AIEEE 2012 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) સ્થાનાંતર $y(t) = A \sin (\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\phi = \frac{2\pi}{3}$.
$t = 0$ સમયે,સ્થાનાંતર $y(0) = A \sin(\phi) = A \sin(\frac{2\pi}{3})$ થાય.
કારણ કે $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$,તેથી $y(0) = 0.866 A$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $t = 0$ સમયે,આલેખમાં ધન સ્થાનાંતર આશરે $0.87 A$ જેટલું હોવું જોઈએ. વધુમાં,વેગ $v(t) = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ છે. $t = 0$ સમયે,$v(0) = A\omega \cos(\frac{2\pi}{3}) = A\omega (-0.5) = -0.5 A\omega$ થાય. $t = 0$ સમયે વેગ ઋણ હોવાથી,આલેખનો ઢાળ $t = 0$ સમયે ઘટતો હોવો જોઈએ. આલેખ $B$ એ $t = 0$ સમયે ધન સ્થાનાંતર અને ઋણ ઢાળ દર્શાવે છે,જે આ શરતોને સંતોષે છે.

(A) ધારો કે સ્ટીલની ઉષ્મીય વાહકતા $K_{steel} = k$ છે.
તેથી,તાંબાની ઉષ્મીય વાહકતા $K_{copper} = 9k$ થશે.
ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $\theta$ છે.
સળિયા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી અને આસપાસના વાતાવરણથી અવાહક હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $(H)$ સમાન હશે.
$H = \frac{K_{copper} A (100 - \theta)}{L/2} = \frac{K_{steel} A (\theta - 0)}{L/2}$
બંને સળિયા માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને લંબાઈ $L/2$ સમાન હોવાથી:
$K_{copper} (100 - \theta) = K_{steel} (\theta - 0)$
$9k (100 - \theta) = k \theta$
$900 - 9\theta = \theta$
$10\theta = 900$
$\theta = 90\,^oC$.

(B) જ્યારે બે પદાર્થો તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ફરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ બંને કણો માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
સિસ્ટમનું સંતુલન જાળવી રાખવા માટે કણો હંમેશા દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુએ રહેવા જોઈએ,તેથી તેઓએ સમાન સમયગાળા $T$ માં તેમની વર્તુળાકાર કક્ષા પૂર્ણ કરવી આવશ્યક છે.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
બંને કણોનો સમયગાળો $T$ સમાન હોવાથી,તેમના કોણીય વેગ સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $\omega_1 = \omega_2$.
આ કોણીય વેગ બે દળ વચ્ચેના ગુરુત્વાકર્ષણ આંતરક્રિયા દ્વારા નક્કી થાય છે અને તે કક્ષાની ગતિશીલતાના સંદર્ભમાં અપૂર્ણાંક $f$ થી સ્વતંત્ર છે.

(D) આપેલ છે કે મુખ્ય સ્કેલના $N$ વિભાગો વર્નિયર સ્કેલના $(N + 1)$ વિભાગો સાથે બંધ બેસે છે.
ધારો કે મુખ્ય સ્કેલના એક વિભાગનું મૂલ્ય $a$ છે.
ધારો કે વર્નિયર સ્કેલના એક વિભાગનું મૂલ્ય $v$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$(N + 1)v = Na$.
તેથી,વર્નિયર સ્કેલના એક વિભાગનું મૂલ્ય $v = \frac{Na}{N + 1}$ થાય.
વર્નિયર કેલિપર્સનું લઘુત્તમ માપ (Least Count) એ મુખ્ય સ્કેલના એક વિભાગ અને વર્નિયર સ્કેલના એક વિભાગ વચ્ચેનો તફાવત છે.
લઘુત્તમ માપ = $a - v$.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
લઘુત્તમ માપ = $a - \frac{Na}{N + 1} = a \left( 1 - \frac{N}{N + 1} \right)$.
લઘુત્તમ માપ = $a \left( \frac{N + 1 - N}{N + 1} \right) = \frac{a}{N + 1}$.

(C) $m_1$ દળનો કણ જે $u_1$ વેગથી ગતિ કરે છે અને $m_2$ દળનો કણ જે સ્થિર છે $(u_2 = 0)$ તેમની વચ્ચેના સંઘાત બાદ પ્રથમ કણનો અંતિમ વેગ $v_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1$
પ્રથમ કણ દ્વારા જળવાઈ રહેલી ગતિ ઉર્જાનો અંશ:
$\frac{K_f}{K_i} = \frac{\frac{1}{2} m_1 v_1^2}{\frac{1}{2} m_1 u_1^2} = \left( \frac{v_1}{u_1} \right)^2 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2$
અહીં $m_1 = m$ અને $m_2 = 2m$ આપેલ છે:
$\frac{K_f}{K_i} = \left( \frac{m - 2m}{m + 2m} \right)^2 = \left( \frac{-m}{3m} \right)^2 = \left( -\frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}$
ગતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો:
$\frac{\Delta K}{K_i} = 1 - \frac{K_f}{K_i} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
ઉર્જામાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો:
$\text{પ્રતિશત ઘટાડો} = \frac{8}{9} \times 100 \approx 88.89\% \approx 90\%$

(D) ધારો કે $S$ એ ટ્રેનની કુલ લંબાઈ છે અને $a$ એ સમાન પ્રવેગ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 - u^2 = 2aS \implies aS = \frac{v^2 - u^2}{2}$.
ધારો કે $V_c$ એ મધ્યના ડબ્બાનો વેગ છે જ્યારે તે થાંભલા પાસેથી પસાર થાય છે. એન્જિનથી મધ્યના ડબ્બા સુધીનું અંતર $S/2$ છે.
આ અંતર માટે ગતિનું સમીકરણ લાગુ પાડતા:
$V_c^2 - u^2 = 2a(S/2) = aS$.
$aS$ ની કિંમત મૂકતા:
$V_c^2 - u^2 = \frac{v^2 - u^2}{2}$.
$V_c^2 = u^2 + \frac{v^2 - u^2}{2} = \frac{2u^2 + v^2 - u^2}{2} = \frac{u^2 + v^2}{2}$.
તેથી,$V_c = \sqrt{\frac{u^2 + v^2}{2}}$.

(A) ભૌતિક લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgl}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ આધાર બિંદુની સાપેક્ષ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $l$ એ આધાર બિંદુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
$m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ માટે,તેની ધાર પરના બિંદુ $S$ થી લટકાવવામાં આવે ત્યારે સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + mR^2 = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$ થાય છે.
આધાર બિંદુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $l = R$ છે.
આ કિંમતોને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{2mR^2}{mgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$.
અહીં $T = 1 \, s$ અને $g = \pi^2$ આપેલ છે,તેથી:
$1 = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{\pi^2}} = 2\pi \frac{\sqrt{2R}}{\pi} = 2\sqrt{2R}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$1 = 4(2R) = 8R$.
તેથી,$R = 1/8 = 0.125 \, m$.
નોંધ: જો પ્રશ્નમાં $T=2s$ લેવામાં આવે,તો $R = 0.5 \, m$ મળે છે,જે વિકલ્પ $A$ મુજબ છે.

(C) તારનું બ્રેકિંગ ફોર્સ (તોડતું બળ) તેના બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ અને તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ દ્વારા નક્કી થાય છે. બ્રેકિંગ ફોર્સનું સૂત્ર $F = \text{Breaking Stress} \times \text{Area}$ છે.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ એ પદાર્થનો ગુણધર્મ છે અને જ્યારે તારને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે ત્યારે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ બદલાતું નથી, તેથી દરેક ભાગ માટે બ્રેકિંગ ફોર્સ સમાન રહે છે.
તેથી, દરેક ભાગ હજુ પણ $100\,kg$ વજન સહન કરી શકે છે.

(A) આપેલ દબાણ-કદ સંબંધ: $P = \alpha V$.
વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W$,પ્રારંભિક કદ $V_i = V$ થી અંતિમ કદ $V_f = mV$ સુધી,નીચે મુજબ સંકલન દ્વારા મળે છે:
$W = \int_{V_i}^{V_f} P \, dV$
$P = \alpha V$ મૂકતા:
$W = \int_{V}^{mV} \alpha V \, dV$
$V$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા:
$W = \alpha \left[ \frac{V^2}{2} \right]_{V}^{mV}$
$W = \frac{\alpha}{2} [(mV)^2 - V^2]$
$W = \frac{\alpha V^2}{2} (m^2 - 1)$

(B) ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ $n = 264 \, Hz$ છે. ધ્વનિનો વેગ $v = 330 \, m/s$ છે.
એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,અનુનાદની આવૃત્તિઓ $n = \frac{(2k-1)v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 1, 2, 3, \dots$ એ હાર્મોનિક નંબર છે.
મૂળભૂત લંબાઈ $(k=1)$ $L_1 = \frac{v}{4n} = \frac{330}{4 \times 264} = 0.3125 \, m = 31.25 \, cm$ છે.
શક્ય અનુનાદ લંબાઈઓ $L = (2k-1) \times 31.25 \, cm$ છે.
$k=1$ માટે,$L = 31.25 \, cm$.
$k=2$ માટે,$L = 3 \times 31.25 = 93.75 \, cm$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$93.75 \, cm$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) વિદ્યુત અવરોધ $R = \frac{\rho l}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધકતા $\rho$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$\rho = \frac{R a}{l}$ મળે છે.
અવરોધ $R$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ છે.
ક્ષેત્રફળ $a$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^2]$ છે.
લંબાઈ $l$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L]$ છે.
આ કિંમતોને $\rho$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\rho = \frac{[M L^2 T^{-3} A^{-2}] [L^2]}{[L]} = [M L^3 T^{-3} A^{-2}]$.
વિદ્યુત વાહકતા $\sigma$ એ અવરોધકતા $\rho$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી $\sigma = \frac{1}{\rho}$.
તેથી,$\sigma$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{-1} L^{-3} T^3 A^2]$ થાય છે.

(C) ધારો કે કણનું દળ $M$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,પ્રારંભિક સ્થિતિ (કેન્દ્રથી $r$ અંતરે) પરની કુલ ઉર્જા એ કેન્દ્ર $C$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગના અક્ષ પર $x$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V_p = -\frac{Gm}{\sqrt{r^2 + x^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = M \times V_p(r) = -\frac{GMm}{\sqrt{r^2 + r^2}} = -\frac{GMm}{r\sqrt{2}}$.
કેન્દ્ર પર અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = M \times V_p(0) = -\frac{GMm}{r}$.
ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ: $U_i + K_i = U_f + K_f$.
$-\frac{GMm}{r\sqrt{2}} + 0 = -\frac{GMm}{r} + \frac{1}{2}MV^2$.
$\frac{1}{2}MV^2 = \frac{GMm}{r} - \frac{GMm}{r\sqrt{2}} = \frac{GMm}{r} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$V^2 = \frac{2Gm}{r} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$V = \sqrt{\frac{2Gm}{r} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})}$.

(A) પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (5)^2 = 25\, J$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ બળ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે,જે $F-x$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે.
થયેલું કાર્ય $W = \int_{0}^{8} F dx = \text{આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ}$.
$x=0$ થી $x=2$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ (અક્ષની ઉપરનો ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\, J$.
$x=2$ થી $x=5$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ (અક્ષની નીચેનો ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times 3 \times (-1) = -1.5\, J$.
$x=5$ થી $x=8$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ (અક્ષની ઉપરનો ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5\, J$.
કુલ કાર્ય $W = 2 - 1.5 + 4.5 = 5\, J$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = K_i + W = 25 + 5 = 30\, J$.

(D) રેફ્રિજરેટર હીટ પંપના સિદ્ધાંત પર કામ કરે છે,જે કૂલિંગ ચેમ્બરમાંથી ગરમી ખેંચે છે અને તેને આસપાસના વાતાવરણમાં મુક્ત કરે છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,રૂમમાં મુક્ત થતી ઉર્જા એ કૂલિંગ ચેમ્બરમાંથી ખેંચાયેલી ગરમી અને કોમ્પ્રેસર દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્યના સરવાળા જેટલી હોય છે.
કોમ્પ્રેસર કાર્ય કરવા માટે વિદ્યુત ઉર્જાનો વપરાશ કરે છે,તેથી રૂમમાં મુક્ત થતી કુલ ગરમી એ કૂલિંગ ચેમ્બરમાંથી દૂર કરેલી ગરમી કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,જો સારી રીતે ઇન્સ્યુલેટેડ રૂમમાં રેફ્રિજરેટરનો દરવાજો ખુલ્લો રાખવામાં આવે,તો તેની ચોખ્ખી અસર રૂમના તાપમાનમાં વધારો કરશે.

(A) સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ,જ્યારે $a$ ત્રિજ્યાનો એક નાનો ગોળો સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં પડે છે,ત્યારે તે અચળ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે જેને ટર્મિનલ વેગ $(V_T)$ કહેવામાં આવે છે.
ટર્મિનલ વેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V_T = \frac{2a^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
જ્યાં:
$a$ = ગોળાની ત્રિજ્યા
$\rho$ = ગોળાની ઘનતા
$\sigma$ = પ્રવાહીની ઘનતા
$g$ = ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ
$\eta$ = પ્રવાહીનો સ્નિગ્ધતા ગુણાંક
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $V_T \propto a^2$.
તેથી,ટર્મિનલ વેગ એ ગોળાની ત્રિજ્યાના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે.

(D) પથ્થરનું કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = mvr = mr^2\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ દળ છે,$v$ રેખીય વેગ છે,$r$ ત્રિજ્યા છે અને $\omega$ કોણીય વેગ છે.
કોણીય વેગમાન અચળ હોવાથી,આપણી પાસે $mr^2\omega = C$ છે (જ્યાં $C$ અચળાંક છે).
આનો અર્થ એ થાય કે $\omega = \frac{C}{mr^2}$.
દોરીમાં તણાવ $T$ એ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T = m\omega^2r$.
તણાવના સૂત્રમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = m \left( \frac{C}{mr^2} \right)^2 r = m \left( \frac{C^2}{m^2r^4} \right) r = \frac{C^2}{mr^3} = \left( \frac{C^2}{m} \right) r^{-3}$.
આને $T = Ar^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = \frac{C^2}{m}$ અને $n = -3$ મળે છે.

(C) ધન $x$-દિશામાં પ્રસરતા તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y(x, t) = f(x - vt)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ તરંગનો વેગ છે.
સમય $t = 0$ પર,સમીકરણ $y = f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,સમીકરણ $y = f(x - vt) = \frac{1}{1 + (x - vt)^2}$ બને છે.
આપેલ છે કે $t = 2 \ s$ પર,સમીકરણ $y = \frac{1}{1 + (x - 1)^2}$ છે.
$t = 2 \ s$ માટે બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$vt = 1$
અહીં $t = 2 \ s$ હોવાથી,$v(2) = 1$ મળે.
તેથી,$v = \frac{1}{2} = 0.5 \ m/s$.

(D) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન અચળ રહે છે, તેથી $PV = \text{અચળ}$.
પ્રારંભિક અવસ્થા: $(P, V)$. અંતિમ અવસ્થા: $(P_i, 2V)$.
$PV = P_i(2V) \implies P_i = \frac{P}{2} \implies P = 2P_i \quad ...(i)$
એડિબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા માટે, $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$.
પ્રારંભિક અવસ્થા: $(P, V)$. અંતિમ અવસ્થા: $(P_a, 2V)$.
$PV^{\gamma} = P_a(2V)^{\gamma} \implies P_a = P \left(\frac{V}{2V}\right)^{\gamma} = P(2)^{-\gamma}$
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે, એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
$P = 2P_i$ અને $\gamma = \frac{5}{3}$ ની કિંમત એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા:
$P_a = (2P_i)(2)^{-5/3} = P_i \cdot 2^1 \cdot 2^{-5/3} = P_i \cdot 2^{1 - 5/3} = P_i \cdot 2^{-2/3}$
તેથી, ગુણોત્તર $\frac{P_a}{P_i} = 2^{-2/3}$ થાય.

(D) જ્યારે દડાને $h$ ઊંચાઈ પરથી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે કોઈપણ ઊંચાઈ $y$ (જમીનથી માપતા) પર તેની ઝડપ $v$ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ દ્વારા મળે છે: $mgh = mgy + \frac{1}{2}mv^2$,જેનું સાદું રૂપ $v = \sqrt{2g(h-y)}$ થાય છે.
આ સમીકરણ $(v, h)$ સમતલમાં ડાબી તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે,જ્યાં $h$ એ શિરોલંબ અક્ષ છે અને $v$ એ આડી અક્ષ છે.
નીચેની તરફની ગતિ દરમિયાન,જેમ $h$ પ્રારંભિક ઊંચાઈથી ઘટીને $0$ થાય છે,તેમ ઝડપ $v$ એ $0$ થી વધીને $\sqrt{2gh}$ થાય છે.
જમીન સાથે અસ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાતા,દડો થોડી ગતિ ઉર્જા ગુમાવે છે,તેથી ઉછળ્યા પછી તરત જ તેનો વેગ $v' = ev$ થાય છે,જ્યાં $e < 1$ એ રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક છે.
ઉપરની તરફની ગતિ દરમિયાન,દડો $h=0$ પર $v'$ ઝડપથી શરૂઆત કરે છે અને નવી મહત્તમ ઊંચાઈ $h' = e^2h$ સુધી પહોંચે છે. જેમ $h$ એ $0$ થી વધીને $h'$ થાય છે,તેમ ઝડપ $v$ એ $v'$ થી ઘટીને $0$ થાય છે.
આ વર્તણૂક નીચેની તરફની ગતિ માટે નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયાકાર ચાપ અને ઉપરની તરફની ગતિ માટે ઉપરની તરફ ખુલતા પરવલયાકાર ચાપ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જેમાં ઉપરની ગતિ ઓછી ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે. આલેખ $D$ આ ક્રમ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે ગોળાનું દળ $m$ છે અને તેની ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ છે. ઢળતી સપાટીની ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા $(PE)$ તળિયે ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
કિસ્સો $1$: સરક્યા વિના ગબડવું.
$PE = K.E_{trans} + K.E_{rot} = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
અહીં $I = mk^2$ અને $\omega = v_0/R_0$ હોવાથી:
$PE = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}(mk^2)(v_0^2/R_0^2) = \frac{1}{2}mv_0^2(1 + k^2/R_0^2) \dots (i)$
કિસ્સો $2$: ગબડ્યા વિના સરકવું (ઘર્ષણરહિત).
$PE = K.E_{trans} = \frac{1}{2}m(5v_0/4)^2 = \frac{1}{2}m(25v_0^2/16) \dots (ii)$
$PE$ સમાન હોવાથી સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2}mv_0^2(1 + k^2/R_0^2) = \frac{1}{2}m(25v_0^2/16)$
$1 + k^2/R_0^2 = 25/16$
$k^2/R_0^2 = 25/16 - 1 = 9/16$
$k = 3R_0/4$

(A) કુલ ઊંચાઈ $H$ ધરાવતી ટાંકીમાં સપાટીથી $y$ ઊંડાઈએ આવેલા છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પાણીની સમક્ષિતિજ અવધિ (range) $R = 2\sqrt{y(H-y)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છિદ્ર $A$ માટે,સપાટીથી ઊંડાઈ $h_1$ છે,તેથી અવધિ $R_A = 2\sqrt{h_1(H - h_1)}$ છે.
છિદ્ર $B$ માટે,તળિયેથી ઊંચાઈ $h_2$ છે,તેથી સપાટીથી ઊંડાઈ $(H - h_2)$ છે. અવધિ $R_B = 2\sqrt{(H - h_2)h_2}$ છે.
બંને અવધિ સમાન હોવાથી,$R_A = R_B$:
$2\sqrt{h_1(H - h_1)} = 2\sqrt{(H - h_2)h_2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$h_1(H - h_1) = h_2(H - h_2)$
$Hh_1 - h_1^2 = Hh_2 - h_2^2$
$H(h_1 - h_2) = h_1^2 - h_2^2$
$H(h_1 - h_2) = (h_1 - h_2)(h_1 + h_2)$
જો $h_1 \neq h_2$ હોય,તો આપણને $H = h_1 + h_2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $h_1/h_2$ નો ગુણોત્તર કોઈ નિશ્ચિત અચળાંક નથી પરંતુ તે $H$ પર આધાર રાખે છે.

(C) વિધાન $1$ સાચું છે કારણ કે ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયા માટે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રતિક્રિયા હોય છે. જ્યારે તમે ગાડીને ધક્કો મારો છો,ત્યારે તે તમારા પર સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે.
વિધાન $2$ ખોટું છે. ગાડી હલનચલન કરતી નથી કારણ કે ગાડી પર લાગતું ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય છે. તમે ગાડી પર જે બળ લગાડો છો અને ઘોડો ગાડી પર જે બળ લગાડે છે તે સ્થિર ઘર્ષણ અથવા ઘોડાના વિરોધી બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે,નહીં કે ક્રિયા-પ્રતિક્રિયાની જોડી એકબીજાને રદ કરે છે. ક્રિયા અને પ્રતિક્રિયા બળો અલગ-અલગ પદાર્થો પર કાર્ય કરે છે,તેથી તેઓ ક્યારેય એકબીજાને રદ કરી શકતા નથી.

(D) ત્રણેય ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી કુલ ઉર્જા એ દરેક ઇલેક્ટ્રોનને ક્રમશઃ દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જાનો સરવાળો છે.
$1$. પ્રથમ ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટેની ઉર્જા ($Li$ ની આયનીકરણ ઉર્જા): $E_1 = 5.4 \ eV$.
$2$. પ્રથમ ઇલેક્ટ્રોન દૂર કર્યા પછી,આપણી પાસે $Li^+$ વધે છે. $Li^+$ આયનમાં એક ઇલેક્ટ્રોનની બંધન ઉર્જા $75.6 \ eV$ છે. $Li^+$ આયનમાં બે ઇલેક્ટ્રોન બાકી હોવાથી,બંનેને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $2 \times 75.6 \ eV = 151.2 \ eV$ થશે.
$3$. જરૂરી કુલ ઉર્જા = $E_1 + E_2 + E_3 = 5.4 \ eV + 151.2 \ eV = 156.6 \ eV$.

(B) આદર્શ અનંત સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L_{ideal} = \frac{\mu_0 N^2 A}{L} = \frac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સીમિત લંબાઈના વાસ્તવિક સોલેનોઈડમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમગ્ર આંતરિક ભાગમાં સમાન હોતું નથી; તે કેન્દ્રમાં મહત્તમ હોય છે અને છેડા તરફ ઘટતું જાય છે.
સીમિત સોલેનોઈડમાં ચુંબકીય ફ્લક્સ લિંકેજ અનંત સોલેનોઈડની તુલનામાં ઓછું હોવાથી,વાસ્તવિક આત્મ-પ્રેરકત્વ આદર્શ સૂત્ર $\frac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{L}$ નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ મૂલ્ય કરતા ઓછું હોય છે.
વિધાન $1$ સાચું છે કારણ કે તે સીમિત લંબાઈની અસરને ધ્યાનમાં લે છે.
વિધાન $2$ સાચું છે કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 NI}{L}$ માત્ર અનંત સોલેનોઈડ માટે અથવા લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્રમાં જ માન્ય છે,અને તે છેડા તરફ ઘટતું જાય છે.
છેડા પર ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ઘટાડો એ વિધાન $2$ માં વર્ણવેલ ચુંબકીય ક્ષેત્રની અસમાનતાને કારણે સીધો થાય છે,તેથી વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) ધારો કે $r$ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાઓ પરના વિદ્યુતભારો અનુક્રમે $q_1$ અને $q_2$ છે.
આપેલ છે કે $q_1 + q_2 = Q$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા સમાન હોવાથી,$\sigma_1 = \sigma_2$.
$\frac{q_1}{4\pi r^2} = \frac{q_2}{4\pi R^2} \implies \frac{q_1}{r^2} = \frac{q_2}{R^2}$.
ગુણોત્તરના નિયમ મુજબ,$\frac{q_1}{r^2} = \frac{q_2}{R^2} = \frac{q_1 + q_2}{r^2 + R^2} = \frac{Q}{r^2 + R^2}$.
તેથી,$q_1 = \frac{Q r^2}{R^2 + r^2}$ અને $q_2 = \frac{Q R^2}{R^2 + r^2}$.
સામાન્ય કેન્દ્ર પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right)$.
$q_1$ અને $q_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q r^2}{r(R^2 + r^2)} + \frac{Q R^2}{R(R^2 + r^2)} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q r + Q R}{R^2 + r^2} \right)$.
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{(R + r)Q}{R^2 + r^2}$.

(C) જ્યારે કોઈ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ એકસાથે અનેક પ્રક્રિયાઓ દ્વારા ક્ષય પામે છે,ત્યારે કુલ ક્ષય અચળાંક એ વ્યક્તિગત ક્ષય અચળાંકોનો સરવાળો હોય છે.
તેથી,અસરકારક ક્ષય અચળાંક $\lambda_{eff} = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta}$ છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $T$ એ ક્ષય અચળાંક $\lambda$ સાથે $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ દ્વારા સંબંધિત છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$.
આને અસરકારક ક્ષય અચળાંકના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\ln 2}{T_{eff}} = \frac{\ln 2}{T_{\alpha}} + \frac{\ln 2}{T_{\beta}}$.
બંને બાજુ $\ln 2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{T_{eff}} = \frac{1}{T_{\alpha}} + \frac{1}{T_{\beta}}$ મળે છે.
$T_{eff}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $T_{eff} = \frac{T_{\alpha}T_{\beta}}{T_{\alpha} + T_{\beta}}$ મળે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = hv - hv_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે,અને $v_0$ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
જો આવૃત્તિ $v$ ને બમણી કરીને $2v$ કરવામાં આવે,તો નવી ગતિઊર્જા $K'_{max} = h(2v) - hv_0 = 2hv - hv_0$ થાય. આ $2K_{max} = 2(hv - hv_0) = 2hv - 2hv_0$ જેટલું નથી. આમ,મહત્તમ ગતિઊર્જા બમણી થતી નથી.
વધુમાં,ફોટોકરંટ એકમ સમયમાં આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે,જે પ્રકાશની તીવ્રતાના પ્રમાણમાં હોય છે,આવૃત્તિના નહીં. તેથી,વિધાન $1$ ખોટું છે.
વિધાન $2$ સાચી રીતે જણાવે છે કે $K_{max}$ આવૃત્તિ પર રેખીય રીતે આધાર રાખે છે અને ફોટોકરંટ તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે. તેથી,વિધાન $2$ સાચું છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB}$ છે.
જ્યારે કણને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$.
આ $v$ ની કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$.
પ્રોટોન માટે,$q_p = e$ અને $m_p = m$. તેથી,$r_p = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{e}}$.
ડ્યુટેરોન માટે,$q_d = e$ અને $m_d = 2m$. તેથી,$r_d = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2(2m)V}{e}} = \sqrt{2} \times \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{e}} = \sqrt{2} r_p$.
અહીં $r_d = R$ આપેલ છે,તેથી $R = \sqrt{2} r_p$,જેનો અર્થ છે કે $r_p = \frac{R}{\sqrt{2}}$.

(C) $1$. પ્રકાશનું કિરણ $AB$ સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,તેથી તે વિચલન વગર પ્રિઝમમાં પ્રવેશે છે અને $AC$ સપાટી પર અથડાય છે.
$2$. ધારો કે $AC$ સપાટી પર આપાતકોણ $i$ છે. પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,$AC$ સપાટીના લંબ અને આપાત કિરણ વચ્ચેનો ખૂણો પ્રિઝમના ખૂણા $\theta$ જેટલો થાય છે. તેથી,$i = \theta$.
$3$. $AC$ સપાટી પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ થવા માટે,આપાતકોણ કાચ-પાણીના આંતરપૃષ્ઠ માટેના ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
$4$. $TIR$ માટેની શરત $i > C$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\sin i > \sin C$.
$5$. કારણ કે $i = \theta$,તેથી $\sin \theta > \sin C$.
$6$. ક્રાંતિકોણ $C$ નું મૂલ્ય $\sin C = \frac{\mu_{\text{water}}}{\mu_{\text{glass}}} = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$ દ્વારા મળે છે.
$7$. તેથી,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરત $\sin \theta > \frac{8}{9}$ છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં, વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ અને તરંગના પ્રસરણની દિશા $\vec{k}$ પરસ્પર લંબ હોય છે.
આપેલ છે કે તરંગ $+y$ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે, તેથી તરંગ સદિશ $y$-અક્ષની દિશામાં છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એ $+x$ અક્ષની દિશામાં છે.
તરંગના પ્રસરણની દિશા વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના સદિશ ગુણાકાર $(\vec{E} \times \vec{B} \propto \vec{v})$ દ્વારા મળે છે, તેથી $\hat{E} \times \hat{x} = \hat{y}$.
આ સૂચવે છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $z$-અક્ષની દિશામાં હોવું જોઈએ (કારણ કે $\hat{z} \times \hat{x} = \hat{y}$).
$+y$ દિશામાં ગતિ કરતા તરંગ માટે, ફેઝ પદ $(\omega t - ky)$ છે, જ્યાં $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.
તેથી, વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E} = E_0 \cos \left( \omega t - \frac{2\pi}{\lambda} y \right) \hat{z}$ છે.

(B) સમાંતર જોડાણમાં,દરેક ઘટક પરનો વોલ્ટેજ બેટરીના વોલ્ટેજ જેટલો જ હોય છે.
બલ્બ $1$ પરનો વોલ્ટેજ $(V_1)$ $= 6.0\,V$.
બલ્બ $2$ પરનો વોલ્ટેજ $(V_2)$ $= 6.0\,V$.
બલ્બની તેજસ્વિતા તેના દ્વારા વપરાતા પાવર પર આધાર રાખે છે,જે $P = \frac{V^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બલ્બ $1$ માટે: $P_1 = \frac{6^2}{3} = \frac{36}{3} = 12\,W$.
બલ્બ $2$ માટે: $P_2 = \frac{6^2}{6} = \frac{36}{6} = 6\,W$.
અહીં $P_1 > P_2$ હોવાથી,બલ્બ $1$ વધુ તેજસ્વી પ્રકાશશે.

(C) આપેલ છે:
આર્મેચર અવરોધ, $R = 0.1 \, \Omega$
પ્રેરિત emf, $e = 120 \, V$
ખેંચાયેલ પ્રવાહ, $I = 50 \, A$
જનરેટર માટે, પ્રેરિત emf $(e)$, ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $(V)$ અને આર્મેચર અવરોધ $(R)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$e = V + I R$
ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $(V)$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$V = e - I R$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$V = 120 - (50 \times 0.1)$
$V = 120 - 5$
$V = 115 \, V$
આમ, ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $115 \, V$ છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ, અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોય તેવી બંધ સપાટી માટે કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે.
$\phi_{\text{net}} = \phi_{\text{curved}} + \phi_{\text{base}} = 0$
તેથી, $\phi_{\text{curved}} = -\phi_{\text{base}}$.
સપાટ પાયામાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{\text{base}} = \vec{E} \cdot \vec{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\vec{A}$ એ પાયાનો ક્ષેત્રફળ સદિશ છે. ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ શિરોલંબ નીચેની તરફ (પાયાને લંબ) હોય છે, જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ છે.
$\phi_{\text{base}} = E A \cos(135^{\circ}) = E (\pi a^2) \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi a^2 E}{\sqrt{2}}$.
કારણ કે $\phi_{\text{curved}} = -\phi_{\text{base}}$, તેથી $\phi_{\text{curved}} = \frac{\pi a^2 E}{\sqrt{2}}$.

(B) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ તરંગ માટે આપેલ સમીકરણ $\vec E = \hat i E_c (1 + \frac{E_m}{E_c} \cos \omega_m t) \cos \omega_c t$ છે.
આ સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે $\vec E = \hat i [E_c \cos \omega_c t + E_m \cos \omega_m t \cos \omega_c t]$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ:
$\vec E = \hat i [E_c \cos \omega_c t + \frac{E_m}{2} (\cos(\omega_c + \omega_m)t + \cos(\omega_c - \omega_m)t)]$.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે મોડ્યુલેટેડ તરંગ ત્રણ અલગ-અલગ આવૃત્તિ ઘટકો ધરાવે છે:
$1$. કેરિયર આવૃત્તિ: $\omega_c$
$2$. અપર સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિ: $\omega_c + \omega_m$
$3$. લોઅર સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિ: $\omega_c - \omega_m$
તેથી,હાજર આવૃત્તિઓ $\omega_c, \omega_c + \omega_m$ અને $\omega_c - \omega_m$ છે.

(C) ધન વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતી વિદ્યુત બળરેખાઓ ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ હોય છે અને તે ગોલીય સંમિત હોય છે. ત્રણેય વિદ્યુતભારો ધન અને સમાન મૂલ્યના હોવાથી,તેઓ એકબીજા પર અપાકર્ષણ બળ લગાડે છે. પરિણામે,વિદ્યુત ક્ષેત્રરેખાઓ દરેક વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને એકબીજાથી દૂર જાય છે. વિદ્યુતભારોની વચ્ચેના વિસ્તારમાં કોઈ વિદ્યુત ક્ષેત્રરેખાઓ પ્રવેશી શકતી નથી કારણ કે ત્રણેય વિદ્યુતભારોના ક્ષેત્રો એકબીજાને અપાકર્ષે છે,જેનાથી ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્ર પર એક તટસ્થ બિંદુ રચાય છે. પરિણામી વિદ્યુત ક્ષેત્રરેખાઓની ભાત આપેલ ઉકેલની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબની હોય છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{\frac{\omega_1}{\omega_2}} + 1)^2}{(\sqrt{\frac{\omega_1}{\omega_2}} - 1)^2}$
જ્યાં $\omega_1$ અને $\omega_2$ એ બે સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આપેલ છે કે સ્લિટની પહોળાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{1}{25}$ છે.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{\frac{1}{25}} + 1)^2}{(\sqrt{\frac{1}{25}} - 1)^2} = \frac{(\frac{1}{5} + 1)^2}{(\frac{1}{5} - 1)^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\frac{6}{5})^2}{(\frac{-4}{5})^2} = \frac{\frac{36}{25}}{\frac{16}{25}} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$
આમ,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $9 : 4$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_n = \frac{2 \pi K Z e^2}{n h}$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે વેગ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$v_n \propto \frac{1}{n}$
આ સંબંધ એક લંબચોરસ હાઇપરબોલા (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે,જેમાં જેમ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n$ વધે છે,તેમ વેગ ઘટે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,આલેખ $B$ એક વક્ર દર્શાવે છે જ્યાં $n$ વધવાની સાથે $v$ નું મૂલ્ય ઘટે છે,જે વ્યસ્ત સંબંધ $v \propto 1/n$ સાથે સુસંગત છે. તેથી,આલેખ $B$ સાચું નિરૂપણ છે.

(D) આપેલ આવૃત્તિ $v = 830 \, kHz = 830 \times 10^3 \, Hz$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $B_0 = 4.82 \times 10^{-11} \, T$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
$1$. તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ ની ગણતરી:
$\lambda = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8}{830 \times 10^3} = \frac{3000}{83} \approx 361.4 \, m \approx 360 \, m$.
$2$. વિદ્યુત ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $(E_0)$ ની ગણતરી:
સંબંધ $E_0 = B_0 c$ નો ઉપયોગ કરતા,
$E_0 = (4.82 \times 10^{-11} \, T) \times (3 \times 10^8 \, m/s)$,
$E_0 = 14.46 \times 10^{-3} \, N/C \approx 0.014 \, N/C$.
આમ,વિદ્યુત ક્ષેત્ર $0.014 \, N/C$ અને તરંગલંબાઇ $360 \, m$ છે.

(A) અનંત લંબાઈના તાર $A$ દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_A = \frac{\mu_0 I_A}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$I_A = 10\, A$ અને $r = 10\, cm = 0.1\, m$ છે.
તેથી,$B_A = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2\pi \times 0.1} = 2 \times 10^{-5}\, T$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_A$ માં $L$ લંબાઈના પ્રવાહધારિત તાર $B$ પર લાગતું બળ $F = I_B L B_A \sin(\theta)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તાર સમાંતર હોવાથી,ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે,તેથી $\sin(90^\circ) = 1$.
અહીં $I_B = 2\, A$ અને $L = 2\, m$ આપેલ છે,તેથી $F = 2 \times 2 \times (2 \times 10^{-5}) = 8 \times 10^{-5}\, N$.

(D) ગોળાકાર વાહકનું કેપેસિટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_0 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C = 1 \, F$ માટે,જરૂરી ત્રિજ્યા $r = \frac{C}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, m$ છે.
આ ત્રિજ્યા પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(6.4 \times 10^6 \, m)$ કરતા આશરે $1500$ ગણી મોટી છે,તેથી આવો ગોળો બનાવવો ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
તેથી,વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન $2$ દાવો કરે છે કે પૃથ્વી માટે તે શક્ય છે,પરંતુ પૃથ્વીનું કેપેસિટન્સ માત્ર $C = 4 \pi \epsilon_0 R_e \approx 711 \, \mu F$ છે,જે $1 \, F$ કરતા ઘણું ઓછું છે.
આમ,વિધાન $2$ ખોટું છે.

(C) તારનો પ્રારંભિક અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
જ્યારે તારને મધ્યમાંથી $180^o$ પર વાળવામાં આવે છે અને છેડાઓને વીંટાળવામાં આવે છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l' = \frac{l}{2}$ થાય છે અને નવું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A' = 2A$ થાય છે.
નવો અવરોધ $R'$ એ $R' = \rho \frac{l'}{A'}$ દ્વારા મળે છે.
નવી કિંમતો મૂકતા: $R' = \rho \frac{l/2}{2A} = \frac{1}{4} \left( \rho \frac{l}{A} \right) = \frac{R}{4}$.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય વર્ણપટને આવૃત્તિના આધારે ક્રમબદ્ધ કરવામાં આવે છે. આવૃત્તિની શ્રેણીઓ આશરે નીચે મુજબ છે:
$1$. $\gamma$-કિરણો $(b)$: $10^{19} \, Hz$ થી $10^{24} \, Hz$
$2$. $X$-કિરણો $(a)$: $10^{16} \, Hz$ થી $10^{19} \, Hz$
$3$. પારજાંબલી કિરણો $(c)$: $10^{15} \, Hz$ થી $10^{16} \, Hz$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\gamma$-કિરણો $(b)$ ની આવૃત્તિ સૌથી વધુ છે,ત્યારબાદ $X$-કિરણો $(a)$ અને પછી પારજાંબલી કિરણો $(c)$ આવે છે.
તેથી,$b > a > c$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$a < b$ અને $b > c$ એ સાચો સંબંધ છે.

(C) $NOR$ ગેટના ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ છે કારણ કે તેઓ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$.
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
આ $AND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
સત્યતા કોષ્ટક:

$A$	$B$	$\bar{A}$	$\bar{B}$	$\bar{A} + \bar{B}$	$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$

આમ,આ સંયોજન $AND$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(K.E_{max})$ નીચે મુજબ છે: $K.E_{max} = hv - W$,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$v$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $W$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે જો $v < W/h$ હોય,તો $hv < W$ થાય,જેનો અર્થ છે કે આપાત ઉર્જા વર્ક ફંક્શનને દૂર કરવા માટે અપૂરતી છે.
વિકલ્પ $B$ સાચો છે કારણ કે ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર એ ત્વરિત પ્રક્રિયા છે.
વિકલ્પ $D$ સાચો છે કારણ કે $K.E_{max}$ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,તેની તીવ્રતા પર નહીં.
વિકલ્પ $C$ ખોટો છે કારણ કે મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $hv - W$ છે,$hv$ નથી.

(A) ટેલિસ્કોપની વિભેદન સીમા (limit of resolution) $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \theta = \frac{1.22 \times 5.5 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-2}} = 2.236 \times 10^{-5} \, \text{rad}$.
$D = 80 \, m$ અંતરે ટેલિસ્કોપ જે લઘુત્તમ અંતર $x$ ને વિભેદિત કરી શકે છે તે $x = \Delta \theta \times D$ છે.
$x = 2.236 \times 10^{-5} \times 80 = 1.788 \times 10^{-3} \, m$.
વાયર જાળીનું અંતર $2 \times 10^{-3} \, m$ છે.
અહીં જાળીનું અંતર $(2 \times 10^{-3} \, m)$ એ વિભેદન સીમા $(1.788 \times 10^{-3} \, m)$ કરતા વધારે હોવાથી,જાળીને વિભેદિત કરી શકાય છે.
જો એપર્ચર અડધું કરવામાં આવે,તો નવી વિભેદન સીમા $\Delta \theta' = 2 \times \Delta \theta = 4.472 \times 10^{-5} \, \text{rad}$ થશે.
નવું લઘુત્તમ અંતર $x' = 4.472 \times 10^{-5} \times 80 = 3.577 \times 10^{-3} \, m$ થશે.
અહીં $3.577 \times 10^{-3} \, m > 2 \times 10^{-3} \, m$ હોવાથી,જો એપર્ચર અડધું કરવામાં આવે તો જાળીને વિભેદિત કરી શકાતી નથી.
તેથી,તે વર્તમાન એપર્ચર સાથે શક્ય છે,પરંતુ અડધા વ્યાસ સાથે શક્ય નથી.

(D) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{v}$ ને લંબ હોવાથી,વિદ્યુતભાર પર ચુંબકીય બળ દ્વારા થતું કાર્ય $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt = 0$ થાય છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ પરિણામી બળ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે.
કાર્ય શૂન્ય હોવાથી,ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
આમ,વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન $2$ પણ સાચું છે કારણ કે ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ હંમેશા $\vec{v}$ અને $\vec{B}$ બંનેને લંબ હોય છે,અને આ લંબ બળને કારણે જ ઝડપ (અને તેથી ગતિઊર્જા) બદલાતી નથી.
તેથી,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) જ્યારે કોષ ઓપન સર્કિટમાં હોય,ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $\ell$ એ કોષના ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(E)$ ને અનુરૂપ છે.
$E = K\ell$,જ્યાં $K$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષને બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ માપવામાં આવે છે.
$V = K\ell'$,જ્યાં $\ell'$ એ નવી સંતુલન લંબાઈ છે.
આંતરિક અવરોધ $r$ નું સૂત્ર: $r = \left(\frac{E - V}{V}\right)R$ છે.
આપેલ છે કે $R = r$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$r = \left(\frac{E - V}{V}\right)r$
$1 = \frac{E - V}{V}$
$V = E - V$
$2V = E$
$E = K\ell$ અને $V = K\ell'$ મૂકતા:
$2(K\ell') = K\ell$
$\ell' = \ell/2$.

(C) $LC$ સર્કિટની રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પાત્ર ખાલી હોય,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C_0$ છે,તેથી $f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC_0}} = 10,000\, Hz$.
જ્યારે પાત્રને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા વાયુથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C_g = K C_0$ થાય છે.
નવી રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી $f_g = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L(K C_0)}} = \frac{f_0}{\sqrt{K}}$ થાય છે.
આપેલ છે કે ફ્રીક્વન્સીમાં $50\, Hz$ નો ફેરફાર થાય છે,તેથી નવી ફ્રીક્વન્સી $f_g = 10,000 - 50 = 9,950\, Hz$ છે.
તેથી,$\frac{f_g}{f_0} = \frac{1}{\sqrt{K}} = \frac{9,950}{10,000} = 0.995$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{K} = (0.995)^2 \approx 0.990025$.
$K = \frac{1}{0.990025} \approx 1.010075 \approx 1.01$.

(A) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ છે, જ્યાં $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
આપેલ છે કે $N(0) = 1600$ અને $N(8) = 100$.
$100 = 1600 \left( \frac{1}{2} \right)^{8/T_{1/2}}$
$\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^{8/T_{1/2}}$
$\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^{8/T_{1/2}}$
$4 = \frac{8}{T_{1/2}} \implies T_{1/2} = 2 \, s$.
હવે, $t = 6 \, s$ સમયે, પસાર થયેલ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = \frac{6}{2} = 3$ છે.
તેથી, કાઉન્ટ રેટ $N(6) = 1600 \times \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1600}{8} = 200 \, \text{કાઉન્ટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ}$.