AIPMT 1993 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) मान लीजिए $\overrightarrow{v_b}$ पानी के सापेक्ष नाव का वेग है और $\overrightarrow{v_r}$ जमीन के सापेक्ष नदी के पानी का वेग है।
जमीन के सापेक्ष नाव का परिणामी वेग $\overrightarrow{v_{bg}} = \overrightarrow{v_b} + \overrightarrow{v_r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि नाव नदी के प्रवाह के लंबवत पार करती है,इसलिए सदिश $\overrightarrow{v_b}$ और $\overrightarrow{v_r}$ एक दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,परिणामी वेग का परिमाण $v_{bg} = \sqrt{v_b^2 + v_r^2}$ होगा।
यहाँ $v_{bg} = 10 \, km/h$ और $v_b = 8 \, km/h$ दिया गया है,इसलिए:
$10 = \sqrt{8^2 + v_r^2}$
$100 = 64 + v_r^2$
$v_r^2 = 100 - 64 = 36$
$v_r = 6 \, km/h$.

(A) किसी पिंड द्वारा $n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
चूंकि पिंड विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
अतः,$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
$4^{th}$ सेकंड के लिए $(n = 4)$: $S_4 = \frac{a}{2}(2 \times 4 - 1) = \frac{a}{2}(7) = \frac{7a}{2}$.
$3^{rd}$ सेकंड के लिए $(n = 3)$: $S_3 = \frac{a}{2}(2 \times 3 - 1) = \frac{a}{2}(5) = \frac{5a}{2}$.
$4^{th}$ सेकंड और $3^{rd}$ सेकंड में तय की गई दूरी का अनुपात है: $\frac{S_4}{S_3} = \frac{7a/2}{5a/2} = \frac{7}{5}$.

(C) जब किसी ब्लॉक को नत समतल पर रखा जाता है,तो उस पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$,अभिलंब बल $(N)$ और स्थैतिक घर्षण बल $(f_s)$ हैं।
समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला भार का घटक $mg \sin \alpha$ है और समतल के लंबवत घटक $mg \cos \alpha$ है।
ब्लॉक के स्थिर रहने के लिए,घर्षण बल $f_s = mg \sin \alpha$ और अभिलंब बल $N = mg \cos \alpha$ होता है।
ब्लॉक तब फिसलना शुरू करता है जब झुकाव का कोण विराम कोण $\theta$ तक पहुँच जाता है। इस बिंदु पर,स्थैतिक घर्षण अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाता है,$f_{s,max} = \mu_s N$.
फिसलने के बिंदु पर बलों को बराबर करने पर: $mg \sin \theta = \mu_s (mg \cos \theta)$.
दोनों पक्षों को $mg \cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें $\mu_s = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\tan \theta$ है।

(D) गतिज ऊर्जा $(K)$,संवेग $(P)$ और द्रव्यमान $(m)$ के बीच का संबंध $K = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गतिज ऊर्जा समान है $(K_1 = K_2)$,इसलिए $\frac{P_1^2}{2m_1} = \frac{P_2^2}{2m_2}$ होगा।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{P_1^2}{P_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,संवेग का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ होगा।
यहाँ $m_1 = 1\, g$ और $m_2 = 9\, g$ दिया गया है,मान रखने पर:
$\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
अतः,उनके संवेग का अनुपात $1:3$ है।

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,उपग्रह के आवर्तकाल $T$ का वर्ग उसकी कक्षीय त्रिज्या $r$ के घन के समानुपाती होता है,अर्थात $T^2 \propto r^3$.
यह संबंध उपग्रह के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
उपग्रह $A$ के लिए दिया गया है: $r_A = r$.
उपग्रह $B$ के लिए दिया गया है: $r_B = 2r$.
उनके आवर्तकाल का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{T_A}{T_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^{3/2} = \left( \frac{r}{2r} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{2 \cdot 2^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
अतः,अनुपात $1:2\sqrt{2}$ है।

(B) दबाव बढ़ने पर बर्फ का गलनांक घट जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि बर्फ जमने पर फैलती है,जिसका अर्थ है कि जब यह तरल पानी से ठोस बर्फ में बदलती है तो इसका आयतन बढ़ जाता है। ला शातेलिए के सिद्धांत और क्लॉसियस-क्लैपेरॉन संबंध के अनुसार,जो पदार्थ जमने पर फैलते हैं,उनके लिए दबाव में वृद्धि गलनांक को कम कर देती है।

(D) मेयर के संबंध के अनुसार,किसी भी आदर्श गैस के लिए,स्थिर दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_p)$ और स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_v)$ के बीच का अंतर सार्वत्रिक गैस नियतांक $(R)$ के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$C_p - C_v = R$ होता है।
चूंकि $R$ एक सार्वत्रिक नियतांक है,यह सभी आदर्श गैसों के लिए समान रहता है,चाहे उनका आणविक द्रव्यमान या संरचना कुछ भी हो।
हाइड्रोजन गैस के लिए,$C_p - C_v = a = R$ है।
ऑक्सीजन गैस के लिए,$C_p - C_v = b = R$ है।
इसलिए,$a = b$।

(B) एक द्वि-परमाणुक गैस अणु के लिए,गति का वर्णन त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किया जा सकता है।
किसी भी गैस अणु के लिए स्थानांतरीय स्वतंत्रता की कोटि की संख्या हमेशा $3$ होती है,जो $x, y,$ और $z$ अक्षों के अनुदिश गति के अनुरूप होती है।
एक दृढ़ द्वि-परमाणुक अणु के लिए घूर्णी स्वतंत्रता की कोटि की संख्या $2$ होती है।
अतः,स्थानांतरीय स्वतंत्रता की कोटि की संख्या $3$ है।

(B) ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के अनुसार,निकाय को दी गई ऊष्मा,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन और निकाय द्वारा किए गए कार्य के योग के बराबर होती है।
$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$
दिया गया है:
दी गई ऊष्मा,$\Delta Q = 110\; J$
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन,$\Delta U = 40\; J$
कार्य ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\Delta W = \Delta Q - \Delta U$
$\Delta W = 110\; J - 40\; J = 70\; J$
अतः,किया गया बाह्य कार्य $70\; J$ है।

(B) ऊष्मागतिक अवस्था फलन (state function) वह गुण है जिसका मान केवल निकाय की वर्तमान अवस्था पर निर्भर करता है,न कि उस अवस्था तक पहुँचने के लिए अपनाए गए पथ पर।
एन्थैल्पी $(H)$,गिब्स ऊर्जा $(G)$,और आंतरिक ऊर्जा $(U)$ सभी अवस्था फलन हैं क्योंकि वे केवल निकाय के अवस्था चरों पर निर्भर करते हैं।
किया गया कार्य $(W)$ एक पथ फलन (path function) है,जिसका अर्थ है कि इसका मान निकाय की अवस्था को बदलने के लिए अपनाए गए विशिष्ट पथ पर निर्भर करता है।
इसलिए,किया गया कार्य एक ऊष्मागतिक अवस्था फलन नहीं है।

(D) किसी निकाय की ऊष्मागतिक अवस्था को अवस्था फलनों (State Functions) द्वारा परिभाषित किया जाता है,जैसे कि दाब $(P)$,आयतन $(V)$,तापमान $(T)$,और आंतरिक ऊर्जा $(U)$। ये केवल निकाय की वर्तमान स्थिति पर निर्भर करते हैं,न कि उस स्थिति तक पहुँचने के लिए अपनाए गए पथ पर।
कार्य $(W)$ एक पथ फलन (Path Function) है,अवस्था फलन नहीं। यह एक प्रक्रिया के दौरान निकाय और उसके परिवेश के बीच स्थानांतरित ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है,और इसका मान ऊष्मागतिक प्रक्रिया के दौरान अपनाए गए विशिष्ट पथ पर निर्भर करता है। इसलिए,कार्य पदार्थ की ऊष्मागतिक अवस्था को परिभाषित नहीं करता है।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका (black body) द्वारा विकिरित शक्ति $P$ उसके परम तापमान $T$ की चौथी घात के समानुपाती होती है,अर्थात $P \propto T^4$।
चूंकि पृथ्वी पर प्राप्त ऊर्जा की दर सूर्य द्वारा विकिरित शक्ति के सीधे समानुपाती होती है,इसलिए $E \propto T^4$ है।
यदि तापमान दोगुना कर दिया जाए $(T' = 2T)$,तो ऊर्जा की नई दर $E'$ का मान $E' \propto (2T)^4 = 16T^4$ होगा।
अतः,प्राप्त होने वाली ऊर्जा की दर $16$ गुना बढ़ जाएगी।

(C) सरल आवर्त गति करते हुए कण की $y$ विस्थापन पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2}m\omega^2 y^2$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम स्थितिज ऊर्जा $U_{\max}$ आयाम $a$ पर होती है,जो $U_{\max} = \frac{1}{2}m\omega^2 a^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा उसके अधिकतम मान की एक-चौथाई है:
$U = \frac{1}{4} U_{\max}$
$U$ और $U_{\max}$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{1}{2}m\omega^2 y^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2}m\omega^2 a^2)$
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{1}{2}m\omega^2$ को हटाने पर:
$y^2 = \frac{1}{4} a^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$y = \frac{a}{2}$

(C) आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है,जहाँ $\gamma$ एडियाबेटिक इंडेक्स है,$R$ गैस नियतांक है,$T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है और $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v \propto \sqrt{T}$।
मान लीजिए $T_1$ तापमान पर ध्वनि की गति $v_1$ है और $T_2$ तापमान पर गति $v_2$ है।
दिया गया है कि $T_1 = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \ K$।
हम गति को दोगुना करना चाहते हैं,इसलिए $v_2 = 2v_1$।
समानुपात $v_2/v_1 = \sqrt{T_2/T_1}$ का उपयोग करने पर,हमें $2 = \sqrt{T_2/300}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4 = T_2/300$,जिससे $T_2 = 1200 \ K$ प्राप्त होता है।
सेल्सियस में बदलने पर,$T_2 = 1200 - 273 = 927^\circ C$।

(D) बाइनरी तारे वे दो तारे होते हैं जो एक सामान्य द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर परिक्रमा करते हैं। उनके कक्षीय काल और उनके बीच की दूरी का अवलोकन करके,खगोलशास्त्री तारों के द्रव्यमान को निर्धारित करने के लिए केप्लर के नियमों और न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम का उपयोग कर सकते हैं। इसके अलावा,बाइनरी तारों की गति खगोलीय संदर्भ में न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के लिए एक प्रत्यक्ष अवलोकन परीक्षण प्रदान करती है,जो यह पुष्टि करती है कि पृथ्वी पर वस्तुओं के लिए जो गुरुत्वाकर्षण नियम लागू होते हैं,वही दूर के तारों पर भी लागू होते हैं।

(D) माना भुजा $AB = B$ और $BC = L = 2B$ है। आयत का द्रव्यमान $M$ है।
द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली और भुजाओं के समानांतर अक्ष के लिए:
$I_{EG} = \frac{MB^2}{12}$
$I_{HF} = \frac{ML^2}{12} = \frac{M(2B)^2}{12} = \frac{4MB^2}{12} = \frac{MB^2}{3}$
विकर्ण $BD$ के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I_{BD} = \frac{M B^2 L^2}{6(B^2 + L^2)}$ द्वारा दिया जाता है।
$L = 2B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I_{BD} = \frac{M B^2 (2B)^2}{6(B^2 + (2B)^2)} = \frac{4MB^4}{6(5B^2)} = \frac{4MB^2}{30} = \frac{2MB^2}{15} \approx 0.133 MB^2$.
मानों की तुलना करने पर:
$I_{EG} = 0.0833 MB^2$
$I_{HF} = 0.333 MB^2$
$I_{BD} = 0.133 MB^2$
अतः,अक्ष $EG$ के परितः जड़त्व आघूर्ण न्यूनतम है।

(B) दिया गया समीकरण $P = P_0 \exp(-\alpha t^2)$ है।
$e^x$ के रूप के किसी भी घातांकीय फलन में,घातांक $x$ विमाहीन होना चाहिए।
इसलिए,पद $\alpha t^2$ विमाहीन होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\alpha$ की विमा और $t^2$ की विमा का गुणनफल $1$ (विमाहीन) होना चाहिए।
$[\alpha] [t^2] = [M^0 L^0 T^0] = 1$.
चूँकि $[t] = [T]$,इसलिए $[\alpha] [T^2] = 1$.
अतः,$[\alpha] = [T^{-2}]$.

(A) पहली तरंग की आवृत्ति $f_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{4}\; Hz$ है।
दूसरी तरंग की आवृत्ति $f_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{3}\; Hz$ है।
जब अलग-अलग आवृत्तियों वाली दो तरंगों को संयोजित किया जाता है,तो वे 'बीट्स' (beats) उत्पन्न करती हैं।
बीट आवृत्ति $f_b = |f_2 - f_1| = |\frac{1}{3} - \frac{1}{4}| = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}\; Hz$ द्वारा दी जाती है।
परिणामी बीट घटना का आवर्तकाल $T = \frac{1}{f_b} = \frac{1}{1/12} = 12\; s$ होगा।

(C) दाब $P$ की विमाएँ $[ML^{-1}T^{-2}]$ हैं।
त्रिज्या $r$ और दूरी $x$ की विमाएँ $[L]$ हैं।
वेग $v$ की विमाएँ $[LT^{-1}]$ हैं।
लंबाई $l$ की विमाएँ $[L]$ हैं।
दिए गए सूत्र $\eta = \frac{P(r^2 - x^2)}{4vl}$ में विमाएँ रखने पर:
$\eta = \frac{[ML^{-1}T^{-2}] \cdot [L^2]}{[LT^{-1}] \cdot [L]}$
$\eta = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2T^{-1}]}$
$\eta = [ML^{-1}T^{-1}]$

(C) नत समतल पर लुढ़कने वाली वस्तु द्वारा लिया गया समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \theta} (1 + \frac{K^2}{R^2})}$ द्वारा दिया जाता है।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5}MR^2$ है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{2}{5} = 0.4$ है।
डिस्क और ठोस बेलन के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{2}MR^2$ है,इसलिए $\frac{K^2}{R^2} = \frac{1}{2} = 0.5$ है।
चूँकि समय $t$,$\sqrt{1 + \frac{K^2}{R^2}}$ के समानुपाती है,इसलिए जिस वस्तु के लिए $\frac{K^2}{R^2}$ का मान सबसे कम होगा,वह सबसे पहले नीचे पहुँचेगी।
मानों की तुलना करने पर,$0.4 < 0.5$ है,इसलिए ठोस गोला सबसे पहले नीचे पहुँचेगा।

(D) एक तने हुए तार की मूल आवृत्ति $f$ का सूत्र है: $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$।
यहाँ,$T$ तनाव है और $\mu$ तार का रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
चूंकि $T$ और $\mu$ स्थिर रहते हैं,इसलिए आवृत्ति और लंबाई का गुणनफल स्थिर होता है: $f_1 l_1 = f_2 l_2$।
दिया गया है $f_1 = 512 \; Hz$,$l_1 = 0.5 \; m$,और $f_2 = 256 \; Hz$।
मान रखने पर: $512 \times 0.5 = 256 \times l_2$।
$256 = 256 \times l_2$।
अतः,$l_2 = 1 \; m$।

(B) मान लीजिए कि बंदर का द्रव्यमान $m$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g$ है।
मान लीजिए कि बंदर $a$ त्वरण के साथ नीचे उतर रहा है।
बंदर के लिए बल का समीकरण $mg - T = ma$ है,जहाँ $T$ शाखा में तनाव है।
शाखा को टूटने से बचाने के लिए,तनाव $T$ शाखा की तोड़ने की क्षमता से अधिक नहीं होना चाहिए।
तोड़ने की क्षमता बंदर के वजन का $75 \%$ दी गई है,इसलिए $T_{max} = 0.75mg = \frac{3}{4}mg$ है।
समीकरण $mg - T = ma$ में $T = \frac{3}{4}mg$ रखने पर:
$mg - \frac{3}{4}mg = ma$
$\frac{1}{4}mg = ma$
$a = \frac{g}{4}$।
अतः,बंदर के लिए शाखा को तोड़े बिना नीचे फिसलने के लिए आवश्यक न्यूनतम त्वरण $\frac{g}{4}$ है।

(B) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय की विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
दो इलेक्ट्रॉनों के लिए,$q_1 = -e$ और $q_2 = -e$,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$ है।
जब एक इलेक्ट्रॉन को दूसरे इलेक्ट्रॉन की ओर ले जाया जाता है,तो उनके बीच की दूरी $r$ कम हो जाती है।
चूंकि $U \propto \frac{1}{r}$,इसलिए जैसे-जैसे दूरी $r$ घटती है,स्थितिज ऊर्जा $U$ बढ़ती है।

(C) $3\,\Omega$ और $6\,\Omega$ के प्रतिरोध समांतर क्रम में जुड़े हैं। इसलिए,दोनों के सिरों पर विभवांतर समान होगा।
मान लीजिए समांतर संयोजन के सिरों पर विभवांतर $V_p$ है।
$V_p = I_1 R_1 = I_2 R_2$
$0.8 \times 3 = I_2 \times 6$
$I_2 = \frac{2.4}{6} = 0.4\,A$
$4\,\Omega$ के प्रतिरोध से प्रवाहित होने वाली कुल धारा $I$,समांतर शाखाओं से प्रवाहित धाराओं का योग है:
$I = I_1 + I_2 = 0.8\,A + 0.4\,A = 1.2\,A$
$4\,\Omega$ के प्रतिरोध पर विभवांतर $V = I \times R = 1.2\,A \times 4\,\Omega = 4.8\,V$ होगा।

(D) जब $4\,\Omega$ के तीन प्रतिरोधकों को एक समबाहु त्रिभुज में जोड़ा जाता है,तो मान लीजिए कि कोने $A$,$B$ और $C$ हैं।
किन्हीं दो कोनों (उदाहरण के लिए,$A$ और $B$) के बीच प्रभावी प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ विन्यास को देखते हैं।
$A$ और $B$ के बीच सीधे जुड़ा हुआ प्रतिरोधक अन्य दो प्रतिरोधकों (जो $A-C$ और $C-B$ के बीच जुड़े हैं) के श्रेणी संयोजन के साथ समानांतर में है।
श्रेणी शाखा का प्रतिरोध = $4\,\Omega + 4\,\Omega = 8\,\Omega$।
अब,यह $8\,\Omega$ की शाखा $A$ और $B$ के बीच सीधे जुड़े $4\,\Omega$ के प्रतिरोधक के साथ समानांतर में है।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार दिया गया है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2+1}{8} = \frac{3}{8}$।
अतः,$R_{eq} = \frac{8}{3}\,\Omega$।

(A) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F_m} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
यहाँ,वेग सदिश $\overrightarrow{v}$ $+X$-दिशा में है और चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ $-X$-दिशा में है।
अतः,$\overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{B}$ के बीच का कोण $\theta = 180^\circ$ है।
चूँकि सदिश गुणनफल $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B} = vB \sin(180^\circ) = 0$ है,इसलिए चुंबकीय बल $\overrightarrow{F_m}$ शून्य होगा।
अतः,आवेश $X$-दिशा में नियत वेग से गति करना जारी रखेगा और अप्रभावित रहेगा।

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में रखी धारावाही कुंडली पर एक चुंबकीय टॉर्क कार्य करता है,जिसे $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $\vec{M}$ चुंबकीय आघूर्ण है और $\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र है।
फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,$E.M.F.$ केवल तब प्रेरित होता है जब कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है $(\varepsilon = -d\phi/dt)$।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र एकसमान है और कुंडली के क्षेत्र के सापेक्ष गति करने या उसका अभिविन्यास बदलने का उल्लेख नहीं है,इसलिए चुंबकीय फ्लक्स में कोई परिवर्तन नहीं होता है। अतः,कोई $E.M.F.$ प्रेरित नहीं होता है।
इस प्रकार,केवल टॉर्क उत्पन्न होता है। सही विकल्प $A$ है।

(D) स्व-प्रेरकत्व के कारण कुंडली में उत्पन्न $e.m.f.$ $(e)$ का सूत्र है: $e = L \cdot \left| \frac{di}{dt} \right|$.
दिया गया है:
$e = 5 \,V$
धारा में परिवर्तन,$di = 3 \,A - 2 \,A = 1 \,A$
समय अंतराल,$dt = 1 \,ms = 1 \times 10^{-3} \,s$
सूत्र में मान रखने पर:
$5 = L \cdot \frac{1 \,A}{1 \times 10^{-3} \,s}$
$5 = L \cdot 10^3$
$L = \frac{5}{10^3} \,H = 5 \times 10^{-3} \,H = 5 \,mH$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(A) फोटॉन की ऊर्जा $E = h\nu$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है और $\nu$ आवृत्ति है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता के अनुसार,$E = mc^2$,जहाँ $m$ सापेक्ष द्रव्यमान है और $c$ प्रकाश की गति है।
ऊर्जा के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $mc^2 = h\nu$ प्राप्त होता है।
चूँकि फोटॉन का संवेग $p = mc$ के रूप में परिभाषित है,हम $m = \frac{p}{c}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं: $p = \frac{h\nu}{c}$।
$\nu = \frac{c}{\lambda}$ संबंध का उपयोग करते हुए,हम $\nu$ का मान रखते हैं: $p = \frac{h(c/\lambda)}{c} = \frac{h}{\lambda}$।
अतः,फोटॉन का संवेग $\frac{h}{\lambda}$ है।

(D) प्रकाश-विद्युत प्रभाव के अनुसार,प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले फोटो-इलेक्ट्रॉनों की संख्या प्रति सेकंड आपतित फोटॉनों की संख्या के सीधे आनुपातिक होती है।
चूंकि प्रकाश की तीव्रता को प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में आपतित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है,यह धातु की सतह पर आपतित फोटॉनों की संख्या के सीधे आनुपातिक होती है।
इसलिए,आपतित प्रकाश की तीव्रता बढ़ाने से आपतित फोटॉनों की संख्या बढ़ जाती है,जिससे प्रति सेकंड उत्सर्जित होने वाले फोटो-इलेक्ट्रॉनों की संख्या भी बढ़ जाती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) फोटोइलेक्ट्रिक उत्सर्जक का कार्य फलन $W_0$ सूत्र $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$c$ प्रकाश की गति है,और $\lambda_0$ देहली तरंगदैर्ध्य (threshold wavelength) है।
यह मानते हुए कि दी गई तरंगदैर्ध्य संबंधित उत्सर्जकों के लिए देहली तरंगदैर्ध्य हैं,हमारे पास $\lambda_{01} = 300 \; nm$ और $\lambda_{02} = 600 \; nm$ है।
कार्य फलनों का अनुपात $\frac{W_{01}}{W_{02}} = \frac{hc / \lambda_{01}}{hc / \lambda_{02}} = \frac{\lambda_{02}}{\lambda_{01}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{W_{01}}{W_{02}} = \frac{600 \; nm}{300 \; nm} = \frac{2}{1}$।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(B) जब एक इलेक्ट्रॉन मुख्य क्वांटम संख्या $n$ वाली उत्तेजित अवस्था से मूल अवस्था में संक्रमण करता है,तो उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या का सूत्र इस प्रकार है:
$N = \frac{n(n - 1)}{2}$
यह दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन मुख्य क्वांटम संख्या $n = 4$ वाली अवस्था में उत्तेजित होता है,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$N = \frac{4(4 - 1)}{2}$
$N = \frac{4 \times 3}{2}$
$N = \frac{12}{2} = 6$
अतः,उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में स्पेक्ट्रल रेखाओं की कुल संख्या $6$ होगी।

(B) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(B.E./A)$ नाभिक की स्थिरता का एक माप है।
बंधन ऊर्जा वक्र के अनुसार,हल्के नाभिकों के लिए $B.E./A$ का मान द्रव्यमान संख्या $A$ के साथ बढ़ता है,आयरन $(_{26}^{56}Fe)$ के लिए लगभग $8.8 \text{ MeV}$ का अधिकतम मान प्राप्त करता है,और उसके बाद भारी नाभिकों के लिए धीरे-धीरे घटता है।
इसलिए,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $_{26}^{56}Fe$ के लिए अधिकतम होती है।

(B) शक्ति $P = 5 \, W = 5 \, J/s$ है।
प्रति विखंडन मुक्त ऊर्जा $E = 200 \, MeV = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 3.2 \times 10^{-11} \, J$ है।
विखंडन दर $R = \frac{P}{E} = \frac{5}{3.2 \times 10^{-11}} \, s^{-1}$ है।
$R = 1.5625 \times 10^{11} \, s^{-1} \approx 1.56 \times 10^{11} \, s^{-1}$।

(B) दी गई अभिक्रिया श्रृंखला: $_Z{X^A} \to _{Z+1}{Y^A} \to _{Z-1}{K^{A-4}} \to _{Z-1}{K^{A-4}}$ है।
$1$. पहले चरण में,$_Z{X^A} \to _{Z+1}{Y^A}$,परमाणु क्रमांक $1$ से बढ़ता है जबकि द्रव्यमान संख्या समान रहती है। यह $\beta^-$-कण $(_{-1}e^0)$ के उत्सर्जन के अनुरूप है।
$2$. दूसरे चरण में,$_{Z+1}{Y^A} \to _{Z-1}{K^{A-4}}$,परमाणु क्रमांक $2$ से घटता है और द्रव्यमान संख्या $4$ से घटती है। यह $\alpha$-कण $(_{2}He^4)$ के उत्सर्जन के अनुरूप है।
$3$. तीसरे चरण में,$_{Z-1}{K^{A-4}} \to _{Z-1}{K^{A-4}}$,परमाणु क्रमांक या द्रव्यमान संख्या में कोई परिवर्तन नहीं होता है,जो $\gamma$-किरण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण) के उत्सर्जन को दर्शाता है।
अतः,उत्सर्जन का क्रम $\beta, \alpha, \gamma$ है।

(B) एक ट्रांजिस्टर में,$Emitter$ (एमिटर) वह खंड है जिसे भारी रूप से डोप किया जाता है। भारी डोपिंग का उद्देश्य बड़ी संख्या में बहुसंख्यक आवेश वाहक प्रदान करना है,जिन्हें फिर $Base$ (बेस) क्षेत्र में इंजेक्ट किया जाता है। $Base$ हल्का डोप किया हुआ और पतला होता है,जबकि $Collector$ (कलेक्टर) मध्यम रूप से डोप किया जाता है। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) माध्यम में प्रकाश का वेग $v = \frac{c}{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \, m/s)$ है और $n$ अपवर्तनांक है।
यहाँ $n = 1.5$ दिया गया है,इसलिए खिड़की में प्रकाश का वेग $v = \frac{3 \times 10^8}{1.5} = 2 \times 10^8 \, m/s$ होगा।
खिड़की की मोटाई $d = 4 \, mm = 4 \times 10^{-3} \, m$ है।
लिया गया समय $t = \frac{d}{v}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$t = \frac{4 \times 10^{-3}}{2 \times 10^8} = 2 \times 10^{-11} \, s$ प्राप्त होता है।

(B) रेखीय उत्सर्जन स्पेक्ट्रम कम दबाव वाली गैस में उत्तेजित परमाणुओं द्वारा उत्पन्न होता है।
दिए गए विकल्पों में से,नियॉन स्ट्रीट साइन में कम दबाव पर नियॉन गैस होती है।
जब गैस से विद्युत विसर्जन (electric discharge) गुजरता है,तो नियॉन परमाणु उत्तेजित हो जाते हैं और विशिष्ट,असतत तरंग दैर्ध्य पर प्रकाश उत्सर्जित करते हैं,जिसके परिणामस्वरूप एक रेखीय उत्सर्जन स्पेक्ट्रम प्राप्त होता है।
इसके विपरीत,इलेक्ट्रिक फायर या सूर्य जैसे स्रोत ठोस पदार्थों या उच्च दबाव वाली गैसों से थर्मल विकिरण के कारण निरंतर स्पेक्ट्रम (continuous spectra) उत्पन्न करते हैं।

(D) व्यतिकरण प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ को $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है,और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
जब कक्ष हवा से भरा होता है,तो प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda_{air} = \frac{\lambda_0}{\mu_{air}}$ होती है,जहाँ $\lambda_0$ निर्वात में तरंगदैर्ध्य है और $\mu_{air} \approx 1.0003$ है।
जब कक्ष को निर्वातित किया जाता है,तो अपवर्तनांक $\mu_{vac} = 1$ हो जाता है।
चूंकि $\mu_{vac} < \mu_{air}$,निर्वात में प्रकाश की तरंगदैर्ध्य हवा की तुलना में अधिक हो जाती है $(\lambda_{vac} > \lambda_{air})$।
चूंकि $\beta \propto \lambda$,इसलिए जब कक्ष को निर्वातित किया जाता है तो फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ बढ़ जाती है।

(C) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में प्रथम निम्निष्ठ के लिए शर्त $d \sin \theta = n \lambda$ है,जहाँ प्रथम निम्निष्ठ के लिए $n = 1$ है।
दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \; \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \; m = 5 \times 10^{-7} \; m$.
स्लिट की चौड़ाई $d = 0.001 \; mm = 10^{-3} \; mm = 10^{-6} \; m$.
सूत्र में मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{\lambda}{d} = \frac{5 \times 10^{-7}}{10^{-6}} = 0.5$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}(0.5) = 30^o$.

(B) दी गई क्षय श्रृंखला है: ${}_Z^AX \to {}_{Z + 1}^AY \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K$।
$1$. पहले चरण में,${}_Z^AX \to {}_{Z + 1}^AY$: परमाणु क्रमांक $1$ से बढ़ता है जबकि द्रव्यमान संख्या समान रहती है। यह $\beta^-$ कण के उत्सर्जन के अनुरूप है।
$2$. दूसरे चरण में,${}_{Z + 1}^AY \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K$: परमाणु क्रमांक $2$ से घटता है और द्रव्यमान संख्या $4$ से घटती है। यह $\alpha$ कण के उत्सर्जन के अनुरूप है।
$3$. तीसरे चरण में,${}_{Z - 1}^{A - 4}K \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K$: परमाणु क्रमांक या द्रव्यमान संख्या में कोई परिवर्तन नहीं होता है,जो $\gamma$ किरण के उत्सर्जन (नाभिक का डी-एक्साइटेशन) को दर्शाता है।
अतः,उत्सर्जित कणों का क्रम $\beta, \alpha, \gamma$ है।

(D) एक कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $L$ को $L = \frac{N \phi}{i}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$\phi$ प्रत्येक फेरे से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स है और $i$ विद्युत धारा है।
परिनालिका (solenoid) के लिए,चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B A$ होता है,जहाँ $B$ चुंबकीय क्षेत्र है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n i = \frac{\mu_0 N i}{l}$ होता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या $(n = N/l)$ है और $l$ परिनालिका की लंबाई है।
$B$ का मान फ्लक्स समीकरण में रखने पर: $\phi = \left( \frac{\mu_0 N i}{l} \right) A$.
अब,$L$ के समीकरण में $\phi$ का मान रखने पर: $L = \frac{N}{i} \left( \frac{\mu_0 N i A}{l} \right) = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$.
अतः,स्व-प्रेरकत्व $L$,$N^2$ के समानुपाती होता है।