AIPMT 2003 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) प्रारंभिक वेग $u$ के साथ कूदने वाले व्यक्ति द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H_{\max} = \frac{u^2}{2g}$ है।
चूँकि दोनों कूद के लिए प्रारंभिक वेग $u$ समान है,इसलिए $H_{\max} \propto \frac{1}{g}$ होगा।
मान लीजिए कि $g_A$ और $g_B$ क्रमशः ग्रह $A$ और $B$ पर गुरुत्वीय त्वरण हैं। हमें दिया गया है कि $g_A = 9g_B$ है।
मान लीजिए कि $H_A = 2 \ m$ ग्रह $A$ पर ऊँचाई है और $H_B$ ग्रह $B$ पर ऊँचाई है।
समानुपातिकता $H_A g_A = H_B g_B$ का उपयोग करने पर,हमें $H_B = H_A \left( \frac{g_A}{g_B} \right)$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$H_B = 2 \times 9 = 18 \ m$ प्राप्त होता है।

(D) लगातार फेंकी गई गेंदों के बीच का अंतराल $\Delta t = 2\,s$ है।
किसी भी समय दो से अधिक गेंदों के हवा में रहने के लिए,पहली गेंद का उड़ान समय $(T)$,तीसरी गेंद को फेंकने में लगने वाले समय से अधिक होना चाहिए।
पहली गेंद $t = 0$ पर फेंकी जाती है।
दूसरी गेंद $t = 2\,s$ पर फेंकी जाती है।
तीसरी गेंद $t = 4\,s$ पर फेंकी जाती है।
तीसरी गेंद फेंके जाने के समय पहली गेंद के हवा में रहने के लिए,उसका उड़ान समय $T > 4\,s$ होना चाहिए।
चूंकि उड़ान का समय $T = \frac{2u}{g}$ होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{2u}{9.8} > 4$
$2u > 39.2$
$u > 19.6\,m/s$.
अतः,फेंकने की गति $19.6\,m/s$ से अधिक होनी चाहिए।

(A) ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद की गति सममित होती है। गेंद द्वारा अपनी ऊपर की गति के अंतिम $t$ सेकंड के दौरान तय की गई दूरी,उच्चतम बिंदु से नीचे की ओर गति के पहले $t$ सेकंड में तय की गई दूरी के बिल्कुल बराबर होती है।
उच्चतम बिंदु पर,नीचे की ओर गति के लिए प्रारंभिक वेग $u_{down} = 0$ होता है।
नीचे की ओर गति के लिए गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
यहाँ,$u = 0$,$a = g$,और समय $= t$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h = (0)t + \frac{1}{2}gt^2$
$h = \frac{1}{2}gt^2$
अतः,इसकी ऊपर की गति के अंतिम $t$ सेकंड के दौरान तय की गई दूरी $\frac{1}{2}gt^2$ है।

(C) जब लिफ्ट $a$ के एकसमान त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो आभासी भार $R$ (वजन मापने वाली मशीन पर रीडिंग) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$R = m(g + a)$
दिया गया है:
व्यक्ति का द्रव्यमान,$m = 80\,kg$
लिफ्ट का त्वरण,$a = 5\,m/s^2$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10\,m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$R = 80 \times (10 + 5)$
$R = 80 \times 15$
$R = 1200\,N$
अतः,मशीन पर रीडिंग $1200\,N$ होगी।

(C) रस्सी द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम तनाव $25\,kg$ द्रव्यमान के भार के बराबर है: $T_{max} = 25 \times g = 25 \times 10 = 250\,N$.
जब $m = 20\,kg$ द्रव्यमान का बंदर $a$ त्वरण के साथ ऊपर चढ़ता है,तो रस्सी में तनाव होता है: $T = m(g + a)$.
अधिकतम त्वरण ज्ञात करने के लिए,हम तनाव को ब्रेकिंग बल के बराबर रखते हैं: $20(10 + a) = 250$.
दोनों पक्षों को $20$ से विभाजित करने पर: $10 + a = 12.5$.
अतः,$a = 12.5 - 10 = 2.5\,m/s^2$.

(D) $x$ दूरी तक खींची गई स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2}kx^2$ है,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $U \propto x^2$ है।
दिया गया है कि $x_1 = 0.02\, m$ के लिए,स्थितिज ऊर्जा $U_1 = U$ है।
$x_2 = 0.1\, m$ के लिए,मान लीजिए स्थितिज ऊर्जा $U_2$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{x_2}{x_1} \right)^2$।
मान रखने पर: $\frac{U_2}{U} = \left( \frac{0.1}{0.02} \right)^2 = (5)^2 = 25$।
अतः,$U_2 = 25U$।

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि प्रारंभिक कण स्थिर है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग $0$ है।
अतः,दोनों कणों के संवेग का परिमाण समान होना चाहिए: $p_1 = p_2 = p$।
किसी कण की गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{p^2}{2m}$ होता है।
चूंकि संवेग $p$ दोनों कणों के लिए समान है,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $E \propto \frac{1}{m}$।
इस प्रकार,उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{m_2}{m_1}$ होगा।

(A) $r$ दूरी पर स्थित $m$ और $M$ द्रव्यमान के दो पिंडों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = G \frac{mM}{r^2}$।
यह बल केवल वस्तुओं के द्रव्यमान और उनके बीच की दूरी पर निर्भर करता है।
स्थिर वैद्युत बल के विपरीत,गुरुत्वाकर्षण बल उस माध्यम से स्वतंत्र होता है जिसमें वस्तुओं को रखा जाता है।
इसलिए,जब द्रव्यमानों के आसपास के स्थान को तरल से भर दिया जाता है,तब भी गुरुत्वाकर्षण बल अपरिवर्तित रहता है।
अतः,नया बल $F$ होगा।

(C) समान मोटाई $d$ और ऊष्मीय चालकता $K_1$ तथा $K_2$ वाले दो पदार्थों से बनी संयुक्त स्लैब के श्रेणी संयोजन के लिए,समतुल्य ऊष्मीय चालकता $K_{eq}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$K_{eq} = \frac{2K_1K_2}{K_1 + K_2}$
यहाँ $K_1 = K$ और $K_2 = 2K$ दिया गया है,इसलिए मानों को सूत्र में रखने पर:
$K_{eq} = \frac{2(K)(2K)}{K + 2K}$
$K_{eq} = \frac{4K^2}{3K}$
$K_{eq} = \frac{4}{3}K$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) ऊष्मा विनिमय के प्रेवोस्ट सिद्धांत के अनुसार,प्रत्येक पिंड सभी तापमानों पर ($T = 0 \ K$ से ऊपर) लगातार तापीय विकिरण उत्सर्जित और अवशोषित करता है।
चूंकि मानव शरीर का तापमान लगभग $37^{\circ}C$ $(310 \ K)$ होता है,इसलिए यह अपने तापमान के अनुरूप विद्युत चुम्बकीय विकिरण उत्सर्जित करता है।
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$310 \ K$ पर एक पिंड के लिए अधिकतम उत्सर्जन की तरंग दैर्ध्य विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के अवरक्त (infra-red) क्षेत्र में आती है।
इसलिए,मानव शरीर द्वारा उत्सर्जित विकिरण अवरक्त क्षेत्र में होता है।

(B) सरल आवर्त दोलक की $y$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}m\omega^2y^2$ द्वारा दी जाती है।
दोलक की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2}m\omega^2a^2$ है,जहाँ $a$ आयाम है।
स्थितिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा का अनुपात $\frac{U}{E} = \frac{\frac{1}{2}m\omega^2y^2}{\frac{1}{2}m\omega^2a^2} = \frac{y^2}{a^2}$ होता है।
यह दिया गया है कि कण अपने अंतिम बिंदु से आधी दूरी पर है,इसलिए विस्थापन $y = \frac{a}{2}$ है।
इस मान को अनुपात में रखने पर,हमें $\frac{U}{E} = \frac{(\frac{a}{2})^2}{a^2} = \frac{a^2/4}{a^2} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$U = \frac{1}{4}E$।

(B) स्प्रिंग नियतांक $K$ वाली स्प्रिंग से लटके $m$ द्रव्यमान का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $L$ लंबाई और $K$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग को $n$ बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग का स्प्रिंग नियतांक $K' = nK$ हो जाता है।
यहाँ,स्प्रिंग को $4$ बराबर भागों में काटा गया है,इसलिए $n = 4$ है। अतः,एक भाग का नया स्प्रिंग नियतांक $K' = 4K$ होगा।
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K'}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{4K}}$।
इसे सरल करने पर,हमें $T' = \frac{1}{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}} = \frac{T}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) प्रणोदित दोलनों में,अनुनाद पर दोलन का आयाम $A = \frac{F_0}{\sqrt{m^2(\omega^2 - \omega_0^2)^2 + b^2\omega^2}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ अवमंदन नियतांक है।
जब अवमंदन बल छोटा होता है (अर्थात $b$ छोटा होता है),तो अनुनाद पर हर (denominator) बहुत छोटा हो जाता है (जहाँ $\omega \approx \omega_0$),जिससे आयाम बहुत अधिक हो जाता है।
इसके अतिरिक्त,अनुनाद वक्र की तीक्ष्णता अवमंदन के व्युत्क्रमानुपाती होती है। एक छोटा अवमंदन बल अधिक संकरा और ऊँचा अनुनाद शिखर प्रदान करता है,जिससे अनुनाद वक्र अधिक तीक्ष्ण हो जाता है।

(D) सरल आवर्त गति $(SHM)$ करने वाले कण की स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ निम्नलिखित समीकरण द्वारा दी जाती है:
$PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$
जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $x$ संतुलन स्थान $O$ से विस्थापन है।
यह समीकरण दर्शाता है कि स्थितिज ऊर्जा विस्थापन $x$ के साथ परवलयाकार रूप से बदलती है।
माध्य स्थिति $(x = 0)$ पर,स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है।
चरम स्थितियों ($x = x_1$ और $x = x_2$) पर,स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है।
इसलिए,स्थितिज ऊर्जा बनाम विस्थापन का आलेख एक ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $O$ पर है,जो आलेख $D$ के अनुरूप है।

(A) वलय का अपनी अक्ष के परितः प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण $I_i = MR^2$ है। प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = I_i \omega = MR^2 \omega$ है।
जब $m$ द्रव्यमान की चार वस्तुओं को वलय पर रखा जाता है,तो अंतिम जड़त्व आघूर्ण $I_f = MR^2 + 4(mR^2) = (M + 4m)R^2$ हो जाता है।
चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल आघूर्ण (torque) कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहता है: $L_i = L_f$.
$MR^2 \omega = (M + 4m)R^2 \omega'$.
अंतिम कोणीय वेग $\omega'$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है $\omega' = \frac{MR^2 \omega}{(M + 4m)R^2} = \frac{M\omega}{M + 4m}$.

(B) बिना फिसले लुढ़कती हुई गेंद के लिए,घूर्णन गतिज ऊर्जा $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $I = MK^2$ और $\omega = \frac{v}{R}$,इसलिए $K_{rot} = \frac{1}{2} MK^2 \frac{v^2}{R^2}$ होता है।
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K_{trans} = \frac{1}{2} Mv^2$ है।
कुल गतिज ऊर्जा $E$,घूर्णन और स्थानांतरण गतिज ऊर्जा का योग है:
$E = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{2} MK^2 \frac{v^2}{R^2} + \frac{1}{2} Mv^2 = \frac{1}{2} Mv^2 \left( \frac{K^2}{R^2} + 1 \right) = \frac{1}{2} Mv^2 \left( \frac{K^2 + R^2}{R^2} \right)$.
घूर्णन ऊर्जा से संबंधित कुल ऊर्जा का अंश $\frac{K_{rot}}{E}$ है:
$\text{अंश} = \frac{\frac{1}{2} MK^2 \frac{v^2}{R^2}}{\frac{1}{2} Mv^2 \left( \frac{K^2 + R^2}{R^2} \right)} = \frac{K^2}{K^2 + R^2}$.

(B) नत समतल पर बिना फिसले लुढ़कने वाली वस्तु के लिए,यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा तल पर स्थानांतरण और घूर्णन गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है।
$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
ठोस बेलन के लिए,केंद्रीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ होता है।
बिना फिसले लुढ़कने के लिए,$\omega = \frac{v}{R}$ होता है।
इन मानों को ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}MR^2)(\frac{v}{R})^2$
$Mgh = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{4}Mv^2$
$Mgh = \frac{3}{4}Mv^2$
$v^2 = \frac{4}{3}gh$
$v = \sqrt{\frac{4}{3}gh}$.

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ को सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$T_1$ उच्च तापमान है और $T_2$ केल्विन में निम्न तापमान है।
$T_1 = 227 + 273 = 500\,K$.
$T_2 = 127 + 273 = 400\,K$.
दक्षता $\eta = 1 - \frac{400}{500} = 1 - 0.8 = 0.2$.
चूंकि दक्षता $\eta = \frac{W}{Q_1}$ होती है,जहाँ $W$ किया गया कार्य है और $Q_1$ उच्च तापमान पर अवशोषित ऊष्मा है:
$W = \eta \times Q_1 = 0.2 \times 6\,kcal = 1.2\,kcal$.

(A) दिया गया है: त्रिज्या $r = \frac{20}{\pi} \, m$,प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_i = 0$,और कुल कोणीय विस्थापन $\theta = 2 \times (2 \pi) = 4 \pi \, rad$ (क्योंकि यह दो चक्कर पूरे करता है)।
अंतिम रैखिक वेग $v = 80 \, m/s$ है।
अंतिम कोणीय वेग $\omega_f = \frac{v}{r} = \frac{80}{20/\pi} = 4 \pi \, rad/s$ है।
घूर्णी गति के समीकरण $\omega_f^2 = \omega_i^2 + 2 \alpha \theta$ का उपयोग करने पर:
$(4 \pi)^2 = 0^2 + 2 \alpha (4 \pi)$
$16 \pi^2 = 8 \pi \alpha$
$\alpha = 2 \pi \, rad/s^2$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = r \alpha = \left( \frac{20}{\pi} \right) \times (2 \pi) = 40 \, m/s^2$ है।

(A) जब कोई प्रेक्षक ध्वनि के स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति बढ़ जाती है।
डॉप्लर प्रभाव का सामान्य सूत्र $f^{\prime} = f \left( \frac{v + v_0}{v - v_s} \right)$ है।
चूंकि स्रोत स्थिर है,इसलिए $v_s = 0$ है।
दिया गया है कि प्रेक्षक की चाल $v_0 = \frac{v}{5}$ है,अतः आभासी आवृत्ति $f^{\prime}$ होगी:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v + \frac{v}{5}}{v} \right) = f \left( \frac{1.2v}{v} \right) = 1.2 f$.
ध्वनि तरंगों की तरंगदैर्ध्य केवल स्रोत और माध्यम पर निर्भर करती है। चूंकि स्रोत स्थिर है और माध्यम में कोई परिवर्तन नहीं है,इसलिए प्रेक्षक तक पहुँचने वाली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ ही रहेगी।
अतः,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $1.2 f$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है।

(C) मान लीजिए कि सदिश रूप में दो बल $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं।
उनका सदिश योग $(\vec{A} + \vec{B})$ है और उनका सदिश अंतर $(\vec{A} - \vec{B})$ है।
चूंकि सदिश योग और सदिश अंतर एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = 0$
डॉट गुणनफल का विस्तार करने पर:
$\vec{A} \cdot \vec{A} - \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B} \cdot \vec{B} = 0$
चूंकि डॉट गुणनफल क्रमविनिमेय होता है,$\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$,इसलिए पद कट जाते हैं:
$|\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2 = 0$
$|\vec{A}|^2 = |\vec{B}|^2$
$|\vec{A}| = |\vec{B}|$
अतः,दोनों बलों का परिमाण समान है।

(C) नाभिक (आवेश $+e$) और इलेक्ट्रॉन (आवेश $-e$) के बीच कूलम्ब बल,कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F} = K \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}$.
$q_1 = +e$ और $q_2 = -e$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\overrightarrow{F} = K \frac{(+e)(-e)}{r^2} \hat{r} = -K \frac{e^2}{r^2} \hat{r}$.
चूँकि इकाई सदिश $\hat{r} = \frac{\vec{r}}{r}$ है,इसे व्यंजक में रखने पर:
$\overrightarrow{F} = -K \frac{e^2}{r^2} \left( \frac{\vec{r}}{r} \right) = -K \frac{e^2}{r^3} \vec{r}$.

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
चूंकि आवेश $q$ घन के केंद्र पर स्थित है,इसलिए फ्लक्स घन के सभी $6$ फलकों से समान रूप से वितरित होता है।
अतः,किसी भी एक फलक से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_{face} = \frac{\phi_{total}}{6} = \frac{q}{6\varepsilon_0}$ होगा।
दिए गए विकल्पों से मिलान करने के लिए,अंश और हर को $4\pi$ से गुणा करने पर:
$\phi_{face} = \frac{q \times 4\pi}{6 \times \varepsilon_0 \times 4\pi} = \frac{4\pi q}{6(4\pi \varepsilon_0)}$।

(B) मान लीजिए कि तीन संधारित्र $C_1 = C_2 = C_3 = 4\,\mu F$ हैं।
यदि हम दो संधारित्रों को श्रेणी क्रम में जोड़ते हैं,तो उनकी तुल्य धारिता $C_s$ इस प्रकार होगी:
$\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
अतः,$C_s = 2\,\mu F$।
अब,यदि हम इस संयोजन को तीसरे संधारित्र $C_3$ के साथ समानांतर क्रम में जोड़ते हैं,तो कुल प्रभावी धारिता $C_{eq}$ होगी:
$C_{eq} = C_s + C_3 = 2\,\mu F + 4\,\mu F = 6\,\mu F$।
इस प्रकार,दो संधारित्रों को श्रेणी क्रम में और एक को समानांतर क्रम में जोड़ने पर $6\,\mu F$ की प्रभावी धारिता प्राप्त होती है।

(B) व्हीटस्टोन ब्रिज संतुलित अवस्था में है क्योंकि भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात समान है $(R/R = R/R)$।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,गैल्वेनोमीटर भुजा $(BD)$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,तुल्य प्रतिरोध की गणना के लिए गैल्वेनोमीटर के प्रतिरोध $R$ को नगण्य माना जा सकता है।
परिपथ बिंदु $A$ और $C$ के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है।
ऊपरी शाखा में श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोध $R$ हैं: $R_{AB} + R_{BC} = R + R = 2R$।
निचली शाखा में श्रेणीक्रम में दो प्रतिरोध $R$ हैं: $R_{AD} + R_{CD} = R + R = 2R$।
ये दोनों शाखाएं ($2R$ और $2R$) समानांतर क्रम में हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$R_{eq} = \frac{(2R \times 2R)}{(2R + 2R)} = \frac{4R^2}{4R} = R$।

(C) फ्यूज तार एक सुरक्षा उपकरण है जिसका उपयोग विद्युत परिपथों को अत्यधिक धारा से बचाने के लिए किया जाता है।
जूल के ऊष्मीय नियम के अनुसार,उत्पन्न ऊष्मा $H = I^2Rt$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ धारा है,$R$ प्रतिरोध है,और $t$ समय है।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि जब धारा एक सुरक्षित सीमा से अधिक हो जाए तो फ्यूज जल्दी पिघल जाए,इसका प्रतिरोध उच्च होना चाहिए (ताकि अधिक ऊष्मा उत्पन्न हो) और गलनांक निम्न होना चाहिए (ताकि यह आसानी से पिघल जाए)।
इसलिए,फ्यूज तार के पदार्थ में उच्च विशिष्ट प्रतिरोध और निम्न गलनांक होना चाहिए।

(A) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_0 n i$ है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है और $i$ विद्युत धारा है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n i$ है।
जब धारा को दोगुना किया जाता है,तो नई धारा $i' = 2i$ हो जाती है।
जब प्रति सेमी फेरों की संख्या को आधा किया जाता है,तो प्रति इकाई लंबाई में फेरों की नई संख्या $n' = n/2$ हो जाती है।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = \mu_0 n' i' = \mu_0 (n/2) (2i) = \mu_0 n i$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$B' = B$ होगा।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन कर रहे छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
$m$ द्रव्यमान और $l$ लंबाई वाली छड़ चुंबक के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{ml^2}{12}$ होता है।
इसे सूत्र में रखने पर,$T = 2\pi \sqrt{\frac{ml^2}{12MB}}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $T \propto \sqrt{m}$ है।
यदि द्रव्यमान $m$ को चार गुना $(m' = 4m)$ कर दिया जाए,तो नया आवर्तकाल $T' = 2\pi \sqrt{\frac{4ml^2}{12MB}} = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{ml^2}{12MB}}) = 2T$ हो जाता है।
गति $S.H.M.$ ही बनी रहती है क्योंकि छोटे दोलनों के लिए प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -MB \sin \theta \approx -MB \theta$ होता है।

(D) क्यूरी के नियम के अनुसार,अनुचुंबकीय (paramagnetic) पदार्थ के लिए,चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ परम तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
गणितीय रूप से,इसे $\chi \propto \frac{1}{T}$ या $\chi = \frac{C}{T}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $C$ क्यूरी नियतांक है।
अतः,चुंबकीय प्रवृत्ति $\frac{1}{T}$ के समानुपाती होती है।

(C) प्रतिचुंबकीय पदार्थ चुंबकीय क्षेत्रों द्वारा दुर्बल रूप से प्रतिकर्षित होते हैं। जब उन्हें एक असमान चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो वे एक बल का अनुभव करते हैं जो उन्हें कम चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता वाले क्षेत्र की ओर धकेलता है। इसलिए,एक प्रतिचुंबकीय पदार्थ चुंबकीय क्षेत्र के मजबूत भाग से कमजोर भाग की ओर गति करता है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
पहली कक्षा के लिए,$n = 1$,इसलिए $r_1 \propto \frac{1}{Z}$।
दी गई प्रणालियों के लिए परमाणु क्रमांक $(Z)$ की तुलना:
- हाइड्रोजन परमाणु $(H)$: $Z = 1$
- ड्यूटेरियम परमाणु $(D)$: $Z = 1$
- एकल आयनित हीलियम $(He^+)$: $Z = 2$
- द्वि-आयनित लिथियम $(Li^{2+})$: $Z = 3$
चूंकि त्रिज्या $r$,$Z$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए उच्चतम परमाणु क्रमांक वाली प्रणाली की त्रिज्या न्यूनतम होगी।
अतः,द्वि-आयनित लिथियम $(Z = 3)$ की त्रिज्या न्यूनतम है।

(D) द्रव्यमान संख्या $(A)$ एक नाभिक में प्रोटॉन $(Z)$ और न्यूट्रॉन $(N)$ की संख्या का योग है,इसलिए $A = Z + N$ होता है।
हाइड्रोजन नाभिक $(_{1}^{1}H)$ के लिए,प्रोटॉन की संख्या $1$ है और न्यूट्रॉन की संख्या $0$ है,इसलिए द्रव्यमान संख्या $1$ है,जो परमाणु क्रमांक के बराबर है $(A = Z)$।
अन्य सभी नाभिकों के लिए,न्यूट्रॉन की संख्या कम से कम $1$ या अधिक होती है,जिससे द्रव्यमान संख्या परमाणु क्रमांक से अधिक हो जाती है $(A > Z)$।
अतः,द्रव्यमान संख्या कभी परमाणु क्रमांक के बराबर और कभी उससे अधिक होती है।

(A) हीलियम नाभिक ${ }_2^4 \text{He}$ में $2$ प्रोटॉन और $2$ न्यूट्रॉन होते हैं।
$2$ प्रोटॉन का द्रव्यमान $= 2 \times 1.0073 \; \text{u} = 2.0146 \; \text{u}$.
$2$ न्यूट्रॉन का द्रव्यमान $= 2 \times 1.0087 \; \text{u} = 2.0174 \; \text{u}$.
न्यूक्लियॉन का कुल द्रव्यमान $= 2.0146 + 2.0174 = 4.0320 \; \text{u}$.
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = (\text{न्यूक्लियॉन का कुल द्रव्यमान}) - (\text{नाभिक का द्रव्यमान}) = 4.0320 \; \text{u} - 4.0015 \; \text{u} = 0.0305 \; \text{u}$.
बंधन ऊर्जा $\text{B.E.} = \Delta m \times 931.5 \; \text{MeV/u} = 0.0305 \times 931.5 \approx 28.4 \; \text{MeV}$.

(D) दी गई अभिक्रिया $_Z{X^A} \to {_{Z+1}}{Y^A} + _{-1}{e^0} + \bar{\nu}$ एक $\beta^-$ क्षय प्रक्रिया को दर्शाती है।
$\beta^-$ क्षय में,नाभिक के भीतर एक न्यूट्रॉन प्रोटॉन में परिवर्तित हो जाता है,जिससे एक इलेक्ट्रॉन ($\beta^-$ कण) और एक एंटीन्यूट्रिनो $(\bar{\nu})$ उत्सर्जित होता है।
यह प्रक्रिया परमाणु क्रमांक $Z$ को $1$ से बढ़ा देती है जबकि द्रव्यमान संख्या $A$ स्थिर रहती है।

(B) सौर ऊर्जा का मुख्य स्रोत सूर्य के केंद्र में होने वाली नाभिकीय संलयन (Nuclear Fusion) प्रक्रिया है।
इस प्रक्रिया में,हाइड्रोजन के नाभिक (प्रोटॉन) आपस में जुड़कर हीलियम जैसे भारी तत्व बनाते हैं।
इस संलयन अभिक्रिया के दौरान अभिकारकों और उत्पादों के बीच द्रव्यमान क्षति (mass defect) के कारण अत्यधिक मात्रा में ऊर्जा ऊष्मा और प्रकाश के रूप में मुक्त होती है।

(D) समय $t$ पर एक रेडियोधर्मी नमूने का द्रव्यमान क्षय नियम द्वारा दिया जाता है: $M = M_0 e^{-\lambda t}$.
यहाँ,$M_0 = 10 \, g$ और समय $t$ दो माध्य आयु के बराबर दिया गया है,अर्थात $t = 2 \tau$,जहाँ $\tau = \frac{1}{\lambda}$ माध्य आयु है।
क्षय समीकरण में $t = \frac{2}{\lambda}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$M = 10 e^{-\lambda (2/\lambda)} = 10 e^{-2}$.
$e \approx 2.718$ का मान उपयोग करने पर,$e^2 \approx 7.389$ प्राप्त होता है।
$M = \frac{10}{7.389} \approx 1.35 \, g$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) $PN$ जंक्शन डायोड में,जब $P$-क्षेत्र को बाहरी बैटरी के ऋणात्मक टर्मिनल से और $N$-क्षेत्र को धनात्मक टर्मिनल से जोड़ा जाता है,तो डायोड को रिवर्स बायस में कहा जाता है।
इस स्थिति में,बाहरी विद्युत क्षेत्र डिप्लेशन लेयर के आंतरिक विद्युत क्षेत्र की दिशा में ही होता है।
इसके कारण मेजोरिटी चार्ज कैरियर्स जंक्शन से दूर चले जाते हैं,जिससे डिप्लेशन लेयर की चौड़ाई बढ़ जाती है।
जैसे-जैसे डिप्लेशन लेयर की चौड़ाई बढ़ती है,पोटेंशियल बैरियर भी बढ़ जाता है,जिससे चार्ज कैरियर्स के लिए जंक्शन को पार करना अधिक कठिन हो जाता है।

(D) $P-N$ जंक्शन का बैरियर विभव अर्धचालक पदार्थ के आंतरिक गुणों और उस पर लागू बाहरी स्थितियों द्वारा निर्धारित होता है।
$1$. तापमान: जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,बैरियर विभव कम हो जाता है।
$2$. डोपिंग घनत्व: उच्च डोपिंग घनत्व अवक्षय परत (depletion region) को संकरा बनाता है और बैरियर विभव में परिवर्तन लाता है।
$3$. अग्र अभिनति (Forward bias): अग्र अभिनति लागू करने से प्रभावी बैरियर विभव कम हो जाता है।
$4$. डायोड की बनावट: डायोड की भौतिक बनावट या ज्यामिति $P-N$ जंक्शन के आंतरिक बैरियर विभव को प्रभावित नहीं करती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) एक पूर्ण तरंग दिष्टकारी में,आउटपुट इनपुट $AC$ आपूर्ति के प्रत्येक एक चक्र के लिए दो पल्स उत्पन्न करता है।
चूंकि इनपुट आवृत्ति $f_{in} = 50\, Hz$ है,इसलिए आउटपुट रिपल आवृत्ति $f_{out}$ को सूत्र $f_{out} = 2 \times f_{in}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर: $f_{out} = 2 \times 50\, Hz = 100\, Hz$।
अतः,रिपल में मूल आवृत्ति $100\, Hz$ है।

(B) एक $NPN$ ट्रांजिस्टर के चालन (सक्रिय क्षेत्र में कार्य करने) के लिए,उत्सर्जक-आधार जंक्शन का अग्र-अभिनत (forward-biased) होना और कलेक्टर-आधार जंक्शन का पश्च-अभिनत (reverse-biased) होना आवश्यक है।
$NPN$ ट्रांजिस्टर में,आधार $P$-प्रकार का होता है और उत्सर्जक तथा कलेक्टर $N$-प्रकार के होते हैं।
$1$. उत्सर्जक-आधार जंक्शन को अग्र-अभिनत करने के लिए,$N$-प्रकार के उत्सर्जक का विभव $P$-प्रकार के आधार से कम होना चाहिए (अर्थात,उत्सर्जक आधार के सापेक्ष ऋणात्मक होना चाहिए)।
$2$. कलेक्टर-आधार जंक्शन को पश्च-अभिनत करने के लिए,$N$-प्रकार के कलेक्टर का विभव $P$-प्रकार के आधार से अधिक होना चाहिए (अर्थात,कलेक्टर आधार के सापेक्ष धनात्मक होना चाहिए)।
इसलिए,ट्रांजिस्टर तब चालन करता है जब कलेक्टर धनात्मक होता है और उत्सर्जक आधार के सापेक्ष ऋणात्मक होता है।

(A) लेंस की फोकस दूरी लेंस मेकर सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_m} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$
जहाँ $\mu_l$ लेंस के पदार्थ का अपवर्तनांक है और $\mu_m$ आसपास के माध्यम का अपवर्तनांक है।
दिया गया है कि द्रव का अपवर्तनांक लेंस के अपवर्तनांक के बराबर है,इसलिए $\mu_m = \mu_l$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_l}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = (1 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 0$
चूंकि $\frac{1}{f} = 0$,इसलिए फोकस दूरी $f$ अनंत $(f \to \infty)$ हो जाती है।
इस स्थिति में,लेंस एक समतल कांच की प्लेट की तरह व्यवहार करता है और प्रकाश की किरणों को अभिसरित या अपसरित नहीं करता है।

(A) अपवर्तनांक $\mu$ और वक्रता त्रिज्या $R$ वाले एक समतलोत्तल लेंस के लिए,लेंस मेकर सूत्र के अनुसार फोकस दूरी $f$ का मान $\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{-R}) = (\mu - 1)(\frac{2}{R})$ होता है।
स्थिति $(i)$: जब लेंस को $XOX'$ के अनुदिश काटा जाता है,तो प्रत्येक आधे भाग की वक्रता त्रिज्या $R$ और $\infty$ रहती है। प्रत्येक आधे भाग की फोकस दूरी $f'$ का मान $\frac{1}{f'} = (\mu - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{\infty}) = \frac{\mu - 1}{R}$ होता है। मूल सूत्र के साथ तुलना करने पर,हमें $f' = 2f$ प्राप्त होता है।
स्थिति $(ii)$: जब लेंस को $YOY'$ के अनुदिश काटा जाता है,तो प्रत्येक सतह की वक्रता त्रिज्या $R$ और $-R$ रहती है। प्रत्येक आधे भाग की फोकस दूरी $f''$ का मान $\frac{1}{f''} = (\mu - 1)(\frac{1}{R} - \frac{1}{-R}) = (\mu - 1)(\frac{2}{R})$ होता है। अतः,$f'' = f$ होता है।
इस प्रकार,सही विकल्प $(A)$ है।

(C) विद्युत-चुंबकीय तरंगें वे तरंगें हैं जो विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र के बीच कंपन के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती हैं। ऊष्मा किरणें (अवरक्त),$\gamma$-किरणें और $X$-किरणें सभी विद्युत-चुंबकीय स्पेक्ट्रम का हिस्सा हैं।
$\beta$-किरणें उच्च-ऊर्जा,उच्च-गति वाले इलेक्ट्रॉनों या पॉज़िट्रॉन की किरणें होती हैं जो कुछ प्रकार के रेडियोधर्मी नाभिकों द्वारा उत्सर्जित होती हैं। चूंकि वे आवेशित कणों (पदार्थ) की धाराएं हैं,इसलिए वे विद्युत-चुंबकीय तरंगें नहीं हैं।

(D) परमाणु की त्रिज्या लगभग $R_a = 10^{-10} \ m$ होती है।
नाभिक की त्रिज्या लगभग $R_n = 10^{-15} \ m$ होती है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अतः,परमाणु के आयतन और नाभिक के आयतन का अनुपात:
$\frac{V_a}{V_n} = \frac{\frac{4}{3} \pi (R_a)^3}{\frac{4}{3} \pi (R_n)^3} = \left( \frac{10^{-10}}{10^{-15}} \right)^3 = (10^5)^3 = 10^{15}$.
इस प्रकार,परमाणु का आयतन उसके नाभिक के आयतन से लगभग $10^{15}$ गुना अधिक होता है।

(B) सबसे पहले, $R = \frac{V^2}{P}$ सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक बल्ब का प्रतिरोध ज्ञात करें।
$R = \frac{220 \times 220}{100} = 484\; \Omega$.
श्रेणीक्रम में, तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R + R = 484 + 484 = 968\; \Omega$ होता है।
ली गई शक्ति $P_{series} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{220 \times 220}{968} = 50\; W$ है।
समांतर क्रम में, तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = \frac{R}{2} = \frac{484}{2} = 242\; \Omega$ होता है।
ली गई शक्ति $P_{parallel} = \frac{V^2}{R_{eq}} = \frac{220 \times 220}{242} = 200\; W$ है।
अतः, श्रेणीक्रम और समांतर क्रम संयोजन में ली गई शक्ति क्रमशः $50\; W$ और $200\; W$ है।

(C) मान लीजिए कि पानी उबालने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q$ है। एक कॉइल द्वारा उत्पन्न ऊष्मा $Q = \frac{V^2}{R} \times t$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V$ वोल्टेज है,$R$ प्रतिरोध है और $t$ समय है।
पहली कॉइल के लिए: $Q = \frac{V^2}{R_1} \times t_1$,इसलिए $\frac{1}{R_1} = \frac{Q}{V^2 t_1}$.
दूसरी कॉइल के लिए: $Q = \frac{V^2}{R_2} \times t_2$,इसलिए $\frac{1}{R_2} = \frac{Q}{V^2 t_2}$.
जब समानांतर में जोड़ा जाता है,तो समतुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ का मान $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ होता है।
समानांतर संयोजन के लिए ऊष्मा का समीकरण $Q = \frac{V^2}{R_{eq}} \times t$ है,जो $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{Q}{V^2 t}$ देता है।
इन मानों को समानांतर प्रतिरोध के सूत्र में रखने पर: $\frac{Q}{V^2 t} = \frac{Q}{V^2 t_1} + \frac{Q}{V^2 t_2}$.
यह सरल होकर $\frac{1}{t} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$ हो जाता है।
दिए गए मान $t_1 = 10$ और $t_2 = 40$ रखने पर: $\frac{1}{t} = \frac{1}{10} + \frac{1}{40} = \frac{4+1}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.
अतः,$t = 8 \; min$.

(B) जब एक आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत वेग $\vec{v}$ के साथ गति करता है,तो उस पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल $\vec{F}$ हमेशा वेग $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय बल द्वारा कण पर किया गया कार्य शून्य होता है $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन किए गए कार्य के बराबर होता है। चूंकि कार्य शून्य है,इसलिए गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,एक स्थिर गतिज ऊर्जा का अर्थ है कि कण की चाल $(v)$ अपरिवर्तित रहती है।
हालाँकि,चूंकि बल वेग के लंबवत कार्य करता है,यह गति की दिशा को बदल देता है,जिससे कण एक वृत्ताकार पथ में गति करने लगता है। इस प्रकार,वेग और त्वरण लगातार बदलते रहते हैं।

(B) दिए गए परिपथ में श्रेणीक्रम में जुड़े दो $NAND$ गेट हैं।
मान लीजिए कि पहले $NAND$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। पहले $NAND$ गेट का आउटपुट $X = \overline{A \cdot B}$ है।
यह आउटपुट $X$ दूसरे $NAND$ गेट के लिए इनपुट के रूप में कार्य करता है। चूंकि दूसरे $NAND$ गेट के दोनों इनपुट $X$ से जुड़े हैं, इसलिए इसका आउटपुट $Y = \overline{X \cdot X} = \overline{X}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$X$ का मान रखने पर, हमें $Y = \overline{(\overline{A \cdot B})} = A \cdot B$ प्राप्त होता है।
व्यंजक $Y = A \cdot B$ एक $AND$ गेट के लॉजिक फंक्शन को दर्शाता है।
अतः, दिया गया परिपथ $AND$ गेट का कार्य करता है।

(B) प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है।
प्रकाश के बिंदु स्रोत के लिए,तीव्रता $I$ व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करती है: $I \propto \frac{1}{d^2}$,जहाँ $d$ स्रोत से दूरी है।
जब दूरी दोगुनी कर दी जाती है $(d' = 2d)$,तो नई तीव्रता $I'$ का मान $I' = \frac{I}{2^2} = \frac{I}{4}$ हो जाता है।
चूंकि उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या तीव्रता के सीधे आनुपातिक होती है,इसलिए उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या प्रारंभिक संख्या की एक चौथाई हो जाती है।
प्रत्येक उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करती है,न कि उसकी तीव्रता पर। इसलिए,प्रत्येक उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।