IIT JEE 1988 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) चूंकि ऊष्मा बेलनों की लंबाई के अनुदिश प्रवाहित होती है,इसलिए दोनों बेलन समानांतर विन्यास में हैं।
समानांतर संयोजन के लिए समतुल्य ऊष्मीय चालकता $K_{eq} = \frac{K_1 A_1 + K_2 A_2}{A_1 + A_2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$A_1$ आंतरिक बेलन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है: $A_1 = \pi R^2$.
$A_2$ बाहरी बेलनाकार खोल का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है: $A_2 = \pi (2R)^2 - \pi R^2 = 4\pi R^2 - \pi R^2 = 3\pi R^2$.
कुल क्षेत्रफल $A = A_1 + A_2 = \pi R^2 + 3\pi R^2 = 4\pi R^2$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$K_{eq} = \frac{K_1(\pi R^2) + K_2(3\pi R^2)}{4\pi R^2} = \frac{K_1 + 3K_2}{4}$.

(D) सरल आवर्त गति करने वाले पिंड का अधिकतम वेग $v_{max} = A\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ होती है।
अतः,$v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$.
यह दिया गया है कि द्रव्यमान समान हैं $(m_M = m_N = m)$ और उनके अधिकतम वेग समान हैं $(v_M = v_N)$:
$A_M \sqrt{\frac{k_1}{m}} = A_N \sqrt{\frac{k_2}{m}}$.
इसे सरल करने पर,हमें $A_M \sqrt{k_1} = A_N \sqrt{k_2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$M$ के आयाम का $N$ के आयाम से अनुपात $\frac{A_M}{A_N} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$ है।

(B) एक स्थिर तरंग समान आवृत्ति और आयाम की दो तरंगों के विपरीत दिशाओं में चलने से बनती है।
दी गई आपतित तरंग $y_1 = a \cos (kx - \omega t)$ है।
बिंदु $x = 0$ के एक निस्पंद होने के लिए,$x = 0$ पर सभी समय $t$ के लिए परिणामी विस्थापन शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए दूसरी तरंग $y_2 = a \cos (kx + \omega t + \phi)$ है।
परिणामी तरंग $y = y_1 + y_2 = a [\cos (kx - \omega t) + \cos (kx + \omega t + \phi)]$ है।
सर्वसमिका $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$y = 2a \cos (kx + \phi/2) \cos (\omega t + \phi/2)$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,$y = 2a \cos (\phi/2) \cos (\omega t + \phi/2)$ होता है।
इसे एक निस्पंद (शून्य विस्थापन) होने के लिए,$\cos (\phi/2) = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\phi/2 = \pi/2$,या $\phi = \pi$।
दूसरी तरंग के समीकरण में $\phi = \pi$ रखने पर:
$y_2 = a \cos (kx + \omega t + \pi) = -a \cos (kx + \omega t)$।

(C) विद्युत क्षेत्र रेखाएं वे पथ हैं जिनके अनुदिश एक स्वतंत्र धनावेशित कण गति करता है।
चूंकि कण $(1, 0)$ पर स्थित है,जो समीकरण ${x^2} + {y^2} = 1$ को संतुष्ट करता है,इसलिए यह क्षेत्र रेखा पर स्थित है।
अतः,कण क्षेत्र रेखा के अनुदिश गति करेगा,जो कि एक वृत्त है।
सही विकल्प $C$ है।

(A) $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार चाप जिसमें $i$ धारा बह रही है,के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{{\mu _0}i}{{4R}}$ होता है।
दिए गए चित्र में,धारा $R_1$ और $R_2$ त्रिज्या के दो अर्धवृत्ताकार चापों और दो सीधे त्रिज्यीय खंडों से होकर बहती है।
सीधे त्रिज्यीय खंडों के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य है क्योंकि इन खंडों के लिए बिंदु $O$ का स्थिति सदिश धारा अवयव $idl$ के समानांतर है।
$R_1$ त्रिज्या के आंतरिक अर्धवृत्ताकार चाप के लिए,$O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_1$ कागज के तल के अंदर की ओर $(\otimes)$ निर्देशित है और इसका परिमाण $B_1 = \frac{{\mu _0}i}{{4R_1}}$ है।
$R_2$ त्रिज्या के बाहरी अर्धवृत्ताकार चाप के लिए,$O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B_2$ कागज के तल के बाहर की ओर $(\odot)$ निर्देशित है और इसका परिमाण $B_2 = \frac{{\mu _0}i}{{4R_2}}$ है।
चूंकि $R_1$ < $R_2$,इसलिए परिमाण $B_1$ > $B_2$ होगा।
कुल चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = B_1 - B_2$ होगा जो कागज के तल के अंदर की ओर निर्देशित होगा।
$B_{net} = \frac{{\mu _0}i}{{4R_1}} - \frac{{\mu _0}i}{{4R_2}} = \frac{{\mu _0}i}{4}\left( {\frac{1}{{{R_1}}} - \frac{1}{{{R_2}}}} \right)$.

(D) $X$-रे ट्यूब में उत्पन्न $X$-किरणों की न्यूनतम तरंगदैर्ध्य (कट-ऑफ तरंगदैर्ध्य) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
${\lambda _{\min }} = \frac{{hc}}{{eV}}$
जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है,$e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $V$ त्वरित विभवांतर है।
संबंध ${\lambda _{\min }} \propto \frac{1}{V}$ से यह स्पष्ट है कि न्यूनतम तरंगदैर्ध्य लागू विभवांतर के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इसलिए,जब विभवांतर $V$ को बढ़ाया जाता है,तो न्यूनतम तरंगदैर्ध्य ${\lambda _{\min }}$ घट जाती है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) तांबा $(Cu)$ एक सुचालक है,और तापमान कम होने पर इसका प्रतिरोध घटता है क्योंकि जाली कंपन (lattice vibrations) द्वारा इलेक्ट्रॉनों का प्रकीर्णन कम हो जाता है।
जर्मेनियम $(Ge)$ एक अर्धचालक है,और तापमान कम होने पर इसका प्रतिरोध बढ़ता है क्योंकि तापमान में कमी के साथ मुक्त आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों और होल्स) की संख्या तेजी से घटती है।
इसलिए,तांबे का प्रतिरोध घटता है जबकि जर्मेनियम का प्रतिरोध बढ़ता है।

(A) $P$-प्रकार का अर्धचालक प्राप्त करने के लिए,हमें आंतरिक अर्धचालक $(Si)$ में एक त्रिसंयोजी अशुद्धि परमाणु को मिलाना (डोप करना) होगा।
$Si$ आवर्त सारणी के समूह $14$ से संबंधित है और इसमें $4$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं।
एल्युमीनियम $(Al)$ समूह $13$ से संबंधित है और इसमें $3$ संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं।
जब $Al$ को $Si$ में मिलाया जाता है,तो यह क्रिस्टल जालक में एक होल (रिक्ति) बनाता है,जो आवेश वाहक के रूप में कार्य करता है,जिसके परिणामस्वरूप $P$-प्रकार का अर्धचालक प्राप्त होता है।
फास्फोरस एक पंचसंयोजी अशुद्धि है जिसका उपयोग $N$-प्रकार के अर्धचालक के लिए किया जाता है।

(D) दर्पण सूत्र के अनुसार,$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$ .....$(i)$
समीकरण $(i)$ का $u$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$0 = - \frac{1}{v^2} \frac{dv}{du} - \frac{1}{u^2}$
$\frac{dv}{du} = - \left( \frac{v}{u} \right)^2$
चूंकि वस्तु की लंबाई $l = du$ छोटी है,इसलिए प्रतिबिंब की लंबाई $dv$ इस प्रकार होगी:
$dv = - \left( \frac{v}{u} \right)^2 du$ .....$(ii)$
दर्पण सूत्र से,हम आवर्धन $m = \frac{v}{u}$ को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{1}{v} = \frac{1}{f} - \frac{1}{u} = \frac{u - f}{fu}$
$\frac{v}{u} = \frac{f}{u - f}$ .....$(iii)$
समीकरण $(iii)$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$dv = - \left( \frac{f}{u - f} \right)^2 l$
अतः,प्रतिबिंब के आकार का परिमाण $l' = |dv| = l \left( \frac{f}{u - f} \right)^2$ है।

(C) व्यतिकरण में परिणामी तरंग की तीव्रता $I_{res} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम तीव्रता के लिए, $\cos \phi = 1$, इसलिए $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है, इसलिए $I_{max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$.
न्यूनतम तीव्रता के लिए, $\cos \phi = -1$, इसलिए $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
अतः, $I_{min} = (\sqrt{I} - \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} - 2\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$.
इसलिए, अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता क्रमशः $9I$ और $I$ है।

(C) प्रारंभ में,संधारित्रों को $V$ विभव की बैटरी से समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है। कुल संचित आवेश $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = (2C)V + (C)V = 3CV$ है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है और $C$ धारिता वाले संधारित्र में $K$ परावैद्युतांक वाला माध्यम भरा जाता है,तो इसकी नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
$2C$ धारिता वाला संधारित्र अपरिवर्तित रहता है।
चूंकि संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनके सिरों पर समान विभवांतर $V'$ होगा। कुल आवेश संरक्षित रहता है,अतः $Q_{total} = 3CV$।
नई तुल्य धारिता $C_{eq} = 2C + KC = C(K+2)$ है।
संबंध $Q = C_{eq} V'$ का उपयोग करने पर:
$3CV = C(K+2) V'$
$V' = \frac{3CV}{C(K+2)} = \frac{3V}{K+2}$

(B) चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि कण को $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित किया जाता है,इसकी गतिज ऊर्जा $KE = qV = \frac{1}{2}mv^2$ होती है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर: $R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{\sqrt{2mqV}}{qB} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$.
चूंकि $q$,$V$ और $B$ दोनों कणों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $R \propto \sqrt{m}$,जिसका अर्थ है $m \propto R^2$.
अतः,द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_X}{m_Y} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2$ होगा।