IIT JEE 1988 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ઉષ્મા નળાકારની લંબાઈની દિશામાં વહેતી હોવાથી,બંને નળાકાર સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણ માટે સમતુલ્ય ઉષ્મા વાહકતા $K_{eq} = \frac{K_1 A_1 + K_2 A_2}{A_1 + A_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$A_1$ એ આંતરિક નળાકારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે: $A_1 = \pi R^2$.
$A_2$ એ બાહ્ય નળાકાર કવચનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે: $A_2 = \pi (2R)^2 - \pi R^2 = 4\pi R^2 - \pi R^2 = 3\pi R^2$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = A_1 + A_2 = \pi R^2 + 3\pi R^2 = 4\pi R^2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$K_{eq} = \frac{K_1(\pi R^2) + K_2(3\pi R^2)}{4\pi R^2} = \frac{K_1 + 3K_2}{4}$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
તેથી,$v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$.
આપેલ છે કે દળ સમાન છે $(m_M = m_N = m)$ અને તેમના મહત્તમ વેગ સમાન છે $(v_M = v_N)$:
$A_M \sqrt{\frac{k_1}{m}} = A_N \sqrt{\frac{k_2}{m}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $A_M \sqrt{k_1} = A_N \sqrt{k_2}$ મળે છે.
તેથી,$M$ ના કંપવિસ્તારનો $N$ ના કંપવિસ્તાર સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{A_M}{A_N} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$ થાય છે.

(B) સ્થિર તરંગ સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા બે તરંગોના વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરવાથી બને છે.
આપેલ આપાત તરંગ $y_1 = a \cos (kx - \omega t)$ છે.
બિંદુ $x = 0$ નિસ્પંદ બિંદુ હોવા માટે,$x = 0$ પર તમામ સમય $t$ માટે પરિણામી સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે બીજું તરંગ $y_2 = a \cos (kx + \omega t + \phi)$ છે.
પરિણામી તરંગ $y = y_1 + y_2 = a [\cos (kx - \omega t) + \cos (kx + \omega t + \phi)]$ છે.
નિત્યસમ $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = 2a \cos (kx + \phi/2) \cos (\omega t + \phi/2)$ મળે છે.
$x = 0$ પર,$y = 2a \cos (\phi/2) \cos (\omega t + \phi/2)$ થાય.
આ બિંદુ નિસ્પંદ બિંદુ (શૂન્ય સ્થાનાંતર) હોવા માટે,$\cos (\phi/2) = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\phi/2 = \pi/2$,એટલે કે $\phi = \pi$.
બીજા તરંગના સમીકરણમાં $\phi = \pi$ મૂકતા:
$y_2 = a \cos (kx + \omega t + \pi) = -a \cos (kx + \omega t)$.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ એવા માર્ગો છે જેની સાથે મુક્ત ધન વિદ્યુતભાર ગતિ કરે છે.
કણ $(1, 0)$ પર સ્થિત હોવાથી,જે ${x^2} + {y^2} = 1$ સમીકરણનું પાલન કરે છે,તેથી તે ક્ષેત્ર રેખા પર સ્થિત છે.
આથી,કણ ક્ષેત્ર રેખાની સાથે ગતિ કરશે,જે એક વર્તુળ છે.
સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $i$ પ્રવાહ વહન કરતા અર્ધવર્તુળાકાર ચાપને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{{\mu _0}i}{{4R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,પ્રવાહ $R_1$ અને $R_2$ ત્રિજ્યાના બે અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ અને બે સીધા ત્રિજ્યાવર્તી વિભાગોમાંથી વહે છે.
સીધા ત્રિજ્યાવર્તી વિભાગોને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે કારણ કે આ વિભાગો માટે બિંદુ $O$ નો સ્થાન સદિશ પ્રવાહ ખંડ $idl$ ને સમાંતર છે.
$R_1$ ત્રિજ્યાના અંદરના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ માટે,$O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ કાગળના સમતલની અંદરની તરફ $(\otimes)$ છે અને તેનું મૂલ્ય $B_1 = \frac{{\mu _0}i}{{4R_1}}$ છે.
$R_2$ ત્રિજ્યાના બહારના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ માટે,$O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ કાગળના સમતલની બહારની તરફ $(\odot)$ છે અને તેનું મૂલ્ય $B_2 = \frac{{\mu _0}i}{{4R_2}}$ છે.
$R_1$ < $R_2$ હોવાથી,મૂલ્ય $B_1$ > $B_2$ થશે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_1 - B_2$ થશે જે કાગળના સમતલની અંદરની તરફ હશે.
$B_{net} = \frac{{\mu _0}i}{{4R_1}} - \frac{{\mu _0}i}{{4R_2}} = \frac{{\mu _0}i}{4}\left( {\frac{1}{{{R_1}}} - \frac{1}{{{R_2}}}} \right)$.

(D) $X$-રે ટ્યુબમાં ઉત્પન્ન થતા $X$-કિરણોની લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ (કટ-ઓફ તરંગલંબાઈ) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
${\lambda _{\min }} = \frac{{hc}}{{eV}}$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,$e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે અને $V$ એ પ્રવેગક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
સંબંધ ${\lambda _{\min }} \propto \frac{1}{V}$ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ એ લાગુ પાડેલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જ્યારે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે લઘુત્તમ તરંગલંબાઈ ${\lambda _{\min }}$ ઘટે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) તાંબુ $(Cu)$ એ સુવાહક છે,અને તાપમાન ઘટતા તેનો અવરોધ ઘટે છે કારણ કે લેટીસના કંપનો દ્વારા ઇલેક્ટ્રોનનું સ્કેટરિંગ ઘટે છે.
જર્મેનિયમ $(Ge)$ એ અર્ધવાહક છે,અને તાપમાન ઘટતા તેનો અવરોધ વધે છે કારણ કે તાપમાનમાં ઘટાડો થવાથી મુક્ત વિદ્યુતભાર વાહકો (ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) ની સંખ્યા ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.
તેથી,તાંબાનો અવરોધ ઘટે છે જ્યારે જર્મેનિયમનો અવરોધ વધે છે.

(A) $P$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટર મેળવવા માટે,આપણે આંતરિક સેમિકન્ડક્ટર $(Si)$ માં ત્રિસંયોજક અશુદ્ધિ ઉમેરવી પડે છે.
$Si$ એ આવર્ત કોષ્ટકના સમૂહ $14$ માં આવે છે અને તેની પાસે $4$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન છે.
એલ્યુમિનિયમ $(Al)$ સમૂહ $13$ માં આવે છે અને તેની પાસે $3$ સંયોજકતા ઇલેક્ટ્રોન છે.
જ્યારે $Al$ ને $Si$ માં ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે તે સ્ફટિક લેટીસમાં એક હોલ (ખાલી જગ્યા) બનાવે છે,જે ચાર્જ કેરિયર તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના પરિણામે $P$-પ્રકારનું સેમિકન્ડક્ટર બને છે.
ફોસ્ફરસ એ પંચસંયોજક અશુદ્ધિ છે જેનો ઉપયોગ $N$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટર માટે થાય છે.

(D) અરીસાના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ .....$(i)$
સમીકરણ $(i)$ નું $u$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$0 = - \frac{1}{v^2} \frac{dv}{du} - \frac{1}{u^2}$
$\frac{dv}{du} = - \left( \frac{v}{u} \right)^2$
પદાર્થની લંબાઈ $l = du$ નાની હોવાથી,પ્રતિબિંબની લંબાઈ $dv$ નીચે મુજબ મળે:
$dv = - \left( \frac{v}{u} \right)^2 du$ .....$(ii)$
અરીસાના સૂત્ર પરથી,મોટવણી $m = \frac{v}{u}$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{u - f}{fu}$
$\frac{v}{u} = \frac{f}{u - f}$ .....$(iii)$
સમીકરણ $(iii)$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$dv = - \left( \frac{f}{u - f} \right)^2 l$
તેથી,પ્રતિબિંબના કદનું મૂલ્ય $l' = |dv| = l \left( \frac{f}{u - f} \right)^2$ થાય.

(C) વ્યતિકરણમાં પરિણામી તરંગની તીવ્રતા $I_{res} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ તીવ્રતા માટે, $\cos \phi = 1$, તેથી $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે, તેથી $I_{max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા માટે, $\cos \phi = -1$, તેથી $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
આમ, $I_{min} = (\sqrt{I} - \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} - 2\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$.
તેથી, મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા અનુક્રમે $9I$ અને $I$ છે.

(C) શરૂઆતમાં,કેપેસિટરોને $V$ પોટેન્શિયલ ધરાવતી બેટરી સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે. સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = (2C)V + (C)V = 3CV$ છે.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે અને $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટરમાં $K$ અચળાંક ધરાવતું ડાયઇલેક્ટ્રિક મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
$2C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતું કેપેસિટર બદલાતું નથી.
કેપેસિટરો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,તેમની વચ્ચે સમાન પોટેન્શિયલ તફાવત $V'$ હોય છે. કુલ વિદ્યુતભાર સંરક્ષિત રહે છે,તેથી $Q_{total} = 3CV$.
નવું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = 2C + KC = C(K+2)$ છે.
સંબંધ $Q = C_{eq} V'$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3CV = C(K+2) V'$
$V' = \frac{3CV}{C(K+2)} = \frac{3V}{K+2}$

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કણને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $KE = qV = \frac{1}{2}mv^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
આ કિંમતને ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$.
અહીં $q$,$V$ અને $B$ બંને કણો માટે અચળ હોવાથી,$R \propto \sqrt{m}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $m \propto R^2$.
તેથી,દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_X}{m_Y} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2$ થશે.