IIT JEE 1989 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $z_1 = a + i$,$z_2 = 1 + bi$ અને $z_3 = 0$ સમબાજુ હોવાથી,$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$(a + i)^2 + (1 + bi)^2 + 0 = (a + i)(1 + bi)$ મળે.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $(a^2 - 1 + 2ai) + (1 - b^2 + 2bi) = a + abi + i - b$.
સરળ બનાવતા: $(a^2 - b^2) + 2i(a + b) = (a - b) + i(1 + ab)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$a^2 - b^2 = a - b$ ... $(i)$
$2(a + b) = 1 + ab$ ... $(ii)$
$(i)$ પરથી,$(a - b)(a + b) = (a - b)$,જેનો અર્થ છે કે $(a - b)(a + b - 1) = 0$.
તેથી,કાં તો $a = b$ અથવા $a + b = 1$.
કિસ્સો $1$: જો $a = b$ હોય,તો $(ii)$ પરથી,$2(2a) = 1 + a^2$,એટલે કે $a^2 - 4a + 1 = 0$.
$a$ માટે ઉકેલતા,$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
$0 < a < 1$ હોવાથી,$a = b = 2 - \sqrt{3}$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $a + b = 1$ હોય,તો $b = 1 - a$. $(ii)$ માં મૂકતા,$2(1) = 1 + a(1 - a)$,જે $a^2 - a + 1 = 0$ આપે છે. આ સમીકરણના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલો નથી.
આમ,માત્ર ઉકેલ $a = b = 2 - \sqrt{3}$ છે.

(D) ધારો કે $p = -q$ જ્યાં $q > 0$. $p$ ના ઘનમૂળ $\alpha = -q^{1/3}$,$\beta = -q^{1/3}\omega$,અને $\gamma = -q^{1/3}\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{x(-q^{1/3}) + y(-q^{1/3}\omega) + z(-q^{1/3}\omega^2)}{x(-q^{1/3}\omega) + y(-q^{1/3}\omega^2) + z(-q^{1/3}\omega^3)} = \frac{-(x + y\omega + z\omega^2)}{-\omega(x + y\omega + z\omega^2)} = \frac{1}{\omega} = \omega^2$.
કારણ કે $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$,આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(D) આપેલ સમીકરણ $|x|^2 - 3|x| + 2 = 0$ છે.
ધારો કે $|x| = t$,જ્યાં $t \ge 0$.
સમીકરણ $t^2 - 3t + 2 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 1)(t - 2) = 0$.
આથી $t = 1$ અથવા $t = 2$ મળે.
$t = |x|$ હોવાથી,$|x| = 1$ અથવા $|x| = 2$ મળે.
$|x| = 1$ માટે,ઉકેલો $x = 1$ અને $x = -1$ છે.
$|x| = 2$ માટે,ઉકેલો $x = 2$ અને $x = -2$ છે.
આમ,વાસ્તવિક ઉકેલો $x \in \{1, -1, 2, -2\}$ છે.
વાસ્તવિક ઉકેલોની કુલ સંખ્યા $4$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ અર્થપૂર્ણ બને તે માટે $x > 0$ હોવું જરૂરી છે. બંને બાજુ આધાર $2$ પર લઘુગણક લેતા:
$(\frac{3}{4}(\log_2 x)^2 + \log_2 x - \frac{5}{4}) \log_2 x = \log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $t = \log_2 x$. તો સમીકરણ આ મુજબ બનશે:
$(\frac{3}{4}t^2 + t - \frac{5}{4}) t = \frac{1}{2}$.
$4$ વડે ગુણતા:
$(3t^2 + 4t - 5) t = 2 \Rightarrow 3t^3 + 4t^2 - 5t - 2 = 0$.
અવયવ પાડતા:
$(t - 1)(3t^2 + 7t + 2) = 0 \Rightarrow (t - 1)(3t + 1)(t + 2) = 0$.
આમ,$t = 1, -2, -1/3$.
$t = \log_2 x$ હોવાથી,$x = 2^1 = 2$,$x = 2^{-2} = 1/4$,અને $x = 2^{-1/3} = 1/\sqrt[3]{2}$.
ત્રણેય ઉકેલો વાસ્તવિક છે અને $1/\sqrt[3]{2}$ અસંમેય છે. તેથી,તમામ વિધાનો $(A)$,$(B)$,અને $(C)$ સાચા છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ એ $a^2x^2 + bx + c = 0$ નું બીજ છે,તેથી $a^2\alpha^2 + b\alpha + c = 0$,જેનો અર્થ છે કે $b\alpha + c = -a^2\alpha^2$.
આપેલ છે કે $\beta$ એ $a^2x^2 - bx - c = 0$ નું બીજ છે,તેથી $a^2\beta^2 - b\beta - c = 0$,જેનો અર્થ છે કે $b\beta + c = a^2\beta^2$.
ધારો કે $f(x) = a^2x^2 + 2bx + 2c$.
$\alpha$ માટે $f(x)$ ની કિંમત: $f(\alpha) = a^2\alpha^2 + 2(b\alpha + c) = a^2\alpha^2 + 2(-a^2\alpha^2) = -a^2\alpha^2$. કારણ કે $a \ne 0$ અને $\alpha > 0$,તેથી $f(\alpha) < 0$.
$\beta$ માટે $f(x)$ ની કિંમત: $f(\beta) = a^2\beta^2 + 2(b\beta + c) = a^2\beta^2 + 2(a^2\beta^2) = 3a^2\beta^2$. કારણ કે $a \ne 0$ અને $\beta > 0$,તેથી $f(\beta) > 0$.
કારણ કે $f(\alpha) < 0$ અને $f(\beta) > 0$,તેથી ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,$f(x) = 0$ નું એક બીજ $\gamma$ એવું મળે કે જેથી $\alpha < \gamma < \beta$ થાય.

(A) જો સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તો તે સંખ્યા $3$ વડે વિભાજ્ય હોય છે. આપેલા તમામ અંકો ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ નો સરવાળો $15$ છે. $5$ અંકની સંખ્યા બનાવવા માટે,આપણે એક અંકને એવી રીતે બાકાત રાખવો જોઈએ કે જેથી બાકીના $5$ અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોય.
કિસ્સો $1$: $0$ ને બાકાત રાખો. બાકીના અંકો ${1, 2, 3, 4, 5}$ છે. સરવાળો $15$ છે,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. $5$ અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા $5! = 120$ છે.
કિસ્સો $2$: $3$ ને બાકાત રાખો. બાકીના અંકો ${0, 1, 2, 4, 5}$ છે. સરવાળો $12$ છે,જે $3$ વડે વિભાજ્ય છે. $5$ અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા $5! - 4! = 120 - 24 = 96$ છે (જ્યાં $0$ પ્રથમ સ્થાને હોય તેવા કિસ્સાઓ બાદ કરતાં).
કુલ રીતો = $120 + 96 = 216$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin x - 3\sin 2x + \sin 3x = \cos x - 3\cos 2x + \cos 3x$
પદોને ગોઠવતા: $(\sin 3x + \sin x) - 3\sin 2x = (\cos 3x + \cos x) - 3\cos 2x$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $2\sin 2x \cos x - 3\sin 2x = 2\cos 2x \cos x - 3\cos 2x$
$\sin 2x(2\cos x - 3) = \cos 2x(2\cos x - 3)$
$(\sin 2x - \cos 2x)(2\cos x - 3) = 0$
કારણ કે $2\cos x - 3 \neq 0$ (કારણ કે $\cos x$ ની કિંમત $1.5$ ન હોઈ શકે),તેથી $\sin 2x = \cos 2x$
$\tan 2x = 1$
$2x = n\pi + \frac{\pi}{4}$
$x = \frac{n\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે જો ઉગમબિંદુને $(h, k)$ પર ખસેડવામાં આવે,તો નવા યામ $(x', y')$ એ $(x - h, y - k)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ મૂળ બિંદુ $(x, y) = (4, 5)$ અને નવું ઉગમબિંદુ $(h, k) = (1, -2)$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x' = 4 - 1 = 3$
$y' = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7$
તેથી,નવા યામ $(3, 7)$ છે.

(B) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,તે બિંદુનો બિંદુપથ છે જેનું બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (નાભિ) થી અંતરનો સરવાળો અચળ હોય છે,શરત એ છે કે આ અચળ કિંમત બે નિશ્ચિત બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર કરતા વધારે હોવી જોઈએ.
અહીં $PA + PB = 4$ આપેલ છે,જ્યાં $4$ એ અચળ સરવાળો છે.
જો અંતર $AB < 4$ હોય,તો $P$ નો બિંદુપથ ઉપવલય છે.
જો $AB = 4$ હોય,તો બિંદુપથ એ રેખાખંડ $AB$ છે.
જો $AB > 4$ હોય,તો બિંદુપથ ખાલી ગણ છે.
ધારો કે $AB < 4$,તો બિંદુપથ ઉપવલય છે.

(B) વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વ્યાસ $2x - 3y = 5$ અને $3x - 4y = 7$ નું છેદબિંદુ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા: $x = 1$ અને $y = -1$ મળે છે.
તેથી,કેન્દ્ર $(h, k) = (1, -1)$.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $= 154$,તેથી $\pi r^2 = 154$ $\Rightarrow r^2 = 49$ $\Rightarrow r = 7$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ મુજબ:
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2x + 2y = 47$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$2g = -6 \implies g = -3$ અને $2f = 2 \implies f = 1$ મળે છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (3, -1)$ છે.
વર્તુળનો વ્યાસ હંમેશા તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
આપણે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને કેન્દ્ર $(3, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધવાનું છે.
રેખાનો ઢાળ $m = \frac{-1 - 0}{3 - 0} = -\frac{1}{3}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = -\frac{1}{3}(x - 0)$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $3y = -x$ અથવા $x + 3y = 0$ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4$ છે. સ્પર્શકનું બિંદુ $P(1, \sqrt{3})$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $x + \sqrt{3}y = 4$ છે.
આ સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A(4, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y = \sqrt{3}x$ છે,જે ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$P(1, \sqrt{3})$ અને $A(4, 0)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = \frac{1}{2} |0 + 0 + 4(-\sqrt{3})| = 2\sqrt{3}$ ચોરસ એકમ.

(A) પ્રથમ વર્તુળ $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C_1 = (1, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે.
બીજું વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0$ છે. પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં: $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 3^2$. તેથી,કેન્દ્ર $C_2 = (4, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-1 - 3)^2} = 5$ છે.
બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટેની શરત $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ છે.
$1$) $r + 3 > 5 \Rightarrow r > 2$.
$2$) $|r - 3| < 5 \Rightarrow -2 < r < 8$. $r$ ધન હોવાથી,$0 < r < 8$.
આમ,$2 < r < 8$ મળે છે.

(C) આપેલ લક્ષ એ $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ સ્વરૂપમાં છે,જે $f(x) = x^2 \sin x$ વિધેય માટે વિકલન $f'(a)$ ની વ્યાખ્યા છે.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $f(x) = x^2 \sin x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન મેળવો:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \sin x + x^2 \frac{d}{dx}(\sin x)$
$f'(x) = 2x \sin x + x^2 \cos x$
$x = a$ મૂકતા:
$f'(a) = 2a \sin a + a^2 \cos a$
વૈકલ્પિક રીતે,$h$ ની સાપેક્ષમાં $L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{\frac{d}{dh}((a+h)^2 \sin(a+h) - a^2 \sin a)}{1}$
$= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (2(a+h) \sin(a+h) + (a+h)^2 \cos(a+h))$
$= 2a \sin a + a^2 \cos a$

(B) આપેલ છે કે,$P(X) = 0.3$ અને $P(Y) = 0.2$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$X$ અને $Y$ બંને નાપાસ થાય તેની સંભાવના $P(X \cap Y) = P(X) \times P(Y) = 0.3 \times 0.2 = 0.06$ થાય.
$X$ અથવા $Y$ માંથી કોઈ પણ એક નાપાસ થાય તેની સંભાવના સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય દ્વારા મળે છે:
$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$
કિંમતો મૂકતા:
$P(X \cup Y) = 0.3 + 0.2 - 0.06 = 0.44$.

(C) આપેલ છે કે $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,તેથી $\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha\beta = q$ થાય.
આપેલ છે કે $x^2 - xr + s = 0$ ના બીજ $\alpha^4$ અને $\beta^4$ છે,તેથી $\alpha^4 + \beta^4 = r$ અને $\alpha^4\beta^4 = s$ થાય.
સમીકરણ $x^2 - 4qx + 2q^2 - r = 0$ માટે વિવેચક $D$ નીચે મુજબ છે:
$D = (-4q)^2 - 4(1)(2q^2 - r) = 16q^2 - 8q^2 + 4r = 8q^2 + 4r$.
$q = \alpha\beta$ અને $r = \alpha^4 + \beta^4$ મૂકતા:
$D = 8(\alpha\beta)^2 + 4(\alpha^4 + \beta^4) = 4(2\alpha^2\beta^2 + \alpha^4 + \beta^4) = 4(\alpha^2 + \beta^2)^2$.
કારણ કે $(\alpha^2 + \beta^2)^2 \ge 0$,તેથી $D \ge 0$ થાય.
આથી,સમીકરણ $x^2 - 4qx + 2q^2 - r = 0$ ના બીજ હંમેશા વાસ્તવિક હોય છે.

(C) આકૃતિમાં કુલ $8$ ચોરસ છે જે ત્રણ હરોળમાં ગોઠવાયેલા છે: ઉપરની હરોળ ($2$ ચોરસ),મધ્ય હરોળ ($4$ ચોરસ),અને નીચેની હરોળ ($2$ ચોરસ).
આપણે $8$ ચોરસમાં $6$ '$X$' મૂકવાના છે.
$8$ ચોરસમાં $6$ '$X$' મૂકવાની કુલ રીતો $^8C_6 = 28$ છે.
દરેક હરોળમાં ઓછામાં ઓછો એક '$X$' હોવો જોઈએ.
જો ઉપરની હરોળમાં કોઈ '$X$' ન હોય,તો બાકીના $6$ ચોરસમાં $6$ '$X$' મૂકવાની $^6C_6 = 1$ રીત છે.
જો નીચેની હરોળમાં કોઈ '$X$' ન હોય,તો બાકીના $6$ ચોરસમાં $6$ '$X$' મૂકવાની $^6C_6 = 1$ રીત છે.
આમ,અમાન્ય રીતોની સંખ્યા $1 + 1 = 2$ છે.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા $28 - 2 = 26$ છે.

(B) કારણ કે $a, b,$ અને $c$ સમતલીય છે,તેથી અદિશ $x, y, z$ (બધા શૂન્ય ન હોય તેવા) અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $xa + yb + zc = 0$ $(i)$.
$(i)$ નો $a$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા,આપણને $x(a \cdot a) + y(a \cdot b) + z(a \cdot c) = 0$ $(ii)$ મળે છે.
$(i)$ નો $b$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા,આપણને $x(b \cdot a) + y(b \cdot b) + z(b \cdot c) = 0$ $(iii)$ મળે છે.
કારણ કે $x, y, z$ બધા શૂન્ય નથી,તેથી સમીકરણો $(i), (ii),$ અને $(iii)$ ની સિસ્ટમનો ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી,સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \end{array} \right| = 0$.

(B) આપેલ છે કે $|a + b| = |a - b|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|a + b|^2 = |a - b|^2$ મળે છે.
ગુણધર્મ $|x|^2 = x \cdot x$ નો ઉપયોગ કરતા,$(a + b) \cdot (a + b) = (a - b) \cdot (a - b)$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,$a \cdot a + 2(a \cdot b) + b \cdot b = a \cdot a - 2(a \cdot b) + b \cdot b$ મળે.
બંને બાજુથી $a \cdot a + b \cdot b$ બાદ કરતા,$2(a \cdot b) = -2(a \cdot b)$ મળે.
આનો અર્થ એ થાય કે $4(a \cdot b) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot b = 0$.
બે શૂન્યતર સદિશોનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવાથી,સદિશો $a$ અને $b$ એકબીજાને લંબ છે.

(B) સદિશ $a$ નો $b$ ની દિશામાં ઘટક શોધવાનું સૂત્ર: $\text{proj}_{b} a = \frac{(a \cdot b)b}{|b|^2}$ છે.
આપેલ છે કે $a = 4i + 6j$ અને $b = 3j + 4k$.
પ્રથમ,ડોટ ગુણાકાર $a \cdot b = (4i + 6j) \cdot (0i + 3j + 4k) = (4 \times 0) + (6 \times 3) + (0 \times 4) = 0 + 18 + 0 = 18$ ગણો.
ત્યારબાદ,$b$ ના માનનો વર્ગ શોધો: $|b|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\text{proj}_{b} a = \frac{18}{25}(3j + 4k)$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $a \cdot b = 0$. આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $a = 0$,$b = 0$,અથવા $a \perp b$ છે.
વળી,આપેલ છે કે $a \times b = 0$. આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $a = 0$,$b = 0$,અથવા $a \parallel b$ છે.
બંને શરતો એકસાથે સંતોષાય તે માટે,$a$ અને $b$ એક જ સમયે લંબ અને સમાંતર ન હોઈ શકે,સિવાય કે તેમાંથી ઓછામાં ઓછો એક સદિશ શૂન્ય સદિશ હોય.
તેથી,કાં તો $a = 0$ અથવા $b = 0$ છે.

(C) ધારો કે $\vec{a} = 6i + 2j + 3k$ અને $\vec{b} = 3i - 6j - 2k$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ સદિશ $\vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 6 & 2 & 3 \\ 3 & -6 & -2 \end{vmatrix} = i(-4 - (-18)) - j(-12 - 9) + k(-36 - 6) = 14i + 21j - 42k$.
આ સદિશનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{14^2 + 21^2 + (-42)^2} = \sqrt{196 + 441 + 1764} = \sqrt{2401} = 49$ છે.
બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{14i + 21j - 42k}{49} = \pm \frac{2i + 3j - 6k}{7}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો એકમ સદિશ $\frac{2i + 3j - 6k}{7}$ છે.

(C) સદિશો $\vec{a}$,$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતી ધારવાળા સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ એ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ ના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે,જે સદિશોના ઘટકો દ્વારા રચાયેલા નિશ્ચાયક જેટલું છે.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = -12i + 0j + \alpha k$,$\vec{b} = 0i + 3j - 1k$ અને $\vec{c} = 2i + 1j - 15k$ છે.
ઘનફળ નીચે મુજબ છે:
$|\det(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})| = 546$
$\left| \begin{matrix} -12 & 0 & \alpha \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & -15 \end{matrix} \right| = \pm 546$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-12(3(-15) - (-1)(1)) - 0(...) + \alpha(0(1) - 3(2)) = \pm 546$
$-12(-45 + 1) + \alpha(-6) = \pm 546$
$-12(-44) - 6\alpha = \pm 546$
$528 - 6\alpha = \pm 546$
કિસ્સો $1$: $528 - 6\alpha = 546 \Rightarrow -6\alpha = 18 \Rightarrow \alpha = -3$
કિસ્સો $2$: $528 - 6\alpha = -546 \Rightarrow -6\alpha = -1074 \Rightarrow \alpha = 179$
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું મૂલ્ય $\alpha = -3$ છે.

(A) આપેલ છે કે $x = \sec \theta - \cos \theta$ અને $y = \sec^n \theta - \cos^n \theta$.
પ્રથમ,$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta + \sin \theta = \tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)$.
$\frac{dy}{d\theta} = n \sec^{n-1} \theta (\sec \theta \tan \theta) + n \cos^{n-1} \theta \sin \theta = n \tan \theta (\sec^n \theta + \cos^n \theta)$.
હવે,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{n \tan \theta (\sec^n \theta + \cos^n \theta)}{\tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)} = \frac{n(\sec^n \theta + \cos^n \theta)}{\sec \theta + \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{n^2(\sec^n \theta + \cos^n \theta)^2}{(\sec \theta + \cos \theta)^2}$.
નિત્યસમ $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\sec^n \theta + \cos^n \theta)^2 = (\sec^n \theta - \cos^n \theta)^2 + 4 \sec^n \theta \cos^n \theta = y^2 + 4$.
તે જ રીતે,$(\sec \theta + \cos \theta)^2 = (\sec \theta - \cos \theta)^2 + 4 \sec \theta \cos \theta = x^2 + 4$.
આમ,$\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \frac{n^2(y^2 + 4)}{x^2 + 4}$,જે દર્શાવે છે કે $(x^2 + 4) \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = n^2(y^2 + 4)$.

(B) વિધેય $f(x) = |1 - x^2|$ એ $x = -1$ અને $x = 1$ આગળ તેની નિશાની બદલે છે.
આપણે સંકલનને આ રીતે વિભાજિત કરી શકીએ:
$\int_{-2}^{2} |1 - x^2| \, dx = \int_{-2}^{-1} |1 - x^2| \, dx + \int_{-1}^{1} |1 - x^2| \, dx + \int_{1}^{2} |1 - x^2| \, dx$
અંતરાલ $[-2, -1]$ માં,$1 - x^2 \le 0$,તેથી $|1 - x^2| = -(1 - x^2) = x^2 - 1$.
અંતરાલ $[-1, 1]$ માં,$1 - x^2 \ge 0$,તેથી $|1 - x^2| = 1 - x^2$.
અંતરાલ $[1, 2]$ માં,$1 - x^2 \le 0$,તેથી $|1 - x^2| = -(1 - x^2) = x^2 - 1$.
આમ,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$\int_{-2}^{-1} (x^2 - 1) \, dx + \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \, dx + \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx$
$= [\frac{x^3}{3} - x]_{-2}^{-1} + [x - \frac{x^3}{3}]_{-1}^{1} + [\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{2}$
$= ((\frac{-1}{3} + 1) - (\frac{-8}{3} + 2)) + ((1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3})) + ((\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1))$
$= (\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3})) + (\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3})) + (\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}))$
$= \frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{12}{3} = 4.$

(D) આપેલ છે કે $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)$.
$(a)$ $P(E \cap F^c) = P(E) - P(E \cap F) = P(E) - P(E)P(F) = P(E)(1 - P(F)) = P(E)P(F^c)$. આમ,$E$ અને $F^c$ સ્વતંત્ર છે.
$(b)$ $P(E^c \cap F^c) = 1 - P(E \cup F) = 1 - [P(E) + P(F) - P(E \cap F)] = 1 - P(E) - P(F) + P(E)P(F) = (1 - P(E))(1 - P(F)) = P(E^c)P(F^c)$. આમ,$E^c$ અને $F^c$ સ્વતંત્ર છે.
$(c)$ $E$ અને $F$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(E/F) = P(E)$ અને $P(E^c/F^c) = P(E^c)$. તેથી,$P(E/F) + P(E^c/F^c) = P(E) + P(E^c) = 1$.
બધા વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $(d)$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int_0^a f(x)g(x) dx$.
ગુણધર્મ $\int_0^a h(x) dx = \int_0^a h(a - x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_0^a f(a - x)g(a - x) dx$.
આપેલ છે કે $f(x) = f(a - x)$ અને $g(a - x) = 2 - g(x)$,આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int_0^a f(x)[2 - g(x)] dx$.
$I = 2\int_0^a f(x) dx - \int_0^a f(x)g(x) dx$.
$I = 2\int_0^a f(x) dx - I$.
$2I = 2\int_0^a f(x) dx$.
$I = \int_0^a f(x) dx$.

(B) ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $5$ મળે,$B$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $7$ મળે,અને $C$ એ ઘટના છે કે સરવાળો $5$ કે $7$ ન મળે.
પાસાની જોડી માટે,કુલ પરિણામોની સંખ્યા $36$ છે.
સરવાળા $5$ માટેના પરિણામો $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$ છે,તેથી $P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
સરવાળા $7$ માટેના પરિણામો $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ છે,તેથી $P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$5$ કે $7$ ન મળે તેની સંભાવના $P(C) = 1 - (P(A) + P(B)) = 1 - (\frac{1}{9} + \frac{1}{6}) = 1 - (\frac{2+3}{18}) = 1 - \frac{5}{18} = \frac{13}{18}$ છે.
$B$ પહેલા $A$ આવે તેની સંભાવના અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$P = P(A) + P(C)P(A) + P(C)^2 P(A) + \dots = \frac{P(A)}{1 - P(C)}$.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{\frac{1}{9}}{1 - \frac{13}{18}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{5}{18}} = \frac{1}{9} \times \frac{18}{5} = \frac{2}{5}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.