता है,फ्लक्स घटता है,जिससे प्रेरित emf की ध्रुवता बदल जाती है (धनात्मक हो जाती है)।
इस प्रकार,जैसे-जैसे चुंबक कुंडली से गुजरता है,प्रेरित emf $(E)$ बनाम समय $(t)$ का ग्राफ पहले एक ऋणात्मक पीक और उसके बाद एक धनात्मक पीक दर्शाता है।

(B) फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda_{\text{photon}}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $\lambda_{\text{photon}} = \frac{hc}{E}$।
इलेक्ट्रॉन के लिए,डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_{\text{electron}} = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $E$ इसकी गतिज ऊर्जा है।
दोनों तरंगदैर्ध्य का अनुपात लेने पर:
$\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}} = \frac{hc/E}{h/\sqrt{2mE}} = \frac{hc}{E} \cdot \frac{\sqrt{2mE}}{h} = c \sqrt{\frac{2m}{E}}$।
चूँकि $c$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\frac{\lambda_{\text{photon}}}{\lambda_{\text{electron}}} \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$ प्राप्त होता है।

(A) प्रकाश-विद्युत प्रभाव में,निरोधी विभव (stopping potential) केवल आपतित विकिरण की आवृत्ति पर निर्भर करता है,जबकि संतृप्ति धारा (saturation current) आपतित विकिरण की तीव्रता पर निर्भर करती है।
$1$. ग्राफ से,वक्र $a$ और $b$ एनोड विभव अक्ष को एक ही बिंदु पर काटते हैं,जिसका अर्थ है कि उनका निरोधी विभव समान है। इसलिए,आवृत्तियाँ समान हैं: ${f_a} = {f_b}$.
$2$. वक्र $b$ के लिए संतृप्ति धारा (फोटोकरंट का अधिकतम मान) वक्र $a$ की तुलना में अधिक है। चूंकि संतृप्ति धारा आपतित विकिरण की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए हमारे पास ${I_a} < {I_b}$ है।
$3$. इस प्रकार,${f_a} = {f_b}$ और ${I_a} \neq {I_b}$।

(D) एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $A = A_0 (1/2)^n$ के नियम का पालन करती है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यह दिया गया है कि सक्रियता $140$ दिनों में $6000 \, dps$ से घटकर $3000 \, dps$ हो जाती है,इसलिए अर्ध-आयु $T_{1/2} = 140$ दिन है।
$280$ दिनों के बाद,व्यतीत अर्ध-आयु की संख्या $n = 280 / 140 = 2$ है।
मान लीजिए $A_{280}$ $280$ दिनों के बाद की सक्रियता है,जो $6000 \, dps$ है।
सूत्र $A_{280} = A_{initial} \times (1/2)^n$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $6000 = A_{initial} \times (1/2)^2$.
$6000 = A_{initial} \times (1/4)$.
$A_{initial} = 6000 \times 4 = 24000 \, dps$.

(B) अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{1.5 \times 10^9}{4.5 \times 10^9} = \frac{1}{3}$ है।
शेष $U^{238}$ नाभिकों की संख्या $N_U = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^n = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{1/3}$ है।
दिया गया है कि $2^{1/3} = 1.26$,इसलिए $\left( \frac{1}{2} \right)^{1/3} = \frac{1}{1.26} \approx 0.7937$ है।
अतः,$N_U = N_0 \times 0.7937$ है।
निर्मित $Pb$ नाभिकों की संख्या $N_{Pb} = N_0 - N_U = N_0(1 - 0.7937) = N_0(0.2063)$ है।
वैकल्पिक रूप से,अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{N_U}{N_0} = \frac{1}{1.26}$ है।
चूंकि $N_0 = N_U + N_{Pb}$,इसलिए $\frac{N_U}{N_U + N_{Pb}} = \frac{1}{1.26}$ है।
$1.26 N_U = N_U + N_{Pb} \implies N_{Pb} = 0.26 N_U$ है।
अतः,अनुपात $\frac{N_{Pb}}{N_U} = 0.26$ है।

(A) क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $C = \sin^{-1}(1/\mu)$ है।
कॉची के समीकरण के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है (अर्थात,$\mu \propto 1/\lambda$)।
चूंकि पीले,नारंगी और लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य हरे प्रकाश से अधिक होती है,इसलिए उनका अपवर्तनांक $\mu$ कम होगा।
परिणामस्वरूप,इन रंगों के लिए क्रांतिक कोण $C$ का मान हरे प्रकाश की तुलना में अधिक होगा।
यदि हरा प्रकाश केवल पूर्ण आंतरिक परावर्तित हो रहा है (अर्थात आपतन कोण हरे प्रकाश के क्रांतिक कोण के बराबर है),तो जिन रंगों के लिए क्रांतिक कोण अधिक है (पीला,नारंगी,लाल),उनके लिए आपतन कोण उनके संबंधित क्रांतिक कोण से कम होगा।
इसलिए,पीली,नारंगी और लाल किरणें अपवर्तित होकर हवा में बाहर निकल आएंगी।

(C) गोलीय सतह पर अपवर्तन का सूत्र $\frac{\mu_2}{v} - \frac{\mu_1}{u} = \frac{\mu_2 - \mu_1}{R}$ है।
यहाँ,प्रकाश कांच $(\mu_1 = 1.5)$ से हवा $(\mu_2 = 1.0)$ में जा रहा है।
वस्तु केंद्र पर है,इसलिए दूरी $u = -6 \ cm$ है।
वक्रता त्रिज्या $R = -6 \ cm$ है (क्योंकि वक्रता केंद्र सतह के बाईं ओर है)।
इन मानों को रखने पर: $\frac{1.0}{v} - \frac{1.5}{-6} = \frac{1.0 - 1.5}{-6}$.
$\frac{1}{v} + \frac{1.5}{6} = \frac{-0.5}{-6}$.
$\frac{1}{v} + 0.25 = \frac{0.5}{6}$.
$\frac{1}{v} = \frac{1}{12} - \frac{1}{4} = \frac{1 - 3}{12} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$.
अतः,$v = -6 \ cm$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि प्रतिबिंब आभासी है और वस्तु की ओर ही सतह से $6 \ cm$ की दूरी पर बनता है।

(B) न्यूनतम विचलन की स्थिति में,प्रिज्म के अंदर अपवर्तित किरण प्रिज्म के आधार के समानांतर होती है।
चूंकि प्रिज्म एक क्षैतिज मेज पर रखा गया है,इसलिए इसका आधार क्षैतिज है।
अतः,अपवर्तित किरण $QR$ के आधार के समानांतर होने के लिए,$QR$ को भी क्षैतिज होना चाहिए।

(D) तरंगदैर्ध्य $\lambda_1$ के $n$-वें निम्निष्ठ (minima) के लिए शर्त $y_n = (2n - 1) \frac{\lambda_1 D}{2d}$ है।
दो तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 400 \, nm$ और $\lambda_2 = 560 \, nm$ के निम्निष्ठों के संपाती होने के लिए,$(2n - 1) \lambda_1 = (2m - 1) \lambda_2$ रखें।
$(2n - 1) 400 = (2m - 1) 560 \implies \frac{2n - 1}{2m - 1} = \frac{560}{400} = \frac{7}{5}$।
पहला संपाती निम्निष्ठ $2n-1 = 7$ और $2m-1 = 5$ पर प्राप्त होता है।
इसकी स्थिति $y_1 = 7 \times \frac{400 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 0.1 \times 10^{-3}} = 14 \, mm$ है।
अगला संपाती निम्निष्ठ अगले विषम अनुपात $\frac{21}{15}$ पर प्राप्त होता है (क्योंकि $7 \times 3 = 21$ और $5 \times 3 = 15$)।
इसकी स्थिति $y_2 = 21 \times \frac{400 \times 10^{-9} \times 1}{2 \times 0.1 \times 10^{-3}} = 42 \, mm$ है।
पूर्ण अंधकार के दो क्रमिक क्षेत्रों के बीच की दूरी $\Delta y = y_2 - y_1 = 42 - 14 = 28 \, mm$ है।