AIPMT 2003 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે કૂદકો મારતી વ્યક્તિ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H_{\max} = \frac{u^2}{2g}$ છે.
બંને કૂદકા માટે પ્રારંભિક વેગ $u$ સમાન હોવાથી,$H_{\max} \propto \frac{1}{g}$ થાય.
ધારો કે $g_A$ અને $g_B$ એ અનુક્રમે ગ્રહ $A$ અને $B$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે. આપણને આપેલ છે કે $g_A = 9g_B$.
ધારો કે $H_A = 2 \ m$ એ ગ્રહ $A$ પરની ઊંચાઈ છે અને $H_B$ એ ગ્રહ $B$ પરની ઊંચાઈ છે.
પ્રમાણસરતા $H_A g_A = H_B g_B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $H_B = H_A \left( \frac{g_A}{g_B} \right)$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$H_B = 2 \times 9 = 18 \ m$ મળે.

(D) ક્રમિક ફેંકવા વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t = 2\,s$ છે.
કોઈપણ સમયે બે કરતા વધારે દડા હવામાં રહે તે માટે,પ્રથમ દડાનો ઉડ્ડયન સમય $(T)$ એ ત્રીજો દડો ફેંકવામાં આવે તે સમય કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
પ્રથમ દડો $t = 0$ સમયે ફેંકવામાં આવે છે.
બીજો દડો $t = 2\,s$ સમયે ફેંકવામાં આવે છે.
ત્રીજો દડો $t = 4\,s$ સમયે ફેંકવામાં આવે છે.
જ્યારે ત્રીજો દડો ફેંકવામાં આવે ત્યારે પ્રથમ દડો હવામાં રહે તે માટે,તેનો ઉડ્ડયન સમય $T > 4\,s$ હોવો જોઈએ.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u}{g}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{2u}{9.8} > 4$
$2u > 39.2$
$u > 19.6\,m/s$.
તેથી,ફેંકવાની ઝડપ $19.6\,m/s$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ.

(A) શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડાની ગતિ સંમિત હોય છે. દડા દ્વારા તેની ઉપરની ગતિના છેલ્લા $t$ સેકન્ડ દરમિયાન કપાયેલું અંતર,તે મહત્તમ ઊંચાઈએથી નીચેની તરફની ગતિના પ્રથમ $t$ સેકન્ડમાં કપાયેલા અંતર જેટલું જ હોય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,નીચેની તરફની ગતિ માટે પ્રારંભિક વેગ $u_{down} = 0$ છે.
નીચેની તરફની ગતિ માટે ગતિના સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
અહીં,$u = 0$,$a = g$,અને સમય $= t$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$h = (0)t + \frac{1}{2}gt^2$
$h = \frac{1}{2}gt^2$
તેથી,તેની ઉપરની ગતિના છેલ્લા $t$ સેકન્ડ દરમિયાન કપાયેલું અંતર $\frac{1}{2}gt^2$ છે.

(C) જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા સમાન પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી વજન $R$ (વજન કાંટા પરનું રીડિંગ) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R = m(g + a)$
આપેલ છે:
માણસનું દળ,$m = 80\,kg$
લિફ્ટનો પ્રવેગ,$a = 5\,m/s^2$
ગુરુત્વ પ્રવેગ,$g = 10\,m/s^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$R = 80 \times (10 + 5)$
$R = 80 \times 15$
$R = 1200\,N$
તેથી,વજન કાંટા પરનું રીડિંગ $1200\,N$ હશે.

(C) દોરી સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ તણાવ $25\,kg$ દળના વજન જેટલું હોય છે: $T_{max} = 25 \times g = 25 \times 10 = 250\,N$.
જ્યારે $m = 20\,kg$ દળનો વાંદરો $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર ચઢે છે,ત્યારે દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ: $T = m(g + a)$.
મહત્તમ પ્રવેગ શોધવા માટે,આપણે તણાવને બ્રેકિંગ ફોર્સ જેટલું લઈએ છીએ: $20(10 + a) = 250$.
બંને બાજુ $20$ વડે ભાગતા: $10 + a = 12.5$.
તેથી,$a = 12.5 - 10 = 2.5\,m/s^2$.

(D) સ્પ્રિંગને $x$ અંતર સુધી ખેંચવાથી તેમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}kx^2$ છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $U \propto x^2$.
આપેલ છે કે $x_1 = 0.02\, m$ માટે,સ્થિતિ ઊર્જા $U_1 = U$ છે.
$x_2 = 0.1\, m$ માટે,ધારો કે સ્થિતિ ઊર્જા $U_2$ છે.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{x_2}{x_1} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{U_2}{U} = \left( \frac{0.1}{0.02} \right)^2 = (5)^2 = 25$.
તેથી,$U_2 = 25U$.

(D) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતમાં કણ સ્થિર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
તેથી,બંને કણોના વેગમાનના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $p_1 = p_2 = p$.
કોઈપણ કણની ગતિઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{p^2}{2m}$ છે.
અહીં વેગમાન $p$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto \frac{1}{m}$.
આમ,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{m_2}{m_1}$ થશે.

(A) $r$ અંતરે રહેલા $m$ અને $M$ દળના બે પદાર્થો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ $F = G \frac{mM}{r^2}$ છે.
આ બળ માત્ર પદાર્થોના દળ અને તેમની વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે.
સ્થિત વિદ્યુત બળથી વિપરીત,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તે માધ્યમથી સ્વતંત્ર છે જેમાં પદાર્થો રાખવામાં આવ્યા છે.
તેથી,જ્યારે દળની આસપાસની જગ્યા પ્રવાહીથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે પણ ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આમ,નવું બળ $F$ રહેશે.

(C) સમાન જાડાઈ $d$ અને ઉષ્મા વાહકતા $K_1$ અને $K_2$ ધરાવતા બે પદાર્થોના શ્રેણી જોડાણવાળા સંયુક્ત સ્લેબ માટે,સમતુલ્ય ઉષ્મા વાહકતા $K_{eq}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$K_{eq} = \frac{2K_1K_2}{K_1 + K_2}$
અહીં $K_1 = K$ અને $K_2 = 2K$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$K_{eq} = \frac{2(K)(2K)}{K + 2K}$
$K_{eq} = \frac{4K^2}{3K}$
$K_{eq} = \frac{4}{3}K$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) પ્રેવોસ્ટના ઉષ્મા વિનિમયના સિદ્ધાંત મુજબ,દરેક પદાર્થ તમામ તાપમાને ($T = 0 \ K$ થી ઉપર) સતત ઉષ્મીય વિકિરણનું ઉત્સર્જન અને શોષણ કરે છે.
માનવ શરીરનું તાપમાન આશરે $37^{\circ}C$ $(310 \ K)$ હોવાથી,તે તેના તાપમાનને અનુરૂપ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે.
વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$310 \ K$ તાપમાને રહેલા પદાર્થ માટે મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઇ વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારમાં આવે છે.
તેથી,માનવ શરીર દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારમાં હોય છે.

(B) સરળ આવર્ત દોલકની $y$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2}m\omega^2y^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દોલકની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2}m\omega^2a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
સ્થિતિ ઉર્જા અને કુલ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U}{E} = \frac{\frac{1}{2}m\omega^2y^2}{\frac{1}{2}m\omega^2a^2} = \frac{y^2}{a^2}$ થાય છે.
આપેલ છે કે કણ તેના અંતિમ બિંદુથી અડધા અંતરે છે,તેથી સ્થાનાંતર $y = \frac{a}{2}$ છે.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,આપણને $\frac{U}{E} = \frac{(\frac{a}{2})^2}{a^2} = \frac{a^2/4}{a^2} = \frac{1}{4}$ મળે છે.
તેથી,$U = \frac{1}{4}E$.

(B) સ્પ્રિંગ અચળાંક $K$ ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે લટકાવેલા $m$ દળનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $L$ લંબાઈ અને $K$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને $n$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $K' = nK$ થાય છે.
અહીં,સ્પ્રિંગને $4$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવી છે,તેથી $n = 4$. આમ,એક ભાગનો નવો સ્પ્રિંગ અચળાંક $K' = 4K$ થશે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K'}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{4K}}$ દ્વારા મળે છે.
આનું સાદુંરૂપ આપતા,આપણને $T' = \frac{1}{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}} = \frac{T}{2}$ મળે છે.

(D) બળજબરીપૂર્વકના દોલનોમાં,અનુનાદ સમયે દોલનનો કંપવિસ્તાર $A = \frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega^2 - \omega_0^2)^2 + b^2\omega^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ અવમંદન અચળાંક છે.
જ્યારે અવમંદન બળ નાનું હોય (એટલે કે $b$ નાનું હોય),ત્યારે અનુનાદ સમયે છેદ ખૂબ જ નાનો બને છે (જ્યાં $\omega \approx \omega_0$),જેના પરિણામે કંપવિસ્તાર ખૂબ મોટો મળે છે.
વધુમાં,અનુનાદ વક્રની તીક્ષ્ણતા એ અવમંદનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. નાનું અવમંદન બળ વધુ સાંકડો અને ઊંચો અનુનાદ શિખર આપે છે,જે અનુનાદ વક્રને વધુ તીક્ષ્ણ બનાવે છે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણની સ્થિતિ ઊર્જા $(PE)$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
જ્યાં $m$ એ દળ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $x$ એ સંતુલન સ્થાન $O$ થી સ્થાનાંતર છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે સ્થિતિ ઊર્જા સ્થાનાંતર $x$ સાથે પરવલયાકાર રીતે બદલાય છે.
મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ પર,સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય હોય છે.
અંતિમ સ્થાનો ($x = x_1$ અને $x = x_2$) પર,સ્થિતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય છે.
તેથી,સ્થિતિ ઊર્જા વિરુદ્ધ સ્થાનાંતરનો આલેખ એ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $O$ પર છે,જે આલેખ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(A) રીંગની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_i = MR^2$ છે. પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_i \omega = MR^2 \omega$ છે.
જ્યારે $m$ દળના ચાર પદાર્થોને રીંગ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = MR^2 + 4(mR^2) = (M + 4m)R^2$ થાય છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે: $L_i = L_f$.
$MR^2 \omega = (M + 4m)R^2 \omega'$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega'$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $\omega' = \frac{MR^2 \omega}{(M + 4m)R^2} = \frac{M\omega}{M + 4m}$.

(B) સરક્યા વગર ગબડતા દડા માટે,ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યાં $I = MK^2$ અને $\omega = \frac{v}{R}$ હોવાથી,$K_{rot} = \frac{1}{2} MK^2 \frac{v^2}{R^2}$ મળે.
સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2} Mv^2$ છે.
કુલ ગતિ ઉર્જા $E$ એ ચાકગતિ અને સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{2} MK^2 \frac{v^2}{R^2} + \frac{1}{2} Mv^2 = \frac{1}{2} Mv^2 \left( \frac{K^2}{R^2} + 1 \right) = \frac{1}{2} Mv^2 \left( \frac{K^2 + R^2}{R^2} \right)$.
ચાકગતિ ઉર્જા સાથે સંકળાયેલ કુલ ઉર્જાનો અંશ $\frac{K_{rot}}{E}$ છે:
$\text{અંશ} = \frac{\frac{1}{2} MK^2 \frac{v^2}{R^2}}{\frac{1}{2} Mv^2 \left( \frac{K^2 + R^2}{R^2} \right)} = \frac{K^2}{K^2 + R^2}$.

(B) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે,યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા એ તળિયે રહેલી સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
નક્કર નળાકાર માટે,તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સરક્યા વિના ગબડવા માટે,$\omega = \frac{v}{R}$ થાય.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{v}{R})^2$
$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{4}Mv^2$
$Mgh = \frac{3}{4}Mv^2$
$v^2 = \frac{4}{3}gh$
$v = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$.
અહીં,$T_1$ એ ઊંચું તાપમાન છે અને $T_2$ એ નીચું તાપમાન છે (કેલ્વિનમાં).
$T_1 = 227 + 273 = 500\,K$.
$T_2 = 127 + 273 = 400\,K$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{400}{500} = 1 - 0.8 = 0.2$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W}{Q_1}$ હોવાથી,જ્યાં $W$ એ થયેલું કાર્ય છે અને $Q_1$ એ ઊંચા તાપમાને શોષાયેલી ઉષ્મા છે:
$W = \eta \times Q_1 = 0.2 \times 6\,kcal = 1.2\,kcal$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = \frac{20}{\pi} \, m$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = 0$,અને કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 2 \times (2 \pi) = 4 \pi \, rad$ (કારણ કે તે બે પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે).
અંતિમ રેખીય વેગ $v = 80 \, m/s$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = \frac{v}{r} = \frac{80}{20/\pi} = 4 \pi \, rad/s$ છે.
ભ્રમણ ગતિના સમીકરણ $\omega_f^2 = \omega_i^2 + 2 \alpha \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(4 \pi)^2 = 0^2 + 2 \alpha (4 \pi)$
$16 \pi^2 = 8 \pi \alpha$
$\alpha = 2 \pi \, rad/s^2$.
સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = r \alpha = \left( \frac{20}{\pi} \right) \times (2 \pi) = 40 \, m/s^2$ થાય.

(A) જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ધ્વનિના ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અવલોકનકારને સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિમાં વધારો થાય છે.
ડોપ્લર અસર માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $f^{\prime} = f \left( \frac{v + v_0}{v - v_s} \right)$ છે.
અહીં ઉદગમ સ્થિર હોવાથી,$v_s = 0$ થશે.
આપેલ છે કે અવલોકનકારની ઝડપ $v_0 = \frac{v}{5}$ છે,તેથી આભાસી આવૃત્તિ $f^{\prime}$ નીચે મુજબ મળે:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v + \frac{v}{5}}{v} \right) = f \left( \frac{1.2v}{v} \right) = 1.2 f$.
ધ્વનિ તરંગોની તરંગલંબાઈ માત્ર ઉદગમ અને માધ્યમ પર આધાર રાખે છે. ઉદગમ સ્થિર હોવાથી અને માધ્યમ બદલાતું ન હોવાથી,અવલોકનકાર સુધી પહોંચતી તરંગલંબાઈ $\lambda$ જ રહેશે.
તેથી,અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $1.2 f$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે.

(C) ધારો કે બે બળો સદિશ સ્વરૂપે $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે.
તેમનો સદિશ સરવાળો $(\vec{A} + \vec{B})$ છે અને તેમનો સદિશ તફાવત $(\vec{A} - \vec{B})$ છે.
જેમ કે સદિશ સરવાળો અને સદિશ તફાવત એકબીજાને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = 0$
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{A} \cdot \vec{A} - \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B} \cdot \vec{B} = 0$
કારણ કે ડોટ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે,$\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$,તેથી પદો રદ થાય છે:
$|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2 = 0$
$|\vec{A}|^2 = |\vec{B}|^2$
$|\vec{A}| = |\vec{B}|$
તેથી,બંને બળોના મૂલ્યો સમાન છે.

(C) ન્યુક્લિયસ (વીજભાર $+e$) અને ઇલેક્ટ્રોન (વીજભાર $-e$) વચ્ચેનું કુલંબ બળ કુલંબના નિયમ મુજબ મળે છે: $\overrightarrow{F} = K \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}$.
$q_1 = +e$ અને $q_2 = -e$ મૂકતા,આપણને મળે $\overrightarrow{F} = K \frac{(+e)(-e)}{r^2} \hat{r} = -K \frac{e^2}{r^2} \hat{r}$.
એકમ સદિશ $\hat{r} = \frac{\vec{r}}{r}$ હોવાથી,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{F} = -K \frac{e^2}{r^2} \left( \frac{\vec{r}}{r} \right) = -K \frac{e^2}{r^3} \vec{r}$.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q$ ને ઘનના કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ફ્લક્સ ઘનની તમામ $6$ સપાટીઓમાંથી સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,કોઈપણ એક સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{face} = \frac{\phi_{total}}{6} = \frac{q}{6\varepsilon_0}$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે મેળવવા માટે,અંશ અને છેદને $4\pi$ વડે ગુણતા:
$\phi_{face} = \frac{q \times 4\pi}{6 \times \varepsilon_0 \times 4\pi} = \frac{4\pi q}{6(4\pi \varepsilon_0)}$.

(B) ધારો કે ત્રણ કેપેસિટર $C_1 = C_2 = C_3 = 4\,\mu F$ છે.
જો આપણે બે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડીએ,તો તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
તેથી,$C_s = 2\,\mu F$.
હવે,જો આપણે આ સંયોજનને ત્રીજા કેપેસિટર $C_3$ સાથે સમાંતરમાં જોડીએ,તો કુલ અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ થશે:
$C_{eq} = C_s + C_3 = 2\,\mu F + 4\,\mu F = 6\,\mu F$.
આમ,બે કેપેસિટરને શ્રેણીમાં અને એકને સમાંતરમાં જોડવાથી $6\,\mu F$ નું અસરકારક કેપેસિટન્સ મળે છે.

(B) વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ સંતુલિત સ્થિતિમાં છે કારણ કે ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન છે $(R/R = R/R)$.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,ગેલ્વેનોમીટર ભુજા $(BD)$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધની ગણતરી માટે ગેલ્વેનોમીટરના અવરોધ $R$ ને અવગણી શકાય છે.
આ પરિપથ બિંદુ $A$ અને $C$ વચ્ચે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે.
ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં બે અવરોધ $R$ છે: $R_{AB} + R_{BC} = R + R = 2R$.
નીચેની શાખામાં શ્રેણીમાં બે અવરોધ $R$ છે: $R_{AD} + R_{CD} = R + R = 2R$.
આ બે શાખાઓ ($2R$ અને $2R$) સમાંતરમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{eq} = \frac{(2R \times 2R)}{(2R + 2R)} = \frac{4R^2}{4R} = R$.

(C) ફ્યુઝ વાયર એ વિદ્યુત પરિપથને વધુ પડતા પ્રવાહથી બચાવવા માટે વપરાતું સુરક્ષા સાધન છે.
જૂલના ઉષ્માના નિયમ મુજબ,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = I^2Rt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે,$R$ એ અવરોધ છે અને $t$ એ સમય છે.
જ્યારે પ્રવાહ સુરક્ષિત મર્યાદા કરતા વધી જાય ત્યારે ફ્યુઝ ઝડપથી પીગળી જાય તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,તેનો અવરોધ ઉચ્ચ હોવો જોઈએ (જેથી વધુ ઉષ્મા ઉત્પન્ન થાય) અને ગલનબિંદુ નીચું હોવું જોઈએ (જેથી તે સરળતાથી પીગળી જાય).
તેથી,ફ્યુઝ વાયરના પદાર્થમાં ઉચ્ચ વિશિષ્ટ અવરોધ અને નીચું ગલનબિંદુ હોવું જોઈએ.

(A) લાંબા સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_0 n i$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ બમણો કરવામાં આવે,ત્યારે નવો વિદ્યુતપ્રવાહ $i' = 2i$ થાય છે.
જ્યારે પ્રતિ સેમી આંટાની સંખ્યા અડધી કરવામાં આવે,ત્યારે એકમ લંબાઈ દીઠ નવી આંટાની સંખ્યા $n' = n/2$ થાય છે.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = \mu_0 n' i' = \mu_0 (n/2) (2i) = \mu_0 n i$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$B' = B$ થાય છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા ગજિયા ચુંબક માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{12}$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{ml^2}{12MB}}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે $T \propto \sqrt{m}$.
જો દળ $m$ ને ચાર ગણું $(m' = 4m)$ કરવામાં આવે,તો નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{4ml^2}{12MB}} = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{ml^2}{12MB}}) = 2T$ થાય છે.
ગતિ $S.H.M.$ જ રહે છે કારણ કે નાના દોલનો માટે પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -MB \sin \theta \approx -MB \theta$ થાય છે.

(D) ક્યુરીના નિયમ મુજબ,પેરામેગ્નેટિક પદાર્થ માટે,ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને $\chi \propto \frac{1}{T}$ અથવા $\chi = \frac{C}{T}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $C$ એ ક્યુરી અચળાંક છે.
તેથી,ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\frac{1}{T}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.

(C) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નિર્બળ રીતે અપાકર્ષાય છે. જ્યારે તેમને અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ એક એવું બળ અનુભવે છે જે તેમને ચુંબકીય ક્ષેત્રની ઓછી તીવ્રતા ધરાવતા વિસ્તાર તરફ ધકેલે છે. તેથી,ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થ ચુંબકીય ક્ષેત્રના પ્રબળ ભાગથી નિર્બળ ભાગ તરફ ગતિ કરે છે.

(D) હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા છે,$n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે અને $Z$ એ પરમાણુ ક્રમાંક છે.
પ્રથમ કક્ષા માટે,$n = 1$,તેથી $r_1 \propto \frac{1}{Z}$.
આપેલ સિસ્ટમો માટે પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ ની સરખામણી:
- હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(H)$: $Z = 1$
- ડ્યુટેરિયમ પરમાણુ $(D)$: $Z = 1$
- સિંગલ આયોનાઇઝ્ડ હિલિયમ $(He^+)$: $Z = 2$
- ડબલ આયોનાઇઝ્ડ લિથિયમ $(Li^{2+})$: $Z = 3$
જેમ કે ત્રિજ્યા $r$ એ $Z$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી સૌથી વધુ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતી સિસ્ટમની ત્રિજ્યા લઘુત્તમ હશે.
તેથી,ડબલ આયોનાઇઝ્ડ લિથિયમ $(Z = 3)$ ની ત્રિજ્યા લઘુત્તમ છે.

(D) દળ ક્રમાંક $(A)$ એ ન્યુક્લિયસમાં રહેલા પ્રોટોન $(Z)$ અને ન્યુટ્રોન $(N)$ ની સંખ્યાનો સરવાળો છે,તેથી $A = Z + N$.
હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસ $(_{1}^{1}H)$ માટે,પ્રોટોનની સંખ્યા $1$ છે અને ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $0$ છે,તેથી દળ ક્રમાંક $1$ છે,જે પરમાણુ ક્રમાંક જેટલો છે $(A = Z)$.
અન્ય તમામ ન્યુક્લિયસ માટે,ન્યુટ્રોનની સંખ્યા ઓછામાં ઓછી $1$ કે તેથી વધુ હોય છે,જેના કારણે દળ ક્રમાંક પરમાણુ ક્રમાંક કરતા વધારે હોય છે $(A > Z)$.
તેથી,દળ ક્રમાંક ક્યારેક પરમાણુ ક્રમાંક જેટલો અને ક્યારેક તેના કરતા વધારે હોય છે.

(A) હિલિયમ ન્યુક્લિયસ ${ }_2^4 \text{He}$ માં $2$ પ્રોટોન અને $2$ ન્યુટ્રોન હોય છે.
$2$ પ્રોટોનનું દળ $= 2 \times 1.0073 \; \text{u} = 2.0146 \; \text{u}$.
$2$ ન્યુટ્રોનનું દળ $= 2 \times 1.0087 \; \text{u} = 2.0174 \; \text{u}$.
ન્યુક્લિઓન્સનું કુલ દળ $= 2.0146 + 2.0174 = 4.0320 \; \text{u}$.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = (\text{ન્યુક્લિઓન્સનું કુલ દળ}) - (\text{ન્યુક્લિયસનું દળ}) = 4.0320 \; \text{u} - 4.0015 \; \text{u} = 0.0305 \; \text{u}$.
બંધન ઉર્જા $\text{B.E.} = \Delta m \times 931.5 \; \text{MeV/u} = 0.0305 \times 931.5 \approx 28.4 \; \text{MeV}$.

(D) આપેલ પ્રતિક્રિયા $_Z{X^A} \to {_{Z+1}}{Y^A} + _{-1}{e^0} + \bar{\nu}$ એ $\beta^-$ ક્ષય પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
$\beta^-$ ક્ષયમાં,ન્યુક્લિયસની અંદરનો એક ન્યુટ્રોન પ્રોટોનમાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે ઇલેક્ટ્રોન ($\beta^-$ કણ) અને એન્ટિન્યુટ્રિનો $(\bar{\nu})$ ઉત્સર્જિત કરે છે.
આ પ્રક્રિયા પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $1$ નો વધારો કરે છે જ્યારે દળ ક્રમાંક $A$ અચળ રહે છે.

(B) સૌર ઊર્જાનો મુખ્ય સ્ત્રોત સૂર્યના કેન્દ્રમાં થતી ન્યુક્લિયર સંલયન (Nuclear Fusion) પ્રક્રિયા છે.
આ પ્રક્રિયામાં,હાઇડ્રોજનના ન્યુક્લિયસ (પ્રોટોન) એકબીજા સાથે જોડાઈને હિલિયમ જેવા ભારે તત્વો બનાવે છે.
આ સંલયન પ્રક્રિયા દરમિયાન પ્રક્રિયકો અને નીપજો વચ્ચેના દળના તફાવતને કારણે પુષ્કળ પ્રમાણમાં ઊર્જા ગરમી અને પ્રકાશ સ્વરૂપે મુક્ત થાય છે.

(D) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનું $t$ સમયે દળ ક્ષયના નિયમ મુજબ મળે છે: $M = M_0 e^{-\lambda t}$.
અહીં,$M_0 = 10 \, g$ અને સમય $t$ એ બે સરેરાશ આયુષ્ય જેટલો છે,એટલે કે $t = 2 \tau$,જ્યાં $\tau = \frac{1}{\lambda}$ એ સરેરાશ આયુષ્ય છે.
ક્ષયના સમીકરણમાં $t = \frac{2}{\lambda}$ મૂકતા:
$M = 10 e^{-\lambda (2/\lambda)} = 10 e^{-2}$.
$e \approx 2.718$ ની કિંમત લેતા,$e^2 \approx 7.389$ મળે છે.
$M = \frac{10}{7.389} \approx 1.35 \, g$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $PN$ જંકશન ડાયોડમાં,જ્યારે $P$-વિસ્તારને બાહ્ય બેટરીના ઋણ ટર્મિનલ સાથે અને $N$-વિસ્તારને ધન ટર્મિનલ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં છે તેમ કહેવાય છે.
આ સ્થિતિમાં,બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર એ ડિપ્લેશન લેયરના આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં જ હોય છે.
આના કારણે મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ જંકશનથી દૂર જાય છે,જેનાથી ડિપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ વધે છે.
જેમ ડિપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ વધે છે,તેમ પોટેન્શિયલ બેરિયર પણ વધે છે,જેનાથી ચાર્જ કેરિયર્સ માટે જંકશન ઓળંગવું વધુ મુશ્કેલ બને છે.

(D) $P-N$ જંકશનનો બેરિયર પોટેન્શિયલ સેમિકન્ડક્ટર મટીરીયલના આંતરિક ગુણધર્મો અને તેના પર લાગુ પડતી બાહ્ય પરિસ્થિતિઓ દ્વારા નક્કી થાય છે.
$1$. તાપમાન: જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ બેરિયર પોટેન્શિયલ ઘટે છે.
$2$. ડોપિંગ ઘનતા: ઉચ્ચ ડોપિંગ ઘનતા ડેપ્લેશન રિજનને સાંકડો બનાવે છે અને બેરિયર પોટેન્શિયલમાં ફેરફાર કરે છે.
$3$. ફોરવર્ડ બાયસ: ફોરવર્ડ બાયસ લાગુ કરવાથી અસરકારક બેરિયર પોટેન્શિયલ ઘટે છે.
$4$. ડાયોડની ડિઝાઇન: ડાયોડની ભૌતિક ડિઝાઇન અથવા ભૂમિતિ $P-N$ જંકશનના આંતરિક બેરિયર પોટેન્શિયલને અસર કરતી નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ફુલ વેવ રેક્ટિફાયરમાં,આઉટપુટ ઇનપુટ $AC$ સપ્લાયના દરેક એક ચક્ર માટે બે પલ્સ ધરાવે છે.
કારણ કે ઇનપુટ આવૃત્તિ $f_{in} = 50\, Hz$ છે,તેથી આઉટપુટ રિપલ આવૃત્તિ $f_{out}$ એ સૂત્ર $f_{out} = 2 \times f_{in}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $f_{out} = 2 \times 50\, Hz = 100\, Hz$.
તેથી,રિપલમાં મૂળભૂત આવૃત્તિ $100\, Hz$ છે.

(B) $NPN$ ટ્રાન્ઝિસ્ટર વહન કરે (એક્ટિવ રિજનમાં કાર્ય કરે) તે માટે,એમિટર-બેઝ જંકશન ફોરવર્ડ બાયસ્ડ હોવું જોઈએ અને કલેક્ટર-બેઝ જંકશન રિવર્સ બાયસ્ડ હોવું જોઈએ.
$NPN$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,બેઝ $P$-ટાઈપનો હોય છે અને એમિટર તથા કલેક્ટર $N$-ટાઈપના હોય છે.
$1$. એમિટર-બેઝ જંકશનને ફોરવર્ડ બાયસ કરવા માટે,$N$-ટાઈપ એમિટરનું પોટેન્શિયલ $P$-ટાઈપ બેઝ કરતા ઓછું હોવું જોઈએ (એટલે કે,એમિટર બેઝની સાપેક્ષમાં નેગેટિવ હોવું જોઈએ).
$2$. કલેક્ટર-બેઝ જંકશનને રિવર્સ બાયસ કરવા માટે,$N$-ટાઈપ કલેક્ટરનું પોટેન્શિયલ $P$-ટાઈપ બેઝ કરતા વધારે હોવું જોઈએ (એટલે કે,કલેક્ટર બેઝની સાપેક્ષમાં પોઝિટિવ હોવું જોઈએ).
તેથી,જ્યારે કલેક્ટર પોઝિટિવ હોય અને એમિટર બેઝની સાપેક્ષમાં નેગેટિવ હોય ત્યારે ટ્રાન્ઝિસ્ટર વહન કરે છે.

(A) લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
જ્યાં $\mu_l$ એ લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_m$ એ આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે કે પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક લેન્સના વક્રીભવનાંક જેટલો જ છે,તેથી $\mu_m = \mu_l$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0$
કારણ કે $\frac{1}{f} = 0$,તેથી કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અનંત $(f \to \infty)$ થાય છે.
આ સ્થિતિમાં,લેન્સ એક સમતલ કાચની પ્લેટ તરીકે વર્તે છે અને પ્રકાશના કિરણોનું અભિસરણ કે અપસરણ કરતું નથી.

(A) વક્રીભવનાંક $\mu$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{-R}) = (\mu - 1)(\frac{2}{R})$ છે.
કિસ્સો $(i)$: જ્યારે લેન્સને $XOX'$ પર કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક અડધા ભાગની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ અને $\infty$ રહે છે. દરેક અડધા ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ એ $\frac{1}{f'} = (\mu - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty}) = \frac{\mu - 1}{R}$ દ્વારા મળે છે. મૂળ સૂત્ર સાથે સરખાવતા,આપણને $f' = 2f$ મળે છે.
કિસ્સો $(ii)$: જ્યારે લેન્સને $YOY'$ પર કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ અને $-R$ રહે છે. દરેક અડધા ભાગની કેન્દ્રલંબાઈ $f''$ એ $\frac{1}{f''} = (\mu - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{-R}) = (\mu - 1)(\frac{2}{R})$ દ્વારા મળે છે. આમ,$f'' = f$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો એવા તરંગો છે જે વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેના કંપનને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે. ઉષ્મા કિરણો (ઇન્ફ્રારેડ),$\gamma$-કિરણો અને $X$-કિરણો એ બધા વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના ભાગો છે.
$\beta$-કિરણો એ અમુક પ્રકારના કિરણોત્સર્ગી ન્યુક્લિયસ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉચ્ચ-ઊર્જા ધરાવતા,ઝડપી ઇલેક્ટ્રોન અથવા પોઝિટ્રોનનો પ્રવાહ છે. તેઓ વીજભારિત કણો (દ્રવ્ય) નો પ્રવાહ હોવાથી,તેઓ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો નથી.

(D) પરમાણુની ત્રિજ્યા આશરે $R_a = 10^{-10} \ m$ છે.
ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા આશરે $R_n = 10^{-15} \ m$ છે.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,પરમાણુના કદ અને ન્યુક્લિયસના કદનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_a}{V_n} = \frac{\frac{4}{3} \pi (R_a)^3}{\frac{4}{3} \pi (R_n)^3} = \left( \frac{10^{-10}}{10^{-15}} \right)^3 = (10^5)^3 = 10^{15}$.
આમ,પરમાણુનું કદ તેના ન્યુક્લિયસના કદ કરતા આશરે $10^{15}$ ગણું વધારે હોય છે.

(B) સૌ પ્રથમ, $R = \frac{V^2}{P}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને દરેક બલ્બનો અવરોધ શોધો.
$R = \frac{220 \times 220}{100} = 484\; \Omega$.
શ્રેણી જોડાણમાં, સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R + R = 484 + 484 = 968\; \Omega$ થાય.
વપરાતો પાવર $P_{series} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{220 \times 220}{968} = 50\; W$ મળે.
સમાંતર જોડાણમાં, સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{R}{2} = \frac{484}{2} = 242\; \Omega$ થાય.
વપરાતો પાવર $P_{parallel} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{220 \times 220}{242} = 200\; W$ મળે.
આમ, શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણમાં વપરાતો પાવર અનુક્રમે $50\; W$ અને $200\; W$ છે.

(C) ધારો કે પાણીને ઉકાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q$ છે. કોઇલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $Q = \frac{V^2}{R} \times t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ વોલ્ટેજ છે,$R$ અવરોધ છે અને $t$ સમય છે.
પ્રથમ કોઇલ માટે: $Q = \frac{V^2}{R_1} \times t_1$,તેથી $\frac{1}{R_1} = \frac{Q}{V^2 t_1}$.
બીજી કોઇલ માટે: $Q = \frac{V^2}{R_2} \times t_2$,તેથી $\frac{1}{R_2} = \frac{Q}{V^2 t_2}$.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ દ્વારા મળે છે.
સમાંતર જોડાણ માટે ઉષ્માનું સમીકરણ $Q = \frac{V^2}{R_{eq}} \times t$ છે,જે $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{Q}{V^2 t}$ આપે છે.
આ કિંમતોને સમાંતર અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{Q}{V^2 t} = \frac{Q}{V^2 t_1} + \frac{Q}{V^2 t_2}$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{t} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો $t_1 = 10$ અને $t_2 = 40$ મૂકતા: $\frac{1}{t} = \frac{1}{10} + \frac{1}{40} = \frac{4+1}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.
તેથી,$t = 8 \; min$.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ને લંબ વેગ $\vec{v}$ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ હંમેશા વેગ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,કણ પર ચુંબકીય બળ દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે. કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,અચળ ગતિઊર્જાનો અર્થ એ છે કે કણની ઝડપ $(v)$ બદલાતી નથી.
જોકે,બળ વેગને લંબ રૂપે લાગતું હોવાથી,તે ગતિની દિશા બદલે છે,જેના કારણે કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે. આમ,વેગ અને પ્રવેગ સતત બદલાતા રહે છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે $NAND$ ગેટ છે.
ધારો કે પ્રથમ $NAND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $X = \overline{A \cdot B}$ છે.
આ આઉટપુટ $X$ બીજા $NAND$ ગેટ માટે ઇનપુટ તરીકે કાર્ય કરે છે. બીજા $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ $X$ સાથે જોડાયેલા હોવાથી, તેનું આઉટપુટ $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X}$ દ્વારા મળે છે.
$X$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને $Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$ મળે છે.
$Y = A \cdot B$ સમીકરણ $AND$ ગેટનું લોજિક ફંક્શન દર્શાવે છે.
તેથી, આપેલ સર્કિટ $AND$ ગેટનું કાર્ય કરે છે.

(B) દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
પ્રકાશના બિંદુવત ઉદગમ માટે,તીવ્રતા $I$ વ્યસ્ત વર્ગના નિયમનું પાલન કરે છે: $I \propto \frac{1}{d^2}$,જ્યાં $d$ એ ઉદગમથી અંતર છે.
જ્યારે અંતર બમણું કરવામાં આવે $(d' = 2d)$,ત્યારે નવી તીવ્રતા $I'$ એ $I' = \frac{I}{2^2} = \frac{I}{4}$ થાય છે.
જેમ કે ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા તીવ્રતાના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા પ્રારંભિક સંખ્યાના ચોથા ભાગની થઈ જશે.
દરેક ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની ઉર્જા આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,તેની તીવ્રતા પર નહીં. તેથી,દરેક ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની ઉર્જા અપરિવર્તિત રહે છે.