સદિશ $a$ ના સદિશ $b$ (જે શૂન્યતર છે) ની દિશામાં અને તેને લંબ ઘટકો અનુક્રમે કયા છે?

સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ . . . . . . છે.

ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ છે અને $PQR$ એ એક સ્વૈચ્છિક ત્રિકોણ છે. બિંદુ $S$ એવું છે કે $\overline{OP} \cdot \overline{OQ} + \overline{OR} \cdot \overline{OS} = \overline{OR} \cdot \overline{OP} + \overline{OQ} \cdot \overline{OS} = \overline{OQ} \cdot \overline{OR} + \overline{OP} \cdot \overline{OS}$. તો ત્રિકોણ $PQR$ માટે $S$ એ તેનું શું છે?

ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$ છે. એક બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $\lambda:1$ $(\lambda>0)$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. જો $O$ ઉગમબિંદુ હોય અને $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OP}-3|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP}|^{2}=6$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

જો ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $4 \hat{\imath} + 7 \hat{\jmath} + 8 \hat{k}$,$2 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath} + 4 \hat{k}$ અને $2 \hat{\imath} + 5 \hat{\jmath} + 7 \hat{k}$ હોય,તો ખૂણા $A$ નો દ્વિભાજક $BC$ ને જે બિંદુએ મળે છે તેનો સ્થાન સદિશ શોધો.

જો $\overline{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\overline{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ બે સદિશો હોય,તો સદિશો $3 \bar{a}+5 \bar{b}$ અને $5 \bar{a}+3 \bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.