AP EAMCET 2006 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) माना $f(\theta) = 3-\cos \theta+\cos \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)$.
सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$f(\theta) = 3-\cos \theta + \left(\cos \theta \cdot \cos \frac{\pi}{3} - \sin \theta \cdot \sin \frac{\pi}{3}\right)$
$f(\theta) = 3-\cos \theta + \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta$
$f(\theta) = 3 - \frac{1}{2} \cos \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta$
$f(\theta) = 3 - \left(\cos \theta \cdot \cos \frac{\pi}{3} + \sin \theta \cdot \sin \frac{\pi}{3}\right)$
$f(\theta) = 3 - \cos \left(\theta - \frac{\pi}{3}\right)$
चूँकि $-1 \leq \cos \left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) \leq 1$,
इसलिए $3 - (1) \leq f(\theta) \leq 3 - (-1)$
$2 \leq f(\theta) \leq 4$.
अतः,अंतराल $[2,4]$ है।

(C) हम जानते हैं कि $e^{\log (x)} = x$ होता है।
अतः,$e^{\log (\cosh^{-1} 2)} = \cosh^{-1} 2$ होगा।
प्रतिलोम हाइपरबोलिक कोसाइन फलन के लघुगणकीय रूप का उपयोग करने पर,$\cosh^{-1} x = \log (x + \sqrt{x^2 - 1})$।
$x = 2$ रखने पर,हमें $\cosh^{-1} 2 = \log (2 + \sqrt{2^2 - 1})$ प्राप्त होता है।
$= \log (2 + \sqrt{4 - 1}) = \log (2 + \sqrt{3})$।

(B) दिया गया है कि $5 \cos x + 12 \cos y = 13$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(5 \cos x + 12 \cos y)^2 = 169$.
माना $S = 5 \sin x + 12 \sin y$.
$S^2 + 13^2 = (5 \sin x + 12 \sin y)^2 + (5 \cos x + 12 \cos y)^2$ पर विचार करें।
$= 25(\sin^2 x + \cos^2 x) + 144(\sin^2 y + \cos^2 y) + 120(\sin x \sin y + \cos x \cos y)$.
$= 25 + 144 + 120 \cos(x - y) = 169 + 120 \cos(x - y)$.
अतः,$S^2 = 169 + 120 \cos(x - y) - 169 = 120 \cos(x - y)$.
चूंकि $\cos(x - y)$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $S^2$ का अधिकतम मान $120$ है।
अतः,$S$ का अधिकतम मान $\sqrt{120}$ है।

(C) रेखाओं के समीकरण इस प्रकार हैं:
$x-y-2=0$ ...$(i)$
$x+y-4=0$ ...(ii)
$x+3y=6$ ...(iii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$(x-y-2) + (x+y-4) = 0$
$2x - 6 = 0 \implies x = 3$
समीकरण (ii) में $x=3$ रखने पर:
$3 + y - 4 = 0 \implies y = 1$
अब,जाँचें कि क्या बिंदु $(3,1)$ समीकरण (iii) को संतुष्ट करता है:
$3 + 3(1) = 3 + 3 = 6$
चूँकि बिंदु $(3,1)$ तीनों समीकरणों को संतुष्ट करता है,इसलिए रेखाएँ $(3,1)$ पर संगामी हैं।

(D) दिया गया समीकरण $x^2-y^2-x+3y-2=0$ है।
इस समीकरण को $(x-y+1)(x+y-2)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,दिए गए समीकरण द्वारा निरूपित रेखाएँ $x-y+1=0$ और $x+y-2=0$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण $x^2+6xy+8y^2=10$ है।
अक्षों को $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाने पर,रूपांतरण सूत्र:
$x = \frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\left(\frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 6\left(\frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}\right) + 8\left(\frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 10$
सरल करने पर:
$\frac{x_1^2+y_1^2-2x_1y_1 + 6(x_1^2-y_1^2) + 8(x_1^2+y_1^2+2x_1y_1)}{2} = 10$
$15x_1^2 + 3y_1^2 + 14x_1y_1 = 20$
अतः,रूपांतरित समीकरण $15x^2+14xy+3y^2=20$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2+6xy+8y^2=10$ है।
अक्षों को $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाने पर,रूपांतरण सूत्र:
$x = \frac{x'-y'}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{x'+y'}{\sqrt{2}}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\left(\frac{x'-y'}{\sqrt{2}}\right)^2 + 6\left(\frac{x'-y'}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x'+y'}{\sqrt{2}}\right) + 8\left(\frac{x'+y'}{\sqrt{2}}\right)^2 = 10$
सरल करने पर:
$15x'^2 + 3y'^2 + 14x'y' = 20$
अतः,अभीष्ट समीकरण $15x^2+14xy+3y^2=20$ है।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $12x^2 - 20xy + 7y^2 = 0$ है। इसके गुणनखंड करने पर $(6x - 7y)(2x - y) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,दो रेखाओं के समीकरण $6x - 7y = 0$ $(i)$ और $2x - y = 0$ (ii) हैं।
तीसरी रेखा $2x - 3y + 4 = 0$ (iii) है।
$(i)$ और (ii) को हल करने पर: $x=0, y=0$. शीर्ष $A = (0, 0)$.
$(i)$ और (iii) को हल करने पर: $x=7, y=6$. शीर्ष $B = (7, 6)$.
(ii) और (iii) को हल करने पर: $x=1, y=2$. शीर्ष $C = (1, 2)$.
केंद्रक $\left(\frac{0+7+1}{3}, \frac{0+6+2}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right)$ है।

(C) केंद्र $(h, k)$ के कार्तीय निर्देशांक $h = r_0 \cos \theta_0$ और $k = r_0 \sin \theta_0$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $(r_0, \theta_0) = (2, \frac{\pi}{2})$ है।
$h = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ और $k = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$ है।
अतः,केंद्र $(0, 2)$ है और त्रिज्या $a = 3$ है।
वृत्त का कार्तीय समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2$ होता है।
$(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 3^2$.
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 9$.
$x^2 + y^2 - 4y = 5$.
ध्रुवीय निर्देशांक संबंधों $x = r \cos \theta$,$y = r \sin \theta$,और $x^2 + y^2 = r^2$ का उपयोग करने पर:
$r^2 - 4(r \sin \theta) = 5$.
$r^2 - 4r \sin \theta = 5$.

(C) किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ द्वारा दी जाती है।
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x+4y-11=0$ और बिंदु $(1,3)$ दिया गया है।
बिंदु $(1,3)$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
लंबाई $= \sqrt{1^2+3^2-2(1)+4(3)-11}$
$= \sqrt{1+9-2+12-11}$
$= \sqrt{22-13}$
$= \sqrt{9}$
$= 3$

(B) वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2-8x+2y=0$ और $x^2+y^2-2x-16y+25=0$ हैं।
पहले वृत्त के लिए,केंद्र $C_1 = (4, -1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{17}$ है।
दूसरे वृत्त के लिए,केंद्र $C_2 = (1, 8)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{40}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{90}$ है।
चूंकि $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ है,इसलिए दोनों वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $2$ है।

(B) वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के लिए $y$-अक्ष को स्पर्श करने की शर्त $g^2=c$ है।
वृत्त के लिए $x$-अक्ष को स्पर्श करने की शर्त $f^2=c$ है।
$I$. $x^2+y^2-6x-4y-7=0$ के लिए,$g=-3$ और $c=-7$ है। चूँकि $g^2 = (-3)^2 = 9 \neq -7$,इसलिए यह $y$-अक्ष को स्पर्श नहीं करता है।
$II$. $x^2+y^2+6x+4y-7=0$ के लिए,$f=2$ और $c=-7$ है। चूँकि $f^2 = (2)^2 = 4 \neq -7$,इसलिए यह $x$-अक्ष को स्पर्श नहीं करता है।
अतः,न तो $I$ और न ही $II$ सत्य है।

(D) परवलय का अर्ध-नाभिलंब उसकी किसी भी नाभिलंब जीवा के खंडों का हरात्मक माध्य (harmonic mean) होता है।
माना $l$ अर्ध-नाभिलंब की लंबाई है।
चूंकि $l$,$b$ और $c$ के बीच का हरात्मक माध्य है,इसलिए:
$l = \frac{2bc}{b+c}$

(D) मान लीजिए परवलय $y^2=4x$ पर बिंदु $A$ के निर्देशांक $(t^2, 2t)$ हैं,जहाँ $a=1$ है।
चूँकि $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ है,$OA$ का मध्य बिंदु $M(h, k)$ इस प्रकार है:
$h = \frac{0+t^2}{2} = \frac{t^2}{2} \implies t^2 = 2h$
$k = \frac{0+2t}{2} = t \implies t = k$
$t=k$ को $t^2=2h$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $k^2 = 2h$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $y^2=2x$ है।

(B) हमारे पास $\frac{1-2x}{e^x} = (1-2x)e^{-x}$ है।
$e^{-x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^k}{k!}$ के विस्तार का उपयोग करते हुए:
$(1-2x) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^k}{k!} - 2x \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^k}{k!}$.
$x^n$ का गुणांक पहले पद से $k=n$ और दूसरे पद से $k=n-1$ रखने पर प्राप्त होता है:
गुणांक $= \frac{(-1)^n}{n!} - 2 \cdot \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}$.
चूंकि $(-1)^{n-1} = -(-1)^n$,हमारे पास है:
गुणांक $= \frac{(-1)^n}{n!} + 2 \cdot \frac{(-1)^n}{(n-1)!} = \frac{(-1)^n}{n!} [1 + 2n] = (-1)^n \cdot \frac{1+2n}{n!}$.

(A) दी गई श्रेणी का विस्तार: $y = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots$
यह $\log(1+x)$ के लिए लघुगणकीय श्रेणी विस्तार है।
अतः,$y = \log(1+x)$.
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर: $e^y = 1+x$.
इसलिए,$x = e^y - 1$.
$e^y$ का विस्तार $1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \ldots$ है।
इसे $x$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$x = (1 + y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \ldots) - 1$
$x = y + \frac{y^2}{2!} + \frac{y^3}{3!} + \ldots$

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2 + 4y^2 - 18x - 8y - 23 = 0$ है।
वर्ग पूरा करने पर:
$9(x - 1)^2 + 4(y - 1)^2 = 36$
$36$ से भाग देने पर:
$\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{9} = 1$
यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 9$,अतः $a^2 < b^2$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
नाभिलंब के समीकरण $y - k = \pm be$ होते हैं,जहाँ $(h, k) = (1, 1)$ है।
$y - 1 = \pm 3 \times \frac{\sqrt{5}}{3}$
$y = 1 \pm \sqrt{5}$

(C) माना $e$ और $e^{\prime}$ एक अतिपरवलय और उसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रताएँ हैं।
हम जानते हैं कि उनके बीच का संबंध $\frac{1}{e^2} + \frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1$ है।
दिया गया है कि $e = \sqrt{3}$,इसलिए $e^2 = 3$.
सूत्र में मान रखने पर: $\frac{1}{3} + \frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1$.
$\frac{1}{(e^{\prime})^2} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
अतः,$(e^{\prime})^2 = \frac{3}{2}$,जिसका अर्थ है कि $e^{\prime} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.

(C) $l_1 = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} (x + [x])$ के लिए: मान लीजिए $x = 2 + h$ जहाँ $h \rightarrow 0^{+}$ है। तब $[x] = 2$ होगा। अतः,$l_1 = \lim_{h \rightarrow 0} (2 + h + 2) = 4$.
$l_2 = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} (2x - [x])$ के लिए: मान लीजिए $x = 2 - h$ जहाँ $h \rightarrow 0^{+}$ है। तब $[x] = 1$ होगा। अतः,$l_2 = \lim_{h \rightarrow 0} (2(2 - h) - 1) = 3$.
$l_3 = \lim_{x \rightarrow \pi / 2} \frac{\cos x}{x - \pi / 2}$ के लिए: $L'\text{Hospital}$ नियम का उपयोग करने पर: $\lim_{x \rightarrow \pi / 2} \frac{-\sin x}{1} = -\sin(\pi / 2) = -1$.
मानों की तुलना करने पर: $l_3 = -1$,$l_2 = 3$,$l_1 = 4$ है। अतः,$-1 < 3 < 4$,जिसका अर्थ है कि $l_3 < l_2 < l_1$।

(D) सीमा $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\sqrt{x^2+2 x-1}-x\right]$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम व्यंजक को उसके संयुग्मी $\left(\sqrt{x^2+2 x-1}+x\right)$ से गुणा और भाग करते हैं:
$\lim _{x}$ ${\rightarrow \infty}\left[\frac{\left(\sqrt{x^2+2 x-1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+2 x-1}+x\right)}{\sqrt{x^2+2 x-1}+x}\right]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2+2 x-1-x^2}{\sqrt{x^2+2 x-1}+x}\right]$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{2x-1}{\sqrt{x^2+2 x-1}+x}\right]$
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{2-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}+1}\right]$
जैसे $x \rightarrow \infty$,$\frac{1}{x} \rightarrow 0$ और $\frac{1}{x^2} \rightarrow 0$:
$= \frac{2-0}{\sqrt{1+0-0}+1} = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$

(C) माना $f(x) = \cos 4x + a \cos 2x + b$. सीमा के परिमित होने के लिए,अंश को कम से कम $x^4$ की दर से शून्य होना चाहिए।
टेलर श्रेणी का उपयोग करते हुए: $\cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \dots$
$\cos 4x = 1 - 8x^2 + \frac{32}{3}x^4$
$a \cos 2x = a - 2ax^2 + \frac{2a}{3}x^4$
अंश में मान रखने पर: $(1 + a + b) + (-8 - 2a)x^2 + (\frac{32}{3} + \frac{2a}{3})x^4$.
सीमा के परिमित होने के लिए $x^0$ और $x^2$ के गुणांक शून्य होने चाहिए।
$1 + a + b = 0$ और $-8 - 2a = 0$.
$-8 - 2a = 0$ से $a = -4$ प्राप्त होता है।
$a = -4$ को $1 + a + b = 0$ में रखने पर: $1 - 4 + b = 0 \implies b = 3$.
अतः,$a = -4, b = 3$ है।

(C) दिया गया सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty}\left(q^n+p^n\right)^{1 / n}$ है।
चूंकि $0 < p < q$,हम व्यंजक से $q^n$ को बाहर निकाल सकते हैं:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \left[ q^n \left( 1 + \left( \frac{p}{q} \right)^n \right) \right]^{1/n}$
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} q \left( 1 + \left( \frac{p}{q} \right)^n \right)^{1/n}$
चूंकि $0 < \frac{p}{q} < 1$,जैसे ही $n \rightarrow \infty$,पद $\left( \frac{p}{q} \right)^n \rightarrow 0$ हो जाता है।
अतः,$L = q \cdot (1 + 0)^0 = q \cdot 1 = q$.

(B) हम जानते हैं कि त्रिभुज के लिए अर्ध-कोण सूत्र: $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$ हैं।
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $s = \frac{a+b+c}{2}$,इसलिए $2s = a+b+c$ है।
अतः,$\frac{s}{s-a} = \frac{2s}{2s-2a} = \frac{a+b+c}{a+b+c-2a} = \frac{a+b+c}{b+c-a}$।
दिया गया है कि $b+c = 3a$,मान रखने पर:
$\frac{a + 3a}{3a - a} = \frac{4a}{2a} = 2$।

(B) हम जानते हैं कि $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ और $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$.
इनका गुणा करने पर,$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)} \cdot \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} = \sqrt{\frac{(s-b)^2}{s^2}} = \frac{s-b}{s}$.
दिया है $\tan \frac{A}{2} = \frac{5}{6}$ और $\tan \frac{C}{2} = \frac{2}{5}$,इसलिए $\frac{s-b}{s} = \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{3}$.
अतः,$3(s-b) = s$ $\Rightarrow 3s - 3b = s$ $\Rightarrow 2s = 3b$.
चूंकि $2s = a + b + c$,इसलिए $a + b + c = 3b$,जो सरल होकर $a + c = 2b$ देता है।

(D) माना त्रिभुज के कोण $3x, 5x$ और $10x$ हैं।
चूँकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $3x + 5x + 10x = 180^{\circ}$.
$18x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 10^{\circ}$.
कोण $30^{\circ}, 50^{\circ}$ और $100^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,भुजाओं का अनुपात $\sin A : \sin B : \sin C$ होता है।
सबसे छोटी भुजा सबसे छोटे कोण $(30^{\circ})$ के सामने होती है और सबसे बड़ी भुजा सबसे बड़े कोण $(100^{\circ})$ के सामने होती है।
अनुपात $= \sin 30^{\circ} : \sin 100^{\circ}$.
$= \frac{1}{2} : \sin(90^{\circ} + 10^{\circ})$.
$= \frac{1}{2} : \cos 10^{\circ}$.
$= 1 : 2 \cos 10^{\circ}$.

(D) हम जानते हैं कि $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{B}{2} \cdot \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
दिया गया है $b+c=3a$,इसलिए अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a+3a}{2} = 2a$.
$s=2a$ का मान रखने पर,$\frac{2a}{2a-a} = \frac{2a}{a} = 2$ प्राप्त होता है।

(D) माना त्रिज्यखंड की त्रिज्या $r$ है और त्रिज्यखंड का कोण $\theta$ (रेडियन में) है।
चाप की लंबाई $l = r\theta$.
परिमाप $P = l + 2r = r\theta + 2r = r(\theta + 2)$.
अतः,$r = \frac{P}{\theta + 2}$.
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2}r^2\theta$.
$r$ का मान रखने पर,$A = \frac{1}{2} \left( \frac{P}{\theta + 2} \right)^2 \theta = \frac{P^2}{2} \cdot \frac{\theta}{(\theta + 2)^2}$.
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और $0$ के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{P^2}{2} \left[ \frac{(\theta + 2)^2 - \theta \cdot 2(\theta + 2)}{(\theta + 2)^4} \right] = 0$.
इसका अर्थ है $(\theta + 2) - 2\theta = 0$,अतः $2 - \theta = 0$,जिससे $\theta = 2 \text{ रेडियन}$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल के लिए त्रिज्यखंड का कोण $2^c$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \cdot A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$A^3 = A^2 \cdot A$ की गणना करें:
$A^3 = \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 41 & 42 & 42 \\ 42 & 41 & 42 \\ 42 & 42 & 41 \end{bmatrix}$.
अब,व्यंजक $A^3 - 4A^2 - 6A$ की गणना करें:
$A^3 - 4A^2 - 6A = \begin{bmatrix} 41 & 42 & 42 \\ 42 & 41 & 42 \\ 42 & 42 & 41 \end{bmatrix} - 4 \begin{bmatrix} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{bmatrix} - 6 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 41-36-6 & 42-32-12 & 42-32-12 \\ 42-32-12 & 41-36-6 & 42-32-12 \\ 42-32-12 & 42-32-12 & 41-36-6 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} -1 & -2 & -2 \\ -2 & -1 & -2 \\ -2 & -2 & -1 \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} = -A$.

(C) हम जानते हैं कि $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सहखंडज आव्यूह (adjoint matrix) का गुणधर्म $A(\operatorname{adj} A) = |A|I_n$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_n$,$n$ कोटि का तत्समक आव्यूह है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $|A(\operatorname{adj} A)| = ||A|I_n|$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|AB| = |A||B|$ और $|kA| = k^n|A|$ का उपयोग करते हुए,हमें $|A| \cdot |\operatorname{adj} A| = |A|^n \cdot |I_n|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|I_n| = 1$,इसलिए $|A| \cdot |\operatorname{adj} A| = |A|^n$।
चूंकि $A$ व्युत्क्रमणीय है,$|A| \neq 0$,इसलिए $|A|$ से विभाजित करने पर हमें $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} \log e & \log e^2 & \log e^3 \\ \log e^2 & \log e^3 & \log e^4 \\ \log e^3 & \log e^4 & \log e^5 \end{array}\right|$ है।
गुणधर्म $\log a^n = n \log a$ का उपयोग करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} \log e & 2 \log e & 3 \log e \\ 2 \log e & 3 \log e & 4 \log e \\ 3 \log e & 4 \log e & 5 \log e \end{array}\right|$.
प्रत्येक स्तंभ से $\log e$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (\log e)^3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right|$.
$C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = (\log e)^3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right|$.
चूँकि स्तंभ $C_2$ और $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ होगा।

(B) दिया गया है $f(x) = [2x] - 2[x]$.
स्थिति $1$: यदि $x$ एक पूर्णांक है,मान लीजिए $x = n$ जहाँ $n \in Z$.
तब $f(n) = [2n] - 2[n] = 2n - 2n = 0$.
स्थिति $2$: यदि $x$ पूर्णांक नहीं है,मान लीजिए $x = n + f$ जहाँ $n \in Z$ और $0 < f < 1$.
तब $f(x) = [2(n + f)] - 2[n + f] = [2n + 2f] - 2n = 2n + [2f] - 2n = [2f]$.
चूँकि $0 < f < 1$,इसलिए $0 < 2f < 2$ होता है। अतः,$[2f]$ का मान $0$ या $1$ हो सकता है।
किसी भी गैर-पूर्णांक $x$ के लिए,$[2x] - 2[x]$ का मान हमेशा $1$ होता है।
इसलिए,$f$ का परिसर $\{0, 1\}$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x - [x] - \frac{1}{2}$ है।
हमें ऐसे $x$ ज्ञात करने हैं जिनके लिए $f(x) = \frac{1}{2}$ हो।
$f(x)$ का मान रखने पर,हमें $\frac{1}{2} = x - [x] - \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $\frac{1}{2}$ जोड़ने पर,$x - [x] = 1$ प्राप्त होता है।
भिन्नात्मक भाग फलन की परिभाषा के अनुसार,${x} = x - [x]$,जहाँ $0 \le \{x\} < 1$ होता है।
अतः,समीकरण ${x} = 1$ बन जाता है।
चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या $x$ का भिन्नात्मक भाग हमेशा $1$ से कम होना चाहिए,इसलिए ऐसी कोई वास्तविक संख्या $x$ नहीं है जो इस शर्त को पूरा करती हो।
अतः,समुच्चय $\{x \in R: f(x) = \frac{1}{2}\}$ एक रिक्त समुच्चय है,जिसे $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(B) दिया गया है कि $u=\sin ^{-1}\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)$.
इसका अर्थ है $\sin u = \frac{x^2+y^2}{x+y}$.
माना $f(x, y) = \sin u = \frac{x^2+y^2}{x+y}$.
यहाँ,$f(x, y)$ घात $n = 1$ का एक समघातीय फलन है क्योंकि $f(tx, ty) = \frac{(tx)^2+(ty)^2}{tx+ty} = t \frac{x^2+y^2}{x+y} = t^1 f(x, y)$.
समघातीय फलनों के लिए यूलर प्रमेय के अनुसार,$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = n f$.
$f = \sin u$ और $n = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x \frac{\partial}{\partial x}(\sin u) + y \frac{\partial}{\partial y}(\sin u) = 1 \cdot \sin u$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{\partial}{\partial x}(\sin u) = \cos u \frac{\partial u}{\partial x}$ और $\frac{\partial}{\partial y}(\sin u) = \cos u \frac{\partial u}{\partial y}$.
अतः,$x \cos u \frac{\partial u}{\partial x} + y \cos u \frac{\partial u}{\partial y} = \sin u$.
दोनों पक्षों को $\cos u$ से विभाजित करने पर:
$x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\sin u}{\cos u} = \tan u$.

(B) माना वस्तु की ऊँचाई $h$ है और दूसरे बिंदु से पहाड़ी के आधार तक की दूरी $x$ है।
$\triangle ACD$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{120 + x}$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{120 + x}$ $\Rightarrow 120 + x = h\sqrt{3} \quad \dots(i)$
$\triangle BCD$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x}$ $\Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}} \quad \dots(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$120 + \frac{h}{\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$
$120 = h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = h \left( \frac{3 - 1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2h}{\sqrt{3}}$
$h = \frac{120 \times \sqrt{3}}{2} = 60\sqrt{3} \ m$.

(C) कथन $A$ के लिए: मान लीजिए $I = \int \left(\frac{x^2-1}{x^2}\right) e^{\left(\frac{x^2+1}{x}\right)} d x$.
हम समाकल्य को $I = \int \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) e^{\left(x + \frac{1}{x}\right)} d x$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $t = x + \frac{1}{x}$,तो $d t = \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) d x$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int e^t d t = e^t + c = e^{x + \frac{1}{x}} + c = e^{\frac{x^2+1}{x}} + c$ प्राप्त होता है।
अतः,कथन $A$ सत्य है।
कथन $R$ के लिए: समाकलन $\int f^{\prime}(x) e^{f(x)} d x$ एक मानक रूप है। मान लीजिए $u = f(x)$,तो $d u = f^{\prime}(x) d x$.
समाकलन $\int e^u d u = e^u + c = e^{f(x)} + c$ हो जाता है।
कथन $R$ में परिणाम $f(x) + c$ दिया गया है,जो गलत है। इसलिए,$R$ असत्य है।

(D) $10 ~cm$ फोकस दूरी और $1.5$ अपवर्तनांक वाले उभयोत्तल लेंस के लिए,हवा में लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu_g - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{-R}) = (0.5)(\frac{2}{R}) = \frac{1}{R}$ है। अतः $R = 10 ~cm$ प्राप्त होता है।
जब लेंस को मुख्य अक्ष के लंबवत काटा जाता है,तो प्रत्येक समतलोत्तल लेंस की फोकस दूरी $f'$ के लिए $\frac{1}{f'} = (\mu_g - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty}) = \frac{0.5}{R} = \frac{1}{20}$ होता है,अर्थात $f' = 20 ~cm$।
जब इन दो समतलोत्तल लेंसों को इस प्रकार जोड़ा जाता है कि उनकी उत्तल सतहें एक-दूसरे को स्पर्श करें,तो यह हवा में $10 ~cm$ फोकस दूरी वाले उभयोत्तल लेंस की तरह कार्य करता है।
जब इसे पानी (अपवर्तनांक $\mu_w = 4/3$) में डुबोया जाता है,तो नई फोकस दूरी $F'$ के लिए $\frac{1}{F'} = (\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ सूत्र का उपयोग किया जाता है।
इस संयोजन के लिए,प्रभावी शक्ति $\frac{1}{F'} = (\frac{1.5}{4/3} - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{-R}) = (1.125 - 1)(\frac{2}{10}) = 0.125 \times 0.2 = 0.025$ होती है।
अतः,$F' = \frac{1}{0.025} = 40 ~cm$।

(A) प्रिज्म की विक्षेपण क्षमता $(\omega)$ को कोणीय विक्षेपण $(\delta_v - \delta_r)$ और माध्य विचलन $(\delta_y)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\omega = \frac{\delta_v - \delta_r}{\delta_y} = \frac{(\mu_v - 1)A - (\mu_r - 1)A}{(\mu_y - 1)A} = \frac{\mu_v - \mu_r}{\mu_y - 1}$।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि विक्षेपण क्षमता केवल विभिन्न रंगों के लिए प्रिज्म के पदार्थ के अपवर्तनांक $(\mu_v, \mu_r, \mu_y)$ पर निर्भर करती है।
यह प्रिज्म के कोण $(A)$,प्रिज्म के आकार और प्रिज्म के माप से स्वतंत्र है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) अभिक्रिया के लिए संतुलित रासायनिक समीकरण है: $2KMnO_4 + 5H_2C_2O_4 + 3H_2SO_4 \rightarrow K_2SO_4 + 2MnSO_4 + 8H_2O + 10CO_2$.
स्टोइकियोमेट्री के अनुसार,$2 \text{ मोल } KMnO_4$,$5 \text{ मोल } H_2C_2O_4$ के साथ अभिक्रिया करते हैं।
संबंध $n_{KMnO_4} / 2 = n_{H_2C_2O_4} / 5$ का उपयोग करने पर:
$(0.05 \ M \times 16 \ mL) / 2 = (x \ M \times 40 \ mL) / 5$.
$0.4 / 2 = 40x / 5 \implies 0.2 = 8x \implies x = 0.025 \ M$.
चूंकि ऑक्सेलिक एसिड $(H_2C_2O_4)$ एक द्वि-प्रोटिक एसिड है और पूर्णतः वियोजित होता है:
$[H^+] = 2 \times [H_2C_2O_4] = 2 \times 0.025 = 0.05 \ M$.
$pH = -\log[H^+] = -\log(0.05) = -\log(5 \times 10^{-2}) = 2 - \log 5 = 2 - 0.699 = 1.301 \approx 1.3$.

(A) $1$. $AlCl_3 + 4NaOH \longrightarrow NaAlO_2 + 3NaCl + 2H_2O$. यह अभिक्रिया सोडियम मेटा-एल्युमिनेट बनाती है और इसमें कोई गैस मुक्त नहीं होती है।
$2$. $3NaOH + P_4 + 3H_2O \longrightarrow PH_3 (\text{gas}) + 3NaH_2PO_2$. इसमें फॉस्फीन गैस मुक्त होती है।
$3$. $2Al + 2NaOH + 2H_2O \xrightarrow{\Delta} 2NaAlO_2 + 3H_2 (\text{gas})$. इसमें हाइड्रोजन गैस मुक्त होती है।
$4$. $Zn + 2NaOH \xrightarrow{\Delta} Na_2ZnO_2 + H_2 (\text{gas})$. इसमें हाइड्रोजन गैस मुक्त होती है।
अतः,$AlCl_3$ और $NaOH$ के बीच की अभिक्रिया में कोई गैसीय उत्पाद मुक्त नहीं होता है।

(A) एक $n-p-n$ ट्रांजिस्टर में,बेस-एमिटर जंक्शन फॉरवर्ड-बायस्ड होता है,जबकि कलेक्टर-बेस जंक्शन रिवर्स-बायस्ड होता है।
कैपेसिटेंस $C$ को $C = \frac{\epsilon A}{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ अवक्षय परत की चौड़ाई है।
फॉरवर्ड-बायस्ड जंक्शन (बेस-एमिटर) के लिए,अवक्षय परत की चौड़ाई $d_1$ बहुत कम होती है।
रिवर्स-बायस्ड जंक्शन (कलेक्टर-बेस) के लिए,अवक्षय परत की चौड़ाई $d_2$ काफी अधिक होती है।
चूंकि $C \propto \frac{1}{d}$,कम अवक्षय चौड़ाई का अर्थ है अधिक कैपेसिटेंस।
इसलिए,$C_1$ (बेस-एमिटर कैपेसिटेंस) $C_2$ (कलेक्टर-बेस कैपेसिटेंस) से अधिक है।
अतः,$C_1 > C_2$।

(B) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण: $(1+x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ है।
मानक रूप $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ प्राप्त करने के लिए $(1+x^2)$ से भाग देने पर:
$\frac{dy}{dx} + \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)y = \frac{4x^2}{1+x^2}$।
यहाँ,$P = \frac{2x}{1+x^2}$ और $Q = \frac{4x^2}{1+x^2}$ है।
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2x}{1+x^2} dx} = e^{\ln(1+x^2)} = 1+x^2$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ है।
मान रखने पर: $y(1+x^2) = \int \left(\frac{4x^2}{1+x^2}\right)(1+x^2) dx + c$।
$y(1+x^2) = \int 4x^2 dx + c$।
$y(1+x^2) = \frac{4x^3}{3} + c$।
$3$ से गुणा करने पर,हमें $3y(1+x^2) = 4x^3 + c$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y} = x^2$
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy} + \frac{1}{xy} = 1$
माना $t = \frac{1}{x}$,तब $\frac{dt}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{dt}{dy} + \frac{t}{y} = 1$
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dt}{dy} - \frac{t}{y} = -1$
यहाँ,$P = -\frac{1}{y}$ और $Q = -1$
समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $= e^{\int P dy} = e^{-\int \frac{1}{y} dy} = e^{-\log y} = \frac{1}{y}$
व्यापक हल $t \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dy + c$ है
$t \cdot \frac{1}{y} = \int (-1) \cdot \frac{1}{y} dy + c$
$\frac{1}{xy} = -\log y + c$
$y$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{x} = cy - y \log y$

(D) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ है।
हम इसे $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2=(-\overrightarrow{c})^2$ प्राप्त होता है।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,$|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta=|\overrightarrow{c}|^2$ प्राप्त होता है,जहाँ $\theta$ सदिश $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $3^2+4^2+2(3)(4) \cos \theta = (\sqrt{37})^2$।
$9+16+24 \cos \theta = 37$।
$25+24 \cos \theta = 37$।
$24 \cos \theta = 37-25 = 12$।
$\cos \theta = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) समांतर षट्फलक का आयतन उसके तीन किनारों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ द्वारा दिया जाता है,जो इन सदिशों द्वारा बने सारणिक के मापांक के बराबर होता है।
दिए गए किनारे: $\vec{a} = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 0 \hat{i} - 1 \hat{j} + 1 \hat{k}$,$\vec{c} = 3 \hat{i} + 9 \hat{j} + p \hat{k}$.
आयतन $= |\text{det}(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})| = 34$.
$\Rightarrow \left|\begin{array}{rrr} 4 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 3 & 9 & p \end{array}\right| = \pm 34$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$4(-p - 9) - 5(0 - 3) + 1(0 - (-3)) = \pm 34$.
$-4p - 36 + 15 + 3 = \pm 34$.
$-4p - 18 = \pm 34$.
स्थिति $1$: $-4p - 18 = 34 \Rightarrow -4p = 52 \Rightarrow p = -13$.
स्थिति $2$: $-4p - 18 = -34 \Rightarrow -4p = -16 \Rightarrow p = 4$.
चूंकि विकल्पों में $-13$ दिया गया है,इसलिए सही उत्तर $-13$ है।

(D) माना बिंदु $A$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
चूंकि $OA, OX, OY$ और $OZ$ अक्षों के साथ समान रूप से झुका हुआ है,इसलिए दिक-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ समान हैं।
अतः,$l = m = n$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,इसलिए $3l^2 = 1$,जिसका अर्थ है $l = m = n = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
बिंदु $A$ के निर्देशांक $(r l, r m, r n)$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $r$ मूल बिंदु से दूरी है।
यहाँ $r = \sqrt{3}$ दिया गया है,इसलिए निर्देशांक $(\sqrt{3} \times \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3} \times \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \sqrt{3} \times \pm \frac{1}{\sqrt{3}})$ होंगे।
इसे सरल करने पर $(1, 1, 1)$ या $(-1, -1, -1)$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $(1, 1, 1)$ है।

(B) दिक्-कोज्याओं $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0$ $\dots(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ $\dots(ii)$
हम जानते हैं कि दिक्-कोज्याओं के लिए $l^2+m^2+n^2=1$ $\dots(iii)$
समीकरण $(i)$ से,$l+m = -n$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $l^2+m^2+2lm = n^2$.
समीकरण $(ii)$ से $l^2+m^2 = n^2$ को इसमें रखने पर,हमें $n^2+2lm = n^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $2lm = 0$,अतः $l=0$ या $m=0$.
स्थिति $1$: यदि $l=0$,तो $m+n=0 \implies m=-n$. समीकरण $(iii)$ में रखने पर,$0^2+(-n)^2+n^2=1 \implies 2n^2=1 \implies n = \pm 1/\sqrt{2}$. अतः,$(l_1, m_1, n_1) = (0, -1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ और $(0, 1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2})$.
स्थिति $2$: यदि $m=0$,तो $l+n=0 \implies l=-n$. समीकरण $(iii)$ में रखने पर,$(-n)^2+0^2+n^2=1 \implies 2n^2=1 \implies n = \pm 1/\sqrt{2}$. अतः,$(l_2, m_2, n_2) = (-1/\sqrt{2}, 0, 1/\sqrt{2})$ और $(1/\sqrt{2}, 0, -1/\sqrt{2})$.
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = |l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|$ द्वारा दिया जाता है।
$L_1 = (0, -1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ और $L_2 = (-1/\sqrt{2}, 0, 1/\sqrt{2})$ लेने पर:
$\cos \theta = |(0)(-1/\sqrt{2}) + (-1/\sqrt{2})(0) + (1/\sqrt{2})(1/\sqrt{2})| = |0 + 0 + 1/2| = 1/2$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(1/2) = \pi/3$.

(C) कुल गेंदों की संख्या $= 5 + 6 = 11$ है।
$11$ में से $7$ गेंदें निकालने के कुल तरीके ${ }^{11} C_7$ हैं।
$5$ में से $3$ सफेद गेंदें निकालने के तरीके ${ }^5 C_3$ हैं।
$6$ में से $4$ हरी गेंदें निकालने के तरीके ${ }^6 C_4$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या ${ }^5 C_3 \times { }^6 C_4$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{{ }^5 C_3 \times { }^6 C_4}{{ }^{11} C_7}$।

(B) संख्याओं का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \ldots, 1000\}$ है,इसलिए $n(S) = 1000$.
हम ऐसी संख्याएँ $n$ ढूँढ रहे हैं जिनके लिए $n \equiv 1 \pmod{7}$ हो।
ये संख्याएँ $n = 7k + 1$ के रूप में हैं,जहाँ $k \ge 0$.
$1 \le 7k + 1 \le 1000$ के लिए,हमारे पास $0 \le 7k \le 999$ है,जिसका अर्थ है $0 \le k \le \frac{999}{7} \approx 142.71$.
चूँकि $k$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $k \in \{0, 1, 2, \ldots, 142\}$ है।
ऐसी मानों की संख्या $142 - 0 + 1 = 143$ है।
अतः प्रायिकता $P = \frac{143}{1000}$ है।

(C) प्रति पृष्ठ त्रुटियों की औसत संख्या $\lambda_{page} = \frac{250}{500} = 0.5$ है।
$n = 2$ पृष्ठों के नमूने के लिए,त्रुटियों की औसत संख्या $\lambda = n \times \lambda_{page} = 2 \times 0.5 = 1$ है।
पॉइसन वितरण के अनुसार,$X$ त्रुटियाँ मिलने की प्रायिकता $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दी जाती है।
कोई त्रुटि न होने के लिए,हम $k = 0$ रखते हैं:
$P(X=0) = \frac{e^{-1} \times 1^0}{0!} = e^{-1} \times 1 = e^{-1}$.

(B) दो पासे उछालने पर कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ है।
घटना $E$ (योग $8$ प्राप्त करना) के लिए: परिणाम $\{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\}$ हैं। अतः,$n(E) = 5$ और $P(E) = \frac{5}{36}$ है। इसलिए,कथन $I$ असत्य है।
घटना $F$ (दोनों पासों पर सम संख्या प्राप्त करना) के लिए: पासे पर सम संख्याएँ $\{2, 4, 6\}$ हैं। परिणाम $\{(2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)\}$ हैं। अतः,$n(F) = 9$ और $P(F) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ है। इसलिए,कथन $II$ असत्य है।
अतः,न तो $I$ और न ही $II$ सत्य है।