AP EAMCET 2006 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया है कि अंतराल $[0, 6]$ को $n = 6$ समान भागों में विभाजित किया गया है।
प्रत्येक उप-अंतराल की चौड़ाई $h = \frac{b-a}{n} = \frac{6-0}{6} = 1$ है।
$x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ पर $f(x) = x^3$ के मान इस प्रकार हैं:
$y_0 = f(0) = 0^3 = 0$
$y_1 = f(1) = 1^3 = 1$
$y_2 = f(2) = 2^3 = 8$
$y_3 = f(3) = 3^3 = 27$
$y_4 = f(4) = 4^3 = 64$
$y_5 = f(5) = 5^3 = 125$
$y_6 = f(6) = 6^3 = 216$
ट्रेपेज़ॉइडल नियम के अनुसार:
$\int_0^6 x^3 dx \approx \frac{h}{2} \{y_0 + y_6 + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5)\}$
$= \frac{1}{2} \{0 + 216 + 2(1 + 8 + 27 + 64 + 125)\}$
$= \frac{1}{2} \{216 + 2(225)\}$
$= \frac{1}{2} \{216 + 450\}$
$= \frac{666}{2} = 333$.

(A) दिया गया समीकरण $x^y = y^x$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $y \log x = x \log y$ प्राप्त होता है।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए $x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} + \log y$.
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} \left( \log x - \frac{x}{y} \right) = \log y - \frac{y}{x}$.
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{y \log x - x}{y} \right) = \frac{x \log y - y}{x}$.
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करके व्यवस्थित करने पर:
$x \left( \frac{y \log x - x}{y} \right) \frac{dy}{dx} = x \log y - y$.
वांछित रूप प्राप्त करने के लिए $-1$ से गुणा करने पर:
$x \left( \frac{x - y \log x}{y} \right) \frac{dy}{dx} = y - x \log y$.
अतः,$x(x - y \log x) \frac{dy}{dx} = y(y - x \log y)$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2+y^2) dx = 2xy dy$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+y^2}{2xy}$ प्राप्त होता है।
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + (vx)^2}{2x(vx)} = \frac{x^2(1+v^2)}{2x^2v} = \frac{1+v^2}{2v}$।
$x \frac{dv}{dx} = \frac{1+v^2}{2v} - v = \frac{1+v^2-2v^2}{2v} = \frac{1-v^2}{2v}$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{1-v^2} dv = \frac{1}{x} dx$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{2v}{1-v^2} dv = \int \frac{1}{x} dx$।
माना $1-v^2 = t$,तब $-2v dv = dt$।
$-\int \frac{dt}{t} = \log|x| + \log|c|$।
$-\log|1-v^2| = \log|cx|$।
$\log|\frac{1}{1-v^2}| = \log|cx| \Rightarrow \frac{1}{1-v^2} = cx$।
$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\frac{1}{1-(y^2/x^2)} = cx \Rightarrow \frac{x^2}{x^2-y^2} = cx$।
$x = c(x^2-y^2)$।

(B) द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,हमारे पास $4^n = (1+3)^n$ है।
द्विपद प्रमेय के अनुसार,$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots + x^n$ होता है।
$x=3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4^n = 1 + 3n + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot 3^2 + \dots + 3^n$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$4^n - 3n - 1 = \frac{n(n-1)}{2} \cdot 9 + \dots + 3^n$ प्राप्त होता है।
चूंकि दाईं ओर के प्रत्येक पद में $9$ का एक गुणनखंड है,इसलिए $4^n - 3n - 1$ सभी पूर्णांकों $n \geq 1$ के लिए $9$ से विभाज्य है।

(D) माना $\overrightarrow{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ है।
दिया गया है $\overrightarrow{a} \cdot \hat{i} = 1$,अतः $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot \hat{i} = 1$,जिसका अर्थ है $a_1 = 1$ है।
आगे,$\overrightarrow{a} \cdot (2 \hat{i} + \hat{j}) = 1$,अतः $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + \hat{j}) = 1$ है।
इससे $2a_1 + a_2 = 1$ प्राप्त होता है। $a_1 = 1$ रखने पर,हमें $2(1) + a_2 = 1$ मिलता है,अतः $a_2 = -1$ है।
अंत में,$\overrightarrow{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) = 1$,अतः $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) = 1$ है।
इससे $a_1 + a_2 + 3a_3 = 1$ प्राप्त होता है। $a_1 = 1$ और $a_2 = -1$ रखने पर,हमें $1 - 1 + 3a_3 = 1$ मिलता है,जिसका अर्थ है $3a_3 = 1$,अतः $a_3 = \frac{1}{3}$ है।
इस प्रकार,$\overrightarrow{a} = \hat{i} - \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k} = \frac{1}{3}(3 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k})$ है।

(B) दो बिंदुओं,जिनके स्थिति सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं,को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित किसी बिंदु का स्थिति सदिश विभाजन सूत्र $\vec{r} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $t$ एक अदिश है।
यदि हम मध्य-बिंदु (जहाँ $t = 0.5$) पर विचार करें,तो स्थिति सदिश होगा:
$\vec{r} = \frac{(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) + (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})}{2}$
$= \frac{2\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}}{2}$
$= \hat{i}$
अतः,मध्य-बिंदु का स्थिति सदिश $\hat{i}$ है।

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $A$ और $B^c$ भी स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
$P(B) = \frac{2}{7}$,इसलिए $P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$।
हमें $P(A \cup B^c) = 0.8$ दिया गया है।
सूत्र $P(A \cup B^c) = P(A) + P(B^c) - P(A \cap B^c)$ और स्वतंत्रता के गुण $P(A \cap B^c) = P(A) \cdot P(B^c)$ का उपयोग करने पर:
$0.8 = P(A) + \frac{5}{7} - P(A) \cdot \frac{5}{7}$
$0.8 - \frac{5}{7} = P(A) \cdot (1 - \frac{5}{7})$
$\frac{5.6 - 5}{7} = P(A) \cdot \frac{2}{7}$
$\frac{0.6}{7} = P(A) \cdot \frac{2}{7}$
$P(A) = \frac{0.6}{2} = 0.3$।

(D) माना कि दो साबुन के बुलबुलों की त्रिज्याएँ क्रमशः $a$ और $b$ हैं और परिणामी बड़े बुलबुले की त्रिज्या $c$ है।
साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दाब $\Delta P = \frac{4 T}{r}$ होता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ त्रिज्या है।
बुलबुलों का आंतरिक दाब $P_a = P + \frac{4 T}{a}$,$P_b = P + \frac{4 T}{b}$,और $P_c = P + \frac{4 T}{c}$ है।
समतापीय स्थिति और हवा के मोलों के संरक्षण के नियम के अनुसार,$P_a V_a + P_b V_b = P_c V_c$ होगा।
आयतन $V_a = \frac{4}{3} \pi a^3$,$V_b = \frac{4}{3} \pi b^3$,और $V_c = \frac{4}{3} \pi c^3$ रखने पर:
$(P + \frac{4 T}{a})(\frac{4}{3} \pi a^3) + (P + \frac{4 T}{b})(\frac{4}{3} \pi b^3) = (P + \frac{4 T}{c})(\frac{4}{3} \pi c^3)$.
सरल करने पर,$P(a^3 + b^3 - c^3) + 4 T(a^2 + b^2 - c^2) = 0$.
आयतन में परिवर्तन $V = V_c - (V_a + V_b) = \frac{4}{3} \pi (c^3 - a^3 - b^3)$,इसलिए $a^3 + b^3 - c^3 = -\frac{3 V}{4 \pi}$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $A = 4 \pi c^2 - (4 \pi a^2 + 4 \pi b^2) = 4 \pi (c^2 - a^2 - b^2)$,इसलिए $a^2 + b^2 - c^2 = -\frac{A}{4 \pi}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $P(-\frac{3 V}{4 \pi}) + 4 T(-\frac{A}{4 \pi}) = 0$.
$-4 \pi$ से गुणा करने पर,हमें $3 P V + 4 T A = 0$ प्राप्त होता है।

(C) तन्य पदार्थ वे पदार्थ होते हैं जिन्हें खींचकर पतले तारों में बदला जा सकता है। यह गुण इस तथ्य के कारण है कि वे टूटने से पहले बड़े प्लास्टिक विरूपण (plastic deformation) से गुजरते हैं।
तन्य धातुओं के प्रतिबल-विकृति वक्र में,प्रत्यास्थ सीमा और भंजन बिंदु (fracture point) के बीच का क्षेत्र बहुत बड़ा होता है,न कि छोटा। यह बड़ा प्लास्टिक क्षेत्र पदार्थ को टूटे बिना काफी हद तक खिंचने की अनुमति देता है।
इसलिए,कथन $(A)$ सत्य है,लेकिन कारण $(R)$ असत्य है।

(A) सिलिका $(SiO_2)$ का उपयोग इसकी उच्च पारदर्शिता और तापीय स्थिरता के कारण ऑप्टिकल उपकरणों को बनाने के लिए किया जाता है.

(C) ऑक्सेलिक एसिड $(H_2C_2O_4)$ और अम्लीकृत $KMnO_4$ के बीच अभिक्रिया का संतुलित समीकरण:
$2MnO_4^- + 5H_2C_2O_4 + 6H^+ \rightarrow 2Mn^{2+} + 10CO_2 + 8H_2O$
स्टोइकियोमेट्री के अनुसार,$5$ मोल $H_2C_2O_4$,$2$ मोल $MnO_4^-$ के साथ अभिक्रिया करते हैं।
संबंध $n_{H_2C_2O_4} / 5 = n_{MnO_4^-} / 2$ का उपयोग करते हुए:
$(40 \times 10^{-3} \times x) / 5 = (16 \times 10^{-3} \times 0.05) / 2$
$8 \times 10^{-3} \times x = 4 \times 10^{-4}$
$x = (4 \times 10^{-4}) / (8 \times 10^{-3}) = 0.05 \ M$
ऑक्सेलिक एसिड एक द्वि-प्रोटोनिक एसिड है: $H_2C_2O_4 \rightarrow 2H^+ + C_2O_4^{2-}$.
पूर्ण वियोजन मानते हुए,$[H^+] = 2 \times [H_2C_2O_4] = 2 \times 0.05 = 0.1 \ M$.
$pH = -\log[H^+] = -\log(0.1) = 1$.

(A) $1$. विकल्प $A$ में,अभिक्रिया $AlCl_3 + 3NaOH \longrightarrow Al(OH)_3(s) + 3NaCl(aq)$ है। यह अभिक्रिया एल्युमिनियम हाइड्रॉक्साइड का अवक्षेप और जलीय सोडियम क्लोराइड बनाती है; कोई गैस मुक्त नहीं होती है।
$2$. विकल्प $B$ में,सफेद फास्फोरस $NaOH$ के साथ अभिक्रिया करके फॉस्फीन गैस $(PH_3)$ उत्पन्न करता है।
$3$. विकल्प $C$ में,एल्युमिनियम $NaOH$ के साथ अभिक्रिया करके सोडियम एल्युमिनेट और हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ उत्पन्न करता है।
$4$. विकल्प $D$ में,जिंक $NaOH$ के साथ अभिक्रिया करके सोडियम जिंकेट और हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ उत्पन्न करता है।
अतः,वह अभिक्रिया जिसमें गैसीय उत्पाद मुक्त नहीं होता है,वह $A$ है।

(D) ओजोन निर्माण के लिए रासायनिक अभिक्रिया है: $3O_2(g) \rightarrow 2O_3(g)$.
मान लीजिए $O_2$ का प्रारंभिक आयतन $100 \ L$ है।
मान लीजिए $x \ L$ $O_2$ ओजोन में परिवर्तित हो जाता है।
स्टोइकोमेट्री के अनुसार,$3 \ L$ $O_2$ से $2 \ L$ $O_3$ बनता है।
इसलिए,$x \ L$ $O_2$ से $\frac{2}{3}x \ L$ $O_3$ बनेगा।
$O_2$ का शेष आयतन $(100 - x) \ L$ है।
निर्मित $O_3$ का आयतन $\frac{2}{3}x \ L$ है।
दिया गया है कि $O_2$ और $O_3$ का आयतन बराबर हो जाता है:
$100 - x = \frac{2}{3}x$
$100 = x + \frac{2}{3}x = \frac{5}{3}x$
$x = \frac{100 \times 3}{5} = 60 \ L$.
निर्मित ओजोन का आयतन $\frac{2}{3}x = \frac{2}{3} \times 60 = 40 \ L$ है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,इसे $V = (\frac{nR}{P})T$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक सीधी रेखा का समीकरण $V = mT$ है,जहाँ ढाल $m = \frac{nR}{P}$ है।
चूँकि $n$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए ढाल दाब के व्युत्क्रमानुपाती है $(m \propto \frac{1}{P})$।
दिए गए ग्राफ से,रेखाओं की ढाल का क्रम $m_2 > m_3 > m_1$ है।
अतः,दाब का सही क्रम $P_1 > P_3 > P_2$ है।

(A) दिया गया है: $E = 3 \times 10^{-12} \ erg$,$h = 6.62 \times 10^{-27} \ erg \cdot s$,$c = 3 \times 10^{10} \ cm/s$.
सूत्र $E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करने पर,$\lambda = \frac{hc}{E}$.
$\lambda = \frac{6.62 \times 10^{-27} \times 3 \times 10^{10}}{3 \times 10^{-12}} \ cm$.
$\lambda = 6.62 \times 10^{-5} \ cm$.
चूंकि $1 \ cm = 10^7 \ nm$,इसलिए $\lambda = 6.62 \times 10^{-5} \times 10^7 \ nm = 6.62 \times 10^2 \ nm = 662 \ nm$.

(A) हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार: $\Delta x \cdot m \cdot \Delta v = \frac{h}{4 \pi}$.
मान लीजिए कण $A$ का द्रव्यमान $m_A = m$ है और कण $B$ का द्रव्यमान $m_B = 5m$ है।
वेग में अनिश्चितताएँ $\Delta v_A = 0.05 \ m \ s^{-1}$ और $\Delta v_B = 0.02 \ m \ s^{-1}$ हैं।
कण $A$ के लिए: $\Delta x_A \cdot m \cdot 0.05 = \frac{h}{4 \pi} \dots (i)$.
कण $B$ के लिए: $\Delta x_B \cdot 5m \cdot 0.02 = \frac{h}{4 \pi} \dots (ii)$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\Delta x_A \cdot m \cdot 0.05 = \Delta x_B \cdot 5m \cdot 0.02$.
$\Delta x_A \cdot 0.05 = \Delta x_B \cdot 0.10$.
$\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \frac{0.10}{0.05} = 2$.

(D) एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H)$ और आंतरिक ऊर्जा परिवर्तन $(\Delta E)$ के बीच संबंध $\Delta H = \Delta E + \Delta n_g RT$ है।
$\Delta H \neq \Delta E$ के लिए,गैसीय मोलों की संख्या में परिवर्तन $(\Delta n_g)$ $0$ के बराबर नहीं होना चाहिए।
$(A)$ $\Delta n_g = 1 - 1 = 0$.
$(B)$ $\Delta n_g = 2 - (1 + 1) = 0$.
$(C)$ $\Delta n_g = 2 - (1 + 1) = 0$.
$(D)$ $\Delta n_g = 1 - (1 + 0.5) = -0.5$.
चूंकि विकल्प $D$ के लिए $\Delta n_g \neq 0$ है,इसलिए इस अभिक्रिया के लिए $\Delta H \neq \Delta E$ है।

(D) एक आयनिक क्रिस्टल की जालक ऊर्जा $(U)$ उस ऊर्जा के रूप में परिभाषित की जाती है जो गैसीय आयनों के एक मोल ठोस आयनिक क्रिस्टल बनाने के लिए संयोजित होने पर मुक्त होती है।
Born-Landé समीकरण के अनुसार,जालक ऊर्जा अंतर-आयनिक दूरी $(r_0)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
चूंकि अंतर-आयनिक दूरी $r_0$ धनायन $(r_c)$ और ऋणायन $(r_a)$ की आयनिक त्रिज्याओं का योग है,इसलिए $r_0 = r_c + r_a$ होता है।
अतः,जालक ऊर्जा $U$,$\frac{1}{(r_c + r_a)}$ के समानुपाती होती है।