AP EAMCET 2006 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) ऑक्सीजन से ओजोन बनने की रासायनिक अभिक्रिया है: $3O_2(g) \rightarrow 2O_3(g)$।
मान लीजिए $O_2$ का प्रारंभिक आयतन $100 \ L$ है।
मान लीजिए अभिक्रिया करने वाली $O_2$ का आयतन $3x \ L$ है।
स्टोइकियोमेट्री के अनुसार,बनी हुई $O_3$ का आयतन $2x \ L$ होगा।
शेष $O_2$ का आयतन $(100 - 3x) \ L$ है।
दिया गया है कि $O_2$ और $O_3$ का अंतिम आयतन बराबर है:
$100 - 3x = 2x$
$100 = 5x$
$x = 20 \ L$।
बनी हुई ओजोन का आयतन $2x = 2 \times 20 = 40 \ L$ है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,इसे $V = (\frac{nR}{P})T$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जहाँ ढाल $m = \frac{nR}{P}$ है।
चूंकि ढाल दाब के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(m \propto \frac{1}{P})$,इसलिए छोटी ढाल उच्च दाब को दर्शाती है।
दिए गए ग्राफ से,$P_1$ के लिए रेखा की ढाल सबसे कम है,उसके बाद $P_3$ है,और $P_2$ के लिए ढाल सबसे अधिक है।
अतः,दाब का सही क्रम $P_1 > P_3 > P_2$ है।

(C) क्लॉसियस-क्लैपेरॉन समीकरण के अनुसार,वाष्प दाब $(P)$ और तापमान $(T)$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\log_{10} P = -\frac{\Delta H_{vap}}{2.303 R} \cdot \frac{1}{T} + C$.
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \log_{10} P$ और $x = \frac{1}{T}$,ढाल $(m)$ $-\frac{\Delta H_{vap}}{2.303 R}$ प्राप्त होती है,जो कि ऋणात्मक है।
इसलिए,$y$-अक्ष पर $\log_{10} P$ और $x$-अक्ष पर $\frac{1}{T}$ को आलेखित करने पर ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा प्राप्त होती है।

(B) आइसोटोन वे प्रजातियां हैं जिनमें न्यूट्रॉन की संख्या समान होती है।
$_{20}Ca^{40}$ में,न्यूट्रॉन की संख्या $40 - 20 = 20$ है।
$_{18}Ar^{40}$ में,न्यूट्रॉन की संख्या $40 - 18 = 22$ है।
चूंकि न्यूट्रॉन की संख्या अलग है,इसलिए $_{20}Ca^{40}$ और $_{18}Ar^{40}$ आइसोटोन नहीं हैं।
अतः,विकल्प $B$ गलत है।

(A) दिया गया है:
$E = 3 \times 10^{-12} \ erg$
$h = 6.62 \times 10^{-27} \ erg \cdot s$
$c = 3 \times 10^{10} \ cm/s$
सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करने पर:
$\lambda = \frac{hc}{E}$
$\lambda = \frac{6.62 \times 10^{-27} \times 3 \times 10^{10}}{3 \times 10^{-12}} \ cm$
$\lambda = 6.62 \times 10^{-5} \ cm$
चूंकि $1 \ cm = 10^7 \ nm$,
$\lambda = 6.62 \times 10^{-5} \times 10^7 \ nm$
$\lambda = 6.62 \times 10^2 \ nm = 662 \ nm$.

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \frac{h}{4 \pi}$.
कण $A$ के लिए: $\Delta x_A \cdot m_A \cdot \Delta v_A = \frac{h}{4 \pi}$.
कण $B$ के लिए: $\Delta x_B \cdot m_B \cdot \Delta v_B = \frac{h}{4 \pi}$.
दिया गया है: $\Delta v_A = 0.05 \ m/s$,$\Delta v_B = 0.02 \ m/s$,और $m_B = 5 m_A$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\Delta x_A \cdot m_A \cdot 0.05 = \Delta x_B \cdot (5 m_A) \cdot 0.02$.
$\Delta x_A \cdot m_A \cdot 0.05 = \Delta x_B \cdot m_A \cdot 0.10$.
$\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{0.10}{0.05} = 2$.

(C) सोने का कोलाइडल विलयन तब बनता है जब परिक्षिप्त प्रावस्था $solid$ (ठोस) होती है और परिक्षेपण माध्यम $liquid$ (द्रव) होता है।
सोने जैसी धातुओं को केवल पानी के संपर्क में लाकर कोलाइडल अवस्था में नहीं लाया जा सकता है,इसलिए इसके लिए विशेष विधियों का उपयोग किया जाता है।
अतः,इन्हें $lyophobic$ (द्रव-विरोधी) कोलाइड कहा जाता है।

(D) दिया गया थर्मो emf समीकरण: $V = 10 \times 10^{-6} t - \frac{1}{40} \times 10^{-6} t^2$.
उदासीन तापमान $(t_n)$ तब होता है जब थर्मो emf अधिकतम होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dV}{dt} = 0$.
$t$ के सापेक्ष $V$ का अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dt} = 10 \times 10^{-6} - \frac{2}{40} \times 10^{-6} t = 10 \times 10^{-6} - \frac{1}{20} \times 10^{-6} t$.
$\frac{dV}{dt} = 0$ रखने पर: $10 \times 10^{-6} = \frac{1}{20} \times 10^{-6} t_n \implies t_n = 200^{\circ} C$.
अब,$V_{\max}$ ज्ञात करने के लिए $t_n = 200^{\circ} C$ को $V$ के समीकरण में रखने पर:
$V_{\max} = 10 \times 10^{-6} (200) - \frac{1}{40} \times 10^{-6} (200)^2$.
$V_{\max} = 2000 \times 10^{-6} - \frac{40000}{40} \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3} = 1 \times 10^{-3} \text{ V} = 1 \text{ mV}$.

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,ऊष्मा हानि की दर $dQ/dt = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ द्वारा दी जाती है।
गोले के लिए,$A = 4 \pi r^2$ और $dQ = mc(dT) = (\rho V c) dT = \rho (4/3 \pi r^3) c dT$ होता है।
अतः,तापमान परिवर्तन की दर: $\rho (4/3 \pi r^3) c (-dT/dt) = \sigma (4 \pi r^2) (T^4 - T_0^4)$ है।
इसे सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(-dT/dt) = [3 \sigma / (\rho c r)] (T^4 - T_0^4)$।
चूंकि पदार्थ समान है,$\rho$ और $c$ स्थिर हैं। समान तापमान अंतर के लिए,$(-dT/dt) \propto 1/r$ होता है।
इसलिए,$A$ और $B$ के तापमान परिवर्तन की दर का अनुपात: $(dT/dt)_A / (dT/dt)_B = r_B / r_A$ है।

(B) समतापीय प्रक्रिया के लिए,गैस का तापमान स्थिर रहता है,इसलिए गैस बॉयल के नियम का पालन करती है: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
दिया गया है कि दबाव दोगुना हो जाता है,$P_2 = 2 P_1$.
अतः,$P_1 V_1 = (2 P_1) V_2$,जिससे हमें $\frac{V_1}{V_2} = 2$ प्राप्त होता है।
अब,गैस रुद्धोष्म रूप से फैलती है जब तक कि उसका मूल आयतन वापस न आ जाए,इसलिए $V_3 = V_1$.
रुद्धोष्म प्रक्रिया $P V^\gamma = \text{स्थिरांक}$ का पालन करती है,इसलिए $P_2 V_2^\gamma = P_3 V_3^\gamma$.
दिया गया है $P_3 = 0.75 P_1$ और $P_2 = 2 P_1$,तो हमारे पास है:
$(2 P_1) V_2^\gamma = (0.75 P_1) V_1^\gamma$.
दोनों पक्षों को $P_1$ से विभाजित करने पर,हमें $2 V_2^\gamma = 0.75 V_1^\gamma$ मिलता है।
$\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma = \frac{2}{0.75} = \frac{2}{3/4} = \frac{8}{3}$.
चूंकि $\frac{V_1}{V_2} = 2$,हमारे पास $2^\gamma = \frac{8}{3} = 2.667$ है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\gamma \log 2 = \log 2.667$.
$\gamma = \frac{\log 2.667}{\log 2} \approx \frac{0.426}{0.301} \approx 1.41$.

(D) एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H)$ और आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन $(\Delta E)$ के बीच का संबंध $\Delta H = \Delta E + \Delta n_g RT$ समीकरण द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta n_g$ गैसीय प्रजातियों के मोलों की संख्या में परिवर्तन है।
$\Delta H \neq \Delta E$ के लिए,$\Delta n_g \neq 0$ शर्त पूरी होनी चाहिए।
$(A)$ $\Delta n_g = 1 - 1 = 0$.
$(B)$ $\Delta n_g = 2 - (1 + 1) = 0$.
$(C)$ $\Delta n_g = 2 - (1 + 1) = 0$.
$(D)$ $\Delta n_g = 1 - (1 + 0.5) = -0.5$.
चूंकि विकल्प $(D)$ के लिए $\Delta n_g \neq 0$ है,इसलिए इस अभिक्रिया के लिए $\Delta H \neq \Delta E$ है।

(D) एक आयनिक ठोस की जालक ऊर्जा $(U)$ वह ऊर्जा है जो गैसीय आयनों के संयोजन से एक मोल क्रिस्टलीय ठोस बनने पर मुक्त होती है।
Born-Landé समीकरण के अनुसार,जालक ऊर्जा अंतर-आयनिक दूरी $(r_0)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
आयनिक ठोस $AB$ के लिए,अंतर-आयनिक दूरी $r_0$ धनायन की त्रिज्या $(r_c)$ और ऋणायन की त्रिज्या $(r_a)$ का योग है,अर्थात $r_0 = r_c + r_a$।
इसलिए,जालक ऊर्जा $U$,$\frac{1}{(r_c+r_a)}$ के समानुपाती होती है।

(D) विमीय सूत्र इस प्रकार हैं:
$[C] = [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2]$
$[R] = [M L^2 T^{-3} A^{-2}]$
$[L] = [M L^2 T^{-2} A^{-2}]$
$[I] = [A]$
$(1)$ $[CR] = [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2] \times [M L^2 T^{-3} A^{-2}] = [T^1]$
$(2)$ $[L/R] = [M L^2 T^{-2} A^{-2}] / [M L^2 T^{-3} A^{-2}] = [T^1]$
$(3)$ $[\sqrt{LC}] = ([M L^2 T^{-2} A^{-2}] \times [M^{-1} L^{-2} T^4 A^2])^{1/2} = [T^2]^{1/2} = [T^1]$
$(4)$ $[LI^2] = [M L^2 T^{-2} A^{-2}] \times [A^2] = [M L^2 T^{-2}]$ (यह ऊर्जा है,समय नहीं)।
अतः,राशियाँ $(1)$,$(2)$ और $(3)$ समय की विमाएँ रखती हैं। इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(C) प्रकाश की तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $w$ के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $I \propto w$।
दिया गया है कि पहली स्लिट की चौड़ाई $w_1 = 4 w_2$ है,इसलिए तीव्रताएँ $I_1 = 4 I_2$ होंगी।
मान लीजिए $I_2 = I$,तो $I_1 = 4 I$ होगा।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{4I} + \sqrt{I})^2}{(\sqrt{4I} - \sqrt{I})^2} = \frac{(2\sqrt{I} + \sqrt{I})^2}{(2\sqrt{I} - \sqrt{I})^2} = \frac{(3\sqrt{I})^2}{(\sqrt{I})^2} = \frac{9I}{I} = \frac{9}{1}$।
अतः,अनुपात $9: 1$ है।

(B) गतिमान स्रोत से प्रेक्षक द्वारा सीधे सुनी जाने वाली ध्वनि की आवृत्ति डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $f_1 = f_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$,जहाँ $f_0 = 1000 ~Hz$,$v = 330 ~m/s$,और $f_1 = 970 ~Hz$ है।
मान रखने पर: $970 = 1000 \left( \frac{330}{330 + v_s} \right)$.
$v_s$ के लिए हल करने पर: $330 + v_s = \frac{330000}{970} \approx 340.2 ~m/s$,अतः $v_s \approx 10.2 ~m/s$.
पहाड़ी से परावर्तित ध्वनि ऐसा प्रतीत होती है जैसे वह एक स्थिर स्रोत (पहाड़ी) से प्रेक्षक की ओर आ रही हो,लेकिन स्रोत (वैन) पहाड़ी की ओर बढ़ रहा है। पहाड़ी $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ आवृत्ति पर ध्वनि प्राप्त करती है।
चूंकि पहाड़ी स्थिर है,यह इस आवृत्ति को प्रेक्षक की ओर परावर्तित करती है: $f_2 = f' = 1000 \left( \frac{330}{330 - 10.2} \right)$.
$f_2 = \frac{330000}{319.8} \approx 1031.89 ~Hz$.
निकटतम पूर्णांक में,आवृत्ति लगभग $1032 ~Hz$ है।

(C) दिया गया है: $T_A = T_B$,$f_A = f_B$,$L_A = 80 \ cm$,$L_B = x \ cm$,$d_A / d_B = 0.81$,और $D_B = D_A / 2$.
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \text{क्षेत्रफल} \times \text{घनत्व} = \pi (D/2)^2 \times d = \frac{\pi D^2 d}{4}$ है।
अतः,रैखिक घनत्व का अनुपात $\frac{\mu_A}{\mu_B} = \left(\frac{D_A}{D_B}\right)^2 \times \frac{d_A}{d_B} = (2)^2 \times 0.81 = 4 \times 0.81 = 3.24$ है।
तार की मूल आवृत्ति $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ होती है।
चूंकि $f_A = f_B$ और $T_A = T_B$,इसलिए $\frac{1}{L_A \sqrt{\mu_A}} = \frac{1}{L_B \sqrt{\mu_B}}$,जिसका अर्थ है $\frac{L_B}{L_A} = \sqrt{\frac{\mu_A}{\mu_B}}$.
मान रखने पर: $\frac{x}{80} = \sqrt{3.24} = 1.8$.
$x = 80 \times 1.8 = 144 \ cm$.

(C) मान लीजिए कि पानी का घनत्व $\rho$ है,पाइप का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है,और पानी का वेग $v$ है।
प्रति सेकंड बाहर निकलने वाले पानी का द्रव्यमान $m = A v \rho$ द्वारा दिया जाता है।
पानी को प्रति सेकंड दी गई गतिज ऊर्जा मोटर के लिए आवश्यक शक्ति $P$ है:
$P = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} (A v \rho) v^2 = \frac{1}{2} A \rho v^3$.
इसका अर्थ है कि $P \propto v^3$.
यदि हम उसी समय में $n$-गुना पानी पहुंचाना चाहते हैं,तो द्रव्यमान प्रवाह दर $m' = n m$ होगी।
चूंकि $m = A v \rho$,इसलिए $m' = A v' \rho = n (A v \rho)$,जिसका अर्थ है कि $v' = n v$.
आवश्यक नई शक्ति $P' = \frac{1}{2} A \rho (v')^3$ है।
नई शक्ति और मूल शक्ति का अनुपात लेने पर:
$\frac{P'}{P} = \frac{\frac{1}{2} A \rho (n v)^3}{\frac{1}{2} A \rho v^3} = n^3$.
इसलिए,शक्ति को $n^3$-गुना बढ़ाया जाना चाहिए।

(B) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{total} = \Delta K = K_f - K_i$
यहाँ,कुल कार्य गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $(W_g)$ और वायु प्रतिरोध के विरुद्ध किया गया कार्य $(W_{air})$ का योग है।
$W_g + W_{air} = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 10 ~g = 0.01 ~kg$
प्रारंभिक वेग $u = 1000 ~ms^{-1}$
अंतिम वेग $v = 500 ~ms^{-1}$
ऊँचाई $h = 50 ~m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 ~ms^{-2}$
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = mgh = 0.01 \times 10 \times 50 = 5 ~J$
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = \frac{1}{2} \times 0.01 \times (500^2 - 1000^2)$
$\Delta K = 0.005 \times (250000 - 1000000) = 0.005 \times (-750000) = -3750 ~J$
अब,$W_g + W_{air} = \Delta K$
$5 + W_{air} = -3750$
$W_{air} = -3750 - 5 = -3755 ~J$
वायु प्रतिरोध के विरुद्ध किया गया कार्य,वायु प्रतिरोध द्वारा किए गए कार्य का परिमाण है,जो $3755 ~J$ है।

(D) बेंजीन का आणविक सूत्र $C_6H_6$ है।
बेंजीन की संरचना में $6$ $C-C$ बंध और $6$ $C-H$ बंध होते हैं।
प्रत्येक $C-C$ बंध में एक $\sigma$ बंध होता है,और इनमें से तीन बंध द्वि-बंध होते हैं,जिनमें से प्रत्येक में एक $\pi$ बंध होता है।
इस प्रकार,कार्बन परमाणुओं के बीच $6$ $\sigma$ बंध और कार्बन तथा हाइड्रोजन परमाणुओं के बीच $6$ $\sigma$ बंध होते हैं,जो कुल $12$ $\sigma$ बंध बनाते हैं।
वलय में $3$ $\pi$ बंध उपस्थित होते हैं।
अतः,$\sigma$ और $\pi$ बंधों की संख्या क्रमशः $12$ और $3$ है।

(D) एथीन $(C_2H_4)$ में,प्रत्येक कार्बन परमाणु $sp^2$ संकरित होता है।
प्रत्येक कार्बन परमाणु हाइड्रोजन परमाणुओं के साथ $sp^2$ और $s$ कक्षकों के अतिव्यापन द्वारा दो $\sigma$ बंध बनाता है। चूंकि दो कार्बन परमाणु हैं,इसलिए कुल $2 \times 2 = 4$ ऐसे $\sigma$ बंध हैं।
दो कार्बन परमाणु एक-दूसरे से $sp^2$ और $sp^2$ कक्षकों के अतिव्यापन द्वारा एक $\sigma$ बंध से जुड़े होते हैं।
इसके अतिरिक्त,दो कार्बन परमाणुओं के असंकरित $p_z$ कक्षक पार्श्व अतिव्यापन करके एक $\pi$ बंध बनाते हैं।
अतः,अणु $(X)$ $C_2H_4$ है।

(C) उत्प्रेरक की उपस्थिति में साम्य स्थिरांक $(K_c)$ पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। अतः,कथन $(c)$ गलत है।

(B) कथन $I$ सही है क्योंकि आधुनिक आवर्त नियम के अनुसार तत्वों के भौतिक और रासायनिक गुण उनके परमाणु क्रमांक के आवर्ती फलन होते हैं,जो उनके इलेक्ट्रॉनिक विन्यास के समान है।
कथन $II$ गलत है क्योंकि फ्लोरीन $(F)$ की विद्युत ऋणात्मकता $(4.0)$ आवर्त सारणी में सबसे अधिक है,जो क्लोरीन ($Cl$,$3.0$) से अधिक है।
कथन $III$ गलत है क्योंकि समूह में ऊपर से नीचे जाने पर आयनन ऊर्जा कम होने के कारण विद्युत धनात्मक प्रकृति (धात्विक गुण) बढ़ती है।
अतः,केवल कथन $I$ सही है।

(A) दी गई असमिका: $\sqrt{9 x^2+6 x+1} < (2-x)$
चूँकि $\sqrt{(3x+1)^2} = |3x+1|$,असमिका $|3x+1| < 2-x$ बन जाती है।
वर्गमूल परिभाषित होने के लिए,$9x^2+6x+1 \ge 0$ होना चाहिए,जो हमेशा सत्य है।
असमिका के लिए,दाईं ओर धनात्मक होना चाहिए: $2-x > 0 \implies x < 2$.
अब,$|3x+1| < 2-x$ को हल करें:
यह $-(2-x) < 3x+1 < 2-x$ के समतुल्य है।
स्थिति $1$: $3x+1 < 2-x \implies 4x < 1 \implies x < \frac{1}{4}$.
स्थिति $2$: $3x+1 > -(2-x) \implies 3x+1 > -2+x \implies 2x > -3 \implies x > -\frac{3}{2}$.
इन्हें मिलाने पर,$-\frac{3}{2} < x < \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x \in \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right)$.

(D) दिया गया है $x = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}$.
वर्गमूल के अंदर हर का परिमेयकरण करने पर:
$x = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})^2}{4-3}} = 2+\sqrt{3}$.
अब,हमें $x^2(x-4)^2 = [x(x-4)]^2$ का मान ज्ञात करना है।
$x = 2+\sqrt{3}$ रखने पर:
$x(x-4) = (2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3}-4) = (2+\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)$.
सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ का उपयोग करने पर:
$x(x-4) = (\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2) = (\sqrt{3})^2 - (2)^2 = 3 - 4 = -1$.
अतः,$x^2(x-4)^2 = (-1)^2 = 1$.

(A) दिया गया समीकरण $\left|\frac{z-1}{z+1}\right| = 1$ है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\left|\frac{(x-1) + iy}{(x+1) + iy}\right| = 1$
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर:
$|(x-1) + iy| = |(x+1) + iy|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2 + y^2$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$
समीकरण को सरल करने पर:
$-2x = 2x$
$4x = 0$
$x = 0$
अतः,बिंदुपथ काल्पनिक अक्ष है,जिसे $x = 0$ द्वारा दर्शाया गया है।

(B) दिया गया है $\left|\frac{z-i}{z i}\right|=2$.
चूँकि $z=x iy$,इसलिए $\left|\frac{x i(y-1)}{x i(y 1)}\right|=2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{x^2 (y-1)^2}{x^2 (y 1)^2}=4$.
$x^2 (y-1)^2=4(x^2 (y 1)^2)$.
$x^2 y^2-2y 1=4(x^2 y^2 2y 1)$.
$x^2 y^2-2y 1=4x^2 4y^2 8y 4$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$3x^2 3y^2 10y 3=0$ प्राप्त होता है।

(A) $1000$ से कम प्राकृतिक संख्याएँ $1$-अंकीय,$2$-अंकीय या $3$-अंकीय हो सकती हैं।
स्थिति $1$: $1$-अंकीय संख्याएँ। अंक ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ हो सकते हैं। कुल $= 9$।
स्थिति $2$: $2$-अंकीय संख्याएँ। पहला अंक $9$ तरीकों से चुना जा सकता है ($0$ को छोड़कर) और दूसरा अंक $9$ तरीकों से ($0$ सहित लेकिन पहले अंक को छोड़कर)। कुल $= 9 \times 9 = 81$।
स्थिति $3$: $3$-अंकीय संख्याएँ। पहला अंक $9$ तरीकों से,दूसरा अंक $9$ तरीकों से और तीसरा अंक $8$ तरीकों से चुना जा सकता है। कुल $= 9 \times 9 \times 8 = 648$।
कुल प्राकृतिक संख्याएँ $= 9 + 81 + 648 = 738$।

(B) माना $S=1+\frac{2}{4}+\frac{2 \cdot 5}{4 \cdot 8}+\frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot 8 \cdot 12}+\ldots$
द्विपद प्रसार $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \ldots$ से तुलना करने पर,
$nx = 1/2$ और $\frac{n(n+1)}{2}x^2 = 5/16$ प्राप्त होता है।
हल करने पर $n=2/3$ और $x=3/4$ प्राप्त होता है।
अतः $S = (1-3/4)^{-2/3} = (1/4)^{-2/3} = 4^{2/3} = \sqrt[3]{16}$.

(D) क्लोरोफ्लोरोकार्बन $(CFCs)$ समताप मंडल में ओजोन के क्षय के लिए जिम्मेदार हैं।
$CFCl_3$ पराबैंगनी विकिरण की उपस्थिति में अपघटित होकर क्लोरीन मुक्त मूलक $(Cl^{\bullet})$ उत्पन्न करता है।
ये क्लोरीन मुक्त मूलक ओजोन $(O_3)$ अणुओं के साथ अभिक्रिया करके ऑक्सीजन $(O_2)$ और क्लोरीन मोनोऑक्साइड $(ClO^{\bullet})$ बनाते हैं।
अभिक्रिया इस प्रकार है: $Cl^{\bullet} + O_3 \rightarrow ClO^{\bullet} + O_2$.

(A) सबसे पहले,$x$ का मान ज्ञात करें:
$x = \tan 15^{\circ} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.268$.
इसके बाद,$y$ का मान ज्ञात करें:
$y = \operatorname{cosec} 75^{\circ} = \sqrt{6} - \sqrt{2} \approx 1.035$.
अंत में,$z$ का मान ज्ञात करें:
$z = 4 \sin 18^{\circ} = \sqrt{5} - 1 \approx 1.236$.
मानों की तुलना करने पर: $0.268 < 1.035 < 1.236$,जो दर्शाता है कि $x < y < z$.

(C) हमारे पास $\operatorname{cosec} 15^{\circ} + \sec 15^{\circ} = \frac{1}{\sin 15^{\circ}} + \frac{1}{\cos 15^{\circ}}$ है
$= \frac{\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})}{2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}} = \frac{2(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})}{\sin 30^{\circ}}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$= 4(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})$
$\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ और $\cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ का उपयोग करने पर:
$= 4 \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)$
$= 4 \left( \frac{2 \sqrt{6}}{4} \right) = 2 \sqrt{6}$

(B) संबद्ध कोणों (allied angles) के लिए त्रिकोणमितीय फलनों के मानों का उपयोग करते हुए:
$\sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 150^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 240^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$
$\sin 330^{\circ} = \sin(360^{\circ} - 30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{1}{2}\right)$
$= -\frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
$= -\frac{4}{4} = -1$

(A) रेखाओं के समीकरण $x-3y+2=0$ $(i)$ और $2x+5y-7=0$ $(ii)$ हैं।
समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर: $2x-6y+4=0$ $(iii)$।
समीकरण $(ii)$ से $(iii)$ घटाने पर: $(2x+5y-7) - (2x-6y+4) = 0$ $\Rightarrow 11y - 11 = 0$ $\Rightarrow y=1$।
$y=1$ को $(i)$ में रखने पर: $x-3(1)+2=0$ $\Rightarrow x-1=0$ $\Rightarrow x=1$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
$3x+2y+5=0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $2x-3y+\lambda=0$ के रूप में होता है।
चूंकि यह रेखा $(1, 1)$ से गुजरती है,इसलिए $2(1)-3(1)+\lambda=0$ $\Rightarrow 2-3+\lambda=0$ $\Rightarrow \lambda=1$।
अतः,अभीष्ट रेखा का समीकरण $2x-3y+1=0$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2-y^2-x+3y-2=0$ है।
इस समीकरण को $x$ के लिए द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - x - (y^2 - 3y + 2) = 0$।
द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4(y^2 - 3y + 2)}}{2} = \frac{1 \pm (2y-3)}{2}$।
प्रथम रेखा: $x = \frac{1 + 2y - 3}{2} = y-1 \implies x-y+1=0$।
द्वितीय रेखा: $x = \frac{1 - 2y + 3}{2} = 2-y \implies x+y-2=0$।
अतः,रेखाएँ $x-y+1=0$ और $x+y-2=0$ हैं।

(C) दी गई रेखाओं का युग्म $12x^2 - 20xy + 7y^2 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(6x - 7y)(2x - y) = 0$।
त्रिभुज की भुजाओं के समीकरण:
$L_1: 6x - 7y = 0$
$L_2: 2x - y = 0$
$L_3: 2x - 3y + 4 = 0$
शीर्ष ज्ञात करने पर:
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $(0, 0)$।
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $(7, 6)$।
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $(1, 2)$।
केंद्रक = $\left(\frac{0+7+1}{3}, \frac{0+6+2}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right)$।

(A) कार्नालाइट का रासायनिक सूत्र $KCl \cdot MgCl_2 \cdot 6H_2O$ है।
यह पोटेशियम क्लोराइड और मैग्नीशियम क्लोराइड से बना एक द्विक लवण है।
अतः,कार्नालाइट में उपस्थित धातु आयन $K^+$ और $Mg^{2+}$ हैं।

(B) $m$ द्रव्यमान के कण के लिए पृथ्वी के अंदर केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण बल $F = -\frac{GMmr}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है।
यह बल विस्थापन $r$ के समानुपाती होता है और केंद्र की ओर कार्य करता है,जो सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए आवश्यक शर्त है। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ बताता है कि गुरुत्वाकर्षण बल दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(F \propto 1/r^2)$। यह न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम है,जो पृथ्वी के बाहर या सतह पर स्थित कणों के लिए सत्य है। हालाँकि,पृथ्वी के अंदर,प्रभावी बल $r$ त्रिज्या के गोले के भीतर निहित द्रव्यमान पर निर्भर करता है,जिससे यह $r$ पर रैखिक रूप से निर्भर करता है।
यद्यपि $(R)$ सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के बारे में एक सत्य कथन है,लेकिन यह यह नहीं समझाता है कि पृथ्वी के अंदर की गति सरल आवर्त क्यों है (जो पृथ्वी के अंदर के रैखिक बल नियम पर निर्भर करती है)। इसलिए,$(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या नहीं है।

(D) फ्रीडल-क्राफ्ट्स एसाइलेशन: इस अभिक्रिया में निर्जल एल्युमिनियम क्लोराइड $(AlCl_3)$ जैसे लुईस अम्ल उत्प्रेरक की उपस्थिति में बेंजीन की अभिक्रिया एसिटाइल क्लोराइड $(CH_3COCl)$ या एसिटिक एनहाइड्राइड के साथ कराई जाती है।
अभिक्रिया इस प्रकार है:
$C_6H_6 + CH_3COCl \xrightarrow{anhydrous \ AlCl_3} C_6H_5COCH_3 + HCl$
अतः,बेंजीन एसिटाइल क्लोराइड $(CH_3COCl)$ के साथ अभिक्रिया करके एसीटोफिनोन बनाता है।

(C) $50\%$ सल्फ्यूरिक एसिड के विद्युत अपघटन और उसके बाद निर्वात आसवन द्वारा $30\%$ हाइड्रोजन पेरोक्साइड का विलयन प्राप्त किया जा सकता है।
विद्युत अपघटन का पहला उत्पाद परडाइसल्फ्यूरिक एसिड $(H_2S_2O_8)$ है,जो आसवन के दौरान पानी के साथ अभिक्रिया करके $H_2O_2$ बनाता है।
$2H_2SO_4 \longrightarrow 2H^+ + 2HSO_4^-$
$2HSO_4^- \longrightarrow H_2S_2O_8 + 2e^-$ (एनोड पर)
$H_2S_2O_8 + 2H_2O \longrightarrow 2H_2SO_4 + H_2O_2$
यहाँ,$X$ का मान $H_2SO_4$ है और $Y$ का मान $H_2S_2O_8$ है।
$H_2SO_4$ में $0$ पेरोक्सी बंध होते हैं,जबकि $H_2S_2O_8$ (मार्शल एसिड) में $1$ पेरोक्सी बंध $(HO_3S-O-O-SO_3H)$ होता है।

(D) माना सेक्टर की त्रिज्या $r$ है और सेक्टर का कोण $\theta$ (रेडियन में) है। चाप की लंबाई $l = r\theta$ है।
परिमाप $P = 2r + r\theta = r(2 + \theta)$.
अतः,$r = \frac{P}{2 + \theta}$.
सेक्टर का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ है।
$r$ का मान रखने पर,$A = \frac{1}{2} \left( \frac{P}{2 + \theta} \right)^2 \theta = \frac{P^2}{2} \cdot \frac{\theta}{(2 + \theta)^2}$.
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करके उसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{P^2}{2} \left[ \frac{(2 + \theta)^2 - \theta \cdot 2(2 + \theta)}{(2 + \theta)^4} \right] = 0$.
$(2 + \theta)^2 - 2\theta(2 + \theta) = 0$.
चूंकि $2 + \theta \neq 0$,इसलिए $2 + \theta - 2\theta = 0$,जिससे $\theta = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब सेक्टर का कोण $2^c$ हो।

(B) दिया गया है $f(x) = e^x \sin x$.
प्रथम अवकलज: $f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$.
द्वितीय अवकलज: $f''(x) = e^x(\sin x + \cos x) + e^x(\cos x - \sin x) = 2e^x \cos x$.
तृतीय अवकलज: $f'''(x) = 2e^x \cos x - 2e^x \sin x = 2e^x(\cos x - \sin x)$.
चतुर्थ अवकलज: $f^{(4)}(x) = 2e^x(\cos x - \sin x) + 2e^x(-\sin x - \cos x) = -4e^x \sin x$.
पंचम अवकलज: $f^{(5)}(x) = -4e^x \sin x - 4e^x \cos x = -4e^x(\sin x + \cos x)$.
षष्ठ अवकलज: $f^{(6)}(x) = -4e^x(\sin x + \cos x) - 4e^x(\cos x - \sin x) = -4e^x \sin x - 4e^x \cos x - 4e^x \cos x + 4e^x \sin x = -8e^x \cos x$.

(B) दिया गया आंशिक भिन्न अपघटन: $\frac{3x+2}{(x+1)(2x^2+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{2x^2+3}$
दोनों पक्षों को $(x+1)(2x^2+3)$ से गुणा करने पर: $3x+2 = A(2x^2+3) + (Bx+C)(x+1)$
$x = -1$ रखने पर: $3(-1)+2 = A(2(-1)^2+3) + 0 \Rightarrow -1 = A(5) \Rightarrow A = -\frac{1}{5}$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $3x+2 = 2Ax^2 + 3A + Bx^2 + Bx + Cx + C = (2A+B)x^2 + (B+C)x + (3A+C)$
गुणांकों की तुलना करने पर:
$x^2$ के लिए: $2A+B = 0 \Rightarrow B = -2A = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$
$x$ के लिए: $B+C = 3 \Rightarrow C = 3 - B = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$
$A+C-B$ की गणना करने पर: $-\frac{1}{5} + \frac{13}{5} - \frac{2}{5} = \frac{13-2-1}{5} = \frac{10}{5} = 2$

(D) $f(x)$ को $x = \frac{\pi}{4}$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} f(x) = f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ होना चाहिए।
यहाँ $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = a$ दिया गया है।
अब,$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1-\sqrt{2} \sin x}{\pi-4x}$.
यह $\frac{0}{0}$ रूप है,इसलिए हम $L$'Hospital नियम का उपयोग करेंगे:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\frac{d}{dx}(1-\sqrt{2} \sin x)}{\frac{d}{dx}(\pi-4x)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-\sqrt{2} \cos x}{-4}$.
$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$= \frac{-\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{-4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$.
चूंकि फलन सतत है,इसलिए $a = \frac{1}{4}$ होगा।

(D) $1$. जब वस्तु एकसमान वेग से नीचे फिसलती है,तो कुल बल शून्य होता है। अतः,गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ गतिज घर्षण $f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$ द्वारा संतुलित होता है। इसलिए,$mg \sin \theta = \mu_k mg \cos \theta$,जिसका अर्थ है $\mu_k = \tan \theta$.
$2$. जब वस्तु को $u$ प्रारंभिक वेग के साथ ऊपर धकेला जाता है,तो वह गुरुत्वाकर्षण और घर्षण दोनों के विरुद्ध गति करती है। मंदन $a = g \sin \theta + \mu_k g \cos \theta = g \sin \theta + (\tan \theta) g \cos \theta = 2g \sin \theta$ है।
$3$. ऊपर रुकने के बाद,वस्तु नीचे फिसलने का प्रयास करती है। नीचे फिसलते समय त्वरण $a' = g \sin \theta - \mu_k g \cos \theta = g \sin \theta - (\tan \theta) g \cos \theta = 0$ होता है। इसका अर्थ है कि वस्तु जहाँ रुकती है,वहीं स्थिर रहेगी।

(D) वक्रों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$xy=2$ $\ldots$ $(i)$
$x^2+4y=0$ $\ldots$ $(ii)$
$(i)$ से,$y = \frac{2}{x}$. इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + 4(\frac{2}{x}) = 0 \Rightarrow x^2 + \frac{8}{x} = 0 \Rightarrow x^3 + 8 = 0 \Rightarrow x^3 = -8 \Rightarrow x = -2$.
$x = -2$ के लिए,$y = \frac{2}{-2} = -1$. अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, -1)$ है।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
$(-2, -1)$ बिंदु पर,$m_1 = -(\frac{-1}{-2}) = -\frac{1}{2}$.
$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 4 \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{4} = -\frac{x}{2}$.
$(-2, -1)$ बिंदु पर,$m_2 = -(\frac{-2}{2}) = 1$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{-\frac{1}{2} - 1}{1 + (-\frac{1}{2})(1)} \right| = \left| \frac{-\frac{3}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{-\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} \right| = |-3| = 3$.
अतः,$\tan \theta = 3$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{3}{x}$ है।
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{x}{3} + \frac{3}{x}) = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}$.
अंतराल $(-3, 3)$ में फलन की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करते हैं:
$f'(x) = \frac{x^2 - 9}{3x^2}$.
चूंकि सभी $x \in (-3, 3)$ और $x \neq 0$ के लिए $x^2 < 9$ होता है,इसलिए अंश $x^2 - 9$ हमेशा ऋणात्मक रहेगा।
चूंकि $x \neq 0$ के लिए $3x^2$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए सभी $x \in (-3, 3) \setminus \{0\}$ के लिए $f'(x) < 0$ है।
अतः,फलन $f(x)$ अंतराल $(-3, 3)$ में ह्रासमान (decreasing) है।

(A) माना $I = \int \frac{dx}{x^2+2x+2}$.
हर को पूर्ण वर्ग बनाकर पुनः लिखने पर:
$x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dx}{(x+1)^2 + 1}$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = x+1$ और $a = 1$ है:
$I = \tan^{-1}(x+1) + c$.
चूँकि $I = f(x) + c$ दिया गया है,इसलिए $f(x) = \tan^{-1}(x+1)$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \sqrt{\frac{x}{a^3-x^3}} \, dx$.
इसे हल करने के लिए,हम समाकल्य को पुनः लिखते हैं:
$I = \int \sqrt{\frac{x}{a^3(1 - (x/a)^{3})}} \, dx = \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{a^3} \sqrt{1 - (x^{3/2}/a^{3/2})^2}} \, dx$.
माना $u = \left(\frac{x}{a}\right)^{3/2} = \sqrt{\frac{x^3}{a^3}}$.
तब $du = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{x}{a^3}} \, dx$,जिसका अर्थ है कि $\sqrt{\frac{x}{a^3}} \, dx = \frac{2}{3} \, du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{2}{3} \, du = \frac{2}{3} \sin^{-1}(u) + c$.
$u = \sqrt{\frac{x^3}{a^3}}$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^3}{a^3}}\right) + c$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $g(x) + c$ से करने पर,$g(x) = \frac{2}{3} \sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^3}{a^3}}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि $I = \int_{-1}^1 \frac{\cosh x}{1+e^{2 x}} d x$.
चूंकि $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$,हम इसे समाकल में प्रतिस्थापित करते हैं:
$I = \int_{-1}^1 \frac{e^x + e^{-x}}{2(1 + e^{2x})} d x$.
अंश को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{e^x(1 + e^{-2x})}{2(1 + e^{2x})} = \frac{e^x(1 + \frac{1}{e^{2x}})}{2(1 + e^{2x})} = \frac{e^x(\frac{e^{2x} + 1}{e^{2x}})}{2(1 + e^{2x})} = \frac{e^x}{2e^{2x}} = \frac{1}{2e^x} = \frac{1}{2}e^{-x}$.
अतः,$I = \int_{-1}^1 \frac{1}{2}e^{-x} d x$.
$I = \frac{1}{2} \left[ -e^{-x} \right]_{-1}^1$.
$I = -\frac{1}{2} (e^{-1} - e^1) = \frac{1}{2} (e^1 - e^{-1}) = \frac{e - \frac{1}{e}}{2} = \frac{e^2 - 1}{2e}$.

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\tan ^3 x}$.
हम जानते हैं कि $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,इसलिए $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3 x}{\sin ^3 x+\cos ^3 x} d x$ ...$(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3(\pi/2 - x)}{\sin ^3(\pi/2 - x) + \cos ^3(\pi/2 - x)} d x$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^3 x}{\cos ^3 x + \sin ^3 x} d x$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3 x + \sin ^3 x}{\sin ^3 x + \cos ^3 x} d x$
$2I = \int_0^{\pi / 2} 1 d x = [x]_0^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2}$
अतः,$I = \frac{\pi}{4}$.