IIT JEE 1988 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दो सम्मिश्र संख्याएँ $z_1 = a + ib$ और $z_2 = c + id$ संयुग्मी होती हैं यदि $a = c$ और $b = -d$ हो।
दिया गया है $z_1 = \sin x + i\cos 2x$ और $z_2 = \cos x - i\sin 2x$,अतः:
$1) \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = n\pi + \frac{\pi}{4}$
$2) \cos 2x = \sin 2x \implies \tan 2x = 1 \implies 2x = m\pi + \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{m\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$
इन दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करने वाला $x$ का कोई मान नहीं है।
अतः,$x$ का ऐसा कोई मान नहीं है जिसके लिए ये सम्मिश्र संख्याएँ संयुग्मी हों।

(A) इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं।
ये बिंदु आर्गंड समतल पर इकाई वृत्त $|z| = 1$ पर स्थित हैं और इनके बीच का कोण $\frac{2\pi}{3}$ रेडियन $(120^\circ)$ है।
चूंकि ये बिंदु वृत्त पर समान दूरी पर हैं,इसलिए ये एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष बनाते हैं।

(B) हम गुणधर्म $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$ का उपयोग करते हैं।
$|az_1 - bz_2|^2 + |bz_1 + az_2|^2 = (az_1 - bz_2)(\overline{az_1 - bz_2}) + (bz_1 + az_2)(\overline{bz_1 + az_2})$
$= (az_1 - bz_2)(a\overline{z_1} - b\overline{z_2}) + (bz_1 + az_2)(b\overline{z_1} + a\overline{z_2})$
$= (a^2|z_1|^2 - ab z_1\overline{z_2} - ab \overline{z_1}z_2 + b^2|z_2|^2) + (b^2|z_1|^2 + ab z_1\overline{z_2} + ab \overline{z_1}z_2 + a^2|z_2|^2)$
$= a^2|z_1|^2 + b^2|z_2|^2 + b^2|z_1|^2 + a^2|z_2|^2$
$= (a^2 + b^2)|z_1|^2 + (a^2 + b^2)|z_2|^2$
$= (a^2 + b^2)(|z_1|^2 + |z_2|^2)$

(D) माना $\alpha$ और $\beta$ क्रमशः $A.P.$,$G.P.$ और $H.P.$ के प्रथम और $(2n - 1)^{th}$ पद हैं।
$A.P.$ के लिए: $n^{th}$ पद $a = \frac{\alpha + \beta}{2}$ $(i)$
$G.P.$ के लिए: $n^{th}$ पद $b = \sqrt{\alpha \beta}$ (ii)
$H.P.$ के लिए: $n^{th}$ पद $c = \frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}$ (iii)
$(i)$,(ii) और (iii) से,हम देखते हैं कि $a, b, c$ क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ के समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य हैं।
हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ के लिए,$A.M. \ge G.M. \ge H.M.$
अतः,$a \ge b \ge c$,जो विकल्प $(a)$ से मेल खाता है।
साथ ही,$ac = \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \left(\frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}\right) = \alpha \beta = b^2$.
इसलिए,$ac - b^2 = 0$,जो विकल्प $(c)$ से मेल खाता है।
अतः,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(C) प्रथम $n$ पदों का योग इस प्रकार है:
$S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) + \left(1 - \frac{1}{2^3}\right) + \dots + \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)$
$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(1 - \frac{1}{2^k}\right) = n - \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k$
गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र का उपयोग करने पर:
$S_n = n - \left[ \frac{1}{2} \left( \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} \right) \right]$
$S_n = n - \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right) = n - 1 + 2^{-n}$
$n=1$ के लिए जाँच: $S_1 = 1 - 1 + 2^{-1} = 1/2$ (सही)।
$n=2$ के लिए जाँच: $S_2 = 2 - 1 + 2^{-2} = 1 + 1/4 = 5/4$ (सही)।

(B) दी गई श्रेणी $1^2, 2 \cdot 2^2, 3^2, 2 \cdot 4^2, 5^2, 2 \cdot 6^2, \dots$ है।
जब $n$ सम है,योग $S_n = \frac{n(n + 1)^2}{2}$ है।
जब $n$ विषम है,$n$-वां पद $n^2$ है। प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = S_{n-1} + a_n$ है।
चूंकि $n$ विषम है,$n-1$ सम है। $n-1$ पदों के लिए सूत्र का उपयोग करने पर:
$S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1) + 1)^2}{2} = \frac{(n-1)n^2}{2}$.
अतः,$S_n = \frac{(n-1)n^2}{2} + n^2 = n^2 \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right) = \frac{n^2(n+1)}{2}$.
सत्यापन: $n=1$ के लिए,$S_1 = 1^2 = 1$. सूत्र $(b)$ के अनुसार: $\frac{1^2(1+1)}{2} = 1$. जो सही है।

(B) दिया गया समीकरण $|x^2 + 4x + 3| + 2x + 5 = 0$ है।
स्थिति $I$: $x^2 + 4x + 3 \ge 0$,जिसका अर्थ है $(x+1)(x+3) \ge 0$,अतः $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, \infty)$।
समीकरण $x^2 + 4x + 3 + 2x + 5 = 0$ हो जाता है,जो $x^2 + 6x + 8 = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(x+2)(x+4) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = -2$ या $x = -4$।
शर्त की जाँच करने पर: $x = -4$ अंतराल $x \in (-\infty, -3]$ में है,लेकिन $x = -2$ अंतराल $x \in [-1, \infty)$ में नहीं है। अतः,$x = -4$ एक हल है।
स्थिति $II$: $x^2 + 4x + 3 < 0$,जिसका अर्थ है $x \in (-3, -1)$।
समीकरण $-(x^2 + 4x + 3) + 2x + 5 = 0$ हो जाता है,जो $-x^2 - 2x + 2 = 0$ या $x^2 + 2x - 2 = 0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$।
शर्त की जाँच करने पर: $\sqrt{3} \approx 1.732$,अतः $x_1 = -1 + 1.732 = 0.732$ (जो $(-3, -1)$ में नहीं है) और $x_2 = -1 - 1.732 = -2.732$ (जो $(-3, -1)$ में है)।
अतः,$x = -1 - \sqrt{3}$ एक हल है।
कुल $2$ वास्तविक हल हैं।

(C) यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो '$-$' चिन्ह एक साथ न आएं,हम पहले छह '$+$' चिन्हों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करते हैं: $+ + + + + +$.
यह $7$ संभावित रिक्त स्थान (सिरों सहित) बनाता है जहाँ '$-$' चिन्ह रखे जा सकते हैं: $\_ + \_ + \_ + \_ + \_ + \_ \_$.
हमें $4$ '$-$' चिन्हों को रखने के लिए इन $7$ उपलब्ध स्थानों में से $4$ स्थानों का चयन करना होगा।
ऐसा करने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र ${^n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 7$ और $r = 4$ है,इसलिए तरीकों की संख्या ${^7}C_4 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ है।

(A) दिया गया है $R = (5\sqrt{5} + 11)^{2n + 1}$.
मान लीजिए $f' = (5\sqrt{5} - 11)^{2n + 1}$.
चूँकि $0 < 5\sqrt{5} - 11 < 1$,इसलिए $0 < f' < 1$.
$R + f' = (5\sqrt{5} + 11)^{2n + 1} + (5\sqrt{5} - 11)^{2n + 1} = 2k$ (जहाँ $k$ एक पूर्णांक है)।
चूँकि $R = [R] + f$,इसलिए $[R] + f + f' = 2k$.
चूँकि $0 < f + f' < 2$,इसलिए $f + f' = 1$.
अतः $f = 1 - f'$.
$R \cdot f = R(1 - f') = R - R \cdot f' = R - (125 - 121)^{2n + 1} = R - 4^{2n + 1}$.
परिणाम $4^{2n + 1}$ है।

(C) हम सर्वसमिका $\tan \theta = \cot \theta - 2\cot 2\theta$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\cot \theta - \tan \theta = 2\cot 2\theta$.
व्यंजक $E = \tan \alpha + 2\tan 2\alpha + 4\tan 4\alpha + 8\cot 8\alpha$ पर विचार करें।
सर्वसमिका $\tan \theta = \cot \theta - 2\cot 2\theta$ का उपयोग करते हुए:
$8\cot 8\alpha + 4\tan 4\alpha = 4(2\cot 8\alpha + \tan 4\alpha) = 4(\cot 4\alpha) = 4\cot 4\alpha$.
अब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$E = \tan \alpha + 2\tan 2\alpha + 4\cot 4\alpha$.
पुनः,$4\cot 4\alpha + 2\tan 2\alpha = 2(2\cot 4\alpha + \tan 2\alpha) = 2(\cot 2\alpha) = 2\cot 2\alpha$ का उपयोग करते हुए।
अब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$E = \tan \alpha + 2\cot 2\alpha$.
$2\cot 2\alpha = \cot \alpha - \tan \alpha$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$E = \tan \alpha + (\cot \alpha - \tan \alpha) = \cot \alpha$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\sqrt{3} \csc 20^{\circ} - \sec 20^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ} \right)}{\frac{1}{2} (2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ})}$
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 (\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{4 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 40^{\circ}} = \frac{4 \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 4$.

(D) $\triangle ABC$ में,कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
$\angle C = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
अतः,$a = k \sin 45^\circ = k \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $c = k \sin 60^\circ = k \frac{\sqrt{3}}{2}$.
हमें $a + c\sqrt{2} = k \frac{1}{\sqrt{2}} + k \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{2} = k \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right) = k \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $b = k \sin 75^\circ = k \sin(45^\circ + 30^\circ) = k \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \right) = k \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
इसलिए,$2b = 2k \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = k \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$a + c\sqrt{2} = 2b$.

(D) माना बिंदु $S$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया संबंध $SQ^2 + SR^2 = 2SP^2$ है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$((x + 1)^2 + (y - 0)^2) + ((x - 2)^2 + (y - 0)^2) = 2((x - 1)^2 + (y - 0)^2)$
$(x^2 + 2x + 1 + y^2) + (x^2 - 4x + 4 + y^2) = 2(x^2 - 2x + 1 + y^2)$
$2x^2 - 2x + 5 + 2y^2 = 2x^2 - 4x + 2 + 2y^2$
$-2x + 5 = -4x + 2$
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$
यह $y$-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

(B) एक बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S = 0$ पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,बिंदु $(0, 0)$ है,इसलिए $S_1 = 0^2 + 0^2 - 2r(0) - 2h(0) + h^2 = h^2$ है।
$(0, 0)$ पर स्पर्श रेखा $T$ का समीकरण $x(0) + y(0) - r(x + 0) - h(y + 0) + h^2 = 0$ है,जो $T = -rx - hy + h^2$ के रूप में सरल होता है।
$SS_1 = T^2$ में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$h^2(x^2 + y^2 - 2rx - 2hy + h^2) = (-rx - hy + h^2)^2$।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$h^2x^2 + h^2y^2 - 2rh^2x - 2h^3y + h^4 = r^2x^2 + h^2y^2 + h^4 + 2rhxy - 2rh^2x - 2h^3y$।
समान पदों $h^2y^2, h^4, -2rh^2x, -2h^3y$ को हटाने पर:
$h^2x^2 = r^2x^2 + 2rhxy$।
$(h^2 - r^2)x^2 - 2rhxy = 0$।
$x((h^2 - r^2)x - 2rhy) = 0$।
अतः,समीकरण $x = 0$ और $(h^2 - r^2)x - 2rhy = 0$ हैं।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि यह वृत्त $x^2 + y^2 = p^2$ को लंबकोणीय काटता है,शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ से $2g(0) + 2f(0) = c - p^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = p^2$।
चूंकि वृत्त $(a, b)$ से गुजरता है,इसलिए $a^2 + b^2 + 2ga + 2fb + p^2 = 0$ है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है। माना केंद्र $(x, y)$ है,इसलिए $g = -x$ और $f = -y$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $a^2 + b^2 + 2(-x)a + 2(-y)b + p^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $2ax + 2by - (a^2 + b^2 + p^2) = 0$ में सरल हो जाता है।

(B) दिया गया है $f(x) = x\sin \frac{1}{x}$ जहाँ $x \ne 0$ और $f(0) = 0$.
हम जानते हैं कि सभी $x \ne 0$ के लिए,$-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$.
$|x|$ से गुणा करने पर,हमें $-|x| \le x\sin \frac{1}{x} \le |x|$ प्राप्त होता है।
स्क्वीज़ प्रमेय (Squeeze Theorem) का उपयोग करने पर,चूँकि $\lim_{x \to 0} (-|x|) = 0$ और $\lim_{x \to 0} |x| = 0$,इसलिए $\lim_{x \to 0} x\sin \frac{1}{x} = 0$ होता है।
अतः,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.

(B) दिया गया सीमा $\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{\sqrt {f(x)} - 3}}{{\sqrt x - 3}}$ है।
चूंकि $f(9) = 9$,इसलिए $x \to 9$ पर यह $\frac{0}{0}$ का अनिर्धार्य रूप लेता है।
$L'\text{Hospital's rule}$ का उपयोग करके अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{f(x)} - 3)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x} - 3)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{f'(x) \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{f(x)}}$.
$f(9) = 9$ और $f'(9) = 4$ का मान रखने पर:
$= \frac{f'(9) \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{f(9)}} = \frac{4 \cdot 3}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.

(D) प्रायिकता के योग प्रमेय के अनुसार $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $C$ से मेल खाता है।
चूंकि $0 \leq P(A \cup B) \leq 1$,इसलिए $P(A \cup B) \leq 1 \implies P(A) + P(B) - P(A \cap B) \leq 1 \implies P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$,जो विकल्प $A$ से मेल खाता है।
साथ ही,चूंकि $P(A \cup B) \geq 0$,इसलिए $P(A) + P(B) - P(A \cap B) \geq 0 \implies P(A \cap B) \leq P(A) + P(B)$,जो विकल्प $B$ से मेल खाता है।
चूंकि विकल्प $A$,$B$ और $C$ तीनों गणितीय रूप से सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) माना कि $\Delta = \left| \begin{matrix} 1 & a & {{a}^{2}}-bc \\ 1 & b & {{b}^{2}}-ac \\ 1 & c & {{c}^{2}}-ab \end{matrix} \right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \to R_1 - R_2$ और $R_2 \to R_2 - R_3$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{matrix} 0 & a-b & (a^2-bc) - (b^2-ac) \\ 0 & b-c & (b^2-ac) - (c^2-ab) \\ 1 & c & {{c}^{2}}-ab \end{matrix} \right|$
तीसरे स्तंभ के तत्वों का सरलीकरण करने पर:
$(a^2-bc) - (b^2-ac) = (a^2-b^2) + (ac-bc) = (a-b)(a+b) + c(a-b) = (a-b)(a+b+c)$
$(b^2-ac) - (c^2-ab) = (b^2-c^2) + (ab-ac) = (b-c)(b+c) + a(b-c) = (b-c)(a+b+c)$
इन मानों को वापस रखने पर:
$\Delta = \left| \begin{matrix} 0 & a-b & (a-b)(a+b+c) \\ 0 & b-c & (b-c)(a+b+c) \\ 1 & c & {{c}^{2}}-ab \end{matrix} \right|$
$R_1$ से $(a-b)$ और $R_2$ से $(b-c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a-b)(b-c) \left| \begin{matrix} 0 & 1 & a+b+c \\ 0 & 1 & a+b+c \\ 1 & c & {{c}^{2}}-ab \end{matrix} \right|$
चूंकि $R_1$ और $R_2$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(C) समरूप रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए एक गैर-शून्य समाधान होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य के बराबर होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह है:
$A = \begin{bmatrix} 1 & k & -1 \\ 3 & -k & -1 \\ 1 & -3 & 1 \end{bmatrix}$
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & k & -1 \\ 3 & -k & -1 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(-k - 3) - k(3 - (-1)) - 1(-9 - (-k)) = 0$
$1(-k - 3) - k(4) - 1(-9 + k) = 0$
$-k - 3 - 4k + 9 - k = 0$
$-6k + 6 = 0$
$6k = 6$
$k = 1$

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ कोटि $n = 3$ के वर्ग आव्यूह हैं।
हम सारणिक का गुणधर्म जानते हैं कि $|AB| = |A| \times |B|$ होता है।
अतः,$|AB| = (-1) \times (3) = -3$।
हम यह भी जानते हैं कि $|kA| = k^n |A|$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$|3AB| = 3^3 |AB|$।
$|AB|$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|3AB| = 27 \times (-3) = -81$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta = 0$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \to R_1 - R_3$ और $R_2 \to R_2 - R_3$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 1 + 4 \sin 4 \theta \end{array} \right| = 0$
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(1 + 4 \sin 4 \theta + \cos^2 \theta) - 0 + (-1)(0 - \sin^2 \theta) = 0$
$1 + 4 \sin 4 \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 0$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$1 + 4 \sin 4 \theta + 1 = 0$
$2 + 4 \sin 4 \theta = 0$
$4 \sin 4 \theta = -2$
$\sin 4 \theta = -\frac{1}{2}$
दिया गया है $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $0 < 4 \theta < 2 \pi$।
अंतराल $(0, 2 \pi)$ में $4 \theta$ के वे मान जिनके लिए $\sin 4 \theta = -\frac{1}{2}$ है,$4 \theta = \frac{7 \pi}{6}$ और $4 \theta = \frac{11 \pi}{6}$ हैं।
अतः,$\theta = \frac{7 \pi}{24}$ और $\theta = \frac{11 \pi}{24}$।

(C) माना $\vec{a} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$,जहाँ $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ है।
चूँकि $\vec{a}$,$z$-अक्ष के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाता है,इसलिए $n = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$l^2 + m^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1 \implies l^2 + m^2 = \frac{1}{2} \dots (i)$।
दिया गया है कि $\vec{a} + \hat{i} + \hat{j}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|(l+1)\hat{i} + (m+1)\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}| = 1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(l+1)^2 + (m+1)^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1^2$।
$l^2 + 2l + 1 + m^2 + 2m + 1 + \frac{1}{2} = 1$।
$(l^2 + m^2) + 2(l+m) + 2.5 = 1$।
समीकरण $(i)$ का मान रखने पर,$\frac{1}{2} + 2(l+m) + 2.5 = 1 \implies 2(l+m) = -2 \implies l+m = -1$।
चूँकि $l^2 + m^2 = \frac{1}{2}$ और $l+m = -1$,इसलिए $(l+m)^2 = l^2 + m^2 + 2lm = 1 \implies \frac{1}{2} + 2lm = 1 \implies 2lm = \frac{1}{2} \implies lm = \frac{1}{4}$।
$l+m = -1$ और $lm = \frac{1}{4}$ को हल करने पर हमें $l = m = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{a} = -\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}$।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $3\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}$
हम $3\overrightarrow{OD}$ को तीन भागों में विभाजित करके अभिव्यक्ति को फिर से लिख सकते हैं:
$= \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DC}$
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए,$\overrightarrow{OX} + \overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY}$:
$\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{OA}$
$\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{OC}$
इन मानों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया संबंध $2\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{CB}$ है।
हम सदिशों को मूल बिंदु $O$ के संदर्भ में इस प्रकार लिख सकते हैं: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$ और $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) = 3(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC})$
$2\overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{OB} - 3\overrightarrow{OC}$
$2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}$ को अलग करने पर:
$2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OC} + 3\overrightarrow{OC}$
$2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} = 5\overrightarrow{OC}$

(B) सदिश $a$ का सदिश $b$ की दिशा में घटक,$a$ का $b$ पर प्रक्षेप है,जो $a \cos \theta = \frac{a \cdot b}{|b|}$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश $a$ का सदिश $b$ के लंबवत घटक $a \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$,इसलिए $a \sin \theta = \frac{|a \times b|}{|b|}$ होता है।
अतः,घटक $\frac{a \cdot b}{|b|}$ और $\frac{|a \times b|}{|b|}$ हैं।

(D) दिया गया है कि $p = \frac{b \times c}{[a, b, c]}$,$q = \frac{c \times a}{[a, b, c]}$,और $r = \frac{a \times b}{[a, b, c]}$।
प्रत्येक पद की अलग-अलग गणना करते हैं:
$(a+b) \cdot p = a \cdot p + b \cdot p = a \cdot \frac{b \times c}{[a, b, c]} + b \cdot \frac{b \times c}{[a, b, c]} = \frac{[a, b, c]}{[a, b, c]} + 0 = 1$.
$(b+c) \cdot q = b \cdot q + c \cdot q = b \cdot \frac{c \times a}{[a, b, c]} + c \cdot \frac{c \times a}{[a, b, c]} = \frac{[b, c, a]}{[a, b, c]} + 0 = 1$.
$(c+a) \cdot r = c \cdot r + a \cdot r = c \cdot \frac{a \times b}{[a, b, c]} + a \cdot \frac{a \times b}{[a, b, c]} = \frac{[c, a, b]}{[a, b, c]} + 0 = 1$.
इन परिणामों का योग करने पर: $1 + 1 + 1 = 3$।

(D) सबसे पहले,हम $|x - 3|$ के निरपेक्ष मान का विश्लेषण करके फलन $f(x)$ को फिर से लिखते हैं:
$|x - 3| = x - 3$ यदि $x \ge 3$ और $-(x - 3) = 3 - x$ यदि $x < 3$.
इस प्रकार,फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{13}{4}, & x < 1 \\ 3 - x, & 1 \le x < 3 \\ x - 3, & x \ge 3 \end{cases}$
$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$f(1) = 3 - 1 = 2$.
$LHL = \lim_{x \to 1^-} (\frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{13}{4}) = 2$.
$RHL = \lim_{x \to 1^+} (3 - x) = 2$.
चूंकि $LHL = RHL = f(1)$,फलन $x = 1$ पर संतत है।
$x = 3$ पर सांतत्य की जाँच करें:
$f(3) = 3 - 3 = 0$.
$LHL = \lim_{x \to 3^-} (3 - x) = 0$.
$RHL = \lim_{x \to 3^+} (x - 3) = 0$.
चूंकि $LHL = RHL = f(3)$,फलन $x = 3$ पर संतत है।
$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = -1$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = -1$.
चूंकि $LHD = RHD$,फलन $x = 1$ पर अवकलनीय है।
अतः,सभी कथन सही हैं।

(C) दिया गया है ${y^2} = p(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2y \frac{dy}{dx} = p'(x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{p'(x)}{2y}$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2y \frac{d^2y}{dx^2} = p''(x)$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{p'(x)}{2y}$ रखने पर,हमें $2 \left( \frac{p'(x)}{2y} \right)^2 + 2y \frac{d^2y}{dx^2} = p''(x)$ प्राप्त होता है।
$2y \frac{d^2y}{dx^2} = p''(x) - \frac{(p'(x))^2}{2y^2} = p''(x) - \frac{(p'(x))^2}{2p(x)}$।
$y^2$ से गुणा करने पर,हमें $2y^3 \frac{d^2y}{dx^2} = p(x) p''(x) - \frac{1}{2} (p'(x))^2$ प्राप्त होता है।
अब,$2y^3 \frac{d^2y}{dx^2}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( 2y^3 \frac{d^2y}{dx^2} \right) = \frac{d}{dx} \left( p(x) p''(x) - \frac{1}{2} (p'(x))^2 \right)$।
$= p'(x) p''(x) + p(x) p'''(x) - \frac{1}{2} \cdot 2 p'(x) p''(x)$।
$= p'(x) p''(x) + p(x) p'''(x) - p'(x) p''(x) = p(x) p'''(x)$।

(B) समाकलन $I = \int_0^{1.5} [x^2] \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंतराल $[0, 1.5]$ को उन बिंदुओं पर विभाजित करते हैं जहाँ $x^2$ एक पूर्णांक है।
$x^2 = 1 \implies x = 1$
$x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2} \approx 1.414$
अतः,हम समाकलन को इस प्रकार विभाजित करते हैं:
$I = \int_0^1 [x^2] \, dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] \, dx + \int_{\sqrt{2}}^{1.5} [x^2] \, dx$
$0 \le x < 1$ के लिए,$0 \le x^2 < 1$,इसलिए $[x^2] = 0$ है।
$1 \le x < \sqrt{2}$ के लिए,$1 \le x^2 < 2$,इसलिए $[x^2] = 1$ है।
$\sqrt{2} \le x < 1.5$ के लिए,$2 \le x^2 < 2.25$,इसलिए $[x^2] = 2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_0^1 0 \, dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 \, dx + \int_{\sqrt{2}}^{1.5} 2 \, dx$
$I = 0 + [x]_1^{\sqrt{2}} + 2[x]_{\sqrt{2}}^{1.5}$
$I = (\sqrt{2} - 1) + 2(1.5 - \sqrt{2})$
$I = \sqrt{2} - 1 + 3 - 2\sqrt{2}$
$I = 2 - \sqrt{2}$

(A) मान लीजिए $R_1$ वह घटना है कि कलश $A$ से एक लाल गेंद निकाली जाती है और $B$ में रखी जाती है,और $B_1$ वह घटना है कि कलश $A$ से एक काली गेंद निकाली जाती है और $B$ में रखी जाती है।
$P(R_1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$,$P(B_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
गेंद स्थानांतरित करने के बाद,कलश $B$ में $11$ गेंदें हैं।
यदि $R_1$ घटित होता है,तो $B$ में $5$ लाल और $6$ काली गेंदें हैं। $P(R_2|R_1) = \frac{5}{11}$,$P(B_2|R_1) = \frac{6}{11}$.
यदि $B_1$ घटित होता है,तो $B$ में $4$ लाल और $7$ काली गेंदें हैं। $P(R_2|B_1) = \frac{4}{11}$,$P(B_2|B_1) = \frac{7}{11}$.
$A$ में वापस स्थानांतरित करने के बाद,कलश $A$ में $10$ गेंदें हैं।
यदि $R_1$ और $R_2$ घटित होते हैं,तो $A$ में $6$ लाल गेंदें हैं। $P(R|R_1, R_2) = \frac{6}{10}$.
यदि $R_1$ और $B_2$ घटित होते हैं,तो $A$ में $5$ लाल गेंदें हैं। $P(R|R_1, B_2) = \frac{5}{10}$.
यदि $B_1$ और $R_2$ घटित होते हैं,तो $A$ में $7$ लाल गेंदें हैं। $P(R|B_1, R_2) = \frac{7}{10}$.
यदि $B_1$ और $B_2$ घटित होते हैं,तो $A$ में $6$ लाल गेंदें हैं। $P(R|B_1, B_2) = \frac{6}{10}$.
कुल प्रायिकता $P(R) = P(R_1)P(R_2|R_1)P(R|R_1, R_2) + P(R_1)P(B_2|R_1)P(R|R_1, B_2) + P(B_1)P(R_2|B_1)P(R|B_1, R_2) + P(B_1)P(B_2|B_1)P(R|B_1, B_2)$.
$P(R) = (\frac{6}{10} \times \frac{5}{11} \times \frac{6}{10}) + (\frac{6}{10} \times \frac{6}{11} \times \frac{5}{10}) + (\frac{4}{10} \times \frac{4}{11} \times \frac{7}{10}) + (\frac{4}{10} \times \frac{7}{11} \times \frac{6}{10})$.
$P(R) = \frac{180 + 180 + 112 + 168}{1100} = \frac{640}{1100} = \frac{64}{110} = \frac{32}{55}$.

(D) माना $X$ चितों की संख्या है,जो द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करती है जहाँ $n = 100$ है।
$k$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
हमें दिया गया है कि $P(X=50) = P(X=51)$ है।
मान रखने पर:
${}^{100}C_{50} p^{50} (1-p)^{50} = {}^{100}C_{51} p^{51} (1-p)^{49}$।
दोनों पक्षों को $p^{50} (1-p)^{49}$ से विभाजित करने पर:
${}^{100}C_{50} (1-p) = {}^{100}C_{51} p$।
$p$ के लिए हल करने पर:
$\frac{1-p}{p} = \frac{{}^{100}C_{51}}{{}^{100}C_{50}} = \frac{100!}{51! 49!} \times \frac{50! 50!}{100!} = \frac{50}{51}$।
अतः,$51(1-p) = 50p$।
$51 - 51p = 50p$।
$101p = 51$।
$p = \frac{51}{101}$।