IIT JEE 1988 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1 = a + ib$ અને $z_2 = c + id$ અનુબદ્ધ હોય જો $a = c$ અને $b = -d$ થાય.
આપેલ છે $z_1 = \sin x + i\cos 2x$ અને $z_2 = \cos x - i\sin 2x$,તેથી:
$1) \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = n\pi + \frac{\pi}{4}$
$2) \cos 2x = \sin 2x \implies \tan 2x = 1 \implies 2x = m\pi + \frac{\pi}{4} \implies x = \frac{m\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$
આ બંને શરતો એકસાથે સંતોષાય તેવી $x$ ની કોઈ કિંમત નથી.
તેથી,$x$ ની કોઈ કિંમત માટે આ સંકર સંખ્યાઓ અનુબદ્ધ નથી.

(A) એકમનાં ઘનમૂળો $1, \omega, \omega^2$ છે.
આ બિંદુઓ આર્ગેન્ડ સમતલ પર એકમ વર્તુળ $|z| = 1$ પર આવેલા છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{2\pi}{3}$ રેડિયન $(120^\circ)$ છે.
આ બિંદુઓ વર્તુળ પર સમાન અંતરે હોવાથી,તેઓ સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ બનાવે છે.

(B) આપણે $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$|az_1 - bz_2|^2 + |bz_1 + az_2|^2 = (az_1 - bz_2)(\overline{az_1 - bz_2}) + (bz_1 + az_2)(\overline{bz_1 + az_2})$
$= (az_1 - bz_2)(a\overline{z_1} - b\overline{z_2}) + (bz_1 + az_2)(b\overline{z_1} + a\overline{z_2})$
$= (a^2|z_1|^2 - ab z_1\overline{z_2} - ab \overline{z_1}z_2 + b^2|z_2|^2) + (b^2|z_1|^2 + ab z_1\overline{z_2} + ab \overline{z_1}z_2 + a^2|z_2|^2)$
$= a^2|z_1|^2 + b^2|z_2|^2 + b^2|z_1|^2 + a^2|z_2|^2$
$= (a^2 + b^2)|z_1|^2 + (a^2 + b^2)|z_2|^2$
$= (a^2 + b^2)(|z_1|^2 + |z_2|^2)$

(D) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $A.P.$,$G.P.$ અને $H.P.$ ના પ્રથમ અને $(2n - 1)^{th}$ પદો છે.
$A.P.$ માટે: $n^{th}$ પદ $a = \frac{\alpha + \beta}{2}$ $(i)$
$G.P.$ માટે: $n^{th}$ પદ $b = \sqrt{\alpha \beta}$ (ii)
$H.P.$ માટે: $n^{th}$ પદ $c = \frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}$ (iii)
$(i)$,(ii) અને (iii) પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a, b, c$ એ $\alpha$ અને $\beta$ ના સમાંતર મધ્યક,સમગુણોત્તર મધ્યક અને હરાત્મક મધ્યક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ધન સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta$ માટે,$A.M. \ge G.M. \ge H.M.$
તેથી,$a \ge b \ge c$,જે વિકલ્પ $(a)$ સાથે મેળ ખાય છે.
વળી,$ac = \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \left(\frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}\right) = \alpha \beta = b^2$.
તેથી,$ac - b^2 = 0$,જે વિકલ્પ $(c)$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(C) પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો નીચે મુજબ છે:
$S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) + \left(1 - \frac{1}{2^3}\right) + \dots + \left(1 - \frac{1}{2^n}\right)$
$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(1 - \frac{1}{2^k}\right) = n - \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k$
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$S_n = n - \left[ \frac{1}{2} \left( \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} \right) \right]$
$S_n = n - \left( 1 - \frac{1}{2^n} \right) = n - 1 + 2^{-n}$
$n=1$ માટે ચકાસણી: $S_1 = 1 - 1 + 2^{-1} = 1/2$ (સાચું).
$n=2$ માટે ચકાસણી: $S_2 = 2 - 1 + 2^{-2} = 1 + 1/4 = 5/4$ (સાચું).

(B) આપેલ શ્રેણી $1^2, 2 \cdot 2^2, 3^2, 2 \cdot 4^2, 5^2, 2 \cdot 6^2, \dots$ છે.
જ્યારે $n$ બેકી હોય,ત્યારે સરવાળો $S_n = \frac{n(n + 1)^2}{2}$ છે.
જ્યારે $n$ એકી હોય,ત્યારે $n$-મું પદ $n^2$ છે. પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = S_{n-1} + a_n$ થાય.
$n$ એકી હોવાથી,$n-1$ બેકી છે. $n-1$ પદો માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$S_{n-1} = \frac{(n-1)((n-1) + 1)^2}{2} = \frac{(n-1)n^2}{2}$.
તેથી,$S_n = \frac{(n-1)n^2}{2} + n^2 = n^2 \left( \frac{n-1}{2} + 1 \right) = \frac{n^2(n+1)}{2}$.
ચકાસણી: $n=1$ માટે,$S_1 = 1^2 = 1$. સૂત્ર $(b)$ મુજબ: $\frac{1^2(1+1)}{2} = 1$. જે સાચું છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $|x^2 + 4x + 3| + 2x + 5 = 0$ છે.
કિસ્સો $I$: $x^2 + 4x + 3 \ge 0$,જેનો અર્થ છે $(x+1)(x+3) \ge 0$,તેથી $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, \infty)$.
સમીકરણ $x^2 + 4x + 3 + 2x + 5 = 0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 6x + 8 = 0$ થાય છે.
અવયવ પાડતા $(x+2)(x+4) = 0$ મળે,તેથી $x = -2$ અથવા $x = -4$.
શરત તપાસતા: $x = -4$ એ $x \in (-\infty, -3]$ માં છે,પરંતુ $x = -2$ એ $x \in [-1, \infty)$ માં નથી. તેથી,$x = -4$ એક ઉકેલ છે.
કિસ્સો $II$: $x^2 + 4x + 3 < 0$,જેનો અર્થ છે $x \in (-3, -1)$.
સમીકરણ $-(x^2 + 4x + 3) + 2x + 5 = 0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $-x^2 - 2x + 2 = 0$ અથવા $x^2 + 2x - 2 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.
શરત તપાસતા: $\sqrt{3} \approx 1.732$,તેથી $x_1 = -1 + 1.732 = 0.732$ (જે $(-3, -1)$ માં નથી) અને $x_2 = -1 - 1.732 = -2.732$ (જે $(-3, -1)$ માં છે).
આમ,$x = -1 - \sqrt{3}$ એક ઉકેલ છે.
કુલ $2$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(C) કોઈ પણ બે '$-$' ચિહ્નો સાથે ન આવે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે પહેલા છ '$+$' ચિહ્નોને હરોળમાં ગોઠવીએ: $+ + + + + +$.
આનાથી $7$ સંભવિત જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં '$-$' ચિહ્નો મૂકી શકાય છે: $\_ + \_ + \_ + \_ + \_ + \_ \_$.
આપણે $4$ '$-$' ચિહ્નો મૂકવા માટે $7$ ઉપલબ્ધ જગ્યાઓમાંથી $4$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
આ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${^n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 7$ અને $r = 4$ છે,તેથી રીતોની સંખ્યા ${^7}C_4 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ છે.

(A) આપેલ છે $R = (5\sqrt{5} + 11)^{2n + 1}$.
ધારો કે $f' = (5\sqrt{5} - 11)^{2n + 1}$.
$0 < 5\sqrt{5} - 11 < 1$ હોવાથી,$0 < f' < 1$.
$R + f' = (5\sqrt{5} + 11)^{2n + 1} + (5\sqrt{5} - 11)^{2n + 1} = 2k$ (જ્યાં $k$ પૂર્ણાંક છે).
$R = [R] + f$ હોવાથી,$[R] + f + f' = 2k$.
$0 < f + f' < 2$ હોવાથી,$f + f' = 1$.
તેથી $f = 1 - f'$.
$R \cdot f = R(1 - f') = R - R \cdot f' = R - (125 - 121)^{2n + 1} = R - 4^{2n + 1}$.
પરિણામ $4^{2n + 1}$ મળે છે.

(C) આપણે નિત્યસમ $\tan \theta = \cot \theta - 2\cot 2\theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જે સૂચવે છે કે $\cot \theta - \tan \theta = 2\cot 2\theta$.
પદાવલિ $E = \tan \alpha + 2\tan 2\alpha + 4\tan 4\alpha + 8\cot 8\alpha$ ધ્યાનમાં લો.
નિત્યસમ $\tan \theta = \cot \theta - 2\cot 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$8\cot 8\alpha + 4\tan 4\alpha = 4(2\cot 8\alpha + \tan 4\alpha) = 4(\cot 4\alpha) = 4\cot 4\alpha$.
હવે પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$E = \tan \alpha + 2\tan 2\alpha + 4\cot 4\alpha$.
ફરીથી,$4\cot 4\alpha + 2\tan 2\alpha = 2(2\cot 4\alpha + \tan 2\alpha) = 2(\cot 2\alpha) = 2\cot 2\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા.
હવે પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$E = \tan \alpha + 2\cot 2\alpha$.
$2\cot 2\alpha = \cot \alpha - \tan \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$E = \tan \alpha + (\cot \alpha - \tan \alpha) = \cot \alpha$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{3} \csc 20^{\circ} - \sec 20^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ} \right)}{\frac{1}{2} (2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ})}$
$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 (\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{4 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 40^{\circ}} = \frac{4 \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 4$.

(D) $\triangle ABC$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ થાય છે.
$\angle C = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
તેથી,$a = k \sin 45^\circ = k \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $c = k \sin 60^\circ = k \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપણે $a + c\sqrt{2} = k \frac{1}{\sqrt{2}} + k \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{2} = k \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right) = k \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $b = k \sin 75^\circ = k \sin(45^\circ + 30^\circ) = k \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \right) = k \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,$2b = 2k \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = k \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$a + c\sqrt{2} = 2b$.

(D) ધારો કે બિંદુ $S$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ સંબંધ $SQ^2 + SR^2 = 2SP^2$ છે.
યામ મૂકતા:
$((x + 1)^2 + (y - 0)^2) + ((x - 2)^2 + (y - 0)^2) = 2((x - 1)^2 + (y - 0)^2)$
$(x^2 + 2x + 1 + y^2) + (x^2 - 4x + 4 + y^2) = 2(x^2 - 2x + 1 + y^2)$
$2x^2 - 2x + 5 + 2y^2 = 2x^2 - 4x + 2 + 2y^2$
$-2x + 5 = -4x + 2$
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$
આ $y$-અક્ષને સમાંતર એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S = 0$ પરના સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,બિંદુ $(0, 0)$ છે,તેથી $S_1 = 0^2 + 0^2 - 2r(0) - 2h(0) + h^2 = h^2$.
$(0, 0)$ પર સ્પર્શક $T$ નું સમીકરણ $x(0) + y(0) - r(x + 0) - h(y + 0) + h^2 = 0$ છે,જે $T = -rx - hy + h^2$ તરીકે સરળ બને છે.
$SS_1 = T^2$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$h^2(x^2 + y^2 - 2rx - 2hy + h^2) = (-rx - hy + h^2)^2$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$h^2x^2 + h^2y^2 - 2rh^2x - 2h^3y + h^4 = r^2x^2 + h^2y^2 + h^4 + 2rhxy - 2rh^2x - 2h^3y$.
સમાન પદો $h^2y^2, h^4, -2rh^2x, -2h^3y$ ને દૂર કરતા:
$h^2x^2 = r^2x^2 + 2rhxy$.
$(h^2 - r^2)x^2 - 2rhxy = 0$.
$x((h^2 - r^2)x - 2rhy) = 0$.
આમ,સમીકરણો $x = 0$ અને $(h^2 - r^2)x - 2rhy = 0$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તે વર્તુળ $x^2 + y^2 = p^2$ ને લંબચ્છેદી રીતે છેદે છે,તેથી શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ મુજબ $2g(0) + 2f(0) = c - p^2$,જેનો અર્થ છે કે $c = p^2$.
વર્તુળ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a^2 + b^2 + 2ga + 2fb + p^2 = 0$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે. ધારો કે કેન્દ્ર $(x, y)$ છે,તેથી $g = -x$ અને $f = -y$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $a^2 + b^2 + 2(-x)a + 2(-y)b + p^2 = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $2ax + 2by - (a^2 + b^2 + p^2) = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x\sin \frac{1}{x}$ જ્યારે $x \ne 0$ અને $f(0) = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $x \ne 0$ માટે,$-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$.
$|x|$ વડે ગુણતા,આપણને $-|x| \le x\sin \frac{1}{x} \le |x|$ મળે છે.
સ્ક્વીઝ પ્રમેય (Squeeze Theorem) લાગુ પાડતા,કારણ કે $\lim_{x \to 0} (-|x|) = 0$ અને $\lim_{x \to 0} |x| = 0$,તેથી $\lim_{x \to 0} x\sin \frac{1}{x} = 0$ થાય છે.
આમ,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$.

(B) આપેલ લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{{\sqrt {f(x)} - 3}}{{\sqrt x - 3}}$ છે.
કારણ કે $f(9) = 9$,તેથી $x \to 9$ લેતા પદ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ ધારણ કરે છે.
$L'\text{Hospital's rule}$ નો ઉપયોગ કરીને અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{f(x)} - 3)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x} - 3)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 9} \frac{f'(x) \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{f(x)}}$.
$f(9) = 9$ અને $f'(9) = 4$ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{f'(9) \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{f(9)}} = \frac{4 \cdot 3}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.

(D) સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$ મળે છે,જે વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.
કારણ કે $0 \leq P(A \cup B) \leq 1$,તેથી $P(A \cup B) \leq 1 \implies P(A) + P(B) - P(A \cap B) \leq 1 \implies P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$,જે વિકલ્પ $A$ સાથે મેળ ખાય છે.
વળી,$P(A \cup B) \geq 0$ હોવાથી,$P(A) + P(B) - P(A \cap B) \geq 0 \implies P(A \cap B) \leq P(A) + P(B)$,જે વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.
આમ,વિકલ્પો $A$,$B$ અને $C$ ત્રણેય ગાણિતિક રીતે સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $\Delta = \left| \begin{matrix} 1 & a & {{a}^{2}}-bc \\ 1 & b & {{b}^{2}}-ac \\ 1 & c & {{c}^{2}}-ab \end{matrix} \right|$.
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_1 \to R_1 - R_2$ અને $R_2 \to R_2 - R_3$ લાગુ કરતા:
$\Delta = \left| \begin{matrix} 0 & a-b & (a^2-bc) - (b^2-ac) \\ 0 & b-c & (b^2-ac) - (c^2-ab) \\ 1 & c & {{c}^{2}}-ab \end{matrix} \right|$
ત્રીજા સ્તંભના ઘટકોનું સાદુંરૂપ આપતા:
$(a^2-bc) - (b^2-ac) = (a^2-b^2) + (ac-bc) = (a-b)(a+b) + c(a-b) = (a-b)(a+b+c)$
$(b^2-ac) - (c^2-ab) = (b^2-c^2) + (ab-ac) = (b-c)(b+c) + a(b-c) = (b-c)(a+b+c)$
આ કિંમતો પાછી મૂકતા:
$\Delta = \left| \begin{matrix} 0 & a-b & (a-b)(a+b+c) \\ 0 & b-c & (b-c)(a+b+c) \\ 1 & c & {{c}^{2}}-ab \end{matrix} \right|$
$R_1$ માંથી $(a-b)$ અને $R_2$ માંથી $(b-c)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (a-b)(b-c) \left| \begin{matrix} 0 & 1 & a+b+c \\ 0 & 1 & a+b+c \\ 1 & c & {{c}^{2}}-ab \end{matrix} \right|$
અહીં $R_1$ અને $R_2$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે.

(C) સમપરિમાણીય સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે શૂન્યતર ઉકેલ મેળવવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સહગુણક શ્રેણિક નીચે મુજબ છે:
$A = \begin{bmatrix} 1 & k & -1 \\ 3 & -k & -1 \\ 1 & -3 & 1 \end{bmatrix}$
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$\begin{vmatrix} 1 & k & -1 \\ 3 & -k & -1 \\ 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(-k - 3) - k(3 - (-1)) - 1(-9 - (-k)) = 0$
$1(-k - 3) - k(4) - 1(-9 + k) = 0$
$-k - 3 - 4k + 9 - k = 0$
$-6k + 6 = 0$
$6k = 6$
$k = 1$

(B) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ એ $n = 3$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો છે.
આપણે નિશ્ચાયકનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ કે $|AB| = |A| \times |B|$.
તેથી,$|AB| = (-1) \times (3) = -3$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $|kA| = k^n |A|$,જ્યાં $n$ એ શ્રેણિકની કક્ષા છે.
અહીં,$|3AB| = 3^3 |AB|$.
$|AB|$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $|3AB| = 27 \times (-3) = -81$ મળે છે.

(A) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_1 \to R_1 - R_3$ અને $R_2 \to R_2 - R_3$ લાગુ પાડતા:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 1 + 4 \sin 4 \theta \end{array} \right| = 0$
$R_1$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$1(1 + 4 \sin 4 \theta + \cos^2 \theta) - 0 + (-1)(0 - \sin^2 \theta) = 0$
$1 + 4 \sin 4 \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 0$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$1 + 4 \sin 4 \theta + 1 = 0$
$2 + 4 \sin 4 \theta = 0$
$4 \sin 4 \theta = -2$
$\sin 4 \theta = -\frac{1}{2}$
આપેલ છે કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,તેથી $0 < 4 \theta < 2 \pi$.
અંતરાલ $(0, 2 \pi)$ માં $4 \theta$ ની કિંમતો જેના માટે $\sin 4 \theta = -\frac{1}{2}$ થાય છે,તે $4 \theta = \frac{7 \pi}{6}$ અને $4 \theta = \frac{11 \pi}{6}$ છે.
તેથી,$\theta = \frac{7 \pi}{24}$ અને $\theta = \frac{11 \pi}{24}$.

(C) ધારો કે $\vec{a} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$,જ્યાં $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ છે.
સદિશ $\vec{a}$ એ $z$-અક્ષ સાથે $\frac{\pi}{4}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $n = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$l^2 + m^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1 \implies l^2 + m^2 = \frac{1}{2} \dots (i)$.
આપેલ છે કે $\vec{a} + \hat{i} + \hat{j}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|(l+1)\hat{i} + (m+1)\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(l+1)^2 + (m+1)^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1^2$.
$l^2 + 2l + 1 + m^2 + 2m + 1 + \frac{1}{2} = 1$.
$(l^2 + m^2) + 2(l+m) + 2.5 = 1$.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{1}{2} + 2(l+m) + 2.5 = 1 \implies 2(l+m) = -2 \implies l+m = -1$.
કારણ કે $l^2 + m^2 = \frac{1}{2}$ અને $l+m = -1$,તેથી $(l+m)^2 = l^2 + m^2 + 2lm = 1 \implies \frac{1}{2} + 2lm = 1 \implies 2lm = \frac{1}{2} \implies lm = \frac{1}{4}$.
$l+m = -1$ અને $lm = \frac{1}{4}$ ઉકેલતા આપણને $l = m = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\vec{a} = -\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $3\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}$
આપણે $3\overrightarrow{OD}$ ને ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરીને પદાવલિને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$= \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DC}$
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\overrightarrow{OX} + \overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY}$:
$\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{OA}$
$\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{OC}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ સંબંધ $2\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{CB}$ છે.
આપણે સદિશોને ઉગમબિંદુ $O$ ના સંદર્ભમાં આ રીતે લખી શકીએ: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}$ અને $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}) = 3(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC})$
$2\overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{OA} = 3\overrightarrow{OB} - 3\overrightarrow{OC}$
$2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB}$ ને કર્તા બનાવતા:
$2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OC} + 3\overrightarrow{OC}$
$2\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OB} = 5\overrightarrow{OC}$

(B) સદિશ $a$ નો સદિશ $b$ ની દિશામાં ઘટક એ $a$ નો $b$ પરનો પ્રક્ષેપ છે,જે $a \cos \theta = \frac{a \cdot b}{|b|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ $a$ નો સદિશ $b$ ને લંબ ઘટક $a \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$,તેથી $a \sin \theta = \frac{|a \times b|}{|b|}$ થાય.
આમ,ઘટકો $\frac{a \cdot b}{|b|}$ અને $\frac{|a \times b|}{|b|}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $p = \frac{b \times c}{[a, b, c]}$,$q = \frac{c \times a}{[a, b, c]}$,અને $r = \frac{a \times b}{[a, b, c]}$.
દરેક પદની અલગથી ગણતરી કરીએ:
$(a+b) \cdot p = a \cdot p + b \cdot p = a \cdot \frac{b \times c}{[a, b, c]} + b \cdot \frac{b \times c}{[a, b, c]} = \frac{[a, b, c]}{[a, b, c]} + 0 = 1$.
$(b+c) \cdot q = b \cdot q + c \cdot q = b \cdot \frac{c \times a}{[a, b, c]} + c \cdot \frac{c \times a}{[a, b, c]} = \frac{[b, c, a]}{[a, b, c]} + 0 = 1$.
$(c+a) \cdot r = c \cdot r + a \cdot r = c \cdot \frac{a \times b}{[a, b, c]} + a \cdot \frac{a \times b}{[a, b, c]} = \frac{[c, a, b]}{[a, b, c]} + 0 = 1$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $1 + 1 + 1 = 3$.

(D) પ્રથમ,આપણે $|x - 3|$ ના નિરપેક્ષ મૂલ્યનું વિશ્લેષણ કરીને વિધેય $f(x)$ ને ફરીથી લખીએ:
$|x - 3| = x - 3$ જો $x \ge 3$ અને $-(x - 3) = 3 - x$ જો $x < 3$.
આમ,વિધેય નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{13}{4}, & x < 1 \\ 3 - x, & 1 \le x < 3 \\ x - 3, & x \ge 3 \end{cases}$
$x = 1$ આગળ સાતત્ય તપાસો:
$f(1) = 3 - 1 = 2$.
$LHL = \lim_{x \to 1^-} (\frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{13}{4}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + \frac{13}{4} = 2$.
$RHL = \lim_{x \to 1^+} (3 - x) = 2$.
$LHL = RHL = f(1)$ હોવાથી,વિધેય $x = 1$ આગળ સતત છે.
$x = 3$ આગળ સાતત્ય તપાસો:
$f(3) = 3 - 3 = 0$.
$LHL = \lim_{x \to 3^-} (3 - x) = 0$.
$RHL = \lim_{x \to 3^+} (x - 3) = 0$.
$LHL = RHL = f(3)$ હોવાથી,વિધેય $x = 3$ આગળ સતત છે.
$x = 1$ આગળ વિકલનીયતા તપાસો:
$LHD = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = -1$.
$RHD = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = -1$.
$LHD = RHD$ હોવાથી,વિધેય $x = 1$ આગળ વિકલનીય છે.
તેથી,તમામ વિધાનો સાચા છે.

(C) આપેલ છે કે ${y^2} = p(x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2y \frac{dy}{dx} = p'(x)$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{p'(x)}{2y}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2y \frac{d^2y}{dx^2} = p''(x)$ મળે છે.
$\frac{dy}{dx} = \frac{p'(x)}{2y}$ મૂકતા,આપણને $2 \left( \frac{p'(x)}{2y} \right)^2 + 2y \frac{d^2y}{dx^2} = p''(x)$ મળે છે.
$2y \frac{d^2y}{dx^2} = p''(x) - \frac{(p'(x))^2}{2y^2} = p''(x) - \frac{(p'(x))^2}{2p(x)}$.
$y^2$ વડે ગુણતા,આપણને $2y^3 \frac{d^2y}{dx^2} = p(x) p''(x) - \frac{1}{2} (p'(x))^2$ મળે છે.
હવે,$2y^3 \frac{d^2y}{dx^2}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} \left( 2y^3 \frac{d^2y}{dx^2} \right) = \frac{d}{dx} \left( p(x) p''(x) - \frac{1}{2} (p'(x))^2 \right)$.
$= p'(x) p''(x) + p(x) p'''(x) - \frac{1}{2} \cdot 2 p'(x) p''(x)$.
$= p'(x) p''(x) + p(x) p'''(x) - p'(x) p''(x) = p(x) p'''(x)$.

(B) સંકલન $I = \int_0^{1.5} [x^2] \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે અંતરાલ $[0, 1.5]$ ને એવા બિંદુઓ પર વિભાજિત કરીએ છીએ જ્યાં $x^2$ પૂર્ણાંક બને છે.
$x^2 = 1 \implies x = 1$
$x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2} \approx 1.414$
આથી,આપણે સંકલનને નીચે મુજબ વિભાજિત કરીએ છીએ:
$I = \int_0^1 [x^2] \, dx + \int_1^{\sqrt{2}} [x^2] \, dx + \int_{\sqrt{2}}^{1.5} [x^2] \, dx$
$0 \le x < 1$ માટે,$0 \le x^2 < 1$,તેથી $[x^2] = 0$.
$1 \le x < \sqrt{2}$ માટે,$1 \le x^2 < 2$,તેથી $[x^2] = 1$.
$\sqrt{2} \le x < 1.5$ માટે,$2 \le x^2 < 2.25$,તેથી $[x^2] = 2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$I = \int_0^1 0 \, dx + \int_1^{\sqrt{2}} 1 \, dx + \int_{\sqrt{2}}^{1.5} 2 \, dx$
$I = 0 + [x]_1^{\sqrt{2}} + 2[x]_{\sqrt{2}}^{1.5}$
$I = (\sqrt{2} - 1) + 2(1.5 - \sqrt{2})$
$I = \sqrt{2} - 1 + 3 - 2\sqrt{2}$
$I = 2 - \sqrt{2}$

(A) ધારો કે $R_1$ એ ઘટના છે કે કળશ $A$ માંથી લાલ દડો પસંદ કરીને $B$ માં મૂકવામાં આવે છે,અને $B_1$ એ ઘટના છે કે કળશ $A$ માંથી કાળો દડો પસંદ કરીને $B$ માં મૂકવામાં આવે છે.
$P(R_1) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$,$P(B_1) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
દડો બદલ્યા પછી,કળશ $B$ માં $11$ દડા છે.
જો $R_1$ બને,તો $B$ માં $5$ લાલ અને $6$ કાળા દડા હોય. $P(R_2|R_1) = \frac{5}{11}$,$P(B_2|R_1) = \frac{6}{11}$.
જો $B_1$ બને,તો $B$ માં $4$ લાલ અને $7$ કાળા દડા હોય. $P(R_2|B_1) = \frac{4}{11}$,$P(B_2|B_1) = \frac{7}{11}$.
$A$ માં પાછા મૂક્યા પછી,કળશ $A$ માં $10$ દડા હોય.
જો $R_1$ અને $R_2$ બને,તો $A$ માં $6$ લાલ દડા હોય. $P(R|R_1, R_2) = \frac{6}{10}$.
જો $R_1$ અને $B_2$ બને,તો $A$ માં $5$ લાલ દડા હોય. $P(R|R_1, B_2) = \frac{5}{10}$.
જો $B_1$ અને $R_2$ બને,તો $A$ માં $7$ લાલ દડા હોય. $P(R|B_1, R_2) = \frac{7}{10}$.
જો $B_1$ અને $B_2$ બને,તો $A$ માં $6$ લાલ દડા હોય. $P(R|B_1, B_2) = \frac{6}{10}$.
કુલ સંભાવના $P(R) = P(R_1)P(R_2|R_1)P(R|R_1, R_2) + P(R_1)P(B_2|R_1)P(R|R_1, B_2) + P(B_1)P(R_2|B_1)P(R|B_1, R_2) + P(B_1)P(B_2|B_1)P(R|B_1, B_2)$.
$P(R) = (\frac{6}{10} \times \frac{5}{11} \times \frac{6}{10}) + (\frac{6}{10} \times \frac{6}{11} \times \frac{5}{10}) + (\frac{4}{10} \times \frac{4}{11} \times \frac{7}{10}) + (\frac{4}{10} \times \frac{7}{11} \times \frac{6}{10})$.
$P(R) = \frac{180 + 180 + 112 + 168}{1100} = \frac{640}{1100} = \frac{64}{110} = \frac{32}{55}$.

(D) ધારો કે $X$ એ છાપની સંખ્યા છે,જે દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 100$.
$k$ છાપ મેળવવાની સંભાવના $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે $P(X=50) = P(X=51)$.
કિંમતો મૂકતા:
${}^{100}C_{50} p^{50} (1-p)^{50} = {}^{100}C_{51} p^{51} (1-p)^{49}$.
બંને બાજુને $p^{50} (1-p)^{49}$ વડે ભાગતા:
${}^{100}C_{50} (1-p) = {}^{100}C_{51} p$.
$p$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{1-p}{p} = \frac{{}^{100}C_{51}}{{}^{100}C_{50}} = \frac{100!}{51! 49!} \times \frac{50! 50!}{100!} = \frac{50}{51}$.
તેથી,$51(1-p) = 50p$.
$51 - 51p = 50p$.
$101p = 51$.
$p = \frac{51}{101}$.