AIIMS 2008 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) $1$. મુક્ત પતનનો તબક્કો (બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી): પેરાશૂટિસ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $s_1 = 50\, m$ અંતર સુધી મુક્ત પતન કરે છે. પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 0$,પ્રવેગ $a_1 = 9.8\, m/s^2$.
બિંદુ $B$ પર વેગ $v$ નીચે મુજબ મળે: $v^2 = u_1^2 + 2a_1s_1 = 0 + 2 \times 9.8 \times 50 = 980$.
તેથી,$v = \sqrt{980}\, m/s$.
$2$. મંદનનો તબક્કો (બિંદુ $B$ થી $C$ સુધી): પેરાશૂટ ખુલે છે અને પેરાશૂટિસ્ટ $a_2 = -2\, m/s^2$ ના દરે મંદન અનુભવે છે. જમીન પર અંતિમ વેગ $v_f = 3\, m/s$ છે. ધારો કે કાપેલું અંતર $h$ છે.
સમીકરણ $v_f^2 = v^2 + 2a_2h$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(3)^2 = 980 + 2(-2)h$
$9 = 980 - 4h$
$4h = 980 - 9 = 971$
$h = 971 / 4 = 242.75\, m$.
$3$. કુલ ઊંચાઈ: તેણે જે ઊંચાઈએથી કૂદકો માર્યો તે કુલ ઊંચાઈ $H = s_1 + h = 50 + 242.75 = 292.75\, m \approx 293\, m$ છે.

(A) લીસા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_s = g \sin \theta$ છે. $s$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ છે.
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે,પ્રવેગ $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે. લાગતો સમય $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ છે.
આપેલ છે કે $t_r = n t_s$,તેથી $t_r^2 = n^2 t_s^2$.
$\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$.
$\sin \theta - \mu \cos \theta = \frac{\sin \theta}{n^2}$.
$\mu \cos \theta = \sin \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
$\mu = \tan \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$.

(A) સ્થિતિઊર્જા $U(x) = k|x|^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dU}{dx} = -3k|x|^2 \text{sgn}(x)$ છે.
$m$ દળ ધરાવતો કણ જે $a$ કંપવિસ્તાર સાથે દોલન કરે છે,તેની કુલ ઊર્જા $E$ સંરક્ષિત રહે છે અને તે અંતિમ સ્થાને $(x = a)$ સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે:
$E = U(a) = ka^3$.
કોઈપણ સ્થાન $x$ પર,ઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2 + k|x|^3 = ka^3$ છે.
આમ,$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2k}{m}(a^3 - |x|^3)}$.
આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ મળે છે: $T = 4 \int_{0}^{a} \frac{dx}{v} = 4 \int_{0}^{a} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2k}{m}(a^3 - x^3)}}$.
ધારો કે $x = ay$,તો $dx = a dy$. જ્યારે $x=0, y=0$ અને જ્યારે $x=a, y=1$.
$T = 4 \sqrt{\frac{m}{2k}} \int_{0}^{1} \frac{a dy}{\sqrt{a^3(1 - y^3)}} = 4 \sqrt{\frac{m}{2ka}} \int_{0}^{1} \frac{dy}{\sqrt{1 - y^3}}$.
આ સંકલન એક અચળાંક હોવાથી,$T \propto \frac{1}{\sqrt{a}}$.

(D) આપેલ વિધેય $y = \sin^2(\omega t)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે વિધેયને આ રીતે લખી શકીએ:
$y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2\omega t)$.
$\cos(kt)$ વિધેયનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$k = 2\omega$ છે,તેથી આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega}$ થશે.
સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dt^2} = -\Omega^2 y$ નું પાલન કરવું જોઈએ. આપેલ વિધેય એક અચળ પદ અને કોસાઇન પદનો સરવાળો છે,જે $S.H.M.$ ની શરતનું પાલન કરતું નથી કારણ કે સંતુલન સ્થાન સ્થળાંતરિત થયેલ છે અને તે ઉગમબિંદુની આસપાસ શુદ્ધ સાઇનસૉઇડલ દોલન નથી. તેથી,આ એક આવર્ત ગતિ છે પરંતુ $S.H.M.$ નથી.

(C) ડેસિબલમાં ધ્વનિની તીવ્રતાનું સ્તર $\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_1 = 1 \ m$ અંતરે,$\beta_1 = 40 \ dB$. તેથી,$40 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_0} \right) \implies \frac{I_1}{I_0} = 10^4$.
$r_2$ અંતરે,$\beta_2 = 20 \ dB$. તેથી,$20 = 10 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_0} \right) \implies \frac{I_2}{I_0} = 10^2$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{I_1}{I_2} = \frac{10^4}{10^2} = 10^2 = 100$.
તીવ્રતા $I \propto \frac{1}{r^2}$ હોવાથી,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $100 = \frac{r_2^2}{(1)^2} \implies r_2^2 = 100 \implies r_2 = 10 \ m$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તંત્ર પર થયેલું કુલ કાર્ય દડાની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ધારો કે દડાની પ્રારંભિક સ્થિતિ સ્પ્રિંગથી $h$ ઊંચાઈ પર છે. અંતિમ સ્થિતિ ત્યારે છે જ્યારે સ્પ્રિંગ $d$ અંતર જેટલી દબાય છે.
દડાનું કુલ શિરોલંબ સ્થાનાંતર $(h + d)$ છે.
દડા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ (નીચેની તરફ) અને સ્પ્રિંગ બળ (ઉપરની તરફ) છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_g = mg(h + d)$ છે.
સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_s = -\int_0^d kx \, dx = -\frac{1}{2}kd^2$ છે.
દડા પર થયેલું કુલ કાર્ય $W_{net} = W_g + W_s = mg(h + d) - \frac{1}{2}kd^2$ છે.
દડો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને મહત્તમ સંકોચન $d$ પર ક્ષણિક સ્થિર થાય છે,તેથી ગતિઊર્જામાં ફેરફાર શૂન્ય છે,જે સૂચવે છે કે સમગ્ર પ્રક્રિયા માટે $W_{net} = 0$ છે. જોકે,પ્રશ્નમાં સ્થાનાંતર $d$ દરમિયાન બાહ્ય બળો (ગુરુત્વાકર્ષણ અને સ્પ્રિંગ) દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય પૂછવામાં આવ્યું છે,જે $mg(h + d) - \frac{1}{2}kd^2$ છે.

(D) ગોળાનો ટર્મિનલ વેગ $v_T$ જેની ત્રિજ્યા $r$ અને ઘનતા $\rho$ છે, જે $\sigma$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં પડે છે, તેનું સૂત્ર: $v_T = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r$, પ્રવાહીની ઘનતા $\sigma$, સ્નિગ્ધતા $\eta$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ બંને ગોળાઓ માટે સમાન હોવાથી, $v_T \propto (\rho - \sigma)$ થાય.
તેથી, $\frac{v_{T, \text{silver}}}{v_{T, \text{gold}}} = \frac{\rho_{\text{silver}} - \sigma}{\rho_{\text{gold}} - \sigma}$.
આપેલ છે કે $\rho_{\text{gold}} = 19.5 \times 10^3 \ kg/m^3$, $\rho_{\text{silver}} = 10.5 \times 10^3 \ kg/m^3$, $\sigma = 1.5 \times 10^3 \ kg/m^3$, અને $v_{T, \text{gold}} = 0.2 \ m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_{T, \text{silver}}}{0.2} = \frac{10.5 - 1.5}{19.5 - 1.5} = \frac{9}{18} = 0.5$.
આમ, $v_{T, \text{silver}} = 0.2 \times 0.5 = 0.1 \ m/s$.

(A) ધારો કે સમય $T \propto c^{x} G^{y} h^{z}$.
$\Rightarrow T = k c^{x} G^{y} h^{z}$.
બંને બાજુ પરિમાણો લેતા: $[M^{0} L^{0} T^{1}] = [L T^{-1}]^{x} [M^{-1} L^{3} T^{-2}]^{y} [M L^{2} T^{-1}]^{z}$.
$[M^{0} L^{0} T^{1}] = [M^{-y+z} L^{x+3y+2z} T^{-x-2y-z}]$.
બંને બાજુ $M, L, T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$-y + z = 0 \implies z = y \quad \dots(1)$
$x + 3y + 2z = 0 \quad \dots(2)$
$-x - 2y - z = 1 \quad \dots(3)$
$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા: $(x + 3y + 2z) + (-x - 2y - z) = 0 + 1 \implies y + z = 1$.
$z = y$ હોવાથી,$2y = 1 \implies y = 1/2$.
તેથી,$z = 1/2$.
$(2)$ માં કિંમત મૂકતા: $x + 3(1/2) + 2(1/2) = 0 \implies x + 3/2 + 1 = 0 \implies x = -5/2$.
તેથી,$[T] = [G^{1/2} h^{1/2} c^{-5/2}]$.

(C) ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4\pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રુટિના પ્રસરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$A$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યામાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 0.3\%$ છે.
તેથી,પૃષ્ઠફળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta A}{A} \times 100 = 2 \times (0.3\%) = 0.6\%$ થાય.
આમ,વિધાન સાચું છે.
કારણમાં આપેલ સૂત્ર $\frac{\Delta A}{A} = \frac{4\Delta r}{r}$ ખોટું છે,કારણ કે સાચો સંબંધ $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(C) ધારો કે શરૂઆતનું બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
પ્રથમ સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d_1} = 6 \cos(45^\circ) \hat{i} + 6 \sin(45^\circ) \hat{j} = 3\sqrt{2} \hat{i} + 3\sqrt{2} \hat{j} \, km$.
બીજો સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d_2} = 4 \cos(135^\circ) \hat{i} + 4 \sin(135^\circ) \hat{j} = -2\sqrt{2} \hat{i} + 2\sqrt{2} \hat{j} \, km$.
પરિણામી સ્થાનાંતર $\vec{R} = \vec{d_1} + \vec{d_2} = \sqrt{2} \hat{i} + 5\sqrt{2} \hat{j} \, km$.
મૂલ્ય $R = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 50} = \sqrt{52} \, km$.
પૂર્વ સાથેનો ખૂણો $\theta$: $\tan \theta = \frac{R_y}{R_x} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5 \implies \theta = \tan^{-1}(5)$.

(A) સ્થિત ઘર્ષણનું મહત્તમ મૂલ્ય જ્યાં સુધી પદાર્થ ગતિ કરતું નથી તેને સીમાંત ઘર્ષણ કહેવામાં આવે છે.
વિરામ કોણ $(\alpha)$ એ સમક્ષિતિજ સાથે ઢળતા સમતલનો એવો ખૂણો છે કે જેના પર મૂકવામાં આવેલ પદાર્થ ગતિની શરૂઆત કરે છે.
સીમાંત સ્થિતિમાં, બળો સંતુલિત હોય છે:
$F = mg \sin \alpha$
$R = mg \cos \alpha$
આ સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{F}{R} = \tan \alpha$
સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s = \frac{F}{R} = \tan \theta$ હોવાથી, જ્યાં $\theta$ એ ઘર્ષણ કોણ છે, આપણને મળે છે:
$\tan \theta = \tan \alpha \implies \theta = \alpha$
આમ, વિરામ કોણ એ ઘર્ષણ કોણ જેટલો જ હોય છે. કારણ એ સીમાંત ઘર્ષણની વિભાવનાને યોગ્ય રીતે સમજાવે છે જેનો ઉપયોગ આ સમાનતા મેળવવા માટે થાય છે.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની સપાટી પર $m$ દળના કણની ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણને અનંત અંતરે (જ્યાં સ્થિતિઊર્જા $0$ છે) લઈ જવા માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધમાં કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_{final} - U_{initial} = 0 - (- \frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R}$.
આપેલ કિંમતો:
$M = 100\, kg$
$m = 10\, g = 0.01\, kg$
$R = 10\, cm = 0.1\, m$
$G = 6.67 \times 10^{-11}\, Nm^2/kg^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 100 \times 0.01}{0.1}$
$W = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1}{0.1} = 6.67 \times 10^{-10}\, J$.

(A) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,આઘાતી બળ $F$ એ $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta p$ એ વેગમાનમાં ફેરફાર છે અને $\Delta t$ એ અથડામણનો સમયગાળો છે.
ઝડપી અથડામણમાં,સમયગાળો $\Delta t$ ખૂબ જ નાનો હોય છે.
કારણ કે વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p$ બંને કિસ્સાઓ માટે સમાન છે (કારણ કે પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગ સમાન છે),બળ $F$ એ $\Delta t$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(F \propto \frac{1}{\Delta t})$.
તેથી,નાની $\Delta t$ માટે,બળ $F$ ઘણું વધારે હોય છે,જે અથડામણને વધુ હિંસક બનાવે છે.
વેગમાનમાં ફેરફારનો દર $\frac{\Delta p}{\Delta t}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જે બળ $F$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં $\Delta t$ નાનું હોવાથી,વેગમાનમાં ફેરફારનો દર ખરેખર વધારે છે.
આમ,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ ની બાજુની લંબાઈ $l$ છે. દળ $A, B, C, D$ પર છે.
અક્ષ $A$ માંથી પસાર થાય છે અને વિકર્ણ $BD$ ને સમાંતર છે.
અક્ષથી બિંદુ $A$ નું અંતર $0$ છે.
અક્ષથી બિંદુ $B$ નું અંતર $d_B = \frac{l}{\sqrt{2}}$ છે.
અક્ષથી બિંદુ $D$ નું અંતર $d_D = \frac{l}{\sqrt{2}}$ છે.
અક્ષથી બિંદુ $C$ નું અંતર $d_C = l\sqrt{2}$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = m(0)^2 + m(l/\sqrt{2})^2 + m(l\sqrt{2})^2 + m(l/\sqrt{2})^2$
$I = 0 + m(l^2/2) + 2ml^2 + m(l^2/2)$
$I = ml^2 + 2ml^2 = 3ml^2$.

(D) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. લંબ અક્ષોના પ્રમેય મુજબ,લેમિનાના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને લેમિનાના સમતલને લંબ અક્ષ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = I_x + I_y$ છે.
ચોરસ લેમિના માટે,કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લેમિનાના સમતલમાં રહેલી કોઈપણ અક્ષ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોય છે.
ધારો કે $I_{EF}$ એ $EF$ અક્ષ (બાજુઓ $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થતી) વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા છે. સંમિતિ દ્વારા,$I_{EF} = I_{GH}$ જ્યાં $GH$ એ બાજુઓ $AD$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થતી અક્ષ છે.
આમ,$I_z = I_{EF} + I_{GH} = 2I_{EF}$.
હવે,વિકર્ણ $AC$ ને ધ્યાનમાં લો. વિકર્ણ $AC$ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{AC}$ છે. સંમિતિ દ્વારા,બીજા વિકર્ણ $BD$ વિશે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{BD} = I_{AC}$ છે.
વિકર્ણો પણ લેમિનાના સમતલમાં લંબ અક્ષો હોવાથી,$I_z = I_{AC} + I_{BD} = 2I_{AC}$.
$I_z$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $2I_{EF} = 2I_{AC}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $I_{AC} = I_{EF}$.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ,$\omega_0 = 2.00\, rad/s$
કોણીય પ્રવેગ,$\alpha = 3.0\, rad/s^2$
સમય,$t = 2\, s$
કોણીય સ્થાનાંતર માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\theta = (2.00)(2) + \frac{1}{2}(3.0)(2)^2$
$\theta = 4 + \frac{1}{2}(3.0)(4)$
$\theta = 4 + 6 = 10\, rad$
આમ,પૈડું $10\, rad$ ના ખૂણે પરિભ્રમણ કરશે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ $h$ ઊંચાઈના ઢળતા સમતલ પરથી સરકે છે,ત્યારે તેની સંપૂર્ણ સ્થિતિઊર્જા $mgh$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2$ માં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી,$v_{slide} = \sqrt{2gh}$.
જ્યારે પદાર્થ તે જ સમતલ પર ગબડે છે,ત્યારે સ્થિતિઊર્જા $mgh$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $\frac{1}{2}mv^2$ અને ચાકગતિઊર્જા $\frac{1}{2}I\omega^2$ બંનેમાં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી,$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
ગતિઊર્જાનો અમુક ભાગ ચાકગતિમાં વપરાતો હોવાથી,ગબડતી વખતે સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા સરકતી વખતે કરતા ઓછી હોય છે.
પરિણામે,તળિયે રેખીય વેગ ગબડતી વખતે સરકવા કરતા ઓછો હોય છે.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) પદાર્થો શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,તંત્રનું કુલ વેગમાન શૂન્ય છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1 v_1 = m_2 v_2$,જ્યાં $v_1$ અને $v_2$ એ $r$ અંતરે પદાર્થોની ઝડપ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો એ ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર છે: $G m_1 m_2 / r = 1/2 m_1 v_1^2 + 1/2 m_2 v_2^2$.
વેગમાનના સમીકરણ પરથી,$v_1 = (m_2/m_1) v_2$. આ કિંમત ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$G m_1 m_2 / r = 1/2 m_1 (m_2/m_1)^2 v_2^2 + 1/2 m_2 v_2^2 = 1/2 (m_2^2/m_1 + m_2) v_2^2 = 1/2 [m_2(m_1 + m_2)/m_1] v_2^2$.
$v_2$ માટે ઉકેલતા,$v_2 = \sqrt{2 G m_1^2 / (r(m_1 + m_2))}$. તેવી જ રીતે,$v_1 = \sqrt{2 G m_2^2 / (r(m_1 + m_2))}$.
સાપેક્ષ અભિગમ વેગ $v_{rel} = v_1 + v_2 = \sqrt{2 G / (r(m_1 + m_2))} (m_1 + m_2) = \sqrt{2 G (m_1 + m_2) / r}$ થાય.

(A) આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ભારમાં ફેરફાર $\Delta W = (40 - 20) \, N = 20 \, N$ માટે,વિસ્તારમાં ફેરફાર $\Delta(\Delta l) = (2 - 1) \times 10^{-4} \, m = 10^{-4} \, m$ છે.
યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$ છે.
આલેખના ઢાળનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\Delta l}{F} = \frac{10^{-4} \, m}{20 \, N} = 0.05 \times 10^{-4} \, m/N = 5 \times 10^{-6} \, m/N$.
અહીં $l = 1 \, m$ અને $A = 10^{-6} \, m^2$ આપેલ છે,તેથી:
$Y = \frac{l}{A} \cdot \frac{F}{\Delta l} = \frac{1}{10^{-6}} \cdot \frac{1}{5 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{5 \times 10^{-6}} = 0.2 \times 10^{12} \, N/m^2 = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$.

(A) બર્નુલીના સિદ્ધાંત પરથી મળતા સૂત્ર મુજબ,બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v$ નીચે મુજબ છે:
$v = \sqrt{\frac{2gh}{1 - (A_0/A)^2}}$
જ્યાં $h$ એ છિદ્રની ઉપર રહેલા પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે:
પાણીની કુલ ઊંચાઈ = $3\,m$
તળિયેથી છિદ્રની ઊંચાઈ = $52.5\,cm = 0.525\,m$
$h = 3 - 0.525 = 2.475\,m$
$A_0/A = 0.1$
$g = 10\,m/s^2$
આ કિંમતોને $v^2$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v^2 = \frac{2gh}{1 - (A_0/A)^2}$
$v^2 = \frac{2 \times 10 \times 2.475}{1 - (0.1)^2}$
$v^2 = \frac{49.5}{1 - 0.01}$
$v^2 = \frac{49.5}{0.99} = 50\,m^2/s^2$

(A) તળાવના તળિયે દબાણ તેની ઉપરના પાણીના સ્તંભના વજનને કારણે સપાટી કરતા વધારે હોય છે $(P = P_{atm} + \rho gh)$.
જેમ જેમ હવાના પરપોટો તળિયેથી ઉપર તરફ આવે છે,તેમ તે વધુ દબાણવાળા વિસ્તારમાંથી ઓછા દબાણવાળા વિસ્તારમાં જાય છે.
બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,$PV = \text{constant}$.
જેમ જેમ પરપોટો ઉપર આવે છે તેમ દબાણ $P$ ઘટે છે,તેથી પરપોટાનું કદ $V$ વધવું જોઈએ.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ હોવાથી,કદમાં વધારો થવાનો અર્થ એ છે કે તેની ત્રિજ્યા $r$ માં વધારો થાય છે.
તેથી,$Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે,અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) પિત્તળ એ ધાતુ છે અને તે ઉષ્માનું સુવાહક છે. ઠંડીના દિવસે,જ્યારે આપણે પિત્તળના ગ્લાસને સ્પર્શ કરીએ છીએ,ત્યારે તેની ઊંચી ઉષ્મા વાહકતાને કારણે આપણા શરીરની ગરમી ઝડપથી પિત્તળમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે. શરીર ઝડપથી ગરમી ગુમાવતું હોવાથી,ગ્લાસ ઠંડો લાગે છે.
બીજી તરફ,લાકડું એ ઉષ્માનું મંદ વાહક (અવાહક) છે. આપણા શરીરથી લાકડામાં ગરમીનું સ્થાનાંતરણ ખૂબ જ ધીમું અને ન્યૂનતમ હોય છે,તેથી લાકડાની ટ્રે પિત્તળના ગ્લાસ જેટલી ઠંડી લાગતી નથી.

(D) $T-S$ આલેખમાં,વિનિમય પામેલી ઉષ્મા $Q$ એ પ્રક્રિયા વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $Q = \int T dS$.
આપેલ ચક્ર માટે:
$1$. વિસ્તરણ પ્રક્રિયા (ઉપરની ત્રાંસી રેખા) દરમિયાન શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q_1)$ એ $S_0$ થી $2S_0$ સુધીની રેખાની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે:
$Q_1 = \text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ} + \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = (T_0 \times S_0) + \frac{1}{2} \times (T_0 \times S_0) = \frac{3}{2} T_0 S_0$.
$2$. અચળ તાપમાન પ્રક્રિયા (નીચેની આડી રેખા) દરમિયાન મુક્ત થયેલી ઉષ્મા $(Q_2)$ એ $2S_0$ થી $S_0$ સુધીની રેખાની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે:
$Q_2 = T_0 \times (2S_0 - S_0) = T_0 S_0$.
$3$. પ્રક્રિયા $Q_3$ એ એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા છે (ઊભી રેખા),તેથી $Q_3 = 0$.
$4$. ચક્રની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\eta = 1 - \frac{T_0 S_0}{\frac{3}{2} T_0 S_0} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(D) વિધાન ખોટું છે. અલગ-અલગ તાપમાન માટેના બે સમતાપી વક્રો એકબીજાને ક્યારેય છેદી શકતા નથી. જો તેઓ કોઈ બિંદુએ છેદે,તો તેનો અર્થ એ થાય કે તે ચોક્કસ $(P, V)$ અવસ્થાએ તંત્રનું તાપમાન એકસાથે બે અલગ-અલગ મૂલ્યો ધરાવે છે,જે અશક્ય છે.
કારણ સાચું છે. સમતાપી પ્રક્રિયા એ એક ધીમી પ્રક્રિયા છે જે તંત્રને તેના પર્યાવરણ સાથે ઉષ્મીય સંતુલનમાં રહેવા દે છે. $P-V$ આલેખ પર સમતાપી વક્રનો ઢાળ $-\frac{dP}{dV} = \frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $P$ અને $V$ ધન હોવાથી,આ ઢાળ મર્યાદિત અને એડિબેટિક (સમઉષ્મી) વક્રોની તુલનામાં પ્રમાણમાં ઓછો હોય છે (જેનો ઢાળ $\gamma \frac{P}{V}$ હોય છે).

(B) ધારો કે સિક્કાનું દળ $m$ છે અને પ્લેટફોર્મ દ્વારા સિક્કા પર લાગતું લંબબળ $N$ છે.
સિક્કા માટે ઉર્ધ્વ દિશામાં ગતિનું સમીકરણ:
$mg - N = ma$
જ્યાં $a$ એ પ્લેટફોર્મનો પ્રવેગ છે. સરળ આવર્ત ગતિ માટે,પ્રવેગ $a = -\omega^2 x$ છે,જ્યાં $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
જ્યારે પ્લેટફોર્મ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે પ્રવેગ નીચેની તરફ હોય છે. જ્યારે પ્લેટફોર્મ તેના સૌથી ઊંચા બિંદુએ હોય છે,ત્યારે પ્રવેગ $a = -\omega^2 A$ (જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે) નીચેની તરફ હોય છે.
સિક્કો ત્યારે સંપર્ક છોડશે જ્યારે લંબબળ $N = 0$ થાય.
$mg - 0 = m(\omega^2 A)$
$g = \omega^2 A$
$A = \frac{g}{\omega^2}$
આમ,જ્યારે કંપવિસ્તાર $\frac{g}{\omega^2}$ થાય ત્યારે સિક્કો પ્લેટફોર્મ પરથી સંપર્ક છોડશે.

(A) બંને છેડે જડેલી દોરીની અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = n \times f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_1 = \frac{v}{2L}$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ છે અને $n = 1, 2, 3, \dots$ એ પૂર્ણાંક છે.
બે ક્રમિક અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = 315\, Hz$ અને $f_{n+1} = 420\, Hz$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે ક્રમિક અનુનાદિત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત એ મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1$ જેટલો હોય છે.
$f_1 = f_{n+1} - f_n = 420\, Hz - 315\, Hz = 105\, Hz$.
વૈકલ્પિક રીતે,$\frac{f_{n+1}}{f_n} = \frac{n+1}{n} = \frac{420}{315} = \frac{4}{3}$.
આ સૂચવે છે કે $n = 3$,તેથી $f_3 = 315\, Hz$ અને $f_4 = 420\, Hz$.
કારણ કે $f_3 = 3 \times f_1 = 315\, Hz$,આપણને $f_1 = \frac{315}{3} = 105\, Hz$ મળે છે.
સૌથી ઓછી અનુનાદિત આવૃત્તિ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = 105\, Hz$ છે.

(D) વાયુમાં અવાજની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ છે,જ્યાં $P$ એ દબાણ છે અને $\rho$ એ વાયુની ઘનતા છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,તેને $P = \frac{\rho RT}{M}$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{P}{\rho} = \frac{RT}{M}$ થાય છે.
આ કિંમત ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ મળે છે.
ચોક્કસ તાપમાને $R$,$T$ અને $M$ અચળ હોવાથી,અવાજની ઝડપ $v$ એ દબાણ $P$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,વિધાન ખોટું છે કારણ કે અચળ તાપમાને દબાણમાં ફેરફાર અવાજની ઝડપને અસર કરતું નથી.
કારણ પણ ખોટું છે કારણ કે અવાજની ઝડપ દબાણથી સ્વતંત્ર છે,તેના વર્ગના પ્રમાણમાં નથી.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા છે.

(D) શ્રેણી જોડાણનો કુલ $emf$ $E_{eq} = E + E = 2E$ છે. પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R + R_1 + R_2$ છે. પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $i = \frac{2E}{R + R_1 + R_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$emf$ $E$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ ધરાવતા સ્ત્રોત પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E - ir$ દ્વારા મળે છે. $R_2$ આંતરિક અવરોધ ધરાવતા સ્ત્રોત માટે,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે:
$0 = E - i R_2$
$E = i R_2$
$i$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \left( \frac{2E}{R + R_1 + R_2} \right) R_2$
$1 = \frac{2 R_2}{R + R_1 + R_2}$
$R + R_1 + R_2 = 2 R_2$
$R = 2 R_2 - R_2 - R_1$
$R = R_2 - R_1$

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
પરિપથ $6\,V$ ની બેટરી,$2.8\,\Omega$ નો અવરોધ અને $2\,\Omega$ તથા $3\,\Omega$ ના સમાંતર જોડાણના શ્રેણી જોડાણમાં ફેરવાય છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{2 \times 3}{2 + 3} = \frac{6}{5} = 1.2\,\Omega$ છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 2.8 + 1.2 = 4.0\,\Omega$ છે.
બેટરી દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6}{4} = 1.5\,A$ છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$2\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{2\Omega} = I \times \frac{3}{2 + 3} = 1.5 \times \frac{3}{5} = 0.9\,A$ થાય છે.

(D) સમય $t = 0$ પર, કેપેસિટર શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે વર્તે છે। સર્કિટમાં કુલ અવરોધ $1000 \, \Omega$ છે। તેથી, પ્રવાહ $I = \frac{2 \,V}{1000 \, \Omega} = 2 \,mA$ થાય છે.
જેમ સમય પસાર થાય છે, તેમ કેપેસિટર ચાર્જ થાય છે। જ્યારે તે સંપૂર્ણપણે ચાર્જ થઈ જાય છે, ત્યારે તે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે। ત્યારબાદ પ્રવાહ $1000 \, \Omega$ ના અવરોધ અને $1000 \, \Omega$ ના અવરોધના શ્રેણી જોડાણમાંથી વહે છે। કુલ અવરોધ $2000 \, \Omega$ થાય છે। તેથી, સ્થાયી સ્થિતિમાં પ્રવાહ $I = \frac{2 \,V}{2000 \, \Omega} = 1 \,mA$ થાય છે। આમ, સમય જતાં પ્રવાહ $2 \,mA$ થી ઘટીને $1 \,mA$ થાય છે।

(A) વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે કોઈલ એકબીજાને કાટખૂણે હોવાથી,તેમના ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ પણ એકબીજાને લંબ હશે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ થશે.
$B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2r}$ અને $B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2r}$ કિંમતો મૂકતા,$B_{net} = \frac{\mu_0}{2r} \sqrt{i_1^2 + i_2^2}$ મળે.
અહીં $r = 2\pi \, cm = 2\pi \times 10^{-2} \, m$,$i_1 = 3 \, A$,$i_2 = 4 \, A$,અને $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, Wb/A \cdot m$ આપેલ છે.
$B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2 \times 2\pi \times 10^{-2}} \sqrt{3^2 + 4^2}$.
$B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{4\pi \times 10^{-2}} \sqrt{9 + 16} = 10^{-5} \times \sqrt{25} = 5 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$.

(A) કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ પર,$RC$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$I = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (1/\omega C)^2}}$ ......$(i)$
જ્યારે આવૃત્તિ બદલીને $\omega' = \omega/3$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C' = \frac{1}{(\omega/3)C} = 3X_C$ થાય છે. નવો પ્રવાહ $I'$ એ $I/2$ તરીકે આપવામાં આવે છે:
$I/2 = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (3X_C)^2}}$ ......$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$2 = \frac{\sqrt{R^2 + 9X_C^2}}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4 = \frac{R^2 + 9X_C^2}{R^2 + X_C^2}$
$4R^2 + 4X_C^2 = R^2 + 9X_C^2$
$3R^2 = 5X_C^2$
$\frac{X_C^2}{R^2} = \frac{3}{5}$
$\frac{X_C}{R} = \sqrt{\frac{3}{5}}$

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - W_0 = \frac{1}{2}mv^2$,જ્યાં $W_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આમ,$v = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{\lambda_0 - \lambda}{\lambda \lambda_0} \right)} \dots (i)$
જ્યારે તરંગલંબાઈ બદલીને $\lambda' = \frac{3\lambda}{4}$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવી ઝડપ $v'$ નીચે મુજબ મળે:
$v' = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{1}{3\lambda/4} - \frac{1}{\lambda_0} \right)} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{4\lambda_0 - 3\lambda}{3\lambda \lambda_0} \right)} \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{4\lambda_0 - 3\lambda}{3\lambda \lambda_0} \cdot \frac{\lambda \lambda_0}{\lambda_0 - \lambda}} = \sqrt{\frac{4}{3} \cdot \frac{\lambda_0 - 0.75\lambda}{\lambda_0 - \lambda}}$
ચૂકવણી મુજબ $\lambda_0 > \lambda$ હોવાથી,$(\lambda_0 - 0.75\lambda) > (\lambda_0 - \lambda)$ થાય.
તેથી,$\frac{\lambda_0 - 0.75\lambda}{\lambda_0 - \lambda} > 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{v'}{v} > \sqrt{\frac{4}{3}}$,એટલે કે $v' > v(4/3)^{1/2}$.

(A) જ્યારે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ બે એકસાથે થતી પ્રક્રિયાઓ દ્વારા ક્ષય પામે છે,ત્યારે અસરકારક ક્ષય અચળાંક $\lambda$ એ $\lambda = \lambda_1 + \lambda_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $T$ એ ક્ષય અચળાંક સાથે $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ સંબંધ ધરાવે છે,તેથી અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય $T$ એ $\frac{1}{T} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $T_1 = 1620$ વર્ષ અને $T_2 = 810$ વર્ષ આપેલ છે,તેથી અસરકારક અર્ધ-આયુષ્ય:
$T = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2} = \frac{1620 \times 810}{1620 + 810} = \frac{1620 \times 810}{2430} = 540$ વર્ષ.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જેના પછી પદાર્થનો $\frac{1}{4}$ ભાગ બાકી રહે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ છે.
$N(t) = \frac{1}{4} N_0$ લેતા,$\frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$.
તેથી,$\frac{t}{T} = 2$,એટલે કે $t = 2T = 2 \times 540 = 1080$ વર્ષ.

(C) ઓપ્ટિકલ સિસ્ટમ દ્વારા બે બિંદુવત પદાર્થોના વિભેદન (resolution) માટેની શરત રેલેના માપદંડ (Rayleigh criterion) દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\theta = \frac{1.22 \lambda}{a}$,જ્યાં $\theta$ એ કોણીય અંતર છે,$\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $a$ એ છિદ્ર (કીકી) નો વ્યાસ છે.
સમસ્યાની ભૂમિતિ પરથી,કોણીય અંતર $\theta = \frac{x}{d}$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ ટપકાં વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ ટપકાંથી અવલોકનકારનું અંતર છે.
$\theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{1.22 \lambda}{a} = \frac{x}{d}$.
$d$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $d = \frac{x \cdot a}{1.22 \lambda}$.
આપેલ કિંમતો: $x = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$,$a = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$,$\lambda = 500 \ nm = 500 \times 10^{-9} \ m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{(1 \times 10^{-3} \ m) \times (3 \times 10^{-3} \ m)}{1.22 \times 500 \times 10^{-9} \ m}$
$d = \frac{3 \times 10^{-6}}{610 \times 10^{-9}} = \frac{3000}{610} \approx 4.918 \ m$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,મહત્તમ અંતર આશરે $5 \ m$ છે.

(D) ધારો કે $\phi_A, \phi_B,$ અને $\phi_C$ એ અનુક્રમે સપાટી $A, B,$ અને $C$ સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફ્લક્સ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \phi_A + \phi_B + \phi_C = \frac{q}{\varepsilon_0}$ થાય.
નળાકારની સંમિતિને કારણે,બે સમતલ સપાટીઓ $A$ અને $C$ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ સમાન હોય છે,તેથી $\phi_A = \phi_C$.
આ કિંમત ગૌસના નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $2\phi_A + \phi_B = \frac{q}{\varepsilon_0}$ મળે છે.
આપેલ છે કે વક્ર સપાટી $B$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_B = \phi$ છે,તેથી $2\phi_A + \phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
$\phi_A$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$2\phi_A = \frac{q}{\varepsilon_0} - \phi$.
તેથી,$\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\varepsilon_0} - \phi\right)$.

(B) આપેલ વિદ્યુતભાર તંત્રને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $x$ અને $y$ યામ અક્ષોનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરી શકાય છે.
$-2q$ વિદ્યુતભાર ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. એક $+q$ વિદ્યુતભાર $(a, 0, 0)$ પર અને બીજો $+q$ વિદ્યુતભાર $(0, a, 0)$ પર મૂકવામાં આવ્યો છે.
આ તંત્રને બે વિદ્યુત ડાયપોલ તરીકે જોઈ શકાય છે: એક $x$-અક્ષ પર જેની ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_1 = q a \hat{i}$ છે અને બીજી $y$-અક્ષ પર જેની ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_2 = q a \hat{j}$ છે.
પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{P}_R$ એ આ બે ડાયપોલનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec{P}_R = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = qa \hat{i} + qa \hat{j}$.
પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટનું મૂલ્ય:
$P_R = \sqrt{(qa)^2 + (qa)^2} = \sqrt{2} qa$.
પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટની દિશા $\hat{i} + \hat{j}$ સદિશની દિશામાં છે,જે ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ અને $(a, a, 0)$ બિંદુને જોડતી રેખા છે.

(A) અર્ધ-રીંગ પર લંબાઈ $d\ell = R d\theta$ નો એક નાનો ખંડ ધ્યાનમાં લો.
આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર $dq = \lambda d\ell = \lambda R d\theta$ છે,જ્યાં $\lambda = \frac{q}{\pi R}$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
આ ખંડને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{R^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda R d\theta}{R^2} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} d\theta$ છે.
સંમિતિને કારણે,વિદ્યુતક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે અને માત્ર શિરોલંબ ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
શિરોલંબ ઘટક $dE_y = dE \cos \theta$ છે.
$-\pi/2$ થી $\pi/2$ સુધી સંકલન કરતા અથવા $2 \int_{0}^{\pi/2} dE \cos \theta$ લેતા:
$E = 2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} \cos \theta d\theta = \frac{2\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} [\sin \theta]_0^{\pi/2} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 R}$.
$\lambda = \frac{q}{\pi R}$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{q/(\pi R)}{2\pi \varepsilon_0 R} = \frac{q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2}$ મળે છે.

(C) જ્યારે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરને બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે $(V = V_0)$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્લેટોની વચ્ચે $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસીટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
તેથી,નવી સંગ્રહિત ઉર્જા $U' = \frac{1}{2} (KC) V^2 = K U$ થાય છે. આમ,સંગ્રહિત ઉર્જા $K$ ગણી થાય છે.
$Q = CV$ હોવાથી,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q' = KCV = KQ$ થાય છે.
વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $Q$ એ $K$ ના ગુણાંકમાં વધતું હોવાથી,પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma' = \frac{KQ}{A} = K\sigma_0$ પણ $K$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.
તેથી,કારણ ખોટું છે કારણ કે વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા અચળ રહેતી નથી.

(A) હીટરનો ઇલેક્ટ્રિક પાવર બલ્બ કરતા ઘણો વધારે હોય છે. $P = V^2/R$ હોવાથી,$R \propto 1/P$ થાય,જેનો અર્થ છે કે હીટરનો અવરોધ બલ્બના અવરોધ કરતા ઘણો ઓછો હોય છે.
જ્યારે હીટરને સમાંતરમાં ચાલુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્ત્રોતમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ વધે છે. સ્ત્રોતના આંતરિક અવરોધ (અથવા લાઇન અવરોધ) ને કારણે,બલ્બના બે છેડા વચ્ચેનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ ઘટે છે,જેનાથી બલ્બ ઝાંખો પડે છે.
જેમ જેમ હીટરની કોઈલ ગરમ થાય છે,તેમ તેના દ્રવ્યના ધન તાપમાન ગુણાંકને કારણે તેનો અવરોધ વધે છે. પરિણામે,હીટર દ્વારા ખેંચાતો પ્રવાહ ઘટે છે,ટર્મિનલ વોલ્ટેજ પાછો મળે છે અને બલ્બની તેજસ્વીતા વધે છે (ઝાંખાપણું ઘટે છે).

(A) જ્યારે વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ વહન કરતા બે તારને એકબીજા સાથે વીંટાળવામાં આવે છે,ત્યારે એક તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર આસપાસના અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુએ બીજા તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર જેટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
પરિણામે,વીંટાળેલા તારની જોડીની બહારના કોઈપણ બિંદુએ ચોખ્ખું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસરકારક રીતે શૂન્ય હોય છે.
જો તારને વીંટાળવામાં ન આવે,તો તેઓ એક લૂપ બનાવે છે જે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે,જે નજીકના સંવેદનશીલ ઇલેક્ટ્રોનિક ઘટકો અથવા પરિપથોમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક હસ્તક્ષેપ $(EMI)$ પેદા કરી શકે છે.
તેથી,તારને વીંટાળવાથી ચુંબકીય ફ્લક્સ ન્યૂનતમ થાય છે અને નજીકના પરિપથોમાં અનિચ્છનીય પ્રેરણ અટકાવે છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) અનંત લંબાઈના આદર્શ સોલેનોઈડ માટે,તેની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે અને $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માત્ર એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા અને વિદ્યુતપ્રવાહ પર આધાર રાખે છે,જે તેને સોલેનોઈડની કુલ લંબાઈ $l$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ થી સ્વતંત્ર બનાવે છે.
આદર્શ સોલેનોઈડની અંદર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન અને સોલેનોઈડની અક્ષને સમાંતર હોય છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ સમજાવે છે કે શા માટે ક્ષેત્ર સોલેનોઈડના પરિમાણોથી સ્વતંત્ર છે (કારણ કે સમાન ક્ષેત્ર એ આદર્શ સોલેનોઈડ મોડેલનો ગુણધર્મ છે).
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પૃથ્વીના ચુંબકીય ધ્રુવો પર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(H)$ શૂન્ય હોય છે.
સામાન્ય હોકાયંત્રની સોય ફક્ત સમક્ષિતિજ સમતલમાં ફરવા માટે રચાયેલ હોવાથી,તેને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક દ્વારા કોઈ ટોર્ક અનુભવાતો નથી.
તેથી,હોકાયંત્રની સોય કોઈપણ દિશામાં રહી શકે છે.
આ વિધાન સાચું છે.
નમન સોય (dip needle) શિરોલંબ સમતલમાં ફરવા માટે મુક્ત હોય છે.
ચુંબકીય ધ્રુવો પર,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ પૃથ્વીની સપાટીને લંબ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે નમન કોણ (angle of dip) $90^o$ હોય છે.
પરિણામે,નમન સોય શિરોલંબ દિશામાં ગોઠવાય છે.
આ કારણ સાચું છે.
હોકાયંત્રની સોયનું વર્તન એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સંપૂર્ણપણે શિરોલંબ હોવાનું સીધું પરિણામ છે (જેના કારણે નમન સોય પણ શિરોલંબ રહે છે),તેથી કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ઇલેક્ટ્રિક મોટરની કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} = \frac{e \cdot I}{E \cdot I} = \frac{e}{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $e$ એ બેક $emf$ છે અને $E$ એ લાગુ પાડેલ $emf$ છે.
મોટરમાં પ્રવાહ $I = \frac{E - e}{R}$ છે। યાંત્રિક પાવર આઉટપુટ $P_{out} = e \cdot I = e \left( \frac{E - e}{R} \right) = \frac{eE - e^2}{R}$ છે.
$P_{out}$ ને મહત્તમ કરવા માટે, આપણે $e$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ: $\frac{dP_{out}}{de} = \frac{E - 2e}{R} = 0$, જે $e = \frac{E}{2}$ આપે છે. આમ, વિધાન સાચું છે.
કાર્યક્ષમતા બેક $emf$ અને લાગુ પાડેલ $emf$ બંને પર આધાર રાખે છે, માત્ર બેક $emf$ ના મૂલ્ય પર નહીં. તેથી, કારણ ખોટું છે.

(B) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ છે.
હવામાં $(\mu_a = 1)$: $P_a = \frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = -5\,D$.
તેથી,$(1.5 - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = -5$,જે આપે છે $0.5 \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = -5$,અથવા $\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = -10$.
પ્રવાહીમાં $(\mu_m = 1.6)$: $P_m = \frac{\mu_m}{f_m} = \mu_m \left(\frac{\mu_g}{\mu_m} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$.
$P_m = 1.6 \left(\frac{1.5}{1.6} - 1\right) (-10)$.
$P_m = 1.6 \left(\frac{1.5 - 1.6}{1.6}\right) (-10)$.
$P_m = 1.6 \left(\frac{-0.1}{1.6}\right) (-10) = (-0.1) \times (-10) = 1\,D$.

(A) બહારની દુનિયાનો પ્રકાશ માછલી સુધી ત્યારે જ પહોંચે છે જો આપાતકોણ ક્રાંતિકોણ $\theta_{c}$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય.
$\mu = \frac{4}{3}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પાણી માટે,ક્રાંતિકોણ $\theta_{c}$ એ $\sin \theta_{c} = \frac{1}{\mu} = \frac{3}{4}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રશ્નની ભૂમિતિ મુજબ,વર્તુળાકાર ક્ષિતિજની ત્રિજ્યા $R$ અને ઊંડાઈ $h = 12 \, cm$ વચ્ચેનો સંબંધ $R = h \tan \theta_{c}$ છે.
$\sin \theta_{c} = \frac{3}{4}$ હોવાથી,$\cos \theta_{c} = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_{c}} = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ મળે.
તેથી,$\tan \theta_{c} = \frac{\sin \theta_{c}}{\cos \theta_{c}} = \frac{3/4}{\sqrt{7}/4} = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
કિંમતો મૂકતા,$R = 12 \times \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{36}{\sqrt{7}} \, cm$ મળે.

(D) અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = R / 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે ફક્ત વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ પર આધાર રાખે છે અને આસપાસના માધ્યમથી સ્વતંત્ર છે. આમ,પાણીમાં અંતર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ બદલાતી નથી.
લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$,જ્યાં $n$ એ માધ્યમની સાપેક્ષમાં લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક છે. જ્યારે લેન્સને પાણીમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક ઘટે છે,જેના કારણે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ વધે છે.
તેથી,પાણીમાં અરીસા અને લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ સમાન રહેશે નહીં. વિધાન ખોટું છે.
પાણીનો વક્રીભવનાંક $(n \approx 1.33)$ એ હવાના વક્રીભવનાંક $(n \approx 1.0)$ કરતા વધારે છે. તેથી,કારણ પણ ખોટું છે.

(B) ધારો કે બે સ્લિટ્સ $S_1$ અને $S_2$ છે. બિંદુ $P$ એ સ્લિટ $S_1$ ની બરાબર સામે છે. તેથી,$S_1P = D$.
અંતર $S_2P = \sqrt{D^2 + d^2} = D(1 + \frac{d^2}{D^2})^{1/2}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા ($d << D$ માટે),$S_2P \approx D(1 + \frac{d^2}{2D^2}) = D + \frac{d^2}{2D}$.
પથ તફાવત $\Delta x = S_2P - S_1P = (D + \frac{d^2}{2D}) - D = \frac{d^2}{2D}$.
અપ્રકાશિત શલાકા માટે,પથ તફાવત $\lambda/2$ નો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ. પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા માટે,$\Delta x = \frac{\lambda}{2}$.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{d^2}{2D} = \frac{\lambda}{2}$,જે આપે છે $\lambda = \frac{d^2}{D}$.
આમ,$\lambda \propto d^2$. વિધાન સાચું છે.
કારણ જણાવે છે કે અપ્રકાશિત શલાકા માટે તીવ્રતા શૂન્ય હોય છે,જે એક સાચું વિધાન છે,પરંતુ તે સમજાવતું નથી કે આ ચોક્કસ ભૌમિતિક ગોઠવણીમાં તરંગલંબાઈ $d^2$ ના સમપ્રમાણમાં કેમ છે. તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) બામર શ્રેણી માટે તરંગલંબાઈ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right]$,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$
મહત્તમ તરંગલંબાઈ માટે $(n=3)$:
$\frac{1}{\lambda_{\max}} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{5}{36} \right]$
$\lambda_{\max} = \frac{36}{5R} \approx 6563 \, \mathring{A}$
ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ માટે $(n \to \infty)$:
$\frac{1}{\lambda_{\min}} = R \left[ \frac{1}{4} - 0 \right] = \frac{R}{4}$
$\lambda_{\min} = \frac{4}{R} \approx 3646 \, \mathring{A}$
$3646 \, \mathring{A}$ થી $6563 \, \mathring{A}$ ની રેન્જ વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટના દ્રશ્ય વિભાગમાં આવે છે. તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(D) આપેલ છે કે ${}^{66}Cu$ ના નમૂનાનો $\frac{7}{8}$ ભાગ $15 \ minutes$ માં ક્ષય પામે છે.
બાકી રહેલા નમૂનાનો ભાગ $N = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેલો જથ્થો $N = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$,તેથી અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 3$ છે.
સમય $t$,અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $n = \frac{t}{T}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$3 = \frac{15}{T}$.
તેથી,અર્ધ-આયુષ્ય $T = \frac{15}{3} = 5 \ minutes$ થાય.

(A) આ સર્કિટમાં એક $p-n$ જંકશન ડાયોડ લોડ અવરોધ $R_L$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
જ્યારે ઇનપુટ વોલ્ટેજ $+5\, V$ હોય,ત્યારે ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે. આદર્શ ડાયોડ ધારીએ તો,તે શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે અને $+5\, V$ નો સંપૂર્ણ ઇનપુટ વોલ્ટેજ લોડ અવરોધ $R_L$ પર મળે છે.
જ્યારે ઇનપુટ વોલ્ટેજ $-5\, V$ હોય,ત્યારે ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે. તે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી અવરોધ $R_L$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. પરિણામે,$R_L$ પર આઉટપુટ વોલ્ટેજ $0\, V$ મળે છે.
આમ,આઉટપુટ સિગ્નલ એ એક ચોરસ તરંગ છે જે $+5\, V$ અને $0\, V$ ની વચ્ચે બદલાય છે.

(A) આપેલ છે: આઉટપુટ અવરોધ $R_{o} = 500\,k\Omega = 500 \times 10^3\,\Omega$,પ્રવાહ ગેઇન $\alpha = 0.98$,અને પાવર ગેઇન $A_{p} = 6.0625 \times 10^6$.
પ્રથમ,કોમન એમિટર કન્ફિગરેશન માટે પ્રવાહ ગેઇન $\beta$ ની ગણતરી કરો:
$\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha} = \frac{0.98}{1 - 0.98} = \frac{0.98}{0.02} = 49$.
પાવર ગેઇન એ વોલ્ટેજ ગેઇન $(A_{v})$ અને પ્રવાહ ગેઇન $(\beta)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$A_{p} = A_{v} \times \beta$.
કિંમતો મૂકતા: $6.0625 \times 10^6 = A_{v} \times 49$.
$A_{v} = \frac{6.0625 \times 10^6}{49} = 1.237245 \times 10^5$.
વોલ્ટેજ ગેઇન $A_{v} = \beta \times \frac{R_{o}}{R_{i}}$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_{i}$ એ ઇનપુટ અવરોધ છે.
$1.237245 \times 10^5 = 49 \times \frac{500 \times 10^3}{R_{i}}$.
$R_{i} = \frac{49 \times 500 \times 10^3}{1.237245 \times 10^5} = \frac{24500 \times 10^3}{123724.5} \approx 198\,\Omega$.

(B) જ્યારે $q$ વીજભાર અને $m$ દળ ધરાવતા આયનને $V$ વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $E = qV = \frac{1}{2}mv^2$ થાય છે. આના પરથી,વેગ $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ મળે છે.
જ્યારે આ આયન તેની ગતિને લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં પ્રવેશે છે,ત્યારે લોરેન્ઝ બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે તે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે: $qvB = \frac{mv^2}{R}$.
બળના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $qvB = \frac{m}{R} \left(\frac{2qV}{m}\right) = \frac{2qV}{R}$.
વીજભાર-દળના ગુણોત્તર માટે સાદું રૂપ આપતા: $R = \frac{mv}{qB}$.
ત્રિજ્યાના સમીકરણમાં $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$ મૂકતા: $R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $R^2 = \frac{2mV}{qB^2}$.
$\frac{q}{m}$ ગુણોત્તર મેળવવા માટે ગોઠવતા: $\frac{q}{m} = \frac{2V}{R^2 B^2}$.
અહીં $V$ અને $B$ અચળ હોવાથી,$\frac{q}{m} \propto \frac{1}{R^2}$ થાય છે.