IIT JEE 1989 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) चूँकि शीर्ष $z_1 = a + i$,$z_2 = 1 + bi$ और $z_3 = 0$ वाला त्रिभुज समबाहु है,इसलिए $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$ होगा।
मान रखने पर,$(a + i)^2 + (1 + bi)^2 + 0 = (a + i)(1 + bi)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $(a^2 - 1 + 2ai) + (1 - b^2 + 2bi) = a + abi + i - b$।
सरल करने पर: $(a^2 - b^2) + 2i(a + b) = (a - b) + i(1 + ab)$।
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$a^2 - b^2 = a - b$ ... $(i)$
$2(a + b) = 1 + ab$ ... $(ii)$
$(i)$ से,$(a - b)(a + b) = (a - b)$,जिसका अर्थ है $(a - b)(a + b - 1) = 0$।
अतः,या तो $a = b$ या $a + b = 1$।
स्थिति $1$: यदि $a = b$ है,तो $(ii)$ से,$2(2a) = 1 + a^2$,यानी $a^2 - 4a + 1 = 0$।
$a$ के लिए हल करने पर,$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$।
चूँकि $0 < a < 1$ है,इसलिए $a = b = 2 - \sqrt{3}$ होगा।
स्थिति $2$: यदि $a + b = 1$ है,तो $b = 1 - a$। $(ii)$ में रखने पर,$2(1) = 1 + a(1 - a)$,जो $a^2 - a + 1 = 0$ देता है। इस समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः,एकमात्र हल $a = b = 2 - \sqrt{3}$ है।

(D) माना $p = -q$ जहाँ $q > 0$ है। $p$ के घनमूल $\alpha = -q^{1/3}$,$\beta = -q^{1/3}\omega$,और $\gamma = -q^{1/3}\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{x(-q^{1/3}) + y(-q^{1/3}\omega) + z(-q^{1/3}\omega^2)}{x(-q^{1/3}\omega) + y(-q^{1/3}\omega^2) + z(-q^{1/3}\omega^3)} = \frac{-(x + y\omega + z\omega^2)}{-\omega(x + y\omega + z\omega^2)} = \frac{1}{\omega} = \omega^2$.
चूंकि $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है।

(D) दिया गया समीकरण $|x|^2 - 3|x| + 2 = 0$ है।
माना $|x| = t$,जहाँ $t \ge 0$ है।
समीकरण $t^2 - 3t + 2 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 1)(t - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $t = 1$ या $t = 2$ मिलता है।
चूँकि $t = |x|$,इसलिए $|x| = 1$ या $|x| = 2$ है।
$|x| = 1$ के लिए,हल $x = 1$ और $x = -1$ हैं।
$|x| = 2$ के लिए,हल $x = 2$ और $x = -2$ हैं।
अतः,वास्तविक हल $x \in \{1, -1, 2, -2\}$ हैं।
वास्तविक हलों की कुल संख्या $4$ है।

(D) दिए गए समीकरण के अर्थपूर्ण होने के लिए,$x > 0$ होना चाहिए। दोनों पक्षों का आधार $2$ पर लघुगणक लेने पर:
$(\frac{3}{4}(\log_2 x)^2 + \log_2 x - \frac{5}{4}) \log_2 x = \log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2}$.
माना $t = \log_2 x$. तब समीकरण इस प्रकार होगा:
$(\frac{3}{4}t^2 + t - \frac{5}{4}) t = \frac{1}{2}$.
$4$ से गुणा करने पर:
$(3t^2 + 4t - 5) t = 2 \Rightarrow 3t^3 + 4t^2 - 5t - 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर:
$(t - 1)(3t^2 + 7t + 2) = 0 \Rightarrow (t - 1)(3t + 1)(t + 2) = 0$.
अतः,$t = 1, -2, -1/3$.
चूंकि $t = \log_2 x$,इसलिए $x = 2^1 = 2$,$x = 2^{-2} = 1/4$,और $x = 2^{-1/3} = 1/\sqrt[3]{2}$.
तीनों हल वास्तविक हैं और $1/\sqrt[3]{2}$ अपरिमेय है। इसलिए,सभी कथन $(A)$,$(B)$,और $(C)$ सही हैं।

(D) दिया गया है कि $\alpha$,$a^2x^2 + bx + c = 0$ का एक मूल है,इसलिए $a^2\alpha^2 + b\alpha + c = 0$,जिसका अर्थ है $b\alpha + c = -a^2\alpha^2$.
दिया गया है कि $\beta$,$a^2x^2 - bx - c = 0$ का एक मूल है,इसलिए $a^2\beta^2 - b\beta - c = 0$,जिसका अर्थ है $b\beta + c = a^2\beta^2$.
मान लीजिए $f(x) = a^2x^2 + 2bx + 2c$.
$\alpha$ पर $f(x)$ का मान: $f(\alpha) = a^2\alpha^2 + 2(b\alpha + c) = a^2\alpha^2 + 2(-a^2\alpha^2) = -a^2\alpha^2$। चूँकि $a \ne 0$ और $\alpha > 0$,इसलिए $f(\alpha) < 0$ है।
$\beta$ पर $f(x)$ का मान: $f(\beta) = a^2\beta^2 + 2(b\beta + c) = a^2\beta^2 + 2(a^2\beta^2) = 3a^2\beta^2$। चूँकि $a \ne 0$ और $\beta > 0$,इसलिए $f(\beta) > 0$ है।
चूँकि $f(\alpha) < 0$ और $f(\beta) > 0$ है,इसलिए इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,$f(x) = 0$ का एक मूल $\gamma$ ऐसा विद्यमान है कि $\alpha < \gamma < \beta$ है।

(A) एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो। दिए गए सभी अंकों ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ का योग $15$ है। $5$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,हमें एक अंक को इस प्रकार हटाना होगा कि शेष $5$ अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
स्थिति $1$: $0$ को हटा दें। शेष अंक ${1, 2, 3, 4, 5}$ हैं। योग $15$ है,जो $3$ से विभाज्य है। $5$ अंकों की संख्याओं की संख्या $5! = 120$ है।
स्थिति $2$: $3$ को हटा दें। शेष अंक ${0, 1, 2, 4, 5}$ हैं। योग $12$ है,जो $3$ से विभाज्य है। $5$ अंकों की संख्याओं की संख्या $5! - 4! = 120 - 24 = 96$ है (उन स्थितियों को घटाकर जहाँ $0$ पहले स्थान पर है)।
कुल तरीके = $120 + 96 = 216$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin x - 3\sin 2x + \sin 3x = \cos x - 3\cos 2x + \cos 3x$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\sin 3x + \sin x) - 3\sin 2x = (\cos 3x + \cos x) - 3\cos 2x$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर: $2\sin 2x \cos x - 3\sin 2x = 2\cos 2x \cos x - 3\cos 2x$
$\sin 2x(2\cos x - 3) = \cos 2x(2\cos x - 3)$
$(\sin 2x - \cos 2x)(2\cos x - 3) = 0$
चूंकि $2\cos x - 3 \neq 0$ (क्योंकि $\cos x$ का मान $1.5$ नहीं हो सकता),इसलिए $\sin 2x = \cos 2x$
$\tan 2x = 1$
$2x = n\pi + \frac{\pi}{4}$
$x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$

(C) हम जानते हैं कि यदि मूल बिंदु को $(h, k)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो नए निर्देशांक $(x', y')$ को $(x - h, y - k)$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
दिया गया मूल बिंदु $(x, y) = (4, 5)$ है और नया मूल बिंदु $(h, k) = (1, -2)$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x' = 4 - 1 = 3$
$y' = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7$
अतः,नए निर्देशांक $(3, 7)$ हैं।

(B) दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,यह उस बिंदु का बिंदुपथ है जिसका दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) से दूरियों का योग एक स्थिरांक होता है,बशर्ते कि यह स्थिरांक उन दो निश्चित बिंदुओं के बीच की दूरी से अधिक हो।
यहाँ $PA + PB = 4$ दिया गया है,जहाँ $4$ एक स्थिरांक योग है।
यदि दूरी $AB < 4$ है,तो $P$ का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है।
यदि $AB = 4$ है,तो बिंदुपथ रेखाखंड $AB$ है।
यदि $AB > 4$ है,तो बिंदुपथ एक रिक्त समुच्चय है।
यह मानते हुए कि $AB < 4$,बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है।

(B) वृत्त का केंद्र व्यास $2x - 3y = 5$ और $3x - 4y = 7$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $x = 1$ और $y = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $(h, k) = (1, -1)$ है।
दिया गया क्षेत्रफल $= 154$,इसलिए $\pi r^2 = 154$ $\Rightarrow r^2 = 49$ $\Rightarrow r = 7$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ के अनुसार:
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2x + 2y = 47$.

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0$ है।
इसे सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$2g = -6 \implies g = -3$ और $2f = 2 \implies f = 1$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (3, -1)$ है।
वृत्त का व्यास हमेशा उसके केंद्र से होकर गुजरता है।
हमें मूल बिंदु $(0, 0)$ और केंद्र $(3, -1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करना है।
रेखा की ढाल $m = \frac{-1 - 0}{3 - 0} = -\frac{1}{3}$ है।
रेखा का समीकरण $y - 0 = -\frac{1}{3}(x - 0)$ है,जिसे सरल करने पर $3y = -x$ या $x + 3y = 0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 4$ है। स्पर्श बिंदु $P(1, \sqrt{3})$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $x + \sqrt{3}y = 4$ है।
यह स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A(4, 0)$ पर काटती है।
अभिलंब का समीकरण $y = \sqrt{3}x$ है,जो मूल बिंदु $O(0, 0)$ से गुजरता है।
त्रिभुज के शीर्ष $O(0, 0)$,$P(1, \sqrt{3})$ और $A(4, 0)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = \frac{1}{2} |0 + 0 + 4(-\sqrt{3})| = 2\sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

(A) पहला वृत्त $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ है,जिसका केंद्र $C_1 = (1, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = r$ है।
दूसरा वृत्त $x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0$ है। मानक रूप में: $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 3^2$। अतः,केंद्र $C_2 = (4, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-1 - 3)^2} = 5$ है।
दो वृत्तों के दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने की शर्त $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ है।
$1$) $r + 3 > 5 \Rightarrow r > 2$।
$2$) $|r - 3| < 5 \Rightarrow -2 < r < 8$। चूंकि $r$ धनात्मक है,$0 < r < 8$।
अतः,$2 < r < 8$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई सीमा $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ के रूप में है,जो फलन $f(x) = x^2 \sin x$ के लिए अवकलज $f'(a)$ की परिभाषा है।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके $f(x) = x^2 \sin x$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \sin x + x^2 \frac{d}{dx}(\sin x)$
$f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$
$x = a$ पर मान रखने पर:
$f'(a) = 2a \sin a + a^2 \cos a$
वैकल्पिक रूप से,$h$ के सापेक्ष $L$-Hospital नियम लागू करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{\frac{d}{dh}((a+h)^2 \sin(a+h) - a^2 \sin a)}{1}$
$= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (2(a+h) \sin(a+h) + (a+h)^2 \cos(a+h))$
$= 2a \sin a + a^2 \cos a$

(B) दिया गया है,$P(X) = 0.3$ और $P(Y) = 0.2$।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए $X$ और $Y$ दोनों के अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(X \cap Y) = P(X) \times P(Y) = 0.3 \times 0.2 = 0.06$ है।
$X$ या $Y$ में से किसी के भी अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता प्रायिकता के योग प्रमेय द्वारा दी जाती है:
$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$
मान रखने पर:
$P(X \cup Y) = 0.3 + 0.2 - 0.06 = 0.44$।

(C) दिया गया है कि $x^2 + px + q = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,इसलिए $\alpha + \beta = -p$ और $\alpha\beta = q$ है।
दिया गया है कि $x^2 - xr + s = 0$ के मूल $\alpha^4$ और $\beta^4$ हैं,इसलिए $\alpha^4 + \beta^4 = r$ और $\alpha^4\beta^4 = s$ है।
समीकरण $x^2 - 4qx + 2q^2 - r = 0$ के लिए विविक्तकर $D$ इस प्रकार है:
$D = (-4q)^2 - 4(1)(2q^2 - r) = 16q^2 - 8q^2 + 4r = 8q^2 + 4r$.
$q = \alpha\beta$ और $r = \alpha^4 + \beta^4$ रखने पर:
$D = 8(\alpha\beta)^2 + 4(\alpha^4 + \beta^4) = 4(2\alpha^2\beta^2 + \alpha^4 + \beta^4) = 4(\alpha^2 + \beta^2)^2$.
चूंकि $(\alpha^2 + \beta^2)^2 \ge 0$,इसलिए $D \ge 0$ है।
अतः,समीकरण $x^2 - 4qx + 2q^2 - r = 0$ के मूल हमेशा वास्तविक होते हैं।

(C) आकृति में कुल $8$ वर्ग हैं जो तीन पंक्तियों में व्यवस्थित हैं: शीर्ष पंक्ति ($2$ वर्ग),मध्य पंक्ति ($4$ वर्ग),और निचली पंक्ति ($2$ वर्ग)।
हमें $8$ वर्गों में $6$ '$X$' रखने हैं।
$8$ वर्गों में $6$ '$X$' रखने के कुल तरीके $^8C_6 = 28$ हैं।
प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक '$X$' होना चाहिए।
यदि शीर्ष पंक्ति में कोई '$X$' नहीं है,तो शेष $6$ वर्गों में $6$ '$X$' रखने का $^6C_6 = 1$ तरीका है।
यदि निचली पंक्ति में कोई '$X$' नहीं है,तो शेष $6$ वर्गों में $6$ '$X$' रखने का $^6C_6 = 1$ तरीका है।
अतः,अमान्य तरीकों की संख्या $1 + 1 = 2$ है।
आवश्यक तरीकों की संख्या $28 - 2 = 26$ है।

(B) चूंकि $a, b,$ और $c$ समतलीय हैं,इसलिए अदिश $x, y, z$ (सभी शून्य नहीं) मौजूद हैं ताकि $xa + yb + zc = 0$ $(i)$ हो।
$(i)$ का $a$ के साथ अदिश गुणन करने पर,हमें $x(a \cdot a) + y(a \cdot b) + z(a \cdot c) = 0$ $(ii)$ प्राप्त होता है।
$(i)$ का $b$ के साथ अदिश गुणन करने पर,हमें $x(b \cdot a) + y(b \cdot b) + z(b \cdot c) = 0$ $(iii)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x, y, z$ सभी शून्य नहीं हैं,इसलिए समीकरणों $(i), (ii),$ और $(iii)$ के निकाय का एक गैर-तुच्छ हल है।
अतः,गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \end{array} \right| = 0$.

(B) दिया गया है कि $|a + b| = |a - b|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|a + b|^2 = |a - b|^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|x|^2 = x \cdot x$ का उपयोग करते हुए,$(a + b) \cdot (a + b) = (a - b) \cdot (a - b)$ प्राप्त होता है।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,$a \cdot a + 2(a \cdot b) + b \cdot b = a \cdot a - 2(a \cdot b) + b \cdot b$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $a \cdot a + b \cdot b$ घटाने पर,$2(a \cdot b) = -2(a \cdot b)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $4(a \cdot b) = 0$,जिसका अर्थ है कि $a \cdot b = 0$।
चूंकि दो अशून्य सदिशों का डॉट प्रोडक्ट शून्य है,इसलिए सदिश $a$ और $b$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।

(B) सदिश $a$ का $b$ की दिशा में घटक ज्ञात करने का सूत्र: $\text{proj}_{b} a = \frac{(a \cdot b)b}{|b|^2}$ है।
दिया गया है कि $a = 4i + 6j$ और $b = 3j + 4k$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $a \cdot b = (4i + 6j) \cdot (0i + 3j + 4k) = (4 \times 0) + (6 \times 3) + (0 \times 4) = 0 + 18 + 0 = 18$ की गणना करें।
इसके बाद,$b$ के परिमाण का वर्ग ज्ञात करें: $|b|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\text{proj}_{b} a = \frac{18}{25}(3j + 4k)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $a \cdot b = 0$। इसका अर्थ है कि या तो $a = 0$,$b = 0$,या $a \perp b$ है।
साथ ही,दिया गया है कि $a \times b = 0$। इसका अर्थ है कि या तो $a = 0$,$b = 0$,या $a \parallel b$ है।
दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करने के लिए,$a$ और $b$ एक ही समय में लंबवत और समांतर नहीं हो सकते,जब तक कि उनमें से कम से कम एक शून्य सदिश न हो।
अतः,या तो $a = 0$ है या $b = 0$ है।

(C) माना $\vec{a} = 6i + 2j + 3k$ और $\vec{b} = 3i - 6j - 2k$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत सदिश $\vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 6 & 2 & 3 \\ 3 & -6 & -2 \end{vmatrix} = i(-4 - (-18)) - j(-12 - 9) + k(-36 - 6) = 14i + 21j - 42k$ है।
इस सदिश का परिमाण $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{14^2 + 21^2 + (-42)^2} = \sqrt{196 + 441 + 1764} = \sqrt{2401} = 49$ है।
दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{14i + 21j - 42k}{49} = \pm \frac{2i + 3j - 6k}{7}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही इकाई सदिश $\frac{2i + 3j - 6k}{7}$ है।

(C) सदिशों $\vec{a}$,$\vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निरूपित भुजाओं वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ के निरपेक्ष मान के बराबर होता है,जो सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के बराबर है।
दिए गए सदिश $\vec{a} = -12i + 0j + \alpha k$,$\vec{b} = 0i + 3j - 1k$ और $\vec{c} = 2i + 1j - 15k$ हैं।
आयतन इस प्रकार है:
$|\det(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})| = 546$
$\left| \begin{matrix} -12 & 0 & \alpha \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & -15 \end{matrix} \right| = \pm 546$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$-12(3(-15) - (-1)(1)) - 0(...) + \alpha(0(1) - 3(2)) = \pm 546$
$-12(-45 + 1) + \alpha(-6) = \pm 546$
$-12(-44) - 6\alpha = \pm 546$
$528 - 6\alpha = \pm 546$
स्थिति $1$: $528 - 6\alpha = 546 \Rightarrow -6\alpha = 18 \Rightarrow \alpha = -3$
स्थिति $2$: $528 - 6\alpha = -546 \Rightarrow -6\alpha = -1074 \Rightarrow \alpha = 179$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही मान $\alpha = -3$ है।

(A) दिया गया है $x = \sec \theta - \cos \theta$ और $y = \sec^n \theta - \cos^n \theta$।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta + \sin \theta = \tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)$।
$\frac{dy}{d\theta} = n \sec^{n-1} \theta (\sec \theta \tan \theta) + n \cos^{n-1} \theta \sin \theta = n \tan \theta (\sec^n \theta + \cos^n \theta)$।
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{n \tan \theta (\sec^n \theta + \cos^n \theta)}{\tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)} = \frac{n(\sec^n \theta + \cos^n \theta)}{\sec \theta + \cos \theta}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{n^2(\sec^n \theta + \cos^n \theta)^2}{(\sec \theta + \cos \theta)^2}$।
सर्वसमिका $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$ का उपयोग करने पर:
$(\sec^n \theta + \cos^n \theta)^2 = (\sec^n \theta - \cos^n \theta)^2 + 4 \sec^n \theta \cos^n \theta = y^2 + 4$।
इसी प्रकार,$(\sec \theta + \cos \theta)^2 = (\sec \theta - \cos \theta)^2 + 4 \sec \theta \cos \theta = x^2 + 4$।
अतः,$\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{n^2(y^2 + 4)}{x^2 + 4}$,जिसका अर्थ है $(x^2 + 4) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = n^2(y^2 + 4)$।

(B) फलन $f(x) = |1 - x^2|$,$x = -1$ और $x = 1$ पर अपना चिह्न बदलता है।
हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$\int_{-2}^{2} |1 - x^2| \, dx = \int_{-2}^{-1} |1 - x^2| \, dx + \int_{-1}^{1} |1 - x^2| \, dx + \int_{1}^{2} |1 - x^2| \, dx$
अंतराल $[-2, -1]$ में,$1 - x^2 \le 0$,इसलिए $|1 - x^2| = -(1 - x^2) = x^2 - 1$।
अंतराल $[-1, 1]$ में,$1 - x^2 \ge 0$,इसलिए $|1 - x^2| = 1 - x^2$।
अंतराल $[1, 2]$ में,$1 - x^2 \le 0$,इसलिए $|1 - x^2| = -(1 - x^2) = x^2 - 1$।
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int_{-2}^{-1} (x^2 - 1) \, dx + \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx + \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx$
$= [\frac{x^3}{3} - x]_{-2}^{-1} + [x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{1} + [\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{2}$
$= ((\frac{-1}{3} + 1) - (\frac{-8}{3} + 2)) + ((1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3})) + ((\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1))$
$= (\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3})) + (\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3})) + (\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}))$
$= \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{12}{3} = 4.$

(D) दिया गया है कि $E$ और $F$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$.
$(a)$ $P(E \cap F^c) = P(E) - P(E \cap F) = P(E) - P(E)P(F) = P(E)(1 - P(F)) = P(E)P(F^c)$. अतः,$E$ और $F^c$ स्वतंत्र हैं.
$(b)$ $P(E^c \cap F^c) = 1 - P(E \cup F) = 1 - [P(E) + P(F) - P(E \cap F)] = 1 - P(E) - P(F) + P(E)P(F) = (1 - P(E))(1 - P(F)) = P(E^c)P(F^c)$. अतः,$E^c$ और $F^c$ स्वतंत्र हैं.
$(c)$ चूँकि $E$ और $F$ स्वतंत्र हैं,$P(E/F) = P(E)$ और $P(E^c/F^c) = P(E^c)$. इसलिए,$P(E/F) + P(E^c/F^c) = P(E) + P(E^c) = 1$.
चूँकि सभी कथन सही हैं,उत्तर $(d)$ है।

(A) माना $I = \int_0^a f(x)g(x) dx$.
गुणधर्म $\int_0^a h(x) dx = \int_0^a h(a - x) dx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_0^a f(a - x)g(a - x) dx$.
दिया गया है कि $f(x) = f(a - x)$ और $g(a - x) = 2 - g(x)$,इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_0^a f(x)[2 - g(x)] dx$.
$I = 2\int_0^a f(x) dx - \int_0^a f(x)g(x) dx$.
$I = 2\int_0^a f(x) dx - I$.
$2I = 2\int_0^a f(x) dx$.
$I = \int_0^a f(x) dx$.

(B) मान लीजिए $A$ वह घटना है कि योग $5$ प्राप्त होता है,$B$ वह घटना है कि योग $7$ प्राप्त होता है,और $C$ वह घटना है कि न तो योग $5$ और न ही $7$ प्राप्त होता है।
पासों के एक जोड़े के लिए,कुल परिणामों की संख्या $36$ है।
योग $5$ के लिए परिणाम $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$ हैं,इसलिए $P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$।
योग $7$ के लिए परिणाम $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ हैं,इसलिए $P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।
न तो $5$ और न ही $7$ प्राप्त होने की प्रायिकता $P(C) = 1 - (P(A) + P(B)) = 1 - (\frac{1}{9} + \frac{1}{6}) = 1 - (\frac{2+3}{18}) = 1 - \frac{5}{18} = \frac{13}{18}$ है।
$B$ से पहले $A$ के आने की प्रायिकता अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दी जाती है:
$P = P(A) + P(C)P(A) + P(C)^2 P(A) + \dots = \frac{P(A)}{1 - P(C)}$।
मान रखने पर: $P = \frac{\frac{1}{9}}{1 - \frac{13}{18}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{5}{18}} = \frac{1}{9} \times \frac{18}{5} = \frac{2}{5}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।