AIPMT 1993 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે $\overrightarrow{v_b}$ એ પાણીની સાપેક્ષે હોડીનો વેગ છે અને $\overrightarrow{v_r}$ એ જમીનની સાપેક્ષે નદીના પાણીનો વેગ છે.
જમીનની સાપેક્ષે હોડીનો પરિણામી વેગ $\overrightarrow{v_{bg}} = \overrightarrow{v_b} + \overrightarrow{v_r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હોડી નદીના પ્રવાહને લંબ રૂપે ઓળંગતી હોવાથી,સદિશો $\overrightarrow{v_b}$ અને $\overrightarrow{v_r}$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,પરિણામી વેગનું મૂલ્ય $v_{bg} = \sqrt{v_b^2 + v_r^2}$ થાય.
અહીં $v_{bg} = 10 \, km/h$ અને $v_b = 8 \, km/h$ આપેલ છે,તેથી:
$10 = \sqrt{8^2 + v_r^2}$
$100 = 64 + v_r^2$
$v_r^2 = 100 - 64 = 36$
$v_r = 6 \, km/h$.

(A) પદાર્થ દ્વારા $n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતો હોવાથી,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
તેથી,$n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = \frac{a}{2}(2n - 1)$ થાય.
$4^{th}$ સેકન્ડ માટે $(n = 4)$: $S_4 = \frac{a}{2}(2 \times 4 - 1) = \frac{a}{2}(7) = \frac{7a}{2}$.
$3^{rd}$ સેકન્ડ માટે $(n = 3)$: $S_3 = \frac{a}{2}(2 \times 3 - 1) = \frac{a}{2}(5) = \frac{5a}{2}$.
$4^{th}$ સેકન્ડ અને $3^{rd}$ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતરનો ગુણોત્તર: $\frac{S_4}{S_3} = \frac{7a/2}{5a/2} = \frac{7}{5}$.

(C) જ્યારે કોઈ બ્લોકને ઢળતા સમતલ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$,લંબબળ $(N)$ અને સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(f_s)$ છે.
ઢાળની દિશામાં વજનનો ઘટક $mg \sin \alpha$ છે અને ઢાળને લંબ ઘટક $mg \cos \alpha$ છે.
બ્લોક સ્થિર રહે તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f_s = mg \sin \alpha$ અને લંબબળ $N = mg \cos \alpha$ થાય.
જ્યારે નમનકોણ એ વિરામકોણ $\theta$ જેટલો થાય ત્યારે બ્લોક સરકવાનું શરૂ કરે છે. આ બિંદુએ,સ્થિત ઘર્ષણ તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર પહોંચે છે,$f_{s,max} = \mu_s N$.
સરકવાની શરૂઆતના બિંદુએ બળોને સરખાવતા: $mg \sin \theta = \mu_s (mg \cos \theta)$.
બંને બાજુને $mg \cos \theta$ વડે ભાગતા,આપણને $\mu_s = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ મળે છે.
આમ,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\tan \theta$ છે.

(D) ગતિઊર્જા $(K)$,વેગમાન $(P)$ અને દળ $(m)$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{P^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી $(K_1 = K_2)$,આપણને મળે છે $\frac{P_1^2}{2m_1} = \frac{P_2^2}{2m_2}$.
પદોને ગોઠવતા,$\frac{P_1^2}{P_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ થાય.
અહીં $m_1 = 1\, g$ અને $m_2 = 9\, g$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
આમ,તેમના વેગમાનનો ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ઉપગ્રહના આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ તેની ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન સાથે સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto r^3$.
આ સંબંધ ઉપગ્રહના દળ પર આધારિત નથી.
ઉપગ્રહ $A$ માટે આપેલ છે: $r_A = r$.
ઉપગ્રહ $B$ માટે આપેલ છે: $r_B = 2r$.
તેમના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{T_A}{T_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^{3/2} = \left( \frac{r}{2r} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{2 \cdot 2^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:2\sqrt{2}$ છે.

(B) દબાણ વધવાની સાથે બરફનું ગલનબિંદુ ઘટે છે. આનું કારણ એ છે કે બરફ જામતી વખતે વિસ્તરણ પામે છે,એટલે કે જ્યારે તે પ્રવાહી પાણીમાંથી ઘન બરફમાં ફેરવાય છે ત્યારે તેનું કદ વધે છે. લે ચેટલિયરના સિદ્ધાંત અને ક્લોસિયસ-ક્લેપાયરોન સંબંધ મુજબ,જે પદાર્થો થીજી જતી વખતે વિસ્તરણ પામે છે,તેમના માટે દબાણમાં વધારો ગલનબિંદુને ઘટાડે છે.

(D) મેયરના સંબંધ મુજબ,કોઈપણ આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_p)$ અને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_v)$ વચ્ચેનો તફાવત સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $(R)$ જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$C_p - C_v = R$.
જેમ કે $R$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક છે,તે તમામ આદર્શ વાયુઓ માટે સમાન રહે છે,પછી ભલે તેમનું આણ્વીય દળ કે બંધારણ ગમે તે હોય.
હાઇડ્રોજન વાયુ માટે,$C_p - C_v = a = R$.
ઓક્સિજન વાયુ માટે,$C_p - C_v = b = R$.
તેથી,$a = b$.

(B) દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુના અણુ માટે,ગતિનું વર્ણન ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં કરી શકાય છે.
કોઈપણ વાયુના અણુ માટે સ્થાનાંતરીય મુક્તિના અંશોની સંખ્યા હંમેશા $3$ હોય છે,જે $x, y,$ અને $z$ અક્ષો પરની ગતિને અનુરૂપ છે.
દ્રઢ દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ માટે ભ્રમણીય મુક્તિના અંશોની સંખ્યા $2$ છે.
તેથી,સ્થાનાંતરીય મુક્તિના અંશોની સંખ્યા $3$ છે.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,તંત્રને આપેલી ઉષ્મા એ આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર અને તંત્ર દ્વારા થયેલા કાર્યના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$
આપેલ છે:
આપેલી ઉષ્મા,$\Delta Q = 110\; J$
આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર,$\Delta U = 40\; J$
કાર્ય શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta W = \Delta Q - \Delta U$
$\Delta W = 110\; J - 40\; J = 70\; J$
તેથી,થયેલ બાહ્ય કાર્ય $70\; J$ છે.

(B) થર્મોડાયનેમિક સ્ટેટ ફંક્શન એ એક એવી રાશિ છે જેનું મૂલ્ય માત્ર સિસ્ટમની વર્તમાન સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે,તે સ્થિતિ સુધી પહોંચવા માટે અપનાવેલા માર્ગ પર નહીં.
એન્થાલ્પી $(H)$,ગિબ્સ ઉર્જા $(G)$,અને આંતરિક ઉર્જા $(U)$ એ તમામ સ્ટેટ ફંક્શન છે કારણ કે તે માત્ર સિસ્ટમના સ્ટેટ વેરીએબલ્સ પર આધાર રાખે છે.
કાર્ય $(W)$ એ પાથ ફંક્શન છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું મૂલ્ય સિસ્ટમની સ્થિતિ બદલવા માટે અપનાવેલા ચોક્કસ માર્ગ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,કાર્ય એ થર્મોડાયનેમિક સ્ટેટ ફંક્શન નથી.

(D) સિસ્ટમની થર્મોડાયનેમિક સ્થિતિ સ્ટેટ ફંક્શન્સ (State Functions) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેમ કે દબાણ $(P)$,કદ $(V)$,તાપમાન $(T)$,અને આંતરિક ઉર્જા $(U)$. આ પરિમાણો માત્ર સિસ્ટમની વર્તમાન સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે,તે સ્થિતિ સુધી પહોંચવા માટે અપનાવેલા માર્ગ પર નહીં.
કાર્ય $(W)$ એ પાથ ફંક્શન (Path Function) છે,સ્ટેટ ફંક્શન નથી. તે પ્રક્રિયા દરમિયાન સિસ્ટમ અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે સ્થાનાંતરિત થતી ઉર્જાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે,અને તેનું મૂલ્ય થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા દરમિયાન અપનાવેલા ચોક્કસ માર્ગ પર આધાર રાખે છે. તેથી,કાર્ય એ દ્રવ્યની થર્મોડાયનેમિક સ્થિતિને લાક્ષણિકતા આપતું નથી.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $P \propto T^4$.
પૃથ્વી પર પ્રાપ્ત થતી ઉર્જાનો દર સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવરના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,આપણી પાસે $E \propto T^4$ છે.
જો તાપમાન બમણું કરવામાં આવે $(T' = 2T)$,તો ઉર્જાનો નવો દર $E'$ એ $E' \propto (2T)^4 = 16T^4$ થશે.
તેથી,પ્રાપ્ત થતી ઉર્જાનો દર $16$ ગણો વધશે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની $y$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2}m\omega^2 y^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_{\max}$ કંપવિસ્તાર $a$ પર મળે છે,જે $U_{\max} = \frac{1}{2}m\omega^2 a^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્થિતિ ઊર્જા તેના મહત્તમ મૂલ્યના એક-ચતુર્થાંશ છે:
$U = \frac{1}{4} U_{\max}$
$U$ અને $U_{\max}$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{1}{2}m\omega^2 y^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2}m\omega^2 a^2)$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{1}{2}m\omega^2$ ને દૂર કરતા:
$y^2 = \frac{1}{4} a^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$y = \frac{a}{2}$

(C) આદર્શ વાયુમાં અવાજની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે,$R$ એ વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $T_1$ તાપમાને અવાજની ઝડપ $v_1$ છે અને $T_2$ તાપમાને ઝડપ $v_2$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \ K$.
આપણે ઝડપ બમણી કરવી છે,તેથી $v_2 = 2v_1$.
પ્રમાણસરતા $v_2/v_1 = \sqrt{T_2/T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2 = \sqrt{T_2/300}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4 = T_2/300$,જે આપણને $T_2 = 1200 \ K$ આપે છે.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા,$T_2 = 1200 - 273 = 927^\circ C$.

(D) બાઈનરી તારાઓ એવા બે તારાઓ છે જે સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ફરે છે. તેમના ભ્રમણકક્ષાના સમયગાળા અને તેમની વચ્ચેના અંતરનું અવલોકન કરીને,ખગોળશાસ્ત્રીઓ તારાઓના દળ નક્કી કરવા માટે કેપ્લરના નિયમો અને ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકે છે. વધુમાં,બાઈનરી તારાઓની ગતિ અવકાશી સંદર્ભમાં ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ માટે સીધી અવલોકનક્ષમ કસોટી પૂરી પાડે છે,જે પુષ્ટિ કરે છે કે પૃથ્વી પરની વસ્તુઓ માટે જે ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમો લાગુ પડે છે તે જ દૂરના તારાઓ માટે પણ લાગુ પડે છે.

(D) ધારો કે બાજુ $AB = B$ અને $BC = L = 2B$ છે. લંબચોરસનું દળ $M$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને બાજુઓને સમાંતર ધરી માટે:
$I_{EG} = \frac{MB^2}{12}$
$I_{HF} = \frac{ML^2}{12} = \frac{M(2B)^2}{12} = \frac{4MB^2}{12} = \frac{MB^2}{3}$
વિકર્ણ $BD$ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{BD} = \frac{M B^2 L^2}{6(B^2 + L^2)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L = 2B$ મૂકતા:
$I_{BD} = \frac{M B^2 (2B)^2}{6(B^2 + (2B)^2)} = \frac{4MB^4}{6(5B^2)} = \frac{4MB^2}{30} = \frac{2MB^2}{15} \approx 0.133 MB^2$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા:
$I_{EG} = 0.0833 MB^2$
$I_{HF} = 0.333 MB^2$
$I_{BD} = 0.133 MB^2$
આમ,ધરી $EG$ પર જડત્વની ચાકમાત્રા ન્યૂનતમ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $P = P_0 \exp(-\alpha t^2)$ છે.
$e^x$ સ્વરૂપના કોઈપણ ઘાતાંકીય વિધેયમાં,ઘાતાંક $x$ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,પદ $\alpha t^2$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha$ ના પરિમાણ અને $t^2$ ના પરિમાણનો ગુણાકાર $1$ (પરિમાણરહિત) થવો જોઈએ.
$[\alpha] [t^2] = [M^0 L^0 T^0] = 1$.
કારણ કે $[t] = [T]$,તેથી $[\alpha] [T^2] = 1$.
આમ,$[\alpha] = [T^{-2}]$.

(A) પ્રથમ તરંગની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{4}\; Hz$ છે.
બીજા તરંગની આવૃત્તિ $f_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{3}\; Hz$ છે.
જ્યારે અલગ-અલગ આવૃત્તિ ધરાવતા બે તરંગોને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ 'બીટ્સ' (beats) ઉત્પન્ન કરે છે.
બીટ આવૃત્તિ $f_b = |f_2 - f_1| = |\frac{1}{3} - \frac{1}{4}| = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}\; Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિણામી બીટ ઘટનાનો આવર્તકાળ $T = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{1/12} = 12\; s$ થશે.

(C) દબાણ $P$ ના પરિમાણો $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
ત્રિજ્યા $r$ અને અંતર $x$ ના પરિમાણો $[L]$ છે.
વેગ $v$ ના પરિમાણો $[LT^{-1}]$ છે.
લંબાઈ $l$ ના પરિમાણો $[L]$ છે.
આપેલ સૂત્ર $\eta = \frac{P(r^2 - x^2)}{4vl}$ માં પરિમાણો મૂકતા:
$\eta = \frac{[ML^{-1}T^{-2}] \cdot [L^2]}{[LT^{-1}] \cdot [L]}$
$\eta = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2T^{-1}]}$
$\eta = [ML^{-1}T^{-1}]$

(C) ઢળતા સમતલ પર ગબડતી વસ્તુ માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \theta} (1 + \frac{K^2}{R^2})}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5} = 0.4$ થાય.
તકતી અને નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે,તેથી $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2} = 0.5$ થાય.
સમય $t$ એ $\sqrt{1 + \frac{K^2}{R^2}}$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,જે પદાર્થ માટે $\frac{K^2}{R^2}$ નું મૂલ્ય સૌથી ઓછું હોય તે સૌથી પહેલા નીચે પહોંચશે.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$0.4 < 0.5$ હોવાથી,નક્કર ગોળો સૌથી પહેલા નીચે પહોંચશે.

(D) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
અહીં,$T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ તારની રેખીય ઘનતા છે.
તણાવ $T$ અને ઘનતા $\mu$ અચળ હોવાથી,આવૃત્તિ અને લંબાઈનો ગુણાકાર અચળ રહે છે: $f_1 l_1 = f_2 l_2$.
આપેલ છે કે $f_1 = 512 \; Hz$,$l_1 = 0.5 \; m$,અને $f_2 = 256 \; Hz$.
કિંમતો મૂકતા: $512 \times 0.5 = 256 \times l_2$.
$256 = 256 \times l_2$.
તેથી,$l_2 = 1 \; m$.

(B) ધારો કે વાંદરાનું દળ $m$ છે અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ છે.
ધારો કે વાંદરો $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતરે છે.
વાંદરા માટે બળનું સમીકરણ $mg - T = ma$ છે,જ્યાં $T$ એ ડાળીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ છે.
ડાળી તૂટી ન જાય તે માટે,તણાવ બળ $T$ એ ડાળીની તોડવાની ક્ષમતા કરતા વધવું ન જોઈએ.
તોડવાની ક્ષમતા વાંદરાના વજનના $75 \%$ આપેલી છે,તેથી $T_{max} = 0.75mg = \frac{3}{4}mg$.
સમીકરણ $mg - T = ma$ માં $T = \frac{3}{4}mg$ મૂકતા:
$mg - \frac{3}{4}mg = ma$
$\frac{1}{4}mg = ma$
$a = \frac{g}{4}$.
આમ,વાંદરો ડાળી તોડ્યા વગર નીચે ઉતરી શકે તે માટેનો લઘુત્તમ પ્રવેગ $\frac{g}{4}$ છે.

(B) $r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ના તંત્રની વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q_1 = -e$ અને $q_2 = -e$ હોવાથી,સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$ થાય છે.
જ્યારે એક ઇલેક્ટ્રોનને બીજા ઇલેક્ટ્રોન તરફ ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ ઘટે છે.
$U \propto \frac{1}{r}$ હોવાથી,જેમ અંતર $r$ ઘટે છે,તેમ સ્થિતિઊર્જા $U$ વધે છે.

(C) $3\,\Omega$ અને $6\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,બંનેના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે.
ધારો કે સમાંતર જોડાણના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_p$ છે.
$V_p = I_1 R_1 = I_2 R_2$
$0.8 \times 3 = I_2 \times 6$
$I_2 = \frac{2.4}{6} = 0.4\,A$
$4\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$ એ સમાંતર શાખાઓમાંથી વહેતા પ્રવાહોનો સરવાળો છે:
$I = I_1 + I_2 = 0.8\,A + 0.4\,A = 1.2\,A$
$4\,\Omega$ ના અવરોધમાં થતો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V = I \times R = 1.2\,A \times 4\,\Omega = 4.8\,V$ થાય.

(D) જ્યારે $4\,\Omega$ ના ત્રણ અવરોધોને સમબાજુ ત્રિકોણમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ધારો કે ખૂણાઓ $A$,$B$ અને $C$ છે.
કોઈપણ બે ખૂણાઓ (દા.ત.,$A$ અને $B$) વચ્ચેનો અસરકારક અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથની ગોઠવણી જોઈએ.
$A$ અને $B$ ની વચ્ચે સીધો જોડાયેલ અવરોધ એ બાકીના બે અવરોધો (જે $A-C$ અને $C-B$ વચ્ચે જોડાયેલા છે) ના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતર છે.
શ્રેણી શાખાનો અવરોધ = $4\,\Omega + 4\,\Omega = 8\,\Omega$.
હવે,આ $8\,\Omega$ ની શાખા એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સીધા જોડાયેલા $4\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2+1}{8} = \frac{3}{8}$.
તેથી,$R_{eq} = \frac{8}{3}\,\Omega$.

(A) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\overrightarrow{F_m} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
અહીં,વેગ સદિશ $\overrightarrow{v}$ એ $+X$-દિશામાં છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ એ $-X$-દિશામાં છે.
તેથી,$\overrightarrow{v}$ અને $\overrightarrow{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^\circ$ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B} = vB \sin(180^\circ) = 0$ હોવાથી,ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F_m}$ શૂન્ય થાય છે.
તેથી,વિદ્યુતભાર અચળ વેગ સાથે $X$-દિશામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે અને તેના પર કોઈ અસર થશે નહીં.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવેલી વિદ્યુત પ્રવાહ ધરાવતી કોઈલ પર ચુંબકીય ટોર્ક લાગે છે,જે $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{M}$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,$E.M.F.$ ત્યારે જ પ્રેરિત થાય છે જ્યારે કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય $(\varepsilon = -d\phi/dt)$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન હોવાથી અને કોઈલ ક્ષેત્રની સાપેક્ષમાં ગતિ કરતી નથી કે તેનું ઓરિએન્ટેશન બદલાતું નથી,તેથી ચુંબકીય ફ્લક્સમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. પરિણામે,કોઈ $E.M.F.$ પ્રેરિત થતું નથી.
આમ,માત્ર ટોર્ક ઉત્પન્ન થાય છે. સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સને કારણે કોઈલ (ગૂંચળા) માં ઉત્પન્ન થતું $e.m.f.$ $(e)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = L \cdot \left| \frac{di}{dt} \right|$.
આપેલ છે:
$e = 5 \,V$
પ્રવાહમાં ફેરફાર,$di = 3 \,A - 2 \,A = 1 \,A$
સમયગાળો,$dt = 1 \,ms = 1 \times 10^{-3} \,s$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 = L \cdot \frac{1 \,A}{1 \times 10^{-3} \,s}$
$5 = L \cdot 10^3$
$L = \frac{5}{10^3} \,H = 5 \times 10^{-3} \,H = 5 \,mH$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$E = mc^2$,જ્યાં $m$ એ સાપેક્ષ દળ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
બંને ઊર્જાના સમીકરણોને સરખાવતા: $mc^2 = h\nu$.
ફોટોનનું વેગમાન $p = mc$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવાથી,આપણે $m = \frac{p}{c}$ ને સમીકરણમાં મૂકી શકીએ: $p = \frac{h\nu}{c}$.
$\nu = \frac{c}{\lambda}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $\nu$ ની કિંમત મૂકીએ: $p = \frac{h(c/\lambda)}{c} = \frac{h}{\lambda}$.
તેથી,ફોટોનનું વેગમાન $\frac{h}{\lambda}$ છે.

(D) ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર મુજબ,દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા એ દર સેકન્ડે આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
પ્રકાશની તીવ્રતા એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમયમાં આપાત થતી ઊર્જા,જે ધાતુની સપાટી પર આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યાના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા વધારવાથી આપાત ફોટોનની સંખ્યા વધે છે,જેના પરિણામે દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટો-ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યામાં વધારો થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જકનું વર્ક ફંક્શન $W_0$ સૂત્ર $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$c$ એ પ્રકાશની ગતિ છે,અને $\lambda_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે.
ધારો કે આપેલી તરંગલંબાઈઓ સંબંધિત ઉત્સર્જકો માટે થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ છે,તો આપણી પાસે $\lambda_{01} = 300 \; nm$ અને $\lambda_{02} = 600 \; nm$ છે.
વર્ક ફંક્શનનો ગુણોત્તર $\frac{W_{01}}{W_{02}} = \frac{hc / \lambda_{01}}{hc / \lambda_{02}} = \frac{\lambda_{02}}{\lambda_{01}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{W_{01}}{W_{02}} = \frac{600 \; nm}{300 \; nm} = \frac{2}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ધરાવતી ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી ધરાસ્થિતિમાં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જાતી વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$N = \frac{n(n - 1)}{2}$
અહીં આપેલ છે કે ઇલેક્ટ્રોન મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n = 4$ ધરાવતી અવસ્થામાં ઉત્તેજિત થાય છે,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$N = \frac{4(4 - 1)}{2}$
$N = \frac{4 \times 3}{2}$
$N = \frac{12}{2} = 6$
તેથી,ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં કુલ વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $6$ થશે.

(B) ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $(B.E./A)$ એ ન્યુક્લિયસની સ્થિરતાનું માપ છે.
બંધન ઉર્જાના વક્ર મુજબ,હલકા ન્યુક્લિયસ માટે $B.E./A$ નું મૂલ્ય દળ ક્રમાંક $A$ સાથે વધે છે,આયર્ન $(_{26}^{56}Fe)$ માટે આશરે $8.8 \text{ MeV}$ જેટલું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે,અને ત્યારબાદ ભારે ન્યુક્લિયસ માટે ધીમે ધીમે ઘટે છે.
તેથી,ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા $_{26}^{56}Fe$ માટે મહત્તમ છે.

(B) પાવર $P = 5 \, W = 5 \, J/s$.
દરેક વિખંડન દીઠ મુક્ત થતી ઉર્જા $E = 200 \, MeV = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 3.2 \times 10^{-11} \, J$.
વિખંડન દર $R = \frac{P}{E} = \frac{5}{3.2 \times 10^{-11}} \, s^{-1}$.
$R = 1.5625 \times 10^{11} \, s^{-1} \approx 1.56 \times 10^{11} \, s^{-1}$.

(B) આપેલ પ્રક્રિયા શ્રેણી: $_Z{X^A} \to _{Z+1}{Y^A} \to _{Z-1}{K^{A-4}} \to _{Z-1}{K^{A-4}}$ છે.
$1$. પ્રથમ તબક્કામાં,$_Z{X^A} \to _{Z+1}{Y^A}$,પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે જ્યારે દળ ક્રમાંક સમાન રહે છે. આ $\beta^-$-કણ $(_{-1}e^0)$ ના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે.
$2$. બીજા તબક્કામાં,$_{Z+1}{Y^A} \to _{Z-1}{K^{A-4}}$,પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે અને દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે. આ $\alpha$-કણ $(_{2}He^4)$ ના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે.
$3$. ત્રીજા તબક્કામાં,$_{Z-1}{K^{A-4}} \to _{Z-1}{K^{A-4}}$,પરમાણુ ક્રમાંક કે દળ ક્રમાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,જે $\gamma$-કિરણ (વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ) ના ઉત્સર્જનને સૂચવે છે.
તેથી,ઉત્સર્જનનો ક્રમ $\beta, \alpha, \gamma$ છે.

(B) ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,$Emitter$ (એમિટર્સ) એવો વિભાગ છે જેનું ભારે ડોપિંગ કરવામાં આવે છે. ભારે ડોપિંગનો હેતુ મોટા પ્રમાણમાં મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ પૂરા પાડવાનો છે,જે પછી $Base$ (બેઝ) વિસ્તારમાં દાખલ કરવામાં આવે છે. $Base$ હળવું ડોપિંગ ધરાવે છે અને પાતળો હોય છે,જ્યારે $Collector$ (કલેક્ટર) મધ્યમ ડોપિંગ ધરાવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ $v = \frac{c}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(3 \times 10^8 \, m/s)$ છે અને $n$ એ વક્રીભવનાંક છે.
અહીં $n = 1.5$ આપેલ છે,તેથી બારીમાં પ્રકાશનો વેગ $v = \frac{3 \times 10^8}{1.5} = 2 \times 10^8 \, m/s$ થશે.
બારીની જાડાઈ $d = 4 \, mm = 4 \times 10^{-3} \, m$ છે.
લાગતો સમય $t = \frac{d}{v}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$t = \frac{4 \times 10^{-3}}{2 \times 10^8} = 2 \times 10^{-11} \, s$ મળે છે.

(B) રેખીય ઉત્સર્જન વર્ણપટ ઓછા દબાણવાળા વાયુમાં ઉત્તેજિત પરમાણુઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,નિયોન સ્ટ્રીટ સાઇનમાં ઓછા દબાણે નિયોન વાયુ હોય છે.
જ્યારે વાયુમાંથી ઇલેક્ટ્રિક ડિસ્ચાર્જ પસાર થાય છે,ત્યારે નિયોન પરમાણુઓ ઉત્તેજિત થાય છે અને ચોક્કસ,અલગ તરંગલંબાઇ પર પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે,જેના પરિણામે રેખીય ઉત્સર્જન વર્ણપટ મળે છે.
તેની સરખામણીમાં,ઇલેક્ટ્રિક ફાયર અથવા સૂર્ય જેવા સ્ત્રોતો ઘન પદાર્થો અથવા ઉચ્ચ દબાણવાળા વાયુઓમાંથી થતા ઉષ્મીય વિકિરણને કારણે સતત વર્ણપટ (continuous spectra) ઉત્પન્ન કરે છે.

(D) વ્યતિકરણના પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ એ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે ચેમ્બર હવાથી ભરેલી હોય છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda_{air} = \frac{\lambda_0}{\mu_{air}}$ હોય છે,જ્યાં $\lambda_0$ એ શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઇ છે અને $\mu_{air} \approx 1.0003$ છે.
જ્યારે ચેમ્બરને શૂન્યાવકાશિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે વક્રીભવનાંક $\mu_{vac} = 1$ થઈ જાય છે.
કારણ કે $\mu_{vac} < \mu_{air}$,શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની તરંગલંબાઇ હવાની તુલનામાં મોટી થઈ જાય છે $(\lambda_{vac} > \lambda_{air})$.
જેમ કે $\beta \propto \lambda$,તેથી જ્યારે ચેમ્બરને શૂન્યાવકાશિત કરવામાં આવે ત્યારે શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ વધે છે.

(C) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાતમાં પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત $d \sin \theta = n \lambda$ છે,જ્યાં પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે $n = 1$ લેતા.
આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 5000 \; \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \; m = 5 \times 10^{-7} \; m$.
સ્લિટની પહોળાઈ $d = 0.001 \; mm = 10^{-3} \; mm = 10^{-6} \; m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \frac{\lambda}{d} = \frac{5 \times 10^{-7}}{10^{-6}} = 0.5$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}(0.5) = 30^o$.

(B) આપેલ ક્ષય શ્રેણી: ${}_Z^AX \to {}_{Z + 1}^AY \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K$ છે.
$1$. પ્રથમ તબક્કામાં,${}_Z^AX \to {}_{Z + 1}^AY$: પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે જ્યારે દળ ક્રમાંક સમાન રહે છે. આ $\beta^-$ કણના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે.
$2$. બીજા તબક્કામાં,${}_{Z + 1}^AY \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K$: પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે અને દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે. આ $\alpha$ કણના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે.
$3$. ત્રીજા તબક્કામાં,${}_{Z - 1}^{A - 4}K \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K$: પરમાણુ ક્રમાંક કે દળ ક્રમાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,જે $\gamma$ કિરણના ઉત્સર્જન (ન્યુક્લિયસનું ડી-એક્સાઈટેશન) સૂચવે છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત થતા કણોનો ક્રમ $\beta, \alpha, \gamma$ છે.

(D) કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ ને $L = \frac{N \phi}{i}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાઓની સંખ્યા છે,$\phi$ એ દરેક આંટામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ છે અને $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
સોલેનોઇડ માટે,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B A$ છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i = \frac{\mu_0 N i}{l}$ છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાઓની સંખ્યા $(n = N/l)$ છે અને $l$ એ સોલેનોઇડની લંબાઈ છે.
$B$ ની કિંમત ફ્લક્સના સમીકરણમાં મૂકતા: $\phi = \left( \frac{\mu_0 N i}{l} \right) A$.
હવે,$L$ ના સમીકરણમાં $\phi$ ની કિંમત મૂકતા: $L = \frac{N}{i} \left( \frac{\mu_0 N i A}{l} \right) = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$.
આમ,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ $N^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.